Trigonometría - Cepasanfrancisco.edurioja.org

7Soluciones a las actividades de cada epígrafe 

PÁGINA 146 

Los chicos del dibujo deben medir los 35 árboles de una parcela horizontal. 

Para ello, proceden así: 

• Clavan en el suelo una estaca vertical que sobresale 160 cm. 

• A continuación, corren a señalar los extremos de las sombras de los 

35 árboles y de la estaca. 

• Una vez señalados, proceden, ya sin prisas, a medirlas y a anotar las 

medidas. Estos son algunos resultados: 

1 Razona que la estaca y su sombra forman un triángulo rectángulo. 

¿Ocurre lo mismo con cada árbol y su sombra? 

ESTACA 

SOMBRA DE 

LA ESTACA 

LA SOMBRA DE ESTACA CEREZO CIPRÉS CHOPO 

MIDIÓ 82 cm 1,23 m 2,61 m 4,3 m 

La estaca es vertical y el suelo es horizontal. La sombra 

se proyecta sobre el suelo. Por tanto, la estaca y su sombra 

son los catetos de un triángulo rectángulo. 

Lo mismo ocurre con cada árbol y su sombra (los árboles 

hay que idealizarlos para considerarlos como segmentos 

verticales). 

2 ¿Por qué se han de dar prisa en señalar los extremos de las sombras? 

Razona que todos los triángulos descritos son semejantes. 

Hay que señalar las sombras muy deprisa para que no les afecte el movimiento del 

Sol. Para que los triángulos sean semejantes, hay que medir todas las sombras en 

el mismo instante. 

3 Calcula las alturas del cerezo, el ciprés y el chopo, aproximándolas hasta los 

decímetros. 

En la estaca, 160 : 82 = 1,9512… = t. Este es el número por el que hay que multiplicar 

la sombra para obtener la longitud de la estaca. 

Por ser los triángulos semejantes, si en los demás se multiplica la sombra por ese 

número, se obtiene la longitud del árbol correspondiente: 

CEREZO 8 SOMBRA · t = 1,23 · t = 2,4 m (altura del cerezo) 

CIPRÉS 8 SOMBRA · t = 2,61 · t = 5,09 m (altura del ciprés) 

CHOPO 8 SOMBRA · t = 4,3 · t = 8,39 m (altura del chopo) 

Unidad 7. Trigonometría 

Pág. 1


PÁGINA 147 

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA 

1 Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. Es rectángulo porque sus 

lados verifican el teorema de Pitágoras (32 + 42 = 52 ). Traza la altura sobre la 

hipotenusa. Demuestra que los dos pequeños triángulos en que se divide el 

grande son semejantes entre sí. 

 

• es semejante a 

partir el ángulo A 

por com- 

^ . 

• es semejante a 

en común el ángulo C 

por tener 

^ ABC 

ABH 

 

ABC 

BHC 

. 

Se concluye, pues, que ABH es semejante a BHC . 

2 Observa cómo calcula Leticia la altura de una morera que proyecta una sombra 

de 5,7 m a la luz de una farola de altura desconocida: 

a) Altura de Leticia = 1,68 m 

Sombra de Leticia = 1,5 m 

d = 2,9 m 

Con esto se calcula la altura de la farola. 

b)Conociendo la altura de la farola y la 

sombra de la morera, 5,7 m, y midiendo 

la distancia de la farola a la morera, 

2 m, se calcula la altura de la morera. 

Resuelve los apartados a) y b) descritos en la situación anterior. 

a) Si h es la altura de la farola, por la semejanza de triángulos: 

h 

= 

1,68 

d 1,5 

8 

h 

2,9 

= 

1,68 

1,5 

8 h = 3,248 m mide la farola. 

b) hm 8 altura de la morera: 

5,7 

h m 


d 

 

 

5,7 m 2 m 

= 

5,7 + 2 

8 hm = 2,40 m mide la morera. 

3,248 

h m 

A 

3 cm 

 

B 

H 

5 cm 

4 cm 

h = 3,248 m 

C 

Pág. 2


PÁGINA 148 

1 Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34°, un triánguo rectángulo mucho 

más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que obtienes, aproximadamente, 

los mismos valores. 

sen 34° = 

BC 

AB 

= 

35 

= 0,56 

62 

cos 34° = 

AC 

AB 

= 

51 

= 0,82 

62 

tg 34° = 

BC 

AC 

= 

35 

= 0,68 

51 

PÁGINA 149 

2 Utilizando el anterior aparato y un transportador de ángulos, calcula el seno y 

el coseno de 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70° y 80°, y la tangente de aquellos 

que puedas. 

O 

0,5 

sen 10° = 0,18, cos 10° = 0,98, tg 10° = 0,18 

sen 20° = 0,34, cos 20° = 0,94, tg 20° = 0,37 

sen 30° = 0,5, cos 30° = 0,86, tg 30° = 0,58 


62 mm 

A 51 mm 

C 

U 

0,5 

B 

35 mm 

Pág. 3


sen 40° = 0,64, cos 40° = 0,76, tg 40° = 0,84 

sen 50° = 0,76, cos 50° = 0,64 

sen 60° = 0,86, cos 60° = 0,5 

sen 70° = 0,94, cos 70° = 0,34 

sen 80° = 0,98, cos 80° = 0,18 

PÁGINA 150 

1 sen 37° = 0,6. Calcula cos 37° y tg 37°. 

sen 37° = 0,6 

(cos 37°) 2 + (0,6) 2 = 1 8 cos 37° = ± √1 – 0,36 = ±0,8 

Solo tomamos el resultado positivo: cos 37° = 0,8 

tg 37° = 

0,6 

= 0,75 

0,8 

2 tg 28° = 0,53. Calcula sen 28° y cos 28°. 

