A horcajadas en el Tiempo

De la Teoría de Trenzas
La ilustración de la izquierda representa el número de
trenzados requeridos para generar el movimiento hamiltoniano
de partículas en dos dimensiones. El algoritmo cuenta cuántas
veces rotan dos partículas una sobre la otra. El trenzado con
mayor cantidad de movimientos otorga la estimación de la
medida de tres o más partículas. La cantidad de trenzados se
relacionan con invariantes conocidas en topología y la teoría
de nudos, como son las de Massey y de Milnor, y pueden ser
derivadas de los integrales de Vassiliev-Kontsevich. Las
invariantes pueden considerarse como funciones complejovaloradas
de las trayectorias de las partículas. La parte real da
el número de trenzados, mientras que la parte imaginaria
parece desinteresarse.
En la ilustración, la parte imaginaria determina el
hamiltoniano del movimiento de la partícula. Para el caso de
dos partículas, ello da el movimiento en dos punto-vórtices.
Sin embargo, para tres o más partículas, el hamiltoniano
genera patrones de interlazado más complejos. Si
examinamos la dinámica para el caso de 3 partículas,
hallamos que el movimiento es totalmente integrable. Los
patrones de los interlazados corresponden a trenzas
periódicas; el cierre de estas trenzas da acoplamientos tales
como los anillos de Borromean. El hamiltoniano proporciona un método elegante para generar ejemplos geométricos simples de complicadas
trenzas y acoplamientos.
Fig. 15.03.02.06.- Para trenzas y trenzados p = 1 y Re λ ab ( 0 ) = 0, Re λ t y λ ca ( 0 ) = – 3/2. Para la trenza de la figura, Re Ψ abc
( P ) = 7.
Invariantes Topológicas en la Teoría de Trenzas
Muchas invariantes de nudos y eslabones son muy semejantes en la teoría de trenzas. A menudo, los cálculos de esas invariantes son
más fáciles de realizar usando trenzas. Recordemos, que una trenza es un juego de n cuerdas que se estiran entre dos planos paralelos. Esta
recensión se demuestra a través del paso de integrales sobre trenzas que puedan producir invariantes topológicas. La más simple de las
invariantes, trenza el número que –en términos de tiempo neto– se da con dos cuerdas que se tejen, una sobre la otra, en una trenza. Pero
también se pueden obtener invariantes más complejas. La literatura matemática difunde invariantes de la topología algebraica que se emplean,
por lo general, fuera de los dominios de la física. El objetivo primario que nos hemos fijado aquí, es introducir al lector en un orden de invariantes
usando sólo conceptos elementales de la geometría diferencial.
Por otra parte, existen ordenes de cantidades más altas que pueden ser encontradas directamente buscando formas cerradas. Sin
embargo, la integral de Kontsevich suministra una ruta más general. Esta integral da una suma formal de todas las ordenes finitas de invariantes
topológicas. Ya describimos la integral de Kontsevich , y concluimos que se trata de una invariante a las deformaciones de la trenza.
Por otro lado, algunas ordenes más altas de invariantes pueden ser usadas para generar la dinámica Hamiltoniana de partículas de n en
el plano. Las invariantes son expresadas como números complejos; pero sólo la parte verdadera da la información topológica relevante.
Ignorando a la parte imaginaria, podemos usarlas como un Hamiltonianiano. Para la n = 2, esto será el Hamiltonianiano para el movimiento de los
vórtices del plano. El Hamiltonianiano para la n = 3 genera movimientos más complejos.
http://www.astrocosmo.cl/h-foton/h-foton-15_03-03.htm (5 of 7)29/12/2004 23:44:48