´Algebra Abstracta. - DIM

Álgebra Abstracta.
28 de diciembre de 2007

Índice general
1. Grupos. 5
1.1. Semigrupos, monoides y grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Ejemplos de grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Subgrupos normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Generadores de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.1. Subgrupo generado por un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2. Grupos cíclicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7. Automorfismos interiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8. Teoremas de isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.1. Teorema de correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.2. Teoremas de isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9. Grupos abelianos de tipo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Acciones de grupos. 23
3

4 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1
Grupos.
El concepto de grupo es esencial en el estudio del álgebra.
1.1. Semigrupos, monoides y grupos
Sea G un conjunto no vacío. Una operación binaria o ley de composición sobre G es
una función G × G → G. La imagen por la ley de composición del par (a, b) ∈ G × G se
denota como ab (notación multiplicativa), o también como a + b (notación aditiva). En la
mayor parte del curso, usaremos la notación multiplicativa y nos referiremos a ab como el
producto de a y b.
Definición 1 Sea G un conjunto no vacío y G × G → G una operación binaria sobre G. Se
dice que
1. La ley de composición es asociativa si a(bc) = (ab)c para todo a, b, c ∈ G.
2. La ley de composición es conmutativa si ab = ba para todo a, b ∈ G.
3. Un elemento e ∈ G es un elemento neutro o identidad o unidad de la ley de
composición si
ae = ea = a para todo a ∈ G.
4. Un elemento b ∈ G es un inverso de a ∈ G si ab = ba = e.
Observación 1 Generalmente, la notación aditiva se utiliza cuando la ley de composición
es conmutativa.
Definición 2 Sea G un conjunto no vacío equipado con una ley de composición sobre G .
1. Se dice que G es un semigrupo si
a) la ley de composición es asociativa
2. Se dice que G es un monoide si
a) G es un semigrupo,
b) la ley de composición tiene un elemento neutro eG ∈ G.
5

6 CAPÍTULO 1. GRUPOS.
3. Se dice que G es un grupo si
a) G es un monoide,
b) Todo a ∈ G tiene un inverso.
4. Se dice que G es un grupo abeliano si G es un grupo y la ley de composición es
conmutativa.
El orden de un grupo G es su cardinal (número de elementos), y se escribe como |G|. Se dice
que el grupo G es finito si |G| < ∞. En caso contrario, se dice que G es infinito.
El siguiente teorema muestra la unicidad del neutro y del inverso de cada elemento en un
grupo.
Teorema 1 Sea G un conjunto no vacío equipado de una ley de composición.
1. Si G es un monoide, entonces el elemento neutro e es único. En este caso, denotaremos
eG al único neutro de G.
2. Si G un grupo, entonces:
a) c ∈ G y cc = c, ⇒ c = eG.
b) (Cancelación por la izquierda) a, b, c ∈ G y ab = ac ⇒ b = c.
c) (Cancelación por la derecha) a, b, c ∈ G y ba = ca ⇒ b = c.
d) Para todo a ∈ G, su elemnto inverso es único. En este caso, denotaremos a −1 al
único inverso de a.
e) Para todo a ∈ G, (a −1 ) −1 = a.
f) Para todo a, b ∈ G, (ab) −1 = b −1 a −1 .
Demostración: Si G es un monoide, entonces por definición existe un elemento neutro e ∈ G.
Veamos que este es único: si e ′ ∈ G es otro elemnto neutro, entonces e = ee ′ = e ′ . Luego,
e = e ′ y, por lo tanto, e es único.
Supongamos que G es un grupo, y probemos las afirmaciones (a)-(f).
(a) Sea c ∈ G tal que cc = c. Entonces c −1 (cc) = c −1 c ⇒ (c −1 c)c = c −1 c ⇒ eGc = eG ⇒ c =
eG.
(b) Sean a, b, c ∈ G tales que ab = ac. Luego,
(c)Ejercicio.
ab = ac ⇒ a −1 (ab) = a −1 (ac)
⇒ (a −1 a)b = (a −1 a)c
⇒ eGb = eGc
⇒ b = c
(d) Sea a ∈ G. Dado que G es un grupo, existe un inverso a −1 para a. Veamos que este es
único: si a ′ ∈ G es otro inverso para a, entonces aa ′ = eG = aa −1 . Utilizando la cancelación
por la izquierda, concluímos que a ′ = a −1 , lo que prueba la unicidad del inverso.

1.1. SEMIGRUPOS, MONOIDES Y GRUPOS 7
(e) Ejercicio
(f) Ejercicio.
Observación 2 A veces un grupo G se denota por (G, ·), donde · indica la operación binaria
que se utiliza.
1.1.1. Ejemplos de grupos.
N ∪ {0}, equipado con la suma como ley de composición, es un monoide.
Z, Q, R y C, cada uno equipado con la suma como ley de composición, es un grupo
abeliano.
Q \ {0}, R \ {0} y C \ {0}, cada uno equipado con la multiplicación como ley de
composición, es un grupos abeliano.
Raíces de la unidad
Sean n un entero positivo y G el subconjunto de C de todas las raíces n-ésimas de la unidad.
Es decir,
G = {e 2iπr/n : r ∈ {0, · · · , n − 1}}.
La multiplicación de números complejos restringida a G × G es una ley de composición sobre
G. Con esta ley de composición, G es un grupo abeliano finito. En efecto:
La multiplicación en C es asociativa, por lo que también es asociativa en G,
G tiene neutro y este es igual a e 2iπ0/n = 1.
Sea r ∈ {0, · · · , n − 1}. El elemento e 2iπr/n tiene inverso y este es igual e 2iπ(n−r)/n .
La multiplicación en C es conmutativa, por lo que también es conmutativa en G. Luego,
G es abeliano,
El cardinal de G es |G| = n < ∞. Luego, G es finito.
Conjunto de matrices invertibles con la multiplicación.
Sean n ≥ 2 un entero y K = Q, R o C. Se define
GL(n, K) = {A ∈ Mn×n(K) : A es invertible }.
El conjunto GL(n, K), equipado con la multiplicación de matrices, es un grupo. En efecto:
La multiplicación de matrices es asociativa en Mn×n(K). Luego, es asociativa en GL(n, K).
GL(n, K) tiene neutro, y este es igual a la matriz identidad In ∈ Mn×n(K).
Toda matriz A ∈ GL(n, K) tiene un inverso, y este igual a la matriz inversa A −1 .
Como la multiplicación de matrices no es conmutativa, GL(n, K) no es abeliano.

