Capítulo 6: Sondas Electrostáticas. - Instituto de Física del Plasma

Capítulo 6: Sondas Electrostáticas.
6.1 Generalidades.
Una sonda electrostática es sencillamente un pequeño electrodo sumergido en el
seno del plasma, y polarizado con respecto a éste. Dado que la sonda colecta partículas del
plasma (electrones o iones, de acuerdo a la polarización que se le dé al electrodo), la idea es
medir la curva característica de la sonda V-i, y a través de ella obtener información de ne,
Te, y de ser posible, de la función de distribución de energía de los electrones fe(ε). En la
Fig. 6.1 se muestra un esquema típico de conexión eléctrica, en el que el ánodo es el
electrodo de referencia.
Figura 6.1
Con VS se indica el potencial del plasma respecto del electrodo de referencia (A), y
con VP el potencial de la sonda respecto del plasma. Lo que se mide experimentalmente es
V = VS + VP .
Las sondas se emplean usualmente en plasmas estacionarios con parámetros en el
rango p ∼ 10 -5 – 10 -2 torr, y ne ∼ 10 6 – 10 14 cm -3 . La ventaja de estos dispositivos radica en
su simplicidad y bajo costo, y la mayor desventaja en las perturbaciones introducidas en el
plasma, lo que trae aparejado teorías complicadas para interpretar los resultados.
En la Fig. 6.2 se muestra un esquema de las geometrías más usadas (puntas
cilíndricas con tamaños típicos de 0.05 a 0.5 mm, esféricas o planas con tamaños típicos de
1 mm). Los metales y aislantes empleados son refractarios: tungsteno, molibdeno, cuarzo,
alúmina (Al2O3) y otros cerámicos.

Figura 6.2
Veamos ahora algunos hechos cualitativos de la curva característica, que se muestra
en la Fig. 6.3.
Figura 6.3

En esta curva, la corriente electrónica se toma como positiva (al revés de la
convención habitual). Supondremos plasma neutro en ausencia de la sonda (ne = n+ = ne), y
la superficie colectora se supondrá paralela al campo eléctrico de la descarga (sonda plana).
Supongamos primero que V = VS (VP = 0). En este caso las cargas alcanzan la
superficie de la sonda sólo debido a su movimiento térmico (no hay campo eléctrico entre
la sonda y el plasma). Entonces dominan los electrones, por su mayor mobilidad ⇒ i ≈ ie.
Para V > VS (VP > 0), se repelen los iones, y se forma una lámina negativa
alrededor de la sonda, en donde el potencial cae desde VS + VP hasta VS (el plasma se
polariza). Habrá una cierta superficie externa a partir de la cual el plasma no está
perturbado. Los electrones llegan desde el plasma hasta esa superficie por movimiento
térmico, y esto determina su flujo, el cual depende muy débilmente del potencial de la
sonda: la corriente electrónica está saturada ie,sat (región BA de la Fig. 6.3). Si la superficie
colectora fuera infinita, la corriente sería constante (en la práctica, crece un poco por el
tamaño finito de la sonda).
Si V < VS (VP < 0), la cantidad de electrones que alcanzan la sonda cambia muy
fuertemente con VP. Esta es la región C de la curva (Fig. 6.3). El punto B corresponde a V
= VS. Como se verá en seguida, así se determinan los campos eléctricos en el plasma.
Habrá un cierto potencial negativo respecto del plasma V = Vf (VP = Vf - VS < 0)
para el cual la corriente se anula. En este caso el pequeño flujo de electrones capaces de
vencer a VP es compensado por el flujo de iones. Vf es conocido como el potencial flotante,
y es el potencial que adquiriría un objeto aislante introducido en el plasma.
Apotenciales más negativos, V < Vf, la sonda repele a todos los electrones, pero
atrae a los iones: la corriente es puramente iónica, y se forma alrededor de la sonda una
lámina de carga positiva. El flujo de corriente iónica depende muy débilmente de V ⇒ i ≈
i+,sat.Este es el sector ED de la curva.
6.1 Teoría de Langmuir.
Esta teoría funciona bien para plasmas de baja densidad. Consideremos el sector C
de la curva en Fig. 6.3. Supongamos que los electrones cruzan la lámina sin colisiones.
Como el espesor de la lámina corresponde a la longitud de Debye (d), esto implica que la
longitud de Debye es menos que el camino libre medio colisional.
d = (kTe / 4πe 2 ne) 1/2 , d (cm) = 742 [Te (eV) / ne(cm -3 )] 1/2 (6.1)
por ejemplo, para Te ∼ 1 eV, ne ∼ 10 9 cm -3 ⇒ d ∼ 10 -2 cm, y entonces le > d para p < 0.1 – 1
Torr.
Calcularemos ie suponiendo que d es pequeña comparada con el radio de curvatura
de la superficie de la sonda (problema plano). Si la normal a esta superficie es –x, un
electrón puede alcanzar la sonda sólo si su velocidad es tal que vx > vt = (2e⏐VP⏐ / m) 1/2 .
Sea f(vx, vy, vz) la función de distribución de los electrones. Si fuera Maxwelliana, la misma
sería:
fM(vx, vy, vz) = (m / 2πkTe) 1/2 no exp[-m / 2kTe (vx 2 + vy 2 + vz 2 )] (6.2)
Si S es el área colectora de la sonda, entonces ie = je S, donde

