UNIDAD II - CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTEO - Blearning

2.1 INTRODUCCIÓN
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ACADEMIA DE PROBABILIDAD
Apuntes de probabilidad y estadística
UNIDAD II - CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTEO
El origen de la teoría de la probabilidad se encuentra en el trabajo motivado por los juegos de azar de los matemáticos Pedro
de Fermat (1601- 1665), Blas Pascal (1623- 1662). De este trabajo surgió el concepto primitivo de probabilidad. Posteriormente existe
una larga lista de matemáticos que han contribuido a desarrollar la Teoría de Probabilidad, de entre ellos cabe mencionar a:
Bernoulli (1654- 1705) Bayes (1751-1800)
Laplace (1749-1827) Gauss (1777- 1855)
Poisson (1781 -1840) Chebyshev (1821 -1894)
Markov (1856 -1922)
“La Teoría de Probabilidad tiene por objetivo el análisis matemático de los eventos aleatorios”.
Clasificamos a los eventos que manifiesta la naturaleza en Determinísticos y Aleatorios.
Eventos determinísticos: Son aquellos que ofrecen exclusivamente un solo resultado.
Por ejemplo, el combinar (bajo condiciones apropiadas) dos partes de Hidrógeno con una de oxígeno, necesariamente resulta agua.
Eventos aleatorios: Son aquellos que ofrecen dos o más resultados.
Por ejemplo, en la lotería nacional el premio mayor se ofrece a las 50,000 personas que participan en el sorteo.
La vida en años de un componente electrónico es de 6, entonces un evento aleatorio puede ser que el componente falle antes de que
finalice el sexto año.
Claro esta que al efectuarse un evento aleatorio se presenta solamente un resultado, pero en repeticiones sucesivas del mismo evento
aleatorio los resultados pueden ser distintos.
Un evento determinístico carece de importancia para la teoría de probabilidad, por que se reduce a un caso trivial de esta. En realidad la
teoría de probabilidad siempre se ha dirigido al análisis de los eventos aleatorios.
2.2 DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS.
Lo que aquí se mencionará sobre conjuntos serán solo algunos principios elementales, se presentará la notación referente a
ellos y se hará una presentación axiomática de aspectos referentes a conjuntos.
Al iniciar este trabajo con conjuntos establezcamos que la idea conjunto es un concepto primitivo. No se da una definición de conjunto.
Nos basta, inicialmente, con cualquier idea intuitiva que tengamos. Respecto al la concepción primitiva de conjuntos aceptamos la
relación de pertenencia, para un conjunto cualquiera y un objeto indistinto: El objeto pertenece al conjunto o el objeto no pertenece
al conjunto.
Si un objeto pertenece a un conjunto. Diremos que tal objeto es un elemento de dicho conjunto.
Notación: b ∈ A ; b es un elemento de A
Axioma: Todo conjunto debe estar bien definido
El axioma anterior establece que si un supuesto conjunto no esta bien definido, no es conjunto.
Existen dos maneras de definir un conjunto, la primera se llama forma enumerativa a la segunda se llama representación descriptiva.
Forma enumerativa o por extensión del conjunto:
Es cuando se listan los elementos, se utiliza cuando el conjunto es pequeño o no existe una correlación en común para definir el
conjunto.
p.e.: U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }; A = { 1,2,3,5,7 }; B = { 0,2,4,6,8 }
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Forma descriptiva o por comprensión :
Existe una regla que permite describir los elementos del conjunto.
p.e. : A = { x | x es un numero primo } ó B = { x | x es un numero par }
* La línea | significa tal que.
SUBCONJUNTOS
Existen conjuntos tales que todos sus elementos pertenecen a otro conjunto.
Por ejemplo: A = { a, i, o } están en el conjunto B = { a, e, i, o, u }
Todos los elementos del conjunto múltiplos de tres pertenecen al conjunto de los enteros.
Cuando todos los elementos de un conjunto A pertenecen a un conjunto B decimos que el conjunto A es subconjunto del conjunto B.
Notación : Si un conjunto A es subconjunto de un conjunto B escribimos : A ⊂ B
Un conjunto A no es subconjunto de B, si existe un elemento de A que no este en B: A ⊄ B
Ejemplo: Sea A = {1,2,3,4,5 } y sea B = {1,3,5 }, C = { 2,4 }, D = {1,4 } y E = { 3,4,5,6 }.
