Aritmética y álgebra - Página de Jaime Pinto Rodríguez

I
bloque
Aritmética y álgebra
Tema 1. Los números reales
Tema 2. Matemática
financieras
Tema 3. Ecuaciones
e inecuaciones
Tema 4. Polinomios
Tema 5. Sistemas
de ecuaciones
e inecuaciones
Contenidos del bloque
Los temas del bloque comienzan con el estudio del número real, sus operaciones y el
uso de los logaritmos. Posteriormente se completa el estudio del álgebra y la resolución
de ecuaciones, inecuaciones y sistemas.

Pinceladas de historia
Hacia el número real
El concepto de número y su uso, que resulta tan familiar hoy para todos, se
elaboró de forma lenta. Entre todos los matemáticos que han intervenido en
la evolución de la matemática, posiblemente el más famoso en la teoría de
números es Fermat (1601-1665), que se considera su creador. La conjetura
de Fermat dice que no es posible encontrar cuatro números naturales positivos
x, y, z, n con n > 2 tales que x n + y n = z n . En 1994, Andrea Wiles encontró
una prueba completa de la conjetura.
En el siglo XIX los matemáticos alemanes Weierstrass, Cantor y Dedekind,
entre otros, culminaron el estudio del número axiomatizando el concepto de
número real.
Evolución del álgebra
El álgebra nace entre los babilonios y los egipcios. Los primeros llegaron a
usar un cálculo muy desarrollado y a resolver algunas ecuaciones lineales y
cuadráticas; los egipcios también resolvían ecuaciones, como aparece en el papiro
de Rhind, también llamado papiro de Ahmes por ser el escriba
Ahmes quien lo copió en el 1650 a. C.
En el pueblo griego sobresalió Diofanto de Alejandría (siglo III, período grecorromano),
que resolvió ecuaciones y sistemas lineales y no lineales que posteriormente
se han llamado diofánticas.
Es necesario recordar a Hipatia (370-415), astrónoma, filósofa y matemática,
considerada la primera mujer matemática. Se convirtió en maestra en el
Museo, institución dedicada a la investigación y la enseñanza que había sido
fundada por Tolomeo, y se hizo muy popular como matemática. Ganó tal
reputación que al Museo asistían estudiantes de Europa, Asia y África a escuchar
sus enseñanzas sobre la Aritmética de Diofanto. Escribió varios documentos,
entre ellos Sobre el Canon Astronómico de Diofanto, donde se habla
de ecuaciones de 1 er y 2º grado.
Los matemáticos indios y árabes resolvieron ecuaciones de 1 er y 2º grado. El
más conocido fue Al-Khuwarizmi, quien llegó a resolver ecuaciones de segundo
grado completas.
En el Renacimiento hay un avance en el desarrollo del álgebra. Niccolo
Tartaglia resolvió la ecuación x 3 + ax = b y reveló su solución a Gerolamo Cardano,
quien la publicó en su libro Ars Magna.
Más tarde, en la segunda mitad del siglo XVI, Vieta, que es conocido como el
iniciador del álgebra simbólica, hizo grandes avances en la resolución de
ecuaciones de 3 er y 4º grado.
En 1824, el matemático Abel demostró que no hay fórmulas de los coeficientes
de ecuaciones de grado 5 o mayor que den su solución. Con esto quedó
zanjado un problema que había durado tres siglos.
Karl Weierstrass
(1815-1897)
Hipatia
(370-415)

1
Los números reales
Aritmética y álgebra

Introducción
El conjunto de los números reales está formado por los números racionales
y los irracionales. Los números reales permiten resolver algunos problemas
cuya solución era imposible hallarla en el conjunto numérico
de los racionales; por ejemplo, el cálculo de la superficie y el volumen de
una esfera.
Los números reales se representan en la recta de forma que a cada punto
de ésta le corresponde un número racional o irracional. Se dice que los
números reales completan la recta, y por ese motivo se llama recta real.
En Matemáticas y en las ciencias aplicadas se puede operar con números
reales de dos formas: la primera es con total exactitud, que exige usar
los radicales simplificándolos lo más posible; la segunda es realizar los cálculos
de forma aproximada y resulta fundamental conocer el error que
se comete.
En este tema se estudian los radicales, que permiten operar con precisión,
y sus propiedades. También se estudian los logaritmos, que hacen
posible transformar una multiplicación en una suma, una división en una
resta, una potencia en un producto y una raíz en una división.
Los logaritmos tuvieron gran importancia porque simplificaban los cálculos
numéricos; hoy en día,con las calculadoras y los ordenadores,las operaciones
con radicales y logaritmos han cambiado sustancialmente.
Por ejemplo, la racionalización se utilizaba para dejar los resultados más
simplificados. Dejando solamente los radicales en el numerador, se consigue
que, cuando se desea realizar una aproximación más exacta del
resultado de la división,ésta no se tenga que comenzar de nuevo y se pueda
seguir dividiendo desde el orden de aproximación que se tuviese.
Actualmente, tanto con las calculadoras como con los ordenadores, los
cálculos se hacen con toda la precisión que se quiera en milésimas de
segundo.
Organiza tus ideas
son
irracionales
se representan
en la
racionales recta real
e con
• puntos
• intervalos
• entornos
Los números reales
incluyen el estudio de
sucesiones radicales logaritmos
con lo que se
opera
para
resolver
problemas
13

Aritmética y álgebra
■ Piensa y calcula
14
1. Números racionales e irracionales
Calcula mentalmente el volumen de un cubo de arista 2 m y escribe el valor exacto de la arista de un
cubo de volumen 2 m 3
4/5
1/7
1/2
–1 –2
–3
1
0 2
5 37
–2/3
– 3/7
–1/3
–7/3
–7
–54
4/13 – 28/47
1.1. Los números racionales
Los números naturales son los números 0, 1, 2, 3, 4, … Se usan para contar y
para ordenar los elementos de un conjunto. El conjunto de los números naturales
se representa por la letra
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
Representación gráfica:
El conjunto de los números enteros está formado por el conjunto de los números
naturales = {0, 1, 2, 3, …} y los números enteros negativos {–1, –2, –3, …}.
El conjunto de los números enteros se representa por la letra
= {0, ±1, ±2, ±3, …} = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}
Representación gráfica:
Representación gráfica:
Los números racionales se pueden expresar en forma decimal; pueden ser enteros,
decimal exacto si su expresión decimal es finita, o periódicos si su expresión decimal
es infinita.
Ejemplo
–3
= –3 Entero
1
–
5
= –2,5 Decimal exacto
2
17
12
0 1 2 3 ... ...
… … –3 –2 –1 0 1 2 3 … …
El conjunto de los números racionales está formado por el conjunto de los
números enteros = {0, ±1, ±2, ±3, …} y los números fraccionarios.
El conjunto de los números racionales se representa por la letra
= ; a, b é , b ? 0 = 0, 5, –3, , – , … ° ° a
° 2 4
¢
b
¢
3 7
¢
£
£
£
–
… … –3 –2 –1 0 1 2 3 … …
5
2
2
3
11
4
= 1,41666… = 1,41 ) 6 Decimal periódico mixto
° ¢£

