FUERZAS MAGNETOMOTRICES EN ARROLLAMIENTOS A ANILLOS
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1 INTRODUCCIÓN<br />
<strong>FUERZAS</strong> <strong>MAGNETOMOTRICES</strong><br />
<strong>EN</strong> ARROLLAMI<strong>EN</strong>TOS A <strong>ANILLOS</strong><br />
Norberto A. Lemozy<br />
En el presente trabajo se estudian las fuerzas magnetomotrices (fmm) producidas por<br />
arrollamientos distribuidos a anillos y su distribución en las máquinas de entrehierro constante.<br />
Respecto a la geometría de la máquina, hay dos formas constructivas básicas: las cilíndricas y<br />
las de polos salientes, las que pueden estar tanto en el estator como en el rotor, dando lugar a<br />
cuatro combinaciones posibles, como se muestra en la Tabla I, donde en la columna “Máquina”<br />
se colocó un ejemplo representativo, existiendo otras posibilidades de aplicación.<br />
Tabla I. Formas constructivas.<br />
Estator Rotor Máquina<br />
Cilíndrico Cilíndrico De inducción<br />
Cilíndrico De polos salientes Sincrónica<br />
De polos salientes Cilíndrico De corriente continua<br />
De polos salientes De polos salientes Motor por pasos<br />
En la mayoría de las formas cilíndricas se colocan arrollamientos distribuidos, recorridos por<br />
corriente alterna con la función de armadura, o inducido (lugar donde se inducen tensiones),<br />
ejemplo de esto, son las máquinas sincrónicas, las de colector, de CC y de CA, y las de<br />
inducción, aunque en éstas últimas no se habla de “inducido”, sino simplemente se dice estator y<br />
rotor. Si la corriente que recorre estos arrollamientos distribuidos es alterna (hay excepciones), el<br />
núcleo magnético debe ser laminado, para reducir las pérdidas por corrientes de Foucault.<br />
Cuando en los polos salientes hay arrollamientos, estos son concentrados, cumplen la función<br />
de excitación, es decir generan el campo magnético necesario para la conversión de energía, y<br />
generalmente están recorridos por corriente continua; por ejemplo los polos de excitación de una<br />
máquina de CC o sincrónica.<br />
Los arrollamientos distribuidos están formados por bobinas alojadas en ranuras (o canaletas)<br />
distribuidas sobre una superficie cilíndrica; en la gran mayoría de los casos todas las bobinas<br />
poseen el mismo número de espiras, todas las ranuras son iguales y se encuentran equiespaciadas.<br />
Si no se cumplen estas suposiciones se deben aplicar otros procedimientos de análisis, distintos<br />
de los generales que a continuación se verán.<br />
Se denominan arrollamientos a anillos o de fases a aquellos bobinados formados por circuitos<br />
eléctricos independientes e iguales, denominados fases, (el caso más común es el trifásico), con<br />
ejes magnéticos desfasados en el espacio un ángulo eléctrico igual a:<br />
Donde m es el número de fases.<br />
2π<br />
radianes, ó<br />
m<br />
360<br />
grados<br />
m<br />
Las expresiones anteriores tienen como excepción los arrollamientos bifásicos en los cuales<br />
π<br />
las fases se encuentran a radianes ó 90 grados eléctricos entre sí.<br />
2<br />
1<br />
(1)
Conviene recordar que la relación entre los ángulos eléctricos y los geométricos es la<br />
siguiente:<br />
Donde p es el número de pares de polos de la máquina.<br />
θ = θ = p ⋅θ<br />
(2)<br />
e<br />
Como cada fase tiene un principio y un final, éstas son circuitos eléctricos abiertos. Cuando el<br />
arrollamiento se encuentra en el estator, los extremos de las fases se conectan a un tablero de<br />
bornes, mientras que si el arrollamiento se encuentra en el rotor de la máquina, la conexión a la<br />
bornera se hace por medio de anillos rozantes y escobillas. Por ese motivo es que también se los<br />
denomina arrollamientos a anillos. En los rotores de las máquinas eléctricas también se utilizan<br />
otro tipo de arrollamientos distribuidos, denominados a colector, que se conectan a través de un<br />
colector y escobillas; el comportamiento de estos arrollamientos se analizará en otra oportunidad.<br />
A continuación se analizará una máquina cilíndrica, de entrehierro constante, como podría ser<br />
un motor de inducción o una máquina sincrónica de rotor cilíndrico.<br />
En todos los casos, el entrehierro g (gap, en inglés) que se utiliza es el denominado<br />
entrehierro equivalente, es decir un entrehierro que presenta la misma reluctancia que el<br />
entrehierro real más las ranuras del estator y del rotor:<br />
g<br />
= C C ⋅ g′<br />
(3)<br />
g e r<br />
Donde Ce y Cr son los “factores de Carter” del estator y del rotor respectivamente y g´ es en<br />
entrehierro geométrico. Los factores de Carter son números iguales o mayores a la unidad que se<br />
calculan en base a las dimensiones de los dientes y de las ranuras. Si en el estator o en el rotor, no<br />
hay ranuras, o éstas son totalmente cerradas, el correspondiente factor de Carter es igual a uno.<br />
En todos los casos el entrehierro equivalente es mayor o a lo sumo igual al entrehierro<br />
geométrico. En la figura 1 se muestra un sector de estator con ranuras abiertas, un sector de rotor<br />
con ranuras semicerradas y su equivalente, de igual reluctancia, pero sin ranuras.<br />
g´ g<br />
Fig. 1. Entrehierro equivalente.<br />
2
2 TIPOS DE <strong>FUERZAS</strong> <strong>MAGNETOMOTRICES</strong><br />
Según sea el tipo de corriente que circula por el arrollamiento es el tipo de fmm que se<br />
desarrolla:<br />
Tabla II. Tipos de fmm.<br />
CORRI<strong>EN</strong>TE FMM<br />
Continua Constante<br />
Alterna monofásica Alterna<br />
Alterna polifásica Giratoria<br />
Las fmm constantes tienen amplitud constante y están fijas respecto a los arrollamientos que<br />
las producen.<br />
Las fmm alternas tienen amplitud variable y están fijas respecto a los arrollamientos que las<br />
producen.<br />
Las fmm giratorias tienen amplitud constante y se desplazan respecto a los arrollamientos que<br />
las producen.<br />
A medida que se analicen las distintas fmm, se irán aclarando los enunciados anteriores.<br />
3
3 ANÁLISIS DE UNA FUERZA MAGNETOMOTRIZ CONSTANTE<br />
Si bien no es lo más común en la práctica, para simplificar este primer análisis, se supone que<br />
la corriente que recorre el arrollamiento distribuido es continua, de esta manera no hay<br />
