Capítulo 6: Sondas Electrostáticas. - Instituto de Física del Plasma
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<strong>Capítulo</strong> 6: <strong>Sondas</strong> <strong>Electrostáticas</strong>.<br />
6.1 Generalida<strong>de</strong>s.<br />
Una sonda electrostática es sencillamente un pequeño electrodo sumergido en el<br />
seno <strong>de</strong>l plasma, y polarizado con respecto a éste. Dado que la sonda colecta partículas <strong>de</strong>l<br />
plasma (electrones o iones, <strong>de</strong> acuerdo a la polarización que se le dé al electrodo), la i<strong>de</strong>a es<br />
medir la curva característica <strong>de</strong> la sonda V-i, y a través <strong>de</strong> ella obtener información <strong>de</strong> ne,<br />
Te, y <strong>de</strong> ser posible, <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> distribución <strong>de</strong> energía <strong>de</strong> los electrones fe(ε). En la<br />
Fig. 6.1 se muestra un esquema típico <strong>de</strong> conexión eléctrica, en el que el ánodo es el<br />
electrodo <strong>de</strong> referencia.<br />
Figura 6.1<br />
Con VS se indica el potencial <strong>de</strong>l plasma respecto <strong>de</strong>l electrodo <strong>de</strong> referencia (A), y<br />
con VP el potencial <strong>de</strong> la sonda respecto <strong>de</strong>l plasma. Lo que se mi<strong>de</strong> experimentalmente es<br />
V = VS + VP .<br />
Las sondas se emplean usualmente en plasmas estacionarios con parámetros en el<br />
rango p ∼ 10 -5 – 10 -2 torr, y ne ∼ 10 6 – 10 14 cm -3 . La ventaja <strong>de</strong> estos dispositivos radica en<br />
su simplicidad y bajo costo, y la mayor <strong>de</strong>sventaja en las perturbaciones introducidas en el<br />
plasma, lo que trae aparejado teorías complicadas para interpretar los resultados.<br />
En la Fig. 6.2 se muestra un esquema <strong>de</strong> las geometrías más usadas (puntas<br />
cilíndricas con tamaños típicos <strong>de</strong> 0.05 a 0.5 mm, esféricas o planas con tamaños típicos <strong>de</strong><br />
1 mm). Los metales y aislantes empleados son refractarios: tungsteno, molib<strong>de</strong>no, cuarzo,<br />
alúmina (Al2O3) y otros cerámicos.
Figura 6.2<br />
Veamos ahora algunos hechos cualitativos <strong>de</strong> la curva característica, que se muestra<br />
en la Fig. 6.3.<br />
Figura 6.3
En esta curva, la corriente electrónica se toma como positiva (al revés <strong>de</strong> la<br />
convención habitual). Supondremos plasma neutro en ausencia <strong>de</strong> la sonda (ne = n+ = ne), y<br />
la superficie colectora se supondrá paralela al campo eléctrico <strong>de</strong> la <strong>de</strong>scarga (sonda plana).<br />
Supongamos primero que V = VS (VP = 0). En este caso las cargas alcanzan la<br />
superficie <strong>de</strong> la sonda sólo <strong>de</strong>bido a su movimiento térmico (no hay campo eléctrico entre<br />
la sonda y el plasma). Entonces dominan los electrones, por su mayor mobilidad ⇒ i ≈ ie.<br />
Para V > VS (VP > 0), se repelen los iones, y se forma una lámina negativa<br />
alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la sonda, en don<strong>de</strong> el potencial cae <strong>de</strong>s<strong>de</strong> VS + VP hasta VS (el plasma se<br />
polariza). Habrá una cierta superficie externa a partir <strong>de</strong> la cual el plasma no está<br />
perturbado. Los electrones llegan <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el plasma hasta esa superficie por movimiento<br />
