Problemas - Aeronaves

Chapter 1
Problemas - Aeronaves
1.1 Problema A.2
Se considera una avioneta con tren fijo en vuelo simétrico, sin balance, en un plano vertical, conla
atmósfera en calma, a un nivel de vuelo dado y en configuración de crucero (flaps sin deflectar). Se
supone que la polar es parabólica de coeficientes constantes y que el empuje suministrado por el
motor no depende de la velocidad de vuelo. Se pide:
1. Calcular la eficiencia aerodinámica máxima, Emax, y el coeficiente de sustentación óptimo,CLopt .
2. Calcular la velocidad (o velocidades) y el coeficiente de sustentación correspondiente en vuelo
horizontal, rectilíneo y uniforme.
3. Calcular el ángulo mínimo de planeo y la velocidad de vuelo correspondiente si se produce
una parada del motor.
Datos: masa, m = 950 kg; superficie alar, S = 14.7 m 2 ; coeficiente de sustentación máximo (sin
deflectar flaps), CLmax = 1.3; coeficientes de la polar (en configuración de crucero), CD0 = 0.03,
k = 0.073; empuje suministrado (al nivel de vuelo), TM = 1200 N; densidad del aire, ρ = 1.1 kg/m 3 .
1.1.1 Resolución del Problema A.1
Apartado 1
La eficicnecia aerodinámica máxima Emax viene dada por el valor máximo de CL
CD
max
aerodinámica a la que se produce la eficiencia máxima se puede obtener :
Emax = CL
CD
max
→
d CL
CD
dCL
= CD0 + kC 2 L − CL (2kCL)
(CD0 + kC2 L )2
→ CD0 + kC2 L − 2kC 2 L = 0
→ CD0 = kC2 L = CDi
= 0
. La relación
Lo que indica que para poder volar con Emax es necesario que el coeficiente de resistencia parasitaria,
CD0sea igual a la resistencia inducida, CDi . A partir de la definición de la resistencia inducida se
puede obtener la deficinición del CLopt
CDi = kC2 L
→ CLopt =
CD i
k
=
CD0
k
por lo que la relación de la eficiencia máxima se puede escribir como:
Emax = CL
CD
max
=
CDi
k
CD 0 +CD i
1
=
CD i
k
2CD0
1
=
2 kCD0

y para los datos de avión descritos para este problema:
Apartado 2
CLopt =
Emax =
CD0
k =
0.03
= 0.64
0.073
1
2 1
=
kCD0 2 √ = 10.68
0.073 × 0.03
Para el cálculo de la velocidad (o velocidades) y el coeficiente de sustentación correspondiente en
vuelo horizontal, rectilíneo y uniforme partimos de las ecuaciones del movimiento
W
g
W
g
dh 2
dt 2 = −W + L cos γ + T sin (γ + α − αT ) − D sin γ
dx 2
dt 2 = T cos (γ + α − αT ) − L sin γ − D cos γ (1.1)
las cuales se simplifican para el vuelo en crucero, situación conocida como vuelo rectilíneo horizontal
simétrico y estacionario, donde las aceleraciones horizontales y verticales son nulas con lo que las
ecuaciones 1.1 se reducen a
0 = L cos γ + T sin γ + α − αT − D sin γ
0 = T cos γ + α − αT − L sin γ − D cos γ
el ángulo de ataque, α, y el que forma el eje del motor con la dirección de la cuerda del ala, αT , son
generalmente pequeños. Si el avión está en lo que se conoce como vuelo en crucero, lo que implica
volar a altura constante, eso implica que γ = 0 , por lo que las ecuaciones ?? se reducen a
L = W (1.2)
D = T (1.3)
Es decir, en vuelos de crucero a velocidad constante (ó casi constante) la sustentación aerodinámica
es igual al peso del avión, y la resistencia aerodinámica igual al empuje del motor o motores del
avión, donde la sustentación y la resistencia vienen dados por la relación
L = 1
2 ρV 2 SCL = W (1.4)
= T (1.5)
D = 1
2 ρV 2 SCD = 1
2 ρV 2 1
S (CD0 + CDi ) =
2 ρV 2 S CD0 + kC2 L
de la primera ecuación podemos obtener una relación para substituir CLen la segund ecuación tal
que
W
1
2ρV 2 T =
S
1
2 ρV 2 S CD0 + kC2 1
L =
2 ρV 2 SCD0 +
2 kW
1
ρSV 2
2
CL =
la cual da una ecuación cuártica para resolver la velocidad que satisface la condición de vuelo
simétrico vertical tal que
V 4 − 2T
ρSCD0
2
kW
+
2
2 ρS
2
para poder obtener las raices de la ecuación elegimos
2
CD0
= 0

