Tema 2. Poliedros. Áreas y volúmenes. - Agrega
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<strong>Tema</strong> <strong>2.</strong> <strong>Poliedros</strong>. <strong>Áreas</strong> y <strong>volúmenes</strong>.<br />
En este tema vamos a estudiar los cuerpos, esto es, todo lo que vemos a nuestro alrededor en nuestra<br />
realidad cotidiana.<br />
Dentro de estos cuerpos, vamos a quedarnos con aquellos que tienen una forma regular, para simplificar su<br />
estudio.<br />
Y más aún, vamos a estudiar solo algunos que tienen forma muy conocidas. Vemos cuáles.<br />
http://visualiandoideas.blogspot.com<br />
bajo licencia de creativa commons<br />
www.geoka.net<br />
bajo licencia de creativa commons www.kalipedia.com<br />
bajo licencia de creativa commons<br />
TETRAEDRO REGULAR HEXAEDRO REGULAR PIRÁMIDE CUADRANGULAR<br />
Siempre he pensado que si en matemáticas hay algo que aporte belleza a nuestra vida eso son los poliedros,<br />
los cuerpos que podemos ver alrededor nuestro.<br />
Y no me puedo resistir a poner algunas imágenes de poliedros o de cuerpos realmente bellos.<br />
Galería de imágenes<br />
Pirámide invertida<br />
del Louvre<br />
Pirámide invertida del Louvre<br />
http://lacomunidad.elpais.com<br />
bajo licencia de creative commons<br />
Pirámide exterior el<br />
Louvre<br />
Pirámide exterior del Louvre<br />
www.eldemonionegro.com<br />
bajo licencia de creative commons<br />
<strong>Poliedros</strong><br />
<strong>Poliedros</strong> <strong>Poliedros</strong><br />
http://auladiver.spaces.live.com<br />
bajo licencia de creative commons<br />
<strong>Poliedros</strong><br />
www.ite.educacion.es<br />
bajo licencia de creative
Actividad<br />
commons<br />
Una de las cosas con las que debemos tener cuidado son las unidades en las que expresamos<br />
las cantidades que tenemos que escribir en las soluciones.<br />
Cuando estamos escribiendo una medida de longitud, por ejemplo lo que mide una regla,<br />
debemos utilizar las unidades sin potencias; así la regla medirá 15 cm, mi coche mide de<br />
largo 4,35 m; o bien, tal ciudad está a 165 km.<br />
Pero, si nos piden un área debemos tener cuidado porque la solución debe darse en unidades<br />
al cuadrado, por ejemplo: cm 2 , m 2 , km 2 , etc... Así diremos que un cuadrado tiene 6 cm 2<br />
de área o superficie; o bien, que el parque municipal tiene una superficie de 450 m 2 de<br />
agua; o que mi pueblo tiene una superficie de 8,5 km 2 .<br />
Por último, si lo que queremos expresar es un volumen, la unidad la debemos elevar al cubo,<br />
o sea, cm 3 , m 3 , km 3 ; así diremos que un vaso tiene una capacidad o volumen de 250<br />
cm 3 ; que la piscina municipal tiene una capacidad o volumen de 1250 m 3 de agua; etc ...<br />
Una cosa importante en el volumen es la medición en litros. Medir en litros es medir un<br />
volumen; y cada litro equivale a 1 dm 3 , que para que te hagas una idea es un vaso de 1 dm<br />
= 10 cm de alto, 1 dm = 10 cm de ancho y 1 dm = 10 cm de largo, eso es 1 dm 3 y eso es<br />
un litro.<br />
Vamos a realizar una autoevaluación. Primero repasate lo que acabamos de ver, y después<br />
haz la autoevaluación, a ver que tal se te da.<br />
Pregunta Verdadero-Falso<br />
