Notemos - Cimat

Conversamente, si ψ satisface estas tres propiedades y ||µ||∞ = k < 1 entonces
podría esperarse que f(z) = z + ψ(z) sea un homeomorfismo cuasiconforme
en QC(k, R). Esto motiva la siguiente definición:
Definición:
Sean ψ, ν funciones en L ∞ . La ecuación
∂ψ = ν + µ∂ψ,
se conoce como la ecuación generalizada de Beltrami.
7 Paso 5:
En esta sección resolveremos la ecuación generalizada de Beltrami valiéndonos
de un resultado que enunciaremos sin demostración. Comenzaremos notando
algunas cosas que motivarán nuestra necesidad de cierto teorema. Supongamos
que ψ es una solución a la ecuación generalizada de Beltrami con µ, ν de soporte
compacto y ∂ψ, ∂ψ ∈ Lp (C), entonces tenemos que:
ψ(z) = 1
2πi
C
∂ψ(η)
dη ∧ (η).
η − z
Si consideramos el operador T definido por:
T φ(z) = 1
φ(η)
dη ∧ η,
2πi η − z
estamos diciendo que ψ = T (∂ψ). Este es un operador no acotado, lo cual
dificulta trabajar con él. Sin embargo, podemos escribir:
∂ψ = ∂(T (∂ψ)) = S(∂ψ),
donde S es la transformada de Beurling, dada por:
Sφ(z) = 1
φ(η)
dη ∧ dη
2πi (η − z) 2
donde entendemos esta integral como:
1
Sφ(z) = lim
ɛ→0 2πi
C
C
|η−z|>ɛ
φ(η)
dη ∧ dη.
(η − z) 2
Tenemos el siguiente teorema que enunciamos sin demostración:
Teorema de Calderón-Zygmund:
La transformada de Beurling se extiende a un operador acotado S : L p (C) →
L p (C) para cualquier 1 < p < ∞. Más precisamente, existe una función continua
logarítmicamente convexa p ↦→ Cp > 0 con C2 = 1 tal que ||Sφ||p ≤ Cp||φ||p
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