Práctica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con ...

Índice
Práctica de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales con MATLAB
J. Mas, X. Casabán y J. Marín
1. Introducción 1
2. La orden \ de MATLAB para resolver sistemas de ecuaciones
lineales 2
3. Las factorizaciones LU y de Cholesky en MATLAB 3
3.1. La factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2. La factorización de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Errores numéricos al aplicar el algoritmo de Gauss 13
5. La orden linsolve 13
1. Introducción
En toda la práctica tratamos de resolver el sistema
Ax = b (1)
donde suponemos que A es una matriz cuadrada con n filas y n columnas
invertible.
MATLAB dispone de varios programas para resolver sistemas de ecuaciones
lineales utilizando métodos directos o métodos iterativos basados en
subespacios de Krylov. En esta práctica estudiaremos sólo métodos directos.
1

2. La orden \ de MATLAB para resolver sistemas
de ecuaciones lineales
Para resolver el sistema (1) utilizando un método directo con el programa
MATLAB hay que utilizar el comando \. Descrito brevemente A\B es A −1 B,
por tanto para resolver (1) basta escribir A\b, en realidad se puede aplicar
para obtener la solución del sistema AX = B, donde B es una matriz con el
mismo número de filas que A y un número cualquiera de columnas. El algoritmo
que aplica MATLAB depende de la matriz A. Se procede de la siguiente
forma (traducción casi literal de la ayuda de MATLAB prescindiendo de las
referencias a matrices dispersas):
Si A es una matriz triangular o una permutación de una matriz triangular,
entonces X puede calcularse rápidamente por un algoritmo de
sustitución regresiva permutado.
Si A es simétrica o hermítica y tiene elementos positivos en la diagonal
principal, se intenta hacer una factorización de Cholesky. Si se encuentra
que A es definida positiva, el intento de calcular la factorización de
Cholesky tiene éxito y requiere menos de la mitad del tiempo que una
factorización general. Normalmente las matrices no definidas positivas
se detectan casi inmediatamente, por tanto esta comprobación requiere
poco tiempo. Si tiene éxito la factorización de Cholesky es A = R T R,
donde R es triangular superior. La solución X se calcula resolviendo
dos sistemas triangulares X=R\(R’\B)
Si A es una matriz de Hessenberg (es decir una matriz con los elementos
situados por debajo de la diagonal principal nulos, excepto los de la
diagonal inmediatamente debajo de la principal: aij = 0, si i > j +1), a
partir de la versión 6 de MATLAB, la matriz se reduce a triangular superior
y ese sistema se resuelve por sustitución regresiva. En versiones
anteriores se sigue el procedimiento general, descrito a continuación.
Si A es cuadrada pero no es una permutación de una matriz triangular,
o no es hermítica con elementos positivos en la diagonal principal, o
la factorización de Cholesky fracasa entonces se calcula una factorización
triangular general por el método de eliminación gaussiana con
pivotamiento parcial (ver la orden lu en la sección 3). Esto da como
resultado A = LU, donde L es una permutación de una matriz triangular
inferior y U es una matriz triangular superior. Entonces X se
calcula resolviendo dos sistemas triangulares permutados X=U\(L\B).
2

La descripción de la ayuda de MATLAB sigue puesto que \ también
se utiliza para obtener la solución de mínimos cuadrados cuando A no es
cuadrada.
Como se puede ver \ utiliza el mejor algoritmo directo posible en función
de las propiedades de la matriz A. Podemos comprobar esta afirmación
viendo que el tiempo necesario para resolver los diferentes sistemas cambia
en función de cómo son (de todas formas conviene tener en cuenta que el
tiempo de resolución depende de muchos factores, algunos de ellos externos
a MATLAB, y por tanto es muy variable).
Ejercicio 1 Ejecutar las siguientes órdenes y comparar los tiempos, ordenándolos
de mayor a menor. Tener en cuenta que A es una matriz sin
ninguna propiedad especial, B es simétrica y definida positiva (excepto en el
improbable caso de que A no sea invertible) y T es triangular superior y H
es una matriz de Hessenberg 1
>> n = 1000;
>> A = randn(n);
>> T = triu(A);
>> H = triu(A, -1);
>> B = A’*A;
>> b = randn(n,1);
>> tic, A\b; toc
>> tic, T\b; toc
>> tic, H\b; toc
>> tic, B\b; toc
3. Las factorizaciones LU y de Cholesky en
MATLAB
Como se ha visto en la sección 2 la orden \ de MATLAB utiliza la factorización
LU con pivotamiento parcial o la factorización de Cholesky para
resolver el sistema (1) según sea la matriz A. De todas formas se pueden
calcular estas factorizaciones.
1 La orden spy(H) mostrará los elementos no nulos de H.
3

