Transparencia Lógica Multivaluada - Departamento de Computación
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<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Breve introducción<br />
a las lógicas multivaluadas<br />
Manuel Ojeda Aciego<br />
<strong>Departamento</strong> <strong>de</strong> Matemática Aplicada<br />
Universidad <strong>de</strong> Málaga<br />
Programa <strong>de</strong> Doctorado en <strong>Computación</strong>, 2007
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Prefiero caminar con una duda<br />
que con un mal axioma<br />
El Cromosoma<br />
<strong>de</strong> Javier Krahe
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Contenido<br />
1 Preliminares<br />
En busca <strong>de</strong>l método axiomático: la Geometría<br />
Brevísima historia <strong>de</strong> la lógica multivaluada<br />
2 Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
3 Aplicaciones<br />
4 Deducción automática<br />
5 Prog. <strong>Lógica</strong> Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Una historia preliminar<br />
El teorema <strong>de</strong> Pitágoras<br />
Teorema (<strong>de</strong> Pitágoras)<br />
Para todo triángulo rectángulo se tiene a 2 = b 2 + c 2 , don<strong>de</strong><br />
<br />
Demostración: Partamos <strong>de</strong> la siguiente teselación <strong>de</strong>l plano<br />
usando dos cuadrados diferentes
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Una historia preliminar<br />
El teorema <strong>de</strong> Pitágoras<br />
Unamos los centros <strong>de</strong> los<br />
cuadrados gran<strong>de</strong>s para<br />
construir una retícula <strong>de</strong><br />
cuadrados aún más gran<strong>de</strong>s.<br />
Ahora trasla<strong>de</strong>mos los<br />
cuadrados nuevos <strong>de</strong> modo<br />
que sus vértices coincidan con<br />
los <strong>de</strong> la retícula previa.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Una historia preliminar<br />
El teorema <strong>de</strong> Pitágoras<br />
Vemos cómo el cuadrado gran<strong>de</strong> resulta dividido en trozos que<br />
permiten reconstruir los dos más pequeños.<br />
Como queríamos <strong>de</strong>mostrar.<br />
¿O no?
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Repasemos la historia<br />
Sobre la <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Pitágoras<br />
Repasemos los fundamentos <strong>de</strong> la <strong>de</strong>mostración.<br />
Hemos partido <strong>de</strong> una teselación <strong>de</strong>l plano. ¿Cómo<br />
sabemos que existe?<br />
Es más, ¿cómo sabemos que existen los cuadrados?<br />
Afortunadamente, Eucli<strong>de</strong>s ya proporcionó los ingredientes<br />
formales necesarios para la construcción <strong>de</strong> (una) geometría.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Repasemos la historia<br />
Los postulados <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s<br />
La geometría <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s está basada en los cinco postulados<br />
siguientes:<br />
1 Dos puntos cualesquiera pue<strong>de</strong>n ser unidos por un<br />
segmento.<br />
2 Todo segmento se pue<strong>de</strong> prolongar in<strong>de</strong>finidamente y<br />
formar una recta.<br />
3 Es posible construir un círculo dados su centro y su radio.<br />
4 Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.<br />
5 Por un punto exterior a una recta es posible trazar una<br />
única paralela a dicha recta.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sobre el quinto postulado <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s<br />
Durante mucho tiempo se intentó probar a partir <strong>de</strong> los<br />
otros postulados.<br />
Se observó, finalmente, que era un postulado<br />
in<strong>de</strong>pendiente.<br />
Es más, es posible sustituirlo por otros, tales como<br />
1 Por un punto exterior a una recta no es posible trazar una<br />
única paralela a dicha recta.<br />
2 Por un punto exterior a una recta es posible trazar infinitas<br />
paralelas a dicha recta.<br />
y obtener una teoría <strong>de</strong> la geometría sin contradicciones.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Geometrías no euclí<strong>de</strong>as<br />
Consecuencias<br />
Existen distintas <strong>de</strong>finiciones <strong>de</strong> geometría.<br />
Todas son igualmente válidas <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> vista<br />
formal.<br />
¡¡Incluso parece ser que el mundo real no se correspon<strong>de</strong><br />
con la geometría euclí<strong>de</strong>a, sino con alguna <strong>de</strong> sus parientes<br />
raras!!