Contesta sobre la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones:<br />
1. El depósito de gasoil de mi coche tiene una capacidad de 45 litros 3 .<br />
Verdadero Falso<br />
<strong>2.</strong> El área del aeropuerto de una ciudad de Andalucía es de 3,5 km 2 .<br />
Verdadero Falso<br />
3. La medicina que debo suministrar a mi hijo debe ser en dosis de 5 cm 3 de capacidad.<br />
Verdadero Falso<br />
4. Mi casa tiene una superficie de 90 m 2 .<br />
Verdadero Falso<br />
5. El polideportivo cubierto de mi ciudad es capaz de albergar en su interior hasta 480000<br />
m 2 de aire.<br />
Verdadero Falso
1. Elementos, área y volumen de un poliedro<br />
Definición.<br />
Un poliedro es el cuerpo formado por polígonos. Un poliedro es regular si cumple que:<br />
Sus caras son polígonos regulares iguales.<br />
En cada vértice concurren el mismo número de caras.<br />
Elementos principales de un poliedro.<br />
Observando el dibujo podemos ver los elementos que forman un poliedro, que son:<br />
Caras : Pues eso, las caras, que son lo polígonos del tema anterior.<br />
Aristas : Son los lados de las caras.<br />
Vértices : Cada uno de los vértices de las caras del polígono.<br />
Diagonales : Son los segmentos que unen dos vértices que no pertenecen a la misma cara.<br />
Pregunta de Elección Múltiple<br />
Dado el hexaedro de la figura, di cuál de las siguiente opciones es la cierta. Para ello hazlo<br />
primero en tu cuaderno, y elige después la opción que creas verdadera.<br />
A - Vértices. B - Caras. C - Lados. D - Diagonales.<br />
A - Diagonales. B - Caras. C - Vértices. D - Lados.<br />
A - Lados. B - Caras. C - Vértices. D - Diagonales.
La figura anterior llamada hexaedro, la conocemos normalmente con el nombre de cubo.<br />
Vamos a ponernos a realizar un cubo de cartulina. Para ello necesitamos, además de la cartulina, una tijeras<br />
y una regla.<br />
Dibujamos en la cartulina la siguiente imagen.<br />
http://www.vitutor.net<br />
bajo licencia de creativa commons<br />
Lo que tenemos delante es una figura formada por polígonos, o mejor, por cuadrados. Podemos calcular sin<br />
problemas el área de ésta figura. Pues a ese área le vamos a llamar área del cubo. Y si fuese otro poliedro<br />
,su área se calcularia igual, o sea, al área de la figura abierta que resulta de abrir todas sus caras.<br />
Ahora cuando pegamos los lados de los polígonos correctamente obtenemos el cubo que teníamos un poco<br />
más arriba.<br />
El volumen del cubo o de un poliedro, es un concepto tan intuitivo que casi no merece la pena definir, es el<br />
espacio que ocupa.<br />
Verás que este tema es más sencillo que el anterior, vamos a dar expresiones de áreas y <strong>volúmenes</strong> y<br />
tendrás que aplicarlas, igual que has hecho en el tema anterior.<br />
Objetivos<br />
Un sólido platónico es un poliedro regular y convexo. En realidad sólo hay cinco sólidos<br />
platónicos, cuales son: octaedro, tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro.<br />
Pues bien, un omnipoliedro es un cuerpo geométrico en el que se inscriben los cinco sólidos<br />
platónicos. De dentro hacia afuera el orden de los poliedros, en nuestra construcción, será:<br />
octaedro, tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro (ver imagen).
