Aritmética y álgebra - Página de Jaime Pinto Rodríguez

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4.5. Potencia y raíz de un radical La potencia de un radical es igual al radical de la potencia. La raíz de un radical es otro radical de índice el producto de los índices, y de radicando, el mismo. 4.6. Racionalización a) En el denominador solo hay una raíz cuadrada Se multiplican el numerador y el denominador por dicha raíz cuadrada. b) En el denominador solo hay una raíz enésima Si se tiene una raíz enésima 1 , se multiplican el numerador y el denominador n √b n–p n √b p por Ejemplo = = = 6 · c) En el denominador hay una suma o resta con raíces cuadradas Se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de a+bes a–b,y viceversa. 5 √73 6 · 7 5 √ — 73 5 √ — 75 6 · 5 √ — 73 5 √ — 72 · 5 √ — 73 6 5 √72 Ejemplo = = = 7(√— 5 – √ — 7(√ 2 ) 3 — 5 – √ — 7(√ 2 ) 5 – 2 — 5 – √ — 2 ) (√ — 5 + √ — 2 )(√ — 5 – √ — 7 √ 2 ) — 5 + √ — 2 ● Aplica la teoría 19. Calcula mentalmente todas las raíces reales de los siguientes radicales: 4 3 a) √16 b) √–125 c) √–25 d) 5 √32 20. Escribe en forma de radical las siguientes potencias: a) 7 3/4 b) 5 –1/4 c) 3 –5/7 d) 2 1/3 21. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: a) 1 b) 6 √11 5 c) √3 1 d) 3 √2 22. Extrae mentalmente todos los factores que se pueda en los siguientes radicales: a) √18 b) √20 c) √27 d) √72 5 7 √52 23. Suma los siguientes radicales: 3 3 3 a) 5 √18 – 3 √50 + √98 b) 4 √40 + √625 – 2√135 Tema 1. Los números reales Operación Ejemplo ( ) p = n √a p n 5 3 5 √a ( √7 ) = √73 n √ p √ — = n·p Racionalizar una expresión consiste en eliminar los radicales del denominador, transformando la expresión en otra equivalente. a √a = 15 7 √7 24. Opera los siguientes radicales: 3 3 a) √20 · √12 5 b) √8 5 · √64 3 3 c) √12 : √6 5 5 d) √12 : √16 25. Las expresiones que están como potencia pásalas a radical y las que están como radical pásalas a potencia: a) ( ) 2 5 √7 5 √ 3 √ — Ejemplo = 3 · √ = — 3 √5 5 √ — 5 · √ — 5 Suma por diferencia Es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. ( + )( – ) = = ( ) 2 – ( ) 2 √5 √2 √5 √2 √5 √2 = 5 – 2 = 3 b) c) d) ( ) 2 4 7 √5 √5 3 3 √65 26. Expresa con un solo radical las siguientes expresiones: a) 3 b) √√ c) d) — √√ 8 — 5 √ 3 √ — 7 3 · √5 5 3 √ 4 √ — 5 27. Racionaliza las siguientes expresiones: 5 2 – √3 a) b) c) d) √ 2 + √3 28. Halla la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden 5 m, 4 m y 3 m — 7 + √ — 7 5 √13 3 3 5 √3 21
Aritmética y álgebra ■ Piensa y calcula 22 5. Logaritmos Halla el valor de x en los siguientes casos: a) 23 = x b) x3 = 125 c) 2x = 32 d) 103 = x e) x4 = 10 000 f) 10x = 1 000 000 Relación existente entre los números de la potencia an = p a es la base. n es el exponente, también llamado logaritmo. p es la potencia. a) La potenciación tiene por objeto calcular p, conocidos la base a y el exponente n b)La radicación tiene por objeto calcular la base a, conocidos p y n n a = √p c) La logaritmización tiene por objeto hallar el exponente o logaritmo n, siendo a ? 1 y p dos números reales positivos conocidos. n = loga p Logaritmnos decimales log 1 000 = 3 ï 10 3 = 1 000 log 100 = 2 ï 10 2 = 100 log 10 = 1 ï 10 1 = 10 log 1 = 0 ï 10 0 = 1 log 0,1 = –1 ï 10 –1 = 0,1 log 0,01 = –2 ï 10 –2 = 0,01 log 0,001 = –3 ï 10 –3 = 0,001 5.1. Logaritmo en base a El logaritmo en base a (a > 0, a ? 1) de un número p > 0 es el exponente x al que hay que elevar la base a para obtener el número p. Se representa por log a p log a p = x ï a x = p (logaritmo = exponente) Ejemplo log2 32 = 5 porque 25 = 32 Casos particulares a) loga a = 1 ï a1 = a b) loga 1 = 0 ï a0 = 1 En una potencia se da la base y el exponente y hay que hallar el resultado, mientras que en un logaritmo se da la base y el resultado y hay que hallar el exponente. Ejemplo Halla 5 3 Aplicando la definición de potencia: 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125 Ejemplo Halla el número al que hay que elevar 2 para obtener 32 Se decompone 32 en factores primos y se obtiene que 32 = 2 5 , luego el exponente es 5 5.2. Logaritmos decimales y neperianos Logaritmo decimal Los logaritmos decimales son los logaritmos en los que la base es 10. En este caso, la base 10 no se escribe. log p = x ï 10 x = p Ejemplo log 1 000 000 = 6 porque 106 = 1 000 000 Logaritmo neperiano Los logaritmos neperianos son los logaritmos en los que la base es el número e = 2,718281… Se representan por L o ln L p = x ï ex = p Ejemplo L 1 000 = 6,907755… Calculadora Las calculadoras tienen las teclas log garitmo neperiano. para el logaritmo decimal y ln para el lo
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