Misiones Lunares e Interplanetarias - Departamento de Ingeniería ...

Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Astronáutica y Vehículos Espaciales
Análisis y Diseño de Misiones Lunares e Interplanetarias
Rafael Vázquez Valenzuela
Departamento de Ingeniería Aeroespacial
Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla rvazquez1@us.es
10 de diciembre de 2007

Misiones No Geocéntricas
Apr-10-07
Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Introducción e hipótesis de partida
1. Misiones Lunares
2. Misiones Interplanetarias
Vehículos Espaciales y Misiles 1
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
Una misión lunar tiene uno de los
siguientes objetivos:
“Sobrevolar” la Luna.
Orbitar de forma “permanente” en
torno a la Luna.
Impactar o alunizar en la Luna.
Las misiones lunares se pueden
clasificar en tripuladas (las únicas han
sido las Apollo) y no tripuladas.
Hipótesis básicas de cálculo:
La órbita de la Luna es kepleriana y circular, de radio
a = 384400 km.
La sonda lunar parte de una órbita de aparcamiento de radio
r0, ya en el plano orbital de la Luna.
No se considera ningún tipo de perturbación adicional a la
presencia de los cuerpos Tierra y Luna.
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Órbitas de intercepción I
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
En un primer análisis se desprecia la
atracción gravitatoria de la Luna y se estudia
la transferencia desde la órbita de
aparcamiento a la posición de la Luna.
Posibles trayectorias:
Órbita de mínima energía: su apogeo
corresponde con la posición de la Luna.
Otras órbitas elípticas más excéntricas.
Órbita de escape parabólica.
Órbita de escape hiperbólica.
El ángulo Ψ en la figura es el llamado ángulo de fase, que es
el que forma la Luna con la posición de partida de la sonda
lunar; este ángulo se determina para que la Luna se encuentre
en la posición de la sonda cuando ésta llegue a su órbita.
El valor de Ψ determina las ventanas de lanzamiento (cuando
la posición relativa de la sonda y la Luna forma dicho ángulo). 3 / 41

Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Órbitas de intercepción II
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
Para la transferencia de mínima energía,
amin = r0+a 2 y λmin = a . Entonces
r0
µ⊕ 2λ
∆V =
− 1 y
Ttrans = π
r0
a3 min
µ⊕ .
1+λ
En otras trayectorias elípticas se tiene λ ∈ (λmin, ∞): crece
∆V y baja Ttrans. √ µ⊕
Para la parabólica, ∆VP = 2 − 1 .
Las transferencias hiperbólicas serán con ∆V > ∆VP.
Una vez calculada la transferencia, se determina la anomalía
verdadera al llegar a la órbita lunar θf y el tiempo de
transferencia Ttrans con la ecuación de Kepler.
r0
Entonces, se calcula n =
µ⊕/a3
y se encuentra el ángulo
de fase de la fórmula: Ψ + Ttransn = θf − θi. 4 / 41

Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Órbitas de intercepción III
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
En la figura se han representado los
tiempos de transferencia y velocidades
de inyección, para r0 = 180 km, luego
Vpark = 7,796 km/s
La velocidad de inyección es
Viny = Vpark + ∆Vtrans, el impulso
total que habrá que darle a la sonda
desde Tierra.
Se observa que con un pequeño incremento de velocidad de
inyección respecto a la transferencia de mínima energía, se
consigue una gran disminución en Ttrans.
Por otro lado, los tiempos de transferencia parabólicos o
hiperbólicos no suponen una gran mejora; por eso se usan
transferencias elípticas más rápidas que la de mínima energía.
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Esfera de Influencia I
Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
Éste concepto fue originalmente inventado por Laplace.
Consideremos un vehículo espacial sometido a la influencia de
dos cuerpos masivos 1 y 2, separados por una distancia r12.
