Práctica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con ...

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2. La orden \ de MATLAB para resolver sistemas de ecuaciones lineales Para resolver el sistema (1) utilizando un método directo con el programa MATLAB hay que utilizar el comando \. Descrito brevemente A\B es A −1 B, por tanto para resolver (1) basta escribir A\b, en realidad se puede aplicar para obtener la solución del sistema AX = B, donde B es una matriz con el mismo número de filas que A y un número cualquiera de columnas. El algoritmo que aplica MATLAB depende de la matriz A. Se procede de la siguiente forma (traducción casi literal de la ayuda de MATLAB prescindiendo de las referencias a matrices dispersas): Si A es una matriz triangular o una permutación de una matriz triangular, entonces X puede calcularse rápidamente por un algoritmo de sustitución regresiva permutado. Si A es simétrica o hermítica y tiene elementos positivos en la diagonal principal, se intenta hacer una factorización de Cholesky. Si se encuentra que A es definida positiva, el intento de calcular la factorización de Cholesky tiene éxito y requiere menos de la mitad del tiempo que una factorización general. Normalmente las matrices no definidas positivas se detectan casi inmediatamente, por tanto esta comprobación requiere poco tiempo. Si tiene éxito la factorización de Cholesky es A = R T R, donde R es triangular superior. La solución X se calcula resolviendo dos sistemas triangulares X=R\(R’\B) Si A es una matriz de Hessenberg (es decir una matriz con los elementos situados por debajo de la diagonal principal nulos, excepto los de la diagonal inmediatamente debajo de la principal: aij = 0, si i > j +1), a partir de la versión 6 de MATLAB, la matriz se reduce a triangular superior y ese sistema se resuelve por sustitución regresiva. En versiones anteriores se sigue el procedimiento general, descrito a continuación. Si A es cuadrada pero no es una permutación de una matriz triangular, o no es hermítica con elementos positivos en la diagonal principal, o la factorización de Cholesky fracasa entonces se calcula una factorización triangular general por el método de eliminación gaussiana con pivotamiento parcial (ver la orden lu en la sección 3). Esto da como resultado A = LU, donde L es una permutación de una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior. Entonces X se calcula resolviendo dos sistemas triangulares permutados X=U\(L\B). 2
La descripción de la ayuda de MATLAB sigue puesto que \ también se utiliza para obtener la solución de mínimos cuadrados cuando A no es cuadrada. Como se puede ver \ utiliza el mejor algoritmo directo posible en función de las propiedades de la matriz A. Podemos comprobar esta afirmación viendo que el tiempo necesario para resolver los diferentes sistemas cambia en función de cómo son (de todas formas conviene tener en cuenta que el tiempo de resolución depende de muchos factores, algunos de ellos externos a MATLAB, y por tanto es muy variable). Ejercicio 1 Ejecutar las siguientes órdenes y comparar los tiempos, ordenándolos de mayor a menor. Tener en cuenta que A es una matriz sin ninguna propiedad especial, B es simétrica y definida positiva (excepto en el improbable caso de que A no sea invertible) y T es triangular superior y H es una matriz de Hessenberg 1 >> n = 1000; >> A = randn(n); >> T = triu(A); >> H = triu(A, -1); >> B = A’*A; >> b = randn(n,1); >> tic, A\b; toc >> tic, T\b; toc >> tic, H\b; toc >> tic, B\b; toc 3. Las factorizaciones LU y de Cholesky en MATLAB Como se ha visto en la sección 2 la orden \ de MATLAB utiliza la factorización LU con pivotamiento parcial o la factorización de Cholesky para resolver el sistema (1) según sea la matriz A. De todas formas se pueden calcular estas factorizaciones. 1 La orden spy(H) mostrará los elementos no nulos de H. 3
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