= 0,53 

(sen 28°) 2 +(cos 28°) 2 = 1 

sen 28° = 0,53 cos 28° 

(0,53 cos 28°) 2 +(cos 28°) 2 = 1 8 0,28(cos 28°) 2 +(cos 28°) 2 = 1 8 

8 1,28(cos 28°) 2 sen 28° 

cos 28° 

= 1 8 

1 

8 cos 28° = ± 8 cos 28° = ±0,88 

√1,28 

Solo tomamos el resultado positivo: cos 28° = 0,88 

sen 28° = 0,53 · 0,88 8 sen 28° = 0,46 

PÁGINA 151 

3 Teniendo en cuenta que tg 45° = 1, deduce el valor de sen 45° y de cos 45° 

mediante las relaciones fundamentales. 

= 1; sen 45° = cos 45° 

(sen 45°) 2 +(cos 45°) 2 = 1 

(cos 45°) 2 +(cos 45°) 2 sen 45° 

cos 45° 

1 √2 

= 1 8 cos 45° = ± = ± √ 2 2 

Solo tomamos el resultado positivo: cos 45° = 8 sen 45° = √2 

√2 

2 

2 


Pág. 4


4 Teniendo en cuenta que sen 30° = 1/2, halla el valor de cos 30° y de tg 30° 

mediante las relaciones fundamentales. 

sen 30° = 

1 

2 

(sen 30°) 2 + (cos 30°) 2 = 1 8 + (cos 30°) 2 1 

= 1 8 cos 30° = ± 

4 

Tomamos el resultado positivo: cos 30° = 

1/2 1 

tg 30° = = = 

√3/2 √3 

5 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla: 

En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su expresión 

decimal. 

En todos los casos solo tomaremos los resultados positivos. 

• sen a = 0,94 

(cos a) 2 + (0,94) 2 = 1 8 cos a = 0,34 

tg a = 

0,94 

= 2,76 

0,34 

• cos a = 0,82 

(sen a) 2 + (0,82) 2 = 1 8 sen a = 0,57 

tg a = 

0,57 

= 0,69 

0,82 

• sen a = 

( 

) 

2 

4 

5 

√3 

3 

sen a 0,94 4/5 

√3 

2 

cos a 0,82 √ — 3/2 

tg a 3,5 1 

sen a 0,94 0,57 4/5 0,96 1/2 √ — 2/2 

cos a 0,34 0,82 3/5 0,27 √ — 3/2 √ — 2/2 

tg a 2,76 0,69 4/3 3,5 √ — 3/3 1 

+(cos a) 2 = 1 8 (cos a) 2 = 1 – 8 cos a = 

tg a = = 4 

4 

5 

16 

25 

4/5 

3/5 3 


3 

5 

√3 

2 

Pág. 5


• tg a = 3,5 

= 3,5; sen a = 3,5 · cos a 

(sen a) 2 + (cos a) 2 = 1 

(3,5 cos a) 2 +(cos a) 2 = 1 8 13,25(cos a) 2 sen a 

cos a 

= 1 8 cos a = 0,27 

sen a = 3,5 · 0,27 8 sen a = 0,96 

• cos a = 

√3 

2 

(sen a) 2 + 

( 

√3 

2 

1/2 1 

tg a = = = 

√3/2 √3 

) 

2 

= 1 8 (sen a) 2 = 1 – 

3 

8 sen a = 

4 

√3 

3 

• tg a = 1 

= 1; sen a = cos a 

(sen a) 2 +(cos a) 2 = 1 

(cos a) 2 +(cos a) 2 = 1 8 2(cos a) 2 sen a 

cos a 

1 

= 1 8 cos a = = 

√2 

√2 

sen a = 

2 

6 Un carpintero quiere construir una escalera de tijera, cuyos 

brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60°. 

Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de 2 

metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo? 

cos 30° = 

2 

L 

8 

√3 

= 

2 

2 L 

4 

8 L = 

√3 

≈ 2,3 m 

Cada brazo deberá medir, aproximadamente, 2,3 m de longitud. 

7 Calcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo coseno vale 0,8. 

cos a = 0,8 

(sen a) 2 +(cos a) 2 = 1 8 (0,8) 2 +(sen a) 2 = 1 8 sen a = ±0,6 

Tomamos solo el valor positivo: sen a = 0,6 

tg a = 

0,6 

= 0,75 

0,8 


1 

2 

√2 

2 

Pág. 6


8 Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0,7. 

tg a = 0,7 

= 0,7; sen a = 0,7 · cos a 

(sen a) 2 +(cos a) 2 = 1 

(0,7 cos a) 2 +(cos a) 2 = 1 8 1,49(cos a) 2 sen a 

cos a 

= 1 8 cos a = ±0,82 

Solo tomamos el valor positivo: cos a = 0,82 

sen a = 0,7 · 0,82 8 sen a = 0,57 

PÁGINA 152 

1 Obtén las siguientes razones trigonométricas y escribe en tu cuaderno los resultados 

redondeando a las milésimas. 

