Capítulo 2 Potencia en sistemas monofásicos
Capítulo 2 Potencia en sistemas monofásicos
Capítulo 2 Potencia en sistemas monofásicos
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
2.1 G<strong>en</strong>eralidades<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFASICOS<br />
En todo circuito eléctrico es de suma importancia determinar la pot<strong>en</strong>cia que se g<strong>en</strong>era y<br />
que se absorbe.<br />
Todo aparato eléctrico ti<strong>en</strong>e una capacidad para transformar <strong>en</strong>ergía eléctrica <strong>en</strong> otro tipo<br />
de <strong>en</strong>ergía (Eléctrica, calorífica, mecánica, etc.), lo cual hace que el cálculo de la pot<strong>en</strong>cia<br />
asociada sea de suma importancia.<br />
La pot<strong>en</strong>cia instantánea está dada por el producto del voltaje instantáneo por la corri<strong>en</strong>te<br />
instantánea.<br />
A los efectos de definir si la pot<strong>en</strong>cia es <strong>en</strong>tregada ó absorbida por el elem<strong>en</strong>to <strong>en</strong> estudio,<br />
adoptaremos la sigui<strong>en</strong>te conv<strong>en</strong>ción de acuerdo a los diagramas de la figura 2.1 y 2.2.<br />
a) Fu<strong>en</strong>tes de t<strong>en</strong>sión<br />
u ± i<br />
u<br />
Figura 2.1 Esquemas para determinar el s<strong>en</strong>tido<br />
de flujo de pot<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> fu<strong>en</strong>tes de t<strong>en</strong>sión<br />
b) Fu<strong>en</strong>tes de corri<strong>en</strong>te<br />
i<br />
+<br />
-<br />
Entrega pot<strong>en</strong>cia Absorbe pot<strong>en</strong>cia<br />
u<br />
+<br />
-<br />
+<br />
Entrega pot<strong>en</strong>cia Absorbe pot<strong>en</strong>cia<br />
Figura 2.2 Esquemas para determinar el s<strong>en</strong>tido de flujo<br />
de pot<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> fu<strong>en</strong>tes de corri<strong>en</strong>te<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 21<br />
i<br />
±<br />
i<br />
u<br />
-<br />
+<br />
-
2.2 Elem<strong>en</strong>tos pasivos<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
El resistor es un elem<strong>en</strong>to que absorbe <strong>en</strong>ergía y la transforma <strong>en</strong> forma irreversible. El<br />
inductor y el capacitor por ser elem<strong>en</strong>tos que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> capacidad de acumular <strong>en</strong>ergía <strong>en</strong> forma de<br />
campo magnético y eléctrico, lo que permite que absorban ó <strong>en</strong>tregu<strong>en</strong> <strong>en</strong>ergía durante pequeños<br />
lapsos de tiempo. En la figura 2.3 se muestra los s<strong>en</strong>tidos del flujo de pot<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> los elem<strong>en</strong>tos<br />
considerados pasivos.<br />
2.3 <strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> instantánea<br />
u u<br />
+ -<br />
- +<br />
i<br />
R<br />
Absorbe pot<strong>en</strong>cia<br />
u<br />
+ -<br />
i<br />
i<br />
L<br />
Absorbe pot<strong>en</strong>cia<br />
u<br />
+ -<br />
C<br />
Absorbe pot<strong>en</strong>cia<br />
Figura 2.3 Esquemas para determinar el s<strong>en</strong>tido de flujo<br />
de pot<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> elem<strong>en</strong>tos pasivos<br />
u(t)<br />
+<br />
-<br />
∼<br />
i(t)<br />
Figura 2.4 Circuito compuesto por una resist<strong>en</strong>cia y un inductor <strong>en</strong> serie<br />
Si analizamos la pot<strong>en</strong>cia instantánea <strong>en</strong>tregada por una fu<strong>en</strong>te de t<strong>en</strong>sión s<strong>en</strong>oidal a un<br />
elem<strong>en</strong>to de un circuito, conformado por un resistor y un inductor como se muestra <strong>en</strong> la figura 2.4,<br />
el valor de la misma esta dado por:<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 22<br />
R<br />
Absorbe pot<strong>en</strong>cia<br />
u<br />
- +<br />
i<br />
u<br />
- +<br />
i<br />
L<br />
Entrega pot<strong>en</strong>cia<br />
C<br />
Entrega pot<strong>en</strong>cia<br />
R<br />
L<br />
i
p(t) = u(t) . i(t) Si<strong>en</strong>do :<br />
u(t) = Um s<strong>en</strong> ωt<br />
i(t) = Im s<strong>en</strong> (ωt - ϕ)<br />
Im<br />
=<br />
R<br />
2<br />
U<br />
m<br />
2<br />
ω ⋅ L<br />
ϕ = Arc tg<br />
R<br />
p(t) = Um s<strong>en</strong> ωt . Im s<strong>en</strong> (ωt - ϕ)<br />
2<br />
+ ω ⋅ L<br />
De acuerdo a la sigui<strong>en</strong>te id<strong>en</strong>tidad trigonométrica:<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
s<strong>en</strong> (ωt - ϕ) = s<strong>en</strong> ωt cos ϕ - cos ωt s<strong>en</strong> ϕ con lo que nos queda:<br />
p(t) = Um Im s<strong>en</strong> ωt (s<strong>en</strong> ωt cos ϕ - cos ωt s<strong>en</strong> ϕ)<br />
