Cálculo de Probabilidades y Estad´ıstica - UNED

Cálculo de Probabilidades y Estadística
Febrero 2012 - Primera semana
Ejercicio 1. Se dispone de tres urnas A, B y C que contienen, respectivamente, 3 bolas rojas y 7
negras, 5 bolas rojas y 5 negras, y 6 bolas rojas y 4 negras. Se lanza un dado tres veces y se elige la
urna A cuando los resultados obtenidos son estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes; se
elige la urna B si hay algún resultado repetido; y se elige la urna C en los demás casos. Después, se
hacen extracciones de la urna elegida.
(a) Si las extracciones se hacen con reposición, calcular la probabilidad de obtener bola roja en cada
ocasión.
(b) Si las extracciones se hacen con reposición y las dos primeras bolas extraídas son rojas, calcular
la probabilidad de que la tercera sea también roja.
Ejercicio 2. Una variable aleatoria bidimensional (X, Y ) se distribuye en la región
para alguna constante k > 0.
{x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1} con densidad f(x, y) = kx 3 y 2 ,
(a) Calcular las curvas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y .
(b) Hallar el coeficiente de correlación entre X e Y .
(c) Determinar la distribución conjunta de U = X + Y y V = Y/X. ¿Son U y V independientes?

Solución
1.- Al lanzar tres veces el dado, la probabilidad de que aparezcan tres resultados distintos es 5 4 20 = 6 6 36 ;
por tanto 16 es la probabilidad de que haya resultados repetidos. Además, cuando los resultados son
36
distintos, pueden reordenarse de 3!=6 maneras, una sola de las cuales corresponde a que estén en
orden creciente y otra única a que estén en orden decreciente. En resumen, las probabilidades de
elegir cada urna resultan:
P(A) = 20
36
2
6
40
16
20
= , P(B) = , P(C) =
63 62 36
4
6
80
= .
63 a) En cada extracción con reposición de la urna elegida, la probabilidad de obtener bola roja es
P(R) = 40
6 3
3 16
+
10 62 1 80
+
2 63 6
10
= 1
2 .
b) Con reposición, la probabilidad de obtener bola roja en las tres primeras extracciones es
P(R1 ∩ R2 ∩ R3) = 40
6 3
y la de obtener roja en las dos primeras es
Por consiguiente
P(R1 ∩ R2) = 40
6 3
( ) 3
3
+
10
16
62 ( ) 2
3
+
10
16
62 P(R3 | R1 ∩ R2) = 253/1800
47/180
( ) 3
1
+
2
80
63 ( ) 2
1
+
2
80
63 ( ) 3
6
=
10
253
1800 ;
( ) 2
6
=
10
47
180 .
= 253
470 ≃ 0′ 5383.
Nótese que los sucesos Ri no son independientes, aunque sean independientes condicionalmente a
saber de qué urna se hacen las extracciones.

2.- Como
1 = k
∫ 1 ∫ 1−x
tiene que ser k = 420.
0
0
x 3 y 2 dy dx = k
3
∫ 1
a) Las densidades marginales de X e Y son
f1(x) = 420
f2(y) = 420
0
x 3 (1 − x) 3 dx = k
3
∫ 1
∫ 1−x
x
0
3 y 2 dy = 140x 3 (1 − x) 3
∫ 1−y
x
0
3 y 2 dx = 105y 2 (1 − y) 4
Entonces, las densidades condicionales resultan
f(x | y) =
f(y | x) =
y las curvas de regresión son
420x 3 y 2
105y2 4x3
=
(1 − y) 4 (1 − y) 4
420x3y2 140x3 3y2
=
(1 − x) 3 (1 − x) 3
E[X | Y = y] =
E[Y | X = x] =
σxy
σ 2 x
4
(1 − y) 4
∫ 1−y
3
(1 − x) 3
0
∫ 1−x
0
0
(x 3 − 3x 4 + 3x 5 − x 6 ) dx = k
420
para x ∈ (0, 1),
para y ∈ (0, 1).
para x ∈ (0, 1 − y),
para y ∈ (0, 1 − x).
x 4 dx = 4
5
y 3 dy = 3
4
(1 − y),
(1 − x).
b) Las curvas de regresión han resultado ser rectas, luego son las rectas de regresión. Así pues los
coeficientes de regresión son
= − 3
4 , = − 4
5
y se obtiene
σ 2 xy
σ 2 xσ 2 y
σxy
σ 2 y
= 3
5 .
Como la covarianza σxy es negativa, el coeficiente de correlación resulta
ρ = σxy
√
3
= −√
.
σxσy 5
El cálculo directo consiste en calcular
E[X] = 1
2 , σ2 x = 1
3
, E[Y ] =
36 8 , σ2 y = 5
192
para obtener el mismo resultado.
1
1
, E[XY ] = , Cov(X, Y ) = −
6 48 ,
c) La transformación [u = x + y, v = y/x] tiene por inversa [x = u/(1 + v), y = uv/(1 + v))] cuyo
jacobiano
J = 1/(1
+ v)
v/(1 + v)
−u/(1 + v)2
u/(1 + v) 2
=
u
(1 + v) 2

es positivo (porque u ≥ 0). La densidad conjunta de U y V resulta ser
g(u, v) = 420
u 3
(1 + v) 3
u 2 v 2
(1 + v) 2
u
v
= 420 u6
(1 + v) 2
2
(1 + v) 7
en la región 0 ≤ u ≤ 1 y v ≥ 0.
Puesto que g(u, v) no se anula en el rectángulo [0, 1] × [0, ∞) y es el producto de dos funciones, una
de u y otra de v, U y V son independientes. De hecho las marginales son respectivamente
g1(u) = 7u 6
en (0, 1) y g2(v) = 60
v 2
(1 + v) 7
en (0, ∞).