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Geometrías no euclí<strong>de</strong>as<br />
Cuadrados hiperbólicos en un cuadro <strong>de</strong> Escher
<strong>Lógica</strong>s<br />
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Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Hablemos <strong>de</strong> <strong>Lógica</strong><br />
Originalmente, la lógica trataba <strong>de</strong> formalizar<br />
razonamientos en lenguaje natural.<br />
Porque el lenguaje natural es ambiguo, y posibilita la<br />
existencia <strong>de</strong> paradojas:<br />
Uno <strong>de</strong> ellos, profeta suyo, dijo: “Los cretenses son<br />
siempre mentirosos, malas bestias, vientres<br />
perezosos.” Este testimonio es verda<strong>de</strong>ro.<br />
(Tito 1, 12-13)
<strong>Lógica</strong>s<br />
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Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
El comienzo <strong>de</strong> la <strong>Lógica</strong> Formal<br />
Seguimos con la antigüedad<br />
Aristóteles <strong>de</strong>sarrolló el primer sistema formal para<br />
“todos” y “algunos”<br />
Su Silogística pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scribirse como un conjunto <strong>de</strong><br />
reglas <strong>de</strong> inferencia para las proposiciones categóricas<br />
(A) Todo P es Q<br />
(E) Ningún P es Q<br />
(I) Algún P es Q<br />
(O) Algún P no es Q
<strong>Lógica</strong>s<br />
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Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Por fin: la lógica multivaluada<br />
Hitos importantes<br />
Aristóteles, Ockham Los futuros contingentes.<br />
̷Lukasiewicz’20 <strong>Lógica</strong> trivaluada <strong>de</strong> la “posibilidad”.<br />
Post’20 <strong>Lógica</strong>s multivaluadas con completitud funcional.<br />
Heyting’30 <strong>Lógica</strong> trivaluada para el intuicionismo.<br />
Gö<strong>de</strong>l’32 <strong>Lógica</strong>s finito valuadas como aproximación <strong>de</strong> la<br />
lógica intuicionista.<br />
Bočvar’38 <strong>Lógica</strong> <strong>de</strong> las paradojas.<br />
Kleene’52 <strong>Lógica</strong> <strong>de</strong> lo “in<strong>de</strong>finido.”
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
La lógica multivaluada<br />
Hitos importantes<br />
Za<strong>de</strong>h’65 <strong>Lógica</strong> difusa (en sentido amplio).<br />
Pavelka’79 <strong>Lógica</strong> difusa proposicional (en sentido estricto).<br />
Novák’90 <strong>Lógica</strong> difusa <strong>de</strong> primer or<strong>de</strong>n.<br />
Hájek’95 <strong>Lógica</strong> difusa racional.<br />
No se <strong>de</strong>be buscar la única lógica verda<strong>de</strong>ra, sino<br />
aquella que mejor se adapte a nuestro problema.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Geometría<br />
<strong>Lógica</strong><br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Aspectos comunes a toda <strong>Lógica</strong><br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Teoría <strong>de</strong> la Demostración<br />
¿Deducción automatizable?