variaciones temporales de la fmm desarrollada y, como ya se dijo, se está en presencia de una<br />
fmm constante.<br />
En el presente trabajo se representan mayormente máquinas de dos polos, porque de esa<br />
manera los dibujos resultan más sencillos y los grados eléctricos y geométricos coinciden. Esto<br />
no es ninguna restricción, en efecto si se piensa que todos los ángulos, en todas las expresiones,<br />
son ángulos eléctricos, las mismas serán aplicables a máquinas de cualquier polaridad. Si por<br />
algún motivo especial se debe trabajar con ángulos geométricos, se lo dejará expresamente<br />
indicado utilizando un subíndice g .<br />
3.1 Una bobina diametral<br />
El primer caso que se estudiará es la fmm producida por una bobina diametral, colocada en el<br />
estator de una máquina, de dos polos y recorrida por una corriente continua I .<br />
Se dice que una bobina es diametral cuando el paso de la misma Y1 es igual al paso polar de<br />
la máquina τ p .<br />
Bobina diametral: Y = τ p<br />
En la figura 2 se muestra esquemáticamente una espira diametral.<br />
I<br />
1 (4)<br />
Fig. 2. Espira diametral.<br />
En la figura 3 se muestra un corte, transversal al eje, de la máquina de la figura 2 en el que se<br />
indica una bobina diametral, con Nb espiras, recorridas por la corriente continua Ib , y<br />
aproximadamente, el campo magnético que se produciría.<br />
4
N I<br />
b b<br />
S<br />
N<br />
S<br />
N<br />
Fig. 3. Una bobina diametral.<br />
Para representar más fácilmente la distribución de la fmm en el entrehierro de la máquina,<br />
conviene representarla desarrollada para lo cual se la corta en θ = 0 , resultando como se indica<br />
en la figura 4.<br />
Estator<br />
Rotor<br />
Y = τ<br />
1<br />
p<br />
θ<br />
N b I b<br />
N b I b<br />
Fig. 4. Máquina desarrollada.<br />
Haciendo una circulación a lo largo de una línea de fuerza se tiene que:<br />
∫ ⋅ dl = ∫J⋅ H ds<br />
(5)<br />
s<br />
Suponiendo que la permeabilidad del hierro es infinita, el campo en el mismo resulta nulo:<br />
Si: µ ∞ ⇒ H = 0<br />
(6)<br />
Fe = Fe<br />
Al existir campo no nulo solamente en el entrehierro, entonces la integral de la izquierda de la<br />
ecuación (5) se reduce a 2⋅Hg⋅g y la de la derecha es la fmm encerrada por el camino recorrido,<br />
es decir Nb⋅Ib , resultando:<br />
2 ⋅ H ⋅ g = N ⋅ I<br />
(7)<br />
g<br />
Como el entrehierro es constante, la fmm que desarrolla la bobina queda simétricamente<br />
repartida a ambos lados de la misma, resultando una distribución como la indicada en la figura 5.<br />
En la figura 5, para simplificar, se supuso que toda la corriente está concentrada en un punto<br />
en el centro de la ranura, lo que produce un escalón de fmm perfectamente vertical. En la<br />
realidad, el lado de la bobina tiene un espesor finito, lo que daría lugar a un escalón de la misma<br />
altura Nb⋅Ib pero con una cierta pendiente, como se muestra en la figura 6.<br />
5<br />
b<br />
b<br />
g
Estator<br />
Rotor<br />
F<br />
N I<br />
2<br />
b b<br />
0<br />
N b Ib<br />
2<br />
N I<br />
b b<br />
Y = τ<br />
1<br />
p<br />
N b Ib<br />
N I<br />
b b<br />
π 2 π<br />
Fig. 5. Distribución de fmm para una bobina diametral.<br />
En este caso los armónicos de alto orden de la onda de fmm resultante tendrían menor<br />
amplitud, lo que es una situación ventajosa. Resumiendo: adoptar flancos verticales simplifica el<br />
estudio y da resultados ligeramente más pesimistas que en la realidad.<br />
F<br />
0<br />
N b I b<br />
N I<br />
b b<br />
Fig. 6. Bobinas con espesor finito.<br />
En la mayoría de las aplicaciones se busca que la distribución de fmm en el entrehierro de la<br />
máquina sea lo más sinusoidal posible. La mejor forma de comparar dos formas de onda para ver<br />
cuál es la más sinusoidal es hacer un análisis de Fourier de las mismas y comparar la amplitud de<br />
sus componentes armónicos, aquella que tiene armónicos más pequeños es la más sinusoidal.<br />
Más adelante se verá cuales son los armónicos más perjudiciales para el funcionamiento de la<br />
máquina.<br />
El desarrollo en serie de Fourier de la onda de fmm de la figura 5 da como resultado:<br />
θ<br />
4<br />
1 1<br />
= (cosθ<br />
− cos3θ<br />
+ cos5θ<br />
− ⋅⋅<br />
⋅⋅)<br />
π 3 5<br />
máx F F<br />
(8)<br />
Donde Fmáx es la amplitud de la onda y θ es el ángulo eléctrico medido a partir del eje<br />
magnético de la bobina, como se muestra en la figura 3.<br />
Al tomar el origen de coordenadas en coincidencia con el eje magnético de la bobina, la onda<br />
de fmm resulta una función par y por tal motivo el desarrollo (8) contiene solamente<br />
6<br />
g<br />
F<br />
máx<br />
θ
componentes coseno, que son funciones pares. Por otra parte la fmm de la figura 5 posee simetría<br />
de media onda, o sea que se cumple:<br />
T<br />
f ( t)<br />
= − f ( t ± )<br />
(9)<br />
2<br />
y las funciones con simetría de media onda solamente poseen solamente armónicos impares.<br />
El término enésimo de la ecuación (8) se puede escribir como:<br />
4 1<br />
F ν = Fmáx<br />
⋅cosν<br />
⋅θ<br />
(10)<br />
π ν<br />
donde la ene minúscula griega ν (nu) indica el orden del armónico.<br />
Como se dijo más arriba, en general se busca obtener ondas sinusoidales de fmm y la de la<br />
figura 5 dista mucho de serlo, posee un alto contenido armónico y, en particular, grandes<br />
componentes de quinta y séptima armónica que son de las más perjudiciales. Para aproximar esa<br />
onda cuadrada a una onda sinusoidal se recurre a crear escalones en los flancos de la misma, para<br />
lo cual hay dos posibilidades: acortar las bobinas o distribuirlas.<br />
3.2 Bobinas acortadas<br />
Una bobina acortada es aquella que tiene un paso Y1 menor que el paso polar de la máquina<br />
τp .<br />
Es decir: Y < τ p<br />
1 (11)<br />
Si en una máquina se colocara una sola bobina acortada, resultaría un campo con semiciclos<br />
asimétricos, que generarían armónicos pares, lo que es totalmente indeseable. Por tal motivo, en<br />
el ejemplo siguiente, se colocaron dos bobinas iguales y acortadas que, al estar simétricamente<br />
dispuestas, producen una onda de fmm con simetría de media onda, sin armónicos pares, figura 7.<br />
θ<br />
N b Ib<br />
N b Ib<br />
S<br />
N<br />
Fig. 7. Dos bobinas acortadas.<br />
