Soluciones factibles y básicas factibles

Soluciones factibles y básicas factibles
Analizamos ahora el conjunto convexo de las soluciones factibles de un
P.P.L.
Habíamos visto cómo en un mismo problema, variando los coeficientes de
la función objetivo, se obtenían distintas soluciones, pero siempre había
una solución óptima en un vértice del conjunto. La idea de vértice se
corresponde con el concepto de punto extremo de un conjunto convexo.
Se definen los conceptos de convexo y punto extremo de un conjunto
convexo en R n . Posteriormente se caracterizan los puntos extremos del
conjunto convexo de soluciones factibles (S). Se demuestra que siempre
que exista alguna solución factible existirá al menos un punto extremo. La
solución factible asociada a un punto extremo de S se denominará solución
básica. Se demuestra que si un P.P.L. tiene solución óptima, existe una
solución básica óptima.
Para el caso en que este conjunto de soluciones factibles (S) no esté
acotado se introducen los conceptos de dirección y dirección extrema, así
como la correspondiente caracterización de direcciones extremas de S.
Terminamos la sección con el teorema de caracterización del conjunto S y
sus implicaciones en el P.P.L.
Sea S = {x ∈ R n / Ax = b, x ≥ 0} el conjunto de soluciones factibles de un
P.P.L. en forma estándar.
Definición: Un conjunto S ⊂ R n , S ≠ ∅, es un conjunto convexo si
∀ x, y ∈ S λx + (1-λ)y ∈ S, ∀ λ ∈ [0,1]
La combinación lineal positiva cuyos coeficientes suman 1 se denomina
combinación lineal convexa.
Proposición: El conjunto S es un conjunto convexo.
Definición: Dado un conjunto convexo S ⊂ R n , x ∈S se dice que es un
punto extremo de S si verifica lo siguiente:
x = λy + (1-λ)z, 0 < λ < 1, y, z ∈ S ⇒ x = y = z

Teorema: Dado S = {x ∈ R n / Ax = b, x ≥ 0}, donde A es una matriz m x n
y rango(A) = m, entonces
x es un punto extremo de S ⇔ A = (B,N), x = ⎟ −1
⎛ xB
⎞ ⎛ B b⎞
⎜
⎟ = ⎜
donde |B| ≠ 0 y
⎝ xN
⎠ ⎝ 0 ⎠
B -1 b ≥ 0
El número de puntos extremos es finito, concretamente es ¿?.
Proposición: Si S ≠ ∅, entonces existe al menos un punto extremo.
Los puntos extremos de S se asocian a matrices B ⊂ A con la propiedad de
tener determinante no nulo y generar todos los vectores columna de la
matriz A. Se introduce así el concepto de solución básica.
Definición: Dado el problema de programación lineal
t
Min c x
s.
a.
Ax = b
x ≥ 0
se dice que una solución factible x es básica cuando es un punto extremo
del conjunto de soluciones factibles S, es decir, existe una base B ⊂ A
verificando |B| ≠0 y B -1 b ≥ 0.
El concepto de solución básica es muy importante porque la solución
óptima del P.P.L. se alcanza en una solución básica.
Teorema: Dado un problema de programación lineal, si existe solución
óptima, existe solución básica óptima.
Caso no acotado.
Hemos visto en el teorema anterior que si existe solución óptima para el
P.P.L., ésta se alcanza en una solución básica. Entonces:
¿La solución óptima de un P.P.L. se obtiene evaluando la función objetivo
en todas las soluciones básicas y cogiendo la mejor?

Ejemplo:
Punto extremo: (26/7,4/7,0)
Min − x − 3x
− 3x
s.
a.
x
1
2x
1
+ 4x
1
x
+ x
i
2
2
2
≥ 0
− 3x
3
− 4x
3
3
= 6
= 8
∀i
= 1,
2,
3
¿Y el punto (117/7,18/7,7)? ¿Es un punto extremo? ¿Cuál es el valor de la
función objetivo en ambos puntos? ¿Cuál es el óptimo?
Definición: Dado un conjunto convexo S ⊂ R n , S ≠ ∅, un vector d ≠ 0 ∈R n
es una dirección de S si se verifica la siguiente propiedad:
∀ x∈ S, ∀µ ≥ 0 x + µd ∈S
Dos direcciones proporcionales se consideran equivalentes.
Proposición: Dado S = {x ∈ R n / Ax = b, x ≥ 0}, donde A es una matriz m
x n y rango(A) = m, entonces
d es una dirección de S ⇔ d ≥ 0 y Ad = 0
Ejemplo: Sea el recinto de soluciones factibles de un P.P.L. definido por la
matriz A de coeficientes y b el vector de términos independientes:
A = (1 2 –1) y b = (4)
En este ejemplo se puede comprobar que los vectores d1 t = (1,0,1), d2 t =
(0,1/2,1) y d3 t = (1,1/2,2) son direcciones de S. También se puede
comprobar que existe una relación entre ellas: d3 = d1 + d2.
Introducimos así el concepto de dirección extrema:
Dado un conjunto convexo S ⊂ R n , una dirección d ∈R n se dice que es una
dirección extrema de S se verifica lo siguiente:
d = µ1d 1 + µ2d 2 µ1 ,µ2 ≥ 0 d 1 ,d 2 direcciones de S ⇒d = d 1 = d 2