8 CAPÍTULO 1. GRUPOS.
Conjunto de funciones biyectivas con la composición de funciones.
Sean X un conjunto no vacío y G = {f : X → X : f es invertible }. La composición de
funciones es una ley de composición sobre G. El conjunto G, equipado de la composición de
funciones, es un grupo. En efecto:
La composición de funciones es asociativa,
La función identidad id : X → X es el neutro para la composición de funciones,
para todo f ∈ G su inversa f −1 es el inverso de f para la composición de funciones.
El grupo (G, ◦) no siempre es abeliano, como lo muestra el próximo ejemplo.
Grupo de permutaciones
Sea n ≥ 2 un entero. Definimos los conjuntos
Bn = {1, · · · , n} y Sn = {σ : Bn → Bn : σ es biyectiva }.
Sn equipado con la composición de funciones es un grupo (es un caso particular del ejemplo
anterior). Este grupo se conoce con el nombre de grupo de permutaciones de n elementos.
Los elementos de Sn se llaman permutaciones, y σ ∈ Sn se anota
o simplemente
σ =
1 · · · n
σ(1) · · · σ(n)
σ = (σ(1) · · · σ(n)) .
(Sn, ◦) es un grupo finito, con |Sn| = n!.
Si n = 2, las únicas permutaciones son id = (12) y σ = (21). Luego, como σ ◦ id = id ◦ σ = σ,
el grupo S2 es abeliano.
Si n ≥ 3, Sn no es abeliano. Para verificarlo, basta tomar las siguientes dos permutaciones
1
σ =
2
2
3
3
1
4
4
· · ·
· · ·
n
n
y
1
τ =
2
2
1
3
3
4
4
· · ·
· · ·
n
,
n
y comprobar que τ ◦ σ = σ ◦ τ.
Producto directo
Sean G1 y G2 dos grupos. Considere el producto G = G1×G1 = {(g1, g2) : g1 ∈ G1, g2 ∈ G2}.
Se define la siguiente operación binaria sobre G:
(g1, g2)(h1, h2) = (g1g2, h1h2), para todo g1, h1 ∈ G1 y g2, h2 ∈ G2.
Entonces G equipado con esta operación es un grupo, cuyo elemento neutro es (eG1 , eG2 ).
Además, el inverso de (g1, g2) está dado por (g −1
1 , g−1 2 ), para todo (g1, g2) ∈ G.
Similarmente, para n ≥ 3 grupos G1, · · · , Gn, el producto
G = G1 × · · · × Gn = {(g1, · · · , gn) : gi ∈ Gi para todo 1 ≤ i ≤ n}
,

1.2. SUBGRUPOS 9
equipado con la operación binaria coordenada a coordenada, es un grupo.
De manera más general, sea I un conjunto de índices, y para cada i ∈ I, sea Gi un grupo. El
producto G =
i∈I Gi es el conjunto definido por
Gi = {(xi)i∈I : xi ∈ Gi, para todo i ∈ I}.
i∈I
Sobre este conjunto se define la operación binaria coordenada a coordenada dada por
(xi)i∈I(yi)i∈I = (xiyi)i∈I para todo (xi)i∈I, (yi)i∈I ∈ G.
El conjunto G, equipado con la operación binaria coordenada a coordenada, es un grupo cuyo
elemento neutro es (eGi )i∈I. Además, el inverso de (xi)i∈I está dado por (x −1
i )i∈I, para todo
(xi)i∈I ∈ G. Al grupo G se le llama el producto directo de la familia {Gi}i∈I.
De lo anterior se deduce que Z n , Q n , R n y C n , cada uno equipado con la suma coordenada a
coordenada, es un grupo.
1.2. Subgrupos
Definición 3 Sea G un grupo. Se dice que H ⊆ G es un subgrupo de G si satisface las dos
propiedades siguientes:
H es cerrado para la ley de composición, i.e,
xy ∈ H, para todo x, y ∈ H.
H, equipado con la restricción a H × H de la ley de composición, es un grupo.
Se dice que un subgrupo H de G es trivial si H = {eG}. Observe que este es el subgrupo
”más pequeño”de G.
Ejercicio 1 Sea G un grupo. Pruebe que H ⊆ G es un subgrupo de G si y sólo si las siguientes
tres propiedades son ciertas:
1. H es cerrado para la ley de composición.
2. eG ∈ H.
3. Para todo x ∈ G, su inverso x −1 ∈ H.
Proposición 1 (Caracterización de subgrupos) Sea G un grupo. Un subconjunto H de G es
un subgrupo de G si y sólo si las siguientes dos propiedades son ciertas:
1. H = ∅.
2. xy −1 ∈ H, para todo x, y ∈ H.

