CAPÍTULO 4. Dinámica de una partícula - Biblioteca

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Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán = v0 + a t = 0 + 7, 35× 0, 58 v p p c) = 4,26 m/s. 1 2 = 0, 25 + a t 2 1 0, 25 + 7, 35× 0, 58 2 x p p 2 = = 1, 49 m Ejemplo 24. El plano inclinado mostrado en la figura tiene una aceleración a hacia la derecha. Si el coeficiente de fricción estático entre el plano y el bloque es μ , encontrar la condición para que el bloque resbale. Solución. Consideremos que el bloque tiene masa m , la figura a continuación muestra su DCL. Para que el bloque no resbale debe tener la misma aceleración a . Aplicando la segunda ley de Newton ∑ V = 0 sen cos = − + mg N N α μ α y FH = ma − N senα + μN cosα = De estas ecuaciones F ⇒ 0 ∑ ⇒ ma mg = cos α + μ senα mg − senα + μ cosα cosα + μ senα N y ( ) = ma ( ( ) ) Finalmente a = ( ) ( ) g μ cosα − senα cosα + μ senα Este es el va1or crítico de a para que no resbale; el bloque resbalará para valores menores que el indicado. Ejemplo 25. En el siguiente sistema mecánico, se aplica una fuerza F inclinada un ángulo α sobre el cuerpo de masa m, ubicado sobre la superficie 18 horizontal con coeficiente de fricción µ. La polea por donde cuelga otro bloque de masa M no tiene roce y la cuerda se considera inextensible y de masa despreciable. Calcular la aceleración y la tensión de la cuerda. Solución. Se hacen los DCL y se aplica la segunda ley de Newton, suponiendo que el cuerpo de masa M desciende y tira a m hacia la derecha, lo que define el sentido de la aceleración. Para m ∑ V F = 0 ⇒ 0 sen = − + mg F N α ⇒ N mg − F senα y FH = ma ∑ = (1) ⇒ T − F α − Ff = ma Para M ∑ F V cos (2) = −Ma ⇒ T Mg = −Ma Además: = μN − (3) F f De la ecuación (1): Ff = μ( mg − Fsenα ) (4) De (3) se despeja T: = (5) T Mg − Ma Ahora 4) y (5) se reemplazan en (2), lo que permite despejar la aceleración
Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán − Ma − F cos α − μ( mg − Fsenα ) ma ( M − μm) g − F( cosα − μsenα ) Mg = a = y la tensión T T = Mg − M M + m ( M − μm) g − F( cosα − μsenα ) M + m Ejemplo 26. Una viga de masa M está situada en un plano horizontal. Sobre la viga se encuentra un cuerpo do masa m. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la viga, así como entre la viga y el plano es μ k . Analizar el movimiento para diferentes valores do la fuerza F. Solución. Si F ≤ μ k ( m + M )g, no hay movimiento. Supongamos que F > μ k ( m + M )g . Analicemos el caso de ausencia de deslizamiento del cuerpo por la viga. Las ecuaciones del movimiento, en este caso, tendrían la siguiente forma: Ffm = ma , = F − F − F = F − F − μ ( m + M )g; Ma fm fM fm k Ffm ≤ μ k mg de donde F = − μ g , a k ( m + M ) mF Ffm = k k ( m + M ) − μ mg ≤ μ mg que es posible, si k (m + M) g < F < 2k (m + M) g. Si F > 2μk(m + M)g, entonces el cuerpo deslizará por la barra. En este caso las ecuaciones del movimiento tendrán la siguiente forma: = μ mg , mam k MaM = F − μ k mg − μ k de donde am k = μ g , = F M − aM μ k ( M + m)g ( 2m + M ) g Que es fácilmente verificar en el caso de M m M a > a Ejemplo 27. Una viga do masa M está sobre un plano horizontal liso, por el cual puede moverse sin fricción. Sobre la viga hay un cuerpo do masa m. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la viga es μ k . ¿Con qué valor de la fuerza F que actúa sobre la viga en dirección horizontal, el cuerpo comienza a 19 deslizarse sobre la viga? ¿Dentro do cuánto tiempo el cuerpo caerá de la viga? La longitud do la viga es l . Solución. Las ecuaciones del movimiento de la viga y del cuerpo tienen la siguiente forma: F = ma , (1) fm m F − μ k mg = MaM (2) Donde F fm es la fuerza do rozamiento, am y aM son las aceleraciones. Supongamos que no hay deslizamiento, entonces am = aM De las ecuaciones del movimiento podemos determinar la aceleración y la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es F fm = mF ( m + M ) Para que no haya deslizamiento la fuerza de rozamiento debe satisfacer la siguiente desigualdad: F ≤ μ mg , es decir, ≤ μ k g ( m + M ) Ffm k Si F > μk (M + m) g, entonces surge el deslizamiento. Las ecuaciones (1) y (2) en este caso deben escribirse en la siguiente forma: mam k = μ mg , = F − μ mg MaM k De estas ecuaciones obtenemos am y aM: ( F − μ k mg) am = μ k g , aM = . M Es evidente que aM > am. 1 2 1 2 xm = amt , xM = aM t 2 2 1 2 1 2 x M − xm = l = aM t − amt 2 2 ⇒ t = 2l aM − am = 2l ( F − μ k mg) − μ k g M = 2lM F − μ g M + m k ( ) .
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