Salinas, P. (2010). - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional
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Ann entonces fue capaz de “ver” (formarse una imagen) la relación proporcional entre distancia recorrida a una velocidad constante y cantidad de tiempo transcurrido requerido para recorrer esa distancia (Thompson y Thompson, 1996, p.18). Estos investigadores argumentan que esa acción permitirá a Ann resolver por ella misma la dificultad original que tenía de encontrar una velocidad constante para recorrer una distancia dada en un tiempo transcurrido especificado. Esto no quiere decir que ella anteriormente no pudiera responder preguntas como esa, pero lo que hacía para responder sólo se aplicaba para aquéllas preguntas donde podía usar una especie de “tanteo” de la distancia (velocidad-distancia) que se produciría en el tiempo transcurrido dado y midiendo la distancia total en unidades de velocidad-distancia para comprobar su acierto. Las acciones de Pat durante la interacción estuvieron constantemente al pendiente de que Ann entendiera implícitamente tres ideas complementarias: 1) que la división es una operación adecuada para evaluar el tamaño de una pieza completa cuando cualquier cantidad se subdivide en un cierto número de piezas de igual tamaño, 2) que la velocidad constante implica una correspondencia proporcional y bidireccional entre segmentos de distancia acumulada y tiempo acumulado, y 3) que el tiempo total, como número de segundos, puede ser imaginado también como una partición del tiempo total en un número de piezas del mismo tamaño. El intento de Pat porque Ann desarrollara esas ideas puede referirse a que Ann construya un esquema para la velocidad (Thompson y Thompson, 1996). Podemos entender la idea de esquema como una representación mental de un conjunto de percepciones, ideas y/o acciones asociadas, sin embargo Thompson (1994b) nos provee de la caracterización de Piaget sobre este constructo, “todo lo que es repetible y generalizable en una acción” (p. 185). Este autor además comenta la caracterización que Cobb y von Glasersfeld elaboraron en orden de hacerle útil a sus intereses; el esquema trata de una organización de acciones con tres características: un estado interno que es necesario para la activación de las acciones que la componen, las acciones en sí, y una anticipación rica en imágenes del resultado de la acción; imágenes que pueden ser icónicas, simbólicas, kinestésicas, o bien cualquier otro forma de representar una experiencia. A nuestro parecer, la problemática evidenciada por el estudio de estos autores sobre las dificultades en la adquisición del esquema para la velocidad, está a la vez afectada por lo que Kaput (1994) refiere como un paralelismo entre ciertos aspectos de las Matemáticas en Grecia y aspectos de las condiciones matemáticas con las que tradicionalmente los estudiantes inician el estudio del Cálculo; se trata ante todo, nos dice, de creaturas con una aritmética (discreta) cuya interpretación de las letras algebraicas es más bien de incógnitas que de variables. 61
SOBRE EL PARADIGMA NEWTONIANO Kleiner (2001) afirma que el trabajo de Newton en relación al Cálculo fue desarrollado en tres versiones diferentes, y se ha pensado que cada versión responde a uno de los propósitos siguientes: descubrir resultados de manera efectiva, proveer de algoritmos útiles, o dar demostraciones convincentes. Aunque en la solución de problemas no siempre se mantienen aparte, los tres métodos pueden diferenciarse, respectivamente, por su uso de infinitesimales en un acercamiento geométrico para descubrir, por su uso de las fluxiones en un acercamiento cinemático para producir, y por su uso de las primeras y últimas razones en un acercamiento algebraico para proveer de rigor. En nuestro estudio estamos especialmente interesados en analizar algunos elementos del trabajo de Newton relacionado con la cinemática, es decir, con intención de producir resultados. Noción fundamental del mismo es la de variable continua que refiere como fluente y cuya imagen, geométrica y cinemática, evoca a una cantidad que experimenta en el tiempo un cambio continuo, como un punto que fluye continuamente a lo largo de una curva. El concepto básico de fluxión es la razón instantánea de cambio, o la velocidad instantánea de la fluente, la cual no está definida sino que se da por entendida intuitivamente; el objetivo es calcularla. En el cálculo de la tangente a una curva que Kleiner (2001) nos presenta como ejemplo, se observa que Newton consideraba un periodo de tiempo infinitesimal, y mediante el producto de la fluxión por ese infinitesimal se define el incremento infinitesimal de la fluente, a lo que llama el momento de la fluente. El momento de la fluente es entonces la cantidad por la cual la fluente se incrementa en un periodo de tiempo infinitesimal, asumiendo con Newton, como nos comenta Kleiner, que la velocidad instantánea