Tema 2. Poliedros. Áreas y volúmenes. - Agrega

Tema 2. Poliedros. Áreas y volúmenes.
En este tema vamos a estudiar los cuerpos, esto es, todo lo que vemos a nuestro alrededor en nuestra
realidad cotidiana.
Dentro de estos cuerpos, vamos a quedarnos con aquellos que tienen una forma regular, para simplificar su
estudio.
Y más aún, vamos a estudiar solo algunos que tienen forma muy conocidas. Vemos cuáles.
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TETRAEDRO REGULAR HEXAEDRO REGULAR PIRÁMIDE CUADRANGULAR
Siempre he pensado que si en matemáticas hay algo que aporte belleza a nuestra vida eso son los poliedros,
los cuerpos que podemos ver alrededor nuestro.
Y no me puedo resistir a poner algunas imágenes de poliedros o de cuerpos realmente bellos.
Galería de imágenes
Pirámide invertida
del Louvre
Pirámide invertida del Louvre
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Pirámide exterior el
Louvre
Pirámide exterior del Louvre
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Poliedros
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Poliedros
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Actividad
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Una de las cosas con las que debemos tener cuidado son las unidades en las que expresamos
las cantidades que tenemos que escribir en las soluciones.
Cuando estamos escribiendo una medida de longitud, por ejemplo lo que mide una regla,
debemos utilizar las unidades sin potencias; así la regla medirá 15 cm, mi coche mide de
largo 4,35 m; o bien, tal ciudad está a 165 km.
Pero, si nos piden un área debemos tener cuidado porque la solución debe darse en unidades
al cuadrado, por ejemplo: cm 2 , m 2 , km 2 , etc... Así diremos que un cuadrado tiene 6 cm 2
de área o superficie; o bien, que el parque municipal tiene una superficie de 450 m 2 de
agua; o que mi pueblo tiene una superficie de 8,5 km 2 .
Por último, si lo que queremos expresar es un volumen, la unidad la debemos elevar al cubo,
o sea, cm 3 , m 3 , km 3 ; así diremos que un vaso tiene una capacidad o volumen de 250
cm 3 ; que la piscina municipal tiene una capacidad o volumen de 1250 m 3 de agua; etc ...
Una cosa importante en el volumen es la medición en litros. Medir en litros es medir un
volumen; y cada litro equivale a 1 dm 3 , que para que te hagas una idea es un vaso de 1 dm
= 10 cm de alto, 1 dm = 10 cm de ancho y 1 dm = 10 cm de largo, eso es 1 dm 3 y eso es
un litro.
Vamos a realizar una autoevaluación. Primero repasate lo que acabamos de ver, y después
haz la autoevaluación, a ver que tal se te da.
Pregunta Verdadero-Falso
Contesta sobre la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. El depósito de gasoil de mi coche tiene una capacidad de 45 litros 3 .
Verdadero Falso
2. El área del aeropuerto de una ciudad de Andalucía es de 3,5 km 2 .
Verdadero Falso
3. La medicina que debo suministrar a mi hijo debe ser en dosis de 5 cm 3 de capacidad.
Verdadero Falso
4. Mi casa tiene una superficie de 90 m 2 .
Verdadero Falso
5. El polideportivo cubierto de mi ciudad es capaz de albergar en su interior hasta 480000
m 2 de aire.
Verdadero Falso

1. Elementos, área y volumen de un poliedro
Definición.
Un poliedro es el cuerpo formado por polígonos. Un poliedro es regular si cumple que:
Sus caras son polígonos regulares iguales.
En cada vértice concurren el mismo número de caras.
Elementos principales de un poliedro.
Observando el dibujo podemos ver los elementos que forman un poliedro, que son:
Caras : Pues eso, las caras, que son lo polígonos del tema anterior.
Aristas : Son los lados de las caras.
Vértices : Cada uno de los vértices de las caras del polígono.
Diagonales : Son los segmentos que unen dos vértices que no pertenecen a la misma cara.
Pregunta de Elección Múltiple
Dado el hexaedro de la figura, di cuál de las siguiente opciones es la cierta. Para ello hazlo
primero en tu cuaderno, y elige después la opción que creas verdadera.
A - Vértices. B - Caras. C - Lados. D - Diagonales.
A - Diagonales. B - Caras. C - Vértices. D - Lados.
A - Lados. B - Caras. C - Vértices. D - Diagonales.