ajo licencia de creative commons
<strong>2.</strong> Área y volumen de un hexaedro regular<br />
Un hexaedro es el poliedro de seis caras.<br />
Si las seis caras son cuadrados decimos que el hexaedro es regular , y como todos sabemos, se le llama<br />
cubo .<br />
http://ciudadbarcelona.olx.es<br />
bajo licencia de creative commons<br />
Cubo de Rubik Cubos de la memoria de Llanes (Asturias)<br />
Actividad<br />
http://www.iesalandalus.org<br />
bajo licencia de creative commons<br />
Las fórmulas que vas a ver parecen un poco complicadas, pero cuando compruebes lo sencillo<br />
que es utilizarlas, como en el ejemplo que sigue, verás como empiezas a tomarle cariño a<br />
esto de las áreas y <strong>volúmenes</strong>.<br />
Las fórmula del área y del volumen de un hexaedro regular o cubo son las que siguen:<br />
ÁREA DE UN HEXAEDRO: ; donde a es el valor de la arista de cada cara del<br />
hexaedro.<br />
Si un hexaedro tiene una arista de 8 cm, entonces el ÁREA será:<br />
VOLUMEN DE UN HEXAEDRO: ; donde a es el valor de la arista.<br />
El VOLUMEN del hexaedro de arista 8 cm será:
Resuelve y comprueba los siguientes ejercicios. Fíjate bien en las unidades, el área al<br />
cuadrado y el volumen al cubo.<br />
Ejercicio 4.<br />
Los cubitos de hielo de la imagen tienen 3 cm de arista. ¿Que superficie debe tener cada<br />
uno de los huecos de la cubitera, suponiendo que estén cerrados? ¿Qué volumen de hielo<br />
contiene cada cubito?<br />
Ejercicio 5.<br />
En la imagen de "los cubos de la memoria" de Llanes (Asturias) hay muchos cubos. Aunque<br />
no sabemos cuántos hay, vamos a suponer que son 125 cubos. Si el volumen total de los<br />
cubos es de 15,625 m 3 , ¿cuánto vale la arista de cada uno de cubos, suponiendo que sean<br />
todos iguales?<br />
Pregunta de Elección Múltiple
Un edificio tiene forma de cubo, si su altura es de 12 m, entonces los valores de su área y<br />
volumen son:<br />
a) A = 72 m 2 ; V = 1728 m 3<br />
b) A = 864 m 2 ; V = 1728 m 3<br />
Si el área de un dado para jugar al parchís es 18 cm 2 , entonces el valor de arista y su<br />
volumen son:<br />
a) a = 1,73 cm; V = 5,2 cm 3<br />
b) a = 1,73 cm; V = 3 m 3
3. Área y volumen de un tetraedro<br />
Ya hemos visto a lo largo del tema que es un tetraedro, pirámide triangular. Veamos algunas que nos<br />
podemos encontrar:<br />
Pirámide en Roma<br />
http://www.exploraroma.com<br />
bajo licencia de creative commons<br />
Reloj en forma de pirámide<br />
http://articulo.mercadolibre.com.mx<br />
bajo licencia de creative commons<br />
Un tetraedro es un poliedro de cuatro triángulos. Si los triángulos son equiláteros, el tetraedro se<br />
denomina regular.<br />
Actividad<br />
De nuevo te encuentras con fórmulas que son feas, pero que con la ayuda de la calculadora,<br />
serán cuentas sencillas de realizar.<br />
Dado el tetraedro regular de arista a , se tiene:<br />
ÁREA DE UN TETRAEDRO: ; donde a es el valor de la arista del tetraedro.<br />
La unidad siempre debe ser al cuadrado.<br />
Si un tetraedro tiene una arista de 5 cm, su área será de:<br />
VOLUMEN DE UN TETRAEDRO: ; donde a es el valor de la arista. El<br />
volumen debe darse en unidades al cubo, o sea, elevado a tres.<br />
Si calculamos el volumen del tetraedro anterior de arista 5 cm, será:
Realiza estos ejercicios en tu cuaderno, y comprueba que están bien. Para hacerlos utiliza la<br />
calculadora.<br />
Ejercicio 1.<br />
El reloj pirámidal que hemos visto más arriba tiene de arista 5 cm. Calcula su área y su<br />
volumen.<br />
Ejercicio <strong>2.</strong><br />
El carpintero de mi pueblo tiene una terraza que ha moquetado con césped artificial, para<br />
montarle a sus hijos una cabaña de madera con forma de tetraedro. Antes de hacerla ha<br />
