fuerzas. Dinámica - Departamento de Física y Química. IES ISLA ...

IES Isla Verde 

Las fuerzas. Dinámica. Fuerzas gravitatorias y eléctricas 

1. DEFINICIÓN DE FUERZA COMO INTERACCIÓN ENTRE DOS CUERPOS. 

FUERZA ES UNA MAGNITUD FÍSICA VECTORIAL QUE SURGE CUANDO DOS OBJETOS 

INTERACCIONAN, YA SEA “POR CONTACTO” O “A DISTANCIA”. 

LAS FUERZAS SE PONEN DE RELIEVE POR PRODUCIR CAMBIOS EN LA VELOCIDAD DE LOS 

CUERPOS, INCLUYENDO CAMBIOS EN LA DIRECCIÓN DEL MOVIMIENTO, O BIEN POR 

PRODUCIR DEFORMACIONES. 

• Es muy importante aclarar desde ahora que según la definición física de fuerza, los 

cuerpos no TIENEN FUERZA, sólo LA EJERCEN (o la RECIBEN). 

En este tema desarrollaremos otra idea que se presta a confusión, es la idea de Fuerza 

(o de interacción), que como otras, apenas se corresponde con lo que en el lenguaje 

coloquial se entiende. Así por ejemplo, expresiones como “hay que tener mucha 

fuerza de voluntad” o esta otra “a la gaseosa se le ha ido la fuerza”, son expresiones 

corrientes del lenguaje cotidiano, pero no se corresponden con la idea de 

INTERACCIÓN, que es crucial en física. Te estarás dando cuenta de que en la Ciencia 

el lenguaje tiene un uso ESPECÍFICO, es decir, se usa para nombrar conceptos de 

forma precisa, mientras que el lenguaje literario e incluso el lenguaje cotidiano está 

lleno de CONNOTACIONES, o distintos matices en el significado de las palabras, lo cual 

enriquece el lenguaje, pero dificulta la comunicación clara entre los científicos. 

Por ejemplo, EL PESO ES UNA FUERZA producida por la INTERACCIÓN entre cualquier 

objeto y el planeta Tierra. Es una FUERZA porque produce un cambio en la velocidad 

de un cuerpo: por ejemplo, si soltamos un cuerpo, su velocidad aumenta, o si lo 

lanzamos hacia arriba, su velocidad disminuye. Si lo lanzamos de manera inclinada, su 

trayectoria es una curva, cambiando constantemente la dirección del movimiento 

debido al peso. El peso puede producir también la deformación de algunos objetos, 

por ejemplo si colgamos un muñeco de un muelle. Es además una fuerza A DISTANCIA, 

porque la Tierra atrae a los objetos sin tocarlos, y hace que caigan. Los objetos no 

TIENEN peso V-TIENEN MASA-, sino que RECIBEN esta fuerza. 

La unidad de fuerza en el sistema internacional de unidades se llama NEWTON (N). El 

nombre de esta unidad se debe al famoso científico SIR ISAAC NEWTON, quien 

desarrolló los pilares de la física clásica a partir de su publicación PRINCIPA 

MATHEMATICA. 

“Se necesitan aproximadamente 10 Newton (9,8 N) de fuerza para levantar un objeto 

de 1 kilogramo”. 

Aunque podríamos nombrar otras miles de fuerzas distintas, cualquier fuerza que 

conozcamos corresponde a una de las cuatro fuerzas fundamentales del universo: 

• La fuerza GRAVITATORIA, que es la responsable, por ejemplo, del PESO de los 

cuerpos o del movimiento circular de los planetas. Es la fuerza de atracción de los 

objetos debido a su masa. Tiene largo alcance y se pone de manifiesto cuando las 

masas son muy grandes, del orden de masas planetarias. 

• La fuerza ELECTROMAGNÉTICA, que aparece en las uniones entre átomos para 

formar las moléculas, y entre unas moléculas y otras para formar sólidos y líquidos. 

Referida a la atracción y repulsión de cargas, y al magnetismo que se produce en las 

cargas en movimiento. También intervienen en el contacto de objetos, por lo que son 

las culpables de que no podamos atravesar las paredes. Tiene corto-medio alcance. 

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• Las fuerzas NUCLEARES FUERTES, que mantienen unidas las partículas que constituyen 

los núcleos atómicos (protones y neutrones por ejemplo). Estas fuerzas son las 

responsables de las explosiones atómicas y de la energía nuclear. Es la fuerza más 

fuerte que existe en el universo. Tiene corto alcance. 

• Las fuerzas NUCLEARES DÉBILES que provocan la desintegración radiactiva de ciertos 

átomos inestables transformando unas partículas en otras. Ciertas sustancias como el 

Uranio, Polonio, Plutonio, etc. Son inestables ya que emiten partículas que componen 

su núcleo. 

Estas cuatro fuerzas actúan siempre “a distancia”, sólo que algunas de ellas actúan a 

distancias muy cortas (como las fuerzas nucleares, que actúan a menos de la 

millonésima parte de la millonésima parte de un metro) y otras a distancias muy largas 

(como la fuerza gravitatoria, que puede actuar a miles y millones de años‐luz). De 

hecho, las fuerzas que llamamos “por contacto” no son tales en realidad, por ejemplo, 

cuando tú sujetas algo con la mano, los electrones (cargados negativamente) de tu 

mano se repelen con los electrones del objeto (cargas iguales se repelen) a una 

distancia muy corta (una mil millonésima de metro o menos). Los científicos han 

necesitado siglos de estudio para llegar a la conclusión de que sólo hay cuatro fuerzas 

en el universo. Aún así, algunos científicos se esfuerzan en encontrar una TEORÍA DE LA 

UNIFICACIÓN para demostrar que todas las fuerzas se reducen a una sola .Como ya se 

unificaron en su día las fuerzas eléctricas y magnéticas. 

1. Dibuja las fuerzas que actúan sobre un objeto situado sobre una mesa. En otro 

esquema distinto, dibuja las que ese objeto ejerce. 

2. Si las fuerzas en la naturaleza aparecen siempre a pares, ¿cómo es posible que un 

cuerpo pueda comenzar a moverse? 

2. OPERACIONES CON FUERZAS. COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS. 

Dado el carácter vectorial de las fuerzas, trabajaremos con vectores, y operaremos 

con ellos tal como hemos tratado en el tema introductorio sobre cálculo vectorial. 

Al sumar dos vectores habrá que tener en cuenta no sólo su módulo, sino también la 

dirección y sentido de cada uno de ellos. 

Un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo puede sustituirse por otra (llamada 

fuerza resultante o fuerza neta) y que produce el mismo efecto que las fuerzas a las 

que sustituye. La fuerza resultante es la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre 

un cuerpo. 

a) VECTORES CON LA MISMA DIRECCIÓN: 

Si las fuerzas tienen el mismo sentido, el módulo de la suma coincide con la suma de 

los módulos, pero si tienen sentidos contrarios, hay que hacer la diferencia de los 

módulos. La dirección del vector suma será la misma que la de los dos vectores y su 

sentido será el de la fuerza de mayor módulo. 

F1 

F2 F1 F2 

 

= 1+ 2 = 1+ 2 

= − = + 

2


b) VECTORES PERPENDICULARES: 


En este caso se forma un triángulo rectángulo entre los dos vectores y el vector suma 

tendrá de módulo el determinado por el 

teorema de Pitágoras: 

S=√ 2 +B 2 

La dirección y sentido de la RESULTANTE se ve 

en el gráfico, aunque es posible calcular el 

ángulo que forma el vector suma con 

cualquiera de los dos vectores sumados, 

haciendo uso de de la TRIGONOMETRÍA. Necesitamos en primer lugar la definición de 

las dos funciones trigonométricas principales, seno y coseno: 

3. Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas perpendiculares entre sí, cuyos módulos son, 

respectivamente, 10 y 15 N. Determina gráfica y analíticamente el módulo de la 

resultante. 

4. Sobre un objeto actúan simultáneamente dos fuerzas de la misma dirección y sentido, 

de 25 y 35 N respectivamente, produciendo un cambio en su velocidad. ¿Se produciría 

el mismo cambio en la velocidad si actuara solamente una fuerza de 60 N de la misma 

dirección y sentido que las dos anteriores? 

c) CUANDO LOS VECTORES FORMAN UN ÁNGULO CUALQUIERA: 

Antes de sumar vectores que forman cualquier ángulo es necesario DESCOMPONERLOS 

en los dos ejes de coordenadas. 

CUALQUIER vector podrá expresarse SIEMPRE como suma de otros dos vectores 

perpendiculares entre sí y coincidentes con los ejes x e y. 

= + 

b = a · cos α 

c = a · sen α 

Observa que para la componente horizontal (eje x) b 

utilizamos la función coseno porque se trata del cateto 

contiguo al ángulo alfa (α) mientras que para la 

componente vertical (eje y) c utilizamos la función seno 

porque se trata del cateto opuesto, si lo trasladamos a la derecha del dibujo. 

A la inversa: si conocemos las componentes de un vector, podemos representarlo en 

un sistema de ejes, y calcular el módulo del vector mediante el teorema de Pitágoras, 

ya que el vector es la hipotenusa de un triángulo rectángulo: 

a 2 = b 2 + c 2 

Las componentes se pueden expresar mediante una pareja de números entre 

paréntesis que indican las coordenadas del punto extremo de ese vector. Por ejemplo, 

el vector (1,2) tiene un módulo de: 

a =√1 2 +2 2 = √5 

Observa que el módulo de un vector se escribe con la misma letra, pero sin flechita 

encima. 

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5. Una balsa de madera es remolcada a lo largo de un canal por dos caballos que tiran 

de ella mediante cuerdas perpendiculares entre sí. Cada caballo camina por una orilla. 

Suponiendo que los dos ejercen la misma fuerza y que el rozamiento de la balsa con el 

agua es de 70 N, determina la fuerza con que deberá tirar cada uno para que la barca 

se mueva con movimiento uniforme. 

6. Determina el módulo, dirección y sentido de la resultante de sumar dos fuerzas F1 

(módulo 10 N, dirección 45º), F2 (módulo 6 N, dirección eje +Y). 

7. Dos tractores arrastran un enorme tronco de árbol. Uno de ellos tira con una fuerza de 

2000 N formando un ángulo de 20° a la izquierda de la dirección de avance del tronco 

(eje OX). ¿Con qué ángulo deberá tirar el otro tractor, que ejerce una fuerza de 1800 N, 

para que las componentes laterales (eje OY) se anulen y el tronco avance en línea 

recta? Determina la componente de la fuerza resultante en la dirección de avance del 

tronco. 

8. Obtener las componentes de cada uno de los vectores 

representados en la figura si se sabe que los módulos de los 

vectores a, b y c son respectivamente, 14, 10 y 16 N. 

Obtener las componentes y el módulo del vector 

resultante. 

3.MEDICIÓN DE LAS FUERZAS. FUERZAS VARIABLES. 

Como todas las magnitudes, la fuerza puede medirse. La forma más sencilla es medir 

la DEFORMACIÓN que produce en un objeto, como por ejemplo un muelle, lo cual es 

el fundamento de un instrumento denominado DINAMÓMETRO. El dinamómetro se rige 

por la ley de Hooke. 

