J. Vásquez, Análisis de Datos - Centro Microdatos

Centro de Microdatos
Análisis de Datos
Magister en Políticas Públicas
Javiera Vásquez
2011

Introducción
La mayoría de las decisiones en economía y políticas públicas dependerá de cuán bien podamos
entender, las relaciones entre las variables que nos rodean.
Al momento de diseñar una política pública se debe tener una pregunta concreta en términos
cuantitativos sobre la o las variables que queremos afectar, y que instrumentos disponemos para
afectar estas variables, es decir, necesitamos dar respuestas cuantitativas a preguntas
cuantitativas, y adicionalmente, debemos tener clara cuál es la causalidad de la relación entre las
variables.
Por ejemplo, podemos querer dar respuesta a las siguientes preguntas:
¿El cuidado prenatal lleva a tener hijos más saludables?
La Reforma Previsional, ¿mejoró la calidad de vida de los adultos mayores?
EL programa de Subsidio a la Contratación de Trabajadores Jóvenes, ¿incrementará la
formalización del trabajo juvenil?
¿Hay discriminación por género en el mercado laboral?¿Hay discriminación por apariencia
física en el mercado laboral?
¿Cuál es el impacto de las restricciones a los fumadores sobre el hábito de fumar?
¿Qué impacto ha tenido el programa Chile Crece Contigo?
¿Existe mayor vulnerabilidad económica en los hogares monoparentales?
¿Cómo afecta la disponibilidad de salas cunas a la tasa de participación femenina?
Para que los datos nos entreguen respuestas concretas y útiles a estas preguntas debemos
aprender a trabajar con ellos, para esto es importante adquirir práctica en organizar la
información y presentarla de manera informativa, entender la aleatoriedad y cuando lo que
encontramos puede ser producto del azar, entender los conceptos de probabilidad y como estos
pueden ser usados para interpretar la información empírica.
Datos Experimentales versus No Experimentales
El escenario ideal para estimar el efecto de un tratamiento o de una política es hacer cambios
experimentales (controlados) sobre una variable y observar los cambios en la variable de interés.
Además para tener una base de comparación necesitamos un grupo de control. Esto es lo que
generalmente se hace en medicina para probar nuevas drogas y sus efectos, se tiene un grupo de
tratamiento y un grupo de control con características similares, y sólo a los del grupo de
tratamiento se le entrega la droga y a los del grupo de control un placebo, luego podemos analizar
simplemente comparando ambos grupos cuales son los efectos de la droga.
En políticas públicas la asignación aleatoria de un tratamiento o política es algo bastante más
complejo, ya que una política es diseñada para la población o un grupo de ellas y a veces no es
ético darle prioridad aleatoria a un grupo versus otro. Además implementar un experimento en

políticas públicas es mucho más costoso porque requiere la implementación del programa
propiamente tal a una escala menor. De esta forma, en la mayoría de los casos que estudiemos no
disponemos de Datos Experimentales sino de Datos Observados o No Experimentales.
Cuando los datos son de naturaleza experimental, el efecto causal de la política (o tratamiento) se
puede obtener tomando la diferencia de promedios de la variable de resultados entre el grupo de
tratamiento y control, por ejemplo, tomando el peso al nacer promedio de bebes de madres con
cuidado prenatal y restándole el peso al nacer promedio de bebes de madres sin cuidado prenatal.
Sin embargo, si los datos no son experimentales debemos utilizar técnicas econométricas para
estimar el efecto causal, estas herramientas se preocupan de aislar el efecto que otras variables,
distintas al tratamiento, pueden tener sobre el resultado (outcome).

Tipos de Datos
Los datos que disponemos para trabajar pueden tener tres formatos: corte transversal, Series de
Tiempo, y Datos de Panel (o Longitudinales).
Corte Transversal
Los datos de corte transversal se caracterizan por recopilar información para varias unidades en un
momento del tiempo, las unidades pueden ser individuos, hogares, comunas, colegios, empresas,
regiones, etc.
Un ejemplo de datos de corte transversal en Chile es la Encuesta CASEN.
La Figura 1 muestra un ejemplo de una base de corte transversal de países, que muestra la tasa de
mortalidad, expectativa de vida, y otras variables para el año 2005.
Figura 1
Datos de tipo Corte Transversal

Series de Tiempo
Las series de tiempo representan observaciones para una sola unidad en varios momentos del
tiempo, la frecuencia de los datos puede ser diaria, semanal, trimestral, anual, etc.
Por ejemplo, del Banco Central de Chile podemos obtener las series de tiempo del Producto
Interno Bruto (PIB), Indice de Precios al Consumidor (IPC), fuerza de trabajo, ocupados, etc. Ver
Figura 2.
Datos de Panel o Longitudinales
Figura 2
Datos de tipo Serie de Tiempo
Los datos longitudinales corresponden a observaciones de varias unidades en distintos momentos
del tiempo, por ejemplo puedo tener los puntajes en SIMCE, PSU, número de alumnos, número de
profesores, para varios colegios entre los años 2000 y 2008.
La ventaja de los datos de panel es que observamos la mima unidad en diferentes momentos del
tiempo lo que nos permite estudiar la dinámica en el comportamiento de diversas variables.

La Figura 3 muestra un ejemplo de datos de panel, con observaciones de varios países entre el año
2004 y 2009.
Figura 3
Datos de tipo Datos de Panel

Una primera inspección de los datos
Lo primero que debe hacer todo investigador que trabaja con una base de datos, ya sea de
creación propia o externa, antes de aplicar modelos estadísticos, es inspeccionar y explorar los
datos de modo correcto.
¿Qué debemos tener presente cuando inspeccionamos los datos?
A qué nivel de agregación queremos trabajar y presentar los datos: individuos, hogar,
comunas, regiones, etc.
Qué tipo de gráfico me permite mostrar de manera clara y ordenada los resultados,
incluso es relevante fijarse en las escalas de los ejes de los gráficos que los haga
comparable entre ellos, y relevantes para el análisis.
Selección correcta de la información que se mostrará, no siempre es preferible más a
menos, no es recomendable presentar muchos datos ni gráficos, sino saber elegir los
correctos.
Para revisar algunos conceptos relacionados con la inspección de los datos utilizaremos la
Encuesta CASEN 2009 (http://www.mideplan.gob.cl/casen/index.html), específicamente
trataremos de producir estadísticas descriptivas y gráficos en STATA que nos permitan analizar la
situación de los ingresos, pobreza, y desigualdad en Chile.
Para nuestro primer análisis utilizaremos como medida el ingreso autónomo per-cápita del hogar 1 ,
el que puede ser generado a partir de la información disponible en la encuesta:
use casen2009.dta, clear
egen hogarid=group(segmento folio)
g s=1 if pco1!=14
replace s=0 if pco1==14
egen n=sum(s), by(hogarid)
gen yauthpc=yauthaj/n
1 El Ingreso Autómomo se define como aquel por concepto de sueldos y salarios, ganancias provenientes del
trabajo independiente, autoprovisión de bienes producidos por el hogar, bonificaciones, gratificaciones,
rentas, intereses, así como jubilaciones, pensiones, montepíos y transferencias entre privados.

Porcentaje
Distribución Empírica
La distribución empírica de una variable nos muestra que tan frecuente es que la variable tome un
valor dentro de cierto intervalo. Gráficamente la distribución empírica de la variable se puede ver
a través de un histograma.
histogram yauthpc if yauthpc

Porcentaje
mientras más anchos sean los rectángulos o menor cantidad más tosco será el histograma, y
mientras más angostos sean los rectángulos (mayor cantidad) más fina será la distribución de la
variable que podemos analizar con el histograma.
histogram yauthpc if yauthpc

Porcentaje
histogram yauthpc if yauthpc

Densidad
2.000e-064.000e-066.000e-068.000e-06
Estimación Kernel de la Distribución Empírica
Como se mencionaba mientras más angosto son los rectángulos en el histograma más fina es la
estimación de la distribución de la variable que puede ser realizada, el caso extremo es cuando
estos rectángulos se reducen a un solo punto 2 , esta estimación de la función de densidad
(distribución) es conocida como Kernel.
El siguiente gráfico nos muestra la estimación de la función de densidad del ingreso autónomo
per-cápita, lo que nos permite apreciar de manera más suave y continua la distribución de las
observaciones en el rango en el cual se mueve el ingreso autónomo per-cápita.
kdensity yauthpc if yauthpc

necesitamos tener indicadores concretos que de alguna forma resuman lo que podemos ver
gráficamente con el histograma o kernel. Algunos de estos indicadores son las medidas de
tendencia central y las medidas de dispersión.
Medidas de Tendencia Central
Las medidas de tendencia central, tal como lo dice su nombre hablan del punto medio de la
distribución.
Una medida de tendencia central es la media aritmética (o promedio), la que representa el punto
de equilibrio de la distribución:
Por ejemplo, el promedio entre los números 1 y 9 es 5, ya que de esta manera se equilibra la
distribución de ellos, la distancia (en valor absoluto) entre 1 y 5 es la misma que la distancia entre
9 y 5.
Veamos otro ejemplo, supongamos los siguientes números: 1, 2, 3, 4, y 5. La media aritmética de
estos números es 3, ya que de esta manera equilibramos la distribución de estos números.
Notemos la segunda columna de la Tabla 1, la diferencia (en valor absoluto) entre 1 y la media (3)
es 2, entre 2 y la media es 1, y entre 3 y la media es cero, estos tres valores son menores o iguales
a la media, y la suma de su distancia con respecto a la media es 3. Por otra parte, los valores que
están sobre la media, tienen una diferencia de 1 con respecto a la media y 2 con respecto a la
media, lo que también suma 3. De esta forma, vemos que la media es el número que logra
equilibrar la distribución de los números observados.
Números
Tabla 1
Ejemplo media aritmética
Diferencia absoluta con
respecto a la media
Suma antes y después de la
media
1 2
2 1
3 0 3
4 1
5 2 3
La Tabla 2 nos muestra otro ejemplo, en este caso tenemos 8 números cuya media aritmética es
26.75. Sólo dos de los ocho números están sobre la media aritmética y los restantes seis están bajo
la media, podemos ver que la suma de la diferencia absoluta de cada uno de los números que

están bajo la media con respecto a la media es exactamente igual a la suma de las diferencias
absolutas de los números que están sobre la media.
Números
Tabla 2
Ejemplo media aritmética
Diferencia absoluta con
respecto a la media
Suma antes y después de la
media
10 16.75
11 15.75
12 14.75
13 13.75
13 13.75
15 11.75 86.5
40 13.25
100 73.25 86.5
Veamos un caso aún más extremo, la Tabla 3 nos muestra un listado de 12 números, los primeros
11 números son bastante pequeños (menores o iguales a 1), pero el último número es un número
bastante grande, lo que hace que para equilibrar estos números el promedio va a ser un número
bastante más grande que los primeros 11 números, en efecto el promedio de estos 12 números es
8.79, y 11 de los 12 números están bajo el promedio, mientras que 1 sólo está sobre el promedio.
Números
Tabla 3
Ejemplo media aritmética
Diferencia absoluta con
respecto a la media
Suma antes y después de la
media
0 8.79
0.1 8.69
0.2 8.59
0.3 8.49
0.4 8.39
0.5 8.29
0.6 8.19
0.7 8.09
0.8 7.99
0.9 7.89
1.0 7.79 91.21
100 91.21 91.21

Esto nos muestra algo importante que hay que tener presente cuando uno utiliza la media como
una medida de tendencia central, esta medida es bastante sensible a valores extremos en la
distribución de números.
En el caso del ingreso autónomo per-cápita de la encuesta CASEN 2009, la media de esta variable
es $130,992.7:
De las 244,511 observaciones, 162,504 (66.5%) están bajo la media y 82,007 (33.5%) están sobre la
media.
Otra medida de tendencia central es la mediana, la que corresponde al valor de la variable en la
mitad de la distribución, es decir, si ordenamos las observaciones de menor a mayor valor de la
variable, la mediana es el valor de la observación que está justo en la mitad, dejando la misma
cantidad de observaciones a la derecha y a la izquierda de la mediana. La mediana es una medida
de tendencia central más robusta que la media, en el sentido que no es afectada por valores
extremos.
En el ejemplo de la Tabla 1 tenemos 5 números, donde el número 3 corresponde al que está justo
en la mitad de estos 5 números, de esta forma la mediana es 3. En el ejemplo, de la Tabla 2
tenemos 8 números, no existe un único número que este en la mitad, en este caso tenemos que
considerar los números en la posición 4 y 5 para calcular la mediana, como ambos números son
iguales a 13, la mediana de estos números es 13. Finalmente, en la Tabla 3 tenemos 12 números,
nuevamente al ser un número par no existe un único número en la mitad, tenemos que considerar
los números en la posición 6 y 7 para calcular la mediana, la que corresponde al promedio de estos
dos números, 0.55.
La mediana del ingreso autónomo per-cápita es $93,361.7, bastante menor a la media ya que esta
medida no es sensible a los valores extremos, ingresos elevados.
La mediana corresponde al percentil 50 y podemos calcular este valor en STATA a través del
comando summarize con la opción detail.

Porcentaje
Adicionalmente el gráfico 5 muestra el histograma del ingreso autónomo per-cápita y los valores
de la media y mediana.
histogram yauthpc if yauthpc

Density
Simetría de una distribución
Se dice que una distribución es simétrica con respecto a la media 3 si existe el mismo número de
valores a la derecha de la media que a la izquierda de la media, esto significa que el lado derecho
de la distribución es un espejo del lado izquierdo de la distribución.
Por ejemplo, la siguiente variable es simétrica en torno a su media que es igual a 3
.1 .2 .3 .4
0
Gráfico 6
Histograma de variable simétrica en torno a la media
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Para saber de manera más objetiva si la variable es simétrica o no, y no simplemente utilizando la
inspección gráfica, podemos calcular el coeficiente de asimetría. Si este coeficiente es igual a cero
se dice que la variable tiene una distribución simétrica en torno a la media, en este ejemplo el
coeficiente de asimetría es -0.0054. Si el coeficiente de asimetría es positivo la variable tiene una
distribución que concentra más observaciones a lado izquierdo de la distribución (bajo la media),
por el contrario si el coeficiente de asimetría es negativo hay más observaciones en el lado
derecho de la distribución (sobre la media).
3 La simetría se puede definir también con respecto a la mediana o cualquier otro punto de interés, por
ejemplo, el punto más alto de la distribución.