1.2. Densidad de los números racionales
El conjunto de los números racionales es denso porque entre dos números racionales
hay infinitos números racionales.
Para demostrarlo es suficiente con probar que entre dos números racionales siempre
hay otro número racional.
Ejemplo
Entre los números racionales 3,1 y 3,2 se puede encontrar otro número racional
que puede ser
3,1 + 3,2
= 3,15
2
Observa que entre 3,1 y 3,15 está 3,125. Este proceso se puede repetir indefinidamente.
1.3. Los números irracionales
Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como cociente
de dos números enteros. Su expresión decimal no es ni exacta ni periódica.
Algunos ejemplos de números irracionales son:
5
√2 = 1,414213562… √7 = 1,475773161…
Número pi: π = 3,141592653…
Número e: e = 2,718281828…
1 + √5
Número áureo o de oro: f = = 1,618033988…
2
Representación gráfica:
1
1 √ e π
… … –3 –2 –1 0 1 φ 2
– √
2
– 2
3 … …
Ejemplo
= √22 +12 √5
● Aplica la teoría
1. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales:
a) 5/3 b) π c) √2 d) 1,23456…
2. Escribe cinco números racionales.
3. Escribe cinco números irracionales.
4. Escribe tres números racionales comprendidos entre 1/3
y 1/2
5. Representa gráficamente, de forma exacta:
a) √10
b) √13
√
2
1
0 1 2
– 5
6. Representa gráficamente, de forma aproximada:
a) √19
3
b) e c) √25
5
d) √300
√
3
– 5
Tema 1. Los números reales
3,125→
Calculadora
7. Calcula:
a) 3 –
2
3
5
+
6
5
b)
4
–
2
3
·
4 8
4 5 3
c) : ( – 7) d) ( – 2 +
3 5
3 6 8 )
√ –
8. Halla de forma exacta la diagonal de un cuadrado de lado
1 cm y escribe qué tipo de número es.
e x
9. Un rectángulo mide de largo x y de alto 1; por un lado
le cortamos un cuadrado de lado 1, y se obtiene un rectángulo
semejante.
a) ¿Cuánto mide x?
b) ¿Qué número conocido es x?
c) ¿x es racional o irracional?
5
π
(
2
2
x
√ –
=
1
=
7
3,141592654
=
3,15
3,1 3,2
1,414213562
=
1,475773162
2,718281828
√ 5 )
= 1,618033989
–
1 +
5
6
÷
15

Aritmética y álgebra
■ Piensa y calcula
16
2. La recta real
3
Representa en la recta real, de forma aproximada, los números y √7 = 2,64575131…
4
Números reales:
Racionales:
Irracionales
1/2
–2/3
–3/7
√
4/5
Enteros:
–1 –2 –3
–1/3
1/7
4/13
Naturales:
1
0 2
5 37
–7/3
–7
–54
– 23/47
– √ 3
– 2
√ – 5
3
√ – 7
4
7,12345678…
e
π
φ
Valor absoluto
y distancia
El valor absoluto de un número es
su distancia al cero.
Ejemplo
|3| = d(0, 3) = 3
|–3| = d(–3, 0) = 3
–3 0 1 3
2.1. Los números reales
El conjunto de los números reales está formado por los números racionales
y los irracionales. Se representa por la letra
Reales
2.2. La recta real
Se llama recta real a una recta en la que se representan los números reales. A cada número
real le corresponde un punto en la recta, y a cada punto de la recta le corresponde
un número real; por ello, se dice que los números reales completan la recta.
2.3. Valor absoluto
El valor absoluto de un número es el mismo número si es positivo, y el opuesto
si es negativo.
° a si a Ó 0
|a| = ¢
£ –a si a < 0
Ejemplo
|5| = 5 |0| = 0 |–7| = 7
2.4. Distancia
°
§
¢
§
£
Racionales
Ejemplo
d(3, 5) = |5 – 3| = |2| = 2
°
§
¢
§
£
d(–2, 3) = |3 – (–2)| = |3 + 2| = |5| = 5
d(–6, –1) = |–1 – (–6)| = |–1 + 6| = |5| = 5
Enteros ° Naturales (): 0, 1, 2, 3…
¢
£ Negativos: … –3, –2, –1
Fraccionarios: – , – , , …
7
3 1 2
2 4 3 6
Irracionales: π, e, f, √2 , √5 …
La distancia entre dos números reales es el valor absoluto de su diferencia:
d(a, b) = |b – a|
3
0 1 3 5
–2 0 1 3
–6 –1 0 1