Robert Hooke afirmó que la deformación de un material es directamente proporcional 

a la fuerza ejercida sobre él. La deformación es la diferencia entre el tamaño normal 

del objeto y el tamaño del objeto deformado. Es decir, si aplicamos una fuerza a un 

objeto elástico, como una gomilla del pelo, se deforma (se alarga) por ejemplo 1 

centímetro. Si aplicamos doble fuerza, la deformación será doble, siempre y cuando 

no excedamos el LÍMITE DE ELASTICIDAD. Si superamos dicho límite, la gomilla se 

deforma permanentemente y, o bien se rompe, o bien se queda estirada y no regresa 

a su tamaño original. También es una deformación la COMPRESIÓN, por ejemplo 

cuando presionamos una goma de borrar. 

Para expresar matemáticamente esta ley, 

supongamos un muelle se desplaza ∆x, es el 

alargamiento o acortamiento producido, y como 

éste es proporcional a la fuerza, debe existir un 

número k llamado CONSTANTE DE ELÁSTICIDAD, 

que es la constante de proporcionalidad y 

relacionada con la naturaleza del material 

elástico, de modo que: 

elástica= -K · ∆x ; K se mide en N/m 

Nótese que una es la fuerza con la que el objeto 

estira o comprime el cuerpo elástico, y otra la 

fuerza elástica en sí, que tiene sentido opuesto. ∆x tiene sentido opuesto a la fuerza 

elástica, de ahí el signo negativo de la expresión. 

X 

X0 

∆X 

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9. Determina el valor de la fuerza necesaria para comprimir 2 mm una goma de borrar, si 

la constante elástica es 100 N/cm. CUIDADO CON LAS UNIDADES. Determina cuánto se 

comprime la goma si ejercemos una fuerza de 5 Newton. 

10. Cuando un coche está cargado con 25 kilogramos, su altura es 25 cm. Si lo cargamos 

con 75 kilogramos, su altura desciende a 20 cm. ¿Cuál es la constante elástica de los 

amortiguadores y cuál es la altura del coche cuando no está cargado? 

11. Razona por qué al dejar caer un objeto más pesado sobre un bloque de plastilina, se 

produce un hoyo de mayor profundidad. 

12. ¿Es correcto decir que un objeto TIENE una determinada MASA? ¿Y que TIENE un 

determinado PESO? Razónalo basándote en lo que ocurriría al llevarnos el objeto a la 

Luna. 

13. Un objeto de 400 kg de masa está situado sobre una superficie perfectamente lisa, 

horizontal y sin rozamiento. ¿Cuál es la fuerza mínima que conseguirá moverlo: igual a su 

peso, menor que su peso, mayor que su peso, cualquiera? 

4. PRINCIPALES FUERZAS DE CONTACTO EN MECÁNICA. 

Existen algunos tipos de fuerzas que por su interés en el análisis y en situaciones 

ordinarias, reciben “nombres característicos”. Así por ejemplo, hablamos de “fuerza 

elástica” a la ejercida por muelles o gomas, y más en general, a las que deforman los 

cuerpos, o hablamos de “Peso” a la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los 

objetos próximos y los hace caer. Además de estas, son también muy importantes las 

siguientes: 

·Fuerza Normal: es la fuerza de contacto entre dos 

objetos sólidos. La dirección de esta fuerza es 

siempre perpendicular a la superficie de contacto. Es 

una fuerza repulsiva, que hace que los cuerpos no se 

fundan entre si, así que se debe dibujar hacia 

dentro del objeto que recibe la fuerza. Se suele 

representar como N. 

Aparece en Cuerpos apoyados. Supongamos que tenemos un libro en lo alto de la 

mesa. Sobre el libro actúan dos fuerzas: el peso del libro y la fuerza normal, debido a su 

contacto con la mesa. Ya que el libro se encuentra en equilibrio, debe cumplirse que 

ambas fuerzas deben ser iguales en módulo y dirección, y sentidos opuestos. 

+ = → − = Eliminamos las componentes en una única dirección: 

P = = mg 

·Fuerza de Tensión: es la fuerza que mantiene tenso un alambre, cable, cuerda, 

cadena, hilo, etc. La dirección es la misma de la cuerda o cable, y el sentido es hacia 

fuera. Por supuesto, debe haber una fuerza en cada extremo, para mantener tensa la 

cuerda o cable. Se suele representar como T. También se le suele llamar tensión a la 

fuerza que las cuerdas, cables, etc. 

EJERCEN sobre los objetos a los que están unidos. En este caso, el sentido es hacia 

dentro de la cuerda. 

En el dibujo encontramos un cuerpo suspendido del techo a través de 

un cable. Sobre el cuerpo actúan dos fuerzas. 

Por un lado, el peso de dicho cuerpo y, por otro, la tensión del cable. 

Como el cuerpo se encuentra en equilibrio, ambas fuerzas deben ser 

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iguales en módulo y dirección y de sentidos contrarios. Así, con respecto a los módulos 

se cumple: 

+ = → − = 

P = T= m·g 

· Fuerza de Rozamiento: Ha llegado el momento de comenzar a tener en cuenta una importante 

fuerza que en buena parte de las ocasiones está presente: la fuerza de rozamiento. En general, suele 

denominarse así a toda fuerza que se opone al deslizamiento de los objetos sobre una superficie. Esta 

fuerza de rozamiento posee una serie de características: 

a. La fuerza de rozamiento es paralela a la superficie de contacto, y NO depende del 

valor de esa superficie, aunque SÍ del tipo de éstas. 

b. El módulo de la fuerza de rozamiento tiene cualquier valor desde cero hasta un 

valor máximo. La fuerza máxima de rozamiento es igual a la fuerza mínima para iniciar 

el movimiento. Iniciado el movimiento, la fuerza de rozamiento disminuye y permanece 

constante durante todo el movimiento. A la fuerza de rozamiento que actúa desde 

que el objeto está en reposo hasta que se pone en marcha, se la llama fuerza de 

rozamiento estática. A la fuerza de rozamiento que actúa mientras el objeto se desliza 

se la denomina fuerza de rozamiento dinámica. 

c. El módulo de la fuerza de rozamiento está estrechamente relacionada con la fuerza 

que la superficie es capaz de ejercer sobre el cuerpo, esto es, con la Normal (ésta a su 

vez relacionada con el peso del objeto). Ambas son proporcionales, siendo el factor 

de proporcionalidad conocido como coeficiente de rozamiento, µ. Se trata de un 

número adimensional (sin unidades) que depende del tipo de superficies puestas en 

contacto. En general se cumple que µestático > µdinámico 

Fr= µ·= µ·m·g 

desplazamiento 

Fr F 

14. Dibuja las fuerzas que un libro EJERCE cuando está sobre una mesa. En otro color, dibuja 

las fuerzas que el libro RECIBE. Date cuenta de que las fuerzas que ejerce y las que 

recibe están emparejadas. 

15. Un televisor descansa sobre una mesa. Le aplicamos una fuerza horizontal para 

desplazarlo, notando que existe una cierta resistencia a moverse. Dibuja todas las 

fuerzas que han actuado sobre el televisor. 

16. El televisor anterior ya no funciona, así que lo vamos a dejar caer por una rampa 

inclinada hasta el contenedor de reciclaje. Dibuja las fuerzas que actúan sobre el 

televisor en esta situación. Ten cuidado de dibujar la Normal de modo perpendicular al 

plano y el Rozamiento de modo paralelo al mismo. El peso, por supuesto, es siempre 

vertical. 

17. Una pistola de juguete lanza flechas con punta de imán gracias a la compresión de un 

muelle que tiene en su interior. Dibuja las fuerzas que actúan sobre la flecha: 

a. cuando está comprimido el muelle; 

b. cuando va por el aire; 

c. cuando se pega contra la puerta del frigorífico. 

18. Una lámpara cuelga del techo y, al golpearla sin querer con el palo de la escoba, oscila 

de un lado a otro. Dibuja las fuerzas que actúan sobre la lámpara en los dos extremos 

de su trayectoria y en el punto más bajo. 

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19. Desde un balcón situado a 4 m de la calle, soltamos una piedra y una moneda. Si la 

masa de los dos objetos es distinta, ¿tendrán la misma aceleración? ¿Pesarán lo mismo? 

¿Cuál de ellos llegará antes al suelo? ¿Cuál llegará con mayor rapidez? 

20. Un coche se ha quedado atascado en la arena de la playa, de modo que varias 

personas le empujan para ayudarle a salir. Dibuja las fuerzas que actúan sobre el coche 

y sobre una de las personas que empujan. ¿Qué condición crees que deberá cumplirse 

para que el coche pueda empezar a moverse? 

21. Dibuja las fuerzas que una persona EJERCE cuando está de pié en reposo. Dibuja las 

fuerzas que RECIBE cuando comienza a caminar. 

22. Dibuja las fuerzas que ACTÚAN sobre una persona que salta de un bote al pantalán. 

23. Un niño arrastra a velocidad constante un camión de juguete de 10 N de peso, 

mediante una cuerda que forma un ángulo de 50° con la horizontal, cuya tensión es 8 

N. Dibuja las fuerzas que actúan sobre el juguete y calcula el rozamiento del camión 

con el suelo. ¿Es igual la normal al peso en esta situación? 

24. Sobre una tabla horizontal y rugosa situamos un objeto de masa M. Por uno de sus 

extremos vamos levantándola observando que la fuerza de rozamiento es capaz de 

frenar el deslizamiento del objeto. Pero llega un cierto ángulo en el que el cuerpo 

comienza a deslizar. .Establecer la relación entre el coeficiente de rozamiento y el 

ángulo de inclinación. 

25. En el techo de un coche hemos puesto una caja. Determina cuál deberá ser el µ para 

que la caja no resbale cuando aceleramos el vehículo a 0,82 m/s 2 . 

26. ¿Para qué hará falta aplicar más fuerza: para levantar a pulso una caja de 90 kg o para 

arrastrarla por un suelo rugoso con un µ = 1,14? 

27. Un cuadro está colgado en la pared mediante una cuerda que 

pasa por un clavo, formando sus dos mitades ángulos de 90º. Sabiendo que 

la máxima fuerza que puede soportar la cuerda es de 100N, calcular la 

máxima masa que puede tener el cuadro. Sol. 14,42 kg 

28. Calcula la tensión de la cuerda 

sabiendo que la masa del cuerpo es de 102 kg. 

Sol. 1000N 

29. Calcula la tensión de la cuerda sabiendo que el peso 

del cuerpo es 1000N. 

Sol. Ta=732N; Tb= 896,6 N 

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5. ESTÁTICA y EQUILIBRIO. MOMENTO DE UNA FUERZA. 


Recordemos que, en Física, no sólo se habla de equilibrio cuando un cuerpo no se 

mueve (equilibrio estático), sino también cuando se mueve con velocidad constante 

(equilibrio dinámico). En ambos casos, la condición que deben cumplir las fuerzas es la 

misma, por tanto, son situaciones indistinguibles desde el punto de vista físico, como se 

expresa en el principio de inercia. 

Debemos distinguir dos tipos de movimiento de un objeto, y por tanto, dos tipos de 

equilibrio: el objeto puede dar vueltas sobre su centro de gravedad (rotación) y al 

mismo tiempo puede trasladarse su centro de gravedad (traslación). En cada caso, la 

condición de equilibrio es diferente. 