p(t) = Um Im (s<strong>en</strong> 2 ωt cos ϕ - s<strong>en</strong> ωt cos ωt s<strong>en</strong> ϕ)<br />
2 (1-<br />
cos 2 ω t)<br />
s<strong>en</strong><br />
ω t =<br />
2<br />
s<strong>en</strong> 2 ω t<br />
s<strong>en</strong>ω<br />
t ⋅ cos ω t =<br />
2<br />
Um<br />
⋅ Im<br />
p(t) = [(1-<br />
cos 2 ω t) cos ϕ - s<strong>en</strong> 2 ω t ⋅ s<strong>en</strong> ϕ]<br />
2<br />
De acuerdo a la definición de valores eficaces esta ecuación quedará:<br />
p(t) = U.I cos ϕ - U.I cos 2ωt cos ϕ - U.I s<strong>en</strong> 2ωt s<strong>en</strong> ϕ<br />
De la cual podemos analizar lo sigui<strong>en</strong>te:<br />
• El primer término de la ecuación es constante y repres<strong>en</strong>ta el valor<br />
medio de la función, ya que los dos términos sigui<strong>en</strong>tes al<br />
integrarlos <strong>en</strong> un período, su valor es cero, ó sea que<br />
P = U.I cos ϕ (<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> media, ó <strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> activa)<br />
• La frecu<strong>en</strong>cia de la pot<strong>en</strong>cia instantánea es dos veces la frecu<strong>en</strong>cia<br />
de la corri<strong>en</strong>te ó de la t<strong>en</strong>sión.<br />
En el gráfico de la figura 2.5 vemos superpuestos los valores de t<strong>en</strong>sión, corri<strong>en</strong>te y<br />
pot<strong>en</strong>cia instantáneos, para un circuito que pres<strong>en</strong>ta características “óhmico-inductivas”.<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 23
T<strong>en</strong>sión<br />
<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong><br />
Corri<strong>en</strong>te<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
Figura 2.5 Valores instantáneos de t<strong>en</strong>sión, corri<strong>en</strong>te y pot<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> un circuito R-L<br />
Vemos que la pot<strong>en</strong>cia instantánea, puede ser negativa y ello se debe a que si<strong>en</strong>do la red<br />
pasiva, se está extray<strong>en</strong>do <strong>en</strong>ergía almac<strong>en</strong>ada <strong>en</strong> el campo magnético de los inductores ó <strong>en</strong> el<br />
campo eléctrico de los capacitores. De la figura podemos efectuar el sigui<strong>en</strong>te análisis, utilizando la<br />
sigui<strong>en</strong>te conv<strong>en</strong>ción de signos:<br />
i<br />
i<br />
0<br />
+ -<br />
u<br />
+ -<br />
u<br />
1 2<br />
- -<br />
La onda de corri<strong>en</strong>te es<br />
positiva con este s<strong>en</strong>tido<br />
sobre la impedancia.<br />
i<br />
+ -<br />
u<br />
La onda de t<strong>en</strong>sión es<br />
positiva con esta polaridad<br />
sobre la impedancia.<br />
+ +<br />
• Entre los instantes 0 y 1, la t<strong>en</strong>sión ti<strong>en</strong>e signo positivo y la corri<strong>en</strong>te negativo,<br />
lo cual nos indica que la corri<strong>en</strong>te está sali<strong>en</strong>do por el borne positivo de la<br />
impedancia, por lo tanto <strong>en</strong> este lapso de tiempo la impedancia <strong>en</strong>trega<br />
<strong>en</strong>ergía al sistema la cual estaba almac<strong>en</strong>ada <strong>en</strong> el campo magnético de la<br />
bobina (Es el caso que estamos analizando)<br />
• Entre los instante 1 y 2 tanto la t<strong>en</strong>sión como la corri<strong>en</strong>te ti<strong>en</strong><strong>en</strong> signo positivo,<br />
o sea que la corri<strong>en</strong>te <strong>en</strong>tra por el borne positivo de la impedancia, por lo tanto<br />
<strong>en</strong> este lapso de tiempo la misma absorbe <strong>en</strong>ergía del sistema.<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 24<br />
3<br />
La onda de corri<strong>en</strong>te es<br />
negativa con este s<strong>en</strong>tido<br />
sobre la impedancia.<br />
i<br />
- +<br />
u<br />
La onda de t<strong>en</strong>sión es<br />
negativa con esta polaridad<br />
sobre la impedancia.<br />
4<br />
P<br />
t
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
• Entre los instantes 2 y 3, la t<strong>en</strong>sión ti<strong>en</strong>e signo negativo y la corri<strong>en</strong>te positivo,<br />
lo cual nos indica que la corri<strong>en</strong>te está sali<strong>en</strong>do por el borne positivo de la<br />
impedancia, por lo tanto <strong>en</strong> este lapso de tiempo la impedancia <strong>en</strong>trega<br />
<strong>en</strong>ergía al sistema.<br />
• Entre los instante 3 y 4 tanto la t<strong>en</strong>sión como la corri<strong>en</strong>te ti<strong>en</strong><strong>en</strong> signo negativo,<br />
o sea que la corri<strong>en</strong>te <strong>en</strong>tra por el borne positivo de la impedancia, por lo tanto<br />
