Metodo de Lagrange para maximos y minimos
Metodo de Lagrange para maximos y minimos
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Máximos y mínimos mediante el método <strong>de</strong> <strong>Lagrange</strong>:<br />
Sea una función continua y <strong>de</strong>rivable <strong>de</strong> varias variables f ( x, y ) (“varias” variables, o sea , dos en<br />
este ejemplo). Sabemos que <strong>para</strong> encontrar los extremos <strong>de</strong> la función (es <strong>de</strong>cir, los puntos (x,y)<br />
don<strong>de</strong> f alcanza su máximo o mínimo valor), <strong>de</strong>bemos resolver las ecuaciones:<br />
∂f( x, y) ∂f(<br />
x, y)<br />
= 0; = 0<br />
∂x ∂y<br />
Esto es lo mismo que especificar el punto don<strong>de</strong> el gradiente <strong>de</strong> la función en el plano XY se<br />
anula:<br />
∇ f( x, y)<br />
= 0.<br />
Como usted sabe (!), el gradiente en este caso es un vector en el plano XY que indica la dirección<br />
hacia don<strong>de</strong> hay que moverse <strong>para</strong> que la función aumente más bruscamente. El gradiente se anula<br />
en los puntos don<strong>de</strong> la función es “horizontal” (don<strong>de</strong> la función no aumenta hacia ningún lado).<br />
En la figura se muestra una función con un<br />
máximo bien notorio. Las curvas <strong>de</strong> nivel indican<br />
los puntos don<strong>de</strong> la función tiene un valor dado.<br />
El gradiente <strong>de</strong> la función en un punto dado tiene<br />
dirección perpendicular a la curva <strong>de</strong> nivel que<br />
pasa por ese punto. En el máximo, la curva <strong>de</strong><br />
nivel <strong>de</strong>genera en un solo punto. En tal caso, el<br />
gradiente es cero: a partir <strong>de</strong> ese punto no hay<br />
ninguna dirección hacia don<strong>de</strong> la función<br />
aumente.<br />
_______________<br />
A veces no queremos buscar el máximo <strong>de</strong> la función en todo el dominio (plano XY, en este caso),<br />
sino sólo a lo largo <strong>de</strong> una curva en el plano XY (en el caso <strong>de</strong> una función <strong>de</strong> 3 variables, es <strong>de</strong>cir<br />
en el volumen XYZ, la restricción pue<strong>de</strong> ser una curva o una superficie en el espacio XYZ).<br />
Nuestro problema es entonces cómo encontrar los extremos <strong>de</strong> f si queremos limitarnos sólo a<br />
puntos (x,y) que estén sobre una curva <strong>de</strong>finida por:<br />
gxy= ( , ) 0.<br />
La forma más directa (aunque no necesariamente la más simple <strong>de</strong> calcular) es usar la condición <strong>de</strong><br />
restricción gxy= ( , ) 0 <strong>para</strong> <strong>de</strong>spejar y como función <strong>de</strong> x, y = y( x)<br />
, y luego reemplazar este valor<br />
<strong>de</strong> y en la función f ( x, y( x )) . De esta forma, tenemos una función <strong>de</strong> una variable menos (en este<br />
caso una función que sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> x) sin restricciones. Para encontrar los extremos,<br />
simplemente buscamos los puntos x tales que<br />
df ( x, y( x))<br />
= 0<br />
dx<br />
Lo malo <strong>de</strong> este método es que en la práctica no siempre es posible <strong>de</strong>spejar y = y( x)<br />
!!!<br />
Alternativamente, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir la curva gxy= ( , ) 0 en forma <strong>para</strong>métrica, es <strong>de</strong>cir, mediante<br />
un par <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> un parámetro t: x = xt () e y = y() t tales que g( x( t), y( t )) = 0.<br />
En este caso,<br />
buscamos el extremo <strong>de</strong> la función f () t = f( x(), t y()) t usando, como siempre, la condición:
df<br />
0<br />
dt =<br />
<br />
En la práctica, esto a veces tampoco resulta fácil <strong>de</strong> hacer!!!<br />
Veamos entonces la otra alternativa: el método <strong>de</strong> <strong>Lagrange</strong>.<br />
Gráficamente, la función f ( x, y ) se pue<strong>de</strong> representar por un mapa <strong>de</strong> curvas <strong>de</strong> nivel en el plano<br />
XY, que en el ejemplo anterior son curvas circulares. Como sabemos, el punto máximo está en el<br />
centro <strong>de</strong> las curvas <strong>de</strong> nivel.<br />