hecho una foto y ha dibujado el tetraedro.<br />
http://greengardenbarcelona.com/<br />
bajo licencia de creativa commons<br />
Si la cabaña que quiere montar va a tener una arista de 2,5 m de longitud, ¿cuánta<br />
superficie de madera va a necesitar? ¿Qué volumen ocupará la cabaña una vez acabada?<br />
Ejercicio 3.<br />
Si el volumen de un tetraedro es de 2 m 3 , ¿cuánto mide su arista?<br />
Pregunta Verdadero-Falso<br />
Realiza los cálculos que te proponen las siguientes afirmaciones, y dí si son verdaderas o
m 3<br />
Verdadero Falso<br />
<strong>2.</strong> Si el área de un tetraedro vale 15 m 2 , la arista vale 2,94 m.<br />
Verdadero Falso<br />
3. Si el volumen de un tetraedro vale 17 cm 3 , la arista vale 4,9 m<br />
Verdadero Falso
4. Área y volumen de una pirámide cuadrángular<br />
De entre todas las pirámides que conocemos en este apartado vamos a estudiar las que tienen la base<br />
cuadrada, y que vamos a llamar pirámide cuadrangular .<br />
Veamos una pirámide y algunos elementos que necesitamos para comprender bien su área y su volumen.<br />
Como puedes ver, la apotema (línea azul) nos recuerda a la apotema de los polígonos, igual que la altura<br />
(línea roja).<br />
Vamos a conseguir las fórmulas del área y del volumen de una pirámide cuadrangular, que llamaremos por<br />
comodidad a partir de ahora, simplemente pirámide.<br />
Como el área es la suma de todas las áreas de los polígonos que la forman, será la suma del área de la base,<br />
y la suma de las áreas de los cuatro triángulos.<br />
El área de la base es sencilla, puesto que vale la base al cuadrado. Para el área de los cuatro triángulos<br />
vamos a utilizar la expresión siguiente:<br />
ÁREA DE LAS CARAS LATERALES: ; con lo cual la expresión<br />
final del área de una pirámide será:<br />
Actividad<br />
ÁREA DE LA PIRÁMIDE CUADRANGULAR: ; donde b es el valor del lado<br />
de la base, p es el perímetro de la base y ap es la apotema.<br />
Para el volumen la expresión es la siguiente:<br />
VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE CUADRANGULAR: ; donde a es la<br />
altura de la pirámide.
Veamos un ejemplo:<br />
Si tenemos una pirámide cuyos elementos son: b = 2 m; ap = 3 m; su área será:<br />
multiplicando 4·<strong>2.</strong><br />
; donde el perímetro se obtiene<br />
El volumen de la pirámide anterior, sabiendo que la altura es 4, será:<br />
http://www.cocinaya.com<br />
bajo licencia de creative commons<br />
la pirámide de chocolate?<br />
Ejercicio 7.<br />
En Las Vegas<br />
podemos<br />
encontrarnos un<br />
hotel que tiene<br />
forma de<br />
pirámide como<br />
puedes ver en la<br />
imagen. Si<br />
buscamos las<br />
dimensiones de<br />
esta pirámide<br />
encontramos que<br />
la altura es de<br />
106 m.<br />
Haciendo unos<br />
cálculos se tiene<br />
que la base de la<br />
pirámide tiene un<br />
lado de<br />
aproximadamente<br />
unos 150 m,<br />
mientras que la<br />
http://planetagadget.com<br />
apotema, tiene<br />
un valor, también aproximado, de 130 m.<br />
bajo licencia de creative commons<br />
Ejercicio 6.<br />
En un restaurante nos ponen el siguiente postre.<br />
Tiene una pinta deliciosa, pero queremos saber<br />
cuánto chocolate vamos a comernos, por aquello de<br />
la dieta.<br />
Con ojos matemáticos, vemos que el chocolate<br />
forma una pirámide, así que nos disponemos a<br />
tomar medidas para calcular cuánto chocolate nos<br />
vamos a comer. Los datos que tomamos son:<br />
lado de la base = 4 cm; apotema = 6 cm; altura de<br />
la pirámide = 5 cm.<br />
¿Cuánto chocolate nos vamos a tomar? ¿Qué<br />
superficie tendrá el molde con el que se ha hecho<br />
¿Podrías decirme cuánta superficie de cristal se ha utilizado para cubrir la pirámide, y<br />
cuánto volumen engloba en su interior?