a) sen 86° b)cos 59° c) tg 22° 

d)sen 15° 25' 43'' e) cos 59° 27' f) tg 86° 52' 

g) sen 10° 30'' (atención, 10° 0' 30'') 

a) sen 86° = 0,998 b) cos 59° = 0,515 

c) tg 22° = 0,404 d) sen 15° 25' 43'' = 0,266 

e) cos 59° 27' = 0,508 

g) sen 10° 30'' = 0,174 

f) tg 86° 52' = 18,268 

PÁGINA 153 

2 Da el valor del ángulo a en forma sexagesimal, en cada caso: 

a) sen a = 0,91 b)tg a = 5,83 c) cos a = 0,42 

d)tg a = 0,34 e) sen a = 0,08 f) cos a = 0,88 

a) a = 65° 30' 19'' b) a = 80° 16' 1'' c) a = 65° 9' 55'' 

d) a = 18° 46' 41'' e) a = 4° 35' 19'' f) a = 28° 21' 27'' 

3 Calcula sen a sabiendo que cos a = 0,91 

Calcula cos a sabiendo que tg a = 6,41 

Calcula tg a sabiendo que cos a = 0,06 

Calcula tg a sabiendo que cos a = 0,96 

Calcula sen a sabiendo que tg a = 0,1 

cos a = 0,91 8 sen a = 0,415 tg a = 6,41 8 cos a = 0,154 

cos a = 0,06 8 tg a = 16,637 cos a = 0,96 8 tg a = 0,292 

tg a = 0,1 8 sen a = 0,0995 


Pág. 7


PÁGINA 155 

1 Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 cm y 71 cm. Calcula, en 

grados y minutos, los dos ángulos agudos. 

48 cm 

tg a = 

48 

= 0,676 8a= 34° 3' 39,27'' 

71 

b = 90° – 34° 3' 39,27'' = 55° 86' 51,73'' 

2 En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide 37°, y el cateto opuesto, 

87 m. Halla el otro cateto y la hipotenusa. 

87 m 

b 

sen 37° = 

87 

a 

8 a = 

87 

= 144,56 m 

sen 37° 

tg 37° = 

87 

c 

8 c = 

87 

= 115,45 m 

tg 37° 

3 Halla el radio de un octógno regular de 20 cm de lado. ¿Cuánto mide su apotema? 

r 

22,5° 

c 

20 

a 

37° 

a 

sen 22,5° = 

10 

r 

8 r = 

10 

≈ 26,13 cm 

sen 22,5° 

cos 22,5° = 

apotema 

r 

8 apotema ≈ 24,14 cm 

4 Desde un cohete espacial se ve la Tierra bajo un ángulo de 100°. 

a) ¿A qué distancia de la Tierra se encuentra en ese instante? 

b)¿Cuál es el área de la porción de tierra visible desde el cohete? 

a) d = 

R 

– R = 

6 366 

– 6 366 = 1 944,2 km 

cos 40° cos 40° 

(R es el radio de la Tierra) 

b) h = R – R cos 40° = 1 489,36 km 

Área del casquete = 2πRh = 59 572 592,72 km2 Unidad 7. Trigonometría 

71 cm 

R 

50° d 

h 

40° 

Pág. 8


5 ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra hemos de subir para ver un lugar 

situado a 400 km de distancia? 

A un arco de 400 km le corresponde un ángulo de 3,6°. 

d = 

R 

– R = 12,587 km 

cos 3,6° 

(R es el radio de la Tierra). 

PÁGINA 157 

1 En un triángulo ABC, calcula BC — conociendo AB — = 37 cm, AC — = 50 cm y 

BAC 

ì = 32°. 

B 

cos 32° = 

x 

37 

8 x = 31,38 cm 

h 

sen 32° = 

h 

37 

8 h = 19,61 cm 

A 

32° x 

50 cm 

y 

C y = 50 – x = 50 – 31,38 = 18,62 cm 

BC 

= √h = 27,04 cm 

2 + y 2 

2 Para hallar la altura a la que se encuentra un globo, procedemos así: 

Rosa se coloca en un punto B, y yo en A, a 5 metros 

de ella, de forma que los puntos A, B y C 

(observa la figura) quedan alineados. 

Si los ángulos a y b miden 40° y 50°, respectivamente, 

¿a qué altura se encuentra el globo? 

h 8 altura a la que se encuentra el globo. 

h 

tg b = — BC — 

h 

tg a = — AC — 

37 cm 

h 

tg 50° = — x 

h 

tg 40° = — x +5 

1,19 = 

h 

8 h = 1,19x 

x 

° §§¢§§£ 

° §§¢§§£ 

A B C 

a b x 

A B C 

0,84 = 

h 

8 0,84 = 

1,19x 

8 0,84x + 4,2 = 1,19x 8 0,35x = 4,2 8 

x +5 

x +5 

8 x = 12 8 h = 1,19 · 12 = 14,28 m 

El globo se encuentra a 14,28 m de altura. 


h 

Pág. 9


3 Una antena de radio está sujeta al suelo con dos tirantes de cable de acero, 

como indica la figura. 

B 

Calcula: 

a) La altura de la antena. 

b)La longitud de los cables. 

c) El valor del ángulo ABC 

ì . 

a) h 8 altura de la antena. 

h 

tg 60° = — 

x 

h 

tg 45° = — 

126 – x 

x = 126 – x 8 ( 126 

√3 

√3 +1)x = 126 8 x = = 46,12 8 

√3 + 1 

8 h = 126 – 46,12 8 h = 79,88 m 

La altura de la antena es de 79,88 m 

b) cos 60° = 

x 

8 

1 

= 

46,12 

8 AB = 92,24 m 

AB 2 AB 

sen 45° = 

h √2 

8 = 

79,88 

8 BC = 112,97 m 

BC 2 BC 

ì 

c) ABC = 180° – 60° – 45° = 75° 


° §§¢§§£ 

A 

60° 45° 

A 126 m C 

60° 

x 

B 

h 

√ — 3 = — 8 h = √ — 3x 

x 

h 

1 = — 8 h = 126 – x 

126 – x 

h 

126 m 

45° 

° §§¢§§£ 

C 

Pág. 10


PÁGINA 159 

1 Sitúa sobre la circunferencia goniométrica los ángulos: 

62°, 154°, 243° y 300° 

Representa sus razones trigonométricas y da su valor aproximado. 