• Equilibrio de traslación: cuando el centro del cuerpo no se mueve o lo hace con 

velocidad constante. Para ello es necesario y suficiente que la SUMA (VECTORIAL) DE 

TODAS LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL CUERPO SEA CERO, o dicho de otro modo, 

que todas esas fuerzas que actúan sobre el objeto estén CONTRARRESTADAS. 

• Equilibrio de rotación: cuando el cuerpo no gira o lo hace con velocidad constante. 

Para ello, NO DEBEN EXISTIR PARES DE FUERZAS APLICADAS SOBRE EL OBJETO, O SI 

EXISTEN, DEBEN ESTAR CONTRARRESTADOS (p.ej. balanzas). 

Se denomina par de fuerzas a dos fuerzas del mismo módulo, sentidos contrarios y 

DIRECCIONES PARALELAS. 

Por ejemplo, si queremos hacer girar un volante de un automóvil, las dos manos 

ejercen la misma fuerza en sentidos contrarios, y sus direcciones son paralelas. Aunque 

el volante no se encuentra en equilibrio de rotación, sí se encuentra en equilibrio de 

traslación, porque la suma de las dos fuerzas es nula. 

A veces, puede parecer que una sola fuerza puede hacer girar (o volcar) un objeto. 

Pero se han de tener en cuenta siempre otras fuerzas como la tensión o la normal, que 

sostienen o sujetan al objeto en un punto de apoyo. Por ejemplo, al abrir una puerta, 

las bisagras realizan una fuerza igual a la nuestra, pero de sentido contrario, formando 

un par de fuerzas. 

Para abordar esta situación necesitamos definir una magnitud que nos permita evaluar 

la capacidad de giro de los cuerpos sometidos a interacción. Tal magnitud es EL 

MOMENTO. 

Ya en el primer tema dedicado al cálculo vectorial se adelantó algo de esta magnitud 

y de su importancia física. Ahora vamos a introducir un segundo nivel de aproximación 

a ella. 

En las situaciones en las que en máquinas simples aparecen giros, al abrir una puerta, 

al rotar un volante, al apretar un tornillo…El giro se consigue tanto mejor, no solo 

cuánto la fuerza aplicada es mayor, sino cuanto mayor es la distancia del punto de 

aplicación de la fuerza, al punto fijo. El par de fuerzas aumenta su efecto si aumenta la 

distancia entre las fuerzas. Por ejemplo, es más fácil hacer girar un destornillador de 

mango grueso, porque así aumenta la distancia entre las dos fuerzas del par. 

Aunque también veremos cómo podemos hacer girar objetos sin puntos fijos. 

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La magnitud Momento de una fuerza respecto a un punto, 

nos permite medir la CAPACIDAD de GIRO. 

Se define el momento de una fuerza respecto a un punto, 

como el producto vectorial del vector de posición respecto 

al punto y a fuerza. 

= 

El módulo del vector momento, por definición de producto 

vectorial es: 

Su unidad es en N·m 

= · · = · 


El sentido de giro depende de la dirección de los vectores r y F, haciendo girar uno 

sobre el otro por el camino más corto, y usando la regla del tornillo aprendida en el 

tema 1 de física, sobre cálculo vectorial. 

En ocasiones no existe un punto fijo, y en ocasiones para producir un giro hay que 

aplicar un par de fuerzas, pero no dos fuerzas cualesquiera sino dos fuerzas de igual 

módulo, direcciones paralelas y sentidos opuestos. Se produce un par de fuerzas y el 

resultado es un giro. La resultante de un par de fuerzas en sentido opuesto es cero, el 

cuerpo no se traslada. Pero como están aplicadas en sitios distintos, si rota. 

• Para determinar los puntos de aplicación del vector fuerza aplicaremos 

métodos gráficos y analizaremos matemáticamente el efecto producido. 

• Para determinar el momento total respecto a un punto, sumamos todos los 

vectores momentos de fuerzas respecto a ese punto: 

= + 

En resumen, para que un cuerpo se mantenga en equilibrio de rotación y traslación: 

= 0 

= 0 

De hecho, de esta segunda condición se deduce la ley de la palanca. 

CASOS A ANALIZAR: 

a) Fuerzas paralelas: Traslación y rotación en un punto. 

Al ser las fuerzas vectores deslizantes, se pueden trasladar en la misma dirección. 

El módulo de la fuerza resultante es la suma (en fuerzas del mismo de la fuerza 

resultante sentido) o la resta (en fuerzas de sentido contrario) de los módulos de cada 

fuerza. 

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Método gráfico de cálculo de la fuerza resultante de dos fuerzas paralelas: 

• Se traza una paralela a la fuerza F1 (la de mayor módulo) en el mismo sentido 

de ésta sobre el punto de aplicación de F2. 

• Se traza una paralela a F2 y en sentido opuesto sobre F1. 

• Se unen los extremos de de ambas proyecciones. 

• El punto de corte con la línea de acción de ambas fuerzas nos da el punto de 

aplicación de la resultante, que se calcula como suma o resta de ambas según 

su sentido. 

Para calcular matemáticamente el punto de aplicación tomamos momentos respecto 

al punto O (punto de aplicación de la resultante). La suma de los momentos en ese 

punto es cero. 

+ =0, sentidos de momentos opuestos 

− = 0 

· · 90 − · · 90 = 0, como r y F son perpendiculares (r=d): 

F1 · d1 = F2 · d2 

Si conocemos la distancia total que separa a ambas fuerzas, basta con poner una 

distancia en función de la otra y despejar. 

Ejemplo. Dos fuerzas paralelas F1 y F2, de intensidades 1 y 5 N y de sentido opuesto, se 

aplican perpendicularmente en los extremos de una barra de 10 m de longitud. 

Calcular el valor de la resultante y el punto de aplicación. 

O x 10 m F2= 5N 

FR= 5N F1=10 N 

FR= 10N – 5N= 5N 

El punto O es un ponto de aplicación de la fuerza resultante no sometido a giro. 

Por tanto F1 · d1 = F2 · d2 

10



10 N· x = 5N (10 m + x) → x=10m 

El punto de aplicación de la fuerza resultante está situado a 10 m del punto de 

aplicación de la fuerza mayor. 

La rotación se puede determinar respecto a cualquier punto P, que no es el 

punto de aplicación O de ambas fuerzas (ya que ahí no hay giro), para determinar el 

sentido de giro del sistema. Para ello habrá que calcular la resultante de la suma de los 

vectores momentos de cada fuerza respecto a ese punto, aplicando la regla de 

sentido de giro del tornillo. Sentido antihorario(+), sentido horario (-). 

r1=d1 o M2 r2=d2 

F1 M1 F2 

Frte 

P 

= − ≠ 0 , ℎ + 

Ejemplo. Para el sistema del ejemplo anterior, determinar el sentido de giro de un 

punto situado en el centro de la barra. Representar el vector momento resultante. 

Ambos giros son 

antihorarios y por 

tanto positivos(+) 

5m 5m F1= 5N 

r2 r1 

F2=10 N 

= + 

ó 

= + = F1·d1 + F2·d2 = 5 N ·5m + 10N · 5m= 75 N·m 

b) Fuerzas paralelas iguales en el distinto sentido: PAR DE FUERZAS. Solo rotación 

• Es imposible DETERMINAR el punto de 

aplicación de ambas fuerzas, pues se 

contrarrestan. Hay equilibrio de traslación 

• Si existe rotación, ya que los momentos 

respecto a cualquier punto de la línea de 

acción se suman. 

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• Para el punto medio de acción de las fuerzas 

d d 

M = F · — + F · — = F · d 

2 2 


donde “d” es la distancia que separa las rectas dirección de ambas fuerzas 

(brazo del par). 

Un caso importante de equilibrio de rotación son las balanzas. Tienen un punto de 

apoyo alrededor del cual pueden girar, y dos brazos. Se pretende alcanzar el 

equilibrio de rotación, y para ello el par de fuerzas ejercido por cada brazo debe ser el 

mismo. La suma de los momentos RESPECTO AL PUNTO ha de ser igual a 0. Los 

momentos tienen sentidos opuestos.Se consigue que los momentos se anulen en el 

equilibrio. No habría pues rotación. 

r1=d1 M2 r2=d2 

M1 

F1 F2 

+ =0, sentidos de momentos opuestos 

− = 0 

· · 90 − · · 90 = 0, como r y F son perpendiculares (r=d): 

F1 · d1 = F2 · d2 

En resumen, para que exista equilibrio de rotación es suficiente que todas las fuerzas 

que se aplican sobre el cuerpo TENGAN EL MISMO PUNTO DE APLICACIÓN, o al menos 

ESTÉN SITUADAS EN LA MISMA RECTA. De ese modo no existen pares de fuerzas. 

Ejemplo. En la figura aparece una barra sometida a dos fuerzas y , de módulos 25 

y 40 n respectivamente. Calcula el momento resultante respecto al punto O. 

Calculamos el momento de F1 respecto al punto O: 

M1= F1·d1= 25 N ·0,15 m= 3,7 N·m; 

M1 es positivo ya que produce giro en sentido 

antihorario. 

M2= -F2·d2= -r2·F2·senα= -40 N· 0,9m· sen 30º= -18 N·m; 

M2 es negativo ya que produce un giro en sentido horario. 

El momento resultante M= M1+M2= 3,7 N·m + (-18 N·m)= -14,2 N·m 

El momento resultante nos da idea según su signo de que el giro se producirá en 

sentido de las agujas del reloj. 

12



30. Determina si está en equilibrio un cuerpo sometido a la acción de las siguientes fuerzas: 

1 10N 

20N 

30N 30º 

31. Si de una balanza cuyo eje mide 30 cm cuelga un cuerpo de 3 kg en un extremo y del 

otro una masa de 4,5 kg, ¿dónde debe de colocarse cada masa para que la balanza 

permanezca en equilibrio? 

32. Dos fuerzas paralelas actúan sobre los extremos de un tronco, de módulos F1= 15 N y F2= 

6N, y cuyos puntos de aplicación están separados 10 m. Determina el módulo de la 

resultante y su punto de aplicación en los siguientes casos: 

a) Las fuerzas tienen el mismo sentido 

b) Las fuerzas tiene sentidos opuestos. 

Sol. a) FR= 21 N, d1= 2,86 m, d2= 7,14 m; b) FR= 9 N, d1= 6,7 m, d2= 16,7 m 

33. En una balanza romana, una pesa de 10 g se sitúa a 5 cm del punto de apoyo. ¿Qué 

masa se encuentra en el platillo de la balanza, si la distancia de éste al punto de apoyo 

es de 2 cm? 

• ¿Es directamente proporcional la masa del platillo a la distancia de la pesa al punto 

de apoyo? 

• Si transportamos dicha balanza hasta la Luna, la aceleración de la gravedad es 

diferente. ¿Continuará la balanza en equilibrio? 

34. Explica por qué cuesta más esfuerzo abrir un portón si empujamos cerca de las bisagras. 

¿Cuál es el par de fuerzas que hace girar al portón? 

• Explica por qué, al colgar un cuadro, si no colocamos el cáncamo exactamente en el 

centro, el cuadro se queda torcido. ¿Cuál es el par de fuerzas que hace girar al 

cuadro? 