El coeficiente de asimetría forma parte de los indicadores del comando summarize, detail
de STATA. En el caso del ingreso autónomo per-cápita gráficamente notábamos que era una
variable asimétrica ya que tiene mayor cantidad de observaciones al lado izquierdo, en particular
el coeficiente de asimetría de esta variable es 2.65.
g lyauthpc=ln(yauthpc)
(8829 missing values generate)
histogram yauthpc if yauthpc>0 & yauthpc

Porcentaje
10 15
0 5
Ingreso Autónomo per-capita
Distribución Empírica
Gráfico 7
0 200000 400000 600000 800000 1000000
Ingreso Autónomo per-cápita del hogar
Fuente: Elaboración propia en base a Encuesta CASEN 2006
Porcentaje
El coeficiente de asimetría de la variable en logaritmo es bastante más pequeño:
10
Logaritmo Ingreso Autónomo per-capita
Distribución Empírica
0 2 4 6 8
4 6 8 10 12 14
Ingreso Autónomo per-cápita del hogar
Fuente: Elaboración propia en base a Encuesta CASEN 2006

Medidas de dispersión
Tal como dice su nombre las medidas de dispersión tienen que ver con que tan dispersas están las
observaciones, o que tan concentradas están.
Una medida de dispersión es la varianza ( 2 ):
Varianza poblacional:
Varianza muestral:
La varianza corresponde el promedio de las desviaciones al cuadrado de cada observación con
respecto a la media de la variable. Notemos que nos interesan las desviaciones, razón por la cual
se toma el valor al cuadrado, generando siempre un valor positivo, pero al estar al cuadrado la
medida de dispersión le da más peso a las observaciones más distantes en el promedio. Otra
consecuencia de que se midan las desviaciones al cuadrado es que la medida quedara expresada
en el cuadrado de la unidad en la que medida la variable, lo cual dificulta bastante la
interpretación. Por esta razón usualmente se utiliza la desviación estándar que consiste en tomar
raíz cuadrada de la varianza, por lo cual la medida de dispersión queda expresada en la misma
unidad de la variable estudiada.
Desviación estándar muestral:
La desviación estándar del ingreso autónomo per-cápita es de $130,662.
El siguiente gráfico nos muestra variables generadas aleatoriamente con distribución normal con
media 1, pero diferentes varianzas (desviaciones estándar).

clear
set obs 10000
matrix desv1=1
matrix desv2=sqrt(2)
matrix desv3=sqrt(3)
matrix desv4=2
drawnorm var1, m(1) sd(desv1)
drawnorm var2, m(1) sd(desv2)
drawnorm var3, m(1) sd(desv3)
drawnorm var4, m(1) sd(desv4)
histogram var1, percent fcolor(purple) xtitle(media=1 varianza=1) saving(var1,
replace)
histogram var2, percent fcolor(purple) xtitle(media=1 varianza=2) saving(var2,
replace)
histogram var3, percent fcolor(purple) xtitle(media=1 varianza=3) saving(var3,
replace)
histogram var4, percent fcolor(purple) xtitle(media=1 varianza=4) saving(var4,
replace)
graph combine var1.gph var2.gph var3.gph var4.gph, xcommon
Percent
Percent
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
-10 -5 0 5 10
media=1 varianza=1
-10 -5 0 5 10
media=1 varianza=3
Percent
Percent
Gráfico 8
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
-10 -5 0 5 10
media=1 varianza=2
-10 -5 0 5 10
media=1 varianza=4

Otra medida de dispersión utilizada es el rango inter-cuartil, el que se define como la distancia en
unidades de la variable entre el percentil 75 y el percentil 25:
El rango inter-cuartil del ingreso autónomo per-cápita es $107,185 lo que indica que la diferencia
en ingreso autónomo entre la persona que está en el 75% de mayores ingresos y la persona que
está en el 25% de menos ingresos es $107,185.
El problema de estas tres medidas de dispersión; varianza, desviación estándar, y rango intercuartil;
es que están en la escala de la variable que estamos midiendo su dispersión, por lo cual no
nos permite comparar variables con diferentes escalas, no es una medida estandarizada.
Una medida de dispersión estandarizada y que nos permite comparar variables de distinta
naturaleza es el coeficiente de variación (cv):
Por ejemplo, el coeficiente de variación del ingreso autónomo es casi igual a uno, indicando que la
desviación estándar es igual a la media de la variable, sin embargo, al aplicar la transformación
logarítmica de la variable la dispersión de reduce bastante la desviación estándar de la variable
transformada es igual a 0.08 veces la media.
Un gráfico que nos permite ver de manera simultánea la dispersión de la variable como su
tendencia central es el Box plot.
graph box yauthpc if yauthpc>0 & yauthpc

200000 400000 600000 800000 1.0e+06
yauthpc
0
Gráfico 9
La línea dentro de la caja corresponde a la mediana de la variable (medida de tendencia central), la
parte superior de la caja representa el percentil 75 y la parte baja de la caja el percentil 25, por lo
cual la altura de la caja representa el rango inter-cuartil (medida de dispersión). La línea que esta
por sobre la caja define la cantidad de valores extremos en la variable, todas las observaciones
sobre esta línea son valores extremos o outliers. Esta línea se está definida por el percentil 75 más
1.5 veces el rango inter-cuartil, de manera equivalente la línea que está bajo la casa corresponde
al percentil 25 menos 1.5 veces el rango inter-cuartil.
Medidas de desigualdad
Para definir si una persona es indigente, pobre no indigente, o no pobre se utiliza la línea de
indigencia y pobreza definida según el consumo de una canasta básica por MIDEPLAN. Para el año
2009 se tienen los siguientes valores de línea de indigencia y pobreza:
Tabla 4
Línea de indigencia
Urbana 32,067
Rural 24,710
Línea de pobreza
Urbana 64,134
Rural 43,242

Para definir si un individuo tiene un ingreso bajo o sobre la línea de pobreza o indigencia, se
calcula su ingreso per-cápita del hogar, tomando el ingreso total del hogar y dividiéndolo por el
número de personas en el hogar, excluyendo el servicio doméstico.
Los ingresos totales del hogar se pueden dividir en:
Ingreso autónomo del hogar
o Ingresos laborales
o Otras fuentes de ingresos (rentas, pensiones, etc.)
Ingresos por subsidios monetarios
Alquiler imputado
Dos medidas de desigualdad ampliamente utilizadas son la razón entre el último y primer quintil, y
la razón entre el último y primer decil.
A continuación tomaremos las diferentes medidas de ingreso para analizar las medidas de
tendencia central, dispersión, y desigualdad.
**Ingreso total per-cápita
g ingpc=ytothaj/n
***Ingreso del trabajo del hogar****
g ytrab= ytrabhaj
replace ytrab=. if ytrab==0
***Ingreso Autonomo ditisntos del trabajo, del hogar***
g yaut2=yauthaj-ytrab
replace yaut2=. if yaut2==0
***Ingresos de subsidios del hogar***
g ysub=ysubhaj
replace ysub=. if ysub==0
***Alquiler imputado***
g alq=yaimhaj
replace alq=. if alq==0
***Ingreso Autonomo Percapita del hogar***
g yaupc=yauthaj/n
replace yaupc=. if yaupc==.

xtile quintil_trab=ytrab [w=expr] if o==1, nq(5)
xtile quintil_au2=yaut2 [w=expr] if o==1, nq(5)
xtile quintil_sub=ysub [w=expr] if o==1, nq(5)
xtile quintil_alq=alq [w=expr] if o==1, nq(5)
xtile quintil_aupc=yaupc [w=expr] if o==1, nq(5)
xtile quintil_totpc=ingpc [w=expr] if o==1, nq(5)
xtile decil_trab=ytrab [w=expr] if o==1, nq(10)
xtile decil_au2=yaut2 [w=expr] if o==1, nq(10)
xtile decil_sub=ysub [w=expr] if o==1, nq(10)
xtile decil_alq=alq [w=expr] if o==1, nq(10)
xtile decil_aupc=yaupc [w=expr] if o==1, nq(10)
xtile decil_totpc=ingpc [w=expr] if o==1, nq(10)
matrix MED=J(6,12,0)
matrix colnames MED=Promedio DesvEstandar P25 P75 Quintil1 Quintil5
Decil1 Decil10 CV IQR D10/D1 Q5/Q1
matrix rownames MED=Trabajo otros_autonomos subsidios alquiler
autonomo_pc total_pc
sum ytrab [w=expr] if o==1, detail
matrix MED[1,1]=r(mean)
matrix MED[1,2]=r(sd)
matrix MED[1,3]=r(p25)
matrix MED[1,4]=r(p75)
sum ytrab [w=expr] if o==1 & quintil_trab==1
matrix MED[1,5]=r(mean)
sum ytrab [w=expr] if o==1 & quintil_trab==5
matrix MED[1,6]=r(mean)
sum ytrab [w=expr] if o==1 & decil_trab==1
matrix MED[1,7]=r(mean)
sum ytrab [w=expr] if o==1 & decil_trab==10
matrix MED[1,8]=r(mean)
sum yaut2 [w=expr] if o==1, detail
matrix MED[2,1]=r(mean)
matrix MED[2,2]=r(sd)
matrix MED[2,3]=r(p25)
matrix MED[2,4]=r(p75)

sum yaut2 [w=expr] if o==1 & quintil_au2==1
matrix MED[2,5]=r(mean)
sum yaut2 [w=expr] if o==1 & quintil_au2==5
matrix MED[2,6]=r(mean)
sum yaut2 [w=expr] if o==1 & decil_au2==1
matrix MED[2,7]=r(mean)
sum yaut2 [w=expr] if o==1 & decil_au2==10
matrix MED[2,8]=r(mean)
sum ysub [w=expr] if o==1, detail
matrix MED[3,1]=r(mean)
matrix MED[3,2]=r(sd)
matrix MED[3,3]=r(p25)
matrix MED[3,4]=r(p75)
sum ysub [w=expr] if o==1 & quintil_sub==1
matrix MED[3,5]=r(mean)
sum ysub [w=expr] if o==1 & quintil_sub==5
matrix MED[3,6]=r(mean)
sum ysub [w=expr] if o==1 & decil_sub==1
matrix MED[3,7]=r(mean)
sum ysub [w=expr] if o==1 & decil_sub==10
matrix MED[3,8]=r(mean)
sum alq [w=expr] if o==1, detail
matrix MED[4,1]=r(mean)
matrix MED[4,2]=r(sd)
matrix MED[4,3]=r(p25)
matrix MED[4,4]=r(p75)
sum alq [w=expr] if o==1 & quintil_alq==1
matrix MED[4,5]=r(mean)
sum alq [w=expr] if o==1 & quintil_alq==5
matrix MED[4,6]=r(mean)
sum alq [w=expr] if o==1 & decil_alq==1
matrix MED[4,7]=r(mean)
sum alq [w=expr] if o==1 & decil_alq==10
matrix MED[4,8]=r(mean)

sum yaupc [w=expr] if o==1, detail
matrix MED[5,1]=r(mean)
matrix MED[5,2]=r(sd)
matrix MED[5,3]=r(p25)
matrix MED[5,4]=r(p75)
sum yaupc [w=expr] if o==1 & quintil_aupc==1
matrix MED[5,5]=r(mean)
sum yaupc [w=expr] if o==1 & quintil_aupc==5
matrix MED[5,6]=r(mean)
sum yaupc [w=expr] if o==1 & decil_aupc==1
matrix MED[5,7]=r(mean)
sum yaupc [w=expr] if o==1 & decil_aupc==10
matrix MED[5,8]=r(mean)
sum ingpc [w=expr] if o==1, detail
matrix MED[6,1]=r(mean)
matrix MED[6,2]=r(sd)
matrix MED[6,3]=r(p25)
matrix MED[6,4]=r(p75)
sum ingpc [w=expr] if o==1 & quintil_totpc==1
matrix MED[6,5]=r(mean)
sum ingpc [w=expr] if o==1 & quintil_totpc==5
matrix MED[6,6]=r(mean)
sum ingpc [w=expr] if o==1 & decil_totpc==1
matrix MED[6,7]=r(mean)
sum ingpc [w=expr] if o==1 & decil_totpc==10
matrix MED[6,8]=r(mean)
local i=1
while `i'

La razón de deciles y quintiles nos permiten estudiar la distribución o desigualdad en las distintas
medidas de ingresos propuestas. Por ejemplo, se tiene que los hogares del decil más alto obtienen
ingresos del trabajo que son en promedio más de 37 veces los ingresos de las personas del decil
más bajo. Esto puede ser de alguna manera compensado (al menos en términos relativos) con los
subsidios, ya que la razón entre el Decil 90 y Decil 10 de subsidios monetarios es 45.5. Con
respecto a la razón de quintiles, las personas que están en el 20% de mayores ingresos del trabajo
tienen ingresos por este ítem promedio que son 16.2 veces los ingresos de trabajo de las personas
que están en el 20% inferior.
En términos de ingreso autónomo per-cápita la desigualdad de ingresos nos muestra que las
personas del decil más alto tienen un ingreso 78.7 veces el ingreso de las personas del decil más
bajo. En términos de quintiles la razón (desigualdad) es menor, nos muestra que las personas en el
quintil más acomodado tiene un ingreso autónomo 24 veces el ingreso del primer quintil. Pero si
nos concentramos en el ingreso total del hogar, el cual corresponde a los ingresos autónomos más
los subsidios monetarios y alquiler imputado, se tiene que la razón de deciles es poco menos de la
mitad de la misma medida para el ingreso autónomo, y la razón de quintiles es 15.8.
Otras dos medidas de desigualdad son la curva de Lorenz y el coeficiente de Gini. La Curva de
Lorenz mide el porcentaje acumulado del ingreso (o de la variable que estemos analizando) en
manos del porcentaje acumulado de la población. La Figura 5 nos muestra la Curva de Lorenz en
rojo, en el eje horizontal nos va mostrando la proporción de la población que va desde cero a 1, y
en el eje vertical la proporción del ingreso. Por ejemplo, esta curva nos muestra que un 60% de la
población acumula cerca del 30% de los ingresos. Mientras mayor curvatura tenga la curva de

lorenz mayor es la desigualdad, y mientras más recta sea la curva menor es la desigualdad, en el
extremo no existe desigualdad en la línea negra (45°).
lorenz yaupc
Figura 5
Gráfico 10

Esta medida de desigualdad es gráfica y dificulta la comparación con otras variables. El coeficiente
de Gini es un indicador más objetivo que se obtiene a partir de la Curva de Lorenz, el Gini es un
número que está entre 0 y 1, en donde 0 corresponde a perfecta igualdad y 1 corresponde a
perfecta desigualdad.
El Coeficiente de Gini se obtiene de dividir el área que hay entre la línea de perfecta igualdad y la
Curva de Lorenz (a), y el área total bajo la línea de perfecta igualdad (a+b).
inequal yaupc
Figura 6
Coeficiente de Gini
Para obtener el coeficiente de GINI del ingreso autónomo per-cápita podemos utilizar el comando
inequal de STATA:
El coefiente del Gini del ingreso autónomo per-cápita es 0.513 o 51.3%.

