Apuntes de Mecánica - Grupo de Mecánica Computacional

Aptdo. 11.2. Oscilaciones Libres 11.19
por otra parte, la derivada de (11.41) es
{ ˙q} = −
Bk{ak}ωk sen(ωkt − δk)
particularizando ambas en t = 0,
k
{q0} =
Bk{ak} cos δk
k
{ ˙q0} =
Bkωk{ak} sen δk
premultiplicando por {al} T [M] identificamos los coeficientes:
BlMl cos δl = {al} T [M]{q0}
BlωlMl sen δl = {al} T [M]{ ˙q0}
k
(l no sumado)
Sustituyendo en (11.51) podremos expresar la solución directamente en función
de las condiciones iniciales como
{q} =
n
1
Mk
k=1
{ak} T
[M] {q0} cos ωkt + 1
{ ˙q0} sen ωkt {ak} (11.52)
ωk
Ejemplo 11.3: Demostrar que un sistema sometido a un desplazamiento
inicial proporcional a un modo de vibración, partiendo del reposo, desarrolla
un movimiento de oscilación pura en que sólo se excita ese modo de vibración.
En efecto, sea {q0} = {ap}, { ˙q0} = {0}. Los coeficientes entre corchetes
del sumatorio (11.52) serán
[ · ]k = {ak}[M]{ap} cos ωkt = Mkδkp cos ωkt.
Por tanto, el movimiento resultante será
{q} =
n
1
Mk
k=1
Mkδkp cos ωkt{ak} = cos ωpt{ap}.
11.2.6. Oscilaciones libres con amortiguamiento
Se considera ahora el caso más general de vibraciones libres en las que
puedan existir fuerzas de amortiguamiento, dependientes de la velocidad. La
ecuación del movimiento es (11.9):
[M]{¨q} + [C]{ ˙q} + [K]{q} = {0}
Buscamos la solución mediante funciones del tipo
{q} = C{b}e iωt