2.5. Intervalos
Sean a y b dos números reales tales que a Ì b
Intervalo
Intervalo abierto:
(a, b) = {x é ; a < x < b}
Intervalo cerrado:
[a, b] = {x é ; a Ì x Ì b}
Intervalo semiabierto
o semicerrado:
[a, b) = {x é ; a Ì x < b}
(a, b] = {x é ; a < x Ì b}
Semirrectas:
(– @, b) = {x é ; x < b}
(– @, b] = {x é ; x Ì b}
(a, + @) = {x é ; x > a}
[a, + @) = {x é ; x Ó a}
2.6. Entornos
Ejemplo: E(3, 2) = {x é ; d(3, x) < 2} = {x é ; |x – 3| < 2} = (1, 5)
Ejemplo: E*(1, 3) = (–2, 4) – {1} = (–2, 1) U (1, 4)
● Aplica la teoría
Ejemplo
(2, 5) = {x é ; 2 < x < 5}
10. Representa en la recta real los siguientes pares de números
y calcula la distancia que hay entre ellos.
a) –3 y 2 b) –2,5 y 3,7
11. Escribe en forma de desigualdad y representa gráficamente
los siguientes intervalos, y clasifícalos:
a) [2, 5) b) (–2, 1) c) (–3, + @) d) (– @,3]
12. Escribe los intervalos que se representan en los siguientes
dibujos:
a)
0 1
b)
0 1
Tema 1. Los números reales
Representación
0 1 2 5
[–4, 3] = {x é ; –4 Ì x Ì 3} –4 0 1 3
[–1, 4) = {x é ; –1 Ì x < 4}
(–5, –2] = {x é ; –5 < x Ì – 2}
(– @, 3) = {x é ; x < 3}
(– @, –2] = {x é ; x Ì – 2}
(1, + @) = {x é ; x > 1}
[–4, + @) = {x é ; x Ó – 4}
Un entorno de centro a y radio r es el conjunto de números reales cuya distancia
al centro a es menor que el radio r
E(a, r) = {x é ; d(a, x) < r} = {x é ; |x – a| < r} = (a – r, a + r)
Un entorno reducido de centro a y radio r es un entorno al que se le ha quitado
el centro. Se representa por: E*(a, r)
E*(a, r) = E(a, r) – {a} = (a – r, a + r) – {a} = (a – r, a) U (a, a + r)
–1 0 1 4
–5 –2 0 1 3
–2 0 1
0 1 3
0 1
–4 0 1
a – r
a – r
r r
a a + r
2 2
0 1 3 5
r r
3 3
a a + r
–2 0 1 4
13. Representa gráficamente los siguientes entornos:
a) E(4, 1) b) E*(–3, 2) c) E*(2, 3) d) E(–2, 3)
14. Escribe los entornos que se representan en los siguientes
dibujos:
a)
0 1
b)
0 1
c)
0 1
d)
0 1
17

Aritmética y álgebra
■ Piensa y calcula
Evitar errores
habituales
No confundas nunca el subíndice
que acompaña a la letra a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,
que indica el lugar que ocupa el
término, con el valor del término.
Regularidades
Una sucesión es regular cuando
sus términos siguen una determinada
regla.
Valores de a n
18
3. Sucesiones de números reales
Escribe tres términos más en las siguientes sucesiones:
a) 2, 6, 10, 14, … b) 1, 2, 4, 8, … c) 3, – 3, 3, – 3, … d) 1, 1, 2, 3, 5, …
Y
6 2n + 5
a
5
n = —
n + 1
4
3
2
1
12345678910
Valores de n
X
3.1. Sucesiones de números reales
Una sucesión de números reales es un conjunto de números reales ordenados.
Es decir, cada número de la sucesión ocupa un lugar.
Los términos de la sucesión son cada uno de los números que forman la sucesión,
y se representan por una letra con un subíndice numérico que indica el
lugar del término.
Ejemplo
Los números: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... forman una sucesión que se puede representar
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , ...
a1 = 3 Significa que el número 3 ocupa el 1er lugar de la sucesión.
a2 = 5 El número 5 ocupa el 2º lugar de la sucesión.
a3 = 7 El número 7 ocupa el 3er lugar de la sucesión.
……………………………………………
3.2. Término general de una sucesión
El término general de una sucesión es una fórmula que relaciona el lugar n
que ocupa cada término con su valor. Se representa por a n
Con el término general se puede calcular cualquier término de la sucesión sustituyendo
en la fórmula la letra n por el lugar que se desea, es decir, dando a n
los valores 1, 2, 3, 4, 5…
Ejemplo
Escribe los 3 primeros términos de la sucesión an = 5n – 2
a1 = 5 · 1 – 2 = 3
a2 = 5 · 2 – 2 = 8
a3 = 5 · 3 – 2 = 13
3.3. Representación gráfica de una sucesión
Los términos de una sucesión se pueden representar en unos ejes coordenados. En
el eje de abscisas se representan los valores de n, y en el de ordenadas, los valores
de los términos an Ejemplo
Representa la sucesión an =
2n + 5
n + 1
a1 =
7
= 3,5 a2 =
9
= 3 a3 =
11
= 2,75…
2
3
4

3.4. Límite de una sucesión
El límite de una sucesión es el valor al que tienden los términos de la sucesión
cuando n toma valores muy grandes. Se representa:
an n8 + @
Se lee “límite cuando n tiende a más infinito de a sub n”
Ejemplo
Si en la sucesión an =
3n – 2
se representan sus términos, se observa que tien-
n
den a acercarse a 3 cuando n va creciendo. Se representa:
lím an = lím
3n – 2
= 3
n8 + @ n8 + @ n
3.5. El número e
a1 = ( 1 + ) 1 1
1
= 2
a2 = ( 1 + ) 2 1
a100 = ( 1 + ) 100 1
100
2
● Aplica la teoría
= 2,25
a3 = ( 1 + ) 3 1
= 2,704813829…
= 2,37037037…
a10 = ( 1 + ) 10 1
a1 000 000 = ( 1 + 1
1 000 000 )
3
lím
El número e es el límite de la sucesión an = ( 1 + ) n
1
( 1
+ ) n
lím
1
n8 + @
n
= e = 2,718281828…
10
1 000 000
15. Añade tres términos en cada una de las sucesiones siguientes:
a) 3, 7, 11, 15, … b) 5, 10, 20, 40, …
c) 1, 4, 9, 16, 25, … d) 1, – 3, 5, – 7, 9, …
16. Escribe los cuatro primeros términos de las siguientes
sucesiones:
a) an = 2n b) an = 2n + 3
c) an = (– 1) n (n + 1) d) an = 3( ) n
1
2
n
, es decir:
= 2,59374246…
= 2,718280469…
Tema 1. Los números reales
Valores de a n
Valores de a n
17. Halla el término general de las siguientes sucesiones:
a) 2, 4, 6, 8, 10, …
b) 1, 4, 9, 16, 25, …
18. Representa los primeros términos de las siguientes sucesiones
e indica el valor al que tienden:
a) an = b) an = n2 c) an = d) an = (– 1) n 1
n
2n + 1
n
n
Y
6 a
5
n = —
3n – 2
n
4
3
2
1
12345678910
Valores de n
1
Y
n
6 1
a
5
n = ( 1 + —) n
4
3
2
12345678910
Valores de n
X
X
19