La interpretación del coeficiente de GINI es la siguiente, si tomo dos familias o personas al azar, la
diferencia en ingresos autónomos per-cápita de estas dos personas como proporción del ingreso
promedio:
Es el doble del coeficiente de GINI, es decir, en este caso 102.6%.
Todos los indicadores que hemos presentados: medidas de tendencia central, medidas de
dispersión, y medidas de desigualdad, lo hemos mostrando pensando en el análisis de una sola
variable. Sin embargo, en muchos casos nos interesará hacer comparaciones entre estadísticos de
diferentes variables o para diferentes grupos, por ejemplo, podríamos comparar los ingresos
promedios entre hombre y mujeres.
Una forma de compararlos sería simplemente tomar la diferencia entre el ingreso promedio de los
hombres y el ingreso promedio de las mujeres, esto nos entregará un número. Pero no sabremos
si decir si ese número es grande o pequeño, o afirmar que realmente la diferencia existe, para esto
necesitamos determinar si el valor encontrado es estadísticamente diferente de cero.
A continuación comenzaremos a desarrollar el marco conceptual que más adelante nos permitirá
responder esta pregunta.

Teoría de Distribución de Probabilidades
A continuación vamos a presentar y desarrollar una serie de conceptos relacionado con la Teoría
de Probabilidades, la que más adelante nos permitiría rechazar o no hipótesis desde el punto de
vista estadístico.
Variable Aleatoria
Definición
Una variable aleatoria es aquella variable cuyos resultados posibles se obtienen del azar, es
decir, de manera experimental.
Existen variables aleatorias discretas, es decir, que sólo pueden tomar valores contables, y existen
variables aleatorias continuas donde la variable puede tomar cualquier número del infinito de
números posibles.
Probabilidad de un evento
Se entiende por probabilidad como la posibilidad de que ocurra un resultado o un evento
determinado. Un evento es uno de los posibles resultados de hacer algo. Por ejemplo, al lanzar
una moneda tenemos dos posibles eventos: que salga cara o que salga sello. Luego, la
probabilidad de que al lanzar una moneda esta caiga en cara es ½ o 0.5.
Una probabilidad siempre estará entre 0 y 1, donde 0 significa que no existe ninguna posibilidad
de que el evento ocurra, y 1 existe seguridad de que el evento ocurra.
En la teoría de probabilidad, la actividad que origina los diferentes eventos se conoce como
experimento. Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le llama espacio
muestral del experimento. En el experimento lanzar una moneda el espacio muestral es:

Consideremos ahora el experimento de lanzar una moneda cuatro veces, para cada lanzamiento
de la moneda tenemos dos posibles resultados (cara o sello), por lo cual el espacio muestral de
este experimento tendrá 16 eventos posibles:
1° moneda 2° moneda 3° moneda 4° moneda
Cara Cara
Sello
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello

De esta forma, el experimento lanzar 4 monedas tiene 16 posibles eventos que forman el espacio
muestral del experimento, y la probabilidad de cada uno de los eventos es 1/16 o 0.0625.
Número Evento Probabilidad
1 CCCC 1/16 =0.0625
2 CCCS 1/16 =0.0625
3 CCSC 1/16 =0.0625
4 CCSS 1/16 =0.0625
5 CSCC 1/16 =0.0625
6 CSCS 1/16 =0.0625
7 CSSC 1/16 =0.0625
8 CSSS 1/16 =0.0625
9 SCCC 1/16 =0.0625
10 SCCS 1/16 =0.0625
11 SCSC 1/16 =0.0625
12 SCSS 1/16 =0.0625
13 SSCC 1/16 =0.0625
14 SSCS 1/16 =0.0625
15 SSSC 1/16 =0.0625
16 SSSS 1/16 =0.0625
Otra pregunta que nos podemos hacer con respecto al experimento de lanzar 4 monedas es la
cantidad de caras que salen, esta variable la denotaremos por X, y se tiene que:
X N° de casos Probabilidad
0 1 1/16=0.0625
1 4 ¼=0.25
2 6 3/8=0.375
3 4 ¼=0.25
4 1 1/16=0.0625
Esta variable aleatoria puede tomar cinco valores diferentes, por lo cual es una variable aleatoria
discreta, las probabilidades de cada uno de los posibles valores de esta variable son todos
positivos y menores a 1, y la suma de ellos es igual a 1.
Función de Distribución de Probabilidad
Definición
La Función de Distribución de Probabilidad nos señala para cada uno de los resultados posibles
de la variable aleatoria cual es su probabilidad

La Función de Distribución de Probabilidad tiene dos características importantes:
La probabilidad de un resultado en particular está entre 0 y 1:
La suma de las probabilidades de todos los eventos es 1:
histogram X, discrete fraction fcolor(purple) lcolor(black)
ytitle(Pr(X=x)) xtitle(Número de caras en el lanzamiento de cuatro
monedas)
Gráfico 11
Distribución de Probabilidad X

Definición
La Función de Distribución de Frecuencias nos señala para cada uno de los resultados posibles
de la variable aleatoria la cantidad de casos que tienen ese resultado.
histogram X, discrete freq fcolor(purple) lcolor(black)
ytitle(frecuencias) xtitle(Número de caras en el lanzamiento de cuatro
monedas)
Gráfico 12
Distribución de Frecuencias X

Una tabulación de una entrada de la variable X nos muestra la distribución de frecuencia,
distribución de probabilidades (en porcentaje), y distribución de probabilidad acumulada:
En este caso la variable aleatoria es discreta, por lo cual esta función que relacionada cada evento
posible de la variable con sus probabilidades está definida, sin embargo, cuando trabajamos con
variables aleatorias continuas no es posible definir esta función de distribución de probabilidad, ya
que existen infinitos valores posibles para X.
Para variables aleatorias continuas se define la función de densidad de probabilidad.
Definición
La Función de Densidad de Probabilidad (pdf) es tal que el área bajo esta función entre dos
puntos es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria este entre dos puntos

Es importante tener presente que el valor asociado a la función de densidad en un punto no
representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome ese valor, ya que la función de
densidad está definida para entregar probabilidades integrando por áreas.
De esta forma, se tiene que la probabilidad de que una variable aleatoria continua Z tome valores
entre a y b estará dada por:
Donde f(z) es la función de densidad.
Además se cumple que:
Definición
La Función de Probabilidad Acumulada (cdf) indica la probabilidad de que una variable aleatoria
tome un valor menor o igual a cierto umbral específico
Por ejemplo, podemos preguntarnos cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria Z sea
menor a:
Una función de densidad bastante utilizada por sus particularidades es la función de densidad
normal:
Esta función de densidad tiene dos parámetros que definen su media () y su desviación estándar
(), y se denota . Esta función de densidad tiene la particularidad de ser simétrica
(coeficiente de asimetría es cero), y mesocurtica (coeficiente de curtosis es igual a 3).
Por ejemplo, mediante el siguiente comando de STATA podemos generar variables aleatorias con
una función de densidad normal, para lo cual debemos escoger sus dos parámetros: media y
desviación estándar:
matrix m=(0,1,2,2)
matrix sd=(1,1,1,sqrt(2))
drawnorm w x y z, n(50000) means(m) sds(sd)

Hemos generado 4 variables aleatorias independientes entre ellas, w tiene media 0 y desviación
estándar 1, x tiene media 1 y desviación estándar 1, y tiene media 2 y desviación estándar 1, y z
tiene media dos y varianza 2.
El Gráfico 13 nos muestra la función de densidad de w, la cual la obtuvimos a través del comando
normalden()de STATA. Este comando genera una variable que corresponde a aplicar la función
de densidad normal con media cero y desviación estándar 1 a la variable indicada entre paréntesis,
en este caso w.
Es decir,
g densidadw=normalden(w)
twoway (scatter densidadw w)
Gráfico 13
Función de densidad normal: media 0 y desviación estándar 1

También podemos obtener y graficar la función de densidad de probabilidad acumulada de esta
variable:
g cdensidadw=normal(w)
twoway (scatter cdensidadw w, mcolor(purple))
Gráfico 14
Función de densidad normal acumulada: media 0 y desviación estándar 1
Ambos gráficos los obtuvimos asumiendo que la variable w fue generada a partir de una función
de densidad normal con media cero y varianza 1, sin embargo, en la práctica sólo se nos entregará
un vector de datos sin saber cuál fue el proceso que generó esos datos. Por lo cual en la práctica
debemos estimar empíricamente cual es la función de densidad de los datos, ya sea a través de un
histograma o a través de una estimación kernel (suavización del histograma).
histogram w, title(media=0; varianza=1) name(g1, replace)
histogram x, title(media=1; varianza=1) name(g2, replace)
histogram y, title(media=2; varianza=1) name(g3, replace)
histogram z, title(media=2; varianza=2) name(g4, replace)
graph combine g1 g2 g3 g4, xcom ycom

Gráfico 15
Histograma, aproximación muestral de la función de densidad
kdensity w, title(media=0; varianza=1) name(g5, replace)
kdensity x, title(media=1; varianza=1) name(g6, replace)
kdensity y, title(media=2; varianza=1) name(g7, replace)
kdensity z, title(media=2; varianza=2) name(g8, replace)
graph combine g5 g6 g7 g8, xcom ycom

Media y Varianza
Gráfico 16
Kernel, aproximación muestral de la función de densidad
A partir de la función de distribución de probabilidad o la función de densidad de probabilidad de
una variable aleatoria se pueden obtener algebraicamente los momentos de una variable,
especialmente, la media y la varianza. Estos parámetros son análogos a la media y varianza
muestral de una distribución empírica.
Media
La media de una variable aleatoria de conoce como valor esperado o esperanza, y de denota por
E(x).

Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria continua
Varianza
La varianza de una variable aleatoria de denota por V(X), y se define de la siguiente manera:
Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria continua
Nuevamente, estos conceptos son más bien teóricos o poblacionales, ya que suponen conocer la
función de probabilidad o densidad que dio origen a los valores observados de la variable
aleatoria. Por esta razón, la E(X) y V(X) se conocen como momentos poblacionales (verdaderos).
Pero en la práctica desconocemos la función de densidad o la función de probabilidad, y sólo
podremos obtener aproximaciones muestrales de estos momentos.
Media muestral
La media muestral se define de la siguiente manera:
Es análoga a la definición de E(x) o media poblacional, pero cada xi tiene igual probabilidad de
ocurrencia, 1/N.

Varianza muestral
La varianza muestral se define de la siguiente manera:
Aplicación: Lotería de New Jersey
Para este ejercicio se utilizarán los datos de la Lotería de New Jersey, específicamente el juego Pick
3, en este juego se saca tres veces seguidas una bola numerada de 0 a 9, y se realiza un sorteo en
la mañana y otro en la tarde.
En la siguiente página pueden descargar los datos históricos del juego desde 1975:
http://www.state.nj.us/lottery/data/pick3.dat
El objetivo de este ejercicio es mostrar que el resultado del azar, lo que hemos denominado
variable aleatoria, es sólo UNO de los resultados posibles que podría tomar dicha variable. Es
decir, lo que observamos es una de las posibles realizaciones de la variable aleatoria según la
distribución de probabilidad que la variable tiene asociada.
De esta forma, debemos establecer un criterio para poder decidir cuando la variable aleatoria
tiene un comportamiento estadístico apropiado según su distribución de probabilidad o cuando
no.
Nos concentraremos para comenzar en la lotería del año 1975, la siguiente figura muestra la base
de datos que se obtiene de descargar la información de la página y traspasarla a STATA mediante
los siguientes comandos:
insheet using "pick3.dat", delimiter("%")
rename v1 año
rename v2 mes
rename v3 dia
rename v4 jornada
drop v5
rename v6 n1
rename v7 n2
rename v8 n3
drop v9-v13
keep if año==1975
save "loteria75.dta", replace

egen id=group(año mes dia jornada)
reshape long n, i(id) j(digito)
Figura 7
Base de Datos Pick 3 (1975)
Cada número del sorteo (n1, n2, n3) corresponden a eventos independientes uno del otro: sacar
una bola de entre 10 bolas numeradas de 0 a 9, por lo cual podemos generar una sola variable
aleatoria.