térmico, y esto <strong>de</strong>termina su flujo, el cual <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> muy débilmente <strong>de</strong>l potencial <strong>de</strong> la<br />
sonda: la corriente electrónica está saturada ie,sat (región BA <strong>de</strong> la Fig. 6.3). Si la superficie<br />
colectora fuera infinita, la corriente sería constante (en la práctica, crece un poco por el<br />
tamaño finito <strong>de</strong> la sonda).<br />
Si V < VS (VP < 0), la cantidad <strong>de</strong> electrones que alcanzan la sonda cambia muy<br />
fuertemente con VP. Esta es la región C <strong>de</strong> la curva (Fig. 6.3). El punto B correspon<strong>de</strong> a V<br />
= VS. Como se verá en seguida, así se <strong>de</strong>terminan los campos eléctricos en el plasma.<br />
Habrá un cierto potencial negativo respecto <strong>de</strong>l plasma V = Vf (VP = Vf - VS < 0)<br />
para el cual la corriente se anula. En este caso el pequeño flujo <strong>de</strong> electrones capaces <strong>de</strong><br />
vencer a VP es compensado por el flujo <strong>de</strong> iones. Vf es conocido como el potencial flotante,<br />
y es el potencial que adquiriría un objeto aislante introducido en el plasma.<br />
Apotenciales más negativos, V < Vf, la sonda repele a todos los electrones, pero<br />
atrae a los iones: la corriente es puramente iónica, y se forma alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la sonda una<br />
lámina <strong>de</strong> carga positiva. El flujo <strong>de</strong> corriente iónica <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> muy débilmente <strong>de</strong> V ⇒ i ≈<br />
i+,sat.Este es el sector ED <strong>de</strong> la curva.<br />
6.1 Teoría <strong>de</strong> Langmuir.<br />
Esta teoría funciona bien para plasmas <strong>de</strong> baja <strong>de</strong>nsidad. Consi<strong>de</strong>remos el sector C<br />
<strong>de</strong> la curva en Fig. 6.3. Supongamos que los electrones cruzan la lámina sin colisiones.<br />
Como el espesor <strong>de</strong> la lámina correspon<strong>de</strong> a la longitud <strong>de</strong> Debye (d), esto implica que la<br />
longitud <strong>de</strong> Debye es menos que el camino libre medio colisional.<br />
d = (kTe / 4πe 2 ne) 1/2 , d (cm) = 742 [Te (eV) / ne(cm -3 )] 1/2 (6.1)<br />
por ejemplo, para Te ∼ 1 eV, ne ∼ 10 9 cm -3 ⇒ d ∼ 10 -2 cm, y entonces le > d para p < 0.1 – 1<br />
Torr.<br />
Calcularemos ie suponiendo que d es pequeña comparada con el radio <strong>de</strong> curvatura<br />
<strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> la sonda (problema plano). Si la normal a esta superficie es –x, un<br />
electrón pue<strong>de</strong> alcanzar la sonda sólo si su velocidad es tal que vx > vt = (2e⏐VP⏐ / m) 1/2 .<br />
Sea f(vx, vy, vz) la función <strong>de</strong> distribución <strong>de</strong> los electrones. Si fuera Maxwelliana, la misma<br />
sería:<br />
fM(vx, vy, vz) = (m / 2πkTe) 1/2 no exp[-m / 2kTe (vx 2 + vy 2 + vz 2 )] (6.2)<br />
Si S es el área colectora <strong>de</strong> la sonda, entonces ie = je S, don<strong>de</strong>
∞ ∞ ∞<br />
je = e ∫ dvy ∫ dvz ∫<br />
-∞ -∞ vt<br />
para una distribución Maxwelliana, (6.3) resulta:<br />
vx f(vx, vy, vz) dvx (6.3)<br />
ie = S (enovth / 4) exp (eVP / kTe) ; vth = (8kTe / πm) 1/2 (6.4)<br />
La última formula <strong>de</strong>scribe el segmento C <strong>de</strong> la curva <strong>de</strong> la Fig. 6.3. Si se grafica<br />
ln ie vs VP = V – VS, la pendiente es e/ kTe. Al mismo tiempo, la linealidad <strong>de</strong> esa curva<br />