Pregunta de Selección Múltiple<br />
En las siguientes preguntas hay varias opciones que son ciertas, localízalas después de<br />
calcular las áreas y <strong>volúmenes</strong> pedidas.<br />
1. Un pirámide tiene una base de 10 m, una apotema de 8 m y una altura de 12 m. Su área<br />
y volumen son:<br />
a) A = 100 m 2<br />
b) A = 260 m 2<br />
c) V = 400 m 3<br />
d) V = 1200 m 3<br />
Mostrar retroalimentación<br />
Tenemos una vela con forma de pirámide, la base mide 6 cm, su altura 5 cm y su apotema 7<br />
cm. ¿Qué cantidad de vela tenemos? ¿Qué superficie tiene el molde con que fue hecha la<br />
vela?<br />
a) A = 120 cm 3<br />
b) A = 120 cm 2<br />
c) V = 60 cm 2<br />
d) V = 60 cm 3<br />
Mostrar retroalimentación
5. Otros cuerpos elementales. El cono, el cilindro y la<br />
esfera.<br />
Vamos a estudiar en este punto otros cuerpos elementales del espacio, concretamente el cilindro y la esfera.<br />
Veamos imágenes de éstas figuras.<br />
http://mak-man.blogspot.com/<br />
bajo licencia de creative commons<br />
http://tarjetas-abejita.blogspot.com/2010/04<br />
/cilindro.html<br />
bajo licencia de creative common<br />
http://www.juntadeandalucia.es/averroes<br />
/.../esfera.html<br />
bajo licencia de creative commons<br />
No está de más recordar, que las fórmulas que vas a ver son aparentemente difíciles, pero recuerda que<br />
hasta ahora con la ayuda de la calculadora, hemos sabido salir adelante, simplemente debes tener cuidado a<br />
la hora de hacer los cálculos.<br />
Además, recuerda el asunto de las unidades, las áreas van al cuadrado, y los <strong>volúmenes</strong> al cubo.
5.1. El cilindro: área y volumen<br />
Seguramente en casa tendrás una lata de tomate frito, o una lata de refresco, pues bien, eso es un cilindro,<br />
como a lo mejor ya sabes.<br />
Un cilindro tiene dos elementos básicos que nos servirán para calcular el área y el volumen del mismo: el<br />
radio de la base del cilindro, y la altura del cilindro. Veamoslo en el siguiente gráfico:<br />
Para calcular su área no tenemos más que abrir nuestra lata de tomate frito. Imaginemos que abrimos la<br />
lata de manera que nos quede de la siguiente forma:<br />
Actividad<br />
Como ves, al abrirlo, tenemos un rectángulo y dos circulos, y como ya sabemos las áreas de<br />
estas figuras, no tiene secretos para nosotros el área de un cilindro, porque será algo así:<br />
ÁREA DEL CILINDRO:<br />
donde a es la altura del cilindro y r el radio del circulo de la base,<br />
y una vez que nos den los datos, no tendremos problemas.<br />
Tampoco es difícil el volumen, puesto que no es más que el área de la base, por la altura del<br />
cilindro, vamos a verla en fórmula:<br />
; donde r es el radio de la base y a la altura del cilindro.<br />
;
Veamos un ejemplo:<br />
Si un cilindro tiene una altura de 8 cm y su base tiene un radio de 4 cm, su área será:<br />
Calculemos el volumen del cilindro:<br />
Realiza el siguiente ejercicio en tu cuaderno antes de ver la solución.<br />
Tenemos en casa una lata de tomate frito, a la que hemos tapado la marca por aquello de la<br />
publicidad, y queremos hacer una exactamente igual en cartulina, y nos preguntamos, ¿qué<br />
superficie o área de cartulina nos hará falta? Suponiendo que la lata de cartulina sea para<br />
guardar arena de la playa, ¿qué volumen de arena podremos guardar en ella? Los datos que<br />
necesitas para resolver esto es que la base tiene un radio de 5 cm y el cilindro tiene una<br />
altura de 20 cm.<br />
http://www.solostocks.com<br />
bajo licencia de creative commons<br />
El otro día mis hijas querían hacer un lapicero para el día del cumpleños de su madre.Para ello cogieron un<br />
rollo de papel higiénico y un trozo de cartulina. Al ver que el papel higiénico tenía "un agujero demasiado<br />
pequeño" dicho en boca de mi hija pequeña, esperaron a pedir en el cole unos más grandes que decían que<br />
