CAPÍTULO 4. Dinámica de una partícula - Biblioteca

Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán
− Ma − F cos α − μ(
mg − Fsenα
) ma
( M − μm) g − F(
cosα
− μsenα
)
Mg =
a =
y la tensión T
T = Mg − M
M + m
( M − μm) g − F(
cosα
− μsenα
)
M + m
Ejemplo 26. Una viga de masa M está situada en un
plano horizontal. Sobre la viga se encuentra un
cuerpo do masa m. El coeficiente de rozamiento entre
el cuerpo y la viga, así como entre la viga y el plano
es μ k . Analizar el movimiento para diferentes
valores do la fuerza F.
Solución.
Si F ≤ μ k ( m + M )g,
no hay movimiento.
Supongamos que F > μ k ( m + M )g . Analicemos
el caso de ausencia de deslizamiento del cuerpo por la
viga. Las ecuaciones del movimiento, en este caso,
tendrían la siguiente forma:
Ffm = ma ,
= F − F − F = F − F − μ ( m + M )g;
Ma fm fM
fm k
Ffm ≤ μ k mg
de donde
F
= − μ g ,
a k
( m + M )
mF
Ffm =
k
k
( m + M )
− μ mg ≤ μ mg
que es posible, si
k (m + M) g < F < 2k (m + M) g.
Si F > 2μk(m + M)g, entonces el cuerpo deslizará por
la barra. En este caso las ecuaciones del movimiento
tendrán la siguiente forma:
= μ mg ,
mam k
MaM = F − μ k mg − μ k
de donde
am k
= μ g ,
=
F
M
−
aM μ k
( M + m)g
( 2m
+ M )
g
Que es fácilmente verificar en el caso de M m
M
a > a
Ejemplo 27. Una viga do masa M está sobre un plano
horizontal liso, por el cual puede moverse sin
fricción. Sobre la viga hay un cuerpo do masa m. El
coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la viga es
μ k . ¿Con qué valor de la fuerza F que actúa sobre la
viga en dirección horizontal, el cuerpo comienza a
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deslizarse sobre la viga? ¿Dentro do cuánto tiempo el
cuerpo caerá de la viga? La longitud do la viga es l .
Solución.
Las ecuaciones del movimiento de la viga y del
cuerpo tienen la siguiente forma:
F = ma , (1)
fm
m
F − μ k mg = MaM
(2)
Donde F fm es la fuerza do rozamiento, am y aM son
las aceleraciones.
Supongamos que no hay deslizamiento, entonces
am = aM
De las ecuaciones del movimiento podemos
determinar la aceleración y la fuerza de rozamiento.
La fuerza de rozamiento es
F fm
=
mF
( m + M )
Para que no haya deslizamiento la fuerza de
rozamiento debe satisfacer la siguiente desigualdad:
F
≤ μ mg , es decir, ≤ μ k g
( m + M )
Ffm k
Si F > μk (M + m) g, entonces surge el deslizamiento.
Las ecuaciones (1) y (2) en este caso deben escribirse
en la siguiente forma:
mam k
= μ mg , = F − μ mg
MaM k
De estas ecuaciones obtenemos am y aM:
( F − μ k mg)
am = μ k g , aM
= .
M
Es evidente que aM > am.
1 2 1 2
xm = amt
, xM = aM
t
2
2
1 2 1 2
x M − xm
= l = aM t − amt
2 2
⇒ t =
2l
aM
− am
=
2l
( F − μ k mg)
− μ k g
M
=
2lM
F − μ g M + m
k
( )
.