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Lenguaje formal<br />
Definición<br />
Un lenguaje L sobre un conjunto numerable A que<br />
llamaremos alfabeto, es un subconjunto no vacío <strong>de</strong>l<br />
lenguaje universal sobre A:<br />
L ⊆ A ∗ = <br />
A n<br />
Equivalentemente:<br />
n∈N<br />
Un conjunto <strong>de</strong> símbolos, llamado alfabeto <strong>de</strong>l lenguaje.<br />
Un conjunto <strong>de</strong> reglas <strong>de</strong> formación que <strong>de</strong>terminan<br />
qué ca<strong>de</strong>nas <strong>de</strong> símbolos son fbfs y que constituyen la<br />
gramática <strong>de</strong>l lenguaje.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis <strong>de</strong> la <strong>Lógica</strong> Proposicional<br />
Alfabeto<br />
Definición<br />
El alfabeto está formado por los siguientes conjuntos:<br />
1 Un conjunto numerable <strong>de</strong> símbolos <strong>de</strong> proposición:<br />
Π = {p, q, r, . . . , p1, q1, r1, . . . , pn, qn, rn, . . . }<br />
2 Operadores lógicos: ¬, ∨, ∧, → y ↔.<br />
3 Símbolos <strong>de</strong> puntuación: “(”, “)”.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis <strong>de</strong> la <strong>Lógica</strong> Proposicional<br />
Fórmulas bien formadas<br />
Definición<br />
El conjunto <strong>de</strong> las fórmulas bien formadas (fbfs)<br />
está <strong>de</strong>terminado por las siguientes reglas <strong>de</strong> formación:<br />
1 Los elementos <strong>de</strong> Π son fbfs: las fórmulas atómicas.<br />
2 Si A es una fbf , ¬A es una fbf.<br />
3 Si A y B son fbfs entonces (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B) y<br />
(A ↔ B) son fbfs.<br />
Los símbolos A y B usados en la <strong>de</strong>finición no son<br />
símbolos <strong>de</strong>l lenguaje sino metasímbolos.<br />
El único convenio para la simplificación <strong>de</strong> fórmulas que<br />
utilizaremos es la eliminación <strong>de</strong> los paréntesis inicial y<br />
final <strong>de</strong> una fórmula si los tuviera.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
¿Semántica?
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
La Semántica<br />
para un lenguaje general<br />
Definiciones<br />
Valores semánticos, valores <strong>de</strong>stacados<br />
Interpretación: Una función que asocia un significado<br />
(valor semántico) a cada fbf<br />
Mo<strong>de</strong>lo para A: Una interpretación que asigna a A un<br />
valor <strong>de</strong>stacado<br />
Fórmula válida: aquélla para la que toda interpretación es<br />
un mo<strong>de</strong>lo<br />
Inferencia: De un conjunto S se infiere A si todo mo<strong>de</strong>lo<br />
<strong>de</strong> S también lo es <strong>de</strong> A
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
La Semántica<br />
para un lenguaje trivaluado<br />
Definiciones<br />
Valores semánticos {0, t, 1}.<br />
Valores <strong>de</strong>stacados (generalmente {1}, o también {t, 1}).<br />
Habitualmente, las interpretaciones se dan en términos <strong>de</strong><br />
funciones <strong>de</strong> verdad
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Algunos sistemas trivaluados<br />
Se consi<strong>de</strong>ran tres valores <strong>de</strong> verdad.<br />
Veremos los sistemas <strong>de</strong> Kleene, Bočvar, Heyting y<br />
̷Lukasiewicz.<br />
Cada sistema tiene una motivación subyacente.<br />
Aunque todos coinci<strong>de</strong>n en consi<strong>de</strong>rar los valores 0, 1<br />
como la contrapartida <strong>de</strong> los booleanos ⊥, ⊤.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
La lógica trivaluada <strong>de</strong> Kleene<br />
El problema subyacente a esta lógica está relacionado con<br />
las relaciones recursivas parciales.<br />
Tales relaciones a veces pue<strong>de</strong>n no estar <strong>de</strong>finidas.<br />
La interpretación <strong>de</strong>l tercer valor <strong>de</strong> verdad es “in<strong>de</strong>finido.”<br />