<strong>en</strong> este lapso de tiempo la misma absorbe <strong>en</strong>ergía del sistema.<br />
Del análisis de las curvas, se llega a la conclusión, que parte de la pot<strong>en</strong>cia que <strong>en</strong>trega la<br />
fu<strong>en</strong>te que alim<strong>en</strong>ta el sistema, se absorbe y consume <strong>en</strong> forma irreversible y parte de ella se<br />
acumula <strong>en</strong> los campos magnéticos ó eléctricos durante ciertos intervalos de tiempo, y a<br />
continuación esta es devuelta al sistema. Esta <strong>en</strong>ergía acumulada <strong>en</strong> los campos m<strong>en</strong>cionados,<br />
oscila <strong>en</strong> el sistema <strong>en</strong>tre la fu<strong>en</strong>te y los elem<strong>en</strong>tos acumuladores, sin que la misma se consuma,<br />
pero tanto la fu<strong>en</strong>te como los conductores que la transportan deb<strong>en</strong> t<strong>en</strong>er la capacidad sufici<strong>en</strong>te<br />
para g<strong>en</strong>erar y transportar ambas.<br />
2.3.1 Resistor puro<br />
+<br />
u(t)<br />
Figura 2.6 Carga resistiva pura<br />
En el caso de t<strong>en</strong>er un resistor puro, según se muestra <strong>en</strong> la figura 2.6, la t<strong>en</strong>sión y la<br />
corri<strong>en</strong>te sobre el mismo están <strong>en</strong> fase por lo que “ϕ = 0”, luego, la pot<strong>en</strong>cia instantánea toma el<br />
sigui<strong>en</strong>te valor:<br />
p(t) = U.IR cos ϕ - U.IR cos 2ωt cos ϕ<br />
p(t) = P - P cos 2ωt<br />
-<br />
iR(t)<br />
A este valor de pot<strong>en</strong>cia se le da el nombre de “<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> activa instantánea”, d<strong>en</strong>ominando<br />
“P” a la pot<strong>en</strong>cia activa, valor que se utiliza para describir la pot<strong>en</strong>cia que se transforma de forma<br />
eléctrica a no eléctrica, que <strong>en</strong> el caso de un resistor, la transformación es a <strong>en</strong>ergía térmica.<br />
En el gráfico de la figura 2.7 se observan los valores de t<strong>en</strong>sión, corri<strong>en</strong>te y pot<strong>en</strong>cia<br />
instantáneos. Cada medio período las dos funciones se hac<strong>en</strong> cero, simultáneam<strong>en</strong>te.<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 25<br />
i<br />
i<br />
- +<br />
u<br />
i<br />
- +<br />
u<br />
R
iR<br />
<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong><br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
Corri<strong>en</strong>te<br />
Figura 2.7 Valores instantáneos de t<strong>en</strong>sión, corri<strong>en</strong>te y pot<strong>en</strong>cia<br />
con carga resistiva pura<br />
Analicemos que ocurre <strong>en</strong> la resist<strong>en</strong>cia con la t<strong>en</strong>sión y la corri<strong>en</strong>te:<br />
+ -<br />
u<br />
iR<br />
- +<br />
u<br />
• Entre los instante 0 y 1 tanto la t<strong>en</strong>sión como la corri<strong>en</strong>te ti<strong>en</strong><strong>en</strong> signo positivo,<br />
o sea que la corri<strong>en</strong>te <strong>en</strong>tra por el borne positivo de la impedancia, por lo tanto<br />
<strong>en</strong> este lapso de tiempo la misma absorbe <strong>en</strong>ergía del sistema.<br />
• Entre los instante 1 y 2 tanto la t<strong>en</strong>sión como la corri<strong>en</strong>te ti<strong>en</strong><strong>en</strong> signo negativo,<br />
o sea que la corri<strong>en</strong>te <strong>en</strong>tra por el borne positivo de la impedancia, por lo tanto<br />
<strong>en</strong> este lapso de tiempo la misma absorbe <strong>en</strong>ergía del sistema.<br />
Se observa que la pot<strong>en</strong>cia instantánea siempre ti<strong>en</strong>e signo positivo, ya que no se puede<br />
extraer pot<strong>en</strong>cia de una red puram<strong>en</strong>te resistiva.<br />
El valor medio de la pot<strong>en</strong>cia está dado por:<br />
P = U⋅I<br />
R<br />
+ +<br />
0 1 2<br />
2<br />
U 2<br />
= = IR<br />
⋅R<br />
R<br />
T<strong>en</strong>sión<br />
La unidad que se utiliza es el watt [W]<br />
2 .U.IR<br />
P = U.IR<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 26<br />
t
2.3.2 Inductor puro<br />
En la figura 2.8 vemos un circuito con una carga inductiva pura.<br />
Figura 2.8 Carga inductiva pura<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
Con este tipo de circuito, la corri<strong>en</strong>te atrasa 90° a la t<strong>en</strong>sión sobre la inductancia.<br />
Por lo tanto la pot<strong>en</strong>cia instantánea queda como:<br />
p(t) = - U.IL s<strong>en</strong> 2ωt<br />
Vemos que la pot<strong>en</strong>cia media ti<strong>en</strong>e valor cero, ó sea que no hay transformación de<br />
<strong>en</strong>ergía, si no que la misma oscila <strong>en</strong>tre el circuito y la fu<strong>en</strong>te que lo alim<strong>en</strong>ta.<br />