35. Calcula el momento resultante del sistema de la 

figura respecto al punto O. Sol. -10N·m 

36. En los extremos de una tabla de 6 m de longitud 

y 30 kg de masa se colocan dos niños de 40 y 50 kg, respectivamente. ¿Dónde debe 

estas situado el punto de apoyo para conseguir el equilibrio? Sol. A 2,75 m del niño de 

mayor masa. 

37. En la figura aparece una barra sometida 

a dos fuerzas y , de módulos 3 y 5 N 

respectivamente. Calcula el momento resultante 

respecto al punto O. Sol -5,8N·m 

38. La resultante de dos fuerzas paralelas de 

sentidos contrarios tiene un valor de 27 N y está 

situada a 1m de la fuerza mayor. ¿Cuánto vale la 

fuerza menor si la distancia de separación de 

ambas fuerzas es de 3m? Sol. F2=9N 

39. ¿Es cierto de que las fuerzas iguales y de sentido contrario producen equilibrio? 

40. En los extremos de una barra de 1,5 m de longitud se aplican perpendicularmente a ella 

dos fuerzas paralelas del mismo sentido, una de doble valor que la otra. Calcular el valor 

de la resultante y la distancia entre su punto de aplicación y el punto de aplicación de 

la mayor. Sol. 3F, 1m. 

13


41. En la figura de observa una regla que puede girar en 

torno a un punto O. Calcula los momentos de cada 

fuerza, respecto a este punto y el momento resultante 

de la misma. Sol.M1=1,28 N·m; M2=-1,80 N·m;M=-0,52 

N·m 


42. Calcula el momento resultante del sistema de fuerzas de la figura respecto al punto 

O.Sol 1,63 N·m 

6. PRINCIPIOS DE NEWTON 

Una vez que conocemos cómo manejar vectorialmente 

las fuerzas, estamos ya en condiciones de analizar 

detenidamente cuáles son las consecuencias de las 

fuerzas sobre el movimiento de los objetos. 

Aristóteles (384‐322 a JC) pensaba que para mantener 

un cuerpo en movimiento había que realizar una fuerza 

sobre el mismo. Decía que el “estado natural” de los 

objetos es el reposo, y que los objetos “tienden” a volver 

a él lo antes posible. Sin embargo, como ya señalamos 

en el tema anterior, Aristóteles no realizó ningún 

experimento, por lo que estas conclusiones no podemos 

decir que sean “científicas”. 

El inventor del método científico, Galileo Galilei (1564‐1642) planteó la necesidad de 

realizar experiencias para avanzar en el conocimiento de la Naturaleza. De esta forma 

experimentó con el movimiento de un cuerpo que es lanzado sobre una superficie 

horizontal y descubrió que mientras más pulida está la superficie, más tiempo tarda el 

cuerpo en pararse. Ahora bien, Galileo fue capaz de una genialidad, que es descubrir 

una ley que gobierna el movimiento de los cuerpos, aunque no se pueda observar 

directamente. Se imaginó que, con una superficie perfectamente pulida, el cuerpo 

seguiría moviéndose con velocidad constante sin detenerse jamás. Es la rugosidad de 

la superficie la que provoca el frenado del cuerpo. Por tanto, se necesita una fuerza 

para PONER EN MOVIMIENTO un cuerpo en reposo, pero una vez en movimiento, NO 

SE NECESITA NINGUNA FUERZA para que el cuerpo siga con movimiento rectilíneo 

uniforme. Isaac Newton (1642‐1727) publicó en 1687 un libro titulado "Principia 

Mathematica Philosophiae Naturalis" (Principios matemáticos de la Filosofía Natural – 

así llamaban antes a la Física). Es un libro donde se utilizan las Matemáticas para 

describir y calcular fenómenos relacionados con el movimiento, esto es, se trata del 

primer libro de Física de la historia. En este libro, que recoge la obra iniciada por 

Galileo, se incluyen las tres leyes básicas que gobiernan el movimiento de los cuerpos. 

Esas leyes básicas están incluidas implícitamente en la definición de fuerza que 

estamos trabajando desde el comienzo de este tema. Separadamente, a tales leyes 

se las denominan PRINCIPIOS o LEYES DE NEWTON o DE LA DINÁMICA. 

14



• PRIMER PRINCIPIO o LEY DE LA INERCIA: Cuando la fuerza neta aplicada sobre un 

cuerpo es nula (cero), el cuerpo permanece con velocidad constante. Se le llama 

INERCIA a la tendencia de los cuerpos a permanecer en reposo o en movimiento 

rectilíneo uniforme, esto es, con velocidad constante. 

En efecto, si la RESULTANTE DE LAS FUERZAS que actúan sobre el cuerpo es nula, el 

cuerpo seguirá como está; esto es lo que en Física se le llama EQUILIBRIO. El estado de 

reposo es equivalente al MRU. 

IMPORTANTE: aunque se diga en el lenguaje coloquial LA “FUERZA DE LA INERCIA”, NO 

ES NINGUNA FUERZA. La inercia es una tendencia, nada más. 

Si al cabo de un rato de ceder una fuerza un cuerpo se detiene, no es porque se le 

acaba la fuerza que se le dio, sino porque ha actuado una fuerza en sentido contrario 

al movimiento, como es el rozamiento. 

Para que el cuerpo esté en equilibrio, es suficiente que la RESULTANTE de las fuerzas sea 

nula. Más adelante estudiaremos las condiciones que tienen que reunir varias fuerzas 

para que el cuerpo permanezca en equilibrio. 

Reposo 

Si resultante=0 ó 

MRU 

En realidad esta ley parece ir en contra del ‘sentido común’ pues se tiene la creencia 

(errónea) de que para que un cuerpo se mantenga en movimiento es necesario que 

una fuerza actúe constantemente sobre él. Esta opinión perduró durante mucho 

tiempo, hasta que Galileo Galilei1 llegara a la conclusión contraria: los cuerpos pueden 

mantenerse en movimiento sin la participación de ninguna fuerza. 

Dado que el movimiento de los cuerpos es una cuestión relativa (o ligada a un sistema 

de referencia en concreto), esta ley está muy sujeta a la elección de los mismos, de tal 

modo que todos aquéllos sistemas considerados en reposo o en movimiento uniforme 

se los denomina SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES, para lo que se cumplen las leyes 

física (no solo la ley de inercia). Algo de esto ya hablamos en el tema anterior. Los 

sistemas de referencia en rotación o, en general, acelerados, constituyen sistemas de 

referencia NO inerciales, y en ellos no se cumplen las leyes de Newton. Sobre este 

tema daremos buena cuenta en un apartado posterior al análisis de las leyes de 

Newton. 

• SEGUNDO PRINCIPIO: Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es distinta de cero, se 

produce un cambio en la velocidad del cuerpo, es decir, una aceleración. La 

dirección y sentido de esta aceleración es la de la fuerza neta que la produce. La 

constante de proporcionalidad entre la fuerza y la aceleración es la MASA del objeto, 

como se indica en esta fórmula: 

= · 

Si la masa es pequeña, se necesitará también una fuerza pequeña para conseguir una 

determinada aceleración. Pero si la masa es grande, al multiplicarla por la aceleración 

deseada, obtendremos una fuerza también grande. 

Esta ley incluye en sí misma a la ley de la inercia como un caso particular. En efecto, si 

el cuerpo no se mueve o lo hace con velocidad constante, su aceleración es nula 

(cero), y al multiplicarla por la masa, se obtiene una fuerza resultante cero. 

La fuerza está referida a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto en 

cuestión. 

15



Si la masa del objeto se expresa en el sistema internacional en kg y también la 

aceleración (m/s2), la fuerza queda expresada en Newton, como ya se ha dicho. Esto 

significa que el Newton es equivalente a: 

N = kg · m/s 2 

Esto que hemos hecho puede hacerse con cualquier fórmula: sustituimos las 

magnitudes por las unidades en las que se miden. De ese modo, obtenemos 

equivalencias entre unidades del sistema internacional. 

7. CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL. 

Es fácil comprobar que hay una mayor dificultad para acelerar o frenar un camión 

que se mueve con UNA MISMA velocidad que una bicicleta: dicho de otro modo, hay 

una mayor resistencia a que se les cambien el movimiento. Tal resistencia a ese 

cambio de movimiento es lo que venimos denominando inercia. Sin embargo, la 

inercia de un cuerpo ‘es una cualidad’ y si deseamos comparar cuánta más inercia 

tiene el camión que la bicicleta hemos de asignarle un valor cuantitativo. El valor 

numérico que nos da la medida de la inercia es lo que se denomina como ‘masa 

inercial’ y parece claro con el ejemplo del camión y la bicicleta que la velocidad y la 

masa inercial son los dos conceptos claves para caracterizar ‘el estado’ de un 

movimiento. 

A la vez podemos considerar el efecto que produce un cuerpo por el hecho de llevar 

una determinada velocidad, el efecto que produce una pelota de tenia a 300 km/h 

puede ser más devastador, que el que puede producir una coche que esté casi a 2 

km/h… 

La magnitud que relaciona la masa y la velocidad del cuerpo, se denomina 

CANTIDAD de MOVIMIENTO (o momento lineal) que videntemente resultará una 

magnitud vectorial. 

= ∙ 

La unidad de cantidad de movimiento en el S.I. es el kg · m/s. 

Al haber introducido esta nueva magnitud para ayudarnos a caracterizar los 

movimientos, las leyes de Newton adquieren un sentido más amplio. 

La ley de inercia es reformulable en unos términos más precisos al admitir que si sobre 

un cuerpo NO actúan fuerzas exteriores (una partícula aislada), y por tanto NO variar ni 

su masa ni su velocidad, LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PERMANECE CONSTANTE. 

Observa que visto de este modo, lo que exige la ley de inercia no es exactamente que 

se conserve la velocidad, sino el producto de masa por velocidad. Estrictamente 

hablando NO hay partículas aisladas, de modo que se consideran así cuando están lo 

suficientemente alejadas unas de otras como para considerar que no perciben sus 

mutuas influencias. 

La segunda ley de la Dinámica (la ley fundamental) también admite una 

reformulación, del siguiente modo: 

Recordemos que: 

= ∙ ∆ 

∆ 

∑ = m.·a 

= ∆ 

∆ 

como asumimos que la masa permanece constante: 

16


= ∆(∙) 

∆ =∆ 

∆ 

Para instantes de tiempos muy cortos se expresa como: = 


A partir de esta expresión reformulamos las dos primeras leyes de Newton como: 

Se demuestra: = → ∙ = ∙ 

Un resultado que se deduce de este último modo de escribir la segunda ley de 

Newton, es la relación existente entre la fuerza y el tiempo de actuación de la misma. 

Así pueden conseguirse iguales efectos al actuar una fuerza intensa sobre un cuerpo 

en un breve instante, que otra de menor intensidad actuando un lapso de tiempo más 

grande. 

Estas ideas constituyen la esencia de otra magnitud (vectorial) llamada impulso 

mecánico, (I) definida como el producto de la fuerza por el tiempo de actuación de 

la misma, cumpliéndose la igualdad entre impulso y variación de momento lineal: 

∑ ∙ ∆ = ∆ = 

• TERCER PRINCIPIO: La fuerza es consecuencia de la interacción entre dos cuerpos. Si 

un cuerpo realiza una fuerza sobre otro, éste también actúa sobre el primero con una 

fuerza IGUAL EN MÓDULO Y DIRECCIÓN, pero en SENTIDO CONTRARIO. Estas dos fuerzas 

forman lo que se llama un par ACCIÓN – REACCIÓN, una de ellas es la acción y la otra 

la reacción. 

Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre u cuerpo es igual a 0. 

a/b=- b/a 

No se realiza primero la acción y más tarde la reacción, sino 

que son simultáneas. ¿Por qué no se contrarrestan entonces? 

Porque cada una actúa sobre un objeto distinto. Para caminar 

realizamos una fuerza hacia atrás, por lo que recibimos un 

impulso hacia adelante. 

Del mismo modo, cuando las ruedas del coche o la bicicleta 

intentan resbalar hacia atrás, si su rugosidad se lo impide, 

reciben una fuerza hacia adelante. También los barcos, con sus 

∆ 

∆ 

= 

la cantidad de movimiento asociada a ese cuerpo permanece constante. 

Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es no nula. 

∆ 

∆ 

= ∑ 

 

17


hélices, impulsan el agua hacia atrás, lo mismo que cuando remamos en un lago, por 

lo que recibimos una fuerza hacia adelante. Por último, los aviones, en especial los 

llamados “aviones a reacció reacción” n” expulsan un chorro de gases calientes a gran 

velocidad, al igual que los cohetes, lo que provoca una fuerza hacia adelante. 

La normal no es la reacción del peso. La reacción del peso es la fuerza con la que los 

objetos atraen a la Tierra. A pesar de la diferencia de tamaños, estas dos fuerzas son 

IGUALES. Lo que ocurre es que el objeto de menor masa (el libro en este caso) es el 

que experimenta una mayor aceleración, y por eso se observa que el libro se mueve, 

pero no se observa que la Tierra se mueva hhacia 

el libro. 

La tierra no se mueve hacía el libro ya que la masa de la tierra lo impide. Al ser tan 

grande de su masa su aceleración aa0. 

FL/T = mT· aT Si m a 

Cantidad de movimiento y tercera ley de Newton: 

F T/L 

FL/T 


FT/L = mL· aL Si m a 

Existe una consecuencia sencilla, pero muy importante, de esta tercera ley en el caso 

de dos objetos aislados de su medio ambiente de modo que las únicas fuerzas que 

actúan sobre ellos son las que se ejercen entre sí. 

Bajo estas condiciones, sea mm1 

y v1 la masa y velocidad inicial de uno de esos cuerpos, 

y m2 y v2 las correspondientes al otro. Las fuerzas que cada uno de ellos ejerce sobre el 

otro las denominaremos F12 12 y F21. . En realidad la relación entre ambas puede escribirse 

como: 

= − 

0= + 

0= ∆ 

∆ + ∆ 

∆ 

0= ∆ + ∆ 

= ( − ) + ( − ) 

( + ) = ( + ) 

 

 

para dos cuerpos sujetos únicamente a sus interacciones mutuas, la suma VECTORIAL 

de las cantidades de movimiento de los cuerpos permanece constante a lo largo del 

tiempo. . Este resultado es equivalente a la tercera ley de Newton. De hecho, parece 

18



que Newton llegó a su enunciado de la acción y reacción estudiando la cantidad de 

movimiento de dos cuerpos antes y después de que chocaran. 

Ejemplo. Tenemos dos esferas de masas m1= 0,3 kg y m2= 0,5 kg que se deslizan sobre 

una mesa a velocidades de 5 m/s hacía la derecha y 2 m/s hacía la izquierda 

respectivamente. Considerando que no se disipa energía en el instante del choque, 

calcula la velocidad y el sentido de la de mayor masa después del choque 

suponiendo que la de menor masa sale despedida hacia la derecha a 3,5 m/s. 

Cómo no existen fuerzas disipativas, podemos aplicar el principio de conservación de 

la cantidad de movimiento. 

Cuando el choque es como el que se muestra en la figura el choque se denomina 

frontal y como el movimiento antes y después tiene lugar según una única dirección, 

se puede prescindir de la notación vectorial y poner simplemente: 

m1 v01 + m2 v02 = m1 v1+ m2 v2 

El sentido de movimiento (hacia la izquierda o hacia la derecha) se indica mediante el 

signo + ó -. 

0.3 · 5m/s + 0,5· (-2m/s) = 0,3 ·v01 + 0,5 ·3,5 m/s 

v01= - 4,16 m/s; 

La esfera de mayor masa sale despedida en sentido opuesto a la de menor masa. 

Ejemplo. 

V01 V02 

m m 

Antes Después 

r r 

pantes = p después 

r r r r 

p1 + p2 = p1 * + p2 

* 

r r r r 

m v + m v = m v + m v 

* * 

1 1 2 2 1 1 2 2 

Un trozo de plastilina de 250 g es lanzado con una velocidad de 10 m/s contra un 

bloque de madera de 500 g situado sobre una mesa horizontal. v Tras el impacto la 

plastilina queda adherida al bloque. Calcular la velocidad con la que se inicia el 

v1 

deslizamiento del conjunto. 

* 

m1 m2 

= + ; ( v = 0) 

pantes m1 v1 m2 v2 

( ) 

p = m + m v 

desp 1 2 

( m1 + m2 

) 

* 

2 

( ) 

p = p ; m v = m + m v 

antes desp 1 1 1 2 

m 

m 0,250 kg 

* 

1 v 

10 

1 

v = = 

s 

(0,250 + 0,500)kg 

* 

m 

m 

= 

3,33 

s 

V1 

* 

V2 

* 

m 

19



43. ¿Es cierto que... 

a. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, el cuerpo estará en 

reposo. 

b. El movimiento de un cuerpo siempre tiene lugar en la dirección de la resultante de la 

fuerza. 

c. Si la velocidad de un cuerpo es cero, la resultante de las fuerzas en ese instante debe 

ser también cero. 

44. Un burro perezoso recibió de repente el don de hablar y dijo al campesino: “Es inútil que 

tire del carro, porque el carro tirará de mí con la misma fuerza y nunca conseguiré 

moverlo”. ¿Qué debe responderle el campesino? 

45. ¿Por qué cuando vamos de pie en un autobús (lo cual está prohibido) y de repente el 

conductor frena, nos vamos hacia la parte delantera del autobús? Explícalo basándote 

en uno de los principios de Newton. 

• Si viajamos sin cinturón de seguridad, incluso en los asientos traseros, en el caso de que 

el coche frene bruscamente, nos estrellaríamos contra el parabrisas o contra el asiento 

delantero con la misma velocidad que lleve el automóvil. Si nos estrellamos, por 

ejemplo, a 50 km/h (que es la velocidad máxima permitida en ciudad), esto sería 

equivalente al daño que nos haríamos cayendo… ¿desde qué altura? 

46. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Sobre él actúan dos fuerzas en la misma dirección y 

sentido. Una de ellas vale 50 N y la resultante de ambas, 80 N. ¿Qué valor corresponde a 

la otra fuerza y qué aceleración adquiere el cuerpo? 

47. El motor de una motocicleta ejerce una fuerza mucho menor que el de un camión, y sin 

embargo, al ponerse en verde un semáforo, la moto sale antes que el camión. ¿Cuál de 

los principios de Newton explica esto? 

48. Un vehículo de masa 800 kg está sometido a una fuerza neta de 6000 N. Determina el 

tiempo que invertirá dicho vehículo en alcanzar una velocidad de 100 km/h partiendo 

del reposo. Calcula el espacio recorrido en dicho tiempo. 

49. Explica, basándote en los principios de Newton, por qué si das un empujón a un 

muchacho muy corpulento, eres tú el que te caes hacia atrás. 

50. Se aplica una fuerza de 50 N que forma un ángulo 

de 60º con la horizontal, a un cuerpo de 8 kg de 

masa. Calcula la aceleración del cuerpo si este se 

mueve por un plano horizontal y el coeficiente de 

rozamiento es de 0,1. Sol. 2,7 m/s 2 

51. Subidos cada uno en una barca, Andrés y Juan empujan sus manos unas contra otras, 

interaccionando con una fuerza de 40 N durante 3 segundos. Si la masa de cada barca 

es 80 kg, la de Andrés es 60 kg y la de Juan es 40 kg, determina la aceleración de cada 

uno, y la velocidad final, suponiendo que no existe rozamiento con el agua. 

52. Si empujamos un coche parado sin freno con una fuerza de 400 N durante 10 segundos, 

conseguimos que se mueva a 0’5 m/s. Calcula la masa del vehículo. 

• Si le damos un fuerte empujón de 2000 N durante 1 segundo, aparte de hacernos 

daño, ¿conseguiremos que se mueva a más velocidad? 

53. Un guisante seco de 0,4 g de masa es disparado con una pajita de plástico bajo la 

acción de una fuerza de 0,35 N durante los 0,14 s que permanece en la cañita. 

Determina la rapidez que tendrá al salir disparado. 

54. Se dispara un proyectil de 100 gramos en dirección horizontal y choca contra un bloque 

de madera de 15 kg que está en reposo sobre una mesa. El conjunto bloque-proyectil 

resbala sobre una mesa y recorre 1,15 m hasta que se para. El coeficiente de 

rozamiento entre el bloque y la mesa es de 0,4. Calcula: 

20



a) El valor de la fuerza de rozamiento 

b) Velocidad con la que empezó a moverse el conjunto bloque-proyectil. 

c) Velocidad del proyectil antes del choque. 

Sol. Fr= 59,192N; vconjunto= 3m/s; vproyectil-antes= 453m/s 

55. Un fusil de 4 kg dispara balas de 8 g con una rapidez de 150 m/s. Determina la rapidez 

de retroceso del fusil. 

56. Un hombre de 80 kg de masa está patinando con una rapidez de 6 m/s y choca con un 

niño de 40 kg que está patinando en sentido contrario a 9 m/s. ¿Cuál es la velocidad de 

los dos juntos cuando chocan? 

57. Una pelota de 55 g choca contra una raqueta a144 km/h y rebota con la misma 

rapidez. El contacto dura 15 centésimas de segundo. Determina la variación de 

cantidad de movimiento y la fuerza ejercida sobre la pelota, admitiendo que la pelota 

incide y rebota perpendicularmente a la raqueta. 

58. Una bola de billar golpea a otra que se 

encuentra en reposo, y tras el choque se 

mueven tal como indica la figura. Sabiendo 

que las dos bolas tienen la misma masa, y 

que la primera reduce su velocidad a la 

mitad, calcula él ángulo con el que sale la 

segunda bola.Sol. 26,6º 

59. Deseamos medir la relación entre las masas 

de dos carritos A y B que colisionan. Para 

ello lanzamos el carrito A con una rapidez de 0,7 m/s contra el carrito B que está en 

reposo. Después del impacto, A rebota con una rapidez de 0,3 m/s, mientras que B sale 

despedido con una rapidez de 0,5 m/s. ¿Cuál de las dos masa es mayor y en qué 

proporción? Sol. La masa de B es el doble de la masa de A 

60. Un vagón que dispone de un contenedor abierto por la parte superior tiene una masa 

total de 1250 kg y se mueve a una velocidad de 30 km/h sobre una vía recta. En cierto 

momento comienza a llover y el contenedor se llena a razón de 5 L/min. A) ¿Con qué 

velocidad se moverá al cabo de una hora y media de incesante lluvia (se desprecia el 

rozamiento). B) Expresa la rapidez del vagón en función del tiempo. Solución: a) 22 km/h 

61. Un camión va cargado con cajas de huevos. El coeficiente de rozamiento entre las 

cajas y el suelo del camión es 0,3. Suponiendo que el camión se mueve a 72 km/h, 

calcula la distancia mínima en que debe detenerse, frenando de manera uniforme, 

para que las cajas no deslicen. 