10 CAPÍTULO 1. GRUPOS.
Demostración:
Si H ⊆ G es un subgrupo entonces, por Ejercicio 2, eG ∈ H. Luego, H = ∅. Si x, y ∈ H
entonces, nuevamente por Ejercicio 2, tenemos que y −1 ∈ H. Como H es cerrado por la ley
de composición, concluímos que xy −1 ∈ H.
Supongamos que H ⊆ G satisface las propiedades 1. y 2. de la Proposición. Como H = ∅,
existe x ∈ H. Luego, la propiedad 2. implica que eG = xx −1 ∈ H. Ya que eG ∈ H, de la
propiedad 2. sigue que si x ∈ H, entonces eGx −1 = x −1 ∈ H. Sean x, y ∈ H. De lo probado
anteriormente se tiene que y −1 ∈ H. Luego, propiedad 2. implica que xy = x(y −1 ) −1 ∈ H.
Finalmente, por Ejercicio 2, concluímos que H es un subgrupo de G.
Ejercicio 2 Sea G un grupo y sea {Gi}i∈I una familia de subgrupos de G. Pruebe que H =
i∈I Gi es un subgrupo de G.
1.3. Morfismos
Una manera de relacionar dos espacios X e Y es por medio de alguna función f : X → Y .
Dependiendo de la estructura que tengan X e Y , es el tipo de función que se escoge. Por
ejemplo, si X e Y son espacios vectoriales, lo natural es exigir que f sea una función lineal.
Cuando X e Y son grupos, las funciones que interesan son los morfismos u homomorfismos.
Definición 4 Sean G y H dos grupos. Un morfismo u homomorfismo entre G y H es
una función f : G → H que satisface la siguiente propiedad:
f(xy) = f(x)f(y) para todo x, y ∈ G.
En palabras, un morfismo entre dos grupos G y H es una función entre G y H que preserva
la estructura de grupo.
Ejercicio 3 Sean G y H dos grupos, y f : G → H un morfismo. Pruebe que
Si eG y eH son los elementos neutros de G y H, respectivamente, entonces f(eG) = eH.
f(g −1 ) = f(g) −1 , para todo g ∈ G.
Sean G y H dos grupos. Un morfismo f : G → H recibe el nombre de
monomorfismo si es inyectivo.
epimorfismo si es epiyectivo.
isomorfismo si es biyectivo.
endomorfismo si H = G.
automorfismo si es biyectivo y H = G.
Definición 5 Se dice que los grupos G y H son isomorfos, lo que se escribe como G ∼ = H,
si existe un isomorfismo f : G → H.
Ejercicio 4 Sea f : G → H un morfismo entre los grupos G y H. Entonces:

1.4. SUBGRUPOS NORMALES. 11
Si G1 ⊆ G es un subgrupo de G, entonces f(G1) es un subgrupo de H.
Si H1 ⊆ H es un subgrupo de H, entonces f −1 (H1) es un subgrupo de G.
Definición 6 Sea f : G → H un morfismo entre los grupos G y H.
Se define el núcleo o kernel de f como el conjunto
Ker(f) = f −1 ({eH}) = {x ∈ G : f(x) = eH}.
Se define la imagen de f como el conjunto
Im(f) = f(G) = {f(x) : x ∈ G}.
Ejercicio 5 Sea f : G → H un morfismo entre los grupos G y H. Pruebe que Ker(f) es un
subgrupo de G, y que Im(f) es un subgrupo de H.
La siguiente Propisición entrega una caracterización de los morfismos inyectivos.
Proposición 2 Sea f : G → H un morfismo entre los grupos G y H. Entonces
f es inyectiva si y sólo si Ker(f) = {eG}.
Demostración: Supongamos que f es inyectiva. Como f(eG) = eH, entonces eG ∈ Ker(f). Si
x ∈ Ker(f) entonces f(x) = f(eG) = eH, pero como f es inyectiva, es necesario que x = eG.
Luego, Ker(f) = {eG}.
Supongamos que Ker(f) = {eG}. Sean x, y ∈ G tales que f(x) = f(y). Entonces tenemos que
f(x)f(y) −1 = eH ⇒ f(x)f(y −1 ) = eH
⇒ f(xy −1 ) = eH
⇒ xy −1 ∈ Ker(f).
Luego, por hipótesis, xy −1 = eG, lo que implica que x = y.
1.4. Subgrupos normales.
1.4.1. Relaciones de equivalencia
Sea X un conjunto no vacío. Una relación sobre X es un subconjunto R de X × X. Se dice
que x ∈ X está relacionado según R con y ∈ X (lo que anotaremos x ∼R y, o simplemente
x ∼ y, si no hay confusión) si y sólo si (x, y) ∈ R.
Se dice que R es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
Reflexividad: x ∼ x para todo x ∈ X.
Simetría: para todo x, y ∈ X, x ∼ y ⇒ y ∼ x.
Transitividad: para todo x, y, z ∈ X, x ∼ y e y ∼ z ⇒ x ∼ z.