Los conjuntos B, C y D son subconjuntos del conjunto A, E ⊄ A
Sea A = { 1,3,5,7,9 } y sea p(x) = {x |x es par }, entonces el conjunto formado por los elementos de A que hacen verdadera a la
proposición p(x) es {x ∈ A | p(x) es verdadera }, pero como en A no hay números pares entonces en dicho conjunto no hay elementos ,
pero es un conjunto y como no tiene elementos le llamamos conjunto vacío.
Notación: Al conjunto vacío lo denotaremos con el símbolo ∅.
Como consecuencia de la definición de subconjunto podemos concluir que todo conjunto es subconjunto de si mismo y que el conjunto
vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
Teorema: Todo conjunto es subconjunto de si mismo.
Teorema: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
Axioma: Existen conjuntos cuyos elementos son también conjuntos.
Definición: Al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto se le llama Potencia de dicho conjunto.
Ejemplo: Si S = {1,2,3 } la potencia de S es: P ( S ) = { ∅, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} }
En forma general para encontrar cuantos subconjuntos tiene un conjunto dado se usa la expresión 2 n, donde n es el número de
elementos del conjunto.
Otro conjunto importante es el llamado conjunto Producto Cartesiano, denotado por A x B, definido como el conjunto de parejas
ordenadas (a,b), donde a es elemento de A y b es elemento de B, esto es A x B = { (a,b) | a ∈ A y b ∈ B }
Sean a,b ∈ X, definimos la pareja ordenada formada por a y b [ y la denotamos (a,b)] por: (a,b) ={{a},{a,b}}.
Ilustremos el concepto de pareja ordenada con algunos ejemplos :
1. Sea A = { 1,2 } hay entonces cuatro parejas ordenadas de elementos de A x A. A x A = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) }
2. Sean A ={ a,b }, B ={ c,d }, hay cuatro parejas ordenadas tales que el primer elemento pertenece a A y el segundo a B:
A x B = { ( a,c ),( a,d ), ( b,c ),( b,d ) }
3. Sea A = {1,2,3} hay nueve parejas ordenadas de elementos de A x A
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A x A = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) }
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
Definición: Sean A y B conjuntos, una relación entre A y B es un subconjunto del producto cartesiano A x B, entonces existen 2 n
posibles relaciones entre A y B, donde n es el número de parejas ordenadas en A x B.
Si A = { a,b } y B = { 1,2 } entonces A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)} por lo que el numero de relaciones es 2 4 = 16 que
corresponde al conjunto potencia de A x B
⇒ pot ( A x B ) = { {(a,1)}, {(a,2)}, {(b,1)}, {(b,2)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,1),(b,1)}, {(a,1),( b,2 )}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,2)},
⇒ {(b,1),(b,2)}, {(a,1),(a,2),(b,1)}, {(a,1),(a,2),(b,2)}, {(a,2),(b,1),(b,2)}, {(a,1),(b,1),(b,2)}, { },
⇒ {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} }
1) Sea A = ∅, B arbitrario, entonces A x B = ∅ y por lo tanto la única relación posible entre A y B es la vacía. Análogamente si B =
∅.
2) Si A = {a} y B = {b} entonces A x B = { (a,b) }, existen dos relaciones entre A y B, la vacía y la total.
2.3 OPERACIONES CON CONJUNTOS
Al número de elementos de un conjunto A se le llama tamaño del conjunto (también cardinalidad o cardinalidad del conjunto) y se
denota por con η(A).
Si A ∩ B = ∅, esto es, si A y B no tienen elementos en común, entonces se dice que A y B son mutuamente excluyentes, disjuntos o ajenos.
Sean A y B conjuntos arbitrarios.
1) La Unión de A y B, expresada por A ∪ B , es el conjunto de elementos que pertenecen a A y/o B:
A ∪ B = { x | x ∈ A ∧ / ∨ x ∈ B }
Ejemplo 1: Ejemplo 2 : Ejemplo 3 :
A y B son disjuntos A y B no son disjuntos B ⊂ A
Mutuamente excluyentes No M. E.