se mantiene constante en el transcurso de un intervalo de tiempo infinitamente pequeño y multiplicando por tanto la velocidad por ese tiempo. El descartar algunos términos en expresiones como las ocurridas en ese ejemplo (por la razón de ser infinitamente menores que otros términos) es una cuestión que Newton intentó clarificar pero no ahí, sino en su teoría de las últimas razones, la que provee rigor. Sin embargo, él compartía la creencia de su época de que los matemáticos solamente estaban descubriendo el gran diseño matemático de la naturaleza hecho por Dios. Lo anterior, además de su fuerte intuición y las razonables soluciones que arrojaba la aplicación de su método, garantizaban su proceder generando resultados. Newton afirmaba que sus fluxiones se explican brevemente más que demostrarse ampliamente. Arcos (2004) comenta que Newton indicó la existencia de dos tipos de problema solamente en su Tratado de Métodos de Series y Fluxiones. Uno que daba lugar al Cálculo Diferencial, y otro al Cálculo Integral y que expresa de la siguiente manera: 1. Dada de manera continua la longitud del espacio recorrido, esto es, en todo instante de tiempo, encontrar la velocidad del movimiento en cualquier tiempo propuesto. 2. Dada de manera continua la velocidad del movimiento, encontrar la longitud del espacio descrito en cualquier tiempo propuesto (p. 87). 62
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SOBRE EL PARADIGMA NEWTONIANO<br />
Kleiner (2001) afirma que el trabajo de Newton en relación al Cálculo fue desarrollado en<br />
tres versiones diferentes, y se ha pensado que cada versión responde a uno de los<br />
propósitos siguientes: descubrir resultados de manera efectiva, proveer de algoritmos<br />
útiles, o dar demostraciones convincentes. Aunque en la solución de problemas no<br />
siempre se mantienen aparte, los tres métodos pueden diferenciarse, respectivamente,<br />
por su uso de infinitesimales en un acercamiento geométrico para descubrir, por su uso de<br />
las fluxiones en un acercamiento cinemático para producir, y por su uso de las primeras y<br />
últimas razones en un acercamiento algebraico para proveer de rigor.<br />
En nuestro estudio estamos especialmente interesados en analizar algunos elementos del<br />
trabajo de Newton relacionado con la cinemática, es decir, con intención de producir<br />
resultados. Noción fundamental del mismo es la de variable continua que refiere como<br />
fluente y cuya imagen, geométrica y cinemática, evoca a una cantidad que experimenta en<br />
el tiempo un cambio continuo, como un punto que fluye continuamente a lo largo de una<br />
curva. El concepto básico de fluxión es la razón instantánea de cambio, o la velocidad<br />
instantánea de la fluente, la cual no está definida sino que se da por entendida<br />
intuitivamente; el objetivo es calcularla.<br />
En el cálculo de la tangente a una curva que Kleiner (2001) nos presenta como ejemplo, se<br />
observa que Newton consideraba un periodo de tiempo infinitesimal, y mediante el<br />
producto de la fluxión por ese infinitesimal se define el incremento infinitesimal de la<br />
fluente, a lo que llama el momento de la fluente. El momento de la fluente es entonces la<br />
cantidad por la cual la fluente se incrementa en un periodo de tiempo infinitesimal,<br />
asumiendo con Newton, como nos comenta Kleiner, que la velocidad instantánea se<br />
mantiene constante en el transcurso de un intervalo de tiempo infinitamente pequeño y<br />
multiplicando por tanto la velocidad por ese tiempo. El descartar algunos términos en<br />
expresiones como las ocurridas en ese ejemplo (por la razón de ser infinitamente menores<br />
que otros términos) es una cuestión que Newton intentó clarificar pero no ahí, sino en su<br />
teoría de las últimas razones, la que provee rigor. Sin embargo, él compartía la creencia de<br />
su época de que los matemáticos solamente estaban descubriendo el gran diseño<br />
matemático de la naturaleza hecho por Dios. Lo anterior, además de su fuerte intuición y<br />
las razonables soluciones que arrojaba la aplicación de su método, garantizaban su<br />
proceder generando resultados. Newton afirmaba que sus fluxiones se explican<br />
brevemente más que demostrarse ampliamente.<br />
Arcos (2004) comenta que Newton indicó la existencia de dos tipos de problema<br />
solamente en su Tratado de Métodos de Series y Fluxiones. Uno que daba lugar al Cálculo<br />
Diferencial, y otro al Cálculo Integral y que expresa de la siguiente manera:<br />
1. Dada de manera continua la longitud del espacio recorrido, esto es, en todo<br />
instante de tiempo, encontrar la velocidad del movimiento en cualquier tiempo<br />
propuesto.<br />
2. Dada de manera continua la velocidad del movimiento, encontrar la longitud del<br />
espacio descrito en cualquier tiempo propuesto (p. 87).<br />
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