sen 62° = 0,88 cos 62° = 0,47 tg 62° = 1,88 

sen 154° = 0,44 cos 154° = –0,9 tg 154° = –0,49 

sen 243° = –0,89 cos 243° = –0,45 tg 243° = 1,96 

sen 300° = –0,87 cos 300° = 0,5 tg 300° = –1,73 

2 En la página anterior, en la circunferencia goniométrica sobre la que se han representado 

el seno y el coseno, hay un triángulo coloreado, OA'A. 

a) Razonando sobre él y teniendo en cuenta que OA 

— = 1, justifica que: 

cos a = OA' 

— y sen a = A'A — 

b)Aplicando el teorema de Pitágoras en este triángulo justifica que: 

(sen a) 2 +(cos a) 2 = 1 

c) Justifica que (sen b) 2 +(cos b) 2 = 1, razonando sobre el correspondiente 

triángulo. 

a) cos a = = = 

b) (sen a) 2 +(cos a) 2 = ( ) 2 +( ) 2 = ( ) 2 OA' OA' 

OA' 

OA 1 

AA' OA' OA = 1 

c) (sen b) 2 +(cos b) 2 = OB2 

= 1 

3 Di el valor de sen a y cos a cuando a vale 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. 

4 En este círculo se da el signo de sen f según el cuadrante 

en el que se halle situado el ángulo f. Comprueba que 

es correcto y haz algo similar para cos f. 

– + 

– + 


a 0° 90° 180° 270° 360° 

sen a 0 1 0 –1 0 

cos a 1 0 –1 0 1 

+ + 

– – 

El coseno se corresponde con la longitud en el eje X, por 

lo que será positivo en el primer y cuarto cuadrante y negativo 

en el segundo y tercer cuadrante. 

Pág. 11


5 Teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos OA'A y 

OUT, y que OU — = 1, demuestra que: 

= tg a 

Por la semejanza de triángulos: 

= 8 = 

AA' · OU 

= 

AA' 

OA' 

8 tg a = 

AA' 

= 

OA' 

— 

OA' OU 

AA' UT 

UT 

OA' 

PÁGINA 160 

sen a 

cos a 

6 Expresa con valores entre –180° y 180° estos ángulos: 1 837°, 3 358°, 1 381° y 

3 805°. Comprueba con la calculadora que, en cada caso, coinciden las razones 

trigonométricas de uno y otro ángulo. 

1 837° = 5 · 360° + 37° 8 37° 

3 358° = 9 · 360° + 118° 8 118° 

1 381° = 4 · 360° – 59° 8 –59° 

3 805° = 11 · 360° – 155° 8 –155° 


sen a 

cos a 

a 

1 837° 

37° 

3 358° 

118° 

1 381° 

–59° 

3 805° 

–155° 

sen a 0,60 0,88 –0,86 –0,42 

cos a 0,80 –0,47 0,52 –0,91 

tg a 0,75 –1,88 –1,66 0,47 

sen a 

A 

a cos a 

O A' U 

T 

tg a 

Pág. 12

7Soluciones a los ejercicios y problemas 

PÁGINA 161 

P RACTICA 

Razones trigonométricas de un ángulo agudo 

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos 

triángulos: 

a) b) c) 

√25 

a) sen a = = 0,28; cos a = = 

24 

= 0,96; tg a = 

7 

≈ 0,29 

25 

24 

2 – 72 7 

25 

25 

√11,6 

b) sen a = = 

8,4 

≈ 0,724 

11,6 

cos a = 

8 

≈ 0,69; tg a = 

8,4 

= 1,05 

11,6 

8 

2 – 82 11,6 

32 

c) sen a = = 

32 

= 

8 

≈ 0,47 

√32 68 17 

2 + 602 cos a = 

60 

= 

15 

≈ 0,88; tg a = 

32 

= 

8 

≈ 0,53 

68 17 

60 15 

2 Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B ^ en cada caso: 

a) B b) 

C 

7 m 

25 m 

a 

A 

a 

8 m 

C 

a) sen B ^ = ≈ 0,82; cos B ^ = ≈ 0,59; tg B ^ = = 1,4 

b) sen B ^ = ≈ 0,34; cos B ^ = ≈ 0,95; tg B ^ 2,8 

2 

2,8 

3,4 

3,4 

2 

1,3 

3,6 

= 

1,3 

≈ 0,36 

3,8 

3,8 

3,6 


11,6 cm 

32 m 

A 

a 

60 m 

B 

Pág. 1


3 Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes 

triángulos rectángulos (A ^ = 90°): 