Lo primero que hacemos es generar un identificar cada uno de los sorteos, variable id, luego
ordenamos la base de datos de manera tal que las variables n1, n2, y n3 se agrupen hacia abajo en
una sola columna llamada n, esto se hace a través del comando reshape long.
Figura 8
Base de datos ordenada Pick 3 (1975)
La siguiente tabla nos muestra la distribución de frecuencias y de probabilidad de cada uno de los
números de 0 a 9 que pueden ser sorteados:

Probabilidad
En una lotería justa cada número tiene igual probabilidad de salir, esta probabilidad teórica es de
un 10%. Empíricamente debiésemos observar que dentro de estos 570 sorteos cada número
debería salir 57 veces aproximadamente, sin embargo, observamos que el número 1 por ejemplo
sale 72 veces, 12.6%.
El siguiente gráfico muestra el histograma de la variable aleatoria
10 15
0 5
Gráfico 17
Distribución de Frecuencias sorteo
Distribución de Números sorteados Pick3
(1975)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Numeros Pick3
Fuente: Lotería de New Jersey

Se observa claramente que los números 0, 1, y 4 aparecen en más del 10% de los casos, y los
números 3 y 5 en menos del 10% de los casos. ¿Podríamos afirmar entonces que la lotería no es
justa?.
Para poder afirmar que la lotería no es justa, debemos establecer algún criterio que nos permita
decir cuando estadísticamente la variable aleatoria no se está comportando según lo esperado
teóricamente. Una estrategia para hacer esto es simular muchas loterías honestas (por ejemplo
5000) sacando muestras repetidas de 570 observaciones, luego si en estas simulaciones
observamos que es frecuente que un número aparezca 12.6% de las veces o más, podríamos
concluir que los resultados obtenidos no son irregulares. Si por el contrario la probabilidad de que
un número aparezca 12.6% en las simulaciones es muy baja habría que sospechar de los
resultados de la lotería de 1975.
Pero necesitamos un criterio para decir cuando es un resultado regular o un resultado raro, es
decir, cual es la probabilidad límite tal que sobre este valor diremos que este resultado (observar
más del 10% el número 1) es un mero resultado del azar, y bajo este valor diremos que esta lotería
es injusta. Por ejemplo, si en un 100% de las simulaciones observamos que el número 1 sale 12.6%
de las veces podríamos decir que esto no es algo raro o que la lotería es justa. Si observamos que
en un 80% de las simulaciones se da este resultado también sigue siendo un resultado que no nos
permite decir que la lotería es injusta pero si por ejemplo, observamos que este resultado sólo se
da en un 1% de las simulaciones tenemos evidencia para decir que la lotería no es justa ya que el
resultado se da en sólo un 1% de los casos, es un caso aislado. Entonces debemos escoger el valor
sobre el cual diremos que el resultado es “normal” y bajo el cual diremos que el resultado es
“extraño”, por ejemplo 5%.
Entonces,
Si en la simulación la probabilidad (cantidad de casos sobre el total) de que el número 1
sea sorteado 12.6% de las veces o más, es mayor a 5% (nuestro criterio) diremos que la
lotería es justa.
Si en la simulación la probabilidad de que el número 1 sea sorteado 12.6% de las veces o
más, es menor a 5% (nuestro criterio) diremos que la lotería no es justa.
A continuación realizaremos las 5,000 simulaciones de una lotería justa, esto significa obtener
aleatoriamente y con igual probabilidad un número entre 0 y 9, 570 veces, ya que esta es la
cantidad de observaciones que poseemos para el año 1957. Luego contaremos la cantidad de
veces que fue sorteado cada número.

clear
drop _all
set matsize 6000
set more 1
matrix B=J(5000,10,0)
set obs 570
g y=0
local i=1
while `i'

g prop1=c2/570*100
count if prop1>=12.6
Figura 9
Base de datos 5,000 simulaciones
Número de veces que es sorteado cada número
Luego, calculamos el porcentaje en el que es sorteado el número 1 para cada simulación:
Se obtiene que en 119 de las 5,000 simulaciones el número 1 es obtenido 12.6% o más, lo que
corresponde a 2.38%, este porcentaje es menor al 5% que establecimos como criterio para decidir
cuando la lotería no es justa, por lo cual podemos decir que los resultados de la lotería de 1975 NO
son regulares.
El Gráfico 18 muestra la distribución de el porcentaje de veces que es sortead el número 1 de las
5,000 simulaciones. Vemos que la distribución es bastante simétrica y se concentra en torno a
10%, que representa el valor teórico del número de veces que debemos obtener el número 1. En
efecto, el promedio es justamente 10%. Además observamos que en un 1% de los casos el
porcentaje de 1 es mayor a 13.2%, y en un 1% de los casos es menor a 7.2%.

Percent
0 2 4 6
Gráfico 18
Distribución de porcentaje de veces que número 1 es sorteado
1975
6 8 10 12 14 16
Distribucion del porcentaje de unos en las 5000 simulaciones

Muestreo Aleatorio y Distribución de la Media Muestral
Cuando estamos interesados en analizar el comportamiento de una variable de interés, por
ejemplo, el nivel de ingresos de un hogar, el peso de los menores al nacer, la propensión a padecer
diabetes, el número de meses que una persona permanece desempleado, etc., generalmente
trabajaremos con una muestra extraída de la población. Esto, porque en términos prácticos no
tiene sentido estudiar a toda la población para determinar el comportamiento estadístico y las
propiedades de la variable de interés, para esto bastará extraer una muestra aleatoria de la
población.
Por ejemplo, si queremos estudiar el comportamiento previsional de los trabajadores
independientes, no es necesario entrevistar a todos los trabajadores independientes sino que
bastará con extraer una muestra aleatoria que sea representativa de este grupo de interés.
De una población se pueden extraer distintas muestras que permitan representar dicha población.
Supongamos que nuestra población bajo estudio está formada por 10 individuos, ¿cuántas
muestras diferentes podemos obtener de esta población?
4
1
10
2
8
3
5
6
9
7
Una posible muestra es tomar a 1 individuo de los 10, podríamos formar 10 muestras de este tipo.
Otro extremo es tomar una muestra de 10 individuos (igual a la población), también podríamos
formar muestras de dos individuos, o de tres, etc. Esto nos permite ver como a partir de una
población pequeña de sólo 10 individuos, la cantidad de muestras que se pueden obtener de ellas
es bastante amplia. ¿Cuántas muestras podemos obtener de una población de 16,000,000 de
personas?, este número tiende a infinito.
Se define como Población al conjunto de todos los elementos que han sido escogidos para el
estudio. Se realiza un Censo cuando se entrevista a cada uno de los elementos de la población.
Una Muestra corresponde a una selección de parte de la población.

Estadísticas versus parámetros
Cuando queremos caracterizar una variable, y a su vez, compararla con otra variable o la misma
variable entre diferentes grupos, podemos utilizar las medidas de tendencia central como la media
y la mediana, y las medidas de dispersión como desviación estándar y rango inter-cuartil. Cuando
estos indicadores son obtenidos de una muestra son conocidos como estadísticas descriptivas, sin
embargo, cuando son obtenidos de la población se conocen como parámetros.
Tipos de muestreo
Para que una muestra sea representativa de la población debe ser obtenida de manera aleatoria,
sólo si esto se cumple podremos aproximar los parámetros poblacionales a través de estimaciones
muestrales.
Como ya se mencionaba, de una población podemos obtener infinitas muestras aleatorias, así
cuando se nos entrega una base de datos cuya información corresponde a una muestra obtenida
de la población, esta corresponde a una de un millón de bases de datos que podríamos haber
obtenido para la población de estudio.
Muestreo Aleatorio Simple
El Muestreo Aleatorio Simple (MAS) selecciona muestras de forma tal que cada muestra tiene
igual probabilidad de ser seleccionada y que cada elemento de la población tiene igual
probabilidad de ser incluido en la muestra.
Un MAS se dice que es con reemplazo, si una personas seleccionada puede ser elegible
nuevamente, es decir, podría ser que una personas fuese seleccionada más de una vez para
formar parte de la muestra. El MAS es sin reemplazo si cada persona puede ser seleccionada una
vez o no seleccionada, es decir, una vez escogida la persona esta deja de ser elegible nuevamente.
Suponga que tenemos una población 845 estudiantes de Ingeniería Comercial egresados en los
años 2005, 2006 y 2007. De esta población de estudio debemos escoger una muestra de 120
estudiantes para ser entrevistados. Los 845 estudiantes están identificados en la base de datos a
través de la variable folio que tiene tres dígitos y toma valores del 1 al 845.
Para determinar qué persona entrevistar debemos generar 120 número aleatorios de tres dígitos
que representarán los folios de las personas seleccionadas.
Los 120 folios seleccionados mediante muestreo aleatorio simple con reemplazo pueden ser
seleccionados a través de los siguientes comandos:

set obs 120
g n1=int(uniform()*10)
g n2=int(uniform()*10)
g n3=int(uniform()*10)
g sorteo=n1*100+n2*10+n3)
La siguiente figura nos muestra los números sorteados:
set obs 150
g n1=int(uniform()*10)
g n2=int(uniform()*10)
g n3=int(uniform()*10)
g sorteo=n1*100+n2*10+n3
duplicates drop sorteo, force
keep if n

sample: el comando simple de STATA genera una muestra aleatoria simple sin reemplazo
o sample 10: escoge aleatoriamente 10% de las observaciones
o sample 120, count: escoge aleatoriamente 120 observaciones
bsample: muestreo aleatorio simple con reemplazo
o bsample 120: escoge aleatoriamente 120 observaciones.
El Gráfico 19 muestra la comparación entre las funciones de densidad de una población de
100,000 observaciones que siguen una distribución normal con media 15 y varianza 100, y
diferentes muestras obtenidas de esa población. La diferencias entre un gráfico y otro es el
tamaño muestral de la población, podemos notar que mientras más pequeña es la muestra (N=50)
mayor es la diferencia entre la densidad de la muestra y de la población, versus las muestras más
grandes (N=5000) donde las diferencias son infimas.
.01 .02 .03 .04 .05
.01 .02 .03 .04 .05
0
0
-40 -20 0 20 40 60
x
clear
set obs 100000
g x=invnorm(uniform())*10+15
save x.dta,replace
Poblacion Muestra 50
-40 -20 0 20 40 60
x
Poblacion Muestra 500
Gráfico 19
Muestras Aleatorias de Diferentes Tamaños
Para realizar este gráfico se utilizaron los siguientes comandos:
.01 .02 .03 .04 .05
.01 .02 .03 .04 .05
0
0
-40 -20 0 20 40 60
x
Poblacion Muestra 80
-40 -20 0 20 40 60
x
Poblacion Muestra 1000
.01 .02 .03 .04 .05
.01 .02 .03 .04 .05
0
0
-40 -20 0 20 40 60
x
Poblacion Muestra 100
-40 -20 0 20 40 60
x
Poblacion Muestra 5000

use x, clear
sample 50, count
rename x x50
save x50.dta, replace
use x, clear
sample 80, count
rename x x80
save x80.dta, replace
use x, clear
sample 100, count
rename x x100
save x100.dta, replace
use x, clear
sample 500, count
rename x x500
save x500.dta, replace
use x, clear
sample 1000, count
rename x x1000
save x1000.dta, replace
use x, clear
sample 5000, count
rename x x5000
save x5000.dta, replace
use x, clear
merge using x50 x80 x100 x500 x1000 x5000
twoway (kdensity x) (kdensity x50), name(g1, replace) legend(order(1
"Poblacion" 2 "Muestra 50"))
twoway (kdensity x) (kdensity x80), name(g2, replace) legend(order(1
"Poblacion" 2 "Muestra 80"))
twoway (kdensity x) (kdensity x100), name(g3, replace) legend(order(1
"Poblacion" 2 "Muestra 100"))
twoway (kdensity x) (kdensity x500), name(g4, replace) legend(order(1
"Poblacion" 2 "Muestra 500"))
twoway (kdensity x) (kdensity x1000), name(g5, replace) legend(order(1
"Poblacion" 2 "Muestra 1000"))
twoway (kdensity x) (kdensity x5000), name(g6, replace) legend(order(1
"Poblacion" 2 "Muestra 5000"))
graph combine g1 g2 g3 g4 g5 g6, xcommon ycommon

Muestreo Aleatorio Sistemático
En el Muestreo Aleatorio Sistemático los elementos son seleccionados de la población dentro de
un intervalo uniforme. En el ejemplo anterior, se deben seleccionar 120 personas de una
población de 875 individuos, por lo cual debemos escoger aproximadamente 1 de cada 7 personas
en la población (875/120~7).
A través de los siguientes comandos en STATA podemos generar los 120 individuos seleccionados
con este tipo de muestreo:
clear
set obs 120
g sorteo=int(uniform()*6)+1 if _n==1
replace sorteo=sorteo[_n-1]+7 if _n>1
La siguiente figura muestra los 120 folios seleccionados a través de este método
Figura 11
Números sorteados mediante Muestreo Aleatorio Sistemático
Muestreo Aleatorio Estratificado
El Muestreo Aleatorio Estratificado consiste en dividir a la población en grupos relativamente
homogéneos llamados estratos, y dentro de cada estrato se selecciona a una muestra de esta subpoblación,
ya sea a través de muestreo aleatorio simple o sistemático. El muestreo aleatorio
estratificado puede ser proporcional o no proporcional. En el primero, la muestra de cada estrato
es seleccionada de manera proporcional a la población del estrato, en el segundo se seleccionada
la misma cantidad de elementos en cada estrato.