12 CAPÍTULO 1. GRUPOS.
Si R es una relación de equivalencia, se define la clase de equivalencia de x ∈ X como
[x]R = [x] = {y ∈ X : x ∼ y}.
Observación 3 Notar que x ∼ y si y s ´ lo si [x] = [y].
La colección de clases de equivalencia de R forma una partición de X.
Al conjunto de clases de equivalencia de R se le llama conjunto cuociente y se denota
X/ ∼R o simplemente X/ ∼.
Definición 7 Sea G un grupo. Se dice que la relación de equivalencia ∼ sobre G es compatible
con la ley de composición si
para todo x1, x2, y1, y2 ∈ G, x1 ∼ y1 y x2 ∼ y2 ⇒ x1x2 ∼ y1y2.
Sea G un grupo y sea ∼ una relación de equivalencia compatible con la ley de composición.
Sobre X/ ∼ la siguiente ley de composición está bien definida
[x][y] = [xy], para todo x, y ∈ G.
En efecto, si x ′ ∈ [x] e y ′ ∈ [y], entonces, por definición de relación compatible, se tiene que
x ′ y ′ ∼ xy. Es decir, [x ′ y ′ ] = [xy].
Llamaremos ley inducida a esta ley de composición sobre G/ ∼.
Proposición 3 Sea G un grupo y sea ∼ una relación de equivalencia compatible con la ley
de composición. El conjunto cuociente G/ ∼, equipado con la ley de composición inducida,
es un grupo.
Demostración: La asociatividad de la ley inducida se hereda de la asociatividad de la ley de
composición de G. La clase [eG] es el elemento neutro para la ley inducida. Luego, el inverso
de [x] es [x −1 ], para todo [x] ∈ G/ ∼.
Ejercicio 6 Sean G un grupo y ∼ una relación de equivalencia compatible con la ley de
composición.
Pruebe que la función ν : G → G/ ∼ definida por ν(x) = [x] es un morfismo epiyectivo.
Definición 8 Sean G un grupo y ∼ una relación de equivalencia compatible con la ley de
composición.
Al epimorfismo ν : G → G/ ∼, definido por ν(x) = [x], se le llama epimorfismo canónico
o sobreyección canónica.
Ejercicio 7 Sean G un grupo y ∼ una relación de equivalencia compatible con la ley de
composición. Pruebe que
[eG] ⊆ G es el kernel de ν : G → G/ ∼.
Para todo x ∈ G e y ∈ Ker(ν), se tiene que x −1 yx ∈ Ker(ν).

1.4. SUBGRUPOS NORMALES. 13
1.4.2. Subgrupos normales
Hemos visto que el Kernel de un morfismo f : G → H es un subgrupo de G. En lo que sigue,
trataremos de caracterizar tales subgrupos.
En el Ejercicio 7, se prueba que el kernel de un epimorfismo canónico ν satisface
x −1 Ker(ν)x ⊆ Ker(ν), para todo x ∈ G.
En realidad, se puede probar un resultado más general, como la muestra la siguiente proposición.
Proposición 4 Sea f : G → H un morfismo entre los grupos G y H. Entonces
x −1 Ker(f)x = Ker(f), para todo x ∈ G.
Demostración: Sean x ∈ G e y ∈ Ker(f). Tenemos que
f(x −1 yx) = f(x −1 )f(y)f(x)
= f(x) −1 eHf(x)
= f(x) −1 f(x)
= eH.
Luego, x −1 yx ∈ Ker(f). Como x e y son arbitrarios, hemos probado que
x −1 Ker(f)x ⊆ Ker(f), para todo x ∈ G. (1.4.1)
Por otro lado, si y ∈ Ker(f) entonces y = x −1 xyx −1 x. Por (1.4.1) aplicado a x −1 , deducimos
que xyx −1 ∈ H. Luego, y = x −1 xyx −1 x ∈ x −1 Ker(f)x, lo que prueba que
x −1 Ker(f)x = Ker(f), para todo x ∈ G.
Definición 9 Sea G un grupo. Un subgrupo H de G se dice normal si
x −1 Hx = H, para todo x ∈ G.
La frase ”H es un subgrupo normal de G”se abrevia por H ✁ G.
Ejercicio 8 Sea H un subgrupo de G. Probar que
x −1 Hx = H ⇔ x −1 Hx ⊆ H.
Luego, H ✁ G ⇔ x −1 Hx ⊆ H para todo x ∈ G.
Ejercicio 9 Si G es un grupo abeliano, entonces todo subgrupo de G es normal.
De la Proposicón 4 concluímos que el kernel de un morfismo es un subgrupo normal. Veremos
que cualquier subgrupo normal es el kernel de algún morfismo.

14 CAPÍTULO 1. GRUPOS.
Definición 10 Sea H ⊆ G un subgrupo. Se define la siguiente ralción sobre G
Proposición 5 Sea H ⊆ G un subgrupo.
La relación ∼H es de equivalencia.
x ∼H y ⇔ x −1 y ∈ H.
La clase de equivalencia de x ∈ G es el conjunto xH. Este conjunto recibe el nombre
de clase derecha de x.
La relación ∼H es compatible con la ley de composición si y sólo si H ✁ G.
Demostración: El primer y el segundo punto quedan como ejercicio.
Para probar el tercer punto, supongamos primero que ∼H es compatible con la ley de com-
posición. Sean x ∈ G y h ∈ H. Tenemos que eG ∼H h, pues e −1
G h = h ∈ H, y x ∼H x, pues
la relación es refleja. Luego, como la relación es compatible, obtenemos que eGx ∼H hx. Es
decir, x −1 (hx) = x −1 hx ∈ H. Entonces, como x y h son arbitrarios, concluímos que
lo que es equivalente a H ✁ G.
x −1 Hx ⊆ H, para todo x ∈ G,
Supongamos ahora que H ✁ G. Sean x1, x2, y1, y2 ∈ G tales que x1 ∼H x2 e y1 ∼H y2,
lo que equivale a decir que x −1
1 x2 ∈ H e y −1
1 y2 ∈ H. Ya que H es normal, tenemos que
y −1
2 (x−1 1 x2)y2 ∈ H. Luego, como y −1
1 y2 ∈ H y H es cerrado para la ley de composición,
−1
y2)y 1 x2)y2 = (x1y1) −1 (x2y2) ∈ H, lo que implica que x1y1 ∼H x2y2.
obtenemos (y −1
1
2 (x−1
Observación 4 La relación x ≈H y ⇔ yx −1 ∈ H, también es de equivalencia. La clase de
x ∈ G según esta relación es igual a Hx (clase izquierda de x). En general, xH y Hx no
tienen porque coincidir. De hecho, xH = Hx, para todo x ∈ H ⇔ H ✁ G.
La Proposición 5 asegura que si H ✁ G entonces el cuociente G/ ∼H, con la ley inducida, es
un grupo.
El cuociente G/ ∼H se denota G/H, lo que se lee como ”G módulo H”. Cuando H ✁ G, se
dice que G/H es el grupo factor de G por H.
Ahora tenemos todas las herramientas para probar que cualquier subgrupo normal es el kernel
de algún morfismo.
Proposición 6 Sea H ⊆ G un subgrupo. Entonces
H es el kernel de un morfismo ⇔ H ✁ G.
Demostración: En la Proposición 4 se probó que si H es el kernel de un morfismo, entonces
H ✁ G.
Si H ✁ G, entonces G/H es un grupo. Además, como [eG] = H, el kernel del epimorfismo
canónico ν : G → G/H es H.