3.1. La factorización LU
La orden para calcular la factorización LU de la matriz A es lu. Sólo
requiere un dato que es la propia matriz A, pero se le pueden pedir como
resultado una, dos o tres matrices.
Si se piden tres matrices ([L, U, P] = lu(A)), L es una matriz triangular
inferior con unos en la diagonal principal, U es triangular superior y P
es una matriz de permutación tal que P A = LU. Para resolver (1) se puede
utilizar la orden U\(L\(P*b)).
Si se le piden dos matrices ([L, U] = lu(A)), L es una matriz psicológicamente
2 triangular inferior, en realidad es el producto de la inversa de la
matriz de permutación que se ha aplicado por la matriz triangular inferior
que proporciona la factorización, y U es triangular superior. Se puede
resolver (1) con las órdenes U\(L\b).
Por último si sólo se pide una matriz se obtiene una matriz con los
elementos no nulos de U y los no nulos y que no corresponden a un uno de
la diagonal principal de L. Esta matriz no es en realidad muy útil.
Ejemplo 1 Vamos a utilizar la factorización LU para resolver un sistema
de ecuaciones lineales
» A=[3 -1 2 4; 2 0 -1 3; 7 2 1 4; 0 -1 2 3];
» b=[2 -1 3 9]’;
» [L,U]=lu(A)
L =
U =
0.42857 1 0 0
0.28571 0.30769 1 0
1 0 0 0
0 0.53846 -0.65217 1
7 2 1 4
0 -1.8571 1.5714 2.2857
0 0 -1.7692 1.1538
0 0 0 2.5217
2 Según la ayuda de MATLAB
4

» sol=U\(L\b)
sol =
-3.2931
5.7414
3.0517
2.8793
» sol2=A\b
sol2 =
-3.2931
5.7414
3.0517
2.8793
» sol==sol2
ans =
1
1
1
1
se observa que L no es triangular inferior, pero es muy fácil reordenarla
intercambiando filas para que lo sea. También se ha comprobado que la
solución proporcionada por el comando \ de MATLAB coincide exactamente
con la calculada utilizando la factorización LU. Aunque en el cálculo de ésta
se han realizado más operaciones que con \ se precisa menos tiempo, esto se
debe a que \ realiza una serie de comprobaciones previas.
Seguimos ahora calculando con la misma matriz, pero obteniendo la matriz
de permutación.
» [L,U,P]=lu(A)
L =
5

U =
P =
» P*A-L*U
ans =
1 0 0 0
0.42857 1 0 0
0.28571 0.30769 1 0
0 0.53846 -0.65217 1
7 2 1 4
0 -1.8571 1.5714 2.2857
0 0 -1.7692 1.1538
0 0 0 2.5217
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
» sol=U\(L\(P*b))
sol =
-3.2931
5.7414
3.0517
2.8793
6

ahora L es realmente triangular inferior. Nótese que para calcular la solución
hay que reordenar el vector b multiplicándolo por P .
Por último
» LU=lu(A)
LU =
7 2 1 4
-0.28571 -1.8571 1.5714 2.2857
-0.42857 -0.30769 -1.7692 1.1538
0 -0.53846 0.65217 2.5217
como puede verse están los elementos de L y de U, pero es difícil reconstruir
ambas matrices, por lo que esta forma de utilizar la orden lu no es
recomendable.
Ejercicio 2 Si A = LU es la factorización LU de A, entonces
aij =
n
r=1
lirurj,
pero teniendo en cuenta la estructura triangular de las matrices L y U, la
expresión anterior se reduce a
aij =
mín(i,j)
r=1
lirurj,
que si se ordenan adecuadamente, y recordando que lkk = 1 son sencillas de
resolver. Supongamos pues que A ∈ R m×n , donde m ≥ n y que L ∈ R m×n
es trapezoidal inferior (lij = 0, si i < j) y que U ∈ R n×n . Si se conocen las
primeras k − 1 columnas de L y las primeras k − 1 filas de U, como lkk = 1,
se tiene:
akj = lkju1j + · · · + lk,k−1uk−1,j + ukj , j = k, k + 1, . . . , n.
aik = li1u1k + · · · + lik ukk, i = k + 1, . . . , m.
donde los elementos recuadrados pueden calcularse fácilmente. Este proceso
se conoce con el nombre de método de Doolittle y da lugar al algoritmo 1.
Escribir un programa MATLAB que implemente el algoritmo de Doolittle.
7

