Apuntes de Mecánica - Grupo de Mecánica Computacional

Aptdo. 11.2. Oscilaciones Libres 11.11
3. Los autovalores son positivos: λk > 0.
Se parte de la igualdad (11.25),
[K]{ak} = λk[M]{ak}. (11.28)
Pre-multiplicando por {ak} T y despejando λk, se obtiene
λk = {ak} T [K]{ak}
{ak} T . (11.29)
[M]{ak}
Tanto el numerador como el denominador en esta expresión son estrictamente
positivos, al ser definidas positivas las matrices [K] y [M]
respectivamente. Por tanto, λk > 0, como queríamos demostrar.
Si algún autovalor fuera negativo, λk < 0, la frecuencia propia asociada
sería imaginaria, ωk = ± √ λk = ±(a + ib), y sustituyendo en la
solución (11.17) se obtendría una exponencial real creciente, no acotada,
que indicaría un equilibrio inestable e invalidaría la hipótesis hecha
de pequeñas oscilaciones. Esto podría ocurrir en el caso en que no se
tuviese un mínimo del potencial, en cuyo caso los coeficientes [K] podrían
no ser definidos positivos. Este razonamiento prueba que para
la estabilidad del movimiento se requiere la condición de mínimo del
potencial.
4. Ortogonalidad:
Dos modos de vibración {ak} y {al}, correspondientes a autovalores
distintos λk = λl, son ortogonales respecto a la matriz de masa [M]:
{ak} T [M]{al} = 0 (11.30)
La expresión anterior se puede interpretar como la anulación del producto
interior de los vectores {ak} y {al}, en la métrica definida por
[M].
En efecto, debe cumplirse:
λk[M]{ak} = [K]{ak}
λl[M]{al} = [K]{al}
Premultiplicando la primera igualdad por {al} T , la segunda por {ak} T y
restando ambas entre sí, gracias a la simetría de [M] y de [K] obtenemos
(λk − λl){ak} T [M]{al} = 0 (11.31)
Al ser λk = λl queda demostrada la ortogonalidad.