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Determinación de estructuras cristalinas mediante difracción de Rayos X
Para que la difracción de Rayos X sea observable, la
longitud de onda de la radiación debe ser menor o del orden
de las distancias interatómicas del cristal E = hν ~12.5 KeV
(con d~1Å)
Básicamente, el fenómeno de la difracción de rayos X (y
también la de electrones y otros) se explica mediante dos
formulaciones equivalentes:
La formulación de Bragg y la formulación de Laue (Von
Laue).

La formulación de Bragg
En la formulación de Bragg se supone que los diferentes
planos pa os cristalinos c sta os reflejan e eja especularmente especu a e te laa onda o da
electromagnética.
Esquema de la reflexión en planos cristalinos.
Cuando la diferencia de camino óptico es múltiplo de se
observará un máximo en la dirección que forma un ángulo
2 θ respecto del haz incidente. La condición para interferencia
constructiva es: 2d·sen θ=n λ

La formulación de Bragg
Hay múltiples planos para cada estructura
… y otros planos posibles,
entre muchos más, para el mismo cristal
… varias direcciones hacia donde pueden
producirse máximos de interferencia

Formulación de Von Laue
Aparece como una alternativa menos geométrica
(con más asidero físico) físico).
Supone que los puntos de la red, (o átomos) cuando
son “iluminados” con Rayos X, pueden reemitir.
la diferencia esencial con Bragg gg es qque
no se
explica el fenómeno como reflexión especular en los planos
cristalinos cristalinos.
Sin embargo, ambas formulaciones son
equivalentes. i l t
El análisis es más simple con la formulación de
Laue.

Formulación de Von Laue
o
k
2π
= k'
=
λ
2π
λ'
est o val e para
d → R
sea Red Reci proca
Red Reci proca
ΔΔk
k ∈
EEn este t caso, cada d punto t que
recibe la radiación, la reemite,
conservando la longitud de onda
de la misma. La condición para
que q exista interferencia
constructiva se obtiene de la figura
como:
dcosθ +d'cosθ´ =nλ
lo que también puede ser escrito
como
Pero i
R . Δk
o
sea
∈
RB. ∴ R.
Δk
= 2 π m
⇒
e
=
1

Formulación de Von Laue
En términos del vector de onda incidente.
K
=
k
−
k
2 2
k + K − 2 k . K
1
2
'
→
k
=
2 = k
^
K . k
k ' = | k
O sea la punta de k tiene sobre un plano de Bragg (aquel que biseca
O sea la punta de k tiene sobre un plano de Bragg (aquel que biseca
un vector de la RR).
K
=
2
−
K
|

Equivalencia Bragg –Von Von Laue
K es perpendicular a un plano de la red y K=k-k’
Plano cristalino
Pero K es un múltiplo p entero de un
vector K 0 / | K 0 |=2π/d, K=2πn/d
2π
n 2π
2 k sin θ = k =
d Bragg! λλ
!
2 d sin θ = nλ

La construcción de Ewald
Esta construcción representa la condición para que en una
dirección determinada k’ exista interferencia constructiva.
Pongo el vector de onda
incidente en el origen de la
RR.
Construyo Co s uyo uuna a es esfera e a co con
centro en la punta de k
Si la esfera corta un punto
de la RR señala un
di dirección ió k’ ddonde d hhabrá b á
difracción permitida.

Método de Laue
Monocristal fijo Radiación policromática (λ 0

Método del cristal rotante
Monocristal rotante Radiación monocromática λ 0
Se ven máximos en las
direcciones donde la rotación de
los puntos de la red reciproca
cortan t a la l esfera f de d Ewald
E ld

Método de polvos o de Debye-Sherrer
Debye Sherrer
Policristal o polvo Radiación monocromática λ 0
El polvo está formado de
muchos cristales rotados
unos respecto de otros.
Es como si la RR generaría una
esfera.
Los máximos se dan sobre el
cono de intersección de los puntos
rotados de la RR y la esfera de
Ewald. Se generan anillos.
El ángulo entre la dirección
incidente y la que produce el
máximo está dado por: p

Redes con bases. Factor geométrico de estructura
Los átomos del motivo están
sobre planos paralelos a los de la
RB
Si hubiera un sólo átomo en el
motivo la onda difracta en la
dirección permitida se escribiría
Ψ
0
=
i(
k'.
r −ωt
)
Ae
Cada uno de esos planos genera
una onda plana paralela a la anterior anterior,
desfasada en δi = G.d i de modo que
la onda total se escribe:
Ψ
=
Ψ
0
∑
j
e
i(
G.d
j
−ωt
)

Redes con bases. Factor geométrico de estructura
S(
G)
∑
= j
e
i G.
d
se llama factor de estructura geométrico y su modulo al
cuadrado d d dda lla constribución ib ió ddel l motivo i a lla iintensidad id d ddel l pico i
de Bragg en G.
j

Ejemplo: bcc como c.s. con motivo

Ejemplo: bcc como c.s. con motivo
Regla de extinción bcc
n + n +
1
2
n
3
Esto convierte la red cs de
constante 2π/a en una fcc de
constante 4π/a 4π/a.
i mpar
Mostrar que la regla de extinción fcc es
n
, n , n
1
2
3
di sti ti ntt a parii ddad d

Ejemplo: Estructura del diamante

Ejemplo: Estructura del diamante
Si hubiera trabajado sobre el sistema de ejes cúbicos. La regla
de extinción sería:
ade más
n
n
1
1
, n , n
+
2
n
2
3
+
de
di sti nt a
n
3
=
dobl e
pari p dad
de
un
par