A = { 1,2,3 } A = { 1,2,3 } A = { 1,2,3,4 }
B = { 4,5,6 } B = { 2,4,6 } B = { 3,4 }
A ∪ B = {1,2,3,4,5,6} A ∪ B = { 1,2,3,4,6 } A ∪ B = {1,2,3,4}
η(A ∪ B) = η(A) + η(B) η(A ∪ B) = η(A) + η(B) - η(A ∩ B) η(A ∪ B) = η(A) + η(B) - η(A ∩ B)
η(A ∪ B) = η(A) + η(B) - η(B)
η(A ∪ B) = η(A)
La Intersección de A y B, expresada por A ∩ B , es el conjunto de elementos comunes a A y a B:
A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
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Ejemplo 1: Ejemplo 2 : Ejemplo 3:
A y B son ajenos ó M.E. A y B no son ajenos B ⊂ A
A = { 1,2,3} A = { 1,2,3 } A = { 1,2,3,4 }
B = { 4,5,6} B = { 2,4,5 } B = { 3,4 }
A ∩ B = ∅ A ∩ B = { 2 } A ∩ B = { 3,4 }
η(A ∩ B) = 0 η(A ∩ B) = η(A) + η(B) - η(A ∪ B) η(A ∩ B) = η(A) + η(B) - η(A ∪ B)
η(A ∩ B) = η(A) + η(B) - η(A)
η(A ∩ B) = η(B)
3) La Diferencia de A y B o el complemento relativo de B con respecto a A expresada por A – B (se lee que tiene A diferente de B), es
el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B: A - B = { x⏐x ∈ A ∧ x ∉ B }
Ejemplo 1: Ejemplo 2 : Ejemplo 3:
A = { 1,2,3} A = { 1,2,3 } A = { 1,2,3,4 }
B = { 4,5,6} B = { 2,4,5 } B = { 3,4 }
A - B = { 1,2,3 } A - B = { 1,3 } A - B = { 3,4 }
η(A - B) = η (A) η(A - B) = η (A) - η (A ∩ B) η(A - B) = η(A) - η(B)
SUBCONJUNTO
M.E. N.M.E.
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4) El complemento absoluto o, simplemente complemento de A, expresado por A, es el conjunto de elementos que no pertenecen a
A: A= {x ⏐x ∈U ∧ x ∉ A }
Sea: U = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } y A = { 1,2,3 }, entonces A = { 4,5,6,7,8,9 }
O sea que A es la diferencia entre el conjunto universal U y el conjunto A. U - A = A= A’
LEYES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
η (A’) = η (U) -η (A)
1a. A ∪ A = A ; A ∩ A = A Leyes de igual potencia
2a. ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ); ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) Leyes asociativas
3a. A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A Leyes conmutativas
4a. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) Leyes distributivas
5a. A ∪ ∅ = A; A ∩ ∅ = ∅; A ∪ U = U; A ∩ U = A Leyes de identidad
6a. A ∪ A = U; A ∩ A = ∅; (A′)′ = A; U = ∅ Leyes de complemento
7a. ( A ∪ B ) ‘ = A’ ∩ B’; ( A ∩ B ) ′ = A ∪ B Leyes de De Morgan
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Ejemplos: Sean U = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }, A = { 2,4,6 }, B = { 1,3,5 }, C = { 7,8,9 },
1) Entonces A ∪ A = {2,4,6 } y A ∩ A = { 2,4,6 }
2) Entonces A ∪ B = { 1,2,3,4,5,6 }, A ∩ B = ∅, B ∪ C = { 1,3,5,7,8,9 }, B ∩ C = ∅ y
por lo tanto ( A ∪ B ) ∪ C = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }; A ∪ ( B ∪ C ) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
( A ∩ B ) ∩ C = ∅ ; A ∩ ( B ∩ C ) = ∅
3) Entonces A ∪ B = { 1,2,3,4,5,6 } y B ∪ A = { 1,2,3,4,5,6 }
A ∩ B = ∅ y B ∩ A = ∅
4) Sean A ={ 2,4,6 }, B={ 1,3,4 }, C={ 4, 8, 9 },
Entonces A ∪ B ={ 1,2,3,4,6 }, A ∪ C ={ 2,4,6,8,9 }, B ∩ C={ 4 }
por lo tanto A ∪ ( B ∩ C ) = { 2,4,6 } y ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) = { 2,4,6 }
5) Entonces A ∪ B ={ 1,2,3,4,5,6 }, A ∩ B = ∅ , A′ = { 1,3,5,7,8,9 }, B′ = { 2,4,6,7,8,9 },
por lo tanto ( A ∪ B )′ = { 7,8,9 } y A′ ∩ B′ = { 7,8,9 }
( A ∩ B )′ = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } y A′ ∪ B′ = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
2.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE CONJUNTOS
1) Supongamos que una empresa clasifica a sus empleados de la siguiente manera:
Existen 14 empleados con buen sueldo (S), 11 empleados con un buen futuro (F), 14 trabajadores con un buen plan de jubilación (J),
además se conoce que la compañía tiene 3 empleados con buen sueldo y con buen futuro, 5 con buen sueldo y buen plan de jubilación,
4 subordinados con buen futuro y buen plan de jubilación y un dependiente con buen sueldo, futuro y plan de jubilación.