Con D = {1} el sistema no tiene tautologías.<br />
Con D = {i, 1} se obtienen exactamente las tautologías<br />
clásicas.<br />
¬<br />
0 1<br />
i i<br />
1 0<br />
∧ 0 i 1<br />
0 0 0 0<br />
i 0 i i<br />
1 0 i 1<br />
→ 0 i 1<br />
0 1 1 1<br />
i i i 1<br />
1 0 i 1<br />
∨ 0 i 1<br />
0 0 i 1<br />
i i i 1<br />
1 1 1 1<br />
↔ 0 i 1<br />
0 1 i 0<br />
i i i i<br />
1 0 i 1
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
La lógica trivaluada <strong>de</strong> Bočvar<br />
El problema que preten<strong>de</strong> formalizar Bočvar es el <strong>de</strong> las<br />
paradojas semánticas, o antinomias.<br />
La interpretación <strong>de</strong>l tercer valor <strong>de</strong> verdad es “sin<br />
sentido” o “paradójico.”<br />
¬<br />
0 1<br />
u u<br />
1 0<br />
∧ 0 u 1<br />
0 0 u 0<br />
u u u u<br />
1 0 u 1<br />
→ 0 u 1<br />
0 1 u 1<br />
u u u u<br />
1 0 u 1<br />
∨ 0 u 1<br />
0 0 u 1<br />
u u u u<br />
1 1 u 1<br />
↔ 0 u 1<br />
0 1 u 0<br />
u u u u<br />
1 0 u 1
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
La lógica trivaluada <strong>de</strong> Heyting<br />
Con esta lógica se pretendía formalizar el razonamiento<br />
intuicionista, que no coinci<strong>de</strong> con el clásico.<br />
Por ejemplo, el intuicionismo no acepta la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> la<br />
fórmula ¬¬A −→ A.<br />
¬<br />
0 1<br />
i 0<br />
1 0<br />
Sus conectivas son las siguientes<br />
∧ 0 i 1<br />
0 0 0 0<br />
i 0 i i<br />
1 0 i 1<br />
∨ 0 i 1<br />
0 0 i 1<br />
i i i 1<br />
1 1 1 1<br />
→ 0 i 1<br />
0 1 1 1<br />
i 0 1 1<br />
1 0 i 1
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
La lógica trivaluada <strong>de</strong> ̷Lukasiewicz<br />
Su i<strong>de</strong>a correspon<strong>de</strong> a la <strong>de</strong> formalizar la verdad como<br />
posibilidad.<br />
El tercer valor <strong>de</strong> verdad se interpreta como “neutralidad.”<br />
Sus conectivas primitivas son la negación y la implicación.<br />
∨ 0 n 1<br />
0 0 n 1<br />
n n n 1<br />
1 1 1 1<br />
¬<br />
0 1<br />
u u<br />
1 0<br />
∧ 0 n 1<br />
0 0 0 0<br />
n 0 n n<br />
1 0 n 1<br />
→ 0 n 1<br />
0 1 1 1<br />
n n 1 1<br />
1 0 n 1<br />
↔ 0 n 1<br />
0 1 n 0<br />
n n 1 n<br />
1 0 n 1
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sistemas con más valores <strong>de</strong> verdad<br />
El sistema tetravaluado <strong>de</strong> Dunn y Belnap<br />
Este sistema surgió en relación con el estudio <strong>de</strong> la lógica<br />
<strong>de</strong> la relevancia, pero también tiene importancia en ciertas<br />
aplicaciones computacionales.<br />
Está basado en un conjunto con cuatro valores <strong>de</strong> verdad,<br />
W = {0, f , t, 1} que se interpretan como<br />
Ausencia <strong>de</strong> información<br />
Información negativa<br />
Información afirmativa<br />
Información conflictiva
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sistemas con más valores <strong>de</strong> verdad<br />
El sistema tetravaluado <strong>de</strong> Dunn y Belnap<br />
El diamante tiene dos ór<strong>de</strong>nes naturales<br />
1 El or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> información (el <strong>de</strong> la figura)<br />
2 El or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> verdad (<strong>de</strong> izqda. a dcha.)<br />
El ínfimo y supremo en el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> verdad se correspon<strong>de</strong>n<br />
con la conjunción y disyunción. La negación <strong>de</strong>ja fijos a 0<br />
y 1, e intercambia t y f .<br />
No hay una interpretación estándar para la implicación
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
<strong>Lógica</strong>s basadas en normas triangulares<br />
Definición <strong>de</strong> t-norma<br />
La influencia <strong>de</strong> los conjuntos difusos ha sido fundamental<br />
en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> lógicas valuadas sobre el intervalo<br />
unidad [0, 1].<br />
