Taller 4 - Universidad Nacional de Colombia

Univ. Nacional de Colombia, Medellín – Escuela de Matemáticas
Matemáticas Discretas – Marzo 1, 2010
1. Pruebe por inducción que
n
k=1
Taller 4
k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + (n − 1) 2 + n 2 = 1
n(n + 1)(2n + 1). (∗)
6
2. Pruebe usando inducción que para todo entero n ≥ 0 se tiene que
n
(k + 1)2 k = n2 n+1 + 1.
k=0
3. Pruebe usando inducción que para todo entero n ≥ 0, se tiene que n 3 − n
es divisible por 3.
4. Por definición, un número entero es par si se puede escribir como 2k para
algún entero k, y es impar si se puede escribir como 2k+1 para algún entero
k. Use inducción para probar que todo entero positivo es par ó es impar.
5. Pruebe usando inducción que para todo entero par n ≥ 0, 5 n mod 6 = 1.
(Recuerde que n mod d es el residuo de dividir n por d.)
6. Pruebe que un tablero con una cuadrícula 2 n × 2 n puede ser cubierto, con
la excepción de un cuadrado, por triominós en forma de L (ejemplo 1.7.6 de
Johnsonbaugh, 6a ed.)
7. Pruebe por inducción que para n entero positivo
1 + 3 + 6 + 10 + · · · + 1
1
n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2).
2 6
1

8. Una barra de chocolate viene en un arreglo rectangular con n pastillas. La
barra o un pedazo ya obtenido sólo se puede quebrar a lo largo de una de
las líneas verticales u horizontales que separan las pastillas. Asumiendo que
sólo puede quebrar un pedazo a la vez, pruebe que se necesitan exactamente
n − 1 quiebres para separar las n pastillas independientemente de como
se realicen estos. (El rectángulo inicial puede ser arbitrario p × q tal que
n = pq.)
9. Pruebe que las siguientes desigualdades son válidas para cualquier entero
n ≥ 5:
2n + 1 < n 2 < 2 n < n!
10. Pruebe por inducción que
√ 1
n ≤ √1 + 1
1
√ + · · · + √ +
2 n − 1 1
√ .
n
2