Algoritmo 1 Método de Doolittle
Este algoritmo calcula la factorización LU, A = LU, A ∈ Rm×n , m ≥ n
(suponiendo que existe) por el método de Doolittle.
ENTRADA: La matriz A
SALIDA: Las matrices L y U
1: para k = 1 : n hacer
2: para j = k : n hacer
3: ukj = akj − k−1 i=1 lkiuij
4: fin para
5: para i = k + 1 : m hacer
6: lik = aik − k−1 j=1 lijujk
/ukk
7: fin para
8: fin para
Nota: Los sumatorios de las líneas 3 y 6 son en realidad productos
escalares. En el caso de la línea 3, es el producto escalar de parte de la
fila k de L (los primeros k − 1 elementos) por parte de la columna j de
U (los primeros k − 1 elementos). Este producto escalar puede hacerse en
MATLAB con la orden L(k, 1:k-1) * U(1:k-1, j), siendo ésta la forma
más eficiente de calcularla.
Ejercicio 3 Comprobar el funcionamiento del programa con las siguientes
matrices
⎡ ⎤
⎡
⎤ 3 −1 2 ⎡
⎤
3 −1 2 ⎢ ⎥ 4 2 −1
⎢
⎥ ⎢ 7 −2 1 ⎥ ⎢
⎥
a) ⎢
⎣ 5 7 8 ⎥
⎦ , b) ⎢ ⎥
⎢
⎣ 4 5 0
⎥ , c) ⎢
⎣ 2 1 3 ⎥
⎦
⎦
−1 0 4
7 −1 0
3 −1 2
Ejercicio 4 ¿Qué ocurre al aplicar el programa a la matriz c) del ejercicio
anterior? Modificar el programa para que en caso de producirse esta situación
se detecte y se muestre un mensaje de error.
✍Ejercicio 5 ¿Qué matrices tienen factorización LU? (Se entiende sin
realizar ninguna permutación)
Ejercicio 6 Calcular mediante el método de Doolittle la factorización LU
8

de la matriz
A =
⎡
⎢
⎣
4 −1 3
8 5 1
−16 −44 23
aplicar el resultado para resolver el sistema Ax = b donde b =
−37
Calcular la solución utilizando la factorización LU con pivotamiento parcial
(es decir usando la orden lu de MATLAB) y comparar los resultados sabiendo
que la solución exacta es el vector con todas las componentes iguales a 1.
3.2. La factorización de Cholesky
La factorización de Cholesky de una matriz simétrica definida positiva A
puede calcularse con MATLAB con la orden chol. Esta función sólo precisa
un dato que es la matriz de la que quiere calcularse la factorización. Debe
tenerse en cuenta que chol no comprueba si la matriz es simétrica,
sólo usa su parte triangular superior, esto puede dar lugar a errores, como
se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
» A=[ 5 -1 2 1; 0 4 2 -1; 0 0 5 1; 0 0 0 3];
» spy(A)
» R=chol(A)
R =
» R’*R
ans =
2.2361 -0.44721 0.89443 0.44721
0 1.9494 1.2312 -0.41039
0 0 1.6384 0.67462
0 0 0 1.4753
5 -1 2 1
-1 4 2 -1
9
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
6
14
⎤
⎥
⎦ .

» spy(ans)
» chol(ans)
ans =
2 2 5 1
1 -1 1 3
2.2361 -0.44721 0.89443 0.44721
0 1.9494 1.2312 -0.41039
0 0 1.6384 0.67462
0 0 0 1.4753
como puede verse la matriz A no es simétrica y MATLAB sólo utiliza la parte
triangular superior, por lo que obtiene un resultado incorrecto.
Es por tanto necesario asegurarse de que la matriz sea simétrica. Si no
estamos seguros de que la matriz A es simétrica podemos comprobarlo escribiendo
all(all(A==A’)), si el resultado es 1 es simétrica, si es 0 no lo
es.
Por otra parte, si la matriz A no es definida positiva chol devuelve un
mensaje de error. En general no es fácil comprobar si una matriz simétrica
es definida positiva o no (una matriz simétrica definida positiva tiene todos
los elementos de la diagonal principal positivos, por tanto si alguno de ellos
es negativo o nulo no se trata de una matriz definida positiva, pero puede
suceder que todos los elementos de la diagonal principal sean positivos y
la matriz no sea definida positiva). Una de las formas de comprobar si una
matriz simétrica es definida positiva es intentar calcular su factorización de
Cholesky.
Ejemplo 3 Dada la siguiente matriz (con elementos positivos en la diagonal
principal) al intentar calcular su factorización de Cholesky se comprueba que
no es definida positiva.
>> A=[2 -1 1;-1 2 2;1 2 2]
A =
2 -1 1
-1 2 2
1 2 2
10