Propiedades de la Media Muestral
A partir una población podemos seleccionar infinitas muestra, generalmente nosotros
dispondremos de sólo una de estas infinitas muestras que podrían haber sido seleccionadas, por lo
cual debemos conocer las propiedades de la media muestral para poder hacer inferencia sobre
ella.
Para estudiar las propiedades de la media muestral, supongamos que disponemos de la población
y podemos sacar varias muestras diferentes a partir de esta población. Para cada una de estas
muestras podemos calcular la media muestral:
Si la variable aleatoria X tiene una media poblacional igual a y una varianza poblacional igual a
2 , notamos que el valor esperado (o esperanza) de la media muestral es:
Y la varianza de la media muestral es:
De esta forma, podemos notar que en valor esperado la media muestral será igual a la media
poblacional, esto se conoce como que es un estimador insesgado. Además, mientras mayor sea el
tamaño de la muestra menor será la varianza de este estimador (la media muestral), y estará más
concentrada en torno a la media (media poblacional).
Suponga que tenemos una población de 10,000 observaciones, donde esta población tiene una
distribución de probabilidad (densidad) normal con media poblacional 15 y varianza poblacional
igual a 100.
Luego, seleccionamos 1,000 muestras aleatorias de tamaño N=500 cada una, y a cada una de estas
muestras le tomamos la media muestral, el siguiente gráfico nos muestra la distribución
(histograma) de las medias muestrales.
set matsize 11000
matrix B=J(1000,1,0)
clear
set obs 10000
g x=invnorm(uniform())*10+15
save xm.dta, replace

Density
local i=1
while `i'

Se obtiene que el promedio de las medias muestrales es 15, aproximadamente igual a la media
poblacional, y que la varianza de las medias muestrales es 0.186 (0.431^2), lo que equivale
aproximadamente a 100/500.
La desviación estándar de las medias muestrales se conoce como error estándar, esto porque la
variabilidad en las medias muestrales proviene del error de muestreo debido al azar.
Si la variable aleatoria x tiene una distribución normal de la siguiente forma:
Se tiene que la media muestral también tendrá una distribución normal de la forma:
Luego, se puede estandarizar la media muestral restándole la media y dividiéndolo por la
desviación estándar, y se tiene que:
Teorema Central del Límite
El Teorema Central del Límite establece que si tomamos una muestra aleatoria de un tamaño
muestral lo suficientemente grande, independiente de cuál sea la distribución de la variable
aleatoria en la población, la media muestral de la variable tendrá una distribución normal con
media igual a la media poblacional, y varianza igual a la varianza muestral dividió por N.
Supongamos una población que tiene una distribución de probabilidad (densidad) tipo Pareto,
esta distribución tiene la característica de ser bastante asimétrica.
La función de densidad Pareto es:
Y la función de probabilidad acumulada de esta función de densidad es:

Supongamos a=3.
La media poblacional de la variable z que tiene una densidad Pareto es
La varianza poblacional de la variable z es:
A través de los siguiente comandos generamos 100,000 observaciones de una variable que tiene
densidad de probabilidad Pareto con parámetro a=3.
Density
clear
set obs 100000
g u=uniform()
g z=1/(u^(1/3))
histogram z, normal title(Distribución de Probabilidad Variable
Aleatoria Pareto) subtitle(Población de 100.000 observaciones)
save z.dta,replace
.1 .2 .3 .4 .5
0
Gráfico 21
Distribución de Probabilidad Variable Aleatoria Pareto
Población de 100.000 observaciones
0 20 40 60 80 100
z

Para ver el Teorema de Central del Límite, tomaremos muestras aleatorias de tamaño
N=10,50,100,1000, y 5000. Tomaremos la media muestral de cada una de las muestras repitiendo
el ejercicio 500 veces para obtener la distribución de la media muestral en cada uno de los casos.
matrix Z=J(500,6,0)
local i=1
while `i'

local i=1
while `i'

histogram N10, normal title(Muestra de 10 observaciones) note(500
simulaciones) name(gz1, replace)
histogram N50, normal title(Muestra de 50 observaciones) note(500
simulaciones) name(gz2, replace)
histogram N100, normal title(Muestra de 100 observaciones) note(500
simulaciones) name(gz3, replace)
histogram N500, normal title(Muestra de 500 observaciones) note(500
simulaciones) name(gz4, replace)
histogram N1000, normal title(Muestra de 1000 observaciones) note(500
simulaciones) name(gz5, replace)
histogram N5000, normal title(Muestra de 5000 observaciones) note(500
simulaciones) name(gz6, replace)
graph combine gz1 gz2 gz3 gz4 gz5 gz6
Density
Density
2.5
1.5
10
.5
0 2 4 6 8
2
1
0
Muestra de 10 observaciones
1 1.5 2 2.5 3
N10
500 simulaciones
1.4 1.5 1.6 1.7
N500
500 simulaciones
Density
0 1 2 3 4
Gráfico 22
Muestra de 50 observaciones Muestra de 100 observaciones
1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
N50
500 simulaciones
Density
0 2 4 6
1.2 1.4 1.6 1.8 2
N100
500 simulaciones
Muestra de 500 observacionesMuestra
de 1000 observacionesMuestra
de 5000 observaciones
Density
10 15 20
0 5
1.45 1.5 1.55 1.6
N1000
500 simulaciones
Density
10 20 30 40
0
1.46 1.48 1.5 1.52 1.54
N5000
500 simulaciones

La importancia del Teorema Central del Límite es que nos permite hacer inferencia sobre los
parámetros poblacionales, a través de las estadísticas calculadas a partir de la muestra y sin
necesidad de conocer la distribución de probabilidad que dio origen a la población.
Por ejemplo, según los datos de la encuesta CASEN 2009 el ingreso autónomo per-cápita es de
$147,388; y la desviación estándar $239,435.4. Supongamos que estos son los valores
poblacionales de la media y la desviación estándar, es decir:
Con esta información y utilizando el Teorema Central del Límite, podemos calcular la probabilidad
de que el ingreso autónomo per-cápita promedio sea, por ejemplo, menor a $147,000.
Por el Teorema Central del límite se tiene que:
Por lo cual, la probabilidad de que el ingreso autónomo per-cápita sea menor a $147,000 es
equivalente a:
Es decir, la probabilidad acumulada en ese punto.
El error estándar es igual a:
Luego se obtiene que la probabilidad de que el ingreso autónomo per-cápita sea menor a
$147,000 es:
Esto lo podemos realizar en STATA mediante los siguientes comandos:

Hay situaciones en las que el Teorema Central del Límite no será útil:
Cuando el estadístico de análisis no es la media muestral. El TCL nos dice que la media
muestral tiende a una distribución normal cuando la muestra es lo suficientemente
grande. Sin embargo, no es aplicable cuando nuestro estadístico de interés es por ejemplo
la mediana o algún otro percentil.
El TCL requiere que la muestra sea lo suficientemente grande para que la media muestral
tienda a una distribución normal, si la muestra con la que estamos trabajando es pequeña,
no se cumplirá el TCL.
Para poder determinar la probabilidad de que una variable sea menor o mayor a cierto valor,
cuando no se cumple el TCL podemos utilizar el método de simulación Bootstrap.
El método de Bootstrap consiste en tomar una cantidad de seudo-muestras aleatorias de la
muestra observada, y para cada una las seudo-muestras obtener el estadístico de interés (media,
mediana, percentil, etc.). Luego, se tendrá una cantidad suficiente de valor del estadístico en de
distintas seudo-muestras que permitirá calcular la probabilidad de que el estadístico sea menor o
mayor a cierto valor. Luego, se tendrá una cantidad suficiente de valor del estadístico en de
distintas seudo-muestras que permitirá calcular la probabilidad de que el estadístico sea menor o
mayor a cierto valor.
use "casen2009.dta", clear
egen hogarid=group(seg f)
g s=1 if pco1!=14
replace s=0 if pco1==14
egen n=sum(s), by(hogarid)
gen yauthpc=yauthaj/n
keep yauthpc
save "Bootstrap.dta", replace

matrix B=J(500,1,0)
local i=1
while `i'

Fraction
.15
.05
.1
0
Gráfico 23
Distribución de Medias Muestrales
Bootstrap 500 simulaciones
146000 147000 148000 149000
B1
Tabla 5
Resultado Bootstrap para diferentes tamaños muestrales y cantidad de simulaciones
N=10,000 N=50,000 N=100,000 N=246,924
500 0.452 0.356 0.276 0.21
1000 0.434 0.357 0.339 0.192

Stata tiene un comando para realizar bootstrap:
bootstrap "sum yauthpc, detail" "r(mean)", rep(100)
size(100000) saving("C:\boot1.dta)

Test de Hipótesis e Intervalos de Confianza
Cuando se toman decisiones de política se requieren como insumos las estimaciones de ciertas
variables. Por ejemplo, estimar la proporción de la población que postulará a un programa de
capacitación, o cual es el ingreso promedio de las personas que trabajan por cuenta propia, que
proporción de las madres tienen acceso a salas cunas para sus hijos, etc.
La estimación consiste en obtener una aproximación del parámetro poblacional (promedio o
proporción verdadera) a partir de la muestra disponible. Pero dado que esta es una estimación
una vez obtenido el valor debemos preguntarnos si el resultado obtenido es estadísticamente
válido o significativo, o es un mero resultado del azar (de nuestra muestra).
Una vez obtenida la estimación podemos hacer inferencia estadística y pruebas de hipótesis.
Estimador
Un estimador corresponde al método o fórmula a través del cual aproximamos un parámetro
poblacional a partir de una muestra.
Por ejemplo, la media muestral de una variable:
Es un estimador de la media poblacional de la variable .
Por ejemplo, si estamos interesados en saber cuál es la escolaridad de las personas que viven en
zona rural podemos utilizar la Encuesta Casen 2009 y tomar el promedio muestral de los años de
escolaridad según zona:
use "casen2009.dta", clear
egen hogarid=group(seg f)
g s=1 if pco1!=14
replace s=0 if pco1==14
egen n=sum(s), by(hogarid)
gen yauthpc=yauthaj/n

De esta forma, podemos decir que un estimador de los años de escolaridad en la zona rural es
7.64.
Propiedades de un Estimador
Hay estimadores que son mejores que otros, lo que se puede evaluar según las propiedades
deseables para los estimadores
Insesgamiento
Un estimador se dice insesgado cuando el valor esperado del estimador es igual al parámetro
poblacional. Es decir, si obtuviéramos infinitas muestras de una población, y para cada una de ellas
calculamos el estimador, por ejemplo, la media muestral, si el promedio de estos estimadores es
igual a la media poblacional, se dirá que el estimador es insesgado.
Eficiencia
Un estimador se dice que es eficiente cuando la varianza es lo más pequeño posible. Nuevamente,
si tomamos infinitas muestras y para cada una de ellas calculamos el valor del estimador,
queremos que la desviación estándar de estos estimadores sea la menor posible.
Consistencia
Un estimador es consistente cuando al aumentar el tamaño muestral se tiene casi certeza que el
estimador se aproxima bastante al verdadero valor del parámetro poblacional.
Estimador de la Media Poblacional
Un estimador insesgado, eficiente y consistente de la media poblacional es la media muestral:

Estimador de la varianza
Para poder obtener el error estándar debemos utilizar la varianza poblacional de la variable, para
esto utilizaremos un estimador de la varianza poblacional insesgado, eficiente, y consistente que
estará dado por:
Estimador de una Proporción de la Población
Por ejemplo, si queremos estimar la proporción de la población que pertenece al sistema público
de salud a partir de una muestra, un estimador insesgado, eficiente y consistente es la proporción
muestral.
Sea,
El estimador de la proporción poblacional es:
Intervalos de Confianza
Los estimadores presentados nos entregan información importante para poder tomar decisiones,
sin embargo, dado que estos son estimadores o aproximaciones muestrales de parámetros
poblacionales existe cierta incertidumbre o posibilidad de error en las estimaciones. Es decir, no
podemos afirmar con 100% de seguridad que la media del ingreso es cierto valor o que el
porcentaje de personas que cotiza en FONASA es otra valor. Pero si podemos decir con un 95% de
seguridad (o 90% o 99%), esto se conoce como nivel de confianza, que el ingreso promedio se
encuentra en cierto rango de valores, y el valor poblacional está contenido en él.
El intervalo de confianza nos indica el rango de valores (creado a partir de los datos muestrales)
entre los cuales el parámetro poblacional está incluido con cierta probabilidad. La probabilidad de
que el parámetro poblacional este en este intervalo de valores se conoce como el nivel de
confianza.

Intervalos de confianza de media muestral
Supongamos una variable aleatoria X la que poblacionalmente tiene una media igual a y una
varianza igual a 2 , y disponemos una muestra de esta población de tamaño N. Sabemos que la
media muestral es un estimador insesgado, eficiente, y consistente de la media poblacional (), ya
que se tiene que:
Además, sabemos por el Teorema Central del Límite que independiente de cuál sea la distribución
de probabilidad de X, su media muestral tendrá una distribución normal:
Podemos estandarizar la media muestral y se tiene que:
Entonces, sabemos que la media muestral estandarizada se distribuye normal, y que está centrada
en cero, por lo cual con alta probabilidad la media muestral estandarizada estará en torno a cero.
Queremos determinar algún valor límite para poder decir que estamos lejos de la media de la
distribución, por ejemplo, podemos decir que los valor que estén en el 5% más lejos son son
valores probables para la media muestral estandarizada. A partir de esto se define el intervalo de
confianza con un 95% de nivel de confianza o 5% de nivel de significancia:
Donde Z0.025 corresponde al valor de la distribución normal estándar bajo el cual se acumula un
2.5% de probabilidad, y Z0.975 corresponde al valor de la distribución normal estándar que acumula
un 97.5% de probabilidad a la izquierda. Estos valores pueden ser obtenidos de una tabla de la
distribución normal estándar disponible en cualquier libro de estadística o a través de STATA
mediante los siguientes comandos:

Por lo tanto,
Figura 12
Distribución Normal Estándar
Lo que se puede escribir de manera equivalente como:
De esta manera, el intervalo de confianza nos indica que con un 95% de seguridad la media
poblacional está entre:

Sin embargo, lo anterior supone el conocimiento de la varianza poblacional de X, pero en la
práctica esto no será conocido y debemos utilizar su estimador s 2 . Al utilizar el estimador la
distribución ya no es exactamente normal sino que se convierte en una distribución t-student:
Nuevamente, los valores de la distribución t-student los podemos obtener de las tablas de la
distribución o de STATA, a continuación se presentan los valores para diferentes tamaños
muestrales:
Podemos apreciar que a mayor tamaño muestral se aproxima bastante a los valores de la
distribución normal.
Por ejemplo, podemos calcular el intervalo de confianza del ingreso autónomo per-cápita
utilizando la encuesta CASEN 2009:
Entonces podemos decir con un 95% de confianza que el ingreso autónomo per-cápita esta entre
$146,444 y $148,333.