1.5. TEOREMA DEL FACTOR 15
Enteros módulo m
Sea m ≥ 0 un entero, y considere Z equipado con la suma. El conjunto mZ = {ma : a ∈ Z}
es un subgrupo de Z. En efecto:
mZ = ∅, pues 0 = m0 ∈ mZ,
Si a, b ∈ Z, entonces −ma + mb = m(b − a) ∈ mZ.
Como Z es abeliano, mZ es un subgrupo normal y, por lo tanto, Z/mZ es un grupo con la
ley inducida.
La clase de a ∈ Z en Z/mZ es el conjunto
[a] = a + mZ = {mk + a : k ∈ Z}.
Si b ∈ a + mZ se dice que ”a = b módulo m”. El conjunto Z/mZ también se denota como
Zm, y se lee ”Z módulo m”.
Observe que Z/mZ = {[0], · · · , [m − 1]}.
Proposición 7 Los subgrupos de Z son todos de la forma mZ, con m ≥ 0.
Demostración:
Sea H ⊆ Z un subgrupo.
Caso 1: si H = {0}, entonces H = 0Z.
Caso 2: si H = {0}, entonces existe m = mín{a ∈ H : a > 0}. Sea h ∈ H un elemento
cualquiera, y sea k ∈ Z tal que km ≤ m < (k + 1)m. Tenemos que h = km + r, para algún
r ∈ {0, · · · , m − 1}. Como m ∈ H, entonces km y −km están en H. Luego, h − km = r ∈ H.
Ya que m es el elemento positivo más pequeño en H, necesariamente r = 0. Luego, h = mk.
De la Proposición anterior, se desprende que los únicos grupos factores de Z por un subgrupo
son los grupos Z módulo m.
Ejercicio 10 Pruebe que Z ∼ = Z/0Z.
1.5. Teorema del factor
Teorema 2 (Teorema del factor) Sea f : G → L un morfismo entre los grupos G y L. Sea
H ✁ G tal que H ⊆ Ker(f). Entonces existe un único morfismo f : G/H → L que verifica
f ◦ ν = f, donde ν : G → G/H es el epimorfismo canónico.
f
¯f
ν
G
G/H
L .

16 CAPÍTULO 1. GRUPOS.
Demostración: Primero mostremos la unicidad: si f1, f2 : G/H → L son dos morfismos tales
que f1 ◦ ν = f = f2 ◦ ν, entonces para todo [x] ∈ G/H,
lo que prueba que f1 = f2.
f1([x]) = f1 ◦ ν(x) = f(x) = f2 ◦ ν(x) = f2([x]),
Si se tiene que [x] = [x ′ ] ⇒ f(x) = f(x ′ ), entonces la función f : G/H → L que a [x] ∈ G/H le
asigna f(x), está bien definida. Veamos que esto es cierto: Sean x, x ′ ∈ G tales que [x] = [x ′ ].
Luego, x = x ′ h para algún h ∈ H. Entonces f(x) = f(x ′ h) = f(x ′ )f(h) = f(x ′ )eL = f(x ′ ).
Facilmente se comprueba que f es un morfismo que satisface f ◦ ν = f.
Proposición 8 Sea f : G → L un morfismo entre los grupos G y L. Sea H ✁ G tal que
H ⊆ Ker(f), y sea f : G/H → L el morfismo que verifica f ◦ ν = f, donde ν : G → G/H.
entonces
f es un epimorfismo ⇔ f es un epimorfismo.
f es inyectiva ⇔ Ker(f) = H.
Demostración: Como ν es un epimorfismo, se tiene que ν(G) = G/H. Esto implica que
f(G) = f ◦ ν(G) = f(G/H).
Es decir, Im(f) = Im(f). Deducimos entonces que f es un epimorfismo si sólo si f es un
epimorfismo.
Tenemos que
Ker(f) = {[x] ∈ G/H : f([x]) = eL}
= {[x] ∈ G/H : f(x) = eL}
= {[x] ∈ G/H : x ∈ Ker(f)}
Luego, f es inyectiva ⇔ Ker(f) = {[eG]} ⇔ Ker(f) ⊆ H.
Corolario 1 Si f : G → L es un epimorfismo entre los grupos G y L, entonces G/Ker(f)
es isomorfo a L.
En general, si f : G → L es un morfismo, entonces G/Ker(f) es isomorfo a Im(f).
1.6. Generadores de subgrupos
1.6.1. Subgrupo generado por un conjunto
En el Ejercicio 2 se probó que la intersección de subgrupos es nuevamente un subgrupo. Esto
permite definir la noción de subrupo generado por un conjunto.