La figura anterior llamada hexaedro, la conocemos normalmente con el nombre de cubo.
Vamos a ponernos a realizar un cubo de cartulina. Para ello necesitamos, además de la cartulina, una tijeras
y una regla.
Dibujamos en la cartulina la siguiente imagen.
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Lo que tenemos delante es una figura formada por polígonos, o mejor, por cuadrados. Podemos calcular sin
problemas el área de ésta figura. Pues a ese área le vamos a llamar área del cubo. Y si fuese otro poliedro
,su área se calcularia igual, o sea, al área de la figura abierta que resulta de abrir todas sus caras.
Ahora cuando pegamos los lados de los polígonos correctamente obtenemos el cubo que teníamos un poco
más arriba.
El volumen del cubo o de un poliedro, es un concepto tan intuitivo que casi no merece la pena definir, es el
espacio que ocupa.
Verás que este tema es más sencillo que el anterior, vamos a dar expresiones de áreas y volúmenes y
tendrás que aplicarlas, igual que has hecho en el tema anterior.
Objetivos
Un sólido platónico es un poliedro regular y convexo. En realidad sólo hay cinco sólidos
platónicos, cuales son: octaedro, tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro.
Pues bien, un omnipoliedro es un cuerpo geométrico en el que se inscriben los cinco sólidos
platónicos. De dentro hacia afuera el orden de los poliedros, en nuestra construcción, será:
octaedro, tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro (ver imagen).

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2. Área y volumen de un hexaedro regular
Un hexaedro es el poliedro de seis caras.
Si las seis caras son cuadrados decimos que el hexaedro es regular , y como todos sabemos, se le llama
cubo .
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Cubo de Rubik Cubos de la memoria de Llanes (Asturias)
Actividad
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Las fórmulas que vas a ver parecen un poco complicadas, pero cuando compruebes lo sencillo
que es utilizarlas, como en el ejemplo que sigue, verás como empiezas a tomarle cariño a
esto de las áreas y volúmenes.
Las fórmula del área y del volumen de un hexaedro regular o cubo son las que siguen:
ÁREA DE UN HEXAEDRO: ; donde a es el valor de la arista de cada cara del
hexaedro.
Si un hexaedro tiene una arista de 8 cm, entonces el ÁREA será:
VOLUMEN DE UN HEXAEDRO: ; donde a es el valor de la arista.
El VOLUMEN del hexaedro de arista 8 cm será:

Resuelve y comprueba los siguientes ejercicios. Fíjate bien en las unidades, el área al
cuadrado y el volumen al cubo.
Ejercicio 4.
Los cubitos de hielo de la imagen tienen 3 cm de arista. ¿Que superficie debe tener cada
uno de los huecos de la cubitera, suponiendo que estén cerrados? ¿Qué volumen de hielo
contiene cada cubito?
Ejercicio 5.
En la imagen de "los cubos de la memoria" de Llanes (Asturias) hay muchos cubos. Aunque
no sabemos cuántos hay, vamos a suponer que son 125 cubos. Si el volumen total de los
cubos es de 15,625 m 3 , ¿cuánto vale la arista de cada uno de cubos, suponiendo que sean
todos iguales?
Pregunta de Elección Múltiple

Un edificio tiene forma de cubo, si su altura es de 12 m, entonces los valores de su área y
volumen son:
a) A = 72 m 2 ; V = 1728 m 3
b) A = 864 m 2 ; V = 1728 m 3
Si el área de un dado para jugar al parchís es 18 cm 2 , entonces el valor de arista y su
volumen son:
a) a = 1,73 cm; V = 5,2 cm 3
b) a = 1,73 cm; V = 3 m 3