semilogarítmica es evi<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> una distribución Maxwelliana.<br />
Para V > VS, se <strong>de</strong>be integrar Vx <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 0 a ∞ en (6.3) (in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> VP), y<br />
entonces, para una Maxwelliana se obtiene:<br />
ie,sat = S (enovth / 4) (6.5)<br />
por lo que, conociendo a Te, se pue<strong>de</strong> obtener no <strong>de</strong> (6.5).<br />
Para justificar la interpretación <strong>de</strong> no como la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l plasma “imperturbado”,<br />
es necesario que la presencia <strong>de</strong> la sonda no cambie a no en el punto <strong>de</strong> la última colisión<br />
antes <strong>de</strong> que los electrones alcancen la sonda. Como la <strong>de</strong>nsidad en ese punto es “creada”<br />
por partículas que llegan <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una esfera <strong>de</strong> radio le, la superficie <strong>de</strong> la sonda “eclipsa” una<br />
fracción <strong>de</strong> ángulo sólido ∼ S / 4πle 2 <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> esa esfera (ver Fig. 6.4). Por lo<br />
tanto, se <strong>de</strong>be cumplir S > d.<br />
Figura 6.4<br />
Si d > (S) 1/2 , no se produce una estricta saturación <strong>de</strong> corriente, porque la fracción<br />
<strong>de</strong> partículas que llegan a la sonda <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> VP. En la Fig. 6.5 se muestra<br />
esquemáticamente cómo se produce este efecto.
Figura 6.5<br />
¿Qué ocurre si la distribución no es Maxwelliana? Supongamos que fuera isótropa,<br />
y entonces se pue<strong>de</strong> integrar sobre los ángulos (en coor<strong>de</strong>nadas esféricas) y tener una<br />
distribución en términos <strong>de</strong>l módulo <strong>de</strong> la velocidad, f(v). Entonces la ec. (6.3) se escribe:<br />
je = e ∫ -vt<br />
∞<br />
(mv 2 /2 - 2e⏐VP⏐) v f(v) dv (6.6)<br />
por supuesto, si f(v) es maxwelliana y la reemplazamos en (6.6), se recupera el resultado<br />
(6.4). Si V > VS, la integral <strong>de</strong> (6.6) <strong>de</strong>be hacerse entre 0 e ∞. Derivando dos veces (6.6)<br />
respecto <strong>de</strong> VP se obtiene:<br />
d 2 ie/dVP 2 = -S 2πe 3 / m 2 f(vt)<br />
y <strong>de</strong> esta última relación pue<strong>de</strong> obtenerse la función <strong>de</strong> distribución, aunque con mucho<br />
error (existen técnicas para disminuir este error).<br />
Para la rama DE <strong>de</strong> la curva característica, y siguiendo un razonamiento análogo al<br />
<strong>de</strong> los electrones, tendremos una corriente <strong>de</strong> saturación iónica dada por:<br />
i+,sat = S (enovth+ / 4); vth+ = (8kT / πM) 1/2 (6.7)<br />
En la práctica, no se <strong>de</strong>termina comúnmente <strong>de</strong> la rama iónica, porque si V > VS la<br />
corriente electrónica pue<strong>de</strong> ser lo suficientemente alta como para fundir la sonda. Sin<br />
embargo, los valores <strong>de</strong> no obtenidos <strong>de</strong> (6.7) resultan mucho mayores que los inferidos <strong>de</strong><br />
la rama electrónica (6.5). Esto fue un intríngulis por muchos años, que fue finalmente<br />
dilucidado por Bhom, Burhop y Massey (1949), mediante una compleja teoría cuyos<br />
resultados presentaremos sucintamente. La base <strong>de</strong> esta teoría es que Te >> T.