Esto se puede obtener directamente e STATA a través del comando para obtener intervalo de
confianza de una media:
Por defecto entrega el intervalo de confianza al 95%, pero eso puede ser modificado:
Para obtener el intervalo de confianza estamos imponiendo que se cumple el Teorema Central del
Límite, es decir, que la media muestral sigue una distribución normal. Si este supuesto no se
cumple el cálculo del intervalo confianza antes planteado no es válido. En este caso se puede
utilizar Bootstrap para obtener el intervalo de confianza:
bootstrap "sum yauthpc, detail" "r(mean)", rep(500)

Intervalos de confianza de una proporción
La proporción corresponde a la media muestral de una variable binaria que toma valor 1 si se
cumple cierta condición y cero sino. La proporción muestral se utiliza para estimar la proporción
poblacional.
Considere la siguiente variable aleatoria Z con una distribución Bernoulli:
Lo que nos interesa estimar es el parámetro poblacional p.
La media poblacional de la variable Z está dada por:
Luego, obteniendo un estimador para p queda determinado el estimador de la media poblacional
y de la varianza poblacional, existe sólo un parámetro que estimar. Un estimador insesgado,
eficiente y consistente de p es la proporción muestral:
De esta forma, el intervalo de confianza de una proporción esta dado por:

Test de Hipótesis
¿Qué es una hipótesis?
Una hipótesis es una declaración sobre un parámetro poblacional, luego con la información
muestral podremos decir si la afirmación es estadísticamente válida o no. Obviamente al trabajar
con una muestra esta conclusión tendrá cierto nivel de error o alternativamente cierto nivel de
confianza.
Por ejemplo, podemos querer testear si la tasa de participación de mujeres con hijos es un 30%,
esta hipótesis plantea una afirmación sobre un parámetro poblacional, ahora con los datos
muestrales debemos encontrar la evidencia estadística suficiente para rechazar o no esta
afirmación. Otra posible hipótesis a testear es por ejemplo, que el ingreso promedio de los
pensionados es $230 mil. De esta forma, se nos pueden ocurrir diversas hipótesis sobre
parámetros poblacionales, para poder rechazar o no dichas hipótesis debemos contar con datos
muestrales que nos permitan ver si la hipótesis es estadísticamente válida o no, con cierto error
dado que vamos a trabajar con una muestra.
¿Cómo se realiza un Test de hipótesis?
El procedimiento de testear o probar una hipótesis consiste en determinar si una hipótesis de un
parámetro poblacional es razonable a partir de los datos provenientes de una muestra y utilizando
la teoría de probabilidades.
El resultado del Test de Hipótesis NUNCA nos permite afirmar que la hipótesis es verdadera, ya
que el parámetro poblacional es desconocido, pero si nos permite con cierta confianza o
significancia rechazar la hipótesis nula.
Paso 1: Establecer la hipótesis nula y alternativa
Lo primero que se debe hacer es definir la hipótesis a testear, la que se denomina Hipótesis Nula
(H0). La hipótesis nula es una afirmación que no se rechaza a menos que la información de la
muestra ofrezca evidencia convincente de que esta es falsa.
Recuerde que si no rechazamos la hipótesis nula no implica que la aceptemos o que esta sea
verdadera, ya que para probarlo necesitaríamos conocer el parámetro poblacional.
La hipótesis alternativa es la afirmación que se acepta si los datos de la muestra no proporcionan
suficiente evidencia de que la hipótesis nula es falsa.
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia
El nivel de significancia () es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando esta es
verdadera, lo que se conoce como Error Tipo I. El Error Tipo II corresponde a aceptar la hipótesis
nula cuando esta es falsa.

Generalmente se utiliza un 5% de significancia, pero esto dependerá de la hipótesis puntual bajo
estudio, ya que de alguna manera el nivel de significancia es el riesgo que el investigador esta
dispuesto a asumir.
Paso 3: Seleccionar el estadístico
El estadístico es la expresión matemática de la hipótesis nula, construido con la información
muestral disponible, y de forma tal que tenga una distribución de probabilidad conocida (normal,
o t-student) que nos permita determinar fácilmente si rechazamos la hipótesis nula o no.
Por ejemplo, si queremos testear que la media poblacional de cierta variable es 0.5, contra la
hipótesis alternativa de que es distinta a 0.5:
Dado que sabemos, por TCL, que la media muestral tiene una distribución normal, podemos
plantear el siguiente estadístico:
Todos los valores del estadístico pueden ser calculados a partir de la muestra, excepto que
justamente corresponde al valor del parámetro poblacional que estamos planteando en la
hipótesis nula.
Paso 4: Formular la regla de decisión
Se deben establecer las condiciones específicas en las que la hipótesis nula se rechaza. Notemos
que el estadístico está centrado en 0, valor que toma cuando se cumple al hipótesis nula, en la
medida que se aleja de cero ya sea porque este se hace muy grande o muy pequeño, es cada vez
menos probable que se cumpla la hipótesis nula. La zona de rechazo define los valores del
estadístico para los cuales la probabilidad de que se cumpla la hipótesis nula es remota.
Entonces debemos determinar el valor crítico del estadístico de manera que se acumule un 5% de
probabilidad en los valores extremos de la distribución, 2.5% en la cola derecha y 2.5% en la cola
izquierda.

La Figura 13 muestra la zona de rechazo para el test de hipótesis antes planteado, desde - hasta
-1.96 se encuentra la zona de rechazó a la izquierda, y desde 1.96 a + la zona de rechazo a la
derecha.
Figura 13
Zona de rechazo Test de dos colas
En caso que la hipótesis alternativa sea que la media poblacional es menor a cierto valor,
rechazaremos la hipótesis nula a favor de la alternativa sólo si el valor efectivamente es menor al
planteado, es decir , cuando el estadístico se vuelva muy negativo, por lo cual en este caso la zona
de rechazo completa se ubica en la cola izquierda de la distribución, desde - a -1.64.
Figura 14
Zona de rechazo Test de una cola

Finalmente, la Figura 15 muestra la zona de rechazo en el caso que la hipótesis alternativa es que
la media poblacional es mayor a cierto valor, en este caso se rechazará la hipótesis nula de que es
igual a este valor sólo si el valor de la media muestral está lo suficientemente por arriba del valor
planteado, y el valor del estadístico es positivo y lo suficientemente grande, así la zona de rechazo
completa se ubica en la cola derecha de la distribución, de 1.64 a + .
Paso 5: Tomar una decisión
Figura 15
Zona de rechazo Test de una cola
Una vez definida la hipótesis nula, se calcula el estadístico a partir de los datos muestrales, y
determinado el nivel de significancia se puede establecer el valor crítico del estadístico.
Comparando el valor calculado del estadístico con los valores que definen las zonas de rechazo se
puede concluir si se rechaza o no la hipótesis nula a favor de la hipótesis alternativa.
Ejemplo Test de Hipótesis sobre media poblacional
Suponga que estamos interesados en testear que la edad media de las mujeres que trabajan es 45
años, contra la hipótesis alternativa de que es distinta a 45 años.
1) Debemos plantear el Test de Hipótesis:

2) Escoger el nivel de significancia: 5%
3) Obtener el valor calculado del estadístico con los datos muestrales:
use "casen2009.dta", clear
g trabaja=1 if o1==1
replace trabaja=1 if o1==2 & o2==1
replace trabaja=1 if o1==2 & o2==2 & o3==1
replace trabaja=0 if trabaja==.
replace trabaja=. if o1==.
sum edad if sexo==2 & trabaja==1
Luego, con esta información podemos construir el estadístico para el test sobre la media
poblacional, el que se basa en que la media muestral tiene una distribución normal:
4) El estadístico calculado lo debemos comparar con el de la distribución t-student con 31660
grados de libertad y con un 5% de significancia dividido en dos colas.
De esta forma, la zona de rechazo está entre - y -1.96, y 1.96 y + .
5) Dado que el valor del estadístico cae en la zona de rechazo de la cola izquierda, se puede
concluir que se rechaza la hipótesis nula de que la edad promedio de las mujeres que
trabajan es 45 años, en favor de que es distinta.

Esto mismo lo podemos hacer a través del comando ttest de STATA:
p-value
En el procedimiento antes descrito necesitamos definir un nivel de significancia para determinar
las zonas en las cuales rechazaremos la hipótesis nula.
Por otra parte, el valor p nos entrega información adicional para determinar con que fuerza la
hipótesis nula es rechazada, es decir, con qué seguridad rechazamos H0.
El valor p es la probabilidad acumulada en las colas desde el valor negativo del estadístico a la
izquierda, y desde el valor positivo del estadístico a la derecha, en el caso de un test de dos colas.
1) H1: 0:
2) H1: 0:
3) H1: 0:
Por ejemplo, a continuación realizaremos test para el salario por hora promedio:
use "casen2009.dta", clear
g horas=o16/7*30
g yhora=yopraj/horas

En el primero caso, donde se plantea como hipótesis nula que el ingreso promedio por hora es
$1,900, el valor calculado del estadístico es 1.12, si lo comparamos con el valor de de la
distribución t al 5% de significancia (1.96), podemos concluir que no se puede rechazar la hipótesis
nula de que el ingreso por hora promedio es $1,900.
En este caso, si estamos planteando un test de dos colas el valor p es igual a:
Esto significa que el valor del estadístico calculado para esta hipótesis nula acumula un 26.3% de
probabilidad en las colas, claramente mayor al 5% de error tipo I que se está dispuesto a tolerar.
Si la hipótesis alternativa fuese que la media es mayor a 1900, el valor p estará dado por:
También es mayor al 5% de significancia.
Finalmente, si la hipótesis alternativa fuese que el salario promedio es menor a 1900, el valor p
estaría dado por:

El valor p nos indica el nivel de significancia o error tipo I asociado al estadístico calculado, si este
es menor al 5% es porque nuestro estadístico estará en la zona de rechazo, por lo cual la regla de
oro para utilizar le p-value es:
Si el valor p es menor al nivel de significancia dado se rechaza la hipótesis nula
Si el valor p es mayor al nivel de significancia dado no se puede rechazar la hipótesis nula
Test de hipótesis sobre una proporción
Se tiene como hipótesis nula que la proporción de la población que cotiza para el sistema de
pensiones es 0.5.
use "casen2009.dta", clear
g cotiza=1 if o29==1
replace cotiza=0 if o29==2 | o29==3 | o29==9
El valor del estadístico calculado es 20.63 mayor al 1.96 que determina el valor crítico por
lo cual se rechaza la hipótesis nula.
También podemos notar que el valor p es 0% menor al 5% de significancia por lo cual se
rechaza la hipótesis nula.
Una tercera forma de concluir sobre la hipótesis nula es notando que el intervalo de
confianza (valor más probables) no contiene el valor 0.5.
Test de diferencia de medias
Una conjunto importante e interesante de test de hipótesis son los relacionados con comparar las
medias o proporción de una variable entre dos grupos diferentes, o de manera equivalente testear
que la media de una variable de un grupo, por ejemplo, hombres es igual a la media de la misma
variable en el otro grupo, mujeres.
Por ejemplo, si queremos testear que el ingreso por hora de los hombres es igual que al de las
mujeres, debemos plantear el siguiente test de hipótesis:

Para plantear el estadístico en función de los indicadores muestrales, tomamos como punto de
partida que la diferencia de medias muestrales también se distribuye normal con media igual a la
diferencia de medias poblacionales, y con varianza:
De esta forma, se tiene que:
Pero el error estándar es estimado a partir de la muestra de la siguiente manera:
Así, el estadístico para el test de diferencias de medias es:
El comando ttest y prtest de STATA pueden ser utilizados con la opción by() para realizar el
test de diferencia de medias y diferencias de proporciones.
El siguiente output nos muestra el resultado para el test de diferencias de media de ingreso por
hora entre hombres y mujeres, notemos que la hipótesis nula es que el ingreso promedio de los
hombres menos el ingreso promedio de las mujeres es igual a cero. En términos muestrales, el
ingreso promedio de los hombres es $2,007 y el ingreso promedio de las mujeres $1,741, la
diferencia es de $265.8. El error estándar de la diferencia es 27.9. De esta forma, se obtiene un
valor calculado del estadístico de 9.5358 lo que nos permite rechazar al 5% (ya que es mayor que
1.96) que el ingreso promedio de los hombres es igual al ingreso promedio de las mujeres (o que
la diferencia es cero). Esto también se puede concluir notando que el valor p es menor a 0.05 (5%)

y que el cero no está contenido en el intervalo de confianza para la diferencia de ingresos
promedios.
El siguiente output nos muestra el resultado para testear la hipótesis nula de que la proporción de
hombres que cotiza en el sistema de pensiones es igual a la proporción de mujeres que cotiza.
Tenemos que el valor calculado del estadístico es 1.74 levemente inferior a 1.96, por lo cual al 5%
de significancia no podemos rechazar la hipótesis nula de que las proporciones son iguales, lo
vemos también porque el p-value es mayor a 0.05 y el cero está contenido en el intervalo de
confianza.

Bootstrap para el test de medias
En el caso que se tenga una muestra pequeñas o dudas sobre la normalidad de la media muestral
se puede aplicar el método no paramétrico de bootstrap para obtener el intervalo de confianza de
la media muestral y de esta manera testear cualquier hipótesis sobre el parámetro poblacional.
El resultado nos muestra que con un 95% de confianza el ingreso por hora promedio poblacional
se encuentra entre 1889.4 y 1946.9, con lo cual no podemos rechazar la hipótesis nula de que es
igual a 1900, antes testeada, y si podemos rechazar que es igual a 2100.
Bootstrap para el test de mediana
Suponga que queremos testear la hipótesis nula de que la mediana poblacional del ingreso por
hora es igual a 1000, dado que para la mediana no se cumple el Teorema Central del Límite
debemos utilizar bootstrap para testear esta hipótesis.
La siguiente imagen nos muestra el resultados del bootstrap para la mediana el ingreso por hora
con 300 repeticiones, se obtiene que con un 95% de confianza el ingreso por hora mediano
poblacional está entre 1088.63 y 1105, con lo cual se rechaza la hipótesis nula de que el ingreso
por hora mediano sea igual a 1000 ya que este valor esta fuera del intervalo de confianza.