1 Si se encuentra en las proximidades de 1, entonces la influencia
de 2 se puede considerar como una perturbación: g = g1 + g ′ 2 ,
donde g1 = µ1
r 2 1
y g ′ 2
= µ2
r2
r 3 2
− r12
r 3 12
2 Si se encuentra en las proximidades de 2, entonces la influencia
de 1 se puede considerar como una perturbación: g = g2 + g ′ 1 ,
donde g2 = µ2
r 2 2
y g ′ 1
= µ1
r1
r 3 1
− r12
r 3 12
Cuando g ′ 2
g1 = g ′ 1 , entonces los dos puntos de vista son
g2
igualmente válidos; esa condición determina un lugar
geométrico que separa la “zona de influencia 1” de la “zona
de influencia 2”.
.
.
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Esfera de Influencia II
Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
En el caso (usual) de que uno de los cuerpos (por ejemplo, el
1) sea mucho más masivo que el otro, el lugar geométrico de
separación de zonas de influencia es aproximadamente una
esfera, que rodea al cuerpo menos masivo (en este caso, el 2).
En este caso el radio de dicha esfera se obtiene de la expresión
Re = L
µ2
µ1
2/5
= L
m2
m1
2/5
, donde L es la distancia que
separa a los dos cuerpos.
†† Ejercicio: Demostrar ésta fórmula.
En el caso Tierra-Luna, con L = 384400 km, la esfera de
influencia de la Luna tiene un radio R e = 66183 km.
Por tanto, en una esfera de este radio centrada en la Luna, la
influencia gravitatoria lunar es más importante que la
terrestre, mientras que en el resto del espacio domina la
atracción terrestre.
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Ajuste de cónicas I
Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
El concepto de esfera de influencia nos
permite prediseñar una misión lunar usando
el modelo de los dos cuerpos.
Se divide la misión en partes. La primera
parte será una órbita geocéntrica desde la
órbita de aparcamiento hasta la esfera de
influencia lunar; la única fuerza será la
atracción terrestre.
Una vez se entre en la esfera de influencia lunar, se
estudiará una órbita selenocéntrica sólo sometida a la
atracción lunar.
Ambas órbitas estarán conectadas de forma que la posición y
velocidad finales en la órbita geocéntrica serán las iniciales en
la selenocéntrica. Este proceso se llama “ajuste de cónicas”.
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
La órbita geocéntrica I
De la figura: rl =
V 2
l
= 2µ⊕
rl
− µ⊕
L 2
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
Datos de entrada
r0: radio de la órbita de
aparcamiento
Velocidad de inyección Vi
(Vi = V0 + ∆V )
λ: ángulo de intersección con la
esfera de influencia lunar.
Tenemos at = 1
2
V 2
− i
r0 µ ⊕
+ R2
e − 2LR e cos λ. También
at , cos θl = at(1−e2 t )
etrl
1−et
1+et tan θl/2, tv = El −e sen El
n
1 − et , tan γl = et sen θl
1+et cos θl ,
,et = 1 − r0
at .
tan El/2 =
, n = µ⊕/a3 t .
Para la luna, Ψ = θl − β − ntv , donde n = µ⊕/L3
, y
donde β se obtiene de rl sen β = Re sen λ. 9 / 41

Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
La órbita geocéntrica II
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
Por tanto, a partir de (r0, Vi, λ)
obtenemos los datos de la
trayectoria (rl, vl, γl) en el punto
de contacto con la esfera de
influencia lunar y el ángulo de
fase ψ.
El ángulo ψ puede ser también
un dato de entrada, entonces el
problema tiene que ser resuelto
numéricamente.
En el gráfico se representa, para r0 = 180 km, la solución para
posibles pares (Vi, ψ): la zona oscura responde a condiciones
que no dan lugar a intercepción lunar; la zona clara a
condiciones que sí producen intercepción; y la zona negra a
condiciones que dan lugar a impacto lunar.