1.6. GENERADORES DE SUBGRUPOS 17
Definición 11 Sean G un grupo y A ⊆ G. El subgrupo generado por A se define como
〈A〉 =
H.
A ⊆ H
H subgrupo de G
El subgrupo generado por A es el subgrupo ”más pequeño”que contiene a A. Es decir, si
H ⊆ G es un subgrupo que contiene a A, entonces 〈A〉 ⊆ H.
Ejercicio 11 Sea G un grupo. Pruebe que
Si A ⊆ B ⊆ G entonces 〈A〉 ⊆ 〈B〉.
A es un subgrupo de G ⇔ 〈A〉 = A.
〈〈A〉〉 = 〈A〉.
Ejercicio 12 Sean G un grupo y {Gi}i∈I una colección de subgrupos normales de G. Entonces
i∈I Gi es un subgrupo normal de G.
En el Ejercicio 12 se probó que la intersección de subgrupos normales es nuevamente un
subgrupo normal. Esto permite definir la noción de subrupo normal generado por un conjunto.
Definición 12 Sean G un grupo y A ⊆ G. El subgrupo normal generado por A es
〈A〉 N =
H.
A ⊆ H
H ✁ G
El subgrupo normal generado por A es el subgrupo normal más pequeño que contiene a A.
Es decir, si H ✁ G y A ⊆ H, entonces 〈A〉 N ⊆ H.
1.6.2. Grupos cíclicos.
Definición 13 Sean G un grupo y a ∈ G. Para n ∈ Z se define
a 0 = eG
a n+1 = a n a si n ≥ 0
a n = (a −n ) −1
si n < 0.
Si se usa la notación aditiva, a n se escribe na.
Proposición 9 Sean G un grupo y a ∈ G. Parar todo n, m ∈ Z se tiene
a n+m = a n a m .
(a n ) m = a nm .
Demostración: Ejercicio.

18 CAPÍTULO 1. GRUPOS.
Proposición 10 Sean G un grupo y A ⊆ G, A = ∅. Entonces
Demostración: Sea
〈A〉 = {a n1
1
H = {a n1
1
· · · anm
m : n1, · · · , nm ∈ Z, a1, · · · , am ∈ A, m ∈ N}.
· · · anm
m : n1, · · · , nm ∈ Z, a1, · · · , am ∈ A, m ∈ N}.
Es claro que A ⊆ H. Luego 〈A〉 ⊆ H.
Si H ′ ⊆ G es un subgrupo que contiene a A, entonces para todo n1, · · · , nm ∈ Z, a1, · · · , am ∈
A y m ∈ N, H ′ contiene a a n1
1 · · · anm m , pues H ′ es cerrado para la ley de composición. Esto
implica que H ⊆ H ′ y, por lo tanto, H ⊆ 〈A〉.
Definición 14 Sea G un grupo. Se dice que G es cíclico si existe a ∈ G tal que
Ejemplos
(Z, +) es cíclico. En efecto,
G = 〈{a}〉 = {a n : n ∈ Z}.
Z = 〈{1}〉 = 〈{−1}〉 .
Para m ≥ 1, el grupo Z/mZ, equipado con la suma inducida, es cíclico. En efecto,
Z/mZ = 〈{[1]}〉 .
Proposición 11 Sea G es un grupo cíclico. Entonces
Si G es infinito, entonces G es isomorfo a Z.
Si |G| = m < ∞, entonces G es isomorfo a Z/mZ.
Demostración: Si G es cíclico, entonces existe a ∈ G tal que G = {a n : n ∈ Z}. Definimos
f : Z −→ G
n −→ a n
Es claro que f es un epimorfismo. Luego, por el Teorema del factor, G es isomorfo a Z/Ker(f).
Como Ker(f) es un subgrupo de Z, la Proposición 7 implica que existe k ≥ 0 tal que Ker(f) =
kZ. Luego, G ∼ = Z/kZ.
Si G es infinito, entonces Z/kZ es infinito, lo que es posible s´lo si k = 0. Esto muestra que
si G es infinito entonces G ∼ = Z. Si |G| = m < ∞, entonces |Z/kZ| = k = m.

1.7. AUTOMORFISMOS INTERIORES. 19
1.7. Automorfismos interiores.
Sea G un grupo. El conjunto de automorfismos de G se denota por Aut(G). Con la composición
de funciones, Aut(G) es un grupo.
Definición 15 Sean G un grupo y a ∈ G. El automorfismo interior definido por a es la
función
Ia es un automorfismo.
Ia : G −→ G
x −→ axa −1
Ejercicio 13 Sean G un grupo, a ∈ G y b ∈ G. Probar que
Ia es un automorfismo.
Ia ◦ Ib = Iab
IeG
= id.
(Ia) −1 = I a −1.
Se define I : G → Aut(G) como I(a) = Ia, para todo a ∈ G. Esta función es un morfismo de
grupos, cuya imagen es el conjunto de los automorfismos interiores. Se tienen las siguientes
propiedades:
Im(I) ✁ Aut(G).
Ker(I) = {a ∈ G : ax = xa, para todo x ∈ G}.
Para mostrar la primera afirmación, note que si f ∈ Aut(G), entonces
La segunda afirmación es directa.
f −1 ◦ Ia ◦ f = I f −1 (a) ∈ Im(I).
Definición 16 El centro de un grupo G es el kernel del morfismo I. Este se anota
Z(G) = {a ∈ G : ax = xa para tod x ∈ G}.
Por el Teorema del factor se tiene que G/Z(G) ∼ = Im(I). Es decir, G/Z(G) es isomorfo al
grupo de los automorfismos interiores.
Definición 17 La operación x → axa −1 se llama conjugación de x por a, y el automorfismo
interior Ia es la conjugación por a.

