Notas de sesión 5 - Cimat

1. Números Naturales
Vamos a dar ejemplos concretos de números naturales:
123, 12, 1, 777777, 10 1010
, 100, 4, 9, etc.
Al conjunto de los números naturales lo vamos a denotar por N, es decir,
N = {1, 2, 3, 4, 5...}.
Los números naturale nos permiten ponerle nombre y símbolo a la cantudad de
objetos que contiene un conjunto.
El numeral es el símbolo que se usa para representar a un elemento de N, y la
elección de los numerales es totalmente arbitraria siempre y cuando a cada número
natural le corresponda uno y sólo un numeral. Es por esto que en distintas culturas
se han podido usar diferentes símbolos para representar a los números naturales;
ejemplos de esto son los símbolos Mayas, los números romanos, los símbolos egipcios
y muchos más. Las reglitas de Montesory son el equivalente a la aritmética maya.
Los números naturales pueden definirse desde el uno o el cero según sea conveninete
pero para nosotros, a lo largo de la especialidad, los números naturales comienzan
en el uno.
2. Axiomas de Peano
Es posible hacer las construcción de los números naturales por los axiomas de
Peano. Los Números naturales cumplen las siguientes propiedades que son conocidas
como los axiomas de Peano :
i) El número 1 es elemento de N;
ii) Hay una función, que representamos por s(·), tal que a cada elemento de los
números naturales n, le asigna otro elemento de los números naturales s(n),
a s(n) le llamamos sucesor de n;
iii) para cualesquiera m, n números naturales, si s(m) = s(n), entonces m = n;
iv) 1 no es el sucesor de ningún número natural;
v) El conjunto de los números naturales es inductivo.
Vamos a volver a enunciar estas propiedades de los números naturales usando más
notación matemática para irnos acostumbrando a ella:
1

i) 1 ∈ N;
ii) n ∈ N =⇒ s(n) ∈ N;
iii) para m, n ∈ N, si s(m) = s(n) =⇒ m = n;
iv) 1 = s(n), ∀n ∈ N;
v) N es inductivo.
Se mencionó antes que los númerales o los símbolos que asignamos a cada número
natural se los asignamos por convención. Así pues, por convención definimos: s(1) :=
2, s(s(1)) = s(2) := 3,...
2.1. Principio de inducción. La propiedad v) de los números naturales nos dice
que N es inductivo, esto es, que N cumple el principio de inducción.
El principio de inducción nos dice que para cualquier subconjunto de los números
naturales que contenga al uno y que cumpla que siempre que un número natural est
en el conjunto, el sucesor de este número tambien está, se tendra que el subconjunto
contiene a todos los números naturales.
Si A ⊂ N es tal que:
i) 1 ∈ A,
ii) n ∈ A =⇒ s(n) ∈ A,
entonces A = N.
2.2. Tablas de sumar y multiplicar de un número natural. Definimos a +
1 = s(a) y supongamos conocido a + n, entonces a + s(n) = s(a + n). Esto nos da la
tabla de sumar de cualquier número natural.
Definamos a × 1 = a y supongamos conosido a × n, entonces a × s(n) = (a × n) + a
3. Conjuntos finitos e infinitos
En lugar de contar de uno en uno los elementos de un conjunto, se puede dar una
cota superior para saber que el conjunto tiene una cantidad finita de elementos.
¿Es finita la cantidad de granos de arena del mar ?
Si calculamos el volumen del Globo Terraqueo y sabemos cuánto volumen ocupa en
promedio un grano de arena, entonces podemos dar una cota superior de los granos
de arena que hay en la tierra al dividir el volumen de la tierra con el volumen que

en promedio ocupa un grano de arena.
Hay libros que definen a los conjuntos finitos como los conjuntos cuyos elementos
se pueden contar. Es imposible que un ser humano en su vida,a ún si viviera cien aos,
cuente todos los granos de arena que hay en la tierra, más sin embargo, la cantidad
de granos de arena de la tierra es finita pues está acotada superiormente, es decir,
que a la cantudad de sus elementos les corresponde un número natural.
4. Completando los Números Naturales
4.1. Números Enteros. El conjunto de los números naturales no es cerrado bajo
la operación resta, en el sentido de que hay ecuaciones de la forma x + y = z con
y, z ∈ N, que no tienen solución. Por ejemplo, no existe un número natural x tal
que x + 10 = 7. Para completar el conjunto de los números naturales de manera
que estas ecuaciones tengan siempre solución, ”metemos. a l conjunto de los naturales
todos sus negativos y el cero, para obtener el conjunto de los números enteros que
representamos por Z. Es decir,
(4.1) Z = {1, 2, 3, 4, ...} ∪ {0} ∪ {−1, −2, −3, −4, ...}.
Definición formal de los números enteros (Opcional). Vamos a hacer una relación
de equivalencia:
(a, b) = (c, d), si y sólo si a + d = b + c, lo que equivale a pedir que a − b = c − b.
Con está relación de equivalencia definimos: Z = N × N/ =
4.2. Números Racionales. Los enteros no son cerrados bajo la división, esto
quiere decir, que en Z hay ecuaciones de la forma ax = b con a, b ∈ Z que no tienen
solución. Por ejemplo, no existe un número x ∈ Z tal que 5x = 7.
Para completar el conjunto de los números enteros de manera que estas ecuaciones
tengan siempre solución, ”metemos. al conjunto de los enteros todos sus inversos multiplicativos,
para obtener el conjunto de los números racionales que representamos
por Q. Es decir,
(4.2) Q = {1, 2, 3, 4, ...}∪{0}∪{−1, −2, −3, −4, ...}∪{ m
tales quem, n ∈ Z, n = 0}.
n
Definición formal de los números racionales (Opcional). Vamos a definir una relación
de equivalencia en Z × Z de la siguiente manera: (a, b) = (c, d) si ad = bc con
. Q = Z × {Z − {0}}/ =.
b = 0, d = 0, lo que equivale a pedir que a
b
= c
d

4.3. Números Reales. Para ver que no todos los números son racionales, demostremos
que √ 2 no pertenece a Q.
Vamos a suponer que √ 2 es un número racional y veremos que esta suposición nos
lleva a una contradicción.
Supongamos que √ 2 es un número racional; bajo este supuesto existen m, n ∈
Z, n = 0, tales que el máximo comun divisor de m y n es 1, y
√ 2 = m
n .
Partiendo de esta expresión de √ 2 como fracción se siguen los siguientes argumentos:
Afirmación Razón Referencia
1 n √ 2 = m multiplicamos por n−1 pues axiomas reales
n = 0
2 n2√2 2 = m2 elevamos al cuadrado toda la axiomas reales
3 n
expresión
22 = m2 √ 2
2 = 2 definición de raíz
cuadrada
4 m2 es divisible z2 = m
por 2
2 para algún z ∈ Z, definición de
ver 3
divisibilidad
5 n22 = (z2) 2 m es múltiplo de 2 ver 4
6 n2 = 2z2 multiplicamos por 2−1 axiomas reales
7 n2 es divisible
por 2
8 Hemos llegado a
una
Contradicción !
n2 = w2 para algún w ∈ Z,
ver 6
de 4 y 7 se sigue que el
máximo común divisor de m
y n no es 1
definición de
divisibilidad
es lo que supusimos al
principio de
está demostración
Al haber llegado a una contraducción por haber supuesto que √ 2 es racional,
podemos concluir que √ 2 no es un número racional.
Al conjunto de los números reales que no son racionales, les llamaremos números
irracionales.