Morfismos, Primer Teorema de Isomorfismo, Grupo de ... - IMERL

Ejercicio 6. Sea f : G1 → G2 un morfismo de grupos. Probar los siguientes resultados:
i) Si K ⊳ G2 entonces f −1 (K) es un subgrupo normal de G1 que contiene a ker(f).
i) Si N ⊳ G1 y f es sobreyectivo entonces f(N) ⊳ G2.
iii) Si |G1| y |G2| son coprimos entonces f es el morfismo nulo (es decir, f(g) = eG2 ∀ g ∈ G1).
Ejercicio 7. Sea f : Z 2 → Z definida por f(x, y) = x − 3y.
i) Probar que f es un morfismo de grupos sobreyectivo (la operación en Z es la suma y en Z 2 la
suma coordenada a coordenada). ¿Es f inyectiva?
ii) Hallar N = kerf y hallar todos los elementos de Z 2 /N. Visualizar geometricamente lo anterior.
iii) Probar que Z 2 /N y Z son isomorfos. Hallar la imagen de 〈(1, 2)〉 por ese isomorfismo.
Ejercicio 8. En cada parte utilizar el Primer Teorema de Isomorfismo para probar que los grupos
dados son isomorfos.
i) (R ∗ /{1, −1}, ·) y (R + , ·).
iii) (R ∗ /R + , ·) y ({1, −1}, ·).
iv) (Zn, +) y G, donde G es un grupo cíclico con n elementos.
v) (Gln(R)/Sln(R), ·) y (R ∗ , ·) donde Sln(R) = {A ∈ Gln(R) : det(A) = 1}.
vi) (R 2 /∆, +) y (R, +) donde ∆ = {(x, x) : x ∈ R}.
Ejercicio 9. En cada parte, ver si existe un morfismo no trivial (es decir, que no mande todos los
elementos al neutro) entre los siguientes pares de grupos. En caso de que existan construir dicho
morfismo, y si no existe explicar porque.
i) S6 con la composición y Z3 con la suma.
ii) Z7 con la suma y S6 con la composición.
Ejercicio 10. Calcular:
1
1.
6
2
4
3
5
4
2
5
1
6
3
2.
1 2 3 4 5
4 1 3 2 5
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
−1 1 2 3 4 5
2 1 3 4 5
.
1 2 3 4 5
4 1 3 2 5
Ejercicio 11. Expresar las siguientes permutaciones como producto de ciclos disjuntos y calcular su
orden:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6
i)
ii)
3 1 4 2 7 6 9 8 5
6 5 4 3 2 1
iii) (12357)(2476) iv) (12)(13)(14) v) (123)(3579)(123) −1
.