A horcajadas en el Tiempo

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(Formulación general del lagrangiano ) [04] S[x (t) ] = T ⌠ ⌡ o dtL = T ⌠ ⌡ o Una vez finalizado este proceso, podemos imaginarnos cualquier trayectoria x(t) que empiece en a en t = 0 y acabe en b en el tiempo t = T. Calcular su velocidad v(t), substituir en la expresión [13.01.04] e integrar para saber la acción de esa trayectoria. Estimemos primero la acción para la trayectoria «verdadera» de la partícula. Sabemos que para la trayectoria verdadera la velocidad ha de ser constante con ecuación de movimiento x = x o +vt, porque la fuerza que actua sobre la partícula es nula y, enconsecuencia, también la aceleración es nula. Además, como las posiciones inicial y final están fijadas, la velocidad ha de ser v = [(b-a)/ T]. En seguida, substituyendo en v y haciendo la integral, tenemos: [05] S[x (t) ] = 1 dt 2 m Si escogemos b = 1, a = 0, T = 1 y m = 2 la acción evaluada en el camino clásico resulta ser 1 Joule segundo y la ecuación de movimiento resulta ser x = t. También se puede considerar otra trayectoria que tenga las mismas condiciones iniciales y finales, pero que no sea la correspondiente a la verdadera, que sabemos que es una recta. Podemos escoger una parabólica x = λt 2 +(1-λ)t, cumple que x(t = 0) = 0 y x(t = 1) = 1 independiente del valor de λ. Notemos que si λ = 0 recuperamos x = t, que es la trayectoria verdadera. Para cada valor de λ tenemos una trayectoria diferente. Si calculamos la acción para trayectorias parabólicas parametrizadas por λ, encontramos un valor de la acción para cada uno de estas trayectorias mayor que 1, puesto que éste es, justamente, el valor de la acción para la trayectoria «ideal». Comprobémoslo! substituyendo v = 2λt+1-λ en (17) e integrando. El resultado es el siguinete: [06] 2 1 S[x (t) ] = 1+ 3 mv 2 = (b-a) 2 T m 2 T ⌠ ⌡ o donde el resultado de λ 2 refleja el incremento de la acción, al desviarnos de la trayectoria verdadera (l = 0) Es muy razonable que un físico-matemático considere al concepto de la acción como una hermosa herramienta matemática. Claro está, que podría pensarse que sería más fácil resolver las ecuaciones de Newton que calcular la trayectoria como la función que extremiza la acción. La verdad es, que concurrir a Newton, es más fácil. No obstante el método variacional es una de las alternativa más usadas en física moderna. Lo importante para nosotros es que la acción resulta ser el nexo de unión entre la mecánica clásica y la cuántica y, además ha resultado crucial en el desarrollo y construcción de teorías cuánticas más complejas como las de campos. La razón es sencilla. En muchas ocasiones no se conocen con exactitud las fuerzas que actúan sobre las partículas y se hace necesario trabajar con lagrangianos desconocidos pero que se les hace respetar ciertas simetrías impuestas por la naturaleza. http://www.astrocosmo.cl/h-foton/h-foton-13_01-01.htm (3 of 6)29/12/2004 23:42:45 λ 2 dtv 2
(Formulación general del lagrangiano ) CAMPOS ESCALARES Figura 13.01.01.- ________________________ Imagen: Dpto. de artes visuales de la Universidad de Stanford Un campo escalar representa una partícula de espín cero. Por una partícula libre (sin interacción) de masa m, el lagrangiano del campo escalar está dado por: [07] es: [08] [09] [10] El primer término representa la energía cinética del campo. El segundo corresponde al término de masa. La acción La exigencia de minimalidad se expresa por: Ella da la ecuación del movimiento del campo escalar (el operador diferencial dalembertiano es invariante de Lorentz): http://www.astrocosmo.cl/h-foton/h-foton-13_01-01.htm (4 of 6)29/12/2004 23:42:45
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