Para obtener la distribución de fmm se puede seguir un procedimiento como el empleado con<br />
la bobina diametral de la figura 5, o aplicar superposición y sumar las ondas que producen cada<br />
una de las bobinas; pero cuando los arrollamientos son más complejos conviene proceder<br />
mecánicamente. Esto se puede hacer observando la figura 5 en la que:<br />
a) Los escalones se producen en correspondencia con el eje de las ranuras donde hay corriente.<br />
b) La altura de cada escalón es igual a la fmm que se desarrolla en la respectiva ranura.<br />
7
c) Recorriendo el gráfico de izquierda a derecha, y de acuerdo a las convenciones adoptadas,<br />
cuando en la ranura la corriente es entrante ⊗ el escalón es hacia abajo, y hacia arriba en<br />
el caso contrario.<br />
d) Al completar el gráfico se debe terminar a la misma altura a la que se empezó.<br />
e) El eje de abscisas conviene trazarlo al completar el gráfico y de forma tal que las áreas,<br />
positivas y negativas, encerradas por ese eje y la curva en todo el desarrollo de la máquina,<br />
sean iguales, (valor medio nulo), esto garantiza que todo el flujo que sale por los polos<br />
norte sea igual al que entra por los polos sur (divergencia nula).<br />
f) En los arrollamientos que se analizarán en el presente curso (arrollamientos de q entero)<br />
los semiciclos positivos y negativos de las ondas de fmm son iguales y tienen simetría de<br />
media onda.<br />
Los puntos d) y f) también sirven para verificar que el arrollamiento en estudio está bien<br />
dibujado.<br />
Siguiendo el procedimiento anterior, la distribución de la fmm en este caso resulta como se<br />
indica en la figura 8 en la que se puede ver como se generaron dos escalones iguales en cada<br />
flanco de la onda de fmm, esto reduce el contenido armónico de la misma, haciéndola más<br />
sinusoidal.<br />
Estator<br />
Rotor<br />
F<br />
0<br />
N b I b<br />
N b I b<br />
Y 1 < τ p<br />
τ<br />
p<br />
π 2 π<br />
Fig. 8. Distribución de fmm para dos bobinas acortadas.<br />
Realizar el análisis de Fourier de la onda escalonada de la figura 8 resulta bastante laborioso y<br />
no es conveniente hacerlo en este momento; más adelante se usará un procedimiento alternativo,<br />
que conduce a los mismos resultados y en una forma mucho más simple.<br />
En este caso, el resultado del análisis de Fourier es el siguiente:<br />
Donde:<br />
4<br />
1<br />
1<br />
F = Fmáx<br />
( k p1<br />
⋅ cosθ<br />
+ ⋅ k p3<br />
⋅ cos3θ<br />
+ ⋅ k p5<br />
⋅ cos5θ<br />
+ ⋅⋅<br />
⋅⋅)<br />
(12)<br />
π<br />
3<br />
5<br />
π<br />
k p ν = sinν<br />
c<br />
(13)<br />
2<br />
Se denomina factor de paso del armónico ν y, cuando las bobinas están acortadas, es menor<br />
que la unidad. El coeficiente c vale:<br />
8<br />
g<br />
F<br />
máx<br />
θ
Y1<br />
c = (14)<br />
τ<br />
y es el paso relativo, también menor que la unidad para las bobinas acortadas. Si las bobinas son<br />
diametrales, tanto c y kpν resultan iguales a la unidad. El signo de cada uno de los términos de<br />
la ecuación (12) quedan dados por el factor de paso, pero esto no tiene importancia porque lo que<br />
realmente interesa es la amplitud de cada uno de los armónicos.<br />
En este caso, el término enésimo de la ecuación 12 se puede escribir como:<br />
p<br />
4 1<br />
F ν = Fmáx<br />
⋅ k pν<br />
⋅ cos ν ⋅θ<br />
(15)<br />
π ν<br />
A modo de ejemplo y para mostrar el efecto del acortamiento a continuación se calculan los<br />
4<br />
factores de paso para un arrollamiento en el que c = , tabla III:<br />
5<br />
Tabla III. Factores de paso para c = 4/5.<br />
ν kpν kpν [%]<br />
1 0,9511 95,11<br />
3 -0,5878 -58,78<br />
5 0 0<br />
7 0,5878 58,78<br />
Donde se puede ver que la fundamental se reduce solamente en un 5%, la tercera y la séptima<br />
armónicas en un 41%, aproximadamente y que la quinta armónica desaparece. Este ejemplo fue<br />
elegido ex profeso para mostrar como cuando el paso relativo es:<br />
⎛ 1 ⎞<br />
c = ⎜1−<br />
⎟<br />
(16)<br />
⎝ ν ⎠<br />
se anula el armónico de orden ν El ejemplo anterior fundamentalmente tiene propósitos<br />
didácticos y no es una buena opción de acortamiento, ya que queda una gran componente de<br />
séptima armónica. Como se verá más adelante, en los arrollamientos trifásicos, los efectos de los<br />
armónicos múltiplos de tres, se cancelan; por lo tanto no es muy importante tratar de reducirlos<br />
de esta forma.<br />
Como ya se dijo la otra forma de producir escalones en los flancos de la onda de fmm, es<br />
distribuyendo las bobinas.<br />
3.3 Grupos de bobinas diametrales<br />
A fin de que no aparezcan los efectos del acortamiento se estudiará el caso de disponer de tres<br />
bobinas iguales y diametrales, espaciadas un ángulo eléctrico α entre sí, figura 9.<br />
El ejemplo de la figura 9 corresponde a un grupo de tres bobinas, cantidad que, como es<br />
frecuente en la terminología de los arrollamientos distribuidos, se indica con q .<br />
9
N b I b<br />
N I<br />
b b<br />
N b I b<br />
S<br />
N<br />
Fig. 9. Tres bobinas diametrales distribuidas.<br />
Aplicando el procedimiento descripto en el párrafo 3.2, la distribución de la fmm en el<br />
entrehierro de la máquina, resulta como se ve en la figura 10.<br />
Estator<br />
Rotor<br />
N I<br />
b b<br />
N b Ib<br />
N b Ib<br />
F<br />
0<br />
Y 1 = τ p<br />
θ<br />
π 2 π<br />
Fig. 10. Distribución de fmm para tres bobinas diametrales.<br />
En este caso se produjeron tres escalones en los flancos de la onda de fmm y, de igual forma<br />
que en el caso anterior, esto reduce el contenido armónico de la misma, haciéndola más<br />
sinusoidal. Al hacer el análisis de Fourier resulta:<br />
4<br />
1<br />
1<br />
F = Fmáx<br />
( kd1<br />
⋅ cosθ<br />
+ ⋅ kd<br />
3 ⋅ cos3θ<br />
+ ⋅ kd<br />
5 ⋅ cos5θ<br />
+ ⋅⋅<br />
⋅⋅)<br />
(17)<br />
π<br />
3<br />
5<br />
Igual que en el caso anterior, el signo de cada uno de los términos de la ecuación (17) quedan<br />
dados por el factor de distribución:<br />
α<br />
sin qν<br />
k 2<br />
d ν =<br />
α<br />
(18)<br />
qsinν<br />
2<br />
10<br />
α<br />
α<br />
g<br />
F<br />
máx<br />
θ
Cuando las bobinas están distribuidas q > 1 , el factor de distribución es menor que la unidad.<br />
