A horcajadas en el Tiempo

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El método del lagrangiano En la Universidad de Basilea, Suiza, el multitalentoso físico matemático Leonhard Euler, inició el desarrollo del método del «cálculo variacional» que llegó a convertirse en uno de los instrumentos más importante del kit de herramientas del físico teórico. Su utilidad, se orientaba en encontrar las longitudes máxima y mínima de la curva dada para un cierto conjunto de condiciones. Posteriormente, hace su aparición el físico piamontés y gran matemático Joseph Louis de Lagrange, quién toma los resultados de Euler y los aplica a la mecánica newtoniana, dando origen a lo que se llama «el método del lagrangiano» Para definir en que consiste el método de Lagrange, distingamos primero dos conceptos: el lagrangiano y la acción. El lagrangiano es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial de un cuerpo en movimiento en un punto dado de su trayectoria. La acción es la integral temporal del lagrangiano sobre una trayectoria. A cada trayectoria imaginable corresponde un valor numérico de la acción. Ejemplaricemos, lancemos una piedra desde un punto dado a un instante dado. Pasado un tiempo, se lo encuentra en otro punto. ¿Cuál fue la trayectoria que recorrió entre ambos puntos? Respuesta: entre todas las trayectorias posibles e imaginables, ha elegido aquella en que la acción es más pequeña, lo que se denomina como el «principio de menor acción». Para resolver nuestro problema, entonces, nos bastaría con calcular la acción de todas las trayectorias y enseguida seleccionar la más débil. Expresado de otro modo, la acción de la «verdadera» trayectoria es estacionaria en relación con las débiles variaciones de su forma. La diferencia con las de sus vecinos se anula a la primera orden. El enunciado matemático de esta propiedad da la ecuación de Newton, lo que implica concluir que ambos métodos son equivalentes. El «principio de menor acción», enunciado primero por Fermat y Maupertuis, es considerado como básico dentro de la física teórica moderna. En él, las ecuaciones diferenciales de movimiento para un sistema físico dado se derivan reduciendo al mínimo «la acción» del sistema en cuestión. Para un sistema finito de objetos, la acción S es una integral temporal de una función conocida como la «función de Lagrange o lagrangiana» L ( q, dq / dt), la cual depende del conjunto de coordenadas y de las velocidades generalizadas (q, dq / dt) del sistema en cuestión. [2] Las ecuaciones diferenciales que describen las posibles trayectorias de un sistema requieren que la acción esté en un valor mínimo (o máximo), con el objeto que la diferencial funcional de la acción se anule: [3] Esta condición da lugar a las ecuaciones de Euler-Lagrange, la cual aplicada al método lagrangiano, da las ecuaciones de movimiento para el sistema: [4] Tomemos un ejemplo. Imaginemos un sistema en coordenadas x del espacio (gravedad cero) de una sola partícula masiva. El lagrangiano es justo la energía cinética y la acción es la integración energética para un cierto plazo de tiempo: [5] http://www.astrocosmo.cl/h-foton/h-foton-13_01.htm (2 of 3)29/12/2004 23:42:32
El método del lagrangiano La ecuación de Euler-Lagrange minimiza la acción reproduciendo justamente la ecuación de movimiento de Newton para una partícula libre sin fuerzas externas: [6] EDITADA EL : El conjunto de métodos matemáticos que precedentemente hemos descrito se conoce como el «formalismo mecánico lagrangiano». http://www.astrocosmo.cl/h-foton/h-foton-13_01.htm (3 of 3)29/12/2004 23:42:32
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