a)¿Cuántos empleados tiene la compañía?
b)¿Cuántos empleados tienen solo buen suelo ?
c)¿Cuántos empleados tienen solo buen futuro ?
d) ¿Cuántos empleados tienen solo buen plan de jubilación ?
1
1
6
Solución:
A
D
3
2
4
5
1
8
9
B
7
10
1
1
C
1
⊃
1) Construcción del diagrama de Venn asociado:
Sea ⊃ = {x|x∈Z + ∧ 1≤ x ≥15}
A = {1,2,3,4,5,6,7,8}
B = {4,5,6,7,8,9,10}
C = {10,11,12}
D = {3,4}
a ) η (U) = η ( S ∪ F ∪ J ) ∪ η ( S′ ∩ F′ ∩ J′ )
η ( S ∪ F ∪ J ) = η (S ) + η ( F ) + η ( J ) - η ( S ∩ F ) -
η ( S ∩ J ) - η ( F ∩ J ) + η ( S ∩ F ∩ J )
η ( S ∪ F ∪ J ) = 14 + 11 + 14 - 3 - 5 - 4 + 1 = 28
del diagrama de Venn se tiene que η (S′ ∩ F′ ∩ J′ ) = 22
por lo tanto η ( U ) = 28 + 22 = 50
b ) Empleados que tienen buen sueldo = S - ( F ∪ J ) , por lo tanto η ( F ∪ J ) = η ( F ) + η ( J )- η ( F ∩ J) luego η [ S - ( F
∪ J ) ] = 7
6

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c ) Empleados que tienen buen futuro = F - ( S ∪ J ) , por lo tanto η [ F - ( S ∪ J ) ] = 5
d ) Empleados que tienen buen plan de jubilación = J - ( S ∪ F ) , por lo tanto η [ J - ( S ∪ F ) ] = 6
7

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2)Unos amigos llegaron a una fonda a comer tacos al pastor. La meserá tomo la orden de tacos, de los cuales 18 deberán tener cebolla,
23 salsa picante y 29 cilantro. Además anotó que nueve sólo llevaban cilantro y picante, tres solo picante, ocho sólo cilantro y cinco los
tres ingredientes.
a) ¿Cuántos tacos llevaban cebolla y picante, pero no cilantro?
b) ¿Cuántos cebolla y cilantro, sin picante?
c) ¿Cuántos sólo cebolla?
d) Si los tacos cuestan tres pesos y además se consumieron cuatro refrescos de ocho pesos cada uno, ¿a cuánto asciende la cuenta?
e) ¿Cuántas personas eran?
6, 7, ninguno, 146 pesos total de tacos 38, no se puede saber pero probablemente fueron cuatro
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DIAGRAMA DE ÁRBOL
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Es un gráfico que presenta todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en
un número finito de maneras.
1) Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde un dólar. El hombre empieza con un
dólar y dejará de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su dinero o si gana tres dólares. Esto es, si tiene cuatro. Hallar el número de
casos en que la apuesta puede ocurrir.
Solución
Observar del diagrama de árbol que se suspenderá la apuesta en solamente tres casos.
2)Cuantas maneras hay para contestar un examen de 4 preguntas cuya opción es F y V si una persona contesta al azar el examen.
2 4 = 16 Maneras
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3) Cuantos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4 sin repetición.
Como se ve algunos experimentos generan demasiados resultados en donde el diagrama de árbol resulta inconveniente; por esta razón
se necesitan utilizar las técnicas de conteo.
Técnicas de conteo.- Son métodos que nos permiten conocer el número total de resultados de un experimento, sin enumeración
directa.
Principio de multiplicación.- Supongamos que un experimento, designado como 1 puede hacerse de n1 maneras. Supongamos que un
segundo procedimiento designado como 2 se puede hacer de n2 maneras diferentes y así sucesivamente entonces el total de resultados
posibles de un experimento viene dado por n1 x n2 x n3 x nk hay n k posibles formas.