El gráfico de t<strong>en</strong>sión, corri<strong>en</strong>te y pot<strong>en</strong>cia instantánea es el de la figura 2.9, <strong>en</strong> la cual<br />
vemos que cada cuarto de período, una de las funciones se hace cero (T<strong>en</strong>sión ó corri<strong>en</strong>te).<br />
+<br />
iL<br />
iL<br />
u<br />
-<br />
+ -<br />
u<br />
T<strong>en</strong>sión<br />
+<br />
u(t)<br />
-<br />
iL(t)<br />
<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong><br />
+ +<br />
0 1 2 3<br />
Corri<strong>en</strong>te<br />
- -<br />
Figura 2.9 Valores instantáneos de t<strong>en</strong>sión, corri<strong>en</strong>te y pot<strong>en</strong>cia<br />
<strong>en</strong> un inductor puro<br />
• Entre los instantes 0 y 1, la t<strong>en</strong>sión ti<strong>en</strong>e signo positivo y la corri<strong>en</strong>te es<br />
negativa, lo cual nos indica que la corri<strong>en</strong>te está sali<strong>en</strong>do por el borne positivo<br />
de la bobina, por lo tanto <strong>en</strong> este cuarto de período la bobina <strong>en</strong>trega <strong>en</strong>ergía<br />
al sistema la cual estaba almac<strong>en</strong>ada <strong>en</strong> su campo magnético.<br />
• Entre los instante 1 y 2 tanto la t<strong>en</strong>sión como la corri<strong>en</strong>te ti<strong>en</strong><strong>en</strong> signo positivo,<br />
o sea que la corri<strong>en</strong>te <strong>en</strong>tra por el borne positivo de la bobina, por lo tanto <strong>en</strong><br />
este lapso de tiempo la misma absorbe <strong>en</strong>ergía del sistema, y la acumula <strong>en</strong><br />
forma de campo magnético.<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 27<br />
L<br />
4<br />
t
iL<br />
- +<br />
u<br />
iL<br />
- +<br />
u<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
• Entre los instantes 2 y 3, la t<strong>en</strong>sión ti<strong>en</strong>e signo negativo y la corri<strong>en</strong>te es<br />
positiva, lo cual nos indica que la corri<strong>en</strong>te está sali<strong>en</strong>do por el borne positivo<br />
de la bobina, por lo tanto <strong>en</strong> este lapso de tiempo la bobina <strong>en</strong>trega <strong>en</strong>ergía al<br />
sistema.<br />
• Entre los instante 3 y 4 tanto la t<strong>en</strong>sión como la corri<strong>en</strong>te ti<strong>en</strong><strong>en</strong> signo negativo,<br />
o sea que la corri<strong>en</strong>te <strong>en</strong>tra por el borne positivo de la bobina, por lo tanto <strong>en</strong><br />
este lapso de tiempo la misma absorbe <strong>en</strong>ergía del sistema.<br />
Se observa que durante un cuarto de período, la pot<strong>en</strong>cia es positiva, o sea que se<br />
almac<strong>en</strong>a <strong>en</strong> forma de campo magnético <strong>en</strong> la inductancia y durante el cuarto de período sigui<strong>en</strong>te<br />
la pot<strong>en</strong>cia es negativa lo cual nos indica que se extrae pot<strong>en</strong>cia del campo magnético.<br />
2.3.3 Capacitor puro<br />
Sea el circuito con una carga capacitiva pura según la figura 2.10.<br />
+<br />
u(t)<br />
Figura 2.10 Carga capacitiva pura<br />
En este caso la corri<strong>en</strong>te está adelantada 90° a la t<strong>en</strong>sión sobre el capacitor, con lo que<br />
la expresión de la pot<strong>en</strong>cia queda:<br />
p(t) = U.IC s<strong>en</strong> 2ωt<br />
-<br />
iC(t)<br />
Vemos que aquí también la pot<strong>en</strong>cia media <strong>en</strong> un período vale cero, o sea que la pot<strong>en</strong>cia<br />
oscila <strong>en</strong>tre la fu<strong>en</strong>te que alim<strong>en</strong>ta el circuito y el campo eléctrico asociado con el capacitor. En la<br />
figura 2.11 vemos los valores instantáneos de t<strong>en</strong>sión, corri<strong>en</strong>te y pot<strong>en</strong>cia, observando que cada<br />
medio período una de las funciones (T<strong>en</strong>sión ó corri<strong>en</strong>te) se hace cero.<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 28<br />
C
+<br />
+<br />
iC<br />
iC<br />
i<br />
u<br />
u<br />
-<br />
-<br />
- +<br />
u<br />
i<br />
- +<br />
u<br />
0<br />
T<strong>en</strong>sión<br />
<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong><br />
+ +<br />
Corri<strong>en</strong>te<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
1 2 3 4<br />
- -<br />
Figura 2.11 Valores instantáneos de t<strong>en</strong>sión, corri<strong>en</strong>te y pot<strong>en</strong>cia<br />
<strong>en</strong> un capacitor puro<br />
• Entre los instantes 0 y 1, la t<strong>en</strong>sión ti<strong>en</strong>e signo positivo y la corri<strong>en</strong>te es<br />
positiva, lo cual nos indica que la corri<strong>en</strong>te está <strong>en</strong>trando por el borne positivo<br />