habían utilizado. Así fue, y al día siguiente trajeron dos rollos acabados cuyos diámetros eran de 6 cm, y la<br />
altura de 9 cm. Hicimos con mucho cariño los lapiceros, que nos quedaron preciosos, tanto fue así, que<br />
cuando mi mujer los vió, prefirió utilizarlo para meter dentro unas esencias, unas con olor marino y otras<br />
con olor a lavanda. Así que rellenó los dos lapiceros, y las niñas tan contentas. ¿Podrías decirme que<br />
cantidad de cartulina utilizamos para los dos lapiceros incluyendo la del papel higiénico? ¿y, que volumen de<br />
esencias cupieron en los dos lapiceros?<br />
Solución:<br />
Vamos a calcular el área y el volumen de uno de los lapiceros y después multiplicamos por <strong>2.</strong><br />
Y para el volumen igual:<br />
cm 2<br />
; cada lapicero; entre los dos: 452,16<br />
; entre los dos lapiceros: 502,4 cm 3
Pregunta de Selección Múltiple<br />
Calcula los datos del problema previamente, y dí cuál de las afirmaciones son ciertas; hay<br />
varias ciertas.<br />
Si un cilindro tiene de altura 4 m, y su base circular tiene un radio de 1 m, su área y su<br />
volumen valen:<br />
a) A = 31,4 m 2<br />
b) V = 12,56 m 2<br />
c) V = 12,56 m 3<br />
Mostrar retroalimentación
5.<strong>2.</strong> El cono: área y volumen<br />
El cono tampoco es una figura desconocida, seguramente porque podemos ver conos normalmente en<br />
nuestra vida cotidiana. Como ves en las imágenes podemos encontrar conos en la carretera o en una<br />
heladería.<br />
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bajo licencia de creative commons<br />
Vamos a obtener el área y el volumen del cono, y posteriormente vamos a hacer algún ejemplo. Para ello<br />
vamos a ver un cono con los elementos que necesitamos para poder utilizar éstas fórmulas.<br />
Vemos el cono que tiene tres elementos esenciales: r, el radio del circulo que es su base; a, la altura del<br />
cono; y g, que es la generatriz del cono. Recibe este nombre tan raro, porque si coges un palito (una pajita<br />
de las de beber por ejemplo) y la mueves en el aire, estás formando en el aire un cono, o sea, creas o<br />
generas un cono, de ahí que se llame, generatriz del cono.<br />
Actividad<br />
La expresión del área es:<br />
ÁREA DE UN CONO: ; donde g es el lado o generatriz del cono,
Y la del volumen:<br />
VOLUMEN DE UN CONO: ; donde a es la altura del cono.<br />
Como ejemplo, vamos a calcular el área y el volumen del cono que tiene las siguiente medidas: g = 15 cm,<br />
a = 12 cm, y r = 9 cm.<br />
Calculamos el área: ;<br />
y el volumen:<br />
Si tuviéramos un cucurucho para rellenar de nata, a ras, o sea, que no sobresalga helado del cucurucho; y<br />
ese cucurucho tuviera las siguientes dimensiones: el radio de la base mide 3 cm; la altura del cucurucho<br />
mide 15 cm; y la generatriz del cucurucho mide 17 cm, qué área de galleta ha sido utilizada en la<br />
fabricación del cucurucho, y y qué volumen de helado de nata se ha utilizado para rellenar el cucucucho.<br />
Para calcular el área tendremos que tener en cuenta que el cucurucho no está tapado, luego tendremos que<br />
restar el área del circulo, una vez obtenido el valor del área del cono. Vamos a calcular el área del cono:<br />
y a esto hay que restarle el área del circulo, que es:<br />
así restando tenemos: A = 188,4 - 28,26 = 160,14 cm 2<br />
Para el volumen de helado de nata, no hay ninguna cuestión a tener en cuenta:<br />
Antiguamente, para salir en un paso de Semana Santa, el penitente tenía que hacerse su<br />
propio capirote. Uno cogía una cartulina y se lo fabricaba artesanalmente. Vamos a<br />
fabricarnos uno con nuestra imaginación. Medimos el diametro de nuestra cabeza, y<br />
obtenemos 18 cm allí donde debe apoyar el capirote. Medimos la altura que debe tener el<br />
capirote, y nos sale 45 cm, y aunque no lo necesitamos para construirlo medimos también<br />
su generatriz, que vale 48 cm. Calcula el área de cartulina que necesitamos para hacer el<br />
capirote.
