Apuntes de Mecánica - Grupo de Mecánica Computacional

Aptdo. 11.4. Métodos para la obtención de modos y frecuencias propias 11.25
Buscaremos una solución particular del tipo {q} = {D}e iαt , para lo que
sustituimos esta expresión en (11.10) obteniendo
(−α 2 [M] + iα[C] + [K]){D} = {F} (11.62)
Esta ecuación lineal se resuelve mediante la regla de Cramer, obteniendo los
elementos del vector solución {D} como:
Dj = detj(α)
det(α)
donde det(α) = | − α 2 [M] + iα[C] + [K]|, y detj(α) es el determinante de
la matriz de coeficientes anterior en la que se ha sustituido la columna jésima
por el término independiente {F}. No hace falta repetir que, de estas
expresiones complejas, al final se considerará sólo la parte real.
Los valores de la frecuencia de excitación α que hacen mínimo el denominador,
det(α), son los que producen resonancia en el sistema. Debido al
amortiguamiento, aquí la amplitud de oscilación no tiende a infinito, sino
que se mantiene acotada, aunque con valores elevados que pueden provocar
la pérdida de linealidad o incluso la rotura del sistema.
Si el amortiguamiento es suficientemente pequeño, como suele ocurrir
en numerosas aplicaciones prácticas, las frecuencias de resonancia tienen un
valor aproximadamente igual a las frecuencias propias sin amortiguamiento
ωk. A menudo será válido también el considerar de forma aproximada que
el régimen permanente es el que sale de la solución particular a la ecuación
sin amortiguamiento (11.60). Esto equivaldría a considerar que existe un
pequeño amortiguamiento (inevitable), pero que para el cálculo de régimen
permanente se puede despreciar el valor del mismo, lo que suele ser una
aproximación válida en numerosos casos prácticos.
11.4. Métodos para la obtención de modos y
frecuencias propias
En sistemas con pocos grados de libertad (2 ó 3) la obtención de frecuencias
propias y modos normales de vibración se puede realizar manualmente,
resolviendo la ecuación característica y el problema de autovalores asociado.
Para casos con mayor número de grados de libertad existen otros procedimientos,
susceptibles de tratamiento numérico y resolución en el ordenador.
Expondremos aquí un método basado en la “deflacción” de matrices (Método
de Stodola), aplicable a casos con un número moderado de grados de libertad.
Para los casos con un elevado número de grados de libertad, existen procedimientos
más eficaces, como los métodos de iteración por subespacios o el
método de Lanczos, que pueden consultarse en la bibliografía de métodos