Nótese que la neutralidad <strong>de</strong> carga lejos <strong>de</strong> la sonda comienza a ser violada cuando<br />
los electrones son frenados por el campo repulsivo, lo que a su vez ocurre don<strong>de</strong> el<br />
potencial repulsivo (respecto <strong>de</strong>l plasma) vale ⏐Vb⏐ ∼kTe/e. Este lugar pue<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rarse<br />
como el bor<strong>de</strong> exterior <strong>de</strong> la lámina. En este punto, la <strong>de</strong>nsidad electrónica ha caído ya a n’<br />
∼ no exp(-e⏐Vb⏐/ kTe)∼ no/2.71. Sin embargo, los iones fuera <strong>de</strong> esta región están<br />
fuertemente influenciados por este campo (porque kT
e⏐VPf ⏐/kTe ≈ ln [0.77 (M/m)] 1/2<br />
y así, por ejemplo, VPf ≈ -3.3 Te(eV) para Hidrógeno, y VPf ≈ -6.3 Te(eV) para Argón. En la<br />
práctica, para no irse a saturación electrónica, se <strong>de</strong>termina primero Te <strong>de</strong> la pendiente <strong>de</strong> la<br />
característica, y luego se obtiene VS = Vf + VPf. A<strong>de</strong>más, en muchos casos VPf ≈ cte. En el<br />
espacio (porque Te ≈ cte), y entonces el campo E e <strong>de</strong>termina directamente <strong>de</strong> Vf.<br />
6.3 <strong>Sondas</strong> en un plasma a alta presión (teoría colisional).<br />
En este caso le, l+ > D , pue<strong>de</strong><br />
e + e + e +<br />
usarse, en primera aproximación, que Γ ≈ 0, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> se obtiene:<br />
e<br />
∇ n / n = - µ e / D e E = e/kTe ∇V ⇒ n = no exp[ e(V - VS) / kTe] (6.9)<br />
la Fig. 6.7 ilustra gráficamente la situación. Nótese quepara los electrones los flujos<br />
<strong>de</strong> difusión y <strong>de</strong>riva (ambos gran<strong>de</strong>s) son opuestos, y están prácticamente balanceados.
Figura 6.7<br />
Entonces, usando que para una distribución Maxwelliana D/µ = kT/e,<br />
Γ + = - D + ∇n – n µ + (De/µ e ) ∇n /n = - (D + + µ + kTe/e) dn/dr = - Da dn/dr<br />
y la corriente iónica cruzando una superficie <strong>de</strong> radio r será:<br />
i+ = 4 π r 2 e Da dn/dr<br />
y, <strong>de</strong>spreciando procesos <strong>de</strong> creación o remoción <strong>de</strong> cargas (i+ = cte.), se pue<strong>de</strong> integrar la<br />
última ecuación, obteniéndose:<br />
n = no (1 – R/r)<br />
E = - kTe/eR (R/r) 2 (1 – R/r) -1 (6.10)<br />
V = - kTe/e ln(1 – R/r) -1<br />
En don<strong>de</strong> R es una escala característica <strong>de</strong> longitud para el problema, dada por:<br />
R = i+ / 4 π no µ + (kTe/e)
R correspon<strong>de</strong> al contorno que separa la sonda <strong>de</strong> la región neutra (es <strong>de</strong>cir, el radio<br />
efectivo <strong>de</strong> la sonda). En la Fig. 6.8 se muestran los perfiles <strong>de</strong> las magnitu<strong>de</strong>s físicas.<br />
Figura 6.8<br />
En la práctica, el espesor <strong>de</strong> la capa no neutra (R – a) es <strong>de</strong>l or<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l radio <strong>de</strong><br />
Debye. Si este último es muy pequeño, a los fines <strong>de</strong> calcular i+ basta reemplazar R por a.<br />
Entonces,<br />
i+,sat = 4 π e a no µ + (kTe/e) (in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> VP)<br />
y usando: µ + = e l+ / M vth,+ ; vth,+ = (8kT/πM) 1/2 ; S = 4 π a 2<br />
i+,sat = S (π/8) 1/2 e no (kTe/M) 1/2 [(Te/T) 1/2 l+/a] (6.11)