http://elpenitenteonubense.blogspot.com<br />
bajo licencia de creative commons<br />
Ahora vamos a imaginarnos que tenemos un embudo con forma de cono, y que queremos<br />
averiguar que volumen de agua le cabe antes de bozarse. Los datos que necesitamos son el<br />
radio del circulo de la base, la altura y su generatriz, y estos datos son: r = 6 cm; a = 14<br />
cm; g = 16 cm. Calcula el volumen de agua que cabe en el embudo.<br />
Pregunta de Elección Múltiple<br />
Un cono de tráfico (supuestamente con una figura perfecta de cono) tiene las siguientes<br />
dimensiones: r = 12 cm; a = 40 cm; g = 45 cm. Entonces el área y el volumen valen:<br />
a) A = 2147,76 cm 3 ; V = 6028,8 cm 2<br />
b) A = 2147,76 cm 2 ; V = 6028,8 cm 2<br />
c) A = 2147,76 cm 2 ; V = 6028,8 cm 3
5.3. La esfera: área y volumen<br />
Todos sabemos que es una esfera. Un balón, una naranja, la Tierra, tienen forma de esfera, bueno aunque<br />
no exactamente, puesto ya sabes que la Tierra está achatada por los polos, pero eso forma parte de otra<br />
historia.<br />
Pues si cogemos, por ejemplo, una naranja, y la pelamos, la piel sería el área de la esfera. Y si midiesemos<br />
el aire que le cabe a una pelota de balonmano, éste sería el volumen.<br />
http://www.taringa.net<br />
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bajo licencia de creative commons<br />
Vamos a conocer las fórmulas del área y del volumen de una esfera, ya verás que son tan<br />
fáciles como las anteriores. Para entenderlas, solo hace falta conocer un elemento: el radio<br />
de la esfera.<br />
ÁREA DE UNA ESFERA: ; donde r es el radio de la esfera,<br />
VOLUMEN DE UNA ESFERA: , donde r es de nuevo el radio de la esfera.<br />
Veamos un ejemplo. Si tenemos una esfera de radio 1,5 m, su área será:<br />
Si obtenemos el volumen de la esfera anterior, será:<br />
Sabiendo que el diámetro de la pelota de balonmano de arriba vale 20 cm, calcula su área y su volumen.<br />
Solución:<br />
Actividad<br />
Aplicando las fórmulas y con ayuda de la calculadora tenemos:
Para nuestro árbol de navidad hemos hecho bolitas esféricas. Cada bolita tiene 4 cm de radio,<br />
y hemos hecho un total de 15. Son de un plástico un poco feo, y decidimos cubrirlas de<br />
papeles de colores. Además para que pesen un poco más las rellenamos de algodón. Puedes<br />
decirme ¿cuánta superficie de papel y cuánto volumen de algodón vamos a utilizar?<br />
Pregunta Verdadero-Falso<br />
Realiza en tu cuaderno los cálculos antes de elegir las afirmaciones que crees que son ciertas.<br />
Si tenemos una pelota de playa, cuyo radio es de 45 cm, entonces ...<br />
1. Su área es de 565,2 cm 2<br />
Verdadero Falso<br />
<strong>2.</strong> Su área es 25434 cm 2<br />
Verdadero Falso<br />
3. Su volumen es de 188,4 cm 3<br />
Verdadero Falso<br />
4. Su volumen es de 8478 cm 3<br />
Verdadero Falso<br />
5. Su volumen es de 381510 cm 3<br />
Verdadero Falso