∞ ∞ ∞
je = e ∫ dvy ∫ dvz ∫
-∞ -∞ vt
para una distribución Maxwelliana, (6.3) resulta:
vx f(vx, vy, vz) dvx (6.3)
ie = S (enovth / 4) exp (eVP / kTe) ; vth = (8kTe / πm) 1/2 (6.4)
La última formula describe el segmento C de la curva de la Fig. 6.3. Si se grafica
ln ie vs VP = V – VS, la pendiente es e/ kTe. Al mismo tiempo, la linealidad de esa curva
semilogarítmica es evidencia de una distribución Maxwelliana.
Para V > VS, se debe integrar Vx desde 0 a ∞ en (6.3) (independiente de VP), y
entonces, para una Maxwelliana se obtiene:
ie,sat = S (enovth / 4) (6.5)
por lo que, conociendo a Te, se puede obtener no de (6.5).
Para justificar la interpretación de no como la densidad del plasma “imperturbado”,
es necesario que la presencia de la sonda no cambie a no en el punto de la última colisión
antes de que los electrones alcancen la sonda. Como la densidad en ese punto es “creada”
por partículas que llegan desde una esfera de radio le, la superficie de la sonda “eclipsa” una
fracción de ángulo sólido ∼ S / 4πle 2 de la superficie de esa esfera (ver Fig. 6.4). Por lo
tanto, se debe cumplir S > d.
Figura 6.4
Si d > (S) 1/2 , no se produce una estricta saturación de corriente, porque la fracción
de partículas que llegan a la sonda depende de VP. En la Fig. 6.5 se muestra
esquemáticamente cómo se produce este efecto.

Figura 6.5
¿Qué ocurre si la distribución no es Maxwelliana? Supongamos que fuera isótropa,
y entonces se puede integrar sobre los ángulos (en coordenadas esféricas) y tener una
distribución en términos del módulo de la velocidad, f(v). Entonces la ec. (6.3) se escribe:
je = e ∫ -vt
∞
(mv 2 /2 - 2e⏐VP⏐) v f(v) dv (6.6)
por supuesto, si f(v) es maxwelliana y la reemplazamos en (6.6), se recupera el resultado
(6.4). Si V > VS, la integral de (6.6) debe hacerse entre 0 e ∞. Derivando dos veces (6.6)
respecto de VP se obtiene:
d 2 ie/dVP 2 = -S 2πe 3 / m 2 f(vt)
y de esta última relación puede obtenerse la función de distribución, aunque con mucho
error (existen técnicas para disminuir este error).
Para la rama DE de la curva característica, y siguiendo un razonamiento análogo al
de los electrones, tendremos una corriente de saturación iónica dada por:
i+,sat = S (enovth+ / 4); vth+ = (8kT / πM) 1/2 (6.7)
En la práctica, no se determina comúnmente de la rama iónica, porque si V > VS la
corriente electrónica puede ser lo suficientemente alta como para fundir la sonda. Sin
embargo, los valores de no obtenidos de (6.7) resultan mucho mayores que los inferidos de
la rama electrónica (6.5). Esto fue un intríngulis por muchos años, que fue finalmente
dilucidado por Bhom, Burhop y Massey (1949), mediante una compleja teoría cuyos
resultados presentaremos sucintamente. La base de esta teoría es que Te >> T.