a) b = 56 cm; a = 62,3 cm 

c) c = 16 cm; a = 36 cm 

b)b = 33,6 cm; c = 4,5 cm 

a) sen B ^ = ≈ 0,90 

cos B ^ = = ≈ 0,438 

tg B ^ = ≈ 2,051 

sen C ^ = ≈ 0,438; cos C ^ = ≈ 0,90; tg C ^ √62,3 27,3 

62,3 

56 

27,3 

27,3 

56 

= 

27,3 

= 0,4875 

62,3 

62,3 

56 

2 – 562 B 

56 

62,3 

62,3 cm 

62,3 

A 

56 cm 

C 

b) sen B ^ = = ≈ 0,991 

cos B ^ = ≈ 0,133 

tg B ^ = ≈ 7,467 

sen C ^ = ≈ 0,133; cos C ^ = ≈ 0,991; tg C ^ 33,6 33,6 

√4,5 33,9 

4,5 

33,9 

33,6 

4,5 

4,5 

33,6 

= 

4,5 

≈ 9,955 

33,9 

33,9 

33,6 

2 + 33,62 B 

33,9 cm 

4,5 cm 

A 

C 

33,6 cm 

c) sen B ^ = ≈ ≈0,896 

cos B ^ = = 0, ) 4 

tg B ^ = ≈ 2,016 

sen C ^ = = 0, ) 4; cos C ^ = ≈ 0,896; tg C ^ √36 32,25 

36 

16 

36 

32,25 

16 

16 

32,25 

= 

16 

≈ 0,496 

36 

36 

32,25 

2 – 162 B 

36 

36 cm 

A 

32,25 cm 

C 

4 Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB 

son rectángulos. 

7 cm 

27,3 cm 

16 cm 

A 

6,72 cm 

C H 

1,96 cm 

24 cm 

23,04 cm 

B 

Halla en cada uno las razones trigonométricas 

del ángulo B y compara los resultados. ¿Qué 

observas? 

El triángulo ABC es rectángulo en A: 

24 2 +7 2 = 625 = (23,04 + 1,96) 2 = 25 2 = 625 

El triángulo AHB es rectángulo en H: 

23,04 2 + 6,72 2 = 576 = 24 2 


Pág. 2


5 Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A ^ y C ^ , ABD 

ì y CBD 

ì . 

= = 9; = √12 = 20 

2 + 162 √15 BC 

2 – 122 AD 

Relaciones fundamentales 

6 Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales 

(a < 90°). 

cos a = √1 – 0,28 = 0,96; tg a = 

0,28 

≈ 0,292 

0,96 

2 

7 Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que 

cos a = 2/3 (a < 90°). 

sen a = = = ; tg a = = √5 

2 2 4 

– – — 

√5 √5/3 

( —) 3 9 3 2/3 2 

√ 1 

sen 

cos 

tg 


en ABC 

en AHB 

15 cm 

√ 1 

sen B ^ 

B 

12 cm 

A D 

A ^ 

12 

— = 0,8 

15 

9 

— = 0,6 

15 

12 

— = 1, ) 3 

9 

7 

— = 0,28 

25 

6,72 

— = 0,28 

24 

C ^ 

12 

— = 0,6 

20 

16 

— = 0,8 

20 

12 

— = 0,75 

16 

cos B ^ 

24 

— = 0,96 

25 

23,04 

— = 0,96 

24 

16 cm 

tg B ^ 

7 

— ≈ 0,292 

24 

6,72 

— ≈ 0,292 

23,04 

C 

^ 

ABD 

^ 

CBD 

9 

— = 0,6 

15 

12 

— = 0,8 

15 

9 

— = 0,75 

12 

16 

— = 0,8 

20 

12 

— = 0,6 

20 

16 

— = 1, ) 3 

12 

Pág. 3


8 Si tg a = √5, 

calcula sen a y cos a (a < 90°). 

sen a 

— = √ — 5 

cos a 

sen 2 a + cos 2 a = 1 

√6 

sen a = √5 · = 

6 

√30 

6 

9 Calcula y completa esta tabla con valores aproximados: 

sen a 0,92 

cos a 0,12 

tg a 0,75 

sen a 0,92 0,6 0,99 

cos a 0,39 0,8 0,12 

tg a 2,35 0,75 8,27 

En todos los casos solo tomaremos valores positivos. 

• sen a = 0,92 8 cos a = = 0,39 

tg a = = 2,35 

• tg a = 0,75 

= 0,75 8 sen a = 0,75 · cos a 

(sen a) 2 +(cos a) 2 = 1 8 (0,75 · cos a) 2 +(cos a) 2 = 1 8 

8 (cos a) 2 = 0,64 8 cos a = 0,8 

sen a = 0,75 · 0,8 = 0,6 

• cos a = 0,12 8 sen a = √1 – (0,12) = 0,99 

tg a = 

0,99 

= 8,27 

0,12 

2 

√1 – (0,92) 

0,92 

0,39 

sen a 

cos a 

2 

10 Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas 

que faltan en la tabla siguiente (a < 90°): 


s = √ — 5c 

1 √ — 6 

(√ — 5c) 2 + c 2 = 1 8 6c 2 = 1 8 cos a = — = — 

√ — 6 6 

° §¢§£ 

sen a 2/3 

cos a √ — 2/3 

tg a 2 

sen a 2/3 √ — 7/3 2√ — 5/5 

cos a √ — 5/3 √ — 2/3 √ — 5/5 

tg a 2√ — 5/5 √ — 7/2 2 

Pág. 4


Como a0 

¢ 

£ cos a>0 

√1 – ( 

2√5 

5 

—) 2 

√1 – ( 

—) 2 

√ 9 

√ 9 

a 15° 55° 20' 72° 25' 40'' 85,5° 

sen a 0,26 0,82 0,95 0,997 

cos a 0,97 0,57 0,30 0,078 

tg a 0,27 1,45 3,16 12,71 

12 Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos. 

a) sen a = 0,58 b)cos a = 0,75 c) tg a = 2,5 

√5 

d)sen a = 

3 

1 

e) cos a = 

√3 

f) tg a = 3√2 

a) a = 35° 27' 2'' b) a = 41° 24' 35'' c) a = 68° 11' 55'' 

d) a = 48° 11' 23'' e) a = 54° 44' 8'' f) a = 76° 44' 14'' 