Aritmética y álgebra
■ Piensa y calcula
Nombres
20
n
√ — a Radical
√ —
Signo radical
n Índice
a Radicando
b Raíz
Calculadora
Raíz cuadrada
Raíz cúbica
x
√ Raíz n-ésima
–
√
3 –
√ –
Evitar errores
? +
? – n
n
n n
√a + b √a √b
n
n
√a – b √a √b
4. Radicales y operaciones
Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: a) √8 = x b) √x = 10 c) √32 = 2 d) √81 = x
Cálculo mental
Para extraer factores de un radical
cuadrático, se descompone el
radicando como producto de un
cuadrado perfecto y un número.
Ejemplo
√45
= √9 · 5 = 3√5
√50
= √25 · 2 = 5√2
4.1. Radical
Ejemplo
3
√125
= 5 porque 53 = 125 √81 = ±3 porque
4.2. Relación en la escritura entre potencias y radicales
Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical cuyo índice
es el denominador del exponente y cuyo radicando es la base elevada al numerador
del exponente.
Potencia a1/n = n √a a –1/n = 1
n
√a
Ejemplo 51/3 = 3 √5 2 –1/5 = 1
5
√2
4.3. Suma y resta de radicales
Ejemplo
El producto de dos radicales del mismo índice
es otro radical del mismo índice, y de radicando,
el producto de los radicandos.
El cociente de dos radicales del mismo índice
es otro radical del mismo índice, y de radicando,
el cociente de los radicandos.
3
√50 – 4 √18 + 7 √8 = 5 √2 – 12 √2 + 14 √2 = (5 – 12 + 14) √2 = 7 √2
En el caso en que no sean semejantes, no se pueden sumar ni restar.
4.4. Producto y cociente de radicales
Operación Ejemplo
4
La raíz enésima de un número a es otro número b, tal que b elevado a n es a
= b ⇔ bn n
√a = a
La raíz enésima es la operación inversa de la potencia.
34 = 81
(–3) 4 °
¢
£ = 81
En el caso en que no tengan el mismo índice, se reducen previamente al mínimo
índice común.
4
ap/n = n √ap a–p/n = 1
n
√ap 52/3 = 3 √52 3–2/5 = 1
5
√32 Radicales semejantes son aquellos radicales que después de simplificados
tienen el mismo índice y el mismo radicando.
Para sumar y restar radicales semejantes, se saca factor común el radical semejante
de todos los términos.
· = n n n 3 3 3
3
√a √b √a · b √4 · √16 = √4 · 16 = √64 = 4
: = n n n 3 3 3
3
√a √b √a : b √500 : √4 = √500 : 4 = √125 = 5
x
4

4.5. Potencia y raíz de un radical
La potencia de un radical es igual al radical de la
potencia.
La raíz de un radical es otro radical de índice el
producto de los índices, y de radicando, el mismo.
4.6. Racionalización
a) En el denominador solo hay una raíz cuadrada
Se multiplican el numerador y el denominador por dicha raíz cuadrada.
b) En el denominador solo hay una raíz enésima
Si se tiene una raíz enésima
1
, se multiplican el numerador y el denominador
n √b n–p
n
√b p
por
Ejemplo
= = =
6 ·
c) En el denominador hay una suma o resta con raíces cuadradas
Se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de a+bes a–b,y viceversa.
5
√73 6 ·
7
5
√ — 73 5
√ — 75 6 · 5
√ — 73 5
√ — 72 · 5
√ — 73 6
5
√72 Ejemplo
= = = 7(√— 5 – √ — 7(√ 2 )
3
— 5 – √ — 7(√ 2 )
5 – 2
— 5 – √ — 2 )
(√ — 5 + √ — 2 )(√ — 5 – √ — 7
√ 2 )
— 5 + √ — 2
● Aplica la teoría
19. Calcula mentalmente todas las raíces reales de los siguientes
radicales:
4
3
a) √16 b) √–125 c) √–25 d)
5
√32
20. Escribe en forma de radical las siguientes potencias:
a) 7 3/4 b) 5 –1/4 c) 3 –5/7 d) 2 1/3
21. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:
a)
1
b) 6
√11
5
c) √3
1
d) 3
√2
22. Extrae mentalmente todos los factores que se pueda
en los siguientes radicales:
a) √18 b) √20 c) √27 d) √72
5
7
√52 23. Suma los siguientes radicales:
3 3
3
a) 5 √18 – 3 √50 + √98 b) 4 √40 + √625 – 2√135
Tema 1. Los números reales
Operación Ejemplo
( ) p = n √a p
n 5 3 5
√a ( √7 ) = √73 n
√ p
√ —
= n·p
Racionalizar una expresión consiste en eliminar los radicales del denominador,
transformando la expresión en otra equivalente.
a √a
= 15 7 √7
24. Opera los siguientes radicales:
3 3
a) √20 · √12
5
b) √8
5
· √64
3 3
c) √12 : √6
5 5
d) √12 : √16
25. Las expresiones que están como potencia pásalas a radical
y las que están como radical pásalas a potencia:
a) ( ) 2 5
√7
5
√ 3
√ —
Ejemplo
=
3 · √ = — 3
√5
5
√ — 5 · √ — 5
Suma por diferencia
Es igual al cuadrado del primero
menos el cuadrado del segundo.
( + )( – ) =
= ( ) 2 – ( ) 2 √5 √2 √5 √2
√5 √2 = 5 – 2 = 3
b) c) d) ( ) 2
4
7
√5 √5
3
3
√65 26. Expresa con un solo radical las siguientes expresiones:
a)
3
b) √√ c) d)
— √√ 8
— 5
√ 3 √ — 7
3 · √5
5
3
√ 4 √ — 5
27. Racionaliza las siguientes expresiones:
5 2 – √3
a) b) c) d)
√ 2 + √3
28. Halla la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden
5 m, 4 m y 3 m
— 7 + √ — 7
5
√13 3
3
5
√3
21