el término entre corchetes en (6.11) es el factor “correctivo” respecto <strong>de</strong> la expresión<br />
correspondiente hallada para plasmas sin colisiones (6.8), y en la práctica suele ser<br />
pequeño. Esto significa que la corriente iónica <strong>de</strong> saturación en un plasma <strong>de</strong>nso es más<br />
pequeña, y tanto más cuanto más pequeño sea l+.<br />
El gráfico V-i para un plasma colisional es cualitativamente similar al <strong>de</strong> un plasma<br />
enrarecido. Existe una zona abrupta (V > Vf), en don<strong>de</strong> i ≈ ie, y en este caso, <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> la<br />
última colisión, los electrones llegan a la sonda <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una esfera <strong>de</strong> radio a + le (le
e ⏐VPf⏐ / kTe = ln [2/π (M/m) 1/2 (T/Te) 1/2 (a/l+) 1/ξ] (6.17)<br />
que resulta <strong>de</strong>l or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> 10 kTe/e.<br />
6.4 <strong>Sondas</strong> dobles<br />
Las sondas dobles se emplean para evitar el uso <strong>de</strong> un electrodo <strong>de</strong> referencia, y por<br />
lo tanto son muy útiles en <strong>de</strong>scargas sin electrodos (RF, etc.). Un circuito típico se muestra<br />
en la Fig. 6.9.<br />
Figura 6.9<br />
La i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> esta diagnóstica es ubicar dos sondas idénticas en lugares próximos,<br />
como para que los parámetros <strong>de</strong>l plasma sean los mismos en la posición <strong>de</strong> ambas sondas.<br />
En estas condiciones, la curva característica <strong>de</strong>l sistema es simétrica (ver Fig. 6.10).
Figura 6.10<br />
La diferencia <strong>de</strong> voltaje típica entre ambas sondas es <strong>de</strong> varias <strong>de</strong>cenas <strong>de</strong> Volts, y,<br />
para sondas pequeñas, las corrientes circulantes son <strong>de</strong> <strong>de</strong>cenas <strong>de</strong> µA.<br />
Si el potencial <strong>de</strong> plasma (VS) en las dos sondas es igual, entonces V = 0 ⇒ i = 0.<br />
por lo tanto las dos sondas están al mismo potencial flotante Vf.<br />
En la Fig. 6.11 se muestra el potencial entre las dos sondas para tres casos: a)<br />
potencial flotante, sin corriente entre las sondas; b) la sonda <strong>de</strong> la izquierda (Fig. 6.9) está<br />
polarizada negativa, y recibe corriente <strong>de</strong> saturación iónica; c) polaridad invertida respecto<br />
<strong>de</strong>l caso b).<br />
Figura 6.11<br />
Supongamos que llamamos VP1 al potencial <strong>de</strong> la sonda izquierda respecto <strong>de</strong>l<br />
plasma, y VP2 al correspondiente a la sonda <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha (V = VP1 - VP2). Se supone que la<br />
corriente eléctrica es positiva si fluye <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el plasma hacia la sonda 1. Como antes, ie, i+<br />
<strong>de</strong>notan las corrientes electrónica e iónica, respectivamente. Como la cantidad <strong>de</strong> carga<br />
positiva que fluye <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el plasma a 1 es igual a la que fluye <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 2 al plasma,<br />
i = i+1 - ie1 = - (i+2 - ie2) (6.18)
Nótese que el potencial <strong>de</strong> las dos sondas respecto <strong>de</strong>l plasma no pue<strong>de</strong> ser positivo:<br />