Principio de Adición.- Supongamos que un procedimiento, designado como 1, se puede hacer de n1 maneras. Supongamos que un
segundo procedimiento designado como 2 se puede hacer de n2 maneras. Supongamos además que no es posible que ambas 1 y 2, se
hagan juntas. Entonces el número de formas como se puede hacer 1 ó 2 es n1 + n2.
Generalizando para K procedimientos, n1 + n2 + n3 ... + nk.
10

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Pr incipio Multiplicativo
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
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Si
1)
n1
≠ n2
≠ n3
≠ ... ≠ nk
Principio Multiplicativo
n1
* n
Si
2)
Si
n
1
2
* ... *
= n
2
= n
k
n
= ... = n
3)
n2
= n1
−1,
n3
= n2
−1,...,
nk
= nk
Entonces :
⎧ ⎧simples
⎪ ⎪
⎪Todos⎨Circulares
Permutaciones⎨
⎪
⎪ ⎩Re
petición
⎪⎩
Algunos
⎧Todos
Combinaciones⎨
⎩A
lgunos
No importa el orden
Ejemplo:
1) Si no se permiten repeticiones cuantos números de 3 dígitos diferentes se pueden formar con los siguientes 6 dígitos 2-3-5-6-7-9
6 × 5 × 4 = 120 Números diferentes con los 6 dígitos
¿ Cuántos números son pares ? 5 × 4 × 2 = 40 Números pares
¿ Cuantos números son impares ? 5 × 4 × 4 = 80 Números impares
2) Un almacén tiene siete puertas regulares y cinco de emergencia, que solo pueden abrirse por dentro. ¿De cuantas formas puede una
persona entrar y salir de la tienda?
n1=7 ; n2=12 ; n1n2 = 7 x 12 = 84 maneras
3) De cuantas formas diferentes se puede responder un examen que consta de 4 preguntas de falso y verdadero si un estudiante
contesta el examen al azar.
n1=2 n2=2 n3=2 n4=2 ; n1=n2=n3=n4 ; nk=24=16 4) Cuantos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4 sin repetición.
n1=4 n2=3 n3=2 ; n2=n1-1 ; n3=n2-1 ; 4*3*2=24
n
k
3
k
−1
−1
11

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Para aplicar las técnicas de conteo de permutaciones y combinaciones se hace necesario recordar el concepto de:
NOTACIÓN FACTORIAL
El factorial de un número es el producto de los enteros positivos desde uno hasta n, se emplea con mucha frecuencia y se denota por
símbolo n! que se lee “n factorial” por otra parte se define el cero factorial como:
0!=1; 1!=1; 2!=1*2=2; 3!=1*2*3=6; 4!=1*2*3*4=24
Calcular:
a) 13!
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
13 12 156
11!
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
=
× × × × × × × × × × × ×
= × =
× × × × × × × × × ×
b) 16! 16 × 15 × 14!
=
= 16 × 15 = 240
14!
14!
c)
7!
7!
1
=
=
10! 10 × 9 × 8 × 7!
10 × 9 × 8
=
2.5 PERMUTACIONES
1
720
DEFINICIÓN: Una permutación es un arreglo de todos ó algunos elementos, en donde una permutación es diferente de otra si el arreglo
ó el contenido es diferente.
Ejemplos:
-Permutaciones diferentes en arreglo: 123 ≠ 132
-Permutaciones diferentes en contenido: 123 ≠ 124
a) Se puede permutar los n elementos tomándolos todos a la vez.
b) O bien se puede permutar los n elementos tomando parte de ellos a la vez donde (r < n).
PERMUTACIONES SIMPLES:
a) Tomando todos los elementos de un conjunto a la vez.
Teorema 1: Si S es un conjunto y η(s) = η entonces el número de permutaciones posibles utilizando todos los elementos de S a la
vez, es : P (n,n) se lee permutaciones de n elementos tomando n a la vez.
Ejemplo 1: Hay cinco personas que se van a formar en una fila. De cuantas maneras diferentes se pueden formar ?
P ( 5,5 ) = 5! ó 5*4*3*2*1= 120 maneras
Ejemplo 2: Debe asignarse a siete hombres a siete trabajos diferentes de cuantas formas se puede hacer ?
P ( 7,7 ) = 7! ó 7*6*5*4*3*2*1 = 5040 maneras
Ejemplo 3: En una operación de manufactura, una pieza se produce por maquinado, pulido y pintado. Si hay tres herramientas de
maquinado, cuatro herramientas de pulido y tres herramientas de pintado, ¿cuántas rutas diferentes para una pieza son posibles?