Aritmética y álgebra
■ Piensa y calcula
22
5. Logaritmos
Halla el valor de x en los siguientes casos:
a) 23 = x b) x3 = 125 c) 2x = 32 d) 103 = x e) x4 = 10 000 f) 10x = 1 000 000
Relación existente
entre los números
de la potencia
an = p
a es la base.
n es el exponente, también llamado
logaritmo.
p es la potencia.
a) La potenciación tiene por objeto
calcular p, conocidos la base
a y el exponente n
b)La radicación tiene por objeto
calcular la base a, conocidos
p y n
n
a = √p
c) La logaritmización tiene por
objeto hallar el exponente o
logaritmo n, siendo a ? 1 y p
dos números reales positivos conocidos.
n = loga p
Logaritmnos
decimales
log 1 000 = 3 ï 10 3 = 1 000
log 100 = 2 ï 10 2 = 100
log 10 = 1 ï 10 1 = 10
log 1 = 0 ï 10 0 = 1
log 0,1 = –1 ï 10 –1 = 0,1
log 0,01 = –2 ï 10 –2 = 0,01
log 0,001 = –3 ï 10 –3 = 0,001
5.1. Logaritmo en base a
El logaritmo en base a (a > 0, a ? 1) de un número p > 0 es el exponente x al
que hay que elevar la base a para obtener el número p. Se representa por log a p
log a p = x ï a x = p (logaritmo = exponente)
Ejemplo
log2 32 = 5 porque 25 = 32
Casos particulares
a) loga a = 1 ï a1 = a
b) loga 1 = 0 ï a0 = 1
En una potencia se da la base y el exponente y hay que hallar el resultado, mientras
que en un logaritmo se da la base y el resultado y hay que hallar el exponente.
Ejemplo
Halla 5 3
Aplicando la definición de potencia: 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
Ejemplo
Halla el número al que hay que elevar 2 para obtener 32
Se decompone 32 en factores primos y se obtiene que 32 = 2 5 , luego el exponente
es 5
5.2. Logaritmos decimales y neperianos
Logaritmo decimal
Los logaritmos decimales son los logaritmos en los que la base es 10. En este caso,
la base 10 no se escribe.
log p = x ï 10 x = p
Ejemplo
log 1 000 000 = 6 porque 106 = 1 000 000
Logaritmo neperiano
Los logaritmos neperianos son los logaritmos en los que la base es el número
e = 2,718281… Se representan por L o ln
L p = x ï ex = p
Ejemplo
L 1 000 = 6,907755…
Calculadora
Las calculadoras tienen las teclas log
garitmo neperiano.
para el logaritmo decimal y ln para el lo

Ejemplo
Calcula: log 527,25 y L 36,482
log 527.25 = 2,722016588
5.3. Propiedades de los logaritmos
Sean: log a p = x ï a x = p; log a q = y ï a y = q
Propiedad
a) El logaritmo de un producto es la
suma de los logaritmos.
b) El logaritmo de un cociente es el
logaritmo del numerador menos
el logaritmo del denominador.
c) El logaritmo de una potencia es
el exponente multiplicado por el
logaritmo de la base.
d) El logaritmo de una raíz es el logaritmo
del radicando dividido
por el índice.
5.4. Cambio de base de logaritmos
36.482
3,596818988
Cuando el logaritmo es decimal o neperiano, se utiliza la calculadora para hallarlo.
Cuando el logaritmo tiene otra base, se utiliza la siguiente fórmula para realizar
los cálculos, pasando a base 10
log p
loga p =
log a
Ejemplo
Calcula: log3 29
Aplicando la fórmula del cambio de base, se pasa a base 10 y se tiene:
log 29
log3 29 = = 3,0650
log
log 3
● Aplica la teoría
29. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:
a) 26 = x b) x5 = 32 c) 2x = 128
d) 106 = x e) x4 = 10 000 f) 10x = 1 000
30. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos:
a) log2 32 b) log3 1 c) log5 1/25 d) log 100
31. Calcula mentalmente la parte entera de los siguientes
logaritmos:
a) log2 50 b) log3 36
c) log5 98,75 d) log 5 678,24
32. Utilizando la calculadora,halla los siguientes logaritmos:
a) log 725,263 b) log 0,00356
c) L 24,6845 d) L 0,000765
ln
Logaritmos
log a (p · q) = log a p + log a q
log a
p
q
=
= log a p – log a q
log a p n = n · log a p
log a
Tema 1. Los números reales
Demostración
loga (p · q) = loga (ax · ay ) =
= loga ax+y = x + y = loga p + loga q
loga = loga =
= loga ax–y a
= x – y = loga p – loga q
x
ay p
q
log a p n = log a (a x ) n = log a a nx = nx =
= n · log a p
= loga p
n
√p log
n
a = loga = loga a = = loga p
x
n n
√ax x n
√p
n n
29
Ejemplo
Sabiendo que log 5 = 0,699
halla el log 2
log 2 = log
10
=
5
= log 10 – log 5 =
= 1 – 0,699 = 0,301
÷
log
3,065044752
33. Sabiendo que log 2 = 0,3010 y aplicando las propiedades
de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos
sin utilizar la calculadora:
a) log 4 b) log 5 c) log 8 d) log √5
34. Utilizando la calculadora y las propiedades de los logaritmos,
halla:
a) log 2,517 b) log 0,0234 –25
5
6
c) log √87,012 d) log √0,0987
35. Utilizando la calculadora y la fórmula del cambio de base,
halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados
a cuatro decimales:
a) log2 51,27 b) log3 8,431
c) log5 0,034 d) log7 1 000
3
=
23

Ejercicios y problemas
Ejercicios y problemas
1. Números racionales e irracionales
36. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales:
a) √3
3
b)
7
c) e d) √25
2
37. Escribe tres números racionales comprendidos entre
5
3
y
5
38. Representa gráficamente de forma exacta:
a) √5
b) √34
39. Representa gráficamente de forma aproximada:
a) √13
b) π
3
c) √50
5
d) √100
40. Calcula:
3
a)
8
+ 2 –
5
12
5
b)
6
–
3
4
·
24
3 1 1 5 1 13
c) : ( – 5 + ) d) ( – 3 +
4 6 2 3 8 6 )
41. Halla de forma exacta la arista de un cubo de volumen
5 cm 3 y escribe qué tipo de número es.
2. La recta real
42. Representa en la recta real los siguientes pares de números
y calcula la distancia que hay entre ellos.
a) –5 y –2 b) –2,4 y 3,5
43. Escribe en forma de desigualdad y representa gráficamente
los siguientes intervalos, y clasifícalos:
a) (–1, 3] b) [–2, 1]
c) [2, + @) d) (–@,–1)
44. Escribe los intervalos que se representan en los siguientes
dibujos y clasifícalos:
a)
0 1
b)
0 1
c)
0 1
d)
0 1
45. Representa gráficamente los siguientes entornos:
a) E*(3, 2) b) E(–1, 3)
c) E(1, 2) d) E*(–2, 1)
7
6
46. Escribe los entornos que se representan en los siguientes
dibujos:
a)
0 1
b)
0 1
c)
0 1
d)
0 1
3. Sucesiones de números reales
47. Añade tres términos en cada una de las sucesiones siguientes:
1
a) ,
1
,
1
,
1
,…
2 3 4 5
b) 5, –7, 9, –11, 13, …
c) 3, 1, –1, –3, –5, …
d) 2, 5, 10, 17, …
48. Escribe los cuatro primeros términos de las siguientes
sucesiones:
a) an = 5 +
1
b) an = 2n + 1
c) an = (–1) n n(n + 1)
2n – 3
d) an =
n + 1
49. Halla el término general de las siguientes sucesiones:
a) 1, 3, 5, 7, 9, …
1
b) ,
1
,
1
,
1
,…
2 5 8 11
50. Representa los primeros términos de las siguientes sucesiones
e indica el valor al que tienden:
a) an = 2 + b) an = 1 + 2n – n2 1
n
1
4
c) an = d) an = 3 + (–1) n
n + 1
n 2
10 n
4. Radicales y operaciones
51. Calcula mentalmente todas las raíces reales de los siguientes
radicales:
4
a) √625
4
b) √–81
7
c) √–128
5
d) √243
52. Escribe en forma de radical las siguientes potencias:
a) 5 –2/3 b) 3 1/5 c) 2 3/4 d) 7 –1/5
1
n