Es muy importante no olvidar que el ángulo α debe expresarse en grados eléctricos, como están<br />
definidos por la relación (2).<br />
En este caso, el término enésimo de la ecuación (17) se puede escribir como:<br />
4 1<br />
F ν = Fmáx<br />
⋅ kdν<br />
⋅cosν<br />
⋅θ<br />
(19)<br />
π ν<br />
A modo de ejemplo y para mostrar el efecto de la distribución, a continuación, se calculan los<br />
factores de distribución para un arrollamiento en el que q = 3 , y α = 20° grados eléctricos,<br />
tabla IV:<br />
Tabla IV. Factores de distribución para q = 3 y α = 20°.<br />
ν kdν kdν [%]<br />
1 0,9598 95,98<br />
3 0,6667 66,67<br />
5 0,2176 21,76<br />
7 -0,1774 -17,74<br />
Comparando estos resultados con los consignados en la tabla III se puede observar una mejor<br />
reducción de los armónicos quinto y séptimo.<br />
3.4 Capas de corrientes<br />
En algunos casos, como en los arrollamientos a colector, la distribución del arrollamiento es<br />
muy grande y se puede suponer que hay una corriente uniformemente distribuida en el<br />
entrehierro, formando una capa de corriente con densidad uniforme, figura 11.<br />
θ<br />
S<br />
N<br />
Fig. 11. Capa de corriente.<br />
Esta situación es un caso límite de distribución donde la cantidad de elementos de corriente y<br />
de escalones que se forman en los flancos de la onda de fmm, tienden a infinito y el ángulo entre<br />
los mismos tiende a cero:<br />
q → ∞<br />
α → 0<br />
siendo el producto de ambos el ángulo γ de la figura 11:<br />
lím<br />
→ ∞<br />
→ 0<br />
= ⋅ q α γ<br />
q<br />
α<br />
11<br />
γ<br />
(20)<br />
(21)
En este caso los flancos de la onda de fmm se vuelven escaleras de infinitos escalones es decir<br />
rectas, como se muestra en la figura 12.<br />
Estator<br />
Rotor<br />
F<br />
0<br />
γ γ<br />
π<br />
2 π<br />
Fig. 12. Distribución de fmm para una capa uniforme de corriente.<br />
El desarrollo en serie de Fourier de esta onda da las mismas expresiones (17) y (19) ya vistas,<br />
y el factor de distribución se puede obtener pasando al límite la expresión (18):<br />
Resultando:<br />
sin<br />
sin<br />
lím 2 lím 2<br />
sin<br />
2<br />
2<br />
→ 0<br />
∞ →<br />
α<br />
α<br />
qν<br />
qν<br />
=<br />
α<br />
α<br />
q ν q ⋅ν<br />
q<br />
α<br />
g<br />
F<br />
máx<br />
θ<br />
(22)<br />
γ<br />
sinν<br />
k 2<br />
dν<br />
=<br />
γ<br />
(23)<br />
ν<br />
2<br />
Dado que en el denominador de la ecuación (23) queda un ángulo, éste debe estar expresado<br />
en radianes. También resulta conveniente recordar que tanto este ángulo, como todos los de las<br />
otras ecuaciones, son ángulos eléctricos, definidos por la relación (2).<br />
Si se toma un caso equivalente al del ejemplo anterior, pero suponiendo una capa uniforme de<br />
corriente, resulta un ángulo γ de:<br />
π<br />
γ = q ⋅α<br />
= 3⋅<br />
20°<br />
= 60°<br />
=<br />
(24)<br />
3<br />
Los resultados de aplicar la expresión (23) se dan en la tabla V y, como se puede ver, son muy<br />
parecidos a los de la distribución escalonada de la tabla IV.<br />
Tabla V. Factores de distribución para una capa de corriente.<br />
ν kdν kdν [%]<br />
1 0,9549 95,49<br />
3 0,6366 63,66<br />
5 0,1910 19,10<br />
7 -0,1364 -13,64<br />
12
3.5 Fmm máxima<br />
En todas las expresiones de fmm vistas, aparece el valor máximo de la misma Fmáx que<br />
resulta del gráfico de la distribución en el entrehierro. Como hacer el gráfico para obtener este<br />
valor es un tanto incómodo, el mismo se puede obtener de los datos del bobinado en sí. En efecto<br />
este valor máximo es igual a la suma de las fmm que producen todos los conductores de la fase<br />
que se encuentran en medio paso polar, por ejemplo, figura 13.<br />
Llamando:<br />
F<br />
τ p<br />
/2<br />
τ p<br />
Fig. 13. Fmm máxima.<br />
Z: Número total de conductores del bobinado.<br />
m: Número de fases.<br />
2a: Número de ramas en paralelo de la fase.<br />
p: Número de pares de polos.<br />
2p: Número de polos.<br />
Ns: Número de espiras en serie por fase.<br />
I: Corriente de fase.<br />
El número de conductores por fase, es:<br />
La cantidad de conductores, por fase, que hay en un semipolo es:<br />
Como cada fase puede tener circuitos en paralelo, figura 14:<br />
La corriente en cada rama resulta:<br />
I<br />
I / 2a<br />
F<br />
máx<br />
Z<br />
(25)<br />
m<br />
Z<br />
m<br />
U X<br />
1 1<br />
⋅ ⋅<br />
(26)<br />
2 2 p<br />
N S<br />
Fig. 14. Ramas en paralelo en una fase.<br />
13<br />
θ<br />
2a<br />
ramas
Entonces la fmm máxima resulta:<br />
F máx<br />
I b<br />
I<br />
= (27)<br />
2a<br />
Z 1 1 I 1 Z<br />
= ⋅ ⋅ ⋅ = I<br />
(28)<br />
m 2 2 p 2a<br />
8 map<br />
Teniendo en cuenta que cada espira tiene dos conductores, el número de espiras por fase<br />
resulta:<br />
Z<br />
(29)<br />
2m<br />
Definiendo el número de espiras en serie de la fase como el número de espiras en serie que<br />
tiene cada rama de la misma, queda:<br />
Reemplazando este valor en la expresión (28) queda:<br />
N s<br />
F<br />
máx<br />
Z 1<br />
= (30)<br />
2m<br />
2a<br />
N s<br />
= I<br />
(31)<br />
2 p<br />
Expresión general muy usada, que se puede reemplazar en todas la ecuaciones de fmm ya<br />
vistas.<br />
3.6 Caso general de una fmm constante<br />
Muchos de los arrollamientos a anillos empleados en las máquinas de corriente alterna poseen<br />
acortamiento y están distribuidos, en estos casos se combinan ambos efectos y se acostumbra a<br />
definir el denominado factor del arrollamiento o del devanado kw donde la w proviene de<br />
arrollamiento en inglés winding:<br />
k = k ⋅ k<br />
(32)<br />
wν<br />
pν<br />
dν<br />
Teniendo en cuenta todo lo dicho, la fuerza magnetomotriz, correspondiente a la armónica de<br />
orden ν que desarrolla una fase, recorrida por una corriente continua I , se puede escribir como:<br />
F<br />
ν<br />
4 N s ⋅ kwν<br />
1<br />
= ⋅ ⋅ I ⋅cos<br />
ν ⋅θ<br />
π 2 p ν<br />
Frecuentemente al producto se lo denomina número de espiras efectivo N<br />
N ⋅ e :<br />
s wν<br />
k<br />
eν<br />
s wν<br />
s pν<br />
dν<br />
(33)<br />
N = N ⋅ k = N ⋅ k ⋅ k<br />
(34)<br />
Ya que debido al acortamiento y a la distribución, la fase se comporta como si tuviera menor<br />
cantidad de espiras, pero concentradas.<br />
Como en la mayoría de los casos solamente interesa conocer la amplitud de cada una de las<br />