Por la regla de multiplicación: 3× 4× 3= 36
b) Tomando parte de los n elementos a la vez.
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Teorema 2: Sea S un conjunto y η(S) =η entonces el número de subconjuntos ordenados de S, cada uno con r elementos donde ( r <
n ) es:
P ( n,r ) = n( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ..... ( n - r+1 )
La notación P ( n,r ) se lee “ El número de permutaciones de n elementos tomando r a la vez ”
ó bien:
n!
P( n, r)
=
( n − r)!
Ejemplo 1 Sea S = { Pérez, López, González, Moreno } de este conjunto se escogerán 2 personas para los puestos de gerente y
supervisor, de cuantas maneras se puede hacer.
η ( S ) = 4 ; r = 2 ; P ( 4,2 ) = 4 x 3 = 12
4!
24
P( 4, 2)
= = = 12
( 4 − 2)!
2
Ejemplo 2 La presidencia, la vicepresidencia y la tesorería de una compañía, están vacantes y hay ocho candidatos.
¿De cuantas maneras pueden ser ocupadas las vacantes?
η( S ) = 8 ; r = 3 ; P ( 8,3 ) = 8 x 7 x 6 = 336 formas diferentes
8!
8!
P( 8, 3)
= = = 336
( 8 − 3)!
5!
Ejemplo 3: Hallar “n” si P(n,4) = 42 P(n,2)
Solución
P(n,4) = n(n-1)(n-2)(n-3) y P(n,2) = n(n-1)
n(n-1)(n-2)(n-3) = 42 n(n-1) entonces (n-2)(n-3) = 42 ó n 2 – 5n + 6 - 42 = 0
n 2 – 5n – 36 = 0 ó (n-9)(n+4) = 0 Luego la respuesta debe ser positiva. Por ello n = 9
Teorema 3: Permutaciones con repetición
Si de los objetos , n1 son iguales , n2 son iguales...nk son iguales, entonces el número de permutaciones de los n objetos en donde n1
pertenece a la clase 1, n2 pertenece a la clase 2 y así sucesivamente.
k
n!
P ( n1,
n2
, n3...
nk
) = ; donde : n1 + n2 + n3 + ...+ nk = n ; De otra manera ∑ n i = n
n !. n !. n !... n !
n = 1
1
2
3
k
Ejemplo 1: Cuantas palabras diferentes de cinco letras se pueden formar con las letras de la palabra TATTY ?
n = 5 ; n1 = 3T ; n2 = 1A ; n3 = 1Y ; P ( 3,1,1 ) = 20 palabras diferentes.
5!
120
P ( 3,
1,
1)
= = = 20
3!
⋅1!
⋅1!
6
Ejemplo 2 :Cuantas señales diferentes, cada una de seis banderas colgadas en una línea vertical, pueden formarse con 4 banderas
azules y dos verdes idénticas.
i
13

n = 6 ; n1 = 4A ; n2 = 2V ; P ( 4,2 ) = 15 señales.
6!
720
P(
4, 2)
= = = 15
4! x2!
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PERMUTACIONES CIRCULARES
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Apuntes de probabilidad y estadística
Teorema 4: n objetos pueden distribuirse en un circulo de (n-1)(n-2)...(n-1)! maneras.
Ejemplo 1: ¿De cuantas maneras se pueden sentar 7 personas alrededor de una mesa redonda ?
Si estamos de acuerdo en que estas dos maneras de sentarse son iguales, entonces:
la primera persona que se siente puede escoger cualquiera de los asientos y solo servirá como referencia.
Por lo tanto la solución al problema anterior será:
Una persona puede sentarse en cualquier puesto en la mesa redonda. Las otras seis personas pueden acomodarse de 6 x 5 x 4 x 3 x 2
x 1 = 6! maneras alrededor de la mesa.
En general, n objetos pueden distribuirse en un circulo de (n-1) (n-2) ...(n-1)! maneras.
Ejemplo 2: ¿De cuantas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 ingleses, 2 italianos pueden sentarse en una mesa redonda de modo
que los de la misma nacionalidad se sienten juntos ?
(4-1)! x 3! x 4! x 4! x 2! = 41472 maneras. Observar que los de cada nacionalidad se consideran un paquete por ello (4-1)!