62. Dos bloques de 10 kg y 20 kg, respectivamente, que están en contacto uno con otro se 

encuentran inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Si se aplica una 

fuerza horizontal de 8 N: a) ¿Qué aceleración adquiere el conjunto?; b) ¿qué otras 

fuerzas operan sobre el sistema?; c) ¿Cuál es el valor de las fuerzas de contacto entre 

ambos bloques? Sol. 0.26 m/s 2 ; 2.66 N 

63. Desde un helicóptero que está a 1000 m de altura lanzamos horizontalmente y hacia "la 

derecha" un proyectil de 10 kg de masa con una rapidez de 200 m/s. Despreciando 

rozamientos, calcula la cantidad de movimiento (vector) del proyectil 10 segundos 

después de su lanzamiento. 

64. Un tenista recibe una pelota de 55 g de masa, con una rapidez de 72 km/h; y la 

devuelve, en sentido contrario, con una rapidez de 36 km/h. Determina el impulso que 

recibe la pelota y la fuerza (media) que aplica el tenista, si el contacto de la pelota con 

la raqueta dura una centésima de segundo. 

21



65. Una misma fuerza, ¿producirá el mismo efecto al actuar durante 1 segundo sobre un 

cuerpo de 4 kg que si actúa durante 4 segundos sobre un cuerpo de 1 kg? 

66. Un vagón de 890 kg está detenido en una vía cuando se dirige hacia él otro vagón de 

1300 kg con una rapidez de 24 km/h en línea recta. Tras la colisión, ambos quedan 

enganchados, pero ¿a qué velocidad se moverán? ¿Cuál hubiera sido la velocidad tras 

la colisión si inicialmente el vagón de 890 kg se dirige hacia el segundo con una rapidez 

de 14 km/h? ¿Y si el vagón de 890 kg llevara inicialmente una rapidez de 8 km/h en la 

misma dirección y sentido que el que colisiona con él a 24 km/h? 

67. Una barca está en reposo. Juan, de 70 kg, salta desde la proa (hacia fuera) con una 

rapidez de 4 m/s y justo en el mismo instante, Beatriz, de 50 kg lo hace desde la popa 

con una rapidez de 3 m/s. Determinar la rapidez de la barca justo después de ambos 

saltos sabiendo que la masa de la barca es de 100 kg. 

68. Un proyectil de 5 g de masa se dispara horizontalmente sobre un bloque de madera de 

3 Kg que se halla en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento 

entre el bloque y la superficie es de 0,2. El proyectil permanece empotrado en el 

bloque, y se observa que éste desliza 25 cm. sobre la superficie. ¿Cuál era la velocidad 

del proyectil? 

8. SISTEMAS DEREFERENCIA INERCIALES Y NO INERCIALES. FUERZAS DE INERCIA. 

Vamos a desarrollar estrategias de resolución de situaciones típicas en dinámica. Para 

ello habrá que tener en cuenta previamente el sistema de referencia al cual nos 

estamos refiriendo. Podremos imaginar un cuerpo que se mueve aceleradamente. 

¿Serán iguales las consideraciones dinámicas desde un observador exterior que de 

otro que se encuentra sobre el propio cuerpo? 

Se considera SISTEMA INERCIAL o GALILEANO cuando se puede considerar vinculado 

al cuerpo libre, es decir, centrado en el cuerpo en el que la resultante de las fuerzas 

que actúan sobre el mismo es cero. Un sistema inercial es un sistema NO ACELERADO. 

Desde este sistema inercial no se puede distinguir entre el reposo y el movimiento 

rectilíneo y uniforme. 

Una azafata en pleno vuelo puede servir un vaso de agua sin ningún problema ¿qué 

ocurriría si intentara servirlo en el momento del despegue? 

Las leyes de la dinámica se cumplen de modo idéntico para un observador en 

reposo que para otro que se mueve con respecto al primero con MRU. 

22



Sea S un sistema de referencia en reposo, y S´ un sistema inercial que se desplaza 

respecto a S con velocidad v0 constante. Un punto P realiza un movimiento en el 

espacio. El movimiento de P respecto a S viene dado por la ecuación = (), mientras 

que ´ = ´() describirá el movimiento de P respecto a S´. La relación vienen dada por: 

Derivando respecto t , resulta: 

´ = − el vector es suma de ´ y 

´ = − o lo que es lo mismo: 

= ´ + 

Que indica que la velocidad absoluta de P (vista desde S en reposo) es igual ala 

velocidad relativa ´ (vista desde S´) más la velocidad de arrastre de un sistema u 

observador frente al otro . 

Derivando de nuevo respecto a t: 

= ´ 

Ya que v0 es constante. Esta ecuación demuestra que la aceleración de P es la misma 

vista desde S que desde S´, siempre que S´ sea inercial respecto a S. Multiplicando por 

m a ambos miembros = ´ = . Esto indica que la ley fundamental de la dinámica 

puede aplicarse igualmente al estudio de un cuerpo desde un observador en reposo 

S, que desde otro que se mueve con respecto al primero con velocidad constante 

(v0), es decir con MRU. Por tanto no existe ningún procedimiento dinámico para 

averiguar situados en el interior de un sistema de referencia si este está en reposo o se 

mueve con MRU. 

8.1. Sistemas no inerciales: fuerzas de inercia. 

Cabe preguntarse que sucede en los sistemas de referencia acelerados o no 

inerciales, si el movimiento de S´ es no inercial. Si a la azafata del avión se le ocurriera 

intentar llenar un vaso cuando el avión despega no acertaría a llenar ni un solo vaso. 

En el interior de los sistemas acelerados aparece algo que modifica la anterior 

relación, aparecen una especie de fuerzas llamadas fuerzas de inercia. 

Suponemos ahora que v0 no es constante, sino que es función del tiempo, como 

corresponde a un movimiento acelerado del S´. En tal caso al derivar respecto al 

tiempo la velocidad: 

´ = − ; multiplicando por m 

´ = − 

La fuerza que actúa sobre m producirá una aceleración si el observador está 

situado en S. 

Sin embargo si el observador está situado en S´ la ecuación = ´ no será válida ya 

que al ser S´ acelerado ´á . 

Sin embargo es posible introducir una corrección de modo que se pueda seguir 

aplicando la ley de Newton, aun a pesar de que el sistema de referencia S´ sea no 

inercial. 

23



Si consideramos como fuerza resultante ´, que actúa sobre P visto desde S´, la fuerza 

real más un término adicional =− , entonces se tendrá: 

´ = + = + (− ) 

Este término lo aplicamos cuando el observador se encuentra en el mismo sistema 

acelerado, y parece esa especie de fuerza “ficticia” que tiende a restituir el estado 

anterior del sistema. 

Introduciremos el término fuerza de inercia cuando estemos observando la dinámica 

desde un sistema acelerado, nunca desde el exterior al mismo. 

69. La fuerza “centrífuga” es muy utilizada en diversos aparatos, como las lavadoras, para 

centrifugar la ropa antes de tenderla. El “tambor” de la lavadora tiene muchos agujeros, 

por los que sale el agua. 

• En realidad esta “fuerza” no es tal, porque no es una interacción (no hay ningún 

objeto que empuje o tire de las gotas de agua). Entonces, ¿por qué principio de 

Newton sale el agua al girar muy deprisa el tambor? 

• ¿En qué dirección sale el agua? Represéntalo en un dibujo. 

• Cita otros fenómenos en los que nos veamos desplazados debido a esta inexistente 

“fuerza”. 

70. Un hombre de 80 kg se encuentra de pie en el interior de un ascensor. Determinar la 

fuerza que ejercerá sobre el suelo en las siguientes situaciones: 

a) El ascensor está en reposo 

b) El ascensor acelera hacia arriba con una aceleración igual a 2,5 m/s 2 

c) El ascensor asciende a velocidad constante 

d )El ascensor asciende y frena para parar a 2m/s 2 . 

Resolver el ejercicio desde la perspectiva de un observador situado dentro del ascensor 

(no inercial), y desde la de otro situado en tierra (inercial). 

Sol. a) 784N; b)980N c) 784 N d) 624 N 

Ejemplo. Un vagón se mueve con una aceleración de 4 m/s 2. Calcular el ángulo que 

formará con la vertical un péndulo situado en su interior. 

Observador situado en el interior (no inercial) 

Un observador situado en el interior del vagón observará el péndulo en reposo 

formando cierto ángulo con la vertical. Para poder explicarse esta situación deberá 

introducir una fuerza de inercia dirigida hacia la izquierda 

Fi 

Fi 

a 

T ∙cos α 

P 

T∙ sen α 

24


T cos α − m g = 0 

T sen α − F = 0 


Para un observador inercial (situado en el exterior) las ecuaciones serían distintas. Él no 

necesita introducir fuerzas falsas ya que ve que el péndulo tiene una aceleración 

hacia la derecha. Esta aceleración debe ser comunicada por la componente de la 

tensión según el eje X. Por tanto: 

El observador inercial es capaz de explicar sin dificultad lo que sucede: 

Como consecuencia de la aceleración del sistema hacia la derecha, el péndulo 

(debido a su inercia) va “retrasándose” respecto del vagón hasta que la componente 

horizontal de la tensión es capaz de proporcionarle una aceleración igual a la del 

vagón. Entonces comienza a moverse con su misma aceleración 

9. MÁQUINAS SIMPLES 

9.1 MÁQUINA DE ATWOOD. 

i 

Poniendo el valor de la fuerza 

de inercia, operando y 

dividiendo ambas, se tiene: 

Dispositivo conocido como Máquina de Atwood. En este caso 

consideramos m1>m2 por lo que el movimiento será en el 

sentido de la flecha. 

Aislando sistemas masa 1 y masa 2: 

Bloque 1: ∑ = + = ∙ 

Bloque 2: ∑ = + = ∙ 

Trabajando con las componentes en la dirección de movimiento: 

Bloque 1: ∑ = − + = ∙ 

Bloque 2: ∑ = − = ∙ 

T s e n α m a 

= 

T c o s α m g 

m 

4 2 a s 

tg α = = 

g m 

1 0 2 

s 

T cos α − m g = 0 

T sen α = 

m a 

0 

= 0, 4 ; α = 2 1, 8 

Sumando ambas expresiones y considerando que al tratarse de la misma cuerda sin 

rozamiento T1=T2=T, nos queda: 

T1 

P1 

T2 

P2 

25


9.2 ASCENSOR Y GRÚAS. 


= ∙ 

Vamos a considerar los casos en los que el ascensor, como que soporta fuerzas como 

son el peso de la cabina, y la tensión del cable, y vemos como varía el valor de ésta 

última en los diferentes movimientos que realiza la cabina. 