componentes armónicas, se toma el máximo de la ecuación (33) y se lo indica con un ∧ :<br />
ˆ 4 N s ⋅ kwν<br />
1<br />
Fν<br />
= ⋅ I ⋅<br />
π 2 p ν<br />
(35)<br />
14
3.7 Arrollamientos concéntricos<br />
En todos los casos estudiados se supuso que las ranuras son equidistante y que todas las<br />
bobinas producen la misma fmm es decir tienen la misma cantidad de espiras y están recorridas<br />
por la misma corriente. Esto se cumple en la mayoría de los casos, pero hay algunas excepciones,<br />
por ejemplo los arrollamientos concéntricos, como el que se muestra en la figura 15.<br />
Estator<br />
Rotor<br />
N I<br />
b b<br />
N b Ib<br />
N b Ib<br />
F<br />
0<br />
Y 1 > τ p<br />
Y 1 = τ p<br />
Y 1 < τ p<br />
π 2 π<br />
Fig. 15. Arrollamiento concéntrico.<br />
En este ejemplo las bobinas tienen distinto paso Y1 y no se podía aplicar la expresión (13) del<br />
factor de paso. Pero, teniendo en cuenta que la distribución de fmm en el entrehierro depende<br />
exclusivamente de la distribución de las corrientes en el mismo, y no de la forma en que se<br />
interconecten los lados de las bobinas, se puede suponer un arrollamiento equivalente con los<br />
lados de las bobinas en las mismas ranuras, que producirá la misma onda de fmm, pero con todas<br />
las bobinas del mismo paso, como el de las figuras 9 y 10.<br />
Como las formas de onda de fmm que producen estos arrollamientos son iguales, tendrán el<br />
mismo contenido armónico. O sea que el factor de devanado del arrollamiento equivalente de la<br />
figura 10 es directamente aplicable al arrollamiento de la figura 15.<br />
Algunos pocos arrollamientos no cumplen con las premisas anteriores y el análisis de las<br />
ondas de fmm se debe realizar por otro camino; por ejemplo: algunos grandes turboalternadores<br />
tienen rotores cilíndricos con ranuras que no están equiespaciadas o sus bobinas tienen distinta<br />
cantidad de espiras, también los arrollamientos denominados “de q fraccionario” tienen grupos<br />
con distinta cantidad de bobinas y no se puede aplicar la expresión (18).<br />
15<br />
g<br />
F<br />
máx<br />
θ
4 ANÁLISIS DE UNA FUERZA MAGNETOMOTRIZ ALTERNA<br />
Si por un arrollamiento a anillos circula una corriente alterna monofásica, se desarrolla una<br />
fmm cuyo valor depende del valor instantáneo de la corriente y se la denomina alterna. Si en la<br />
expresión (33) se reemplaza la corriente continua por una alterna monofásica de valor:<br />
donde I es el valor eficaz de la corriente alterna, resulta:<br />
y el coeficiente numérico vale:<br />
F<br />
ν<br />
i = 2I<br />
sinω<br />
t<br />
(36)<br />
4 2 N s ⋅ kwν<br />
1<br />
= ⋅ ⋅ I ⋅sinω<br />
t ⋅cosν<br />
⋅θ<br />
π 2 p ν<br />
4<br />
⋅<br />
π<br />
La ecuación (37), de dos variables t y θ , corresponde a una onda estacionaria en el<br />
entrehierro de la máquina. Para una máquina bipolar y considerando solamente la componente<br />
fundamental, esta fmm se la puede representar en función del ángulo y tomando al tiempo como<br />
parámetro, figura 16.<br />
sen ωt<br />
= 0<br />
F<br />
sen ωt<br />
= 1<br />
sen ωt<br />
= -0,5<br />
2<br />
2<br />
=<br />
0,<br />
9<br />
0 π 2π<br />
Fig. 16. Fmm alterna.<br />
sen ωt<br />
= 0,5<br />
En la figura 16 se puede ver que tanto los máximos como los nodos de la onda se producen<br />
siempre en la misma posición del entrehierro, razón por la cual se dice que la onda es<br />
estacionaria.<br />
Muchas veces solamente interesa el valor máximo absoluto, es decir el valor máximo en el<br />
tiempo y en el espacio, que se suele indicar con un doble ∧ :<br />
θ<br />
(37)<br />
(38)<br />
N k<br />
Fˆ<br />
4 2 s ⋅ wν<br />
1<br />
ν =<br />
⋅ ⋅ I<br />
(39)<br />
π 2 p ν<br />
Más adelante se verá que una fmm alterna se puede suponer como la suma de dos fmm<br />
giratorias.<br />
16
5 ANÁLISIS DE UNA FUERZA MAGNETOMOTRIZ GIRATORIA<br />
5.1 Introducción<br />
El 18 de marzo de 1888, el físico Italiano Galileo Ferraris (1847-1897), presentó una nota a la<br />
Academia de Ciencias de Turín, Italia, denominada “Rottazioni Elettrodinamiche Prodote per<br />
Mezzo di Corrente Alternate” donde hacía consideraciones teóricas sobre cómo obtener un<br />
campo magnético giratorio por medio de corrientes bifásicas, explicaba distintas formas de<br />
obtener dichas corrientes, describía dos aparatos que mandó a construir, los resultados de las<br />
experiencias que realizó y lo que las mismas le sugerían acerca de la nueva forma de convertir<br />
energía eléctrica en mecánica. Pero, lamentablemente, no le dio a su desarrollo la trascendencia<br />
que tenía. Como los aparatos electromecánicos por él construidos tenían pequeño rendimiento,<br />
pensó que sus aplicaciones como motor no tendrían lugar en la industria. En la actualidad los<br />
motores basados en este principio son los más utilizados y los que presentan las mejores<br />
perspectivas de utilización para el futuro.<br />
5.2 Análisis gráfico del campo giratorio<br />
Ésta es una forma muy simple de mostrar como el campo magnético producido por la acción<br />
conjunta de tres bobinas, cuyos ejes magnéticos se encuentran a 120 grados, alimentadas por un<br />
sistema trifásico perfecto de corrientes, genera un campo magnético bipolar que rota en el<br />
espacio.<br />
En la figura 17 se han representado tres corrientes de un sistema trifásico perfecto, del que se<br />
tomarán los instantes t1 t2 y t3 separados en un doceavo de período.<br />
i<br />
1<br />
0,866<br />
0,5<br />
0<br />
- 0,5<br />
- 0,866<br />
- 1<br />
T/6<br />
T/4<br />
i<br />
C<br />
t t t<br />
1 2 3<br />
Fig.17. Sistema trifásico.<br />
En las figuras 18, 19 y 20 se muestra un corte de una máquina trifásica elemental, de<br />
entrehierro constante, con tres bobinas iguales dispuestas a 120 grados entre sí. De estas bobinas<br />
se muestran solamente los bornes de entrada y se supone que están conectadas en estrella. En<br />
cada dibujo se muestran las corrientes correspondientes a los instantes t1 t2 y t3 del sistema<br />
trifásico. Se adoptó convencionalmente que una corriente positiva es entrante a la fase.<br />
17<br />
i<br />
i<br />
A<br />
B<br />
t
i = -0,5<br />
C<br />
S<br />
i = 1<br />
A<br />
N<br />
Fig. 18. Corrientes y campo en t1.<br />
i = -0,866<br />
C<br />