de donde se resuelve para las velocidades
V = ±
ρSCD0
a =
b =
ˆV = V 2
2T
ρSCD0
kW 2
2 ρS
2
CD0
ˆV 2 − a ˆ V + b = 0
ˆV =
a ± (−a) 2 − 4b
recordando que ˆ V = V 2
→ V = ˆV , por lo que
ˆV =
a ± (−a) 2
− 4b a ±
→ V = ±
2
T ± T 2 − 4CD0kW 2
ρSCD0
2
(−a) 2 − 4b
2
= ±
T ± T 2 − 4CD0kW 2
ρSCD0
las dos soluciones asociadas al signo negativo no son válidas por lo que solo se consideran las dos
soluciones asociadas a
la cual se puede reescribir como
⎧
⎪⎨
T
V = W
⎪⎩
V = [T ±√ T 2 −4CD 0 kW 2 ] 1 2
ρSCD 0
W
S
ρCD 0
⎡
⎤⎫
⎢
⎢
⎥⎪⎬
4kCD0
⎢1
±
⎥
⎣
1
− 2 ⎥
T ⎦
⎪⎭
W
para los datos del problema resulta que las velocidades son:
W
S
T
W =
V =
= m · g
S =
1200 N
950 kg · 9.81 m
s 2
950 kg · 9.81 m
s 2
14.7 m 2
= 0.128
= 633.98 N
m 2
⎧ ⎡
⎤⎫
1
⎪⎨
T W
⎢
2
W S ⎢
⎥⎪⎬
⎢1
±
4kCD0 ⎥
1
−
ρCD0 ⎣ 2 ⎥
⎪⎩
T ⎦
⎪⎭
W
1
2
→ V1 = 61.8 m/s
V2 = 26.7 m/s
es necesario determinar si las dos velocidades son viables para volar, y para ello hay que utilizar el
dato del coeficiente de sustentación máximo, CLmax . No hay que confundir el CLmaxcon el CLopt .
El primero es un indicativo de cual es la velocidad mínima a la que puede volar el avión., mientras
3
1
2

qu el segundo es el asociado al coeficiente de sustentación para mínimo empuje (máxima eficiencia
aerodinámica). Para calcular la velocidad mínima de vuelo se utiliza la expresión de la sustentación,
y se utiliza para calcular la velocidad mínima a la que se puede soportar el peso (W) del avión
L = W = 1
2 ρV 2
SCL → Vmin = Vs =
2W
ρSCLmax
= 28.5 m/s
donde se ve que la velocidad más pequeñas de las dos calculadas no es viable ya que es inferior a la
velocidad mínima, por lo que solo V1 = 61.8 m/s es válida.
Apartado 3
El cálculo del ángulo mínimo de planeo y la velocidad de vuelo correspondiente si se produce una
parada del motor corresponde a las ecuaciones de subida y descenso que vienen dadas por
L = W cos γ
T = D + W sin γ
→ T = 0 → L = W cos γ
D = −W sin γ
por conveniencia asuminos que para descenso, gamma es positivo por debajo del plano horizontal
por lo que tenemos
L = W cos γ
D = W sin γ
para obtener el ángulo de planeo dividimos ambas expresion
D
L
= CD
CL
= tan γ
γ = arccos CD
de donde se deduce que para volar con míonimo ángulo de ataque se tiene que volar con máxima
eficiencia aerodinámica, es decir
γ = arccos CD
CL
CL
= arccos
1
Emax
pero para ángulos pequeños (γ ≪ 1 en radianes) podemos asumir que tan γ ≈ γ por lo que
γ =
1
Emax
= 1
= 0.0936 rads = 5.36◦
10.68
La velocidad de vuelo correspondiente al vuelo en planeo con mínimo ángulo se corresponde con
la velocidad de vuelo óptima con CLopt
Vγmin =
2W
ρSCLopt
4
= 40.63 m/s