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Ajuste de cónicas II
Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
Para el proceso de ajuste, partimos de
(Vl, γl, rl, β, λ) y queremos obtener (Ve, γe).
Ya sabemos re = R e.
En primer lugar hay que considerar que
estamos cambiando de sistema de referencia,
que ahora está centrado en la Luna; por
tanto, hay que considerar la velocidad
V = µ⊕/L de este nuevo sistema de
referencia y se tiene: Ve = Vl − V.
De la figura: γe = 90 o − δ,
V 2 e = V 2
l + V − 2VlV cos(γl − β).
Finalmente δ se encuentra de
Ve sen δ = V cos λ − Vl cos(γl − λ − β).
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Órbita selenocéntrica I
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
Egorov demostró que, debido a la velocidad de la luna
respecto a la Tierra, la órbita selenocéntrica es siempre
hiperbólica.
De la ecuación de las fuerzas vivas V 2 e = 2µ
re − µ ae
obtiene ae, mientras que la excentricidad ee se deduce a partir
de h = µae(1 − e 2 e ) = reVe cos γe.
Del valor del radio de periapsis rp = ae(1 − ee) podemos
deducir:
Si rp < R = 1738 km entonces se produce impacto.
Una misión de orbitación lunar requerirá convertir la hipérbola
selenocéntrica en una elipse alrededor de la Luna.
Una misión de sobrevuelo permitirá que la hipérbola escape
una vez más de la esfera lunar, con lo que se debe volver a
realizar el ajuste de cónicas a la salida.
se
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Órbita selenocéntrica II
Órbitas de intercepción
Esfera de influencia
Ajuste de cónicas
Ejemplo de misión de sobrevuelo (diseñada por Egorov):
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Introducción e hipótesis de partida
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Como en el caso lunar, una misión
interplanetaria puede tener como
objetivo:
Un sobrevuelo de un planeta.
Orbitar de forma “permanente” en
torno al planeta.
Misiones de impacto o “aterrizaje”.
Además, una misión interplanetaria puede visitar varios
planetas en su trayectoria para realizar la “maniobra asistida
por gravedad” (y de camino obtener datos científicos).
Hipótesis básicas de cálculo:
Las órbitas de los planetas son circulares y coplanarias.
La sonda lunar parte de una órbita de aparcamiento de radio r0
en el plano de la eclíptica.
No se considera ningún tipo de perturbación adicional a la
presencia de los tres cuerpos (Tierra, Sol, planeta de destino).
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Esferas de Influencia I
Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
La esfera de influencia respecto al Sol de un planeta P se
calcula como ReP = LP
entre el Sol y el planeta.
µP
µ ⊙
2/5
, donde LP es la distancia
En la siguiente tabla se representan datos para los diferentes
planetas del sistema solar:
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Esferas de Influencia II
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
En todos los casos RP ≪ ReP ≪ LP. Esto nos permite
introducir las siguientes hipótesis simplificativas:
Desde el punto de vista de las trayectorias heliocéntricas, las
esferas de influencia se pueden considerar puntos (despreciando
ReP).
Desde el punto de vista de las trayectorias planetocéntricas, las
esferas de influencia se pueden considerar con radio infinito.
Estas dos hipótesis permiten simplificar el proceso de ajuste
de cónicas, ya que eliminan ReP del cálculo:
Las órbitas planetocéntricas serán hiperbólicas y entrarán o
saldrán de la esfera de influencia, ya que es supuesta infinita,
por las asíntotas.
La órbita heliocéntrica será una elipse de transferencia entre
dos puntos (sin necesidad de introducir los ángulos del caso
lunar).
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Órbitas de intercepción e impulsos mínimos I
La órbita geocéntrica inicial es la de aparcamiento, de radio r0
y velocidad V0 = µ⊕/r0.
Supongamos que aplicamos un impulso tangencial ∆V ,
suficiente para obtener una trayectoria hiperbólica:
∆V > ( √ 2 − 1)V0.
