Salinas, P. (2010). - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional
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geométrico de demostrar que dos movimientos arrojan una misma área en su representación por latitud y longitud. Los problemas planteados se relacionaban con hipótesis sobre las cuales las herramientas lógicas y matemáticas se aplicaban, y no se tiene evidencia de análisis experimentales para detectar el grado de uniformidad del movimiento. Haremos uso de nuestra notación simbólica actual para recuperar el conocimiento de la Cinemática moderna que desde aquélla época se tenía, conocimiento cuyo desarrollo y veracidad parte “de planteamientos verbales que constituían las herramientas analíticas de las cuales disponían” (Nieto y Sánchez, 2007, p. 238). La Ley de Merton establece que un cuerpo cuya velocidad varía uniformemente, recorre en un cierto tiempo una distancia igual a la distancia que recorrería en el mismo tiempo con la velocidad promedio; esto podemos escribirlo mediante la fórmula 1 d v f v it 2 o equivalentemente 1 d v i t v f v i t 2 A su vez, la aceleración estaba definida en base a pensar que cambios iguales de velocidad ocurren en tiempos iguales; esto lo escribimos con la fórmula a v v f i t o bien v f vi at Sustituyendo la última expresión en la segunda obtenemos la fórmula de distancia 1 d v i t at 2 Y multiplicando ambos lados de v f vi at por v f v i para producir una diferencia de cuadrados, y dividiendo finalmente entre 2a se construye la fórmula alternativa para la distancia d 2 2 v f v i 2a . Hemos querido explicitar las fórmulas anteriores porque en el análisis que nos toca realizar en cuanto a los procedimientos de los estudiantes, debemos tomar en cuenta que muy probablemente este es un bagaje de fórmulas con las que los estudiantes están familiarizados a través de resolver ejercicios de Mecánica. La representación geométrica que brinda la latitud de formas fue utilizada repetidamente en casos especiales de movimiento con aceleración no uniforme; diferentes tipos de variación se asocian a diferentes formas. Coincidimos con Kaput que acertadamente puntualiza lo siguiente. En cierto sentido, el objeto geométrico (rectángulo o triángulo) estaba siendo usado para representar un evento total, como una representación global, en la cual el objeto era el intervalo de tiempo sobre el que ocurrió el movimiento. Esto no es lo mismo que pensar en la curva, esto es, en la “cumbre” del rectángulo o triángulo (Kaput, 1994, p. 92). 2 57
Oresme más bien utiliza la forma de la figura en sí como la base para hablar acerca de las intensidades variables; esta es un observación pertinente en la didáctica pues la idealización de la gráfica de la velocidad es un punto de partida en el estudio matemático del movimiento para el estudiante contemporáneo, y ciertamente que el elevar esta representación gráfica sobre la realidad sensible (idealizar) requiere un esfuerzo intelectual con intencionalidad. En el Capítulo de Antecedentes de este trabajo nombramos cómo Farmaki y Paschos (2007) rescatan elementos del trabajo de Oresme para diseñar una serie de actividades donde se plantean problemas de movimiento uniforme. Estos autores llaman a su acercamiento holístico en el sentido de que para resolver los problemas se enfatizan dos cosas, el uso de la gráfica de velocidad contra tiempo y la relación de ésta con el área debajo de la gráfica; la representación global, diríamos en la terminología de Kaput. En el reporte de la implementación de sus actividades estos autores declaran su concordancia con el punto de vista de que el proceso de aprendizaje que supone una comprensión real, requiere, ente otras cosas, de la habilidad para representar el objeto matemático en varios registros de representación. En su convicción de la posibilidad de aplicar su acercamiento holístico a un rango más amplio de movimientos y de estudiantes, expresan la necesidad de tomar en cuenta la flexibilidad de representaciones que Duval plantea. Desde la perspectiva del marco de Duval (2006a, 2006b) pensamos que una dificultad cognitiva adicional aparece con el uso de este tipo de representación holística o global. Duval afirma que existe un mayor grado de dificultad para realizar una conversión, es decir, para transferir información entre diferentes representaciones semióticas; sin embargo, desde nuestro punto de vista, el hecho de considerar intelectualmente la relación entre velocidad y desplazamiento a través de un mismo gráfico, en donde se percibe al mismo tiempo una curva y un área, exige operaciones cognitivas de discriminación más sofisticadas. En cierta forma, relacionar la gráfica de velocidad con el área debajo de esa gráfica para el desplazamiento, define un tipo de tratamiento que involucra las dificultades cognitivas propias de una conversión; expresado en términos de los constructos aportados por Duval. Es en este sentido que tomamos la decisión de que, para comenzar a introducir al estudiante con el estudio del movimiento en nuestra secuencia didáctica, no utilizaremos como plataforma para sostener el razonamiento a esta representación holística, sino que valoraremos su pertinencia en el desarrollo, buscando el momento propicio para proceder al cambio de registro de representación. Cabe mencionar que Oresme también estudió casos de series infinitas a través de transformaciones geométricas, comparando áreas e interpretando los movimientos correspondientes. Farmaki y Paschos (2007) ilustran geométricamente los casos de las series siguientes: 1 1 1 1 2 3 . . . 1 . . . 4 24 2 n n 1 1 1 2 1 . . . . . . 1 4 2 4 2 n Oresme llega a estos resultados considerando dos cuadrados iguales de área unitaria. Divide cada uno de ellos en partes proporcionales de acuerdo a la razón 2/1, (produciendo 58
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del movimiento para el estudiante contemporáneo, y ciertamente que el elevar esta<br />
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intelectual con intencionalidad.<br />
En el Capítulo de Antecedentes de este trabajo nombramos cómo Farmaki y Paschos<br />
(2007) rescatan elementos del trabajo de Oresme para diseñar una serie de actividades<br />
donde se plantean problemas de movimiento uniforme. Estos autores llaman a su<br />
acercamiento holístico en el sentido de que para resolver los problemas se enfatizan dos<br />
cosas, el uso de la gráfica de velocidad contra tiempo y la relación de ésta con el área<br />
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reporte de la implementación de sus actividades estos autores declaran su concordancia<br />
con el punto de vista de que el proceso de aprendizaje que supone una comprensión real,<br />
requiere, ente otras cosas, de la habilidad para representar el objeto matemático en<br />
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acercamiento holístico a un rango más amplio de movimientos y de estudiantes, expresan<br />
la necesidad de tomar en cuenta la flexibilidad de representaciones que Duval plantea.<br />
Desde la perspectiva del marco de Duval (2006a, 2006b) pensamos que una dificultad<br />
cognitiva adicional aparece con el uso de este tipo de representación holística o global.<br />
Duval afirma que existe un mayor grado de dificultad para realizar una conversión, es<br />
decir, para transferir información entre diferentes representaciones semióticas; sin<br />
embargo, desde nuestro punto de vista, el hecho de considerar intelectualmente la<br />
relación entre velocidad y desplazamiento a través de un mismo gráfico, en donde se<br />
percibe al mismo tiempo una curva y un área, exige operaciones cognitivas de<br />
discriminación más sofisticadas. En cierta forma, relacionar la gráfica de velocidad con el<br />
área debajo de esa gráfica para el desplazamiento, define un tipo de tratamiento que<br />
involucra las dificultades cognitivas propias de una conversión; expresado en términos de<br />
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para comenzar a introducir al estudiante con el estudio del movimiento en nuestra<br />
secuencia didáctica, no utilizaremos como plataforma para sostener el razonamiento a<br />
esta representación holística, sino que valoraremos su pertinencia en el desarrollo,<br />
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