de la bobina, por lo tanto <strong>en</strong> este cuarto de período el capacitor absorbe<br />
<strong>en</strong>ergía almac<strong>en</strong>ándola <strong>en</strong> su campo eléctrico.<br />
• Entre los instante 1 y 2 tanto la t<strong>en</strong>sión es positiva y la corri<strong>en</strong>te es negativa, o<br />
sea que la corri<strong>en</strong>te sale por el borne positivo del capacitor, por lo tanto <strong>en</strong> este<br />
lapso de tiempo el mismo <strong>en</strong>trega la <strong>en</strong>ergía acumulada <strong>en</strong> su campo eléctrico<br />
al sistema.<br />
• Entre los instantes 2 y 3, la t<strong>en</strong>sión ti<strong>en</strong>e signo negativo y la corri<strong>en</strong>te es<br />
negativa, lo cual nos indica que la corri<strong>en</strong>te está <strong>en</strong>trando por el borne positivo<br />
del capacitor, por lo tanto <strong>en</strong> este lapso de tiempo el mismo absorbe <strong>en</strong>ergía<br />
del sistema.<br />
• Entre los instante 3 y 4 tanto la t<strong>en</strong>sión ti<strong>en</strong>e signo negativo y la corri<strong>en</strong>te es<br />
positiva, o sea que la corri<strong>en</strong>te sale por el borne positivo del capacitor, por lo<br />
tanto <strong>en</strong> este lapso de tiempo el mismo <strong>en</strong>trega <strong>en</strong>ergía al sistema.<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 29<br />
t
2.4 <strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> reactiva<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
La pot<strong>en</strong>cia asociada a circuitos puram<strong>en</strong>te inductivos ó capacitivos, se d<strong>en</strong>omina<br />
“<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> reactiva”, cuya expresión para valores instantáneos está dada por:<br />
Pr(t) = - U.I s<strong>en</strong> ϕ s<strong>en</strong> 2ωt<br />
Si<strong>en</strong>do el valor medio <strong>en</strong> un período de la misma, igual a cero, pero para poder<br />
dim<strong>en</strong>sionar la misma se adopta:<br />
Q = U.I s<strong>en</strong> ϕ <strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> reactiva<br />
Tanto la pot<strong>en</strong>cia activa “P” como la pot<strong>en</strong>cia reactiva “Q”, ti<strong>en</strong><strong>en</strong> las mismas dim<strong>en</strong>siones,<br />
pero a los efectos de distinguirlas, se utiliza para la pot<strong>en</strong>cia reactiva el término VAr (Volt Amper<br />
reactivo).<br />
2.5 <strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> apar<strong>en</strong>te<br />
Todo aparato eléctrico está diseñado para soportar determinados valores de t<strong>en</strong>sión y de<br />
corri<strong>en</strong>te. Por tal motivo su dim<strong>en</strong>sionami<strong>en</strong>to no está dado por la pot<strong>en</strong>cia activa (Que dep<strong>en</strong>de de<br />
la difer<strong>en</strong>cia de fase <strong>en</strong>tre la t<strong>en</strong>sión y la corri<strong>en</strong>te), sino por la “pot<strong>en</strong>cia apar<strong>en</strong>te”, que está<br />
repres<strong>en</strong>tada por el producto de los valores eficaces de la t<strong>en</strong>sión y de la corri<strong>en</strong>te:<br />
S = U.I<br />
De aquí surge que la misma corresponde al valor máximo de la pot<strong>en</strong>cia activa.<br />
Aunque la pot<strong>en</strong>cia apar<strong>en</strong>te ti<strong>en</strong>e las mismas dim<strong>en</strong>siones que las pot<strong>en</strong>cias activa y<br />
reactiva, para difer<strong>en</strong>ciarla se utiliza para su dim<strong>en</strong>sionami<strong>en</strong>to el VA (Volt Amper).<br />
2.6 Factor de pot<strong>en</strong>cia<br />
El ángulo “ϕ” me define el desfasaje <strong>en</strong>tre la t<strong>en</strong>sión y la corri<strong>en</strong>te, si<strong>en</strong>do <strong>en</strong> atraso para<br />
un circuito óhmico inductivo o <strong>en</strong> adelanto de ser óhmico capacitivo.<br />
El cos<strong>en</strong>o de dicho ángulo se d<strong>en</strong>omina “Factor de pot<strong>en</strong>cia”. El mismo define la relación<br />
que existe <strong>en</strong>tre la pot<strong>en</strong>cia activa y reactiva.<br />
De acuerdo a lo visto hasta ahora podemos resumir los valores de las pot<strong>en</strong>cias:<br />
P = U.I cos ϕ [W] Q = U.I s<strong>en</strong> ϕ [VAr] S = U.I [VA]<br />
Q<br />
tg ϕ = cosϕ<br />
=<br />
P<br />
P<br />
S<br />
Dado que la pot<strong>en</strong>cia activa es la que se transforma <strong>en</strong> otro tipo de pot<strong>en</strong>cia que se<br />
aprovecha o utiliza, surge la conv<strong>en</strong>i<strong>en</strong>cia de que <strong>en</strong> cualquier instalación eléctrica, el factor de<br />