1.2 Problema A.3
Se considera un avión de peso W , superficie alar S y polar parabólica. Cuando está volando a
una altura H = 10000m se le paran todos los motores y tiene que bajar planeando. Hay un
aeropuerto situado a 150 km y el piloto intenta llegar a él descendiendo con el mínimo ángulo
posible. Despreciando la variación de la densidad del aire ρ con la altura (por simplicidad, ya que
no es una hipótesis muy realista), y la del peso W con el consumo de combustible, se pide:
1. Determinar el mínimo ángulo de descenso.
2. Analizar si el avión podrá alcanzar el citado aeropuerto.
3. Calcular la velocidad de vuelo del avión durante el planeo.
Datos: peso W = 660000N; superficie alar S = 120m2 ; coeficientes de la polar CD0 = 0.018,
k = 0.04; densidad del aire ρ = 1.2kg/m3 .
1.2.1 Resolución del Problema A.3
Apartado 1
El cálculo del ángulo mínimo de descenso si se produce una parada del motor corresponde a las
ecuaciones de subida y descenso que vienen dadas por
L = W cos γ
D = W sin γ
para obtener el ángulo de planeo dividimos ambas expresion
D
L
= CD
CL
= tan γ
γ = arccos CD
de donde se deduce que para volar con míonimo ángulo de ataque se tiene que volar con máxima
eficiencia aerodinámica, es decir
γ = arccos CD
CL
CL
= arccos
1
Emax
pero para ángulos pequeños (γ ≪ 1 en radianes) podemos asumir que tan γ ≈ γ por lo que
γ =
1
Emax
donde la eficiencia aerodinámica máxima viene dada por máxima Emax viene dada por el valor
máximo de CL
. La relación aerodinámica a la que se produce la eficiencia máxima se puede
obtener :
CD
max
Emax = CL
CD
max
→
d
CL
CD
dCL
= CD0 + kC2 L − CL (2kCL)
(CD0 + kC2 L )2
= 0
→ CD0 + kC 2 L − 2kC 2 L = 0
→ CD0 = kC 2 L = CDi
Lo que indica que para poder volar con Emax es necesario que el coeficiente de resistencia parasitaria,
CD0sea igual a la resistencia inducida, CDi . A partir de la definición de la resistencia inducida se
puede obtener la deficinición del CLopt
5

CDi = kC2 L → CLopt
CDi = k
=
CD0
k
por lo que la relación de la eficiencia máxima se puede escribir como:
por lo que
Apartado 2
Emax = CL
CD
max
γ =
1
Emax
=
CDi
k
CD 0 +CD i
=
CD i
k
2CD0
1
=
2 kCD0
= 2 kCD0 = 0.05366 rads = 3.07 ◦
Para anlizar si el avión será capaz de alcanzar el aeropuerto que se encuentra a 150 km basta con
analizar trigonométricamente el problema teniendo en cuenta el ángulo de planeo mínimo calculado
en el apartado anterior tal como se indica en la figura 1.1
Figure 1.1: Maniobra de acercamiento sin motor.
x =
H
tan γmin
= 10 km
= 186.4 km
0.05366
por lo que el avión será capaz de recorreo 186.4km , y como el aeropuerto está a 150km si que
llegará.
Apartado 3
Para calcular la velocidad de vuelo del avión durante el planeo utilizamos
6

