Cantidades Vectoriales

INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION
NOMBRE ALUMNA:
AREA : MATEMÁTICAS
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO
TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION
PERIODO GRADO FECHA DURACION
3 11 JUNIO 3 DE 2012 7 UNIDADES
INDICADORES DE DESEMPEÑO
Identifica las características analíticas de los vectores, para realizar las operaciones básicas
entre ellos.
Realiza el producto punto y vectorial entre vectores, aplicándolos en el cálculo de algunos
parámetros.
Resuelve problemas en diferentes contextos, para hacer uso de los vectores y sus
propiedades.
Desarrolla las actividades de la guía oportunamente.
Respeta la opinión y el trabajo de sus compañeras
CANTIDADES VECTORIALES: VECTORES
Bien sabes que todo lo que sea susceptible de ser medido se denomina magnitud y se clasifica
dentro de dos grupos: magnitudes ó cantidades escalares y magnitudes ó cantidades vectoriales.
En tu curso de física 1 (grado 10º) pudiste reconocer la diferencia entre cada una de ellas, pero de
todas maneras hagamos un pequeño “recorderis” de ello.
Cantidades escalares: Son aquellas cantidades físicas que quedan completamente
determinadas cuando se conoce su magnitud (valor numérico) y su respectiva unidad de
medida. La forma de operarlas está de acuerdo con las reglas elementales del álgebra. Son
ejemplos de cantidades escalares: El área, el volumen, la temperatura, el tiempo, la masa, la
densidad, la carga eléctrica, la energía, el trabajo, el espacio, la rapidez (magnitud de la
velocidad), la corriente eléctrica, el calor, la longitud (largo, ancho, alto), la potencia, la
densidad, entre otras.
Cantidades vectoriales: Son aquellas cantidades físicas que para quedar completamente
determinadas además de su magnitud y de su unidad de medida necesitan de una dirección y
de un sentido en el espacio. La forma de operarlas ya no es algebraicamente como las
escalares, sino que su tratamiento se realiza por medio de vectores los cuales se analizarán en
la presente guía. Son ejemplos de cantidades físicas vectoriales: La fuerza, la presión, la
velocidad, la aceleración, el desplazamiento, el peso, el torque, la cantidad de movimiento, el
impulso, el momento, entre otras. Estas cantidades vectoriales como dijimos anteriormente se
representan por medio de una flecha que recibe el nombre de vector.
Entramos ahora si en la presente guía a realizar el estudio de las cantidades vectoriales que son
de gran aplicabilidad en el estudio de efectos electromagnéticos, aeronáutica, mecánica, entre
otros.
Para su estudio abordaremos los vectores en el plano y en el espacio, veremos los conceptos
básicos que nos permitirán definir las operaciones básicas entre ellos y algunas de sus
aplicaciones. ¡Adelante! pues con el estudio del campo vectorial.
1

CONCEPTOS BÁSICOS:
VECTOR: Un vector es un segmento dirigido de recta con origen o punto de aplicación o cola y
con cabeza o punto terminal; un vector se representa por medio de una flecha y se acostumbra
a nombrarlo con letras mayúsculas (que puede ser en negrilla o con una flechita encima
de la letra). Así por ejemplo hablamos del vector A o del
vector A.
- Elementos de un vector: Un vector tiene magnitud, dirección y sentido.
Magnitud: Es el valor numérico o medida del vector. Se denomina también módulo.
Dirección: La da la recta que contiene al vector y está determinada por el ángulo que
forma el vector con el eje horizontal a la derecha de éste.
El sentido: Lo indica la flecha. Puede ser norte (N), sur (S), este (E), oeste (O), sureste
(SE), suroeste (SO), noreste (NE) o noroeste (NO).
Ten en cuenta que cuando te ubicas en un plano, el norte te queda arriba, el sur abajo, el este a la
derecha y el oeste a la izquierda.
Así por ejemplo, en el diagrama mostrado se tiene que:
B Vector: B
Magnitud: 3 unidades
120º Dirección: 120º
Sentido: Noroeste.
RECUERDA nuevamente: La dirección de un vector es el ángulo que forma el vector con el eje
horizontal a la derecha de dicho vector.
- Ubicación de vectores en el plano cartesiano:
Para ubicar vectores en el plano es necesario conocer sus tres elementos. Además es necesario
tener en cuenta que si nos dicen: ubicar en el plano cartesiano el vector C = 4 unidades , 60º S0 ,
significa que es un vector cuya magnitud es 4 unidades y que a partir del origen trazamos un vector
de 4 unidades hacia el Sur del Oeste, es decir, nos dirigimos hacia el Oeste y luego lo desviamos
60º hacia el Sur. Por lo tanto el vector ubicado en el plano cartesiano es:
Y
C
60º X
Observa que la dirección del vector anterior es 240º. ¿Por qué?
Nota importante: Cuando nos digan 60º SO es lo mismo que si nos dijesen O 60º S.
2