pot<strong>en</strong>cia sea lo más cercano a la unidad, ya que <strong>en</strong> ese caso, se logra un mejor aprovechami<strong>en</strong>to<br />
de las instalaciones.<br />
Para un consumo de pot<strong>en</strong>cia activa determinada, la corri<strong>en</strong>te es m<strong>en</strong>or a mayor factor de<br />
pot<strong>en</strong>cia, lo cual permite reducir el tamaño de los conductores alim<strong>en</strong>tadores, así como las<br />
instalaciones previstas para alim<strong>en</strong>tar dicho consumo, ya que el valor de la pot<strong>en</strong>cia activa se<br />
acerca a la pot<strong>en</strong>cia apar<strong>en</strong>te, si<strong>en</strong>do esta última la que determina el dim<strong>en</strong>sionami<strong>en</strong>to de todo<br />
aparato eléctrico.<br />
Si<strong>en</strong>do que las instalaciones eléctricas trabajan con un valor de t<strong>en</strong>sión constante,<br />
podemos ver que si la pot<strong>en</strong>cia activa se manti<strong>en</strong>e constante, la corri<strong>en</strong>te varía de acuerdo a:<br />
P = U.I cos ϕ I = P/U. cos ϕ I = K/cosϕ<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 30
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
O sea que el valor de la corri<strong>en</strong>te es inversam<strong>en</strong>te proporcional al factor de pot<strong>en</strong>cia,<br />
llegando a valores muy elevados a medida que el ángulo “ϕ” ti<strong>en</strong>de a 90°, pudi<strong>en</strong>do ver dicha<br />
t<strong>en</strong>d<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> el gráfico de la figura 2.12.<br />
ϕ = - 90° ϕ = 0° ϕ = 90°<br />
Figura 2.12 Variación de la corri<strong>en</strong>te con el ángulo de la carga<br />
Cabe m<strong>en</strong>cionar que también se verán reducidas las pérdidas por transmisión debido a la<br />
resist<strong>en</strong>cia óhmica propia de los conductores (R. I 2 ) debido a la disminución de la corri<strong>en</strong>te.<br />
2.7 <strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> compleja<br />
La pot<strong>en</strong>cia apar<strong>en</strong>te la podemos calcular como la suma compleja de la pot<strong>en</strong>cia activa (P)<br />
y la reactiva (Q).<br />
S = P + j Q<br />
Adoptando la conv<strong>en</strong>ción de que la pot<strong>en</strong>cia reactiva inductiva ti<strong>en</strong>e signo “positivo”,<br />
podemos definir la pot<strong>en</strong>cia apar<strong>en</strong>te compleja como:<br />
S = U. I*<br />
Producto del fasor t<strong>en</strong>sión por el fasor corri<strong>en</strong>te conjugado.<br />
De esta forma los gráficos de pot<strong>en</strong>cia para los dos tipos de carga mixta son los de la<br />
figura 2.13.<br />
ϕ<br />
S<br />
P<br />
- j QC<br />
P<br />
Carga óhmico capacitiva Carga óhmico inductiva<br />
Figura 2.13 Gráficos de pot<strong>en</strong>cia<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 31<br />
I<br />
Imínima<br />
ϕ<br />
S<br />
j QL
2.8 Máxima transfer<strong>en</strong>cia de pot<strong>en</strong>cia<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
En ciertas ocasiones es importante poder suministrar desde una red a una carga la<br />
máxima pot<strong>en</strong>cia posible, sin que el r<strong>en</strong>dimi<strong>en</strong>to del sistema sea lo más importante.<br />
Para analizar <strong>en</strong> que condiciones se verifica esta situación, pasaremos a repres<strong>en</strong>tar la<br />
red, vista desde los terminales de la carga, como una fu<strong>en</strong>te real equival<strong>en</strong>te de Thev<strong>en</strong>in, de<br />
acuerdo a la figura 2.14.<br />
Figura 2.14 Reemplazo de una red de alim<strong>en</strong>tación<br />
por una fu<strong>en</strong>te equival<strong>en</strong>te de Thev<strong>en</strong>in<br />
ETH T<strong>en</strong>sión equival<strong>en</strong>te de Thev<strong>en</strong>in<br />
ZTH = RTH + j XTH Impedancia equival<strong>en</strong>te de Thev<strong>en</strong>in<br />
ZC = RC + j XC Impedancia de carga<br />
El valor de la corri<strong>en</strong>te que circula por la carga está dado por:<br />
I =<br />
La pot<strong>en</strong>cia suministrada a la carga ti<strong>en</strong>e el sigui<strong>en</strong>te valor:<br />
(R<br />
TH<br />
+ R<br />
P = I 2 RC Reemplazando:<br />
P =<br />
(R<br />
TH<br />
+ R<br />
2<br />
E TH<br />
2<br />
C )<br />
⋅ R<br />
C<br />
+ (X<br />
TH<br />
+ X<br />
C<br />
C<br />
)<br />
)<br />
E<br />
2<br />
2<br />
TH<br />
+ (X<br />
En esta expresión las variables indep<strong>en</strong>di<strong>en</strong>tes son RC y XC, cuyos valores deberán ser<br />
tales que hagan máxima la pot<strong>en</strong>cia suministrada. A tales efectos se deberá cumplir que:<br />
∂P/∂RC = 0 y ∂P/∂XC = 0 Luego nos queda:<br />
∂P<br />
∂R<br />
C<br />
E<br />
=<br />
2<br />
TH<br />
ETH<br />
ZTH<br />
∼<br />
+<br />