La velocidad a la salida de la esfera de influencia
será aproximadamente la velocidad de exceso hiperbólica V∞.
De la ecuación de las fuerzas vivas: V 2 ∞ = (V0 + ∆V ) 2 − 2µ⊕
r0 .
Se define C3 = V 2 ∞, parametro característico de la misión.
Por tanto, si conocemos la V∞ deseada, el impulso inicial
requerido será ∆V =
V 2 ∞ + 2V 2 0
− V0.
Una vez fuera de la esfera de influencia terrestre, es necesario
situarse en el sistema de referencia heliocéntrico; en este
sistema de referencia, ri = L⊕, vi = V∞ + V⊕, donde
V⊕ = µ⊙/L⊕ ≈ 29,74 km/s.
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Órbitas de intercepción e impulsos mínimos II
Analicemos en primer lugar los V∞ mínimos requeridos para ir
a un determinado planeta; para ello consideramos una
transferencia tipo Hohmann, en torno a una oposición de
referencia.
Según el planeta objetivo sea superior o inferior (ver figura),
V∞ debe tener la misma dirección o dirección opuesta a V⊕.
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Órbitas de intercepción e impulsos mínimos III
En la figura se puede observar como es necesario diseñar la
hipérbola de salida en relación a la posición del Sol, según los
casos.
El ángulo τ de la figura es igual a 180 − θ∞.
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Órbitas de intercepción e impulsos mínimos IV
En la figura se ha calculado, para cada
órbita en torno al Sol y para la
transferencia tipo Hohmann, el coste
energético (∆V en la órbita de
aparcamiento) y el tiempo de
transferencia (despreciando los tiempos
de salida de la esfera de influencia).
Observaciones:
Las misiones a planetas exteriores
requieren de un tiempo muy largo.
El interior del Sistema Solar es
energéticamente muy costoso.
Por tanto, para hacer viables las misiones interplanetarias es
necesario un método adicional que reduzca tiempo y coste.
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Maniobra asistida por gravedad I
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
El elevado coste energético de una misión
interplanetaria puede ser mitigado usando
la maniobra asistida por gravedad.
Tras 20 años de debate e incredulidad, en
1974 la Mariner 10 realizó esta maniobra
para alcanzar Mercurio vía Venus.
Esta maniobra cambia la velocidad de un
vehículo relativa al Sol (la velocidad
relativa al planeta permanece constante).
La maniobra se realiza acercándose a un planeta dado, lo que
también se puede aprovechar desde el punto de vista científico
(ningún planeta ha sido visitado “demasiadas veces”).
Ya en el siglo XIX se había observado que los cometas, al
acercarse a Júpiter, modificaban considerablemente su órbita.
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Misiones Interplanetarias
Maniobra asistida por gravedad II
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Llamemos Va y Vd a las velocidades
antes y después de la maniobra, en el
sistema de referencia heliocéntrico.
Igualmente, llamemos va y vd a las
velocidades antes y después, en el sistema
de referencia planetocéntrico.
La velocidad del planeta respecto al Sol
se denomina Vp.
Se tiene que va = Va − Vp y que Vd = vd + Vp.
Por otro lado va = vd = v∞ =
− µp rp
1
a , a = 1−e , sen δ/2 = e .
De la figura: ∆V = 2v∞ sen δ/2. Operando, llegamos a:
∆V = 2v∞
1
1+rpv 2 ∞ /µp
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Misiones Interplanetarias
Maniobra asistida por gravedad III
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
En la expresión ∆V = 2v∞
tenemos como datos de entrada
v∞ = | Va − Vp| y el radio de
acercamiento máximo rp.
1
1+rpv 2 ∞/µp
Se observa que ∆V es decreciente con
rp. El máximo pues se dará para el menor
valor (teórico) posible de rp, que es
rp = Rp, el radio del planeta.