R=chol(A)
??? Error using ==> chol
Matrix must be positive definite.
Como se ha visto chol calcula el factor triangular superior. Si se quiere
utilizar el resultado para resolver el sistema (1) se puede utilizar el factor
con la orden R\(R’\b)
Ejemplo 4
» A=[ 10 -1 2 1; -1 8 2 -1; 2 2 10 1; 1 -1 1 6];
» b=[3 -1 2 4]’;
» R=chol(A)
R =
3.1623 -0.31623 0.63246 0.31623
0 2.8107 0.78272 -0.32021
0 0 2.9979 0.35046
0 0 0 2.3822
» sol=R\(R’\b)
sol =
0.2132
-0.049392
0.10673
0.60511
» sol2=A\b
sol2 =
0.2132
-0.049392
0.10673
0.60511
» sol==sol2
11

ans =
0
0
0
0
» sol-sol2
ans =
-5.5511e-017
2.7756e-017
-4.1633e-017
1.1102e-016
» R’*R-A
ans =
1.7764e-015 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 -8.8818e-016
Ejercicio 7 Decir cuáles de las siguientes matrices tienen factorización de
Cholesky. En caso afirmativo obtenerla y en caso negativo indicar las razones
por las que no la tiene.
⎡
A = ⎣
⎡
D = ⎣
4 1 2
1 −1 0
2 0 2
7 1 2
1 6 0
2 0 3
⎤
⎤
⎡
⎦ , B = ⎣
⎡
⎦ , E = ⎣
3 1 2
1 5 −1
2 −1 4
3 1 3
1 5 −1
3 −1 4
⎤
⎤
⎡
⎦ , C = ⎣
⎡
⎦ , F = ⎣
5 1 2
1 6 1
2 0 3
5 4 −2
4 6 1
−2 1 1
Ejercicio 8 Para las matrices anteriores que tienen factorización de Cholesky
utilizarla para resolver el sistema con b = 1 1 1 ′ .
12
⎤
⎦
⎤
⎦

4. Errores numéricos al aplicar el algoritmo
de Gauss
Ejecutando el fichero errGauss podemos ver un ejemplo de sistema que
si se resuelve sin usar ninguna técnica de pivotamiento da lugar a un error
considerable, si en cambio se utiliza pivotamiento parcial el resultado
obtenido es correcto.
5. La orden linsolve
A partir de la versión 7 de MATLAB se incorpora la orden linsolve.
Esta orden es similar a \. De hecho si A es una matriz cuadrada y b es un
vector
sol = linsolve(A, b)
resuelve el sistema Ax = b por el algoritmo de Gauss con pivotamiento
parcial.
La diferencia entre usar \ y linsolve es que esta última orden no hace
las comprobaciones que mencionábamos en la sección 2. De hecho si la matriz
tiene alguna propiedad que se pueda aprovechar se debe indicar a la orden
linsolve como una opción.
Por ejemplo si la matriz es triangular inferior podemos definir
opcion.LT = true
y luego resolver
sol = linsolve(A, b, opcion)
Las opciones que se pueden utilizar de esta forma son las del cuadro 1.
Todas ellas admiten los valores falso, false, que es el valor que tienen por
defecto y verdadero, true. Aunque se pueden indicar varias opciones como
verdaderas hay restricciones lógicas. Es muy importante tener en cuenta que
MATLAB no comprueba si la matriz tiene la propiedad en cuestión o no.
Esto es lo que permite que esta orden sea más rápida.
13

Opción Propiedad de la matriz
LT Triangular inferior
UT Triangular superior
UHESS Hessenber superior
POSDEF Definida positiva
RECT Rectangular
TRANSA Indica si hay que resolver A ′ x = b
Cuadro 1: Opciones de la orden linsolve.
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