20 CAPÍTULO 1. GRUPOS.
1.8. Teoremas de isomorfismos.
Definición 18 Sea G un grupo, y sean H y K dos subgrupos de G. El compuesto de H y
K es el grupo
HK =< H ∪ K > .
Ejercicio 14 Probar que
HK = {(h1k1) · · · (hnkn) : h1, · · · , hn ∈ H, k1, · · · , kn ∈ K, n ∈ N}.
Proposición 12 Sea G un grupo, y sean H y K dos subgrupos de G. Entonces
HK = KH.
Si H ✁ G, entonces HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}.
Si H ✁ G y K ✁ G, entonces HK ✁ G.
Demostración: Para la primera parte, notar que
(h1k1) · · · (hnkn) = (eGh1)(k1h2) · · · (kn−1hn)(kneG) ∈ KH,
lo que prueba que HK ⊆ KH. De igual forma se prueba que KH ⊆ HK.
Si H ✁ G, entonces para todo x ∈ G y h ∈ H, existe h ′ ∈ H tal que xh = h ′ x. Luego, para
h1, h2 ∈ H y k1, k2 ∈ K existe h3 ∈ H tal que
(h1k1)(h2k2) = (h1h3)(k1k2) = hk, con h = h1h3 ∈ H y k = k1k2 ∈ K.
Por inducción sobre n, se prueba que para todo h1, · · · , hn ∈ H y k1, · · · , kn ∈ K, existe h ∈ H
y k ∈ K tales que (h1k1) · · · (hnkn) = hk. Esto muestra que HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}.
La última parte se deduce de la segunda (ejercicio).
Proposición 13 Sea f : G → L un morfismo entre los grupos G y L. Para todo subgrupo
H ⊆ G se tiene que f −1 (f(H)) = Ker(f)H.
Demostración: Sea x ∈ f −1 (f(H)). Existe h ∈ H tal que f(x) = f(h). Entonces f(xh −1 ) =
eL, lo que implica que x ∈ Ker(f)H. Esto muestra que f −1 (f(H)) ⊆ Ker(f)H.
Sea x ∈ Ker(f)H. Como Ker(f) ✁ G, por la Proposición 12, existen k ∈ Ker(f) y h ∈ H tales
que x = kh. Luego, f(x) = f(kh) = f(h) ∈ f(H), lo que implica que x ∈ f −1 (f(H)).
1.8.1. Teorema de correspondencia
Ejercicio 15 Sea f : G → L un morfismo entre los grupos G y L, y sea H un subgrupo de
L. Pruebe que f −1 (H) es un subgrupo de G tal que Ker(f) ⊆ f −1 (H).
Ejercicio 16 Sea f : G → L un epimorfismo entre los grupos G y L, y sea H ✁ G. Pruebe
que f(H) ✁ L.

1.8. TEOREMAS DE ISOMORFISMOS. 21
Teorema 3 (Teorema de correspondencia) Sea f : G → L un epimorfismo entre los grupos
G y L. Entonces
Hay una biyección entre el conjunto de los subgrupos de G que contienen a Ker(f) y el
conjunto de los subgrupos de L.
Hay una biyección entre el conjunto de los subgrupos normales de G que contienen a
Ker(f) y el conjunto de los subgrupos normales de L.
Demostración: Definimos los siguientes conjuntos
C1 = {H ⊆ G : H es subgrupo de G y Ker(f) ⊆ H},
C2 = {H ⊆ L : H es subgrupo de L},
C3 = {H ⊆ G : H ✁ G y Ker(f) ⊆ H} y C4 = {H ⊆ L : H ✁ L}.
La función φ : C1 → C2, dada por φ(H) = f(H), está bien definida pues f(H) es un subgrupo
de L. Veamos que φ es biyectiva:
Sean H1 y H2 en C1 tales que f(H1) = f(H2). Entonces f −1 (f(H1)) = f −1 (f(H2)). Luego,
por Proposición 13, tenemos que Ker(f)H1 = Ker(f)H2. Pero Ker(f) está contenido en H1
y H2, lo que implica que Ker(f)H1 = H1 y Ker(f)H2 = H2. Esto muestra que φ es inyectiva.
Sea H ∈ C2 y sea H ′ = f −1 (H). Por Ejercicio 15, tenemos que H ′ ∈ C1. La epiyectividad de
f implica que f(H ′ ) = H. Lo que muestra que φ es epiyectiva.
Hemos probado la primera parte del Teorema. Para mostrar la segunda parte, note que la
restricción φ|C3 → C4 está bien definida (ver ejercicio 16). Además es inyectiva, pues es la
restricción de una función inyectiva. Para probar que es epiyectiva, basta mostrar que si
H ′ ∈ C4 y H ∈ C1 es tal que f(H) = H ′ , entonces H ✁ G.
1.8.2. Teoremas de isomorfismos
Teorema 4 (Primer Teorema de isomorfismos) Sea f : G → L un epimorfismo entre los
grupos G y L. Sea H ✁ G tal que Ker(f) ⊆ H. Entonces la función ˆ f : G/H → L/f(H),
definida por ˆ f([x]H) = [f(x)] f(H), es un isomorfismo.
Demostración: Por ejercicio 16, f(H) ✁ L. Luego, G/H y L/f(H), equipados con la ley
inducida, son grupos.
Sea ν1 el epimorfismo canónico de L en L/f(H), y sea ˜ f = ν1 ◦ f. La función ˜ f es un
epimorfismo, pues ν1 y f lo son. Luego, por el Teorema del factor, la función ˆ f : G/Ker( ˜ f) →
L/f(H), definida por ˜ f([x] Ker( ˜ f) ) = ˜ f(x) = [f(x)] f(H), es un isomorfismo.
Por otro lado, Ker( ˜ f) = H, lo que prueba el Teorema.
Del Teorema 4, tenemos el siguiente diagrama
f
G
L .
˜f ν2
ν1
ˆf
G/H
L/f(H)