Ejercicios y problemas
53. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:
a) b) c)
1
d) 7
√35 5
√7
1
4
√11
3
√5
3
54. Extrae mentalmente todos los factores que se pueda en
los siguientes radicales:
a) √32 b) √45 c) √50 d) √75
55. Suma los siguientes radicales:
a) 4 √27 – 2 √12 – √75
3
3
3
b) 5 √16 + 2 √54 – 3√250
56. Multiplica los siguientes radicales:
4 4
a) √60 · √24
7
b) √16 ·
57. Divide los siguientes radicales:
5 5
a) √40 : √5
6 6
b) √24 : √36
58. Transforma los radicales siguientes.Los que están como
potencia pásalos a radical y los que están como radical
pásalos a potencia:
a) ( ) 2 3
√5
b) c) d) ( ) 5
7
11
√3 √13
5
5
√72 59. Expresa en forma de un solo radical las siguientes expresiones:
3
√ 3 √ — 5
a) b) √√ c) d)
— √√ 64
— 3
60. Racionaliza las siguientes expresiones:
a) b)
3
c)
√
5 + √2
d)
5 – √2
— 5 – √ — 3
7
√5
2
2
2
√7
Para ampliar
7
√128
67. ¿Qué números enteros tienen inverso entero?
68. Halla el opuesto y el inverso de:
2
a)
3
b) –5
4
√ 3 √ — 7
69. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales:
3 3
a) 5 – √3 b) – c) π + e d)
7 5
3
√–64
5. Logaritmos
61. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:
a) 33 = x b) x3 = 125 c) 3x = 81
d) 103 = x e) x2 = 100 f) 10x = 1 000 000
62. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos:
a) log2 1 b) log3 1
9
c) log5 25 d) log 0,0001
63. Calcula mentalmente la parte entera de los siguientes
logaritmos:
a) log2 27 b) log3 52,6
c) log5 18,27 d) log 78,24
64. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos
y redondea los resultados a cuatro decimales:
a) log 86,233 b) log 0,0874
c) L 765,023 d) L 0,01234
65. Utilizando la calculadora y las propiedades de los logaritmos,halla
los siguientes logaritmos y redondea los resultados
a cuatro decimales:
a) log 5,712 b) log 0,567 –15
4
7
c) log √345,98 d) log √0,00345
66. Utilizando la calculadora y la fórmula del cambio de base,
halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados
a cuatro decimales:
a) log2 7,3456 b) log3 45,987
c) log5 0,3054 d) log7 0,056712
70. Escribe en forma de intervalo las siguientes desigualdades:
a) 2 Ì x Ì 5 b) x > 3 c) –3 < x Ì 2 d) x < 4
71. Escribe en forma de entorno las siguientes desigualdades:
a) |x – 2| < 3 b) |x| < 2,5
c) |x + 3| < 2 d) |x + 1| < 3,2
25
Tema 1. Los números reales

Ejercicios y problemas
Ejercicios y problemas
72. Representa gráficamente los conjuntos dados por las siguientes
expresiones:
a) |x| = 3 b) |x| < 3 c) |x| Ì 3 d) |x| > 3
73. Suma los siguientes radicales:
a) 3a – 5 + 7a
3
3
b) 7 + 5 √54x – 2 5
3
√16x8 √18a5 √8a3 74. Racionaliza las siguientes expresiones:
a) b)
√a
c)
√
a + √b
d)
a – √b
— a – √ — b
7
√a b
2
a
√a
75. Calcula, aplicando la fórmula del cambio de base, los siguientes
logaritmos y redondea el resultado a cuatro decimales:
a) log1/2 15,87 b) log1/3 345,769
c) log1/5 0,0006 d) log0,1 0,005439
Problemas
26
√50a 3
√128x 2
80. Halla de forma exacta la longitud de una circunferencia
de diámetro 1 m. ¿Qué clase de número es?
81. La siguiente figura se conoce con el nombre de tangram
chino. Si el lado del cuadrado mide 1 m, halla el área de
cada una de las figuras que lo componen.
82. Escribe el menor intervalo abierto,cuyos extremos sean
números enteros, que contenga al número π
83. La longitud de una finca rectangular es 15 m y el perímetro
es inferior a 50 m. ¿Qué valores puede tomar el
ancho de la finca?
84. Calcula las siguientes potencias redondeando los resultados
a cinco decimales. ¿A qué número real muy conocido
se aproximan los valores que se van obteniendo?
a) 1,1 10 b) 1,01 100
c) 1,0011 000 d) 1,000110 000
e) 1,00001100 000 f) 1,0000011 000 000
A
B C
F
E
D
G
Con calculadora
76. Halla con la calculadora el valor de los siguientes números
redondeando a 5 cifras:
1 + √5
a) π b) e c) f = d)
2
77. Halla el valor de los siguientes resultados y redondea el
resultado a cinco decimales:
a) 1,0000011 000 000 b) 0,9999991 000 000
78. Utilizando la calculadora,halla los siguientes logaritmos;
redondea los resultados a cuatro decimales:
a) log π b) log e c) L π d) L 10
79. Utilizando la calculadora, halla:
a) ππ b) ee c) πe d) eπ 7
√5
85. Halla la fórmula del área de un triángulo equilátero cuyo
lado mide a cm
86. Halla la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide x m
87. Demuestra que el producto de dos números irracionales
no es siempre irracional, resolviendo el siguiente
contraejemplo: halla un número irracional que al multiplicarlo
por el número irracional √5 – √2 sea racional.
88. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean
números enteros, que contenga a log 525
89. De dos números se sabe que log x + log y = 0. ¿Qué relación
hay entre x e y?
90. Sabiendo que log 5 = 0,6990 y aplicando las propiedades
de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin
utilizar la calculadora:
a) log 2 b) log 25
c) log 4 d) log √5
91. Una célula se reproduce por bipartición cada hora.¿Cuántos
días tardará en sobrepasar el billón?
92. Un coche deportivo cuesta 70 000 € y se devalúa cada
año un 15 %. ¿Cuántos años tardará en valer menos de
10 000 €?