3. Área y volumen de un tetraedro
Ya hemos visto a lo largo del tema que es un tetraedro, pirámide triangular. Veamos algunas que nos
podemos encontrar:
Pirámide en Roma
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Reloj en forma de pirámide
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Un tetraedro es un poliedro de cuatro triángulos. Si los triángulos son equiláteros, el tetraedro se
denomina regular.
Actividad
De nuevo te encuentras con fórmulas que son feas, pero que con la ayuda de la calculadora,
serán cuentas sencillas de realizar.
Dado el tetraedro regular de arista a , se tiene:
ÁREA DE UN TETRAEDRO: ; donde a es el valor de la arista del tetraedro.
La unidad siempre debe ser al cuadrado.
Si un tetraedro tiene una arista de 5 cm, su área será de:
VOLUMEN DE UN TETRAEDRO: ; donde a es el valor de la arista. El
volumen debe darse en unidades al cubo, o sea, elevado a tres.
Si calculamos el volumen del tetraedro anterior de arista 5 cm, será:

Realiza estos ejercicios en tu cuaderno, y comprueba que están bien. Para hacerlos utiliza la
calculadora.
Ejercicio 1.
El reloj pirámidal que hemos visto más arriba tiene de arista 5 cm. Calcula su área y su
volumen.
Ejercicio 2.
El carpintero de mi pueblo tiene una terraza que ha moquetado con césped artificial, para
montarle a sus hijos una cabaña de madera con forma de tetraedro. Antes de hacerla ha
hecho una foto y ha dibujado el tetraedro.
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Si la cabaña que quiere montar va a tener una arista de 2,5 m de longitud, ¿cuánta
superficie de madera va a necesitar? ¿Qué volumen ocupará la cabaña una vez acabada?
Ejercicio 3.
Si el volumen de un tetraedro es de 2 m 3 , ¿cuánto mide su arista?
Pregunta Verdadero-Falso
Realiza los cálculos que te proponen las siguientes afirmaciones, y dí si son verdaderas o

m 3
Verdadero Falso
2. Si el área de un tetraedro vale 15 m 2 , la arista vale 2,94 m.
Verdadero Falso
3. Si el volumen de un tetraedro vale 17 cm 3 , la arista vale 4,9 m
Verdadero Falso

4. Área y volumen de una pirámide cuadrángular
De entre todas las pirámides que conocemos en este apartado vamos a estudiar las que tienen la base
cuadrada, y que vamos a llamar pirámide cuadrangular .
Veamos una pirámide y algunos elementos que necesitamos para comprender bien su área y su volumen.
Como puedes ver, la apotema (línea azul) nos recuerda a la apotema de los polígonos, igual que la altura
(línea roja).
Vamos a conseguir las fórmulas del área y del volumen de una pirámide cuadrangular, que llamaremos por
comodidad a partir de ahora, simplemente pirámide.
Como el área es la suma de todas las áreas de los polígonos que la forman, será la suma del área de la base,
y la suma de las áreas de los cuatro triángulos.
El área de la base es sencilla, puesto que vale la base al cuadrado. Para el área de los cuatro triángulos
vamos a utilizar la expresión siguiente:
ÁREA DE LAS CARAS LATERALES: ; con lo cual la expresión
final del área de una pirámide será:
Actividad
ÁREA DE LA PIRÁMIDE CUADRANGULAR: ; donde b es el valor del lado
de la base, p es el perímetro de la base y ap es la apotema.
Para el volumen la expresión es la siguiente:
VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE CUADRANGULAR: ; donde a es la
altura de la pirámide.