si VP > 0 (respecto <strong>de</strong> alguna sonda), esta sonda recibiría la corriente <strong>de</strong> saturación<br />
electrónica, pero el circuito <strong>de</strong>be cerrarse a través <strong>de</strong> la otra sonda, en don<strong>de</strong> fluiría una<br />
corriente iónica muy pequeña. Entonces cada una <strong>de</strong> las sondas <strong>de</strong>be ser negativa.<br />
Supongamos que V < 0, es <strong>de</strong>cir la polaridad indicada en la Fig. 6.9 por la fuente <strong>de</strong><br />
alimentación <strong>de</strong>l circuito. Como la corriente en el plasma fluye <strong>de</strong> (+) a (-), la corriente<br />
iónica domina en la sonda izquierda, y la electrónica en la <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha. Si ⏐V⏐ es alto (en<br />
relación con kTe/e), la sonda 1 es fuertemente negativa, mientras que la 2 es menos<br />
negativa que el potencial flotante (ver Fig. 6.11). La 1 recibe en este caso puramente<br />
corriente iónica <strong>de</strong> saturación, y la <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia i(V) es muy suave, y correspon<strong>de</strong> a la parte<br />
izquierda (<strong>de</strong> pendiente baja) <strong>de</strong> la curva i-V <strong>de</strong> la Fig. 6.10. Si V es negativo pero<br />
pequeño, la corriente iónica en 1 es parcialmente compensada por la corriente electrónica,<br />
que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> fuertemente <strong>de</strong> V. Este es el segmento abrupto izquierdo <strong>de</strong> la curva i-V, y a<br />
medida que V → 0 la corriente tien<strong>de</strong> también a 0. La parte <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> la curva i-V<br />
reproduce a la izquierda, pero con polaridad invertida.<br />
Como ambas sondas son negativas, se pue<strong>de</strong> aplicar la ecuación (6.4) para evaluar<br />
ie1 e ie2. Usando (6.18):<br />
i = i+1(VP1) - ie,sat exp(e VP1/kTe) = i+2(VP2) + ie,sat exp(e VP2/kTe) (6.19)<br />
con ie,sat = S (e no vth / 4)<br />
Si se <strong>de</strong>riva la primer igualdad <strong>de</strong> (6.19) con respecto a V, y usando que en i = 0, ie1<br />
(i=0) = i+1 (i=0) = i+)0 queda:<br />
di/dV)0 = [di+1 /dVP1)0 – e/kTe i+)0] dVP1/dV)0 (6.20)<br />
Como la inversión <strong>de</strong> polaridad significa simplemente intercambiar el rol <strong>de</strong> ambas<br />
sondas, se <strong>de</strong>be cumplir VP1(V) = VP2(-V), a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> V = VP1 - VP2.Entonces, <strong>de</strong>rivando<br />
respecto <strong>de</strong> V se obtiene:<br />
dVP1/dV)V = - dVP2/dV)(-V) , 1 = dVP1/dV)V - dVP2/dV)V<br />
y entonces el punto <strong>de</strong> simetría dVP1/dV)0 = ½. La (6.20) implica entonces:<br />
e/kTe = i+)0 -1 [(di+1 /dVP1)0 – 2 (di/dV)0] (6.21)<br />
y esta última fórmula es usada para obtener la temperatura electrónica. La <strong>de</strong>rivada (di/dV)0<br />
se obtiene <strong>de</strong> la pendiente <strong>de</strong> la curva i-V en i = 0, mientras que la corriente iónica y su<br />
<strong>de</strong>rivada se obtienen extrapolando la parte <strong>de</strong> baja pendiente hasta el punto i = 0 (ver Fig.<br />
6.10). La <strong>de</strong>nsidad electrónica en el plasma se obtiene como en el caso <strong>de</strong> la sonda simple,<br />
usando (6.8) para la corriente <strong>de</strong> saturación iónica una vez que Te ha sido <strong>de</strong>terminada.