9.2.1 SISTEMA INERCIAL (OBSERVADOR EN EL EXTERIOR) 

Vamos a trabajar directamente con componentes al tratarse de un movimiento 

vertical. Eliminamos el vector unitario directamente. 

Caso a) Ascensor en reposo: Caso b) Arranca para ascender. 

T a=0 T a>0 

T= P= m·g T-P= m·a 

a T= ma +mg=m(a+g) 

P P 

La persona no está en reposo para el 

observador externo. Se mueve hacia arriba con una 

aceleración a. 

Caso c) Asciende a velocidad cte. Caso d) Frena al ascender 

T a=0 T a


9.2.2 SISTEMA NO INERCIAL (OBSERVADOR EN EL INTERIOR) 


Caso a) Ascensor en reposo: Caso b) Arranca para ascender. 

T a=0 T a>0 

T= P= m·g T-P- Fi=0 

T=mg +ma´ =m (g+a´) 

P Fi 

P 

La persona se encuentra en reposo en el interior 

de un sistema no inercial. 

Caso c) Asciende a velocidad cte. Caso d) Frena al ascender 

T a=0 Fi a



resultante. Podemos descomponer el peso respecto a un sistema de referencia como 

el representado, en el que uno de sus ejes se mantiene paralelo al propio plano (eje x) 

y otro perpendicular (eje y) . 

Nacen así las componentes señaladas Px y Py. 

La elección de los sistemas de ejes para el cálculo de la resultante de las fuerzas es 

importante. Para ello, hay que recordar que esa resultante que vamos a calcular ha 

de tener LA MISMA DIRECCIÓN y SENTIDO que la aceleración. 

Analizamos el sistema dinámico vectorial en el eje x e y: 

Eje x: = 

Eje y: + = 

Analizamos las componentes: 

Eje x: = → = 

Eje y: − = → − = 

= = 

= 

Este valor de la aceleración (que como se ve es independiente de la masa del objeto) 

es con la aceleración con que descenderá el cuerpo por el plano inclinado. 

En caso de considerar fuerzas de rozamiento: 

Eje x: + = 

Eje y: + = 

Eje x: − = → − = 

Eje y: − = → − = 

=Py 

= mg 

− = → − = → mgsen- µmgcos = 

a= g (sen − ) 

Ejemplo. Un cuerpo de masa 300 g se encuentra apoyado en un plano inclinado 15 0 . 

Si el coeficiente de rozamiento estático vale 0,40 y el cinético 0,30. 

a. Comentar si el cuerpo deslizará por el plano o permanecerá quieto. 

b. Si no desliza comentar qué se podría hacer para que bajara y calcular 

entonces la aceleración con la que desciende. 

Fr 

28


a) El diagrama de fuerzas será: 


La fuerza de rozamiento estática puede tomar un valor máximo dado por: 

Fr = µs N = µs m g cos α = 0,40 . 0,300 kg .10 m/s 2 cos 15 0 = 1,16 N 

La fuerza que tiende a hacerlo deslizar vale: 

P sen α = m g sen α = 0,300 kg. 10 m/s 2 sen 15 0 = 0,78 N 

Por tanto la fuerza de rozamiento estática puede compensar a la componente 

del peso y el cuerpo no deslizará. 

b) Para que el cuerpo descienda la componente del peso deberá ser mayor que el 

valor máximo de la fuerza de rozamiento estática. Cuando sea igual se cumplirá: 

P sen α = Fr 

m g s e n α = µ s m g 

s e n α 

µ s = = tg α 

c o s α 

Por tanto cuando tg α= 0,40; α = 21,8 0 

Si el plano se inclina hasta este ángulo, el cuerpo (en teoría) no deslizaría, aunque 

bastaría tocarlo o una pequeña vibración para que se rompiera el equilibrio y 

comenzara a moverse. Si el ángulo supera este valor la fuerza de rozamiento estática 

no puede compensar a la componente del peso y el cuerpo comenzaría a deslizar. 

Imaginemos que inclinamos el plano hasta 30 0 . 

La fuerza de rozamiento estático tendrá ahora un valor máximo dado por: 

Fr = µs N = µs m g cos α = 0,40 . 0,300 kg .10 m/s 2 cos 30 0 = 1,04 N 

Y la componente del peso paralela al plano valdrá: 

P sen α = m g sen α = 0,300 kg. 10 m/s 2 sen 30 0 =1,50 N 

Su valor es superior al valor máximo que adquiere la fuerza de rozamiento estático. Por 

tanto la fuerza de rozamiento estática no puede compensar la componente del peso 

y comenzará a deslizar. 

P sen α 

N 

P sen α 

Fk 

α P 

P cos α 

N 

α 

c o s α 

Eje Y : N − P cos α = 0 ; N = m g cos α 

Eje X : P sen α − F = m a 

a 

Fr 

P cos α 

k 

P sen α 

P sen α − F m g sen α − µ N m g sen α − µ m gcos α 

m m 

m 

k k 

k 

= = = 

P cos α 

m 0 0 m 

a = g (sen α − µ k cos α ) = 10 (sen30 − 0,30 cos 30 ) = 2,40 

2 2 

s s 

N 

Fr 

29



72. Deduce a partir de la expresión anterior el valor mínimo del coeficiente de rozamiento 

para que el cuerpo empiece a deslizar por un plano inclinado. 

73. Deseamos aparcar un coche de 1500 kg en una cuesta de 15° de inclinación. ¿Cuál 

debe ser la fuerza de rozamiento estático entre las ruedas y el suelo? 

10. MOVIMENTOS CIRCULARES. FUERZA CENTRÍPETA. 

Ya hemos estudiado en el tema anterior que los movimientos circulares aunque sean 

uniformes son movimientos acelerados. Esa aceleración normal o centrípeta está 

asociada a los cambios de dirección de la velocidad. Si la aceleración es de tipo 

normal, a la fuerza que provoca dicha aceleración (2ª ley de Newton) se la denomina 

fuerza centrípeta. 

Así por ejemplo, la fuerza que actúa sobre la Luna en su giro sobre la Tierra es de tipo 

centrípeto. En esos casos donde la aceleración es sólo de tipo centrípeto, la ecuación 

de la segunda ley de Newton puede quedar escrita: 

= = 

∙ = ∙ 

donde u es un vector unitario dirigido hacia el centro de giro. (Siempre que 

escribimos nos estamos refiriendo a la resultante de las fuerzas). 

• Esta segunda ley marca la relación (vectorial) entre RESULTANTE de fuerzas y 

VARIACIÓN del movimiento (aceleración) de tal modo que esa resultante posee la 

misma dirección y el mismo sentido que la aceleración (que NO de la velocidad). 

Ejemplo. Estudiar las fuerzas actuantes sobre un motorista que toma una curva, los 

factores que intervienen y cómo influyen en la velocidad máxima a la que se puede 

tomar la curva. 

Para que un motorista por ejemplo describa una curva debe existir una fuerza dirigida 

hacia el centro de la misma (fuerza centrípeta) que sea la responsable del cambio en 

la dirección de la velocidad (aceleración centrípeta). Si dicha fuerza no existe, o es 

insuficiente, no se podrá curvar la trayectoria y será imposible tomar la curva. 

Eje Y: 

Eje X: 

P 

α 

N 

α 

m g 

N cosα − m g = 0 ; N = 

cos α 

2 

N senα = m a N = m 

R 

m g 

senα = m 

cosα 

v = g R tg α 

En caso de que no exista rozamiento, la curva debe estar 

peraltada para que pueda existir giro, la fuerza centrípeta 

es suministrada por la componente horizontal de la fuerza 

normal al plano. 

2 

v 

R 

v 

N cos α 

P 

α 

N sen α 

=0Fcta 

30



Como se puede ver la velocidad depende ahora del ángulo de peralte y del 

radio de la curva. Por ejemplo para una curva de 30 m de radio y un ángulo de 

peralte de 10 0 podríamos dar la curva, con una fuerza de rozamiento nula, si 

vamos a una velocidad máxima de: 

Si existe rozamiento al aumentar la fuerza centrípeta aumentará también la 

velocidad con la que se puede describir la curva. 

Si existe rozamiento, la fuerza centrípeta es suministrada por el rozamiento de los 

neumáticos contra el suelo (ver figura). La fuerza de rozamiento que se muestra es una 

fuerza de rozamiento estática, ya que fija instantáneamente el neumático al suelo 

impidiendo que deslice hacia el exterior de la curva. En consecuencia esta fuerza 

podrá tomar como máximo el valor: Froz= µs N. 

Eje Y: 

α 

m m km 

= α = = = 

s 

s h 

0 

v g R tg 10 30 m tg10 7,3 26,3 

2 

Eje X : Para describir la curva debe cumplirse FN = m . aN 

2 

v 

N cosα + Fs = m a n ; N cosα + Fs = m 

R 

2 2 

v v 

N cosα + µ s N = m ; N ( cosα + µ s ) = m 

R R 

N 

Fr 

P 

m g 

N senα − m g = 0 ; N = 

senα 

La fuerza normal también contribuye a 

aumentar el valor de la fuerza centrípeta. Esta 

puede aumentar más aún peraltando la 

curva. 

Sustituyendo el valor de N llegamos a la siguiente expresión para el cálculo de la 

velocidad: 

2 

v 

N ( cosα + µ s ) = m 

R 

m g 

senα 

2 

v 

cos α + µ s = m 

R 

( ) 

⎛ cosα 

+ µ ⎞ 

v g R 

⎝ senα 

⎠ 

s 

= ⎜ ⎟ 

Como se puede ver la máxima velocidad depende del radio de la curva, del ángulo 

de inclinación y del coeficiente de rozamiento estático. Si suponemos una curva 

cerrada (R = 30 m), que el máximo ángulo de inclinación es de 40 0 y un coeficiente 

estático de rozamiento de 0,80: 

⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

v = g R ⎜ 10 30 m 27,0 97,3 

sen 

⎟ = = = 

⎝ α ⎠ s ⎝ sen40 ⎠ 

s h 

0 

cos α + µ s 

m cos 40 + 0,80 m km 

2 ⎜ 0 ⎟ 

31



Es conocido que con el paso de la carrera los neumáticos se degradan (desgaste, 

derrapes, funcionamiento a temperatura inadecuada…) razón por la cual el 

coeficiente de rozamiento se verá afectado. Para la misma curva si suponemos que el 

coeficiente de rozamiento disminuye hasta un valor de 0,50 la máxima velocidad con 

la que hay garantías de poder describir la curva desciende hasta los 24,3 m/s. Esto es 

87,5 km/h. 

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN 

74. ¿Cuánto tiempo ha de estar actuando una fuerza de 100 N sobre un cuerpo de 20 kg, 

inicialmente en reposo, para que alcance una velocidad de 72 km/h? 

75. Un coche tiene una masa de 700 kg y tarda 8 s en alcanzar la velocidad de 100 km/h, 

partiendo del reposo. Calcula el valor del módulo de la fuerza neta que actúa sobre el 

coche y el espacio recorrido en dicho tiempo. 

76. Dibuja y nombra las fuerzas que actúan sobre una escalera apoyada sobre una pared 

rugosa (el suelo también es rugoso). En otro esquema diferente, dibuja las fuerzas que la 

escalera ejerce. Escribe qué fuerzas han de ser iguales para que la escalera esté en 

equilibrio. 