∆θ = 60°<br />
i = -1<br />
C<br />
S<br />
i = 0,866<br />
A<br />
N<br />
Fig. 19. Corrientes y campo en t2.<br />
S<br />
i = 0,5<br />
A<br />
N<br />
Fig. 20. Corrientes y campo en t3.<br />
18<br />
i = -0,5<br />
B<br />
i = 0<br />
B<br />
i = 0,5<br />
B
Observando las figuras anteriores se puede apreciar como se genera un campo magnético<br />
bipolar y como al ir cambiando el valor de las corrientes en las bobinas, va cambiando la<br />
dirección de dicho campo magnético.<br />
No obstante lo sencillo del análisis se puede obtener la velocidad de rotación, denominada<br />
velocidad sincrónica o de campo, en radianes geométricos por segundo. En efecto el ángulo<br />
girado entre los instantes final e inicial es de 60° que corresponde a π/3 radianes:<br />
π<br />
∆θ<br />
g = 60°<br />
=<br />
3<br />
2 T T<br />
∆t<br />
= t − t1<br />
= =<br />
3 4 6<br />
∆θ<br />
π<br />
g π<br />
Ω = =<br />
3 2<br />
s<br />
= = 2πf<br />
= ω<br />
∆t<br />
T T<br />
6<br />
3 (40)<br />
Es decir en este caso en que el campo es bipolar, p = 1, su velocidad angular coincide con la<br />
pulsación de la corriente que lo produce.<br />
En el presente texto, y como es costumbre en máquinas eléctricas, se emplean tres tipos de<br />
velocidades angulares:<br />
ω: Velocidad angular eléctrica (o pulsación) en radianes eléctricos por segundo [1/s]<br />
Ω: Velocidad angular geométrica, en radianes geométricos por segundo [1/s].<br />
n; Velocidad angular geométrica, en revoluciones por minuto [rpm].<br />
Las relaciones entre las mismas son:<br />
ω<br />
Ω =<br />
(41)<br />
p<br />
2πn Ω =<br />
(42)<br />
60<br />
Si se modifica la disposición de las bobinas se pueden obtener campos magnéticos con mayor<br />
cantidad de polos, por ejemplo, si las bobinas abarcan la cuarta parte de la circunferencia del<br />
estator, figura 21, resultará un campo tetrapolar.<br />
Fig. 21. Una fase elemental de un arrollamiento tetrapolar.<br />
19<br />
iA
Para tener una idea aproximada del campo magnético resultante es suficiente hacer circular<br />
corriente por una sola fase, quedando como se muestra en la figura 22.<br />
N<br />
iA<br />
S N<br />
Fig. 22. Campo magnético de cuatro polos.<br />
S<br />
∆θ = 90°<br />
Para hallar la velocidad de rotación del campo magnético se puede tomar un intervalo igual a<br />
un semiperíodo; en ese tiempo, y debido a la simetría de media onda, todas las corrientes del<br />
sistema trifásico tendrán el mismo valor instantáneo, pero con sentido opuesto. Entonces donde<br />
había un polo norte habrá un polo sur y viceversa y el ángulo geométrico girado será de 90°.<br />
Resultando:<br />
T<br />
Sí : ∆t<br />
=<br />
2<br />
π<br />
∆θ<br />
g = 90°<br />
=<br />
(43)<br />
2<br />
∆θ<br />
π<br />
g 2 2π<br />
2πf<br />
ω<br />
Ω s = = = = =<br />
∆t<br />
T 2T<br />
2 2<br />
2<br />
O sea que cuando p = 2 el campo giratorio rota con una velocidad angular igual a la mitad de<br />
la pulsación de la corriente que lo está produciendo. A partir de estos dos sencillos ejemplos es<br />
fácil deducir que, en general, se podrá escribir:<br />
Donde:<br />
f: Frecuencia de las corrientes.<br />
p: Número de pares de polos.<br />
ω 2π<br />
f<br />
Ω s = = [rad/s] (44)<br />
p p<br />
En definitiva, tanto esta expresión (44) como la (41) son consecuencia de la relación entre los<br />
ángulos eléctricos y geométricos dada por la ecuación (2).<br />
En el uso cotidiano es muy común emplear las velocidades angulares expresadas en<br />
revoluciones por minuto o rpm, cuya equivalencia es la dada por la ecuación (42), igualando ésta<br />
con la (44) resulta:<br />
20
n s<br />
60 f<br />
= [rpm] (45)<br />
p<br />
Las velocidades sincrónicas más comunes, para 50 y 60 Hz, son las indicadas en la tabla V.<br />
Las máquinas denominadas sincrónicas giran exactamente a estas velocidades, mientras que las<br />
asincrónicas lo hacen a una velocidad ligeramente diferente, en general menor.<br />
Tabla V. Velocidades sincrónicas en rpm.<br />
p f = 50 Hz f = 60 Hz<br />
1 3.000 rpm 3.600 rpm<br />
2 1.500 rpm 1.800 rpm<br />
3 1.000 rpm 1.200 rpm<br />
4 750 rpm 900 rpm<br />
5.3 Análisis cuantitativo del campo giratorio trifásico<br />
A continuación se hace un análisis cuantitativo de una fuerza magnetomotriz giratoria<br />
producida por un sistema trifásico de corrientes.<br />
Cada fase produce una fuerza magnetomotriz alterna, las que se suman en el entrehierro de la<br />
máquina, dando lugar a la fuerza magnetomotriz resultante.<br />
En este análisis se suponen las tres fases iguales, con sus ejes magnéticos a 120º eléctricos<br />
entre sí y recorridas por un sistema trifásico perfecto de corrientes descripto por las ecuaciones<br />
(46).<br />
iA<br />
= 2I<br />
⋅sinω<br />
t<br />
iB<br />
= 2I<br />
⋅sin(<br />
ω t −120)<br />
(46)<br />
i = 2I<br />
⋅sin<br />
ω t + 120<br />
5.3.1 Análisis para la fundamental<br />
C<br />
( )<br />
La componente fundamental de la fuerza magnetomotriz que genera una fase, está dada por la<br />
expresión (37), y tomando ν=1 :<br />
ˆ 1<br />
F = F ⋅sinω<br />
t ⋅cosθ<br />
(47)<br />
1<br />
que corresponde a una onda estacionaria respecto de la fase que la produce y donde:<br />
N k<br />
Fˆ<br />
4 2 s w1<br />
1 = I<br />
(48)<br />
π 2 p<br />
es el valor máximo en el tiempo y en el espacio de dicha onda y el ángulo θ es el ángulo<br />
eléctrico medido desde el eje de la fase correspondiente, como se muestra esquemáticamente en<br />
la figura 23.<br />
Al considerar las tres fases se tendrán tres ángulos: θA θB θC pero como se muestra en la<br />
misma figura 23, las diferencias angulares con las fase A y B son de 120° y 240°<br />
respectivamente, lo que permite tomar como referencia el eje magnético de dicha fase A y utilizar<br />
un ángulo genérico θ medido a partir del eje de esa fase A.<br />
21
θ = θ − 240°<br />
C<br />
C<br />
i<br />
C<br />
P<br />
i<br />
A<br />
A<br />
B<br />
θ = θ − 120°<br />
B<br />
Fig. 23. Esquema de una máquina trifásica.<br />
i<br />
B<br />
θ = θ<br />
A<br />
Teniendo en cuenta lo dicho, las fuerzas magnetomotrices, de fundamental, producidas por las<br />
tres fases se pueden expresar como:<br />
F<br />
F<br />
F<br />
A1<br />
B1<br />
C1<br />
= Fˆ<br />
1 ⋅sinω<br />
t ⋅cosθ<br />
= Fˆ<br />
1 ⋅sin<br />
= Fˆ<br />