Veamos un ejemplo:
Si tenemos una pirámide cuyos elementos son: b = 2 m; ap = 3 m; su área será:
multiplicando 4·2.
; donde el perímetro se obtiene
El volumen de la pirámide anterior, sabiendo que la altura es 4, será:
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la pirámide de chocolate?
Ejercicio 7.
En Las Vegas
podemos
encontrarnos un
hotel que tiene
forma de
pirámide como
puedes ver en la
imagen. Si
buscamos las
dimensiones de
esta pirámide
encontramos que
la altura es de
106 m.
Haciendo unos
cálculos se tiene
que la base de la
pirámide tiene un
lado de
aproximadamente
unos 150 m,
mientras que la
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apotema, tiene
un valor, también aproximado, de 130 m.
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Ejercicio 6.
En un restaurante nos ponen el siguiente postre.
Tiene una pinta deliciosa, pero queremos saber
cuánto chocolate vamos a comernos, por aquello de
la dieta.
Con ojos matemáticos, vemos que el chocolate
forma una pirámide, así que nos disponemos a
tomar medidas para calcular cuánto chocolate nos
vamos a comer. Los datos que tomamos son:
lado de la base = 4 cm; apotema = 6 cm; altura de
la pirámide = 5 cm.
¿Cuánto chocolate nos vamos a tomar? ¿Qué
superficie tendrá el molde con el que se ha hecho
¿Podrías decirme cuánta superficie de cristal se ha utilizado para cubrir la pirámide, y
cuánto volumen engloba en su interior?

Pregunta de Selección Múltiple
En las siguientes preguntas hay varias opciones que son ciertas, localízalas después de
calcular las áreas y volúmenes pedidas.
1. Un pirámide tiene una base de 10 m, una apotema de 8 m y una altura de 12 m. Su área
y volumen son:
a) A = 100 m 2
b) A = 260 m 2
c) V = 400 m 3
d) V = 1200 m 3
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Tenemos una vela con forma de pirámide, la base mide 6 cm, su altura 5 cm y su apotema 7
cm. ¿Qué cantidad de vela tenemos? ¿Qué superficie tiene el molde con que fue hecha la
vela?
a) A = 120 cm 3
b) A = 120 cm 2
c) V = 60 cm 2
d) V = 60 cm 3
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5. Otros cuerpos elementales. El cono, el cilindro y la
esfera.
Vamos a estudiar en este punto otros cuerpos elementales del espacio, concretamente el cilindro y la esfera.
Veamos imágenes de éstas figuras.
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http://tarjetas-abejita.blogspot.com/2010/04
/cilindro.html
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http://www.juntadeandalucia.es/averroes
/.../esfera.html
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No está de más recordar, que las fórmulas que vas a ver son aparentemente difíciles, pero recuerda que
hasta ahora con la ayuda de la calculadora, hemos sabido salir adelante, simplemente debes tener cuidado a
la hora de hacer los cálculos.
Además, recuerda el asunto de las unidades, las áreas van al cuadrado, y los volúmenes al cubo.

5.1. El cilindro: área y volumen
Seguramente en casa tendrás una lata de tomate frito, o una lata de refresco, pues bien, eso es un cilindro,
como a lo mejor ya sabes.
Un cilindro tiene dos elementos básicos que nos servirán para calcular el área y el volumen del mismo: el
radio de la base del cilindro, y la altura del cilindro. Veamoslo en el siguiente gráfico:
Para calcular su área no tenemos más que abrir nuestra lata de tomate frito. Imaginemos que abrimos la
lata de manera que nos quede de la siguiente forma:
Actividad
Como ves, al abrirlo, tenemos un rectángulo y dos circulos, y como ya sabemos las áreas de
estas figuras, no tiene secretos para nosotros el área de un cilindro, porque será algo así:
ÁREA DEL CILINDRO:
donde a es la altura del cilindro y r el radio del circulo de la base,
y una vez que nos den los datos, no tendremos problemas.
Tampoco es difícil el volumen, puesto que no es más que el área de la base, por la altura del
cilindro, vamos a verla en fórmula:
; donde r es el radio de la base y a la altura del cilindro.
;