Bootstrap para el test de diferencia de medias
Como no existe un comando directo en STATA que calcule la diferencia de media, en vez de pedir
en el comando bootstrap que repita un comando le pediremos que repita un do-file, donde este
do-file calcula la diferencia de medias:
difgenero.do
sum yhora if sexo==1
g h=r(mean)
sum yhora if sexo==2
g m=r(mean)
g dif=h-m
sum dif
Previo a haber creado el do-file anterior y haber sido guardado en el computador, se ejecuta el
siguiente comando:
bootstrap "do difgenero.do" "r(mean)", reps(300)
El resultado del bootstrap nos muestra que la diferencia entre el ingreso por hora medio de los
hombres y el ingreso por hora medio de las mujeres se encuentra con un 95% de confianza entre
209.6 y 310.5. Con lo cual al testear la hipótesis nula de que la diferencia de medias es cero, se
rechaza la hipótesis nula

Bootstrap para el test de diferencia de medianas
Si queremos testear que la diferencia entre el ingreso por hora mediano entre hombres y mujeres
es cero, debemos utilizar de manera obligada bootstrap ya que la diferencia de medianas no tiene
distribución normal.
difmediangenero.do
sum yhora if sexo==1, d
g h=r(p50)
sum yhora if sexo==2, d
g m=r(p50)
g dif=h-m
sum dif
Previo a haber creado el do-file anterior y haber sido guardado en el computador, se ejecuta el
siguiente comando:
bootstrap "do difmediangenero.do" "r(mean)", reps(300)
La siguiente tabla nos muestra el resultado del bootstrap, encontrando que la diferencia de
ingreso por hora mediano entre hombres y mujeres se encuentra con un 95% de confianza entre

114.5925 y 114.5927, por lo cual también se rechaza que la diferencia de medianas sea igual a
cero.
Distribución de Probabilidad Conjunta
Hasta ahora nos hemos concentrado en el análisis de una sola variable, como es su distribución, su
media y dispersión. Pero en gran parte de los problemas económicos y de políticas públicas no
sólo nos interesa estudiar una variable, sino también como esta variable se puede o no ver
afectada por el comportamiento de otras variables.
Por ejemplo, cuando analizamos el nivel de ingreso nos interesaría también saber cómo se
relacionada con otra variable, como años de escolaridad o experiencia laboral, etc.
Otras preguntas que nos puede interesar responder:
¿Afecta la salud física los resultados que obtienen los individuos en el mercado del
trabajo?
¿Disminuye el empleo cuando el salario mínimo se incrementa?
¿Disminuye la desigualdad de ingresos cuando aumenta la participación laboral femenina?
Más específicamente, si la salud física es una variable aleatoria (X) y salario laboral es otra variable
aleatoria (Y), cada una tiene su propia distribución de probabilidad, lo que se denomina
distribución de probabilidad marginal, luego debemos determinar la función de probabilidad
conjunta y condicional para estudiar si las variables aleatorias X e Y son independientes o no.
La función de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias X e Y indica la probabilidad de que
las dos variables tomen ciertos valores de manera simultánea. Las probabilidades de todas las
posibles combinaciones (x,y) deben sumar 1. La función de probabilidad conjunta se denota de la
siguiente manera:

Supongamos el siguiente ejemplo, en que la variable aleatoria X es binaria y toma valor 1 si el
profesor participó en el proceso de certificación docente y cero si es que no participó. Esta
variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad marginal:
La que puede ser escrita de la siguiente manera:
X Pr[X=x]
0 2/3
1 1/3
Suponga ahora que tiene otra variable aleatoria binaria Y que toma valor 1 si el profesor nació el
primer trimestre del año, y 0 si nacieron los trimestres 2, 3, o 4. Entonces, la función de
probabilidad marginal de Y es:
La que puede ser escrita de la siguiente manera:
Y Pr[Y=y]
0 3/4
1 1/4
La función de probabilidad conjunta de estas dos variables aleatorias es:
Lo que puede ser escrito de manera alternativa:
x=0 x=1
y=0 6/12 3/12
y=1 2/12 1/12

Donde podemos verificar que la suma de probabilidades es igual a 1.
Luego sumando verticalmente las probabilidades podemos obtener la distribución de probabilidad
marginal de X, y sumando horizontalmente las probabilidades podemos obtener la distribución de
probabilidad marginal de Y:
x=0 x=1
y=0 6/12 3/12 3/4
y=1 2/12 1/12 1/4
2/3 1/3
También podemos notar del cuadro anterior que cualquiera de las probabilidades conjuntas puede
ser obtenida simplemente multiplicando las probabilidades marginales:
Esto se cumple sólo cuando las variables aleatorias son independientes.
Ahora supongamos otra variable aleatoria Z la que también es binaria y toma valor 1 si el
establecimiento educacional al cual pertenece el profesor es privado y 0 si es público. La
probabilidad con la cual Z toma valor 1 es 1/3 y la probabilidad con la que toma valor 0 es 2/3.
La siguiente tabla muestra las probabilidades asociadas a la distribución conjunta de las variables X
y Z:
x=0 x=1
z=0 7/12 1/12 2/3
z=1 1/12 3/12 1/3
2/3 1/3
En este caso, el producto de las probabilidades marginales no es igual a la probabilidad conjunta,
esto sucede porque las variables no son independientes:
De esta forma, se concluye que la certificación del profesor y la dependencia del colegio al cual
pertenece no son variables independientes.

Test de Independencia 2
Si tenemos dos variables aleatorias podemos realizar un test de independencia para ver si
empíricamente las variables se comportan como si fuesen independientes.
Este test se basa en que bajo la hipótesis nula de independencia de las variables la multiplicación
de las probabilidades marginales debería ser igual a la probabilidad conjunta.
Supongamos que X e Y, dos variables aleatorias, pueden tomar dos valores respectivamente. Y se
tiene que:
Sea N el total de observaciones, y Nij el número de observaciones donde X=i e Y=j.
Luego el estadístico para testear esta hipótesis es:
Al 5% de significancia el valor de la distribución 2 con un grado de libertad es 3.84.
Recordemos que la hipótesis nula es de independencia entre las variables, por lo cual bajo la
hipótesis nula se debería cumplir que Nij sea igual a Nqipj, lo que indica que el número de
observaciones que cumplen con Y=0 y X=0 es igual a tomar el total de observaciones y multiplicar
por la probabilidad de que Y=0 y por la probabilidad de que X=0. De esta forma, bajo la hipótesis
nula el estadístico toma valor cero, en la medida que se deja de cumplir la hipótesis nula el valor
del estadístico comienza a crecer (siempre positivo), si este difiere tanto de cero al punto de llegar
a ser mayor a 3.84 se rechaza la hipótesis nula de que las variables son independientes.
La siguiente tabla nos muestra el resultado del test de independencia entre la variable aleatoria X
(certificación del profesor) y la variable aleatoria Y (trimestre de nacimiento):

De la tabla anterior, tenemos que:
Luego podemos calcular cada uno de los cuatro términos en la sumatoria del estadístico:
Y=0, X=0:
Y=1, X=0:
Y=0, X=1:
Y=1,X=1

Sumando los cuatro términos se obtiene el valor calculado del estadístico:
Como el valor del estadístico calculado es menor a 3.84 no se puede rechazar la hipótesis nula de
independencia entre certificación del profesor y fecha de nacimiento, también se puede concluir
estos notando que el valor p es mayor a 0.05 (5%).
La siguiente tabla muestra el test de independencia entre las variables aleatorias X y Z:
El valor del estadístico es mayor al valor crítico, o el p-value es menor a 0.05, con lo cual se
rechaza la hipótesis nula de que certificación del profesor y dependencia del colegio sean variables
independientes.

Distribución de probabilidad condicional
Cuando analizamos la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X condicional en algún
valor especifico de Y, por ejemplo, Y=0, se conoce como distribución de probabilidad condicional.
Por ejemplo, suponga que estamos interesados en saber cuál es la probabilidad de que un docente
se certifique condicional en que nació en el primer trimestre del año.
x=0 x=1
y=0 6/12 3/12 3/4
y=1 2/12 1/12 1/4
2/3 1/3
En términos generales, la distribución de probabilidad de X condicional en Y es igual a:
Notemos que la probabilidad de que un docente se certifique condicional en que nació el primer
trimestre es igual a la probabilidad incondicional (o marginal) de que un docente se certifique,
esto se cumple porque las dos variables son independientes.
También podemos analizar la probabilidad de que un docente se certifique condicional en que la
dependencia del colegio es pública:
x=0 x=1
z=0 7/12 1/12 2/3
z=1 1/12 3/12 1/3
2/3 1/3
En este caso la probabilidad de certificarse condicional en que el colegio es público es distinta a la
probabilidad incondicional de certificarse, esto porque las variables no son independientes.

La distribución de probabilidad condicional nos permite definir la esperanza condicional de una
variable:
Este concepto es muy importante en análisis de regresión, herramienta fundamental para el
análisis de políticas públicas.
Covarianza y Correlación
La covarianza entre dos variables aleatorias muestra el grado en que estas dos variables se
mueven de manera conjunta. La covarianza entre dos variables aleatorias X e Y es igual a:
La covarianza entre las dos variables será positiva si cuando X está por sobre la media Y también
tiende a estar pos sobre la media, y la covarianza será negativa si cuando X está por sobre la
media Y tiende a estar bajo la media. Cuando las dos variables son independientes la covarianza
será igual a cero.
El comando correlate con la opción c de STATA calcula las covarianza en el listado de
variables señalado.
En este caso nos muestra que la covarianza entre X e Y es positiva e igual a 0.011, y la covarianza
entre X y Z es positiva también e igual a 0.069. Finalmente, la covarianza entre Z e Y es negativa e
igual a -0.005873.
¿Pero cómo podemos interpretar el valor de la covarianza?

Si nos fijamos la definición de covarianza estar multiplica los desvíos de X con respecto a su media
por los desvíos de Y con respecto a su media, por lo cual, está en unidades de X multiplicado por
unidades de Y lo que no tiene ninguna interpretación.
Una medida estandarizada de dependencia entre dos variables aleatorias es el Coeficiente de
Correlación el que elimina el problema de las unidades en la variable dividiendo la covarianza por
la desviación estándar de X y por l desviación estándar de Y.
Esta medida tomará valores entre -1 y 1, donde -1 indica dependencia negativa perfecta entre las
dos variables, 1 indica dependencia positiva perfecta entre las dos variables, y 0 indica que son
independientes.
Con el comando correlate de STATA podemos obtener el coeficiente de correlación entre un
listado de variables:
En este caso, el coeficiente de correlación entre X e Y (variables independientes) es muy cercano a
cero, sin embargo, el coeficiente de correlación entre X y Z es positivo de orden de 0.28,
mostrando una dependencia positiva entre las dos variables.
Por ejemplo, utilizando los datos de la Encuesta CASEN 2009 podemos ver cuál es la correlación
entre los años de escolaridad (esc) y el salario de la ocupación principal (yopraj):
Los resultados nos muestran un coeficiente de correlación positivo del orden de 0.28 entre los
años de escolaridad y el salario. Sin embargo, al ser obtenido de una muestra podemos
preguntarnos si este valor es estadísticamente diferente de cero o no.

A través del siguiente comando en STATA podemos testear si el coeficiente de correlación es
estadísticamente diferente de cero. La hipótesis nula es que el coeficiente es igual a cero, y la tabla
a continuación presenta bajo el coeficiente de correlación y valor p para esta hipótesis nula:
En este caso, se rechaza la hipótesis nula de que el coeficiente de correlación entre años de
escolaridad y salario sea igual a cero.
La siguiente tabla nos muestra, utilizando la misma Encuesta CASEN 2009, correlaciones entre un
listado de variables:
Finalmente, debemos tener presente que el coeficiente de correlación mide asociación lineal entre
las variables, por lo cual si existe una relación pero no lineal esta no será detectada por el
coeficiente de correlación.

Test de Normalidad
Hasta ahora para estudiar la normalidad de una variable lo hemos realizado por simple inspección
gráfica o viendo que los coeficientes de asimetría y kurtosis sean “cercanos” a los valores que
caracterizan una distribución normal, 0 y 3 respectivamente.
Podemos plantear más formalmente un test que tenga como hipótesis nula:

Esta hipótesis testea conjuntamente que asimetría es cero y kurtosis es igual a 3, es decir, la
hipótesis nula es que la variable es normal.
Tenemos la variable X, con las siguientes estadísticas descriptivas:
El coeficiente de asimetría es prácticamente cero, y la kurtosis muy cercana a 3. En efecto
podemos ver a través del histograma de la variable que sigue una distribución muy parecida a la
normal:
Density
.2 .4 .6 .8
0
0 1 2 3 4
x
Sin embargo, necesitamos saber si estadísticamente la asimetría es cero y la kurtosis es 3, para eso
realizaremos un test de hipótesis que tenga como hipótesis nula la normalidad de la variable:

El primer valor p que muestra es sobre la hipótesis nula de que la asimetría (skewness) es igual a
cero, dado que el valor p es mayor a 0.05 no se puede rechazar la hipótesis nula de que la
asimetría de la variable X es cero. El segundo valor p es sobre la hipótesis nula de que la kurtosis es
igual a 3, dado que el valor p es mayor a 0.05 no se puede rechazar la hipótesis nula de que la
kurtosis es igual a 3. Finalmente, el tercer valor p presentado corresponde a lo que estrictamente
se conoce como test de normalidad, ya que testea conjuntamente que ambas condiciones se
cumplen. En este caso el valor p es mayor a 0.05 por lo cual no se puede rechazar la hipótesis nula
de normalidad de la variable X.
El siguiente gráfico nos muestra la distribución de la edad según los datos de la Encuesta CASEN
2009:
Density
.015
.005
.02
.01
0
Y sus principales estadísticas descriptivas:
0 20 40 60 80 100
r3: edad

Notamos que la asimetría es relativamente lejana a cero, y la kurtosis diferente de 3. Pero
debemos ver si estadísticamente la asimetría difiere mucho de cero y la kurtosis de 3 como para
rechazar la hipótesis nula de normalidad de la variable edad.
En este caso, se rechaza la hipótesis nula de normalidad de la variable.