2.6 COMBINACIONES
Si “A” es un conjunto de n elementos, los subconjuntos de “A” que constan de “r” elementos se llaman también combinaciones de n
elementos de “A” tomados de “n” en “r”.
C n r el número de combinaciones de “n” elementos tomados de “n” en “r”; es decir, el número de subconjuntos con “r” elementos de un
conjunto de “n” componentes se denota por C n r.
n n( n − 1)( n − 2).....( n − r + 1)
Cr
=
r!
n = n n −1
n − 2 ... n − r + 1 y Pn=n!
así P ( )( ) ( )
r
Entonces C
n
O
n n( n − 1)( n − 2)...( n − r + 1)
= ; ⇒ Cr
=
P
1* 2 * 3....
n
n r
r
n
n n!
Finalmente Cr
=
r!( n − r)!
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Esta es nuestra formula de combinaciones. A los números de la formula C n r se les acostumbra llamar coeficientes binomiales
pues aparecen como coeficientes en el desarrollo de la formula del binomio de Newton.
n 0 n 1 n −1 2 n − 2 2 ( a + b) = C a + C a + C a b .... + C b
n
n
n
(C 0 r= 1), pues es el número de subconjuntos de “A” que no tienen elementos de los cuales hay uno solo, el conjunto vacío ∅
Ejemplo 1. Un examen consta de 13 preguntas, si se tienen que contestar 10 de estas preguntas cuantas formas diferentes existen de
contestarlas:
13!
a) C( 13, 10)
=
= 286 maneras posibles
10! ( 13 − 10)
!
8!
b) Cuantas maneras si las 5 primeras son obligatorias: C(
8, 5)
= = 56 maneras
5! x3!
Ejemplo 2. Una clase consta de 9 niños y 3 niñas
n n
n
a) De cuantas maneras se puede escoger un comité de 4
12 12x11x10x 9 11880
C(
12, 4)
= ( 4 ) = = = 495 comités
1x2x3x 4 24
b) Cuantos comités contarán con una niña exactamente
9 3 9x8x7
504
C ( 3 ) xC(
1 ) = = = 84(
3)
= 252 comités
1x2x3
6
c) Cuantos comités contarán al menos con una niña
Ejemplo 3: Un lote de 140 chips semiconductores se inspecciona escogiendo una muestra de cinco chips. Suponer que 10 de los chips
no cumplen con los requerimientos del cliente.
a)¿Cuántas muestras diferentes son posibles?
b)¿Cuántas muestras de cinco chips contienen exactamente uno no satisfactorio?
c)¿Cuántas muestras de cinco chips contienen al menos uno no satisfactorio?
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Solución
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a) El número de muestras de tamaño 5 es
140 140!
( 5 ) = = 416965528
5! 135!
b) Hay 10 chips no conformes y hay
130 130!
( 4 ) = = 11358880 formas de seleccionar 4 chips conformes. Por lo tanto, el número de muestras
4! 126!
130
que contiene exactamente un chip no conforme es 10 × ( ) = 113588800
4
c) El número de muestras que contienen al menos un chip no conforme es el total del número de muestras
140 130 140 130
menos el número de muestras que contienen chips no conformes ( 5 ) . Esto es ( 5 ) - ( 5 )
( 5 )
= 140!
130!
− = 130721752
5! 135!
5! 125!
Ejemplo 4: Un maestro de matemáticas iba a preparar una tarea de ejercicios sobre ecuaciones de segundo grado para sus alumnos.
Solo debía poner números, en lugar de los coeficientes a, b y c en la ecuación a x 2 + b x + c = 0, por lo que para cada ecuación decidió
lanzar un dado tres veces y usar como coeficientes los números que salieran. Sin embargo alguna de esas ecuaciones podría tener
raíces complejas y este tema aun no lo enseña el profesor.
a) ¿Cuantos casos hay en que las raíces de una ecuación son reales?
b) ¿Cuantos posibles valores existen para los coeficientes a, b y c?
c) ¿Cuántos casos hay en que en una de las ecuaciones salga una raíz real y otra imaginaria?
Solución
a) El calculo del par de soluciones en una ecuación a x 2 + b x + c = 0 es a través de:
− b ±
x =
b
2a
2 −
4ac
Es claro que si el discriminante es mayor o igual a cero las raíces serán reales:
2
2
2 b
b − 4ac
≥ 0 ⇔ b ≥ 4ac
⇔ ≥ ac
4
Si se sabe que los coeficientes a, b y c son números del conjunto {1, 2, . . . , 6}, sólo basta probar en que casos ocurre que:
2 ⎡b
⎤
≤ ⎢ ⎥
⎣ 4 ⎦
ac (solo la parte entera)
2 ⎡b ⎤
⎢ ⎥
⎣ 4 ⎦
Si b = 1, entonces = 0 no hay valores de a, c que cumplan la condición.
