CLCT11JA

) Calcular
cos( 2x
) e
lim
x0 x sen
x
x x
(1 punto)
Solución:
a) Enunciado del teorema de Rolle:
Si f es una función continua en un intervalo [a, b] y derivable en (a, b), tal que f (a) = f (b),
hay algún punto c (a, b) en el que f ’ (c) = 0.
b)
Comprobamos que f (a) = f (b):
f (0) = 0 0
3 2 7 12 14 2
f (2) = 2 2 1
1
1
0
2 2 2 2 2
Comprobamos que la función es derivable en (0, 2):
En el intervalo (0, 1), la función es derivable ya que x es derivable.
En el intervalo (1, 2), la función es derivable por ser polinómica.
Queda comprobar la derivabilidad en el punto x = 1. Para ello calculamos los limi-
tes laterales de las derivadas:
Por la izquierda: f1 ’ (x) =
Por la derecha: f2 ’ (x) =
lim f ' ( x )
lim
x1
x1
f ' ( x )
1
2 x
7
3x
2
f ' x 1
lim f '(
x)
lim
x1
x1
2 x
lim
x1
f '(
x)
1
2
7
lim
3x
x1
2
1
2
. Por tanto, la función es derivable en (a, b)
Como toda función derivable en un punto es continua en ese punto, f (x) es continua en (0,
2) y también lo es a la derecha de 0 ( 0)
y a la izquierda de 2
lim
x2
f ( x)
f ( 2)
lim
x0
f ( x)
f ( 0)
( 0),
por lo que es continua en [0, 2]. Por tanto, se cumplen las hipótesis
del teorema de Rolle.
En la siguiente gráfica se representa la función (en rojo la primera parte y en azul la segunda),
así como la recta tangente en x = 1(en verde):
x
x
cos( 2x
) e x lim cos( 2x
) e x
x0
0
lim
Por tanto, podemos aplicar la regla
x0
x sen
x
x lim x sen
0
x0
f ( x ) f ' ( x ) f ''
( x )
de L’Hôpital: lim lim lim ...
xc
g
Calculamos la primera derivada:
x xc
g'
x xc
g''
x