-<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 32<br />
TH<br />
+ X<br />
[ ]<br />
[ ] 2<br />
2<br />
2<br />
(R TH + R C ) + (XTH<br />
+ X C ) − 2 R C (R TH + R C )<br />
2<br />
2<br />
(R + R ) + (X + X )<br />
TH<br />
C<br />
A<br />
B<br />
TH<br />
C<br />
C<br />
)<br />
2<br />
I<br />
ZC
∂P<br />
∂X<br />
− E<br />
[ ] 2<br />
2<br />
2<br />
(R + R ) + (X + X<br />
C<br />
TH C TH C )<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
Para que esta última ecuación sea cero se debe cumplir: XC = - XTH (1)<br />
Y para la primera: [(RTH + RC) 2 + (XTH + XC) 2 - 2 RC (RTH + RC)] = 0<br />
Al cumplirse (1) (RTH + RC) 2 = 2 RC (RTH + RC) De aquí: RC = RTH<br />
Con lo obt<strong>en</strong>emos que la impedancia de carga debe ser conjugada de la impedancia<br />
equival<strong>en</strong>te de Thev<strong>en</strong>in:<br />
2.8.1 Valor de la pot<strong>en</strong>cia máxima transferida<br />
Dado que el circuito pres<strong>en</strong>ta una impedancia total óhmica: Z = RTH + RC = 2 RC<br />
2.8.2 R<strong>en</strong>dimi<strong>en</strong>to para pot<strong>en</strong>cia máxima transferida<br />
η<br />
=<br />
2<br />
TH<br />
⋅ 2 ⋅ R<br />
2.9 Comp<strong>en</strong>sación del factor de pot<strong>en</strong>cia<br />
=<br />
<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> útil<br />
<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> absorbida<br />
C<br />
2<br />
TH<br />
R<br />
=<br />
E<br />
C<br />
TH<br />
C<br />
C<br />
2<br />
C<br />
(X<br />
2<br />
La mayoría de las cargas industriales pres<strong>en</strong>tan un factor de pot<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> atraso.<br />
Para poder mejorar el factor de pot<strong>en</strong>cia de estas cargas se adicionan capacitores a la<br />
línea que alim<strong>en</strong>ta a las mismas, lo que se observa <strong>en</strong> la figura 2.15.<br />
+<br />
~ -<br />
ETH<br />
I =<br />
2 ⋅ R<br />
E ⋅ R<br />
P =<br />
4 ⋅ R<br />
Línea de alim<strong>en</strong>tación Carga<br />
Figura 2.15 agregado de capacitores a un sistema de cargas<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 33<br />
TH<br />
ZC = Z ∗ TH<br />
+ X<br />
2<br />
TH<br />
E<br />
=<br />
4 ⋅ R<br />
C<br />
C<br />
⋅I<br />
RC<br />
⋅ I RC<br />
⋅ E TH<br />
= =<br />
⋅ I E 2 ⋅ R ⋅ E<br />
TH<br />
I IRL<br />
C<br />
)<br />
IC<br />
C<br />
TH<br />
= 0,50
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
En función de las cargas instaladas, y t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que no todo funciona <strong>en</strong> forma<br />
simultánea, t<strong>en</strong>dremos un factor de pot<strong>en</strong>cia medio de acuerdo al sigui<strong>en</strong>te cálculo:<br />
Pm = ∑ <strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong>s activas parciales x Coefici<strong>en</strong>te de simultaneidad<br />
Qm = ∑ <strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong>s reactivas parciales x Coefici<strong>en</strong>te de simultaneidad<br />
S<br />
m<br />
Al adicionar un elem<strong>en</strong>to reactivo, modificamos la pot<strong>en</strong>cia reactiva, de forma tal de llegar<br />
al valor deseado, y cuyo ángulo llamaremos ϕR.<br />
En el gráfico de la figura 2.16, vemos el diagrama de pot<strong>en</strong>cias y como se modifica con el<br />
agregado de capacitores <strong>en</strong> paralelo.<br />
Figura 2.16 Variación de las pot<strong>en</strong>cias con el agregado de capacitores<br />
Del gráfico obt<strong>en</strong>emos:<br />
QR = Qm - QC ⇒ QC = QT - QR<br />
Qm = Pm tg ϕm<br />
QR = Pm tg ϕR<br />
QC = Pm (tg ϕm - tg ϕR)<br />
Como los capacitores se colocan <strong>en</strong> paralelo con las cargas:<br />
P<br />
C =<br />
m<br />
P<br />
2<br />
m<br />
Q<br />
tgϕm<br />
=<br />
P<br />
Q<br />
C<br />
=<br />
=<br />
U<br />
X<br />
2<br />
C<br />
m<br />
m<br />
+ Q<br />
=<br />
(tgϕ<br />
− tgϕ<br />
)<br />
m<br />
2<br />
m<br />
ω. U<br />
U<br />
2<br />
2<br />
ϕm<br />
1<br />
ω ⋅ C<br />
R<br />
⇒<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 34<br />
ϕR<br />
Sm<br />
[F]<br />
SR<br />
Pm<br />
Q<br />
C =<br />
ω ⋅ U<br />
Qm<br />
QC<br />
C<br />
2<br />
QR
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
Desde el punto de vista de las corri<strong>en</strong>tes, la corri<strong>en</strong>te que alim<strong>en</strong>ta el sistema se reduce<br />
con el agregado de los capacitores m<strong>en</strong>cionados, si<strong>en</strong>do el esquema fasorial correspondi<strong>en</strong>te el de<br />
la figura 2.17.<br />
Figura 2.17 Diagrama fasorial resultante del agregado de capacitores <strong>en</strong> paralelo<br />
Ejemplo Nº 1: En el circuito de la figura, hallar el balance de pot<strong>en</strong>cias <strong>en</strong> cada elem<strong>en</strong>to.<br />
100 ∠ 0° [V]<br />