Nótese que la neutralidad de carga lejos de la sonda comienza a ser violada cuando
los electrones son frenados por el campo repulsivo, lo que a su vez ocurre donde el
potencial repulsivo (respecto del plasma) vale ⏐Vb⏐ ∼kTe/e. Este lugar puede considerarse
como el borde exterior de la lámina. En este punto, la densidad electrónica ha caído ya a n’
∼ no exp(-e⏐Vb⏐/ kTe)∼ no/2.71. Sin embargo, los iones fuera de esta región están
fuertemente influenciados por este campo (porque kT

e⏐VPf ⏐/kTe ≈ ln [0.77 (M/m)] 1/2
y así, por ejemplo, VPf ≈ -3.3 Te(eV) para Hidrógeno, y VPf ≈ -6.3 Te(eV) para Argón. En la
práctica, para no irse a saturación electrónica, se determina primero Te de la pendiente de la
característica, y luego se obtiene VS = Vf + VPf. Además, en muchos casos VPf ≈ cte. En el
espacio (porque Te ≈ cte), y entonces el campo E e determina directamente de Vf.
6.3 Sondas en un plasma a alta presión (teoría colisional).
En este caso le, l+ > D , puede
e + e + e +
usarse, en primera aproximación, que Γ ≈ 0, de donde se obtiene:
e
∇ n / n = - µ e / D e E = e/kTe ∇V ⇒ n = no exp[ e(V - VS) / kTe] (6.9)
la Fig. 6.7 ilustra gráficamente la situación. Nótese quepara los electrones los flujos
de difusión y deriva (ambos grandes) son opuestos, y están prácticamente balanceados.

Figura 6.7
Entonces, usando que para una distribución Maxwelliana D/µ = kT/e,
Γ + = - D + ∇n – n µ + (De/µ e ) ∇n /n = - (D + + µ + kTe/e) dn/dr = - Da dn/dr
y la corriente iónica cruzando una superficie de radio r será:
i+ = 4 π r 2 e Da dn/dr
y, despreciando procesos de creación o remoción de cargas (i+ = cte.), se puede integrar la
última ecuación, obteniéndose:
n = no (1 – R/r)
E = - kTe/eR (R/r) 2 (1 – R/r) -1 (6.10)
V = - kTe/e ln(1 – R/r) -1
En donde R es una escala característica de longitud para el problema, dada por:
R = i+ / 4 π no µ + (kTe/e)

R corresponde al contorno que separa la sonda de la región neutra (es decir, el radio
efectivo de la sonda). En la Fig. 6.8 se muestran los perfiles de las magnitudes físicas.
Figura 6.8
En la práctica, el espesor de la capa no neutra (R – a) es del orden del radio de
Debye. Si este último es muy pequeño, a los fines de calcular i+ basta reemplazar R por a.
Entonces,
i+,sat = 4 π e a no µ + (kTe/e) (independiente de VP)
y usando: µ + = e l+ / M vth,+ ; vth,+ = (8kT/πM) 1/2 ; S = 4 π a 2
i+,sat = S (π/8) 1/2 e no (kTe/M) 1/2 [(Te/T) 1/2 l+/a] (6.11)

el término entre corchetes en (6.11) es el factor “correctivo” respecto de la expresión
correspondiente hallada para plasmas sin colisiones (6.8), y en la práctica suele ser
pequeño. Esto significa que la corriente iónica de saturación en un plasma denso es más
pequeña, y tanto más cuanto más pequeño sea l+.
El gráfico V-i para un plasma colisional es cualitativamente similar al de un plasma
enrarecido. Existe una zona abrupta (V > Vf), en donde i ≈ ie, y en este caso, después de la
última colisión, los electrones llegan a la sonda desde una esfera de radio a + le (le

e ⏐VPf⏐ / kTe = ln [2/π (M/m) 1/2 (T/Te) 1/2 (a/l+) 1/ξ] (6.17)
que resulta del orden de 10 kTe/e.
6.4 Sondas dobles
Las sondas dobles se emplean para evitar el uso de un electrodo de referencia, y por
lo tanto son muy útiles en descargas sin electrodos (RF, etc.). Un circuito típico se muestra
en la Fig. 6.9.
Figura 6.9
La idea de esta diagnóstica es ubicar dos sondas idénticas en lugares próximos,
como para que los parámetros del plasma sean los mismos en la posición de ambas sondas.
En estas condiciones, la curva característica del sistema es simétrica (ver Fig. 6.10).