Están basadas sobre la abstracción <strong>de</strong> la conjunción que<br />
proporcionan las normas triangulares (o t-normas)<br />
Definición<br />
Una t-norma es una operación binaria sobre [0, 1] asociativa,<br />
conmutativa, no <strong>de</strong>creciente y con elemento neutro 1.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
<strong>Lógica</strong>s basadas en normas triangulares<br />
Implicación residuada y propiedad <strong>de</strong> adjunción<br />
Dada una t-norma continua T , existe una forma estándar <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>finir su implicación residuada<br />
Definición (Implicación residuada)<br />
u → v = sup{z | T (u, z) ≤ v}<br />
Esta implicación está relacionada con T mediante el siguiente<br />
Teorema (Propiedad <strong>de</strong> adjunción)<br />
Cada t-norma continua tiene una única implicación residuada,<br />
puesto que se cumple<br />
T (u, v) ≤ w si y solo si u ≤ (v → w),
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
<strong>Lógica</strong>s basadas en normas triangulares<br />
La lógica básica BL<br />
Toda t-norma <strong>de</strong>termina la función <strong>de</strong> verdad <strong>de</strong> una<br />
conjunción.<br />
Su residuo <strong>de</strong>termina la función <strong>de</strong> verdad <strong>de</strong> una<br />
implicación.<br />
El lenguaje se pue<strong>de</strong> dotar <strong>de</strong> una negación haciendo<br />
¬u = u → 0<br />
Por lo tanto, una t-norma permite <strong>de</strong>finir la semántica <strong>de</strong><br />
una lógica difusa.<br />
Veamos el sistema axiomático fundamental <strong>de</strong> las t-normas: la<br />
lógica básica BL.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
<strong>Lógica</strong>s basadas en normas triangulares<br />
Axiomática <strong>de</strong> BL<br />
El siguiente conjunto <strong>de</strong> axiomas es completo para la<br />
lógica proposicional básica <strong>de</strong> una t-norma dada.<br />
Se entien<strong>de</strong> que & tiene como función <strong>de</strong> verdad a la<br />
t-norma, y → tiene como función <strong>de</strong> verdad a su residuo.<br />
A1 (A → B) → ((B → C) → (A → C))<br />
A2 (A&B) → A<br />
A3 (A&B) → (B&A)<br />
A4 (A&(A → B)) → (B&(B → A))<br />
A5a (A → (B → C)) → ((A&B) → C)<br />
A5b ((A&B) → C) → (A → (B → C))<br />
A6 ((A → B) → C) → (((B → A) → C) → C)<br />
A7 0 → A
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
<strong>Lógica</strong>s basadas en normas triangulares<br />
Principales sistemas: ̷Lukasiewicz, Gö<strong>de</strong>l<br />
̷Lukasiewicz Basada en x ∗ y = máx{0, x + y − 1}<br />
Residuo x ← y = mín{x − y + 1, 1}<br />
Su sistema axiomático es BL + el axioma<br />
¬¬A → A<br />
Gö<strong>de</strong>l Basada en x ∗ y = mín{x,<br />
y}<br />
Residuo x ← y =<br />
1<br />
x<br />
si y ≤ x<br />
en otro caso<br />
Su sistema axiomático es BL + el axioma<br />
A → (A&A)
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
<strong>Lógica</strong>s basadas en normas triangulares<br />
Principales sistemas: producto<br />
Producto Basada en x ∗ y = x · y<br />
Residuo x ← y = mín(1, x/y)<br />
Su sistema axiomático es BL + los axiomas<br />
¬¬C → ((A&C) → (B&C)) → (A → B))<br />
(A&(A → ¬A)) → ⊥
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Ejemplos<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
<strong>Lógica</strong>s basadas en normas triangulares<br />
¿Por qué son los sistemas principales?<br />
Teorema (<strong>de</strong> representación)<br />
Toda t-norma arquimediana es suma ordinal <strong>de</strong> las tres<br />
t-normas anteriores.<br />
Problemas abiertos:<br />
1 Incremento <strong>de</strong> expresividad permitiendo varias t-normas<br />
2 Uso <strong>de</strong> retículos residuados<br />
3 Uso <strong>de</strong> otras extensiones <strong>de</strong> la conjunción: cópulas, etc
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
¿Para qué sirven estas lógicas tan raras?<br />