Veamos un ejemplo:
Si un cilindro tiene una altura de 8 cm y su base tiene un radio de 4 cm, su área será:
Calculemos el volumen del cilindro:
Realiza el siguiente ejercicio en tu cuaderno antes de ver la solución.
Tenemos en casa una lata de tomate frito, a la que hemos tapado la marca por aquello de la
publicidad, y queremos hacer una exactamente igual en cartulina, y nos preguntamos, ¿qué
superficie o área de cartulina nos hará falta? Suponiendo que la lata de cartulina sea para
guardar arena de la playa, ¿qué volumen de arena podremos guardar en ella? Los datos que
necesitas para resolver esto es que la base tiene un radio de 5 cm y el cilindro tiene una
altura de 20 cm.
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El otro día mis hijas querían hacer un lapicero para el día del cumpleños de su madre.Para ello cogieron un
rollo de papel higiénico y un trozo de cartulina. Al ver que el papel higiénico tenía "un agujero demasiado
pequeño" dicho en boca de mi hija pequeña, esperaron a pedir en el cole unos más grandes que decían que
habían utilizado. Así fue, y al día siguiente trajeron dos rollos acabados cuyos diámetros eran de 6 cm, y la
altura de 9 cm. Hicimos con mucho cariño los lapiceros, que nos quedaron preciosos, tanto fue así, que
cuando mi mujer los vió, prefirió utilizarlo para meter dentro unas esencias, unas con olor marino y otras
con olor a lavanda. Así que rellenó los dos lapiceros, y las niñas tan contentas. ¿Podrías decirme que
cantidad de cartulina utilizamos para los dos lapiceros incluyendo la del papel higiénico? ¿y, que volumen de
esencias cupieron en los dos lapiceros?
Solución:
Vamos a calcular el área y el volumen de uno de los lapiceros y después multiplicamos por 2.
Y para el volumen igual:
cm 2
; cada lapicero; entre los dos: 452,16
; entre los dos lapiceros: 502,4 cm 3

Pregunta de Selección Múltiple
Calcula los datos del problema previamente, y dí cuál de las afirmaciones son ciertas; hay
varias ciertas.
Si un cilindro tiene de altura 4 m, y su base circular tiene un radio de 1 m, su área y su
volumen valen:
a) A = 31,4 m 2
b) V = 12,56 m 2
c) V = 12,56 m 3
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5.2. El cono: área y volumen
El cono tampoco es una figura desconocida, seguramente porque podemos ver conos normalmente en
nuestra vida cotidiana. Como ves en las imágenes podemos encontrar conos en la carretera o en una
heladería.
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Vamos a obtener el área y el volumen del cono, y posteriormente vamos a hacer algún ejemplo. Para ello
vamos a ver un cono con los elementos que necesitamos para poder utilizar éstas fórmulas.
Vemos el cono que tiene tres elementos esenciales: r, el radio del circulo que es su base; a, la altura del
cono; y g, que es la generatriz del cono. Recibe este nombre tan raro, porque si coges un palito (una pajita
de las de beber por ejemplo) y la mueves en el aire, estás formando en el aire un cono, o sea, creas o
generas un cono, de ahí que se llame, generatriz del cono.
Actividad
La expresión del área es:
ÁREA DE UN CONO: ; donde g es el lado o generatriz del cono,