Mi profesor en clase ubicará los siguientes vectores en el plano e indicará la dirección de ellos en
los casos que no se conozca. Así que presta mucha atención a las observaciones que hará.
a. A = 7u; S 30º O e. E = 2 cm; SE i. I = 4u; dirección 270º
b. B = 2u; 30º NE f. F = 3 cm; E 60º N
c. C = 4u; O 20º N g. G =1 cm; O 10º S
d. D = 1u; E h. H = 3 cm; dirección 330º
Ubico cada uno de los siguientes vectores en el plano (de a cuatro
en un mismo plano) e indica la dirección de ellos.
a. A = 2u ; O 30º S f. F = 3 cm; NO
b. B = 1u ; 30º SE g. G = 3 cm; O 60º N
c. C = 4u; E 20º S h. H = 5 cm; S 10º E
d. D = 1u; O i. I = 3 cm; dirección 210º
e. E = 4u; dirección 180º j. J = 2 cm; dirección 90º
VECTOR EN POSICIÓN NORMAL Ó CANÓNICA: Un vector está en posición normal ó
canónica cuando ubicado en el plano cartesiano su cola coincide con el origen de coordenadas
y su cabeza está en cualquiera de los cuadrantes ó en cualquiera de los semiejes. A todo
punto en el plano cartesiano le corresponde un vector en posición canónica de tal manera que
su cola (ó punto inicial del vector) siempre será el origen del plano y su cabeza (ó punto final
del vector) estará en el punto dado.
VECTOR UNITARIO: Es aquél vector cuya magnitud, norma ó medida es igual a 1.
VECTORES “DIRECCIONALES” UNITARIOS EN DIRECCIÓN DE LOS EJES
COORDENADOS DEL PLANO CARTESIANO: En el plano cartesiano al punto (1, 0) se le
asigna un vector unitario en posición canónica (en la dirección positiva del eje x) que llamamos
y al punto (0, 1) se le asigna un vector unitario en posición canónica (en la dirección positiva
del eje y) que llamamos ; por lo tanto podemos concluir y tener presente que:
* En el plano:
* En el espacio:
i
j
= (1, 0) ; -
i = (-1, 0) ;
j = (0, 1) ; -
3
j
i
= (1, 0, 0) ; -
i = (-1, 0, 0) ;
j = (0, 1, 0) ; -
k = (0, 0, 1) ; -
k = (0, 0, -1)
¡Fui capaz!.
por fin
logré
alcanzarla
= (0, -1)
j
= (0, -1, 0)
i