Figura 6.10
La diferencia de voltaje típica entre ambas sondas es de varias decenas de Volts, y,
para sondas pequeñas, las corrientes circulantes son de decenas de µA.
Si el potencial de plasma (VS) en las dos sondas es igual, entonces V = 0 ⇒ i = 0.
por lo tanto las dos sondas están al mismo potencial flotante Vf.
En la Fig. 6.11 se muestra el potencial entre las dos sondas para tres casos: a)
potencial flotante, sin corriente entre las sondas; b) la sonda de la izquierda (Fig. 6.9) está
polarizada negativa, y recibe corriente de saturación iónica; c) polaridad invertida respecto
del caso b).
Figura 6.11
Supongamos que llamamos VP1 al potencial de la sonda izquierda respecto del
plasma, y VP2 al correspondiente a la sonda de la derecha (V = VP1 - VP2). Se supone que la
corriente eléctrica es positiva si fluye desde el plasma hacia la sonda 1. Como antes, ie, i+
denotan las corrientes electrónica e iónica, respectivamente. Como la cantidad de carga
positiva que fluye desde el plasma a 1 es igual a la que fluye desde 2 al plasma,
i = i+1 - ie1 = - (i+2 - ie2) (6.18)

Nótese que el potencial de las dos sondas respecto del plasma no puede ser positivo:
si VP > 0 (respecto de alguna sonda), esta sonda recibiría la corriente de saturación
electrónica, pero el circuito debe cerrarse a través de la otra sonda, en donde fluiría una
corriente iónica muy pequeña. Entonces cada una de las sondas debe ser negativa.
Supongamos que V < 0, es decir la polaridad indicada en la Fig. 6.9 por la fuente de
alimentación del circuito. Como la corriente en el plasma fluye de (+) a (-), la corriente
iónica domina en la sonda izquierda, y la electrónica en la de la derecha. Si ⏐V⏐ es alto (en
relación con kTe/e), la sonda 1 es fuertemente negativa, mientras que la 2 es menos
negativa que el potencial flotante (ver Fig. 6.11). La 1 recibe en este caso puramente
corriente iónica de saturación, y la dependencia i(V) es muy suave, y corresponde a la parte
izquierda (de pendiente baja) de la curva i-V de la Fig. 6.10. Si V es negativo pero
pequeño, la corriente iónica en 1 es parcialmente compensada por la corriente electrónica,
que depende fuertemente de V. Este es el segmento abrupto izquierdo de la curva i-V, y a
medida que V → 0 la corriente tiende también a 0. La parte derecha de la curva i-V
reproduce a la izquierda, pero con polaridad invertida.
Como ambas sondas son negativas, se puede aplicar la ecuación (6.4) para evaluar
ie1 e ie2. Usando (6.18):
i = i+1(VP1) - ie,sat exp(e VP1/kTe) = i+2(VP2) + ie,sat exp(e VP2/kTe) (6.19)
con ie,sat = S (e no vth / 4)
Si se deriva la primer igualdad de (6.19) con respecto a V, y usando que en i = 0, ie1
(i=0) = i+1 (i=0) = i+)0 queda:
di/dV)0 = [di+1 /dVP1)0 – e/kTe i+)0] dVP1/dV)0 (6.20)
Como la inversión de polaridad significa simplemente intercambiar el rol de ambas
sondas, se debe cumplir VP1(V) = VP2(-V), además de V = VP1 - VP2.Entonces, derivando
respecto de V se obtiene:
dVP1/dV)V = - dVP2/dV)(-V) , 1 = dVP1/dV)V - dVP2/dV)V
y entonces el punto de simetría dVP1/dV)0 = ½. La (6.20) implica entonces:
e/kTe = i+)0 -1 [(di+1 /dVP1)0 – 2 (di/dV)0] (6.21)
y esta última fórmula es usada para obtener la temperatura electrónica. La derivada (di/dV)0
se obtiene de la pendiente de la curva i-V en i = 0, mientras que la corriente iónica y su
derivada se obtienen extrapolando la parte de baja pendiente hasta el punto i = 0 (ver Fig.
6.10). La densidad electrónica en el plasma se obtiene como en el caso de la sonda simple,
usando (6.8) para la corriente de saturación iónica una vez que Te ha sido determinada.