⋅sin<br />
1<br />
( ω t −120)<br />
⋅cos(<br />
θ −120)<br />
( ω t + 120)<br />
⋅cos(<br />
θ − 240)<br />
En un punto genérico, como el P de la figura 23, se tendrá la suma de las tres fuerzas<br />
magnetomotrices. Para poder realizar la suma hay que desarrollar las expresiones anteriores<br />
teniendo en cuenta que:<br />
y queda:<br />
[ sin(<br />
α + β ) + ( α β ) ]<br />
(49)<br />
1 sinα ⋅ cos β = 2<br />
sin −<br />
(50)<br />
F<br />
F<br />
F<br />
A1<br />
B1<br />
C1<br />
=<br />
=<br />
=<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
Fˆ<br />
1<br />
Fˆ<br />
1<br />
Fˆ<br />
1<br />
[ sin(<br />
ω t + θ ) + sin(<br />
ω t −θ<br />
) ]<br />
[ sin(<br />
ω t + θ − 240)<br />
+ sin(<br />
ω t −θ<br />
) ]<br />
[ sin(<br />
ω t + θ −120)<br />
+ sin(<br />
ω t −θ<br />
) ]<br />
los tres primeros términos son tres funciones armónicas a 120º una de otra, por lo que sumadas<br />
dan cero y los tres restantes son iguales entre sí. Entonces la suma da:<br />
3<br />
= F + F + F = F ⋅sin(<br />
ω t −θ<br />
(51)<br />
F ˆ<br />
1 A1<br />
B1<br />
C1<br />
2 1 ) (52)<br />
que es la ecuación de una onda de, amplitud constante, que se propaga en el sentido positivo de θ.<br />
Reemplazando el valor máximo por (48), resulta la ecuación siguiente:<br />
3 4 2 N sI<br />
= k 1 ⋅sin(<br />
ω t −θ<br />
2 π 2 p<br />
F1 w<br />
) (53)<br />
El factor numérico de la expresión (53) queda igual a:<br />
22
3 4<br />
2 π<br />
2<br />
2<br />
= 1,<br />
35<br />
Como resulta de la expresión (52), el número 3 que aparece en ésta, y en las (53), (54) y en<br />
otras futuras, es consecuencia de estar analizando un caso trifásico, en general este factor será<br />
igual a m, el número de fases del arrollamiento.<br />
Si se representa la fuerza magnetomotriz resultante, dada por la ecuación (53), para dos<br />
instantes sucesivos, resulta la figura 24:<br />
F<br />
t = 0 t > 0<br />
0<br />
A<br />
Fig. 24. Onda de campo resultante de fundamental.<br />
Para obtener la velocidad de propagación, que en este caso es una velocidad angular, se toma<br />
un punto de fase constante tal como el A A’ de la figura 24:<br />
y haciendo la derivada respecto del tiempo:<br />
de donde:<br />
A'<br />
θ<br />
(54)<br />
ω t −θ = cte<br />
(55)<br />
dθ<br />
ω − = 0<br />
(56)<br />
dt<br />
dθ<br />
ωs = = ω = 2π<br />
f<br />
(57)<br />
dt<br />
Es decir que la velocidad angular del campo, también denominada velocidad sincrónica,<br />
coincide con la pulsación de las corrientes que lo están produciendo.<br />
Estas velocidades angulares están expresadas en radianes eléctricos por segundo y, como ya se<br />
dijo, si se desea expresarlas en radianes geométricos por segundo, hay que dividir por el número<br />
de pares de polos p de fundamental que desarrolla el bobinado. Para distinguirlas se utiliza la<br />
letra omega mayúscula Ω:<br />
ωs 2π<br />
f<br />
Ω s = =<br />
(58)<br />
p p<br />
Ecuación coincidente con la (44) obtenida anteriormente y a través de un análisis más<br />
fenomenológico.<br />
5.3.2 Análisis para el tercer amónico<br />
Las ondas de fuerza magnetomotriz que produce cada una de las fases de un arrollamiento,<br />
nunca son perfectamente sinusoidales, por lo tanto si se hace el análisis de Fourier de las mismas<br />
aparecerán armónicos espaciales en el entrehierro de la máquina. Estos armónicos de fmm son de<br />
amplitud bastante reducida y desarrollan un múltiplo de los polos que desarrolla la fundamental.<br />
23
Como en la mayoría de los casos estas ondas de fmm poseen simetría de media onda,<br />
solamente poseen armónicos impares.<br />
Si se consideran los terceros armónicos de fmm que cada una de las fases produce, y que<br />
desarrollan el triple de polos que la fundamental y además que un ángulo θ equivale a un ángulo<br />
υ⋅θ para el armónico de orden υ :<br />
resulta:<br />
donde:<br />
y como:<br />
F<br />
F<br />
F<br />
A3<br />
B3<br />
C3<br />
θ ν<br />
= Fˆ<br />
3 ⋅sinωt<br />
⋅cos3θ<br />
= Fˆ<br />
3 ⋅sin<br />
= Fˆ<br />
⋅sin<br />
3<br />
Fˆ<br />
3<br />
= ν ⋅θ<br />
(59)<br />
( ωt<br />
−120)<br />
⋅cos3(<br />
θ −120)<br />
( ωt<br />
+ 120)<br />
⋅cos3(<br />
θ − 240)<br />
(60)<br />
4 2 s w3<br />
2 3<br />
k N I<br />
= (61)<br />
π p<br />
3(<br />
θ −120)<br />
= cos3(<br />
θ − 240)<br />
( ωt<br />
−120)<br />
+ sin(<br />
t + 120)<br />
= 0<br />
cos3θ<br />
= cos<br />
sinωt<br />
+ sin<br />
ω<br />
la suma de las tres fuerzas magnetomotrices da cero. Es decir que los componentes de tercer<br />
armónico que cada fase produce, en los sistemas trifásicos, se cancelan entre sí y no dan lugar a<br />
ningún campo magnético resultante.<br />
5.3.3 Análisis para el quinto armónico<br />
3 = F<br />
Si se consideran los quintos armónicos de las fuerzas magnetomotrices de cada fase, que<br />
desarrollan cinco veces los polos de la fundamental resulta:<br />
F<br />
F<br />
F<br />
A5<br />
B5<br />
C5<br />
0<br />
= Fˆ<br />
5 ⋅sinωt<br />
⋅cos5θ<br />
= Fˆ<br />
5 ⋅sin<br />
= Fˆ<br />
⋅sin<br />
5<br />
( ωt<br />
−120)<br />
⋅cos5(<br />
θ −120)<br />
( ωt<br />
+ 120)<br />
⋅cos5(<br />
θ − 240)<br />
donde F<br />
5 es semejante a las anteriores. Para realizar la suma hay que desarrollar los productos<br />
ˆ<br />
sinα ⋅ cosβ<br />
:<br />
y la suma resulta:<br />
y la velocidad de rotación:<br />
F<br />
F<br />
F<br />
F<br />
A5<br />
B5<br />
C5<br />
5<br />
=<br />
=<br />
=<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
Fˆ<br />
Fˆ<br />
Fˆ<br />
5<br />
5<br />
5<br />
[ sin(<br />
ωt<br />
+ 5θ<br />
) + sin(<br />
ωt<br />
− 5θ<br />
) ]<br />
[ sin(<br />
ωt<br />
+ 5θ<br />
) + sin(<br />
ωt<br />
− 5θ<br />
+ 120)<br />
]<br />
[ sin(<br />
ωt<br />
+ 5θ<br />
) + sin(<br />
ωt<br />
− 5θ<br />
−120)<br />
]<br />
(63)<br />
(62)<br />
(64)<br />
(65)<br />
3 4 2 N s I kw5<br />
= sin(<br />
ωt<br />
+ 5θ<br />
) (66)<br />
2 π 2 p 5<br />
24
de donde:<br />
ωt + 5 θ = cte<br />
(67)<br />
dθ<br />
ω + 5 = 0<br />
(68)<br />
dt<br />
dθ<br />
ω 2πf<br />
ωs5 = = − = −<br />
(69)<br />
dt 5 5<br />
Es decir que los quintos armónicos de las fuerzas magnetomotrices de fase, desarrollan un<br />
campo con cinco veces los polos de la fundamental, que gira en sentido contrario, (inverso) y a<br />
un quinto de la velocidad del mismo.<br />