Sobre este gráfico po<strong>de</strong>mos dibujar la curva <strong>de</strong> restricción gxy= ( , ) 0,<br />
que es la línea que<br />
atraviesa la figura. Note que en esta<br />
figura, hemos dibujado la curva con un<br />
parámetro t, que avanza <strong>de</strong> izquierda a<br />
<strong>de</strong>recha.<br />
En el ejemplo, la función es mayor<br />
mientras más nos movemos hacia el<br />
centro <strong>de</strong> las curvas <strong>de</strong> nivel.<br />
El máximo <strong>de</strong> f a lo largo <strong>de</strong> la curva<br />
t<br />
ocurre en el punto tal que al avanzar<br />
sobre la curva no nos cambiamos <strong>de</strong><br />
nivel, es <strong>de</strong>cir don<strong>de</strong> la curva es<br />
tangente a la correspondiente curva <strong>de</strong><br />
nivel.<br />
En otras palabras, el extremo <strong>de</strong> la<br />
función f sobre la curva g = 0 ocurre<br />
don<strong>de</strong> el gradiente <strong>de</strong> f es perpendicular<br />
a la curva g = 0.<br />
Hay otra forma <strong>de</strong> especificar esto más elegantemente: uno siempre pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir el gradiente <strong>de</strong> la<br />
función g, esto es ∇ g , puesto que g( x, y ) es simplemente otra función más en en plano XY,<br />
don<strong>de</strong> la restricción gxy= ( , ) 0 simplemente correspon<strong>de</strong> a una <strong>de</strong> las curvas <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> g. Esto<br />
significa que ∇ g , <strong>para</strong> puntos sobre la curva g = 0, es un vector perpendicular a esta curva.<br />
La condición <strong>de</strong>l extremo es, por lo tanto, un punto don<strong>de</strong> el gradiente <strong>de</strong> f es <strong>para</strong>lelo al gradiente<br />
<strong>de</strong> g:<br />
Condición <strong>de</strong> extremo: ∇ f = λ ∇ g,<br />
don<strong>de</strong> λ es una constante <strong>de</strong> proporcionalidad.<br />
Esta elegante condición correspon<strong>de</strong> exactamente al Método <strong>de</strong> <strong>Lagrange</strong> <strong>para</strong> encontrar máximos<br />
y mínimos <strong>de</strong> una función f ( x, y ) sujeto a la restricción gxy= ( , ) 0:<br />
a) Construya una nueva función f( x, y) = f( x, y) −λg(<br />
x, y)<br />
, don<strong>de</strong> λ es una cosntante<br />
(multiplicador <strong>de</strong> <strong>Lagrange</strong>), hasta aquí <strong>de</strong>sconocida.<br />
b) Extremice esta nueva función, consi<strong>de</strong>rando las variables sin restricción, es <strong>de</strong>cir:<br />
∇ f(<br />
x, y)<br />
= 0<br />
Las ecuaciones obtenidas serán funciones <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas x, y y <strong>de</strong>l parámetro λ .<br />
c) Use la ecuación <strong>de</strong> restricción gxy= ( , ) 0 <strong>para</strong> <strong>de</strong>terminar λ .<br />
La belleza <strong>de</strong> este método es que es fácil <strong>de</strong> aplicar y fácil <strong>de</strong> generalizar a un número mayor <strong>de</strong><br />
variables y <strong>de</strong> restricciones.
En 3 dimensiones, con una restricción::<br />
Queremos encontrar los extremos <strong>de</strong> f ( x, y, z ) , sujeto a g( x, y, z ) = 0.<br />
Esto se generaliza en forma muy simple:<br />
1) Ahora trabajamos en el espacio XYZ en vez <strong>de</strong>l plano XY.<br />
2) Ahora f ( x, y, z ) se pue<strong>de</strong> representar en el espacio XYZ por superficies <strong>de</strong> nivel, don<strong>de</strong><br />
cada superficie es el lugar <strong>de</strong> puntos don<strong>de</strong> la función tiene un valor dado. Tal como las<br />
curvas <strong>de</strong> nivel en dos dimensiones, las superficies <strong>de</strong> nivel resultan como hojas <strong>para</strong>lelas<br />
en cada vecindad, y el gradiente <strong>de</strong> la función es un vector que apunta normalmente a las<br />
hojas en la dirección en la que la función aumenta.<br />
3) Ahora, la función <strong>de</strong> restricción g( x, y, z ) = 0 es una superficie, que correspon<strong>de</strong> a una <strong>de</strong><br />
las superficies <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> la función g( x, y, z ) .<br />
4) Claramente, el extremo <strong>de</strong> la función f sujeta a la restricción g = 0 ocurre don<strong>de</strong> el<br />