L = L 1
V =
2 ρV 2 SCLopt → L = W cos γmin
2W cos γmin
ρV 2 = 116.8 m/s
SCLopt
7

1.3 Problema A.4
Se considera una avioneta acrobática efectuando un ”looping” (vuelo simétrico, sin balance, con
el centro de masas describiendo una circunferencia de radio R en un plano vertical, con velocidad
constante V ), con la atmósfera en calma, a un nivel de vuelo dado. Se supone que la polar es
parabólica de coeficientes constantes y que las variaciones de densidad durante el ”looping” son
despreciables. Se pide:
1. Calcular el factor de carga, n, y el coeficiente de sustentación, CL, en un punto genérico del
”looping”.
2. Determinar el factor de carga máximo y el punto de la trayectoria en el que se produce.
3. Si sólo existiesen limitaciones aerodinámicas, calcular la velocidad mínima Vmin a la que es
posible realizar el ”looping” de radio R.
4. Hacer aplicación numérica al caso definido por los datos siguientes:
Datos: masa, m = 950 kg; superficie alar, S = 14.7 m2 ; coeficiente de sustentación máximo (sin
deflectar flaps), CLmax = 1.3; coeficientes de la polar (en configuración de crucero), CD0 = 0.03,
k = 0.073; densidad del aire, ρ = 1.1 kg/m3 ; velocidad de vuelo V = 70m/s; radio del ”looping”,
R = 166.5m.
1.3.1 Resolución del Problema A.3
Figura 1.2 representa una avioneta acrobática efectuando un ”looping”
Apartado 1
Figure 1.2: Avioneta acrobática efectuando un ”looping”.
Para el análisis del problema es necesario el emplear las ecuaciones del viraje circular uniforme
que son las asociadas a realizar un ”looping” (vuelo simétrico, sin balance, con el centro de masas
describiendo una circunferencia de radio R en un plano vertical, con velocidad constante V ) vienen
dadas por
8

T − D − W sin γ = 0
L − W cos γ = W V
g
2
R
para un viraje uniforme con el centro de masas describiendo una circumferencia de radio R implica
que la velocidad angular es constante, ω = ˙γ = const donde la velocidad angular viene dada por
ω = V
. el factor de carga viene dado por el ratio entre la sustentación y la resistencia, por lo que
R
si seleccionamos la segunda de las ecuaciones
y la dividimos por W nos resulta en
empleando la definición
L = W cos γ+ W
g
L
W
V 2
R
= n = cos γ+ V 2
γ = V
R t
tenemos que podemos representar el factor de carga en un punto genérico del ”looping” como
Rg
V
n = cos
R t
+ V 2
Rg
Para poder expresar el coeficiente de sustentación CLen un punto genérico del ”looping” se emplea
la deficición de sustentación tal que
L = 1
2 ρV 2 SCL → n = L
W = cos V
R t 2
V + Rg → ρV 2
SCL V
= cos
2W
R t
+ V 2
Rg
CL = 2W
ρV 2 S cos V
R t + 2W
ρRgS
con lo que tenemos las relaciones del factor de carga, n, y el coeficiente de sustentación, CL, en un
punto genérico del ”looping”
Apartado 2
Para determinar el factor de carga máximo y el punto de la trayectoria en el que se produce
analizamos la relación que nos define el factor de carga en función del ángulo γ en cada uno de los
4 puntos definidos en la figura 1.2
n = cos γ +
se observa que dado que la velocidad V y el radio de giro R son constantes, el valor máximo del
factor de carga se dará cuando el término cos γ sea máximo
• en el punto a → cos γ = cos (0) = 1
• en el punto b → cos γ = cos (90 ◦ ) = 0
• en el punto c → cos γ = cos (180 ◦ ) = −1
• en el punto d → cos γ = cos (270 ◦ ) = 0
por lo que el factor de carga máximo se encuentra en la parte inferior del ”looping” (a), y su valor
máximo es
nmax = 1 +
9
V 2
Rg
V 2
Rg