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN POSICIÓN CANÓNICA: Como hemos dicho a todo
punto en el plano (ó en el espacio) se le asocia un vector en posición canónica; por lo tanto un
vector en el plano (ó en el espacio) se puede representar ó expresar por medio de un punto ó
por medio de sus componentes rectangulares en función de los vectores unitarios
4
,
j y
Por ejemplo: Sea el punto en el plano (a, b), a dicho punto le podemos asociar un vector en
posición canónica (digamos el vector ), por lo tanto a dicho vector lo podemos expresar así:
A
= (a, b) ó = a
i
i
+ b
j
Si el punto está en el espacio, digamos el punto (a, b, c), le podemos asociar el vector
Por ejemplo y tendríamos que: = (a, b, c) ó = a
i
+ b
j + c k .
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO: Si tomamos el vector
A = (a, b) en el plano cartesiano, las coordenadas a y b del punto reciben el nombre de
componentes rectangulares del vector A a lo largo del eje X y del eje Y respectivamente y se
escriben así:
Ax = a y Ay = b.
Ahora bien, si conocemos la magnitud ó medida del vector A y su dirección (ángulo que forma
el vector con el eje x a la derecha de éste), sus componentes rectangulares serán: Ax =
Acos y Ay = bsen, donde A es la magnitud del vector A y su dirección.
EN GENERAL gráficamente: (a, b)
A
X
y tenemos que: = (a, b) ó = a
i
Y
+ b j ó A=
Acos
i
+ Asen
MAGNITUD, NORMA Ö MÖDULO DE UN VECTOR: Se define la magnitud, norma ó módulo
de un vector como la medida de dicho vector. Si tenemos por ejemplo al vector
= a
+ b
A
j en el plano, la magnitud, norma ó módulo de dicho vector (notada A)
se
calcula así:
=
i
A
A
Si el vector está en el espacio como por ejemplo: ó = a
tenemos que: 2 2 2
= a b
c
B
B
A
A
A
2 2
a b
B
B
i
j
+ b j + c
B
k .
k , entonces

OPERACIONES BÁSICAS ENTRE VECTORES (Parte I):
Suma y/o resta (analíticamente): Para sumar y/o restar vectores analíticamente, se
suman y/o restan las componentes en las mismas direcciones respectivamente (como si
fuesen términos semejantes), así:
Sean los vectores: = a
+ = (a + d)
- = (a - d)
i
+ b
j + c k y B=
d
5
i
i
i
+ (b + e)
j + (c + f)
+ (b - e)
j + (c - f) k
k
+ e
j + f k , entonces:
NOTA IMPORTANTE: Si nos dan los vectores en posición canónica y conocemos sus
magnitudes y direcciones, para hallar su suma y/o resta es necesario primero hallar sus
componentes rectangulares y luego realizar las operaciones pedidas.
Producto de un escalar (número) por un vector: Para realizar la multiplicación de un
escalar por un vector se multiplica cada una de las componentes de dicho vector por el
escalar, así por ejemplo:
Sean: un escalar (número dado) y el vector = d
1. APORTE DEL PROFESOR...
A. Dados los vectores: = 3
Determino:
A
A
A
B
B
= d
- 2
j + 8 k , = - 4
1. + 2. 2 - 3 3. 3 - 2
4. Hallo un vector tal que: 7 - 2 - 3 = 10
i
i
i
+ e
j + f k
i
+ 8
j -
+ e
j + f k , tenemos que:
k y = -7
+ 13 k ,
B. Tres vectores tienen magnitudes de 9 m, 20 m y 7 m respectivamente y sus
direcciones son 60º,135º y 30º respectivamente; los ubico en el plano cartesiano y determino:
C
D
P ,
B
S P Q R
1. 2.
Q
A
A
A
y
B
B
i
B
A
D
R
3 P 2 Q
A
B
C
B
para poder entender la solución
de los siguientes ejercicios que
encuentra mi profesor en la
clase:
C

2. OTRO DE MIS VALIOSOS APORTES EXTRACLASE:
A. Del texto “Aciertos matemáticos” 10º que
encuentro en el bibliobanco desarrollo de la pág.
236 los ejercicios 1a, c ; 2 a, b, d y f; 3, 4 y 5.
B. Dados los vectores: = - 8
M
determino:
M
D
F
i
+ 3
j - 2
k , = 11
D
6
i
- 4
j y = 7
F
1. 2 + 3 - 2 2. ¿Será alguno de estos vectores unitarios?, ¿por qué?.
3. Determino un vector Q tal que: - 2 D = 3 Q - 5 + F
4. Verifico que el vector: es unitario.
D
D
i
- 15
k ,
C. Dado cada uno de los siguientes sistemas de vectores, halla en cada caso la magnitud del
vector resultante, su dirección y ubícalo en el plano cartesiano.
1. Y 2. Y
No Karen, no insistas, hoy no saldré
porque me iré pronto para mi casita
a hacer esta actividad
A = 3
T = 1 65º Q = 1
20º B = 2 30º
X X
70º 40º
R = 1 S = 1 35º
C = 4 D = 1
M