capitulo 1 coordenadas generalizadas y grados de libertad

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10 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Armaduras Planas pero los conceptos que se van a dar son generales y se aplican a cualquier tipo de estructura. Por ejemplo la forma como se realiza el ensamblaje directo para encontrar la matriz de rigidez en Pórticos Planos es la misma que para Estructuras Espaciales. Claro está que para cada caso se deben definir la respectiva matriz de rigidez del elemento y los correspondientes grados de libertad. 1.3.2 Pórticos planos con elementos flexibles Se inicia el estudio calculando el número de grados de libertad de un pórtico plano compuesto por elementos lineales que son totalmente flexibles, que no tienen restricción para deformarse a los cuales se les ha identificado con las letra A o , I o . La configuración del sistema vendrá dada por la posición de las juntas. Por consiguiente, la definición del número de grados de libertad no es la general enunciada en mecánica, sino una particular limitada a describir la posición de las juntas. En consecuencia, el número de grados de libertad es el mínimo número de coordenadas que es preciso determinar para definir la posición de las juntas o nudos. Para obtener el número de grados de libertad de una estructura primero se debe dibujar una deformada lo más general posible. Por ejemplo, para el pórtico plano de la figura 1.14.1, primero se identifica la posición inicial de los nudos con letras. Ahora por efecto de cualquier sistema de cargas presentará una deformada como la que se indica en la figura 1.14.2, en la cual a la posición final del nudo se los ha identificado con la misma letra pero con un índice. Nótese en esta deformada que el ángulo del nudo B se mantiene de la misma dimensión, es decir la rotación q3 en el nudo B de la columna AB es igual a la rotación q3 de la viga BC; lo propio sucede en el nudo C. Se considera que la junta o nudo se desplaza y gira en el plano. En resumen para definir la posición de las juntas A, B, C y D del pórtico plano de la figura 1.14.1 se requieren seis coordenadas generalizadas que están indicadas en la figura 1.14.2 a las cuales se las ha identificado con la letra q . El significado de cada variable se indica a continuación. q1 q2 q3 q4 q5 q6 Figura 1.14.1 Pórtico plano con elementos Figura 1.14.2 Deformada general totalmente flexibles. Componente de desplazamiento horizontal de la junta B. Componente de desplazamiento vertical de la junta B. Rotación de la junta B. Componente de desplazamiento horizontal de la junta C. Componente de desplazamiento vertical de la junta C. Rotación de la junta C. Por lo tanto la descripción estructural está limitada en el presente capítulo, a definir la posición de las juntas.
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Para calcular el número de grados de libertad de un pórtico plano cuyos miembros son totalmente flexibles, se puede utilizar la siguiente fórmula. ( NDJ ) V NGL NDJ E ∗ − = ) ( 3 donde NGL es el número de grados de libertad de la estructura, NDJ es el número de juntas totales, ( NDJ ) E es el número de juntas externas, V es igual a 1 si el vínculo es un rodillo, V es igual a 2 si es una articulación y V es igual a 3 si se trata de un empotramiento. Para el pórtico plano de la figura 1.14.1, se tiene: NGL = 3 (4) – (2) 3 = 12 – 6 = 6 De acuerdo con esta definición el pórtico plano de la figura 1.15, constituido por dos miembros y tres juntas, tendría tres grados de libertad, pero esto no quiere decir que su solución sea más sencilla que en el caso de la otra elección con más miembros como en la figura 1.14.1. En consecuencia el número de grados de libertad no es un parámetro del grado de complicación para la solución de una estructura, si bien un marco plano puede calcularse con un número alto de grados de libertad esto implicará mayor cantidad de memoria de computador pero la solución es sencilla. Al definir este marco plano con miembros especiales (subestructuras) se tendrá un menor número de grados de libertad y por ende menor cantidad de memoria pero la solución es más complicada. Figura 1.15 Estructura especial constituida por dos miembros 1.3.3 Pórtico plano con elementos axialmente rígidos Se define como un miembro axialmente rígido o longitudinalmente rígido a aquel que no cambia de longitud luego de que se ha aplicado un sistema de cargas. Se representa a los miembros axialmente rígidos de la siguiente manera: A = ∞ . Como ejemplo, se analiza el pórtico de la figura 1.16.1, cuyas columnas son totalmente flexibles y cuya viga es axialmente rígida. Por efecto de un sistema cualquiera de cargas, este pórtico se va a deformar como se indica en la figura 1.16.2. Nótese que si el nudo B se desplaza horizontalmente q1, el nudo C también tiene que desplazarse horizontalmente q1, puesto que la viga BC no va a cambiar su longitud por ser axialmente rígida. En consecuencia el pórtico de la figura 1.16.1, tiene 5 grados de libertad. 11 ( 1.1 )
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