Ejercicios y problemas
Para profundizar
93. Sabiendo que los triángulos ABC y ADE son semejantes,
calcula el valor de x. ¿Qué número conocido es x? ¿Es
racional o irracional?
D
B
1
x – 1
E
94. Los números racionales son densos.Veamos dos formas
de demostrarlo:
a) Halla la media aritmética entre 2/3 y 4/5, comprueba
que es racional y que está en el intervalo (2/3, 4/5)
b) Halla el número que se obtiene al sumar entre sí los
numeradores y los denominadores de 2/3 y 4/5,comprueba
que es racional y que está en el intervalo
(2/3, 4/5)
95. Escribe el menor intervalo cerrado, cuyos extremos
sean números enteros, que contenga al número e
96. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean
números enteros, que contenga al número áureo, o de
oro:
f =
97. La masa de la Tierra es 5,98 · 10 24 kg, y la del Sol,
1,98 · 10 30 kg. ¿Cuántas veces es mayor la masa del Sol
que la de la Tierra?
98. Halla la fórmula del área del siguiente tetraedro regular,
cuya arista mide a cm
a
A
1
1 + √5
2
x
C
99. Halla la fórmula del área del siguiente octaedro regular,
cuya arista mide a cm
100. Halla la fórmula del área del siguiente icosaedro regular,
cuya arista mide a cm
101. Halla el volumen de un tetraedro cuya arista mide a cm
102. Halla el volumen de un octaedro cuya arista mide a cm
103. Un papel A0 mide 1 m 2 , y cuando se corta a la mitad da
origen a un A1 que tiene la particularidad de que es semejante
al anterior.
x
a
a
a) Calcula de forma exacta la longitud y la anchura de un
papel de formato A0
b) Un A2 es la mitad de un A1, un A3 es la mitad de un
A2, y un A4 es la mitad de un A3. Calcula de forma
aproximada hasta los milímetros las dimensiones de
un A4 (el A4 es el sustituto del folio, por la semejanza
entre todos los A…;esta semejanza permite hacer
fotocopias reduciendo o ampliando y manteniendo las
proporciones del texto y/o dibujo y los márgenes).
104. Sabiendo que log 3 = 0,4771 y aplicando las propiedades
de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin
utilizar la calculadora:
a) log 30 b) log 900
c) log √1/3
d) log
5
√270
105. Sabiendo que log 45 = 1,6532 y aplicando las propiedades
de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin
utilizar la calculadora:
a) log 4,5 b) log 450
c) log d) log 3 √45
√4 500
x
– 2
y y
27
Tema 1. Los números reales

Tema 1. Los números reales
Paso a paso
106. Calcula:
4 5
– 2 +
3
3 6 8
Solución:
a) En la barra de menús, elige
b) Para escribir cada línea de comentario, elige
Comentar. Escribe en un solo bloque el número
y el título del tema, el nombre de los dos alumnos
y Paso a paso. Para pasar de una línea a la
siguiente, sin cambiar de bloque, pulsa [Intro]
28
c) Haz clic en
que.
Calcular para crear un nuevo blo-
d) En , para escribir cada fracción,
elige Fracción, y para elegir un tamaño de
paréntesis que se ajuste a su contenido,
réntesis. Escribe la operación.
Pa-
e) Haz clic en Calcular
107. Halla la expresión decimal con 14 dígitos del siguiente
número y clasifícalo como periódico o irra-
cional:
(
Solución:
a) Hay que introducir la función: precisión(14)
para que opere con 14 dígitos.
b) Para pasar una fracción a decimal basta con añadir
un punto de decimal en el numerador o en el
denominador.
108. Calcula los 10 primeros términos de la siguiente
sucesión: a n = 5n – 2
Solución:
a) Escribe ( Apunta a está en ):
)
51
22
b) Haz clic en Calcular
109. Calcula:
lím
n8 +@
Solución:
a) En , elige Límite. El Infinito
positivo está en
110. Calcula: √50 – 4 √18 + 7 √8
a) En , para escribir cada raíz elige
Raíz cuadrada:
111. Racionaliza:
112. Calcula: log 3 29
3n – 2
n
5
√ — 6 + √ — 7
Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de
Wiris:
113. En una proporción continua los extremos son x y
x–1,y los medios, 1. Halla el valor positivo de x.
¿Qué clase de número es?
Solución:
Planteamiento:
x
=
1
1 x – 1
En , elige
114. Internet. Abre la web: www.editorial-bruno.es,
elige Matemáticas, curso y tema.

Wiris
Así funciona
Operaciones aritméticas
El signo de sumar es +, de restar es –, de multiplicar es el ·, o bien *, o dejar un espacio en blanco; el de dividir es /
Escritura de comentarios o textos
En la barra de menús se elige la opción y la herramienta Comentar (Ctrl + T)
Menú operaciones
Paréntesis Fracción Potencia
Raíz cuadrada Raíz
Menú símbolos
Apunta a Número decimal PI Infinito positivo
Menú Análisis
Límite
Términos de una sucesión
Se emplea la función aplicar_función, que calcula los primeros términos de una sucesión dada por una fórmula.
Notación decimal en Wiris
Practica
115. Calcula: a) – · b) : ( – 7)
116. Halla las expresiones decimales, con 14 dígitos, de
los siguientes números y clasifícalos como periódicos
o irracionales:
a)
7
b) √5 c)
251
7
d) π
3
5 2 5
4 3 6
4 8
3 5
531
110
117. Calcula los 10 primeros términos de las sucesiones:
a) a n = 2 n b) a n = 2n + 3
c) an = (– 1) n (n + 1) d) an = 3( ) n
1
118. Calcula los límites siguientes:
a) b) n2 c) d)
3n
119. Calcula:
a) 7 √27 – 5 √192 + 2 √507
b) 2 √125 – 14 √320 + 3 √500
2 + 5
n2 2
lím
1
lím
n8 +@ n
n8 +@
lím
2n + 1
lím
n8 +@ n
n8 +@ – 4n + 1
Linux/Windows
El Wiris utiliza como notación decimal el punto (.), en vez de la coma (,)
Wiris utiliza la función precisión(n), para indicar el número de cifras significativas con las que se desea trabajar. El
mayor valor que puede tomar n es 15. Esta función solo tiene efecto dentro del bloque en el que está definido.
En Wiris, para obtener un resultado con decimales se termina con uno de los números de la operación en punto.
120. Racionaliza:
10
a) b)
√5
5
√ — 14 – √ — 13
121. Calcula:
a) L 87,34 b) log 456,208
c) log 2 0,00345 d) log 27 890,45
Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de
Wiris:
122. Halla la arista de un cubo de 5 dm 3 de volumen.
123. Mediante ensayo-acierto halla el término general de
las siguientes sucesiones y luego calcula los 10 primeros
términos para comprobarlo.
a) 3, 7, 11, 15, … b) 5, 10, 20, 40, …
c) 1, 4, 9, 16, 25, … d) 1, – 3, 5, – 7, 9, …
124. Un yate cuesta 4,5 · 10 5 € y se devalúa cada año un
18%. ¿Cuántos años tardará en valer menos de
10 000 €?
29
Tema 1. Los números reales