Apartado 3
Para calcular la velocidad mínima Vmin a la que es posible realizar el ”looping” de radio R, teniendo
en cuenta que sólo existiesen limitaciones aerodinámicas, es decir no hay limitaciones estructurales
del avión, es necesario determinar el CLmaxdel avión partiendo de la formula genérica del coeficiente
de sustentaciópn obtenida en el primer apartado
CL = 2W
ρV 2S cos
V
R t
+ 2W
ρRgS
2W
=
ρV 2 2W
cos (γ) +
S ρRgS
donde se puede observar que el valor máximo de sustentació ocurre al igual que para el factor de
carga, en el punto inferior del ”looping”, para el que γ = 0 y t = 0, por lo que
CLmax = 2W
ρV 2 2W
+
S ρRgS
de donde se puede obtener una relación para la Vmin
V 2 min
=
1
ρSCLmax
2W
1
−
gR
la cual determina la velocidad de entrada en perdida para un factor de carga máximo
Apartado 3
Para calcular la velocidad mínima Vmin a la que es posible realizar el ”looping” de radio R, teniendo
en cuenta que sólo existiesen limitaciones aerodinámicas, es decir no hay limitaciones estructurales
del avión, es necesario determinar el CLmaxdel avión partiendo de la formula genérica del coeficiente
de sustentaciópn obtenida en el primer apartado
Apartado 4
CL = 2W
ρV 2S cos
V
R t
+ 2W
ρRgS
2W
=
ρV 2 2W
cos (γ) +
S ρRgS
Para hacer una aplicación numérica al caso definido por los datos siguientes se utilizan las ecuaciones
resultantes de las diferentes secciones previas
V
n = cos
R t
CL = 2W
ρV 2 S cos
10
+ V 2
Rg
V
R t
+ 2W
ρRgS

1.4 Problema A.5
Se considera un avión realizando un viraje horizontal uniforme con resbalamiento. Se pide:
1. Plantear las ecuaciones correspondientes, siendo φ el ángulo de balance y β el de resbalamiento.
2. Haciendo β = 0 obtener las ecuaciones del viraje sin resbalamiento (”viraje coordinado”).
3. Haciendo φ = 0 obtener las ecuaciones del viraje sin balance (”viraje plano”).
4. Calcular y comparar los radios de giro en los casos 2 y 3, para una misma velocidad de vuelo
V , suponiendo φ = β ≪ 1.
1.4.1 Resolución del Problema A.5
Figuras1.3 y 1.4 un avión realizando un viraje horizontal uniforme con resbalamiento.
Apartado 1
Figure 1.3: Avioneta acrobática efectuando un ”looping”.
Las ecuaciones del movimiento para el viraje horizontal uniforme vienen dadas por
las cuales se escriben como
Fxv = 0
2 V
Fyv = m
R
Fzv = 0
11

Apartado 2
Figure 1.4: Avioneta acrobática efectuando un ”looping”.
T cos β = D
L sin µ + T sin β = W
L cos µ =
g
W
Para el caso de β = 0, es decir en el que no existe resbalamiento, y el sistema de referencia del
avión apunta en la misma dirección que el vector velocidad las ecuaciones del movimiento para el
”viraje coordinado” se rescriben como:
T = D
L sin µ = W
L cos µ =
g
W
donde se observa que la componente L sin µ es la encargada de curbar y mantener la trayectoria
Apartado 3
Para el caso de φ = 0, es decir en el que el avión se mantiene nivelado con el plano horizontal, las
ecuaciones del movimiento para el ”viraje plano” se rescriben como:
T cos β = D
T sin β = W
L =
g
W
donde se observa que es la componente de T sin β la encargada de curvar la trayectoria
12
V 2
R
V 2
R
V 2
R