ZRC = 5 - j 5 = 7,07 ∠- 45° Ω YRC = 1/ZRC = 0,1 + j 0,1 = 0,141 ∠ 45° S<br />
ZRL = 10 + j 10 = 14,14 ∠ 45° Ω YRL = 1/ZRL = 0,05 - j 0,05 = 0,0707 ∠- 45° S<br />
YBC = YRC + YRL = 0,1 + j 0,1 + 0,05 - j 0,05 = 0,15 + j 0,05 = 0,158 ∠ 18,44° S<br />
ZBC = 1/YBC = 1/0,158 ∠ 18,44° = 6 - j 2 = 6,33 ∠- 18,44° Ω<br />
ZAC = 4 + 6 - j 2 = 10 - j 2 = 10,20 ∠- 11,31° Ω<br />
UAC<br />
100 ∠ 0°<br />
I = =<br />
= 9,80 ∠11,31°<br />
Z 10,20 ∠ - 11,31°<br />
AC<br />
A<br />
+<br />
∼<br />
-<br />
I<br />
ϕm<br />
IRL<br />
UBC = ZBC. I = 6,33 ∠- 18,44°. 9,80 ∠ 11,31° = 62,03 ∠- 7,13° V<br />
ϕR<br />
IRC = UBC. YRC = 62, 03 ∠- 7,13°. 0,141 ∠ 45° = 8,75 ∠ 37,87° A<br />
IRL = UBC. YRL = 62,03 ∠- 7,13°. 0,0707 ∠- 45° = 4,39 ∠- 52,13° A<br />
I<br />
4 Ω<br />
IC<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 35<br />
IRC<br />
B<br />
C<br />
U<br />
- j 5 Ω<br />
5 Ω<br />
IRL<br />
10 Ω<br />
j 10 Ω
Elem<strong>en</strong>to<br />
<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong><br />
activa<br />
<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong><br />
reactiva<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
Cálculo<br />
W VAr ---<br />
Resistor de 4 Ω 384,16 --- R. I 2 = 4. 9,80 2<br />
Resistor de 10 Ω 192,72 --- R .I 2<br />
RL = 10. 4,39 2<br />
Resistor de 5 Ω 382,81 --- R. I 2<br />
RC = 5. 8,75 2<br />
Capacitor --- - 382,81 XC. I 2<br />
RC = 5. 8,75 2<br />
Inductor --- 192,72 XL. I 2<br />
RL = 10. 4,39 2<br />
Fu<strong>en</strong>te - 960,97 192,19 S = - (U. I*)<br />
Dado el s<strong>en</strong>tido de la corri<strong>en</strong>te asignado <strong>en</strong> la fu<strong>en</strong>te la misma <strong>en</strong>trega pot<strong>en</strong>cia por lo<br />
tanto <strong>en</strong> el cálculo de la pot<strong>en</strong>cia le asignaremos signo negativo.<br />
S = - U. I* = - (100∠ 0°. 9, 80∠- 11,31°) = - 960,97 + j 192,15<br />
Del balance <strong>en</strong>ergético surge que la suma de las pot<strong>en</strong>cias activas y la suma de las<br />
pot<strong>en</strong>cias reactivas es prácticam<strong>en</strong>te cero, lo que debe ocurrir, si<strong>en</strong>do su difer<strong>en</strong>cia debido al<br />
redondeo <strong>en</strong> los cálculos previos.<br />
Ejemplo N° 2: Se ti<strong>en</strong><strong>en</strong> 3 cargas <strong>en</strong> paralelo de:<br />
a) 3 kVA, cos ϕ = 0,70 capacitivo,<br />
b) 7 kVA, cos ϕ = 0,80 <strong>en</strong> atraso, y c) una resist<strong>en</strong>cia de 2 Ω <strong>en</strong> serie con una<br />
reactancia de 6,37 mH.<br />
Si se las alim<strong>en</strong>ta con una fu<strong>en</strong>te de 220 V - 50 Hz, determinar:<br />
1. La pot<strong>en</strong>cia <strong>en</strong>tregada por la fu<strong>en</strong>te y el factor de pot<strong>en</strong>cia de la misma.<br />
2. El capacitor a colocar <strong>en</strong> paralelo para que la fu<strong>en</strong>te trabaje con un factor de<br />
pot<strong>en</strong>cia igual a 0,95 <strong>en</strong> atraso.<br />
3. El valor de la corri<strong>en</strong>te <strong>en</strong> el g<strong>en</strong>erador <strong>en</strong> esta última situación.<br />
Carga “a” Pa = Sa. cos ϕa = 3000 . 0,7 = 2100 W ϕa = 45,57°<br />
Qa = Sa. s<strong>en</strong> ϕa = 3000 . 0,714 = 2142 VAr (Capacitivo)<br />
Carga “b” Pb = Sb. cos ϕb = 7000. 0,80 = 5600 W ϕb = 36,87°<br />
Qb = Sb. s<strong>en</strong> ϕb = 7000. 0,6 = 4200 VAr (Inductivo)<br />
Carga “c” XL = ω L = 2 π 50. 6,37. 10 -3 = 2 Ω<br />
ZC = 2 + j 2 = 2,83 ∠ 45° Ω<br />
I<br />
C<br />
220 ∠ 0°<br />
=<br />
= 77,74 ∠ - 45°<br />
2,83 ∠ 45°<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 36<br />
A
Pc = R. I 2<br />
2<br />
C = 2. 77,74 = 12.087 W<br />
Qc = XL. I 2<br />
C = 2. 77,74 2 = 12.087 VAr (Inductivo)<br />
Sc = U. I = 220. 77,74 = 17.103 VA<br />
<strong>Pot<strong>en</strong>cia</strong> <strong>en</strong>tregada por el g<strong>en</strong>erador<br />
Capacitor a colocar:<br />
P = Pa + Pb + Pc = 2100 + 5600 + 12087 = 19787 W<br />
POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFÁSICOS<br />
Q = Qa + Qb + Qc = - 2142 + 4200 + 12087 = 14145 Var (Inductivo)<br />
S =<br />
P<br />
2<br />
+ Q<br />
19787<br />
P 19787<br />
cos ϕ = = = 0,814<br />
S 24323<br />
ϕ = 35,51° (En atraso)<br />
S 24323<br />
I = = = 110,6 A<br />
U 220<br />
2<br />
=<br />
P(tgϕ<br />
− tgϕ<br />
R )<br />
C =<br />
2<br />
ω ⋅ U<br />
Corri<strong>en</strong>te con <strong>en</strong> el capacitor<br />
2<br />
+ 14145<br />
19787 (tg 35,51°<br />
- tg18,19°<br />
)<br />
C =<br />
= 501µ<br />
F<br />
2<br />
314 ⋅ 220<br />
I<br />
T<br />
:<br />
= 24323 VA<br />
(Factor de pot<strong>en</strong>cia medio)<br />
P<br />
19787<br />
=<br />
=<br />
= 94,67 A<br />
U ⋅ cos ϕ<br />
220 ⋅ cos 18,19°<br />
R<br />
Ing. Julio Álvarez 11/09 37<br />
2