gradiente <strong>de</strong> f es perpendicular a la superficie g = 0, es <strong>de</strong>cir, nuevamente los vectores<br />
gradiente <strong>de</strong> f y g son <strong>para</strong>lelos!<br />
En 3 dimensiones, con dos restricciones:<br />
Qué pasa si hay dos ecuaciones <strong>de</strong> restricción? (en 3 dimensiones, eso pue<strong>de</strong> ocurrir).<br />
En tal caso, tenemos una función f ( x, y, z ) , <strong>de</strong> la cual buscamos los extremos, sujeto a las<br />
condiciones conjuntas: 1 ( , , ) 0 y .<br />
g x y z = g2 ( x, y, z ) = 0<br />
Cada una <strong>de</strong> estas condiciones correspon<strong>de</strong> a una superficie en el espacio XYZ. La restricción<br />
simultánea correspon<strong>de</strong> a los puntos que son comunes a ambas superficies, es <strong>de</strong>cir, <strong>de</strong>finen una<br />
curva en el espacio XYZ, que es la intersección <strong>de</strong> las superficies (más vale que tal intersección<br />
exista, pues <strong>de</strong> otro modo el problema es inconsistente!).<br />
En tal caso, el extremo <strong>de</strong> la función, al igual que en el caso en dos dimensiones, ocurre don<strong>de</strong> la<br />
curva <strong>de</strong> restricción es tangente a una superficie <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> la función f. Ahora, todo el problema<br />
es expresar esa condición en término <strong>de</strong> los gradientes:<br />
Sabemos que en cada punto, ∇ f es un vector perpendicular a la superficie <strong>de</strong> nivel don<strong>de</strong> yace tal<br />
punto. Por lo tanto, en el punto <strong>de</strong> extremo, ∇ f es perpendicular a la curva <strong>de</strong> restricción.<br />
La última pregunta que nos queda es:<br />
cómo <strong>de</strong>fino la dirección <strong>de</strong> la curva <strong>de</strong><br />
restricción?<br />
La respuesta es que, en vez <strong>de</strong> <strong>de</strong>finir la<br />
dirección <strong>de</strong> dicha curva, voy a i<strong>de</strong>ntificar<br />
el plano normal a la curva.<br />
g1 = 0<br />
Cada superficie <strong>de</strong> restricción, en cada<br />
punto, tiene <strong>de</strong>finido un gradiente, que es<br />
un vector normal a dicha superficie. Por lo<br />
tanto, la curva <strong>de</strong> intersección <strong>de</strong> ambas<br />
superficies es normal a ambos vectores<br />
gradiente (ver figura). El plano normal a la curva, por lo tanto, es aquél que contiene a todos los<br />
vectores que son combinación lineal <strong>de</strong> los dos gradientes, g y . g ∇<br />
∇g2<br />
∇ 1 2<br />
∇g1<br />
g2 = 0
Como en el punto <strong>de</strong> extremo, ∇ f <strong>de</strong>be ser normal a la curva, entonces dicho gradiente <strong>de</strong>be yacer<br />
en el plano normal. Esto significa que ∇ f es una combinación lineal <strong>de</strong> los dos vectores gradiente<br />
y : g ∇<br />
∇g1 2<br />
Eso es nuevamente el método <strong>de</strong> <strong>Lagrange</strong>!<br />
∇ f = λ1∇ g1+ λ2∇<br />
g2,<br />
<strong>para</strong> algún λ 1 y 2<br />
Generalicemos:<br />
Para encontrar el extremo <strong>de</strong> la función multivariable f( x1, x2, x3,...) <strong>para</strong> valores x1, x2, x 3,...<br />
restringidos a las condiciones g1( x1, x2, x 3, ...) = 0 , g2( x1, x2, x 3, ...) = 0 , etc…<br />
a) Construya la función f( x1, x2, x3,...) = f( x1, x2, x3,...) −λ1g1( x1, x2, x3,...) −λ2<br />
g2( x1, x2, x3,...)<br />
−...<br />
y extremice consi<strong>de</strong>rando como in<strong>de</strong>pendientes a todas las variables y a todos los parámetros<br />
λ1, λ 2,...<br />
es <strong>de</strong>cir, imponga<br />
∇ f<br />
= 0<br />
b) Use las ecuaciones <strong>de</strong> restricción g = 0,... <strong>para</strong> <strong>de</strong>terminar los valores <strong>de</strong> los parámetros<br />
λ1, λ 2,...<br />
Problemas:<br />
Encuentre el mínimo <strong>de</strong> la función<br />
2 2<br />
curva ( x− 4) + y =1.<br />
Haga un gráfico <strong>de</strong> la situación.<br />
1<br />
2 2<br />
f ( xy , ) x y<br />
λ .<br />
= + <strong>para</strong> puntos x, y que yacen en la<br />
Solucione el problema haciendo un reemplazo <strong>de</strong> y en la función usando la restricción y encuentre<br />
la solución al problema <strong>de</strong> minimización en una variable.<br />
Alternativamente, use el método <strong>de</strong> <strong>Lagrange</strong>.