Taller/Tarea 1 - Universidad Nacional de Colombia

Universidad Nacional de Colombia, Medellín – Escuela de Matemáticas
Conjuntos y Combinatoria – Febrero 19, 2011
Taller/Tarea 1
Tarea: 7 ejercicios entre los 8 siguientes: 1, 8, 11, 17, 20, 23(b), 25, 28. Para el
miércoles 2 de marzo.
1. Asuma ya definidas la adición y la multiplicación sobre los números naturales
N (con las propiedades usuales).
(a) Use el teorema de la recursión para obtener la existencia de la operación
de exponenciación base m ∈ N, f(n) = m n , tal que satisface
m 0 = 1; m s(n) = m n · m.
(b) Pruebe que para p, q ∈ N, satisface
m p+q = m p · m q .
2. Use el teorema de la recursión (forma básica) para probar la siguiente
versión: Dados un conjunto E, elementos e0, e1, e2 ∈ E, y una función
g : E × E × E → E, existe una función única f : N → E que satisface
f(0) = e0, f(1) = e1, f(2) = e2, y para n ≥ 2,
f(n + 1) = g(f(n), f(n − 1), f(n − 2)).
3. Sea ⌊n/2⌋ el cociente (entero) de dividir n por 2; el residuo correspondiente
es 0 ó 1 y esto corresponde por definición a n par e impar. Considere la
siguiente función f(n, m) definida recursivamente como
⎧
⎨ 0
si n = 0
f(m, n) =
m si n es impar
⎩ f(2m, ⌊n/2⌋) +
si n > 0
0 si n es par
Sin preocuparse por justificar la existencia (teniendo en cuenta los teoremas
de recursión), identifique la función, y pruebe su conjetura usando inducción.
4. Use inducción para probar que para todo entero n ≥ 0, 10 n − 1 es divisible
por 9.
5. Use inducción para probar que a − b divide a n − b n .
1

6. Pruebe usando inducción que
n
k=1
k 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + · · · + (n − 1) 3 + n 3 =
7. Pruebe usando inducción que para todo n ∈ N, se tiene que
n
i=0
(2i + 1) 2 = 1
3
8. Pruebe usando inducción que
para α = 1,
n
kα k−1 =
k=0
· (n + 1)(2n + 1)(2n + 3).
1 − αn αn
+
(α − 1) 2 α − 1 n.
9. Pruebe usando inducción que para n ≥ 15, se tiene que
80n2 2n ≤ n! ≤ 1
1000 2n2
.
2 1
n(n + 1)
2
10. Use inducción para verificar que para reales x1, x2, . . . , xn ∈ [0, 1], se tiene
que
n
n
(1 − xi) ≥ 1 − xi.
i=1
Deduzca que si 0 ≤ a ≤ 1 y N ∈ N entonces (1 − a) n ≥ 1 − na.
11. Use inducción para probar que para n ∈ N y x, y ≥ 0, se satisface que
n x + y
2
i=1
≤ xn + yn .
2
12. Use inducción para verificar que para n ≥ 1,
1 + 1 1
+
4 9
1 1
+ · · · + < 2 −
n2 n .
13. Los números armónicos Hn se definen como
Hn =
n
k=1
1
k
Pruebe por inducción que para n ≥ 0,
1 + n
2
1 1 1
= 1 + + + · · · +
2 3 n .
≤ H2 n ≤ 1 + n.
2