√5 

3 

√7 

3 

√5 

5 

Pág. 5


13 Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a 

en cada uno de los casos siguientes: 

a) sen a = 0,23 b)cos a = 0,74 c) tg a = 1,75 

1 

d)sen a = 

√2 

e) tg a = √3 

√3 

f) cos a = 

2 

a) cos a = 0,97; tg a = 0,24 b) sen a = 0,67; tg a = 0,91 

c) sen a = 0,87; cos a = 0,5 d) cos a = 0,71; tg a = 1 

e) sen a = 0,87; cos a = 0,5 f) sen a = 0,5; tg a = 0,58 

PÁGINA 162 

Resolución de triángulos rectángulos 

14 Halla la medida de los lados y ángulos desconocidos en los siguientes 

triángulos rectángulos (A ^ = 90°): 

a) b = 7 cm c = 18 cm b)a = 25 cm b = 7 cm 

c) b = 18 cm B ^ = 40° d)c = 12,7 cm B ^ = 65° 

e) a = 35 cm C ^ = 36° 

a) a = = ≈ 19,31 cm 

tg B ^ = = = 0,3 ) 8 8 B ^ ≈ 21° 15' 2'' 

C ^ √7 

b 7 

c 18 

= 90° – 21° 15' 2'' = 68° 44' 58'' 

2 +182 √b 2 + c 2 

b) c = = = 24 cm 

sen B ^ = = = 0,28 8 B ^ ≈ 16° 15' 37'' 

C ^ √25 

b 7 

a 25 

= 90° – 16° 15' 37'' = 73° 44' 23'' 

2 – 72 √a2 – b 2 

c) C ^ = 90° – 40° = 50° 

sen B ^ = 8 sen 40° = 8 a ≈ 28 cm 

tg B ^ b 

a 

18 

a 

= 

b 

c 

8 tg 40° = 

18 

c 

8 c ≈ 21,45 cm 

d) C ^ = 90° – 65° = 25° 

tg B ^ = 8 tg 65° = 8 b ≈ 27,23 cm 

cos B ^ b 

c 

b 

12,7 

= 

c 

a 

8 cos 65° = 

12,7 

a 

8 a ≈ 30,05 cm 


Pág. 6


e) B ^ = 90° – 36° = 54° 

sen C ^ = 8 sen 36° = 8 c ≈ 20,57 cm 

cos C ^ c 

a 

c 

35 

= 

b 

a 

8 cos 36° = 

b 

35 

8 b ≈ 28,32 cm 

15 Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol 

mide 18 m. ¿Cuál es su altura? 

tg 40° = 

x 

8 x = 15,1 m mide el árbol. 

18 

16 Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera 

con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared? 

cos a = 

1,2 

= 0,4 8a= 66° 25' 19'' 

3 

17 De un triángulo isósceles conocemos su lado desigual, 18 m, y su altura, 

10 m. ¿Cuánto miden sus ángulos? 

tg a = = 1, ) 10 

1 8a= 48° 46'' 

9 

b = 180° – 2a = 83° 58' 28'' 

18 Calcula la altura, h, de los siguientes triángulos: 

a) B b) B 

18 cm 

a 

40° 

18 m 

h 

10 m 

b 

18 m 

a 

28 cm 

65° 35° 

A 

D C 

D A 

C 

a) sen 65° = 

h 

8 h ≈ 16,3 cm b) sen 35° = 

h 

8 h ≈ 16,1 cm 

18 

28 


h 

3 m 

a 

1,2 m 

Pág. 7


19 Calcula la altura sobre el lado AB en los siguientes triángulos: 

a) B b) B 

A C 

C 

a) 

A 

sen 70° = 

h 

15 

8 h ≈ 14,1 cm 

b) B 

A 

40° 

sen 40° = 

h 

8 h ≈ 14,8 cm 

23 

20 Halla: 

h 

a) La longitud AC. 

b)El área del triángulo ABC. 

☞ Ten en cuenta que AC = AD + DC. 

a) En ABD, cos 53° = 

AD 

8 AD ≈13,84 cm 

23 

En BDC, cos 34° = 8 ≈29 cm 

b) Hallamos la altura h en el triángulo ABD: 

sen 53° = 8 h ≈ 18,37 cm 

A = ABC = ≈ 393,49 cm2 DC 

35 

DC 

h 

23 

AC · h 

2 

42,84 · 18,37 

2 


70° 40° 

15 cm 

B 

70° 

h 

23 cm 

C 

15 cm 

C 

A 

23 cm 

° §§§¢§§§£ 

23 cm 

A 

AC 

53° 

B 

D 

h 

35 cm 

34° 

C 

≈ 13,84 + 29 = 42,84 cm 

Pág. 8


Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 

21 Sitúa en la circunferencia goniométrica los siguientes ángulos e indica el 

signo de sus razones trigonométricas. 

a) 128° b)198° 

c) 87° d)98° 

e) 285° f) 305° 

Compruébalo con la calculadora. 

a) 128° b) 

128° sen + 

c) 87° d) 

87° 

e) 285° f) 

285° 

sen – 

cos + 

tg – 

305° 

22 Completa esta tabla sin usar la calculadora: 


cos – 

tg – 

sen + 

cos + 

tg + 

198° 

98° 

0° 90° 180° 270° 360° 

sen 1 

cos 0 

tg No tiene 

0° 90° 180° 270° 360° 

sen 0 1 0 –1 0 

cos 1 0 –1 0 1 

tg 0 No tiene 0 No tiene 0 

198° 

sen – 

cos – 

tg + 

98° 

sen + 

cos – 

tg – 

305° 

sen – 

cos + 

tg – 

Pág. 9


23 En cada uno de estos círculos está indicado el signo de las razones trigonométricas 

de a, según el cuadrante en el que esté a. ¿Cuál corresponde a 

sen a. ¿Cuál a cos a? ¿Y cuál a tg a? 

a) b) c) 

– + 

– + 

a) cos a b) sen a c) tg a 

24 Resuelto en el libro de texto. 

PÁGINA 163 

25 Dibuja dos ángulos cuyo seno sea 2/5 y halla su coseno. 

sen a = 

2 

4 21 

8 cos a = ± – — = ± = ± 

5 

25 

ì √21 ì 

cos AOP = ; cos AOQ = – 

5 

26 Dibuja un ángulo menor que 180° cuyo coseno sea –2/3 y halla su seno 

y su tangente. 