Análisis de Regresión Lineal
Vimos que cuando nos interesa analizar la relación entre dos variables, el coeficiente de
correlación es un indicador que me permite obtener el grado de dependencia y la dirección de
ella. Por ejemplo, el siguiente gráfico nos muestra la relación entre las expectativas de vida de los
hombres y las expectativas de vida de las mujeres para 188 países:
graph twoway (lfit lex60_f lex60_m) (scatter lex60_f lex60_m)
Gráficamente se aprecia una fuerte relación positiva entre estas dos variables, en efecto el
coeficiente de correlación es 0.94:

El siguiente gráfico nos muestra la relación entre la tasa de mortalidad infantil y la tasa de
alfabetización de las mujeres:
Podemos apreciar que existe una fuerte relación negativa entre la tasa de alfabetización y la tasa
de mortalidad, es decir, en países con mayor alfabetización de las mujeres tienden a tener menor
tasa de mortalidad infantil. El coeficiente de correlación entre estas dos variables es -0.81.
Si bien la correlación entre las variables nos indica dependencia entre ellas, ya sea positiva en el
primer ejemplo o negativa en el segundo, no nos indica alguna causalidad de la relación entre las
variables.
En la mayoría de los problemas económicos y de evaluación de políticas públicas el interés está en
estudiar el efecto causal que tiene una o más variables sobre alguna variable de interés (variable
de resultado).

El concepto ceteris paribus (todo lo demás constante) juega un rol fundamental en determinar el
efecto causal, ya que generalmente habrá una serie de variables que afectan el comportamiento
de nuestra variable de interés y debemos ser capaces de controlar por todas ellas para poder aislar
e identificar de manera correcta el efecto de una o más variables particulares que nos interesen
sobre la variable de interés.
Por ejemplo, si estamos interesados en determinar el efecto de una semana adicional de
capacitación sobre la productividad de los trabajadores (lo que se verá reflejado en su salario)
debemos considerar los otros factores que pueden afectar la productividad del trabajador como
educación y experiencia, es decir, debemos preguntarnos cuál es el efecto de una semana
adicional de capacitación dado un nivel de escolaridad y un nivel de experiencia.
Suponga que nos interesa estudiar en el rendimiento de los alumnos, medido a través del puntaje
SIMCE, de reducir el tamaño del curso (o alumnos por profesor) en 2. Luego queremos encontrar
una relación entre Simce y TamañoCurso, donde significa cambio. Entonces queremos
determinar cuánto cambia el puntaje de Simce en relación a cuanto está cambiando el tamaño del
curso, vale decir:
mide cuanto cambia el puntaje del simce por cada cambio en tamaño de curso, por ejemplo, si
beta es -5.7 se puede interpretar que un aumento en 1 alumno el tamaño del curso disminuye el
puntaje de SIMCE en 5.7 puntos:
Notemos que b corresponde a la pendiente de una recta que relaciona el puntaje en el SIMCE con
el tamaño del curso:
donde es el intercepto y es la pendiente.
De esta forma, si tuviésemos los valores de y podríamos responde cualquier pregunta que
relacione tamaño de curso con puntaje Simce.

Recta de Regresión Lineal
En términos generales denotaremos por Y a la variable de interés y X a la variable que tiene un
efecto causal sobre la variable de interés la que normalmente se denominan variable explicativa o
regresor.
La relación entre la variable Y y la variable X (puede ser más de una variable explicativa) no es
determinística, sino que es aleatoria. Esto es, para un mismo valor de X no siempre observamos el
mismo valor de Y sino distintos valores (con cierta distribución).

Si la relación fuese determinística, estadísticamente no tendríamos ningún problema interesante.
El problema en Análisis de Regresión es justamente que para un valor de X no siempre
observamos el mismo valor de Y, por lo cual lo mejor que podemos hacer es tratar de descubrir
cuál es el valor esperado de Y condicional en cierto valor de X, lo que se conoce como Esperanza
Condicional:
Podemos ver gráficamente que el valor de la esperanza de Y va cambiando condicional en
diferentes valores de X, específicamente, observamos en este caso que a medida que aumenta X
(número de alumnos por curso) el puntaje promedio va disminuyendo.
De esta forma, podemos decir que la Esperanzan Condicional de Y, lo mejor que podemos tratar
de predecir, es una función de X. El modelo de regresión lineal asume que esta función es lineal:
Las observaciones que tengamos en nuestra muestra de datos nos permitirán obtener
estimadores para los parámetros poblacionales desconocidos: y , y de esta forma obtener un
estimador para la media condicional:
Tendremos N observaciones, la observación del individuo i de la variable dependiente será Yi y la
variable explicativa del individuo i será Xi donde i=1,..,N.
Existe una diferencia entre la observación puntual de Yi y la recta de regresión o esperanza
condicional, esa diferencia es la que se denomina error y será denotado por ui. El error de
regresión resume los factores aleatorios que determinan el comportamiento de Y pero que no son
explicados por X.

Entonces, la distancia que hay entre la observación puntual de Yi y el valor en la recta de regresión
(o media condicional) es el error de regresión:
Donde el valor esperando de ui es cero.
De esta forma, el Análisis de Regresión estudia la relación entre una variable dependiente y una o
más variables explicativas, y tiene como objetivo medir o predecir la media poblacional de la
variable dependiente para valores fijos, o condicional en valores de la o las variables explicativas.
Para estimar la media poblacional:
Se utiliza la muestra obteniendo la recta de regresión muestral:
La diferencia entre el valor estimado de la media y el valor observado de Yi será el error estimado:
y se denominan coeficientes de regresión poblacionales y y corresponden a los
estimadores muestrales de dichos coeficientes o parámetros.
Notemos que nosotros dispondremos de una de las infinitas muestras que pueden ser obtenidas
de una población, y para esta muestra obtendremos los estimadores de los parámetros
poblacionales. Si hubiésemos tenido acceso a otra muestra el estimador sería diferente, en efecto,
podemos construir una distribución (teórica) para los estimadores.
La pregunta ahora es ¿Cuál será un buen estimador para estos parámetros?
Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios
Recordemos que un estimador es una fórmula o método que nos dice como aproximar un
parámetro poblacional a partir de una muestra. Para clasificar al estimador como bueno o
deseable este debía cumplir con ciertas propiedades:
Ser insesgado
Ser eficiente
Ser consistente
Bajo ciertos supuestos el estimador de Mínimos Cuadrados Ordinario (MCO) cumplirá con todas
estas propiedades.

Los supuestos detrás del estimador MCO son:
1) Modelo de regresión sea lineal en los parámetros
2) El valor esperado del error del modelo sea cero
3) Las variables explicativas sean exógenas o no correlacionadas con el error del modelo
4) La varianza del error sea constante
5) Los errores no estén correlacionados entre ellos
El supuesto 3 es clave para la identificación correcta del efecto causal que tiene X sobre Y, es decir,
la identificación correcta de . Notemos que si existe correlación entre X y u, al cambiar X también
se moverá u, y no sabremos de donde proviene el cambio observado en Y.
Los supuestos 2, 4, y 5 se resumen en que el error es independiente e idénticamente distribuido
con media cero y varianza constante 2 :
El estimador MCO me dice que escoja y de forma tal de minimizar la suma de los errores al
cuadrado:

Resolviendo este problema de optimización se tiene que:
La regresión lineal por MCO en STATA sea hace a través del comando regress:
Esto se interpreta que un aumento marginal (de un alumno) en la cantidad de alumnos por curso
disminuye en 2.3 puntos el puntaje en la prueba estandarizada. Note que el resultado se ve

siempre enunciando un cambio marginal en la variable explicativa (un alumno, un año, un peso,
etc), y el coeficiente estimado esta en unidades de la variable dependiente, en este caso puntaje.
Ejemplos
La siguiente regresión muestra cual es el efecto marginal que tiene un año adicional de escolaridad
sobre el salario por hora:
Se estima con esta muestra que un año más de escolaridad aumenta en salario por hora en
promedio 161.5 pesos.
Muchas veces las variables monetarias se miden en logaritmo, por ejemplo, logaritmo del salario
por hora. Esto se hace por dos razones: cuando la variable esta en logaritmo el cambio marginal es
un cambio porcentual:
Y la segunda razón es que la transformación logarítmica de la variable logra transformar variables
muy asimétricas en variables asimétricas.
La siguiente regresión muestra la regresión lineal entre el logaritmo natural del salario por hora y
los años de escolaridad:

En este caso el coeficiente estimado para el parámetro que acompaña los años de escolaridad es
igual a:
De esta forma, se interpreta como que un año adicional de escolaridad aumenta en 6.63% el
salario por hora.
La siguiente tabla nos muestra una regresión múltiple (considera más de una variable explicativa)
explicando el salario por hora en función de los años de escolaridad y la edad:
Se obtiene que una año más de escolaridad aumenta el salario por hora en 213.5 pesos en
promedio, dado un nivel edad edad, y se obtiene que un año más de edad aumenta el salario por
hora promedio en 42.7 pesos dado cierto nivel de escolaridad. Recordemos que lo que estudia el
análisis de regresión son los efectos marginales de variables explicativas sobre la esperanza
condicional de la variable dependiente.
Inferencia
Recordemos que el estimador es la aproximación del parámetro poblacional desconocido, en el
modelo de regresión lineal los parámetros poblacionales desconocidos son los coeficientes que
acompañan a las variables explicativas más el intercepto (o constante).
Dado que el estimador se obtiene de una muestra, el estimador de por sí es una variable aleatoria
que tiene una distribución de probabilidad, con cierta media y cierta varianza.
Recordemos que el estimador MCO de en el modelo:

Está dado por:
El que puede ser escrito de la siguiente forma:
De esta forma, podemos notar fácilmente que el estimador es insesgado, ya que:
Luego, podemos calcular la varianza del estimador:
Recuerde que el estimador MCO es eficiente por lo cual tiene la mínima varianza dentro de todos
los posibles estimadores lineales e insesgados, sin embargo, podemos ver que esta varianza (aun
siendo eficiente) será mayor mientras mayor sea la varianza del error, y menor mientras mayor
sea la varianza de las variables explicativas.
Notemos que hasta ahora, para decir que MCO es insesgado, eficiente y consistente, no hemos
necesitado el supuesto de normalidad del error. Sin embargo, para hacer inferencia se necesita
hacer este supuesto de normalidad:
Bajo este supuesto se tiene que:
Luego, podemos estándarizar:
Sin embargo, 2 es desconocido y debemos utilizar el estimador muestral s 2 . Luego,

Donde k es el número de parámetros estimados en el modelo de regresión.
Luego podemos utilizar este estadístico para hacer inferencia sobre los valores de los parámetros
poblacionales.
Los test de hipótesis mínimos que se deben hacer cuando se estima un modelo de regresión, es lo
que se conoce como test de significancia de los parámetros, estos consisten en plantear como
hipótesis nula que el parámetro poblacional es igual a cero, y como alternativa que es distinto de
cero:
El estadístico estará dado por:
Para esto necesitamos tener el valor del estimador y de la varianza estimada.
Cuando se hace una regresión en STATA automáticamente nos mostrará el valor del estimador y
de su desviación estándar, dividiendo los valores de la primera columna (estimador) por los
valores de la segunda columna (desviación estándar) se obtiene el valor calculado del estadístico,
el que es presentado en la tercera columna.
El valor de este estadístico calculado debe ser comparado con el valor de la distribución t con
83987 grados de libertad, y con el nivel de significancia seleccionado.

El valor de la distribución t-student es -1.96 y 1.96, comparando lo estadísticos calculados, en
todos los casos se rechaza la hipótesis nula de que el parámetro sea igual a cero.
Esto también lo podemos concluir notando que el valor p asociado a este estadístico es menor a
0.05, o notando que el cero no pertenece al intervalo de confianza.
Test de Normalidad del error
El supuesto clave para poder concluir directamente la significancia de las variables explicativas (a
través de la significancia de los parámetros que la acompañan) mediante los valores entregados
por el output de STATA es que el error del modelo se distribuye normal, si este supuesto no se
cumple, el estadístico no tiene una distribución conocida y se debe utilizar el método de bootstrap
para obtener los intervalos de confianza.
Podemos testear la normalidad de los errores. Una vez estimado el modelo se pueden obtener los
errores estimados:
En STATA:
Se rechaza la hipótesis nula de normalidad del error.
Debemos utilizar bootstrap para obtener los intervalos de confianza de los parámetros:

Bondad de Ajuste
Una medida de bondad de ajuste nos dice como evaluar el poder explicativo de nuestro modelo.
Una medida de bondad de ajuste es el R 2 , el que mide que fracción de la varianza del la variable
dependiente o de interés esta siendo explicada por la varianza de las variables, y no por el error:

Donde ESS, es la suma de los cuadrados explicada, TSS es la suma de los cuadrados totales, y RSS
es la suma de los residuos al cuadrado:
Esta medida siempre estará entre cero y uno ya que es una proporción, donde mientras más
cercano a 1 mejor es el modelo, y mientras más cercano a cero peor.
El R 2 ajustado es una medida más confiable en el sentido que penaliza el hecho de incorporar más
variables que no pueden aportar mucho al modelo, y sólo se incorporan para aumentar el R 2 .