14. Deduzca que un polinomio p(X) (con coeficientes en R) de grado n tiene a
lo más n ceros/raíces en R de la siguiente manera:
(a) Verifique usando inducción que para todo a, b y n ∈ N se tiene que
a n −b n = (a−b)(a n−1 +a n−2 b+a n−3 b 2 +· · ·+a 2 b n−3 +ab n−2 +b n−1 )
(b) Muestre que si p(c) = 0 entonces p(X) = (X − c)q(X) donde q(X) es
un polinomio de grado n − 1. Sugerencia: Considere p(X) − p(c).
(c) Use inducción para concluir la afirmación inicial.
15. Recuerde que los números de Fibonacci Fn para n ≥ 0, se definen recursivamente
como
⎧
⎨ 1 si n = 0
Fn = 1
⎩
Fn−1 + Fn−2
si n = 1
si n > 1
Use inducción para probar que
16. Considere la sucesión 〈an〉 ∞ n=0
era:
an =
⎧
⎨
⎩
n
i=0
(Fi) 2 = FnFn+1.
definida recursivamente de la siguiente man-
0 si n = 0
an−1 + 1 si n es impar
2an/2
si n es par
Determine una expresión sencilla para an (conjeturando a partir de unos
pocos valores) y verifíquela usando inducción.
17. Considere una sucesión definida por
b1 = b2 = 1,
bn = 1
bn−1 +
3
3
bn−2
Muestre que 1 ≤ bn ≤ 3/2 para n ∈ N.
18. Considere la sucesión 〈an〉 ∞ n=0
an =
Verifique usando inducción que
para todo n ∈ N.
, para n ≥ 3.
definida recursivamente como
0 si n = 0
2an−1 + (n − 1) si n > 0
an = 2 n − n − 1
3

19. Considere la sucesión
a1 = 1
an = 1 + 1/an−1 para n > 1
Los primeros valores de esta secuencia son
a1 = 1
a2 = 2
a3 = 3/2 = 1.5
a4 = 5/3 = 1.666666 · · ·
a5 = 8/5 = 1.6
Note que
y
a6 = 13/8 = 1.625
a7 = 21/13 = 1.615385 · · ·
a8 = 34/21 = 1.619048 · · ·
a9 = 55/34 = 1.617647 · · ·
a10 = 89/55 = 1.618181 · · ·
a1 < a3 < a5 < a7 < a9 < · · ·
a2 > a4 > a6 > a8 > a10 > · · ·
Aparentemente los términos impares forman una sucesión creciente mientras
que los términos pares forman una sucesión decreciente. Verifique esto
usando inducción. Sugerencia: Exprese an en términos de an−2 y considere
los casos n par y n impar separadamente. En un caso. se quiere probar que
si an−2 > an, entonces an > an+2.
20. Representación binaria. Pruebe que para todo n ∈ N existe m ∈ N tal
que 2 m ≤ n < 2 m+1 . Concluya que todo n ∈ N se puede escribir como la
suma de potencias de 2 diferentes (por ejemplo 27 = 16 + 8 + 2 + 1).
21. Pruebe usando inducción lo siguiente:
Si S es un subconjunto de {1, 2, 3, . . . , 3n − 1, 3n} con 2n + 1 elementos,
entonces S contiene tres números consecutivos.
22. Fracción irreducible. Pruebe que cualquier número racional positivo r
es igual a una fracción irreducible p/q. Es decir p, q son enteros positivos
que no tienen factores comunes que se pueden cancelar. Sugerencia: Todo
racional positivo por definición es igual a un cociente m/n de dos enteros
positivos. Use inducción (fuerte) sobre m (cuando se considera un m, n
puede ser arbitrario).
23. Recubrimiento de un tablero de damas con fichas. La figura de la
izquierda muestra un tablero de 2 n × 2 n cuadrados, excepto una esquina
faltante. Se trata de recubrirlo con fichas de tres cuadrados en forma de L
(por supuesto, cada cuadrado sólo es cubierto una vez).
4