22 CAPÍTULO 1. GRUPOS.
Corolario 2 Sea f : G → L un epimorfismo entre los grupos G y L, y sea H ′ ✁ L. Entonces
la función ˆ f : G/f −1 (H ′ ) → L/H ′ , definida por ˆ f([x] f −1 (H ′ )) = [f(x)]H ′, es un isomorfismo.
Demostración: Sea H = f −1 (H ′ ). El Teorema de correspondencia implica que H ✁ G. Luego,
por Teorema 4, tenemos que ˆ f es un isomorfismo.
Ejercicio 17 Sea G un grupo y sean H y K dos subgrupos normales de G. Pruebe que
H/K ✁ G/K.
Corolario 3 Sea G un grupo y sean H y K dos subgrupos normales de G, tales que K ⊆ H.
Entonces
(G/K)/(H/K) ∼ = G/H.
Demostración: Por Ejercicio 17, tenemos que H/K✁G/K. Luego, podemos aplicar el Teorema
4 a G, L = G/K, f el epimorfismo canónico de G a G/K, y H. De esta forma, obtenemos
que ˆ f : G/H → (G/K)/(H/K), definida por ˆ f([x]H) = [[x]K] H/K, es un isomorfismo.
Observación 5 El corolario 3 es también conocido como el Primer Teorema de Isomorfismos.
Ejercicio 18 Sean G un grupo y H ✁ G. Pruebe que H ✁ HK.
Teorema 5 (Segundo Teorema de isomorfismos) Sea G un grupo y sean H ✁ G y K un
subgrupo de G. Entonces H ✁ HK, (H ∩ K) ✁ K y
K/(H ∩ K) ∼ = HK/H.
Demostración: En el Ejercicio 18 se pruba que H ✁ HK.
Considere la inclusión i : K ↩→ HK, y el epimorfismo canónico ν : HK → HK/H. La función
ν ◦ i es un epimorfismo. Es claro que ν ◦ i es un morfismo. Para probar que es epiyectiva,
considere [x]H en HK/H. Como H ✁ G y x ∈ HK, existen h ∈ H y k ∈ K tales que x = hk.
Además, H ✁ G implica que xH = Hx. Luego, ya que k = h − x ∈ Hx = xH, tenemos que
[x]H = [k]H = ν ◦ i(k).
Aplicando el Teorema del factor, deducimos que
K/Ker(ν ◦ i) ∼ = HK/H.
Pero Ker(ν ◦ i) = K ∩ H. Lo que prueba que (K ∩ H) ✁ K y K/(H ∩ K) ∼ = HK/K.
1.9. Grupos abelianos de tipo finito

Capítulo 2
Acciones de grupos.
Definición 19 Sea G un grupo y sea X un conjunto no vacío. Una acción izquierda de G
sobre X es una función ϕ : G × X → X con las siguientes propiedades:
1. ϕ(eG, x) = x, para todo x ∈ X.
2. ϕ(g, ϕ(h, x)) = ϕ(gh, x), para todo h, g ∈ G y x ∈ X.
De manera equivalente, una acción derecha de G sobre X es una función ψ : X × G → X
que satisface
1. ϕ(x, eG) = x, para todo x ∈ X.
2. ϕ(ϕ(x, h), g) = ϕ(x, hg), para todo h, g ∈ G y x ∈ X.
Una acción derecha no necesariamente coincide con una acción izquierda. Por ejemplo, si
ψ : X × G → X es una acción derecha y definimos la función ϕ : G × X → X como
ϕ(g, x) = ψ(x, g), para g ∈ G y x ∈ X, entonces
ϕ(g, ϕ(h, x)) = ψ(ψ(x, h), g) = ψ(x, hg) = ϕ(hg, x),
lo que no necesariamente es igual a ϕ(gh, x), que es lo que se necesita para que ϕ sea una
acción izquierda.
La manera correcta de relacionar una acción derecha con una izquierda es la siguiente: si
ψ es una acción derecha de G sobre X, entonces la función ϕ : G × X → X, definida por
ϕ(g, x) = ψ(x, g −1 ) es una acción izquierda de G sobre X.
Observación 6 En lo que sigue, a menos que se diga otra cosa, utilizaremos siempre acciones
izquierdas. Por lo tanto, omitiremos la palabra izquierda y hablaremos simplemente de acción.
Observación 7 Si ϕ es una acción de G sobre X, entonces abreviaremos ϕ(g, x) como gx.
Luego, la primera propiedad que satisface una acción, con esta nueva notación se escribe
como eGx = x, para todo x ∈ X. La segunda propiedad queda como g(hx) = (gh)x, para todo
g, h ∈ G y x ∈ X.
23

24 CAPÍTULO 2. ACCIONES DE GRUPOS.

Bibliografía
[1] Hungerford, T. W. Algebra. Reprint of the 1974 original. Graduate Texts in Mathematics,
73. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980.
[2] Lang, S. Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-
Verlag, New York, 2002.
25