Apartado 4
Para calcular y comparar los radios de giro en los casos 2 y 3, para una misma velocidad de vuelo
V , y suponiendo φ = β ≪ 1, es necesario comparar las ecuaciones de ambos caso, las cuales se
reproducen
T = D
L sin µ = W V
g
2
Rµ
L cos µ = W
⇐⇒
T cos β = D
T sin β = W V
g
2
Rβ
L = W
donde Rµrepresenta el radio de giro para β = 0, y Rβrepresenta el radio de giro para µ = 0. Para
poder comparar expresamos los diferentes radios en función de el resto de variables seleccionando
las ecuaciones en Fyv
Rµ = W
g
V 2
L sin µ ⇐⇒ Rβ = W
g
V 2
T sin β
donde de la primer ecuación para µ = 0 podemos derivar una expresión del empuje en función del
ángulo de resbalamiento
T = D
cos β → Rβ = W V
g
2
D tan β
si dividimos ambos radios nos resulta en la siguiente relación
Rβ
Rµ
=
W V
g
2
D tan β
W V
g
2
L sin µ
si tomamos la hipóteis de φ = β ≪ 1 entonces tenemos que
Rβ
Rµ
= L sin µ
= L sin µ
L
≈
D tan β D
D tan β
y como L ≫ D entonces Rβ ≫ Rµ, por lo que en general los radios de giro en viraje plano son
muy grandes en comparación con los del viraje coordinado, que es como generalmente se realizan
las maniobras.
13

1.5 Problema A.6
Se pretende estimar la distancia recorrida en el suelo, y el tiempo empleado, en la maniobra de
despegue de un avión, con la atmósfera en calma, para lo que se consideran las siguientes hipótesis
simplificativas:
• la fase de rodadura se realiza con todas las ruedas en el suelo,
• la línea de acción del empuje es horizontal y pasa por el centro de masas del avión,
• el empuje suministrado por los motores no depende de la velocidad.
Se pide:
1. Indicar esquemáticamente en la figura las fuerzas y momentos que actúan sobre el avión.
2. Plantear las ecuaciones del movimiento.
3. Calcular la velocidad de rotación del avión VR
4. Despreciando las fuerzas de rozamiento y la resistencia aerodinámica, plantear la ecuación
que permite calcular la velocidad del avión V (t).
5. Obtener, a partir de la ecuación anterior, la distancia recorrida en el suelo y el tiempo empleado
en función de la velocidad.
6. Aplicar el apartado anterior al caso de un avión Boeing 747, de masa M = 3 × 10 5 kg, de
empuje máximo T = 6 × 10 5 N y con velocidad de despegue VLOF = 100m/s.
Dato: aceleración de la gravedad, g = 10m/s 2 .
1.5.1 Resolución del Problema A.6
Figura1.5 representa un avión en fase de rodadura.
Apartado 1
La figura 1.6 representan las fuerzas y momentos que actúan sobre el avión, donde hay que destacar
que µr es el coeficiente de rozamineto de las ruedas con el suelo.
donde MAes el momento aerodinámico generado por el ala del avión.
Apartado 2
Las ecuaciones del movimiento vienen dadas por
Fxv → W dV
g dt = T − D − µr (N1 + N2)
Fyv → L − W + (N1 + N2) = 0
Fzv → MA + N1x1 − N2x2 − µr (N1 + N2) zp = 0
de la segunda ecuacion podemos observar que
N1 + N2 = − (L − W )
14