ì 

El ángulo AOP cumple las condiciones. 

cos a = – 

2 

4 ì 

8 sen a = ± – — 

√5 

= ± 8 sen AOP = 

3 

9 3 

tg = = – √5 ì √5/3 

AOP 

–2/3 2 


+ + 

– – 

√ 1 

√ 1 

Q 

√21 

5 

P 

O 

√ 25 

O 

b 

a 

– + 

+ – 

a 

P 

√21 

5 

A 

A 

√5 

3 

Pág. 10


27 Sabiendo que tg a = –2 y a < 180°, halla sen a y cos a. 

s = –2c 

1 √ — 5 

4c 2 + c 2 = 1 8 5c 2 = 1 8 c = ±— = ±— 

√ — sen a 

— = –2 

cos a 

(sen a) 5 5 

2 +(cos a) 2 = 1 

1 √5 2 

cos a = – = – ; sen a = = 

√5 5 √5 

P IENSA Y RESUELVE 

28 Dos antenas de radio 

están sujetas al suelo 

por cables tal como indica 

la figura. Calcula la 

longitud de cada uno de 

los tramos de cable y la 

distancia AE. 

sen 60° = 

100 

AB 

8 AB ≈115,47 m tg 60° = 

100 

AP 

8 AP ≈57,74 m 

sen 30° = 

100 

BC 

8 BC = 200 m tg 30° = 

100 

PC 

8PC ≈173,21 m 

cos 45° = 

75 

CD 

8 CD ≈106,07 m tg 45° = 

CQ 

75 

8 CQ = 75 m 

cos 30° = 

75 

DE 

8 DE ≈86,6 m tg 30° = 

QE 

75 

8 QE ≈43,3 m 

AE = 57,74 + 173,21 + 75 + 43,3 = 349,25 m 

29 Una escalera para acceder a un túnel tiene 

la forma y las dimensiones de la figura. 

Calcula la profundidad del punto B. 

x 

A 

25 m 

30° 


10 m 

y 

° §¢§£ 

30 m 

50° 

A 

B 

100 m 

B 

2√5 

5 

45° 

30° 

60° 30° 

P C Q E 

A 

25 m 

30° 

10 m 

75 m 

sen 30° = 

x 

25 

8 x = 12,5 m 

sen 50° = 

y 

30 

8 y ≈ 22,98 m 

Profundidad: 12,5 + 22,98 = 35,48 m 

D 

30 m 

50° 

B 

Pág. 11


30 Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del 

12%. ¿Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? ¿Cuántos 

metros hemos descendido después de recorrer 7 km por esa carretera? 

a 

100 

7 km 

sen a = 

12 

= 0,12 8a= 6° 53' 32'' 

100 

sen a = 

x 

8 x = 0,12 · 7 = 0,84 km = 840 m 

7 

31 En una ruta de montaña, una señal indica una altitud de 785 m. Tres kilómetros 

más adelante, la altitud es de 1 265 m. Halla la pendiente media de 

esa ruta y el ángulo que forma con la horizontal. 

785 m 

x = 1 265 – 785 = 480 m 

sen a = 

480 

= 0,16 8a= 9° 12' 25'' 

3 000 

Pendiente = tg a = 0,162 8 16,2% 

32 Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°. 

¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura? 

sen 25° = 

x 

8 x ≈ 5,07 cm 

12 

Radio de la circunferencia ≈ 10,14 cm 


6° 58' 34'' 

12 

x 

a 

3 km 

x 

1265 m 

50° 

x 

12 cm 

Pág. 12


33 Calcula el área de cada uno de estos triángulos: 

a) 

b) 

A 

12 m 

50° 

B 

20 m 

35° 

35° 

P R 

a) Calculamos la altura, h, sobre AC: 

sen 50° = 8 h ≈ 9,19 m 

Área = = 105,685 m2 h 

12 

23 · 9,19 

2 

b) Calculamos la altura, h, sobre PR: 

sen 35° = 

h 

8 h ≈ 11,47 m 

20 

Calculamos la base, PR : 

cos 35° = 8 = 40 · cos 35° ≈ 32,77 m 

Área = ≈ 188 m2 PR/2 

20 

PR 

32,77 · 11,47 

2 

34 En el triángulo ABC calcula h y a. 

• En el triángulo ABP: 

sen 65° = 

h 

18 

8 h ≈ 16,31 cm 

• cos 65° = 

AP 

18 

8 AP ≈7,61 

PC = AC – AP = 23 – 7,61 = 15,39 

a = = √16,31 ≈ 22,42 cm 

2 + 15,392 √h2 + PC — 2 


23 m 

Q 

C 

B 

18 cm a 

h 

65° 

A 

P 

23 

C 

Pág. 13


35 En el triángulo ABC halla x, h e y. 

• En el triángulo ABP: 

B 

cos 50° = 

x 

17 

8 x ≈ 10,93 cm 

17 cm 

h 

29 cm 

sen 50° = 

h 

17 

8 h ≈ 13,02 cm 

A 

50° 

x P y 

C 

• En el triángulo BCP: 

y = = √29 ≈ 25,91 cm 

2 – 13,022 √292 –h2 36 Calcula h, x y b. 