2 ⎡b ⎤
⎢ ⎥
⎣ 4 ⎦
Si b = 2, entonces = 1 solamente hay raíces reales si (a,c) = (1,1) {un posible valor}
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2 ⎡b ⎤
⎢ ⎥
⎣ 4 ⎦
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Si b = 3, entonces = 2 solamente hay raíces reales si (a,c) : (1,1) ; (1,2) ; (2,1) {3 posibles valores}
2
⎡b ⎤
⎢ ⎥
⎣ 4 ⎦
Si b = 4, entonces = 4 solamente hay raíces reales si (a,c) : (1,1) ; (1,2) ; (2,1) ; (2,2) ; (1,3) ; (3,1) ; (1,4) ; (4,1) {8 posibles
permutaciones}
2 ⎡b ⎤
⎢ ⎥
⎣ 4 ⎦
Si b = 5, entonces = 6 solamente hay raíces reales si (a,c) : (1,1) ; (1,2) ; (2,1) ; (2,2) ; (1,3) ; (3,1) ; (1,4) ; (4,1) ; (1,5) ;
(5,1) ; (1,6) ; (6,1) ; (2,3) ; (3,2) {14 posibles permutaciones}
2 ⎡b ⎤
⎢ ⎥
⎣ 4 ⎦
Si b = 6, entonces = 9 solamente hay raíces reales si (a,c) : (1,1) ; (1,2) ; (2,1) ; (2,2) ; (1,3) ; (3,1) ; (1,4) ; (4,1) ; (1,5) ;
(5,1) ; (1,6) ; (6,1) ; (2,3) ; (3,2) ; (4,2) ; (2,4) ; (3,3) {17 posibles permutaciones}
Finalmente al realizar la contabilidad final y por ser excluyentes:
0 + 1 + 3 + 8 + 14 + 17 = 43 casos en que las raíces de una ecuación son reales
b) El total de posibles valores para los coeficientes a, b y c, son 6 * 6 * 6 = 216
c) Casos hay en que en una de las ecuaciones salga una raíz real y otra imaginaria no es posible, pues las raíces imaginarias de una
ecuación de segundo grado ocurren por pares y el teorema fundamental del álgebra establece que en una ecuación de grado n tiene
precisamente n raíces complejas.
Ejemplo 5: En un torneo de ajedrez se jugaron 66 partidas, de tal manera que cada participante se enfrentó a otro ¿Cuántas personas
participaron en este torneo?
Solución
12 personas; 12C2 = 66
n
C
r
=
Pr
n(
n −1)(
n − 2)...(
n − r + 1)
=
r!
r!
n
para el caso:
n
C
2
n(
n −1)
2
= = 66 ⇒ n(
n −1)
= 132 ⇒ n − n −132
= 0
2!
( n −12)( n + 11)
= 0 ⇒ n = 12 Personas
Ejemplo 6: Un profesor de probabilidad y estadística posee cuatro mansiones, las cuales están en bosques de Las Lomas, en
Cuernavaca, en la zona residencial de Acapulco y en la bahía de Miami. Cada una de sus mansiones tiene lugar para dos autos tipo
limosina y tres de tamaño normal. Un auto normal puede quedarse en un lugar para limosina, pero lo contrario no es posible. Si el
profesor es dueño en total de tres limosinas Mercedes Benz, además de siete autos tamaño normal (cuatro Ferraris, dos Jaguares, y un
Mercedes Benz deportivo), ¿de cuántas maneras puede guardar 10 vehículos en sus cuatro casas?
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Solución
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Las 3 limosinas las puede guardar en cualquiera de los 8 sitios grandes (4 mansiones * 2 sitios grandes / mansión). Una vez hecho esto,
dispone de 17 lugares (5 grandes pues de los 8 disponibles se ocuparon 3 y 12 sitios normales, “4 mansiones * 3 sitios normales /
mansión”), mismos que pueden ser ocupados por los restantes 7 autos. Por eso, 8 C 3 * 17 C 7 = 56 * 19448 = 1’089,088 maneras de
guardar 10 vehículos en sus cuatro casas.
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