Salinas, P. (2010). - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional

Pero en lugar de referirse a la velocidad como una razón entre infinitesimales, como en el
Cálculo Leibniziano, Newton hablaba de los momentos de las cantidades fluyentes, que
son como sus velocidades de flujo, partes infinitamente pequeñas con las cuales se
incrementan en cada periodo infinitamente pequeño de tiempo. “Aunque existen
notables diferencias entre el Cálculo diferencial de Leibniz y el fluxional de Newton, es
claro que en ambos casos las cantidades infinitamente pequeñas resultan ser un recurso
básico” (Arcos, 2004, p. 88).
“Los infinitamente pequeños y los infinitamente grandes —en una u otra forma— son
esenciales en Cálculo. De hecho son de las características distinguibles del Cálculo
comparado con muchas otras ramas de las Matemáticas (por ejemplo Álgebra)” (Kleiner,
2001, p. 137). Aceptar lo anterior nos exige tomar en cuenta esa realidad en el diseño de
una secuencia didáctica que permita trascender el pensamiento algebraico e introduzca al
estudiante al pensamiento propio del Cálculo, con todas las dificultades que esto
representa.
Kaput (1994) nos señala el entorno matemático en el que el trabajo de Newton se
inscribe. El lenguaje del Álgebra y el uso de la Geometría de coordenadas se convirtieron
en herramientas para el desarrollo de nuevas Matemáticas, la justificación de argumentos
se daba en términos algebraicos y aritméticos vagos, era frecuente que de cálculos
particulares se realizaran inducciones, y la noción subyacente de número gradualmente se
volvió más abstracta y general. Kaput reporta el importante hecho de que en la mente de
Newton se incluían los números negativos e irracionales, y las imágenes cinéticas
asociadas al movimiento continuo se integran a todos estos desarrollos en su mente. En
las propias palabras de Newton, de su obra De quadratura curvarum, Kaput rescata el
siguiente extracto (incluido en A Source Book in Mathematics de Dirk Jan Struik , 1986):
En este lugar yo considero a las cantidades matemáticas no consistiendo de muy
pequeñas partes, sino como descritas mediante un movimiento continuo. Las
líneas (curvas) se describen, y por tanto se generan, no por la aposición de partes
sino por el movimiento continuo de puntos....Esta génesis toma lugar realmente
en la naturaleza de las cosas, y se ha visto a diario en el movimiento de los
cuerpos. Y de esta manera los antiguos, dibujando líneas movibles a lo largo de
líneas rectas inmóviles, enseñaron la génesis de rectángulos (Newton, citado por
Kaput, 1994, p. 111).
Esta manera dinámica de ver las curvas le permitió visionar un acercamiento diferente al
problema geométrico de cálculo de áreas, no como un límite de suma de áreas
infinitesimales, sino más bien en términos de la razón de cambio del área con respecto al
tiempo. Boyer (1949) refiere que en su De analysi per aequationes numero terminorum
infinitas Newton emplea la idea de un rectángulo indefinidamente pequeño o “momento”
del área y encuentra la cuadratura de curvas de un modo fundamentalmente diferente del
practicado. En otras palabras, comenta Boyer, mientras que anteriores cálculos de áreas
se determinaron a través del equivalente a la integral definida (límite de una suma),
Newton primeramente determina la razón de cambio del área y de ahí calcula el área
mediante lo que ahora llamamos la integral indefinida de la función que representa la
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