Maximizando ∆V con respecto a V∞, se llega a que el
máximo ∆V se obtiene cuando V∞ = µp/Rp, e = 2,
δ = 60 o . Entonces ∆VMAX = µp/Rp.
Por otro lado va = vd = v∞ =
− µp rp
1
a , a = 1−e , sen δ/2 = e .
Es decir el máximo ∆V teórico es la velocidad circular en
periapsis, cuando la periapsis es la mínima posible (Rp).
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Maniobra asistida por gravedad IV
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Misiones No Geocéntricas
2. Misiones Interplaneta
En la tabla se puede ver el valor de ∆Vmax para
losManiobra diferentesasistida planetas. por gravedad por El máximo anter
Este es valor teórico, estáya limitado que muchas en la práctica consideraciones por el diferentes
acercamiento p.ej. atmósferas máximo planetarias. posible (p.ej. Asimismo, por atmósfera no es recome
o por Júpiter peligro más de de radiación). 10 radios planetarios debido a su fuer
La Voyager II pudoEn alcanzar la figura, la velocidad las maniobras de escape consecutivas del que permitie
Sistema Solar realizando alcanzar varias la velocidad maniobras de consecutivas escape del Sistema (el Solar (la
“grand tour”), aprovechando planetaria que una permite configuración el llamado planetaria “Grand queTour”
se re
sólo se repite cada cada 176 176 años. años).
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Maniobra asistida por gravedad V
Un ejemplo clásico de órbitas cíclicas se
debe al astronauta Buzz Aldrin.
Aldrin diseñó dos órbitas acopladas entre
Marte y la Tierra; en cada órbita hay
siempre un vehículo, uno de ellos se usaría
para viajar a Marte desde la Tierra (147
días) y el otro para volver (170 días).
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Un concepto avanzado basado en la
maniobra asistida por gravedad es el de las
órbitas cíclicas o “cycler orbits”.
La idea es tener una serie de vehículos
espaciales en short órbitas transit times en (~5 torno months) aand dos regular cuerpos
transit
opportunities. However, the planetary encounters occur
at high relative velocities and typically, impose harsher
que se repiten periódicamente; cada
requirements on the Taxi craft than other cyclers. Also,
the Aldrin Cycler requires a modest mid-course
sobrevuelo a un correction cuerpo on 3 out of arroja 7 orbits to maintain al vehículo the proper orbit a
orientation. These delta-Vs will be carried out using low-
una órbita en thrust, torno solar powered al otro. ion propulsion systems (IPS).
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growing
consum
thrust A
be const
GETTIN
Cycler
necessi
and an
complet
inclinatio
cycler p
concern
has bee
departs
period w
The prim
take pla
from the
consum
against
Nock 20
flyby an
have se
because
time. Th

Ajuste de cónicas I
Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Si bien una misión interplanetaria
realmente requiere resolver un problema
de 4 (o más) cuerpos, el ajuste de cónicas
produce unos resultados excelentes a
todos los efectos excepto los de muy gran
precisión (astronavegación).
Se descompone el problema en tres
partes: hipérbola de salida, elipse
heliocéntrica e hipérbola de llegada.
Es posible emplear estas técnicas incluyendo una
configuración más realista: las inclinaciones de los planos de
otros planetas (se resuelve usando trigonometría esférica para
calcular los cambios de plano), teniendo en cuenta la posición
real de los planetas (usando las efemérides).
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Ajuste de cónicas II
Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Complicaciones en el diseño: uso
de la órbita real de los planetas,
teniendo en cuenta las
diferentes inclinaciones de los
planos orbitales.
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Trayectoria heliocéntrica I
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Se calcula la trayectoria heliocéntrica
alrededor de una oposición de referencia.
Hay dos tipos de trayectoria: tipo I
(∆θ < 180 o ) y tipo II (∆θ > 180 o ).
Éstas oposiciones de referencia
determinan las “ventanas de
oportunidad” para el lanzamiento, y se
repiten con el periodo sinódico S del
planeta: S = 2π
n⊕−nP .
