Práctica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con ...

2. La orden \ de MATLAB para resolver sistemas
de ecuaciones lineales
Para resolver el sistema (1) utilizando un método directo con el programa
MATLAB hay que utilizar el comando \. Descrito brevemente A\B es A −1 B,
por tanto para resolver (1) basta escribir A\b, en realidad se puede aplicar
para obtener la solución del sistema AX = B, donde B es una matriz con el
mismo número de filas que A y un número cualquiera de columnas. El algoritmo
que aplica MATLAB depende de la matriz A. Se procede de la siguiente
forma (traducción casi literal de la ayuda de MATLAB prescindiendo de las
referencias a matrices dispersas):
Si A es una matriz triangular o una permutación de una matriz triangular,
entonces X puede calcularse rápidamente por un algoritmo de
sustitución regresiva permutado.
Si A es simétrica o hermítica y tiene elementos positivos en la diagonal
principal, se intenta hacer una factorización de Cholesky. Si se encuentra
que A es definida positiva, el intento de calcular la factorización de
Cholesky tiene éxito y requiere menos de la mitad del tiempo que una
factorización general. Normalmente las matrices no definidas positivas
se detectan casi inmediatamente, por tanto esta comprobación requiere
poco tiempo. Si tiene éxito la factorización de Cholesky es A = R T R,
donde R es triangular superior. La solución X se calcula resolviendo
dos sistemas triangulares X=R\(R’\B)
Si A es una matriz de Hessenberg (es decir una matriz con los elementos
situados por debajo de la diagonal principal nulos, excepto los de la
diagonal inmediatamente debajo de la principal: aij = 0, si i > j +1), a
partir de la versión 6 de MATLAB, la matriz se reduce a triangular superior
y ese sistema se resuelve por sustitución regresiva. En versiones
anteriores se sigue el procedimiento general, descrito a continuación.
Si A es cuadrada pero no es una permutación de una matriz triangular,
o no es hermítica con elementos positivos en la diagonal principal, o
la factorización de Cholesky fracasa entonces se calcula una factorización
triangular general por el método de eliminación gaussiana con
pivotamiento parcial (ver la orden lu en la sección 3). Esto da como
resultado A = LU, donde L es una permutación de una matriz triangular
inferior y U es una matriz triangular superior. Entonces X se
calcula resolviendo dos sistemas triangulares permutados X=U\(L\B).
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