CAPÍTULO 4. Dinámica de una partícula - Biblioteca

Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán
El movimiento es el indicado, si se cumple:
2mB
> ( senθ
+ μ cosθ
)
mA
El movimiento es de sentido opuesto, si se cumple:
2mB
< ( senθ
− μ cosθ
)
mA
El signo menos es porque en este caso el peso de la
masa A es el que mueve al sistema y la fuerza de
rozamiento está en sentido contrario a éste.
Ejemplo 37. A los extremos de un hilo que pasa a
través de una polea fija al techo de la cabina de un
ascensor se atan los cuerpos de masa 1 m y 2 m
( 1 2 ) m m < . La cabina comienza a subir con una
aceleración constante g / 2. Despreciando la masa de
la polea y la del hilo, así como el rozamiento,
calcular:
a) La aceleración de 1 m y m 2 respecto de la cabina
y con relación al foso del ascensor.
b) La fuerza con la cual la polea actúa sobre el techo
de la cabina.
Solución.
a) El ascensor constituye una referencia no inercial en
traslación que se mueve con una aceleración
constante en sentido ascendente respecto de una
referencia fija.
Seleccionemos una referencia con origen O′ en un
punto del ascensor. La aceleración del origen
O′ respecto de la referencia fija O es la aceleración
1
del ascensor gˆj
2
y a ˆj
' 2 la aceleración de 2
. Sean a' ˆ 1 j la aceleración de 1 m
m en la referencia O’.
25
Las fuerzas exteriores que actúan sobre la m 1 son la
tensión del cable T y el peso m1 g , y sobre m 2 son
la tensión del cable T y el peso m2 g .
De la ecuación fundamental de la dinámica en la
referencia no inercial se tiene
g
m1a'1 = T − m1g
− m1
2
3
⇒ m1a'1 = T − m1g
(1)
2
g
m1a' 2 = T − m2
g − m2
2
3
⇒ m1a' 2 = T − m2
g
(2)
2
De la condición de ligadura para los bloques se tiene
a '1 +a'
2 = 0 ⇒ a '1 = −a'
2 = a'
(3)
De las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene
3
3
m1a' = T − m1g
y m1a' = −T
+ m2
g
2
2
Sumando estas ecuaciones:
3
( m2 + m1
) a'=
( m2
− m1
)g
2
Despejando a '
( )
( ) g
3 m2
− m1
a'=
2 m2
+ m1
Finalmente:
→
→
a'1
= a'
ˆj
y a'2
= −a'
ˆj
En la referencia fija, las aceleraciones de m 1 y de
m 2 se obtienen de sumar a las anteriores la
aceleración del ascensor
a
a
b)
1
2
( )
( ) g
2m2
− m1
m2
m1
( )
( ) g
2m1
− m2
m m
g
= + a'=
y
2 +
g
= − a'=
2 +
2
La fuerza que la polea ejerce sobre el techo de la
cabina es
F − 2 T = 0 ⇒ F = 2T
De la ecuación (1) y (3) se tiene
( ) g
⎛ 3 ⎞ 3m1m2
T =
m1⎜
a'1+
g ⎟ =
⎝ 2 ⎠ m + m
1
2
1