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Trayectoria heliocéntrica II
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Si se tiene en cuenta la órbita real de los planetas (diferencias
de inclinación, excentricidad), la mínima energía necesaria
depende también del año; y según el año, será más favorable
una trayectoria tipo I o tipo II.
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Trayectoria heliocéntrica III
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
En torno a la oposición de referencia se resuelve el problema
de Lambert, para una variedad de tiempos de vuelo y
posiciones relativas de los planetas; con la solución se hace
una gráfica.
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Trayectoria heliocéntrica IV
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Trayectoria heliocéntrica V
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
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Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Trayectoria heliocéntrica VI
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Estos diagramas se pueden afinar en torno a una fecha de
llegada, para determinar con precisión una ventana de
oportunidad de salida; si se pospone el lanzamiento, habrá que
esperar un periodo sinódico para repetirlo.
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Órbita geocéntrica I
Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Puesto que la esfera de influencia
se supone puntual a efectos de la
órbita heliocéntrica, sólo es
importante que, en la hipérbola
geocéntrica, V∞ tenga la dirección
y magnitud correctas.
El lugar geométrico de las órbitas
de salida define un hiperboloide de
revolución, cuya intersección con
una esfera de radio r0 define los
posibles puntos de inyección.
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Órbita geocéntrica II
Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
Geométricamente (en base a los
azimut permitidos de una base) se
puede determinar a qué horas del
día es posible lanzar un vehículo en
una órbita que permitirá la
inyección.
Éstas horas representan la ventana
de oportunidad de lanzamiento
dentro de un día dado.
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Órbita de llegada
Misiones Lunares
Misiones Interplanetarias
Esferas de influencia y órbitas de intercepción
Maniobra asistida por gravedad
Ajuste de cónicas
De la misma forma, una vez
calculado V∞ a la llegada, se
obtiene un hiperboloide con todos
las posibles órbitas de acercamiento
al planeta.
La órbita se determinará por la
intersección de su plano con el
hiperboloide.
En un plano perpendicular al hiperboloide y lejano al planeta
(plano B) se pueden representar los puntos que determinan si
el vehículo tendrá una colisión, una reentrada, o un
sobrevuelo; se pueden realizar pequeñas correcciones a lo largo
de la órbita heliocéntrica para asegurar la situación deseada
según la misión.
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Ejercicios I
Ejercicios
Datos: R⊕ = 6378,14 km, µ⊕ = 398600,4 km 3 /s 2 ,
L⊕ = 1 AU = 149,598 × 10 6 km, L = 384400 km, R = 1738 km,
µ = 4902,8 km 3 /s 2 .
1 Cuáles son los elementos a y e de una órbita selenocéntrica si
el punto de llegada de la órbita geocéntrica a la esfera de
influencia lunar tiene las siguientes propiedades:
v = 1,3133 km/s, γ = 20 o , λ = 30 o . ¿Se trata de una órbita
de impacto/alunizaje?
2 Estudiar una misión lunar para h0 = 200 km, λ = 30 o y
Vi = V0 + ∆V = 10,93 km/s. ¿Cuál es el ángulo de fase Ψ y
el tiempo de vuelo? ¿Es una misión de impacto/alunizaje o de
sobrevuelo? En el segundo caso, calcular el ∆V necesario para
obtener una órbita lunar circular en el mínimo radio de
sobrevuelo. Repetir para λ = 60 o .
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Ejercicios II
Ejercicios
3 Repetir el problema anterior para unos valores iniciales de
ri = 6700 km, Vi = 10,88 km/s, λ = 60 o .
4 Para el problema 3, calcular el tiempo de escape de la esfera
de influencia lunar y la nueva órbita geocéntrica tras el escape.
5 Demostrar, para el caso λ = 0 o , h0 = 200 km, e inyección
tangencial, que si la órbita geocéntrica es elíptica, la órbita
selenocéntrica es siempre hiperbólica.