esta relación la podemos emplear en la primera ecuación para convertirla en
W
g
dV
dt = T − D + µr (L − W )
utilizando las relaciones para la sustentación y la resistencia tenemos que
W
g
dV
dt = T − µrW − 1
2 ρV 2 S (CD − µrCL)
utilizando el modelo de polar parabólica CD = CD0 + CDi = CD0 + kC2 L , y asumiendo que durante
esta fase de despegue el ángulo de ataque α = θ = const, que el CL = const y que el CD = const
por lo que la ecuación de la dinámica viene dada por
Apartado 3
W
g
dV
dt = T − µrW − 1
2 ρV 2 S CD0 + kC 2
L − µrCL
Para calcular la velocidad de rotación, VR, es necesario el identificar que la rotación del avión se
produce justo en el instante en el que las fuerzas normales en el tren de aterrizaje del morro del
avión dejam de actuar, es decir N1 = 0. Por velocidad de rotación se considera la velocidad a la que
el avión es capaz de pivotar sobre el tren de aterizaje posterior devido a las fuerzas aerodinámicas
generadas por el avión en su fase de despegue. A partir de las ecuaciones generales del movimiento
previamente derivadas, aplocamos N1 = 0 resultando en:
Fxv → W dV
= T − D − µrN2
g dt
Fyv → L − W + N2 = 0
Fzv → MA − N2x2 − µrzpN2 = 0
por lo que empleando las dos últimas ecuaciones tenemos que
N2 = W − L → MA + (L − W ) (x2 + µrzp) = 0
donde el momento aeordinámico y la sustentación vienen dados por
MA = 1
2 ρV 2 ScCMy
L = 1
2 ρV 2 SCL
por lo que la ecuación de los momentos puede rescribirse como
1
2 ρV 2 ScCMy + 1
2 ρV 2 SCL − W (x2 + µrzp)
si sumimos que CMy(θ, δe) = const, es decir que tanto el ángulo de ataque (recordar que α =
θen configuración de despegue justo antes a la rotación), y que el timón de profundidad (δe) se
mantiene constante durante la maniobra de despegue, entonces podemos obterner una relación
para la velocidad de rotación VR
V 2 R
=
W (x2 + µrzp)
1
2ρS cCMy + CL (x2 + µrzp)
15

Apartado 4
Despreciando las fuerzas de rozamiento y la resistencia aerodinámica, las ecuaciones del movimiento
derivadas en la sección previa se reducen a
W
g
dV
dt = T − D − µr (N1 + N2) → T ≫ D + µr (N1 + N2) → dV
dt
≈ T g
W
= const
lo que implica que el avión se mueve aceleración constante, movimiento uniformemente acelerado,
y esta es la ecuación diferencial que permite calcular la velocidad del avión en todo momento de la
maniobra
Apartado 5
Para obtener, a partir de la ecuación anterior, la distancia recorrida en el suelo y el tiempo empleado
en función de la velocidad partimos de la ecuación diferencial y la manipulamos para opbtener la
distancia recorrida y el tiempo empleado
dV = T g
W
dt →
por lo que obtenemos la relación del tiempo empleado como
dV = T g
T
dt → V = g t
W W
t = W
T
1
g V
para obtener la relación de la distancia recorrida empleamosla relación
V =
por lo que en forma integral tenemos
dx = T
tdt
M
→
Apartado 6
dx
dt
T T
= g t =
W M t
dx = T
M
1 T
tdt → x =
2
M t2
Para aplicar el apartado anterior al caso de un avión Boeing 747, de masa M = 3×10 5 kg, de empuje
máximo T = 6 × 10 5 N y con velocidad de despegue VLOF = 100m/s, utilizamos las ecuaciones
previamente obtenidas
t = W
T
x =
1
g
V =
M
T V = 3 × 105 kg
6 × 105 100 m/s = 50 s
N
1 T
2 M t2 = 1 6 × 10
2
5 N
3 × 105 kg 502 = 2500 m
16

Figure 1.5: Avioneta acrobática efectuando un ”looping”.
17

Figure 1.6: Avioneta acrobática efectuando un ”looping”.
18