5.3.4 Análisis para los armónicos pares<br />
Si bien la mayoría de las veces las fases de las máquinas eléctricas producen ondas de fuerza<br />
magnetomotriz con simetría de media onda, las que no poseen armónicos pares; en algunos casos,<br />
como ser arrollamientos de q fraccionario, motores en los que se cambia la velocidad por<br />
modulación del número de polos (PAM: Pole Amplitude Modulation) o en presencia de algunas<br />
fallas del bobinado, se pueden producir ondas de fuerza magnetomotriz asimétricas, que poseen<br />
armónicos pares, los que pueden dar lugar a campos magnéticos giratorios. Por ejemplo en el<br />
caso que las fases produzcan segundos armónicos, resulta:<br />
F<br />
F<br />
F<br />
A2<br />
B2<br />
C 2<br />
= Fˆ<br />
2 ⋅sinωt<br />
⋅ cos 2θ<br />
= Fˆ<br />
2 ⋅sin<br />
= Fˆ<br />
⋅sin<br />
2<br />
( ωt<br />
−120)<br />
⋅ cos 2(<br />
θ −120)<br />
( ωt<br />
+ 120)<br />
⋅ cos 2(<br />
θ − 240)<br />
donde F<br />
2 es semejante a las anteriores. Desarrollando los productos<br />
ˆ sinα ⋅ cosβ<br />
:<br />
y la suma resulta:<br />
con una velocidad de rotación:<br />
F<br />
F<br />
F<br />
F<br />
A2<br />
B2<br />
C 2<br />
2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
Fˆ<br />
Fˆ<br />
Fˆ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
[ sin(<br />
ωt<br />
+ 2θ<br />
) + sin(<br />
ωt<br />
− 2θ<br />
) ]<br />
[ sin(<br />
ωt<br />
+ 2θ<br />
) + sin(<br />
ωt<br />
− 2θ<br />
+ 120)<br />
]<br />
[ sin(<br />
ωt<br />
+ 2θ<br />
) + sin(<br />
ωt<br />
− 2θ<br />
−120)<br />
]<br />
(71)<br />
(70)<br />
3 4 2 N s I kw2<br />
= sin(<br />
ωt<br />
+ 2θ<br />
) (72)<br />
2 π 2 p 2<br />
dθ<br />
ω 2πf<br />
ωs 2 = = − = −<br />
(73)<br />
dt 2 2<br />
Es decir que los segundos armónicos de las fuerzas magnetomotrices de fase, desarrollan un<br />
campo que gira en sentido contrario al de la fundamental, (de igual manera que los quintos) y a la<br />
mitad de la velocidad del mismo.<br />
5.3.5 Resumen de los campos armónicos trifásicos<br />
Procediendo en forma análoga con los otros armónicos se llega a que las velocidades<br />
sincrónicas, en radianes eléctricos por segundo valen:<br />
ω<br />
s = ±<br />
(74)<br />
ν<br />
ω ν<br />
25
Donde el signo más corresponde a los armónicos de giro directo, como el de la fundamental,<br />
el signo menos a los de giro inverso y, además, los de características homopolares se cancelan.<br />
En la Tabla VI se indican los sentidos de giro de cada una de las fmm armónicas. Como los más<br />
importantes son los de orden impar, a éstos se los ha indicado en negrita.<br />
Tabla VI: Giro de los campos armónicos trifásicos.<br />
Giro Armónica<br />
Directo 1 4 7 . . .<br />
Inverso 2 5 8 . . .<br />
Se cancelan 3 6 9 . . .<br />
Si se desea expresar las velocidades sincrónicas armónicas en radianes geométricos por<br />
segundo, se puede usar la relación (58), resultando<br />
ω ν<br />
s 2π<br />
f<br />
Ω sν<br />
= = ± [rad/s] (75)<br />
p pν<br />
y si se desea expresarla en revoluciones por minuto, se puede usar la relación (4):<br />
n<br />
sν<br />
60Ω<br />
sν<br />
60 f<br />
= = ± [rpm] (76)<br />
2π<br />
pν<br />
En las expresiones (75) y (76) p y f son, respectivamente, el número de pares de polos y la<br />
frecuencia correspondientes a la fundamental.<br />
De las ecuaciones anteriores resulta que la amplitud de cada componente es constante y se<br />
desplaza a velocidad constante respecto del arrollamiento, pero debido a las distintas velocidades<br />
y sentidos de desplazamiento el campo resultante cambia ligeramente de forma y de amplitud a<br />
medida que va rotando.<br />
26
6 TEOREMA DE LEBLANC<br />
El teorema de Leblanc establece que “una fmm alterna se puede suponer como la suma de dos<br />
fmm giratorias, de amplitud igual a la mitad del máximo de la fmm alterna, que rotan a la<br />
velocidad sincrónica y en sentidos opuestos”.<br />
Esto se puede demostrar muy fácilmente tomando la componente fundamental de una fmm<br />
alterna como la dada por la expresión (47) y desarrollando el sinα⋅conβ con la (50):<br />
lo que da lugar a:<br />
ˆ 1<br />
F = F ⋅sinω<br />
t ⋅cosθ<br />
(77)<br />
1<br />
Fˆ<br />
1<br />
Fˆ<br />
1<br />
− +<br />
F1 = ⋅sin(<br />
ω t + θ ) + ⋅sin(<br />
ω t −θ<br />
) = F1<br />
+ F1<br />
(78)<br />
2<br />
2<br />
que son dos ecuaciones de onda, una progresiva y la otra regresiva, es decir que se desplazan en<br />
el entrehierro en sentidos opuestos y a velocidad sincrónica.<br />
Lo anterior se puede mostrar gráficamente suponiendo que las fmm son vectores en el espacio.<br />
En efecto, como la fundamental y cada una de las armónicas de fmm están sinusoidalmente<br />
distribuidas en el entrehierro, se las puede representar por vectores en la dirección y con el<br />
sentido de sus máximos y módulos igual a esos respectivos máximos.<br />
En la figura 25 se muestran, en sucesivos instantes, dos fmm representadas por los vectores<br />
F + y F - que rotan en sentidos opuestos, a velocidad sincrónica ω y como la suma de ambos, es<br />
un vector F que tiene siempre la misma dirección y su módulo pulsa, es decir se trata de una<br />
fmm alterna.<br />
F<br />
-<br />
F F<br />
+<br />
ω ω<br />
F<br />
-<br />
F<br />
ω<br />
F<br />
+<br />
-<br />
F<br />
F = 0<br />
ω<br />
ω ω<br />
F<br />
+<br />
-<br />
F ω ω F<br />
+<br />
Fig. 25. Teorema de Leblanc.<br />
Si se consideran las componentes armónicas de la fmm alterna, también se tendrán dos<br />
campos giratorios opuestos, rotando a velocidades submúltiplos y generando ν polos. Por<br />
ejemplo el quinto armónico de la fmm alterna dará lugar a:<br />
Fˆ<br />
5<br />
Fˆ<br />
5<br />
− +<br />
F5 = ⋅sin(<br />
ω t + 5θ<br />
) + ⋅sin(<br />
ω t − 5θ<br />
) = F5<br />
+ F5<br />
(79)<br />
2<br />
2<br />
En este caso no hay campos rotantes que se cancelen, ya que tienen que dar lugar a todas las<br />
componentes armónicas que posee la fmm alterna.<br />
Como se verá más adelante el teorema de Leblanc es muy útil para interpretar<br />
fenomenológicamente lo que ocurre en presencia de campos magnéticos alternos.<br />
27<br />
F
6 BIBLIOGRAFÍA<br />
Manuel Cortés Cherta:<br />
“Curso Moderno de Máquinas Eléctricas Rotativas” Tomo I “La<br />
Máquina<br />
Eléctrica en General” Editores Técnicos Asociados S. A. 1970.<br />
28