Y la del volumen:
VOLUMEN DE UN CONO: ; donde a es la altura del cono.
Como ejemplo, vamos a calcular el área y el volumen del cono que tiene las siguiente medidas: g = 15 cm,
a = 12 cm, y r = 9 cm.
Calculamos el área: ;
y el volumen:
Si tuviéramos un cucurucho para rellenar de nata, a ras, o sea, que no sobresalga helado del cucurucho; y
ese cucurucho tuviera las siguientes dimensiones: el radio de la base mide 3 cm; la altura del cucurucho
mide 15 cm; y la generatriz del cucurucho mide 17 cm, qué área de galleta ha sido utilizada en la
fabricación del cucurucho, y y qué volumen de helado de nata se ha utilizado para rellenar el cucucucho.
Para calcular el área tendremos que tener en cuenta que el cucurucho no está tapado, luego tendremos que
restar el área del circulo, una vez obtenido el valor del área del cono. Vamos a calcular el área del cono:
y a esto hay que restarle el área del circulo, que es:
así restando tenemos: A = 188,4 - 28,26 = 160,14 cm 2
Para el volumen de helado de nata, no hay ninguna cuestión a tener en cuenta:
Antiguamente, para salir en un paso de Semana Santa, el penitente tenía que hacerse su
propio capirote. Uno cogía una cartulina y se lo fabricaba artesanalmente. Vamos a
fabricarnos uno con nuestra imaginación. Medimos el diametro de nuestra cabeza, y
obtenemos 18 cm allí donde debe apoyar el capirote. Medimos la altura que debe tener el
capirote, y nos sale 45 cm, y aunque no lo necesitamos para construirlo medimos también
su generatriz, que vale 48 cm. Calcula el área de cartulina que necesitamos para hacer el
capirote.

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Ahora vamos a imaginarnos que tenemos un embudo con forma de cono, y que queremos
averiguar que volumen de agua le cabe antes de bozarse. Los datos que necesitamos son el
radio del circulo de la base, la altura y su generatriz, y estos datos son: r = 6 cm; a = 14
cm; g = 16 cm. Calcula el volumen de agua que cabe en el embudo.
Pregunta de Elección Múltiple
Un cono de tráfico (supuestamente con una figura perfecta de cono) tiene las siguientes
dimensiones: r = 12 cm; a = 40 cm; g = 45 cm. Entonces el área y el volumen valen:
a) A = 2147,76 cm 3 ; V = 6028,8 cm 2
b) A = 2147,76 cm 2 ; V = 6028,8 cm 2
c) A = 2147,76 cm 2 ; V = 6028,8 cm 3

5.3. La esfera: área y volumen
Todos sabemos que es una esfera. Un balón, una naranja, la Tierra, tienen forma de esfera, bueno aunque
no exactamente, puesto ya sabes que la Tierra está achatada por los polos, pero eso forma parte de otra
historia.
Pues si cogemos, por ejemplo, una naranja, y la pelamos, la piel sería el área de la esfera. Y si midiesemos
el aire que le cabe a una pelota de balonmano, éste sería el volumen.
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Vamos a conocer las fórmulas del área y del volumen de una esfera, ya verás que son tan
fáciles como las anteriores. Para entenderlas, solo hace falta conocer un elemento: el radio
de la esfera.
ÁREA DE UNA ESFERA: ; donde r es el radio de la esfera,
VOLUMEN DE UNA ESFERA: , donde r es de nuevo el radio de la esfera.
Veamos un ejemplo. Si tenemos una esfera de radio 1,5 m, su área será:
Si obtenemos el volumen de la esfera anterior, será:
Sabiendo que el diámetro de la pelota de balonmano de arriba vale 20 cm, calcula su área y su volumen.
Solución:
Actividad
Aplicando las fórmulas y con ayuda de la calculadora tenemos:

Para nuestro árbol de navidad hemos hecho bolitas esféricas. Cada bolita tiene 4 cm de radio,
y hemos hecho un total de 15. Son de un plástico un poco feo, y decidimos cubrirlas de
papeles de colores. Además para que pesen un poco más las rellenamos de algodón. Puedes
decirme ¿cuánta superficie de papel y cuánto volumen de algodón vamos a utilizar?
Pregunta Verdadero-Falso
Realiza en tu cuaderno los cálculos antes de elegir las afirmaciones que crees que son ciertas.
Si tenemos una pelota de playa, cuyo radio es de 45 cm, entonces ...
1. Su área es de 565,2 cm 2
Verdadero Falso
2. Su área es 25434 cm 2
Verdadero Falso
3. Su volumen es de 188,4 cm 3
Verdadero Falso
4. Su volumen es de 8478 cm 3
Verdadero Falso
5. Su volumen es de 381510 cm 3
Verdadero Falso