6 El Voyager 2 tardó 12 años en visitar Neptuno gracias a sus
múltiples maniobras asistidas por gravedad. ¿Cuánto tiempo
habría tardado de no poder realizar dichas maniobras? (usar
una transferencia de Hohmann; L = 30,193 AU).
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Ejercicios III
Ejercicios
7 Se pretende realizar una misión a Venus que consta de las
siguientes fases: una primera fase con escape directo desde
una órbita de aparcamiento de 200 km de altitud. Una
segunda fase que consiste en una transferencia de Hohmann
heliocéntrica. Una tercera fase que consiste en adquirir una
órbita venusiana de aparcamiento con una altura de periapsis
de 500 km y un periodo de 12 h (se supone que la órbita de
llegada tiene ya una periapsis con la altitud adecuada, gracias
a correcciones realizadas durante el vuelo). Encontrar el coste
energético total de la misión (km/s), y el tiempo de
transferencia.
Datos: (L♀ = 0,723327 AU, µ♀ = 324858,8 km 3 /s 2 ,
R♀ = 6051,8 km, µ⊙ = 132712439935,5 km 3 /s 2 ).
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Ejercicios IV
Ejercicios
8 Se planea una misión Tierra-Saturno con cuatro fases: una
primera fase con escape desde una órbita de aparcamiento de
180 km de altitud. Una segunda que consiste en una
transferencia de Hohmann heliocéntrica hasta Júpiter. Una
tercera en la que se realiza la maniobra asistida por gravedad,
con una aproximación de 11 radios jovianos. Finalmente una
nueva órbita heliocéntrica hasta Saturno. Se pide: encontrar la
órbita joviana, y describir la maniobra asistida por gravedad.
¿Llega la nave a Saturno? (suponiendo éste adecuadamente
ubicado en su órbita). En caso afirmativo, calcular la órbita de
llegada, suponiendo una altitud de periapsis de 1000 km, y
calcular ∆V para circularizar la órbita.
Datos: (L = 5,2 AU, µ = 126711995,4 km 3 /s 2 ,
R = 71492 km, L = 9,58 AU, µ = 37939519,7 km 3 /s 2 ,
R = 60268 km, µ⊙ = 132712439935,5 km 3 /s 2 ).
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Ejercicios
Ejercicios de Examen: Junio 2007
Para un vehículo en una misión interplanetaria, resuelva los siguientes dos apartados (1 punto cada uno):
i Un vehículo espacial parte de la órbita de la Tierra (habiendo ya abandonado su esfera de influencia) con una
velocidad (respecto al Sol) de 39km/s y un ángulo de vuelo de 5 o . Determinar a qué velocidad y ángulo de
vuelo llega el vehículo a la órbita de Júpiter (). Determinar asimismo el tiempo de vuelo.
NOTA: Empléese para este apartado el sistema de referencia heliocéntrico, y considérense las órbitas de los
planetas coplanarias y circulares con radio igual al semieje mayor de su órbita.
ii El vehículo pretende realizar en Júpiter una maniobra asistida por gravedad para ganar velocidad. Por razones
de seguridad (para evitar el fuerte campo magnético joviano) se determina que el vehículo pasará en su
aproximación más cercana a 10 radios jovianos del centro de Júpiter. Determinar las características (a, e) de la
hipérbola joviana de la maniobra y el ∆V que se obtiene. Encontrar la velocidad final y ángulo de vuelo final
en el sistema de referencia heliocéntrico.
Constantes físicas para este problema:µ ⊙ = 132712439935,5 km 3 /s 2 , a ⊕ = 1 AU = 149597900 km,
µ = 126711995,4 km 3 /s 2 , a = 5,2 AU, R = 71492km. Se puede trabajar en unidades físicas o canónicas
(que deberán ser explícitamente definidas, expresándose el resultado final siempre en unidades físicas).
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