Teorema: Dado S = {x ∈ R n / Ax = b, x ≥ 0}, donde A es una matriz m x n
y rango(A) = m, entonces
d es una dirección extrema de S ⇔ A = (B,N), donde |B| ≠ 0 y existe un
vector columna aj∈N verificando B -1 aj ≤ 0 de forma que d = αd 0 con α > 0
y d 0 ⎛− ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−1
B a j
. El vector ej es un vector con n-m coordenadas siendo
e j
todas nulas excepto un 1 en la posición j-ésima.
El número de direcciones extremas es finito, concretamente está acotado
por ¿?.
El concepto de dirección de un conjunto convexo se introdujo al observar
que en el caso de conjuntos convexos no acotados, las combinaciones
lineales convexas de sus puntos extremos no cubrían todo el conjunto. En
estos casos, hay que añadir a dicha combinación lineal convexa una
combinación lineal positiva de todas las direcciones extremas. Este
resultado nos lo da el teorema de representación:
Teorema:
Dado S = {x ∈ R n / Ax = b, x ≥ 0}, donde A es una matriz m x n y
rango(A) = m. Sean {x 1 , x 2 , ..., x k } el conjunto de puntos extremos y {d 1 ,
d 2 , ..., d l } el conjunto de direcciones extremas. Entonces se verifica lo
siguiente:
k
⎧
⎪∃(
λ , λ 2 ,..., λ k ) λ i ≥ 0,
∀i
= 1,2,.., k ∑ λ = 1
1
i
x ∈ S ⇔∧ ⎨
i=
1 de forma que:
⎪⎩ ∃(
µ , µ ,..., µ ) µ ≥ 0,
∀j
= 1,2,.., l
1
2
l
j
k
i x = ∑λ
i x + ∑ µ jd
i=
1
Esto es, todo punto de S se puede representar como una combinación
convexa de sus puntos extremos + una combinación lineal positiva de sus
direcciones extremas.
Pero además, si S es acotado no tiene direcciones, con lo cual cualquier
punto de S de podrá expresar como combinación convexa de sus puntos
extremos.
Corolario: En las condiciones del teorema anterior S tiene al menos una
dirección extrema si y sólo si S no está acotado.
l
j=
1
j

Corolario: Si el conjunto S ≠∅ de soluciones factibles de un P.P.L. tiene
una dirección extrema d j verificando c t d j < 0, entonces el P.P.L. tiene
solución óptima no acotada.
Corolario: Si el conjunto S ≠∅ de soluciones factibles de un P.P.L. no
tiene direcciones extremas o teniéndolas, todas ellas verifican c t d j ≥ 0,
entonces el P.P.L. tiene solución óptima, y ésta se alcanza en un punto
extremo del conjunto S.
Dado el P.P.L.:
Esquema de resolución del P.P.L.
t
Min c x
s.
a.
Ax = b
x ≥ 0
basándose en las proposiciones, corolarios y teoremas anteriores se
propone el siguiente procedimiento para resolverlo:
1.- Determinar {x 1 ,x 2 , ..., x k } conjunto de puntos extremos de S:
a) k = 0 No existen puntos extremos en S ⇒ NO EXISTE
SOLUCIÓN FACTIBLE
b) k > 0 El conjunto S es no vacío, IR PASO SIGUIENTE.
2.- Determinar {d 1 ,d 2 , ..., d l } conjunto de direcciones extremas de S:
a) ∃d j 1 ≤ j ≤ l / c t d j < 0 ⇒ SOLUCIÓN ÓPTIMA NO ACOTADA
b) l = 0 ó ∀j ∈{1,2,...l} c t d j ≥ 0 ⇒ EXISTE SOLUCIÓN ÓPTIMA
x * , que se determina según:
c t x * ≡ c t x s = Min { c t x i / 1 ≤ i ≤ k}