CLCT11JA

Materiales producidos en el curso:
Curso realizado en colaboración entre la Editorial Bruño y el IUCE de la UAM de Madrid
del 6 de febrero al 23 de marzo de 2012
Título: Curso online Moodle: Wiris, GeoGebra y Hoja de Cálculo para Matemáticas de la
ESO y Bachilleratos. Uso de Pizarra Digital y del Proyector. Libros digitales con Multimedia:
Vídeos y applets.
Profesores del curso: José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez autores de Matemáticas
de la editorial Bruño
Autor: David Terrón Robles
Colegio Virgen de la Vega (Benavente-Zamora)
Matemáticas II
Comunidad de Castilla y León. Año 11. Junio. Opción A
Ejercicio 1 (2,5 puntos)
Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función f (x) = x 3 – x + 1 y la
recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
Solución:
Calculamos la recta tangente a la función f (x) en el punto x = 1. Para ello, primero calculamos
la derivada de f (x) en el punto x = 1. f ’ (x) = 3x 2 – 1 m = f ’ (1) = 2. Por tanto:
t (x) = m (x – 1) + f (1) = 2 (x – 1) + 1 = 2x – 1
Resolvemos la ecuación f (x) = t (x) para encontrar los puntos de corte de ambas funciones. Las
soluciones de esta ecuación son x = 1 y x = – 2. De este modo, el área que hay que calcular es el
representado en amarillo en la figura:
Calculamos la integral:
1
f ( x)
t(
x)
dx
1
3x
2 dx
x
4
Área =
2
1
2
x
3
4
3
2
x
2
2x
Ejercicio 2
a) Estudiar si la función f : [0, 2] R dada por
x
f (x) = 3 2 7
x x 1
2 2
si
si
0 x 1
1 x 2
verifica las hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar dicho teorema. (1,5 puntos)
1
2
27
4

) Calcular
cos( 2x
) e
lim
x0 x sen
x
x x
(1 punto)
Solución:
a) Enunciado del teorema de Rolle:
Si f es una función continua en un intervalo [a, b] y derivable en (a, b), tal que f (a) = f (b),
hay algún punto c (a, b) en el que f ’ (c) = 0.
b)
Comprobamos que f (a) = f (b):
f (0) = 0 0
3 2 7 12 14 2
f (2) = 2 2 1
1
1
0
2 2 2 2 2
Comprobamos que la función es derivable en (0, 2):
En el intervalo (0, 1), la función es derivable ya que x es derivable.
En el intervalo (1, 2), la función es derivable por ser polinómica.
Queda comprobar la derivabilidad en el punto x = 1. Para ello calculamos los limi-
tes laterales de las derivadas:
Por la izquierda: f1 ’ (x) =
Por la derecha: f2 ’ (x) =
lim f ' ( x )
lim
x1
x1
f ' ( x )
1
2 x
7
3x
2
f ' x 1
lim f '(
x)
lim
x1
x1
2 x
lim
x1
f '(
x)
1
2
7
lim
3x
x1
2
1
2
. Por tanto, la función es derivable en (a, b)
Como toda función derivable en un punto es continua en ese punto, f (x) es continua en (0,
2) y también lo es a la derecha de 0 ( 0)
y a la izquierda de 2
lim
x2
f ( x)
f ( 2)
lim
x0
f ( x)
f ( 0)
( 0),
por lo que es continua en [0, 2]. Por tanto, se cumplen las hipótesis
del teorema de Rolle.
En la siguiente gráfica se representa la función (en rojo la primera parte y en azul la segunda),
así como la recta tangente en x = 1(en verde):
x
x
cos( 2x
) e x lim cos( 2x
) e x
x0
0
lim
Por tanto, podemos aplicar la regla
x0
x sen
x
x lim x sen
0
x0
f ( x ) f ' ( x ) f ''
( x )
de L’Hôpital: lim lim lim ...
xc
g
Calculamos la primera derivada:
x xc
g'
x xc
g''
x

x
cos( 2 x ) e f ‘ (x) = 1
f (x) = x
g (x) =
x
2 sen ( 2x
) e
x sen x
g ‘ (x) =
Calculamos la segunda derivada:
f ’’ (x) =
Ejercicio 3
2
sen x x cos
x
f ' ( x ) 2 sen(
2x
) e 1
0
lim lim
x0
g'
x x0
sen x x cos x
0
2 cos
x x sen x
x
4 cos( x ) e ; g ’’ (x) =
x
f ''
( x ) 4 cos( 2x
) e
lim lim
x0
g''
x x0
2 cos x x sen x
5
2
Dibujamos la gráfica para comprobar el resultado:
a) Calcular el rango de la matriz A =
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15
4
8
12
16
(1,5 puntos)
b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante
de 5B y el de B 2 . (1 punto)
Solución:
a) En una matriz si se suprime una fila (o columna) que es combinación lineal de las restantes
filas (o columnas), se obtiene otra matriz de igual rango.
En nuestra matriz, las filas 3 y 4 son combinación lineal de las otras dos del siguiente modo:
Fila 3 = 2 Fila 2 – Fila 1 Fila 4 = 3 Fila 2 – 2 Fila 1
Por tanto, se pueden suprimir sin que cambie el rango. La matriz que nos queda es:
A1 =
1
5
2
6
3
7
4
8
1
En esta matriz existe, al menos, un menor de orden 2 distinto de 0:
5
su rango es 2 y el de la matriz A, también. Rango (A) = 2
2
4
, por tanto
6
x

) Determinante de 5B:
Multiplicar una matriz por un número supone multiplicar todos los elementos de la matriz
por dicho número.
Si multiplicamos una fila (o columna) de una matriz por un número k, el determinante se
multiplica también por ese número.
Utilizando las dos afirmaciones anteriores, en nuestro caso, multiplicar por 5 la matriz implica
multiplicar las 3 filas de la matriz B por 5, por tanto, su determinante se multiplicará
tres veces (una vez por cada una de las filas) por 5:
Determinante de B 2 :
Sabemos que B
Ejercicio 4
A B A
3
5
B 5 B 125
4 500
, por tanto, como B 2 = B B, tenemos:
a) Determinar la posición relativa de la recta
B
2
B B B B 4
4 16
y x 1
r y el plano 0
z
2x
0
x y
(1,5 puntos)
b) Hallar el plano perpendicular a que contiene a r. (1 punto)
Solución:
x y 1
a) r
0
2x
z 0
Estudiamos la posición relativa del plano y la recta, estudiando el sistema de ecuaciones
formado por las tres ecuaciones de planos (2 de la recta r y una del plano ).
1
A
2
1
x y
1
0
1
0
1
0
A *
1
2
1
1
0
1
Rango(A) = 2 y Rango(A*) = 3. Por tanto la recta r y el plano , son paralelos.
b) Cogemos el vector director del plano : 1, 1,
0
v
0
1
0
1
0
0

Calculamos el vector de la recta:
i
j
k
1 1 0 i j 2k
2
Por tanto, el vector de la recta r es
x
0
1
u 1,
1,
2
y el punto por el que pasa: P = (0, 1, 0)
1 1
0 2x
2y
2z
2
La ecuación del plano es: 0
1
y 1
1
Por tanto el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano es:
z
2
x y z 1
0