Se han encontrado aplicaciones <strong>de</strong> las lógicas multivaluadas en<br />
áreas muy diversas:<br />
1 Lingüística<br />
2 Filosofía<br />
3 Diseño <strong>de</strong> hardware<br />
4 <strong>Lógica</strong><br />
5 Inteligencia Artificial<br />
6 Matemáticas
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Aplicaciones en Lingüística<br />
Tratamiento <strong>de</strong> los supuestos. Por ejemplo, al <strong>de</strong>cir<br />
“El actual rey <strong>de</strong> España nació en Roma”<br />
se está dando por supuesto que España tiene un rey.<br />
No se ve claramente qué tratamiento han <strong>de</strong> tener tales<br />
enunciados, en particular para establecer su negación o dar<br />
condiciones <strong>de</strong> verdad <strong>de</strong> las implicaciones.<br />
Se han propuesto sistemas trivaluados.<br />
Otra posible solución hace uso <strong>de</strong> sistemas producto, con<br />
pares or<strong>de</strong>nados como valores <strong>de</strong> verdad, y evaluando cada<br />
componente por separado.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Aplicaciones en Filosofía<br />
Explicación <strong>de</strong> paradojas<br />
Sorites Un grano <strong>de</strong> arena no es un montón.<br />
Añadir un grano no hace un montón.<br />
Luego, no importa cuántos granos añadamos,<br />
nunca tendremos un montón <strong>de</strong> arena<br />
Falakros Si un hombre no es calvo, y le quitamos un pelo,<br />
sigue sin ser calvo<br />
Luego, po<strong>de</strong>mos quitar tantos pelos como<br />
queramos y no lo <strong>de</strong>jaremos calvo.<br />
Lenguajes con un predicado <strong>de</strong> “verdad”
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Aplicaciones al Diseño <strong>de</strong> Hardware<br />
La lógica clásica proposicional se usa como herramienta<br />
para el análisis y síntesis <strong>de</strong> algunos tipos <strong>de</strong> circuitos<br />
eléctricos construidos a partir <strong>de</strong> puertas lógicas con dos<br />
estados estables.<br />
Una generalización directa permite el uso <strong>de</strong> lógica<br />
n-valuada para diseñar y verificar circuitos con n estados.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Aplicaciones en <strong>Lógica</strong><br />
1 Para compren<strong>de</strong>r mejor otras lógicas:<br />
Los sistemas <strong>de</strong> Gö<strong>de</strong>l se introdujeron para intentar<br />
aproximarse a la lógica intuicionista<br />
La lógica trivaluada <strong>de</strong> ̷Lukasiewicz pretendía capturar la<br />
noción modal <strong>de</strong> posibilidad<br />
2 Mo<strong>de</strong>lización <strong>de</strong> predicados parciales en los que hay<br />
“huecos <strong>de</strong> verdad”, en el supuesto <strong>de</strong> que los huecos<br />
respeten las funciones <strong>de</strong> verdad
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Aplicaciones a la Inteligencia Artificial<br />
1 Razonamiento bajo incertidumbre y con nociones<br />
imprecisas.<br />
En general mediante la lógica difusa.<br />
2 En gestión <strong>de</strong> bases <strong>de</strong> datos y sistema basados en<br />
conocimiento, cuando se sepa que la información pue<strong>de</strong><br />
ser imprecisa.<br />
3 Automatización <strong>de</strong> las técnicas <strong>de</strong> prospección <strong>de</strong> datos.<br />
Estas técnicas suelen estar ligadas a conjuntos difusos o<br />
multivaluados.<br />
En este contexto también interesa disponer <strong>de</strong> métodos <strong>de</strong><br />
razonamiento automático para estas lógicas.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Aplicaciones en Matemáticas<br />
1 Teoría matemática <strong>de</strong> los conjuntos difusos, y el análisis<br />
matemático <strong>de</strong>l razonamiento aproximado.<br />
2 Distintos enfoques para probar la consistencia <strong>de</strong> la teoría<br />
<strong>de</strong> conjuntos.<br />
3 Como herramienta técnica para la <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong><br />
