Práctica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con ...

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3.1. La factorización LU La orden para calcular la factorización LU de la matriz A es lu. Sólo requiere un dato que es la propia matriz A, pero se le pueden pedir como resultado una, dos o tres matrices. Si se piden tres matrices ([L, U, P] = lu(A)), L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal principal, U es triangular superior y P es una matriz de permutación tal que P A = LU. Para resolver (1) se puede utilizar la orden U\(L\(P*b)). Si se le piden dos matrices ([L, U] = lu(A)), L es una matriz psicológicamente 2 triangular inferior, en realidad es el producto de la inversa de la matriz de permutación que se ha aplicado por la matriz triangular inferior que proporciona la factorización, y U es triangular superior. Se puede resolver (1) con las órdenes U\(L\b). Por último si sólo se pide una matriz se obtiene una matriz con los elementos no nulos de U y los no nulos y que no corresponden a un uno de la diagonal principal de L. Esta matriz no es en realidad muy útil. Ejemplo 1 Vamos a utilizar la factorización LU para resolver un sistema de ecuaciones lineales » A=[3 -1 2 4; 2 0 -1 3; 7 2 1 4; 0 -1 2 3]; » b=[2 -1 3 9]’; » [L,U]=lu(A) L = U = 0.42857 1 0 0 0.28571 0.30769 1 0 1 0 0 0 0 0.53846 -0.65217 1 7 2 1 4 0 -1.8571 1.5714 2.2857 0 0 -1.7692 1.1538 0 0 0 2.5217 2 Según la ayuda de MATLAB 4
» sol=U\(L\b) sol = -3.2931 5.7414 3.0517 2.8793 » sol2=A\b sol2 = -3.2931 5.7414 3.0517 2.8793 » sol==sol2 ans = 1 1 1 1 se observa que L no es triangular inferior, pero es muy fácil reordenarla intercambiando filas para que lo sea. También se ha comprobado que la solución proporcionada por el comando \ de MATLAB coincide exactamente con la calculada utilizando la factorización LU. Aunque en el cálculo de ésta se han realizado más operaciones que con \ se precisa menos tiempo, esto se debe a que \ realiza una serie de comprobaciones previas. Seguimos ahora calculando con la misma matriz, pero obteniendo la matriz de permutación. » [L,U,P]=lu(A) L = 5
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