77. Una grúa sostiene un bloque de 5 kg y es arrastrado hacia arriba con una aceleración 

de 2m/s 2 . Calcula: 

a) La tensión de la cuerda 

b) Si después de iniciado el movimiento la tensión de reduce a 49 N, ¿Qué sucederá? 

Sol.59 N; Si disminuye la a es…. 

78. ¿Por qué se necesitan dos fuerzas para producir un MCUA? ¿Podrían sustituirse por una 

sola? ¿Por qué? 

79. Dos masas, M1 y M2, respectivamente cuelgan parejas mediante un cable de masa 

despreciable (máquina de Atwood) que pasa por la garganta de una polea. Si se dejan 

en libertad y admitiendo que no existen rozamientos importantes, determinar la 

aceleración de caída/subida de cada masa. ¿Qué ocurriría si las masas fueran iguales? 

(NOTA: si la masa del cable NO fuera despreciable, el tratamiento sería muy diferente, 

ya que se introduce en el sistema otro cuerpo –la cuerda‐ cuya masa y aceleración 

habrá que considerar) 

80. Una moto toma una curva, pero encuentra una mancha de aceite que elimina por 

completo el rozamiento con la carretera. Dibuja la trayectoria que seguirá la moto y 

explica por qué. 

81. Determinar la tensión que soporta un cable de una grúa si ésta arranca para ascender 

un fardo de 200 kg de masa, y lo hace pasando de 0 a 2m/s en 2s. 

82. Determinar qué relación debe existir entre las masas de una máquina de Atwood para 

que el conjunto se mueva con una aceleración que sea el 2 % de la de la gravedad. 

83. Un péndulo cónico está formado por una masa de 10 kg, colgada de una cuerda de 

1,5 metros de longitud, que describe círculos en un plano horizontal, con velocidad 

angular constante. Si el cuerpo gira a razón de 3 rad/s, describiendo un círculo de 1 m 

de radio, determinar la tensión de la cuerda y el ángulo que forma con la vertical. 

84. Un automóvil de 1500 kg toma una curva plana de 200 m de radio a una velocidad de 

90 km/h. Calcula la fuerza de rozamiento que existe entre neumáticos y carretera. Sol. 

4687, 5 N 

85. En las carreteras, suelen peraltarse las curvas, inclinándolas hacia el centro de la curva, 

para garantizar que, aún en las peores condiciones (suelo resbaladizo, neumáticos 

desgastados, etc.), un vehículo sea capaz de tomar la curva con éxito. Calcula la 

32



velocidad máxima con que un vehículo puede tomar una curva de radio R, peraltada 

un ángulo α, si despreciamos los rozamientos. (NOTA: ten presente que la resultante de 

las fuerzas que actúan sobre el vehículo ha de estar dirigida hacia el centro de giro) 

86. Se hace girar un cubo de agua siguiendo una circunferencia vertical de radio R. Si la 

velocidad del cubo en su parte más alta es v, determina la fuerza ejercida por el cubo 

sobre el agua. Calcula también el valor MINIMO de velocidad, Vmin, para que el agua 

NO caiga. 

87. Una partícula puntual de masa m, sujeta al extremo de una cuerda de longitud L, gira 

describiendo circunferencias horizontales de radio R, siendo v su rapidez según un 

“péndulo cónico”. Determinar el ángulo que forma la cuerda con la vertical, así como 

la tensión que experimenta. 

88. Calcular la fuerza que un objeto de 60 kg ejerce sobre el piso de un ascensor cuando: 

a) Está en reposo. 

b) Asciende con una velocidad constante de 1 m/s. 

c) Asciende con una aceleración cte. de 1 ms ‐ 2 

d) Desciende con aceleración cts. de 1 ms ‐ 2 

e) Si el ascensor y el objeto pesan juntos 500 kg, ¿qué tensión deberá ejercer el cable 

del motor en el caso c)? 

89. Se desea subir una caja de masa m por un rampa de 30° (plano inclinado) con 

rozamiento, tirando de ella con ayuda de una cuerda paralela al plano. Dibuja y 

nombra las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y sobre la cuerda. 

90. Un bloque de 100 kg es empujado a lo largo de una 

superficie sin rozamiento por medio de una fuerza F, 

de tal modo que su aceleración es de 6m/s 2 . Un 

bloque de 20 kg se desliza por la parte superior del 

bloque de 100 kg con una aceleración de 4m/s 2 . 

a) Valor del coeficiente de rozamiento entre los 

bloques. 

b) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre el bloque de 100 kg? ¿Cuánto vale la fuerza 

F? 

c) Una vez que el bloque de 100 kg se ha caído del de 100kg ¿Cuál es la aceleración 

que adquiere este último? 

Sol. µ=0,4; Fneta=600N; F= 680N; a´= 6,8 m/s 2 

91. Un cuerpo de 0,5 kg recorre una circunferencia vertical atado al extremo de una 

cuerda de 0,5 m de longitud a celeridad cte. de 6 m/s. Hallar la tensión de la cuerda 

cuando el cuerpo está: 

a) En el punto más bajo de la circunferencia. 

b) En el más alto. 

c) Al mismo nivel que el centro de la circunferencia. 

d) Formando un ángulo de 30° con la horizontal. 

92. Desde lo alto de un plano inclinado y 

a una altura de 5 metros se deja un 

cuerpo de masa 2 kg. Al final de del 

plano y a 2 metros de la base, se 

encuentra otro cuerpo de masa 2 kg 

con el que colisiona. (ver figura). La 

colisión es totalmente inelástica. Si el 

coeficiente de rozamiento entre la 

superficie y los cuerpos es de 0.2, y el ángulo de inclinación es 30°, calcular el tiempo 

transcurrido desde que se suelta el cuerpo en lo alto de la rampa hasta que se 

detienen. 

33


93. Un cuerpo de masa m que se encuentra sobre un plano 

inclinado sin rozamiento está atado a un muelle (como se ve 

en la figura). Dibuja las fuerzas que actúan sobre el cuerpo m y 

escribe las igualdades que se deducen de la condición de 

equilibrio aplicada a los ejes X e Y. 


94. Un cuerpo de masa 10 kg se coloca encima de un muelle cuya longitud inicial es 15 cm. 

Como consecuencia de la interacción la longitud del muelle pasa a ser de 12 cm. 

Determina la constante elástica del muelle utilizado en el sistema internacional. 

95. ¿En cuál de las dos situaciones representadas en la figura, la 

fuerza necesaria para sostener el cuerpo por el muelle será mayor? 

96. De un muelle cuya constante elástica es 4000 N/m se cuelga un 

cuerpo de masa m alargándose el muelle en 5 cm. ¿Cuál es el valor de 

la masa colgada? 

97. ¿Cuál es el valor de la fuerza de rozamiento en el bloque de la 

figura, cuya masa es de 10 kg?¿qué sentido tiene? Datos: F= 50 N 

;µ=0,5. Sol. 20N 

98. Una esfera de 4 kg de masa comprime 12 cm un muelle de K = 500 N/m (ver figura 

adjunta). Dejamos en libertad el conjunto y la esfera recorre un tramo horizontal sin 

rozamiento para terminar subiendo un plano inclinado 25º sobre la horizontal (también 

sin rozamiento) hasta que finalmente se detiene. Determinar 1) qué longitud recorre la 

esfera sobre el plano hasta que termina deteniéndose; 2) tras detenerse inicia el 

descenso: ¿qué tiempo emplea en llegar de nuevo al final del plano y con qué rapidez 

llega. (Admitir constante la fuerza que ejerce el muelle) 

99. Se ata una bola al extremo de una cuerda de 

70 cm de longitud y se hace girar en el aire con 

una velocidad constante en módulo. Si la 

cuerda forma un ángulo de 45 º con la vertical, 

calcula: a) La velocidad de la bola, b)El tiempo 

que tarda en darun giro completo, c)el número 

de vueltas que da la bola en un minuto. Sol a)2,2 

m/s; b) 1,4 s; c) 42 vueltas. 

100. Un jugador de tenis golpea con su raqueta una pelota de 125 g de masa, que le llega 

con una velocidad de 12 m/s, y la devuelve en la misma dirección y sentido contrario a 

20 m/s. Si la fuerza aplicada por el jugador es de 400 N, calcula cuál fue el tiempo de 

contacto entre raqueta y pelota. Sol t= 0,01 s 

34



101. Sobre un plano inclinado 30º respecto a la 

horizontal se encuentra un cuerpo de 30 kg de 

masa, unido por una cuerda que pasa por una 

pequeña polea sin rozamiento a un segundo 

bloque de 25 kg de masa, pendiente de la 

cuerda, según se indica en la figura . Calcula la 

aceleración con la que se mueve el sistema y la 

tensión de la cuerda. 

a) Si no existe rozamiento 

b ) Si el coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y el plano es 0,2. 

Sol. a) a= 1,78 m/s 2 ; T=200,5 N; b)a= 0,086 m/s 2 ; T= 223,6 N 

102. Un bloque de 10 kg está situado sobre una 

superficie lisa comprimiendo, inicialmente, un 

muelle. Dejamos en libertad el sistema y el 

cuerpo sale despedido a velocidad constante 

por la superficie horizontal. Dibuja las fuerzas 

que actúan sobre el bloque en cada una de 

las situaciones dibujadas. 

103. Un cuerpo de 25 kg está sometido a una aceleración constante de 8 m/s2. La fuerza 

que actúa sobre el mismo es la resultante de dos que poseen la misma dirección. Si una 

de ellas vale 300 N, ¿cuánto vale la otra? ¿Actúan las dos fuerzas en el mismo sentido? 

104. Calcula la velocidad final del sistema de la figura si 

una vez que chocan permanecen unidos. Sol. 8,6 

m/s 

105. Un petrolero de 30.000 t de masa, es arrastrado 

por dos remolcadores que ejercen una fuerza de 6.104 N cada uno, perpendiculares 

entre sí, siendo la fuerza de rozamiento del barco con el agua de 3000 N. ¿Cuánto vale 

la aceleración del petrolero? 

106. En el sistema de la figura en el cual el 

coeficiente de rozamiento dinámico entre los 

bloques de 15 y 20 kg y la superficie de la mesa 

es de 0,25. Se pide: 

a) La aceleración del sistema. 

b) Las tensiones de las tres cuerdas. 

Sol. a= 1,5 m/s 2 ; Ta= 281,2 N; Tb= 339,6 N; Tc= 417,6 

N. 

107. Dos bloques de 8 y 4 kg, respectivamente que están unidos por una cuerda (véase 

figura), deslizan hacía abajo sobre un plano de 30 º 

de inclinación. Los coeficientes de rozamiento 

dinámicos entre ambos bloques y el plano son, 

respectivamente, 0,25 y 0,40. Calcula: 

a) La aceleración del conjunto. 

b) La tensión de la cuerda. 

Sol. a= 2,35 m/s 2 ; b) T= 3,4 N 

108. Se ata una bola al extremo de una cuerda de 45 cm de longitud y se hace girar en el 

aire con una velocidad constante en módulo. Si la cuerda forma un ángulo de 35º con 

la vertical, calcula el tiempo que tarda en completar una vuelta. Sol. 1,2 s 

35

fuerzas. Dinámica - Departamento de Física y Química. IES ISLA ...

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