resultados <strong>de</strong> in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> axiomas.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Deducción automática en lógica multivaluada<br />
Distintos enfoques existentes<br />
Tablas semánticas (Surma’77, Carnielli’87, Hähnle’94)<br />
Resolución (Baaz-Fermüller’95)<br />
TAS (Valver<strong>de</strong>’98)<br />
Programación lógica
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Programación lógica multivaluada<br />
Se han <strong>de</strong>sarrollado distintas extensiones <strong>de</strong> paradigma <strong>de</strong> la<br />
programación lógica:<br />
Paraconsistente (Blair & Subrahmanian’89)<br />
Basado en birretículos (Fitting’91)<br />
Anotado (Kifer & Subrahmanian’92)<br />
Signado (Lu’96)<br />
Probabilista (T Lukasiewicz’98)<br />
Difusa (Vojtáˇs’00)<br />
Multi-adjunta (Medina et al’01)
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Programación <strong>Lógica</strong> Multiadjunta<br />
Pasito a pasito<br />
Programación <strong>Lógica</strong> Clásica [Kowalski & van Em<strong>de</strong>n]:<br />
paper accepted ← good work, good referees<br />
Programación cuantitativa [van Em<strong>de</strong>n]:<br />
paper accepted 0,9<br />
←− good work & good referees<br />
Programación <strong>Lógica</strong> Difusa [Vojtáˇs & Paulík]:<br />
paper accepted 0,9<br />
←− ̷L mín(good work, good referees)
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Programación <strong>Lógica</strong> Multiadjunta<br />
Pasito a pasito<br />
Bases <strong>de</strong> Datos Probabilistas Deductivas [Lakshmanan & Sadri]:<br />
(paper accepted 〈[0,7,0,95],[0,03,0,2]〉<br />
←−−−−−−−−−−−−−−−− good work,good referees<br />
; ind, pc)<br />
Programas Lógicos Híbridos Probabilistas [Dekhtyar & Subrahm.]:<br />
(paper accepted ∨pc go conference): [0,85, 0,98] ←−<br />
(good work ∧ind good referees) : [0,7, 0,9] &<br />
have money : [0,9, 1,0]
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Programación <strong>Lógica</strong> Multiadjunta<br />
Características comunes a los enfoques previos<br />
Distintos tipos <strong>de</strong> pesos, valores <strong>de</strong> confianza, valores <strong>de</strong><br />
verdad, o grados<br />
Símbolos <strong>de</strong> implicación con pesos asociados a las reglas<br />
Cuerpos construidos con funciones monótonas<br />
El paradigma <strong>de</strong> programación lógica multiadjunta abstrae los<br />
<strong>de</strong>talles particulares <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los enfoques anteriores, y<br />
mantiene únicamente el motor <strong>de</strong>ductivo
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Retículos multiadjuntos<br />
Definición<br />
Un retículo residuado es una tupla 〈L, , &, →, ⊤〉 tal que:<br />
1 〈L, 〉 es un retículo acotado y ⊤ es su máximo<br />
2 〈L, &, ⊤〉 es un monoi<strong>de</strong> conmutativo<br />
3 El par 〈&, →〉 es un par adjunto en L, es <strong>de</strong>cir:<br />
La conjunción es creciente en ambos argumentos<br />
La implicación <strong>de</strong>crece en el primero y crece en el segundo<br />
Para todo x, y, z ∈ L, se tiene<br />
x (z → y) ⇔ (x & z) y<br />
La consi<strong>de</strong>ración <strong>de</strong> un entorno más general, en el que convivan<br />
distintos tipos <strong>de</strong> implicaciones nos lleva a permitir la<br />
coexistencia <strong>de</strong> distintos pares adjuntos en un retículo.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Retículos multiadjuntos<br />
Definición<br />
Es una tupla (L, , ←1, &1, . . . , ←n, &n) que satisface las<br />
siguientes condiciones:<br />
1 〈L, 〉 es un retículo acotado;<br />
2 (←i, &i) es un par adjunto en 〈L, 〉 para i = 1, . . . , n;<br />
3 ⊤ &i ϑ = ϑ &i ⊤ = ϑ para todo ϑ ∈ L y todo i = 1, . . . , n.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Programas Lógicos Multiadjuntos<br />
Sintaxis<br />
Definición<br />
Un programa lógico multiadjunto es un conjunto P <strong>de</strong> reglas <strong>de</strong><br />