Tema 1. Los números reales
Paso a paso
106. Calcula:
4 5
– 2 +
3
3 6 8
Solución:
a) En la barra de Entrada de Expresiones escribe:
4/3(5/6 – 2 + 3/8)
b) Pulsa Introducir y Simplificar
–
19
18
107. Halla la expresión decimal con 14 dígitos del siguiente
número y clasifícalo como periódico o irra-
30
cional:
Solución:
a) En la barra de menú elige:
Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación
b) Elige Dígitos: 14
c) En la barra de Entrada de Expresiones escribe:
51/22
d) Pulsa Introducir y Aproximar
2.3181818181818………
El número es periódico mixto.
En la barra de menús elige:
Opciones/Ajustes de Modo…/Presentación/
Restablecer
108. Calcula los 10 primeros términos de la siguiente
sucesión:
a n = 5n – 2
Solución:
a) En la barra de Entrada de Expresiones escribe:
vector(5n – 2, n, 10)
b) Pulsa Introducir y Simplificar
[3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48]
109. Calcula:
(
)
lím
n8 +@
51
22
3n – 2
n
Solución:
a) En la barra de Entrada de Expresiones escribe:
(3n – 2)/n
b) Pulsa Introducir Expresión
c) En la barra de menú elige Calcular un límite,
en Punto introduce +@, en Tendiendo por
activa el botón de opción Ambas y haz clic en el
botón Simplificar
3
110. Calcula: – 4 + 7
a) En la barra de Entrada de Expresiones escribe:
√50 – 4√18 + 7√8
b) Pulsa Introducir y Simplificar
7√2
5
111. Racionaliza:
√
a) En la barra de Entrada de Expresiones escribe:
5/(√6 + √7)
b) Pulsa Introducir y Simplificar
5 √7 – 5√6
112. Calcula: log3 29
a) En la barra de Entrada de Expresiones escribe:
log(29, 3)
b) Pulsa Introducir y Aproximar
3.065
— 6 + √ — √50 √18 √8
7
Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de
DERIVE:
113. En una proporción continua los extremos son x y
x–1,y los medios, 1. Halla el valor positivo de x.
¿Qué clase de número es?
Solución:
Planteamiento:
x
=
1
1 x – 1
a) En la barra de Entrada de Expresiones escribe:
x = 1/(x – 1)
b) Pulsa Introducir Expresión
En la barra de herramientas elige Resolver o
despejar y haz clic en el botón Resolver
La solución positiva es:
√5
x = +
1
2 2
Es un número irracional, el número áureo.
114. Internet. Abre la web: www.editorial-bruno.es,
elige Matemáticas, curso y tema.

Así funciona
Ajustar la configuración inicial de DERIVE
Cuando se trabaja con DERIVE y se modifican las opciones que tiene por defecto, éstas se conservan hasta que se
vuelvan a cambiar. Por ello es bueno, cuando se empieza a trabajar, que funcione como se instala por primera vez; para
ello en la barra de menús se elige:
Opciones/Ajustes de Modo…/Presentación/Restablecer
Operaciones
El signo de sumar es +, de restar es –, de multiplicar es * o dejar un espacio en blanco, el de dividir es /, el de potencia
es el acento ^, el de raíz cuadrada √ (está en la ventana de Símbolos Matemáticos, junto con los números ê,
π, î, @); las raíces que no sean cuadradas hay que ponerlas como potencias. El logaritmo neperiano es ln(x), y cualquier
otro logaritmo incluido el decimal, log(x, b), donde b es la base.
Barra de entrada de expresiones
Windows Derive
En ella se escriben las expresiones; luego, se pulsa una de las teclas siguientes en función del resultado que se desee obtener
para que pasen a la ventana Álgebra
Introducir Expresión [Intro] Simplificar Introducir y Simplificar
Aproximar Introducir y Aproximar
Practica
115. Calcula: a) – · b) : ( – 7)
116. Halla las expresiones decimales, con 14 dígitos, de
los siguientes números y clasifícalos como periódicos
o irracionales:
a)
7
b) √5 c)
251
7
d) π
3
5 2 5
4 3 6
4 8
3 5
531
110
117. Calcula los 10 primeros términos de las sucesiones:
a) a n = 2 n b) a n = 2n + 3
c) an = (– 1) n (n + 1) d) an = 3( ) n
1
118. Calcula los límites siguientes:
a) b) n2 c) d)
3n
119. Calcula:
a) 7 √27 – 5 √192 + 2 √507
b) 2 √125 – 14 √320 + 3 √500
2 + 5
n2 2
lím
1
lím
n8 +@ n
n8 +@
lím
2n + 1
lím
n8 +@ n
n8 +@ – 4n + 1
120. Racionaliza:
10
a) b)
√5
5
√ — 14 – √ — 13
121. Calcula:
a) L 87,34 b) log 456,208
c) log 2 0,00345 d) log 27 890,45
Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de
DERIVE:
122. Halla la arista de un cubo de 5 dm 3 de volumen.
123. Mediante ensayo-acierto halla el término general de
las siguientes sucesiones y luego calcula los 10 primeros
términos para comprobarlo.
a) 3, 7, 11, 15, … b) 5, 10, 20, 40, …
c) 1, 4, 9, 16, 25, … d) 1, – 3, 5, – 7, 9, …
124. Un yate cuesta 4,5 · 10 5 € y se devalúa cada año un
18%. ¿Cuántos años tardará en valer menos de
10 000 €?
31
Tema 1. Los números reales