n
2
n
2
(a) Justifique usando inducción que un tablero 2 n × 2 n sin una esquina
puede ser recubierto. Sugerencia: La posición de la ficha en la figura
sugiere el paso inductivo.
(b) Justifique que un tablero 2n × 2n con un cuarto faltante, como se
muestra en la figura de la derecha, también puede ser recubierto. Sugerencia:
La figura sugiere un borde que al ser removido resulta en un
tablero 2(n − 1) × 2(n − 1) similar. Para el paso inductivo muestre que
ese borde se puede recubrir.
24. Una barra de chocolate viene en un arreglo rectangular con n = p × q
pastillas (p, q arbitrarios). La barra o un pedazo ya obtenido sólo se puede
quebrar a lo largo de una de las líneas verticales u horizontales que separan
las pastillas. Asumiendo que sólo puede quebrar un pedazo a la vez, pruebe
que se necesitan exactamente n − 1 quiebres para separar las n pastillas
independientemente de como se realicen estos.
25. Torres de Hanoi con 4 postes. Considere una modificación del problema
de las torres de Hanoi en la que el número de postes es 4 (en lugar de 3).
El problema es todavía mover los n discos de diferentes tamaños que están
inicialmente en un poste a otro poste, haciendo uso como sea conveniente de
los otros dos postes, pero nunca colocando un disco sobre uno más pequeño.
Se mn el mínimo número de movimientos necesarios para completar la tarea.
Determine m0 y m1 y justifique que mn satisface la ecuación
2n
mn ≤ 2mn−2 + 3.
(La justificación consiste en describir un procedimiento (algoritmo) recursivo
para el problema; la desigualdad aparece porque no sabemos si el algoritmo
sugerido es el mejor posible).
26. Otra variante de las Torres de Hanoi. Considere la siguiente modificación
del problema de las “Torres de Hanoi”: Además de la regla usual
de nunca colocar un disco sobre uno más pequeño, se tiene que un disco
sólo se puede mover de un poste a otro adyacente (asumiento los postes A,
B y C están en orden). Por ejemplo, mover un disco de A a B y de B a
C es permitido, pero moverlo de A a C no lo es. Para n ≥ 1, sea an el
5
n
2n
n
n
n

número mínimo de movidas necesarias para transferir una torre de n discos
de el poste A al poste C. Determine un (in)ecuación de recurrencia para an
como en el problema anterior.
27. Asociaciones. Recuerde que la suma
a1 + a2 + a3 + · · · + an
se puede precisar con la recurrencia s1 = a1 y sn = sn−1 + an para n ≥ 2.
En particular, esto introduce un orden particular de realizar las sumas:
(((((a1 + a2) + a3) + a4) + · · ·) + an−1) + an
Para referencia llamamos esta la asociación canónica de a1, a2, . . . , an. La
propiedad asociativa garantiza que para tres números a1, a2, a3, las dos formas
de asociar dan el mismo resultado:
a1 + (a2 + a3) = (a1 + a2) + a3.
En el caso de 4 números se tienen las siguientes posibles asociaciones:
a1 + (a2 + (a3 + a4))
a1 + ((a2 + a3) + a4)
(a1 + (a2 + a3)) + a4
((a1 + a2) + a3) + a4
(a1 + a2) + (a3 + a4).
Note que en esta secuencia cada una es igual a la anterior por la propiedad
asociativa para tres términos; por lo tanto todas las asociaciones llevan
al mismo resultado. Más general, cualquier asociación para la suma de
cualquier n números a1, a2, . . . , an, en ese orden, lleva al mismo resultado
que la asociación canónica. Concretamente, pruebe usando inducción fuerte
que
Para todo n y cualquier n números a1, a2, . . . , an, el resultado de
sumarlos con una asociación arbitraria (en el orden listado) es
igual al resultado de sumarlos con la asociación canónica.
28. En este y el siguiente ejercicio, [1, n] denota {1, 2, 3, . . . , n}. Use inducción
para probar lo siguiente: Sea n ∈ N y f : [1, n] → N, entonces existe
k ∈ [1, n] tal que
f(k) ≥ f(i) para todo i ∈ [1, n].
29. Use inducción para probar lo siguiente: Para k, m ∈ N y f : [1, m] → [1, k],
entonces si f es una biyección, entonces m = k.
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