la forma 〈(A ←i B), ϑ〉 tal que:<br />
1 El peso ϑ es un elemento <strong>de</strong> L (un valor <strong>de</strong> verdad);<br />
2 La cabeza <strong>de</strong> la regla A es un símbolo proposicional <strong>de</strong> Π.<br />
3 El cuerpo B es una fórmula construida a partir <strong>de</strong><br />
símbolos proposicionales B1, . . . , Bn (n ≥ 0) mediante el<br />
uso <strong>de</strong> operadores monótonos.<br />
4 Los hechos son reglas con cuerpo ⊤.<br />
5 Una meta es un símbolo proposicional ?A, entendido como<br />
un pregunta que se le hace al sistema.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Programas Lógicos Multiadjuntos<br />
Semántica<br />
Definición<br />
Una interpretación es una aplicación I : Π → L.<br />
Cada una <strong>de</strong> estas interpretaciones se extien<strong>de</strong> <strong>de</strong> manera única<br />
a todas las fórmulas <strong>de</strong>l lenguaje.<br />
A continuación damos el concepto <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> un programa.<br />
Definición<br />
Una interpretación I ∈ IL satisface una regla 〈A ←i B, ϑ〉 si y<br />
solo si ϑ Î (A ←i B). Una interpretación I ∈ IL es un mo<strong>de</strong>lo<br />
<strong>de</strong> un programa P si y solo si satisface todas las reglas <strong>de</strong> P.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Semántica <strong>de</strong> punto fijo<br />
El operador <strong>de</strong> consecuencias <strong>de</strong> van Em<strong>de</strong>n y Kowalski, se<br />
generaliza al contexto multi-adjunto como sigue:<br />
Definición<br />
Sea P un programa multi-adjunto. El operador <strong>de</strong><br />
consecuencias inmediatas TP : I → I se <strong>de</strong>fine, dada una<br />
interpretación y un átomo, como se indica<br />
TP(I )(A) = sup{ϑ & i<br />
Î (B) | A ϑ ←i B ∈ P}<br />
Todos los supremos existen al trabajar sobre un retículo<br />
completo.<br />
Lema<br />
El operador TP es monótono creciente.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Mo<strong>de</strong>los y puntos fijos<br />
Teorema<br />
Una interpretación I es un mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> un programa<br />
multi-adjunto P si y solo si TP(I ) ⊑ I .<br />
El teorema <strong>de</strong> Tarski-Knaster, junto con el anterior, nos dice<br />
que todo programa tiene un mo<strong>de</strong>lo mínimo que se pue<strong>de</strong><br />
obtener mediante iteración transfinita.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Computabilidad <strong>de</strong> los mo<strong>de</strong>los<br />
Continuidad <strong>de</strong>l operador <strong>de</strong> consecuencias<br />
Definición<br />
Sea L un retículo completo. Decimos que f : L −→ L es<br />
continua si conserva los supremos <strong>de</strong> conjuntos dirigidos, esto<br />
es, si dado un conjunto dirigido X se tiene<br />
f (sup X ) = sup{f (x) | x ∈ X }<br />
Teorema<br />
Si todos los operadores que aparecen en los cuerpos <strong>de</strong> la reglas<br />
<strong>de</strong> un programa P son continuos, y las conjunciones adjuntas lo<br />
son en su segundo argumento, entonces TP es continuo.
<strong>Lógica</strong>s<br />
<strong>Multivaluada</strong>s<br />
Preliminares<br />
Definiciones<br />
Aplicaciones<br />
Deducción<br />
automática<br />
Prog. <strong>Lógica</strong><br />
Multiadjunta<br />
Sintaxis<br />
Semántica<br />
Computabilidad <strong>de</strong> los mo<strong>de</strong>los<br />
¿Cómo calcular los mo<strong>de</strong>los?<br />
Esencialmente, existen dos formas <strong>de</strong> calcular mo<strong>de</strong>los:<br />
1 De abajo a arriba (bottom-up), a partir <strong>de</strong>l operador <strong>de</strong><br />
consecuencias.<br />
2 De arriba a abajo (top-down), a partir <strong>de</strong> la meta dada.<br />
Nos centraremos en <strong>de</strong>scribir un método <strong>de</strong> tabulación para<br />
obtener respuestas
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