☞ En el triángulo PAB, PB = x + 17. 

sen 32° = 

h 

58 

8 h ≈ 30,74 cm 

cos 32° = 

x +17 

58 

8 x ≈ 32,19 cm 

b = √x ≈ 44,51 cm 

2 +h2 37 Conocemos la distancia de nuestra casa a la iglesia, 137 m; la distancia de 

nuestra casa al depósito de agua, 211 m, y el ángulo, 43°, bajo el cual se ve desde 

nuestra casa el segmento cuyos extremos son la iglesia y el depósito. 

¿Cuál es la distancia que hay de la iglesia al depósito de agua? 

En el triángulo IPC: 

cos 43° = 

CP 

137 

8 CP ≈100,2 m 

sen 43° = 

IP 

137 

8 IP ≈93,43 m 

PD = 211 – 100,2 = 110,8 m 

Distancia de la iglesia al depósito: 

ID 

C 

137 m 

43° 

P 

211 m 

= = √110,8 ≈ 144,93 m 

2 + 93,432 √PD — 2 — 

+ IP 2 


I 

A 

h 

P x C 

D 

b 

58 cm 

32° 

17 cm 

B 

Pág. 14


PÁGINA 164 

38 Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con 

un avión que va a aterrizar. En ese momento, el avión se encuentra a una altura 

de 1 200 metros y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que forma 

la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30°. 

¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40 m de altura? 

tg 30° = 

1 200 – 40 

8 d = 

1 160 

= 2 009,2 m 

d 

tg 30° 

Utilizando el teorema de Pitágoras: 

D = √(1 200) = 2 340,3 m 

2 + (2 009,2) 2 

La distancia del avión al pie de la torre es de 2 340,3 m. 

39 Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo 

de 32° con la horizontal. 

Si me acerco 25 m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la altura de la torre? 

h 

tg 32° = — 

25 + x 25tg 32° + x tg 32° = h 

h 

tg 50° = — 

x · tg 50° = h 

x 

25tg 32° + x tg 32° = x tg 50° 

25tg 32° = x(tg 50° – tg 32°) 

x = 

25tg 32° 

= 27,56 m 

tg 50° – tg 32° 

La altura de la torre es h = 27,56 · tg 50° = 32,84 m. 


° §§¢§§£ 

1200 m 

32° 

25 m 

D 

d 

50° 

° ¢£ 

30° 

40 m 

Pág. 15


40 Calcula la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es 

inaccesible, si desde un barco se toman las siguientes medidas: 

— El ángulo que forma la visual hacia la luz con la línea de horizonte es de 25°. 

— Nos alejamos 200 metros y el ángulo que forma ahora dicha visual es de 10°. 

h 

tg 25° = 

h 

x 

8 h = x tg 25° 

tg 10° = 

h 

x + 200 

8 h = (x + 200)tg 10° 

x tg 25° = (x + 200)tg 10° 8 x(tg 25° – tg 10°) = 200 · tg 10° 8 

8 x = 

200 · tg 10° 

tg 25° – tg 10° 

= 121,6 m 

h = x tg 25° = 121,6 · tg 25° = 56,7 m 

41 Para calcular la altura del edificio, PQ — , hemos medido los ángulos que 

indica la figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, cuya longitud 

es de 250 m. Halla PQ — . 

Calculamos SR y RQ con el triángulo SQR: 

cos 30° = 

SR 

250 

8 SR = 250 · cos 30° ≈ 216,5 m 

sen 30° = 

RQ 

250 

8 RQ = 250 · sen 30° = 125 m 

Calculamos RP con el triángulo SPR: 

tg 40° = 

RP 

SR 

8 RP = 216,5 · tg 40° ≈ 181,66 m 

Luego, PQ = RP – RQ = 181,66 – 125 = 56,66 m 

La altura del edificio es de 56,66 m. 


x 

25° 

P 

Q 

250 m 

200 m 

10° 

30° 

R S 

10° 

Pág. 16


42 Las tangentes a una circunferencia de centro O, trazadas desde un punto 

exterior, P, forman un ángulo de 50°. Halla la distancia PO sabiendo que el radio 

de la circunferencia es 12,4 cm. 

sen 25° = 

12,4 

PO 

8 

8 PO = 

12,4 

sen 25° 

≈ 29,34 cm 

43 Dos edificios distan entre sí 150 metros. Desde un punto del suelo que está 

entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman 

con la horizontal ángulos de 35° y 20°. 

¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo? 

tg 20° = 

tg 35° = 

h = x tg 20° 

(150 – x)tg 35° = x tg 20° 8 x = 

150 · tg 35° 

= 98,7 m 

h = (150 – x) tg 35° 

tg 20° + tg 35° 

h = 98,7 · tg 20° = 35,92 m 

La altura de los dos edificios es de 35,92 m. 

44 En dos comisarías de policía, A y C, se 

escucha la alarma de un banco B. 

Con los datos de la figura, calcula la distancia 

del banco a cada una de las comisarías. 

A 

(5 – x)tg 35° = x tg 27° 8 5tg 35° = x tg 35° + x tg 27° 

x = 

5tg 35° 

= 2,89 km 8 h = 1,47 km 

tg 35° + tg 27° 

2 = x 2 +h2 8 = √2,89 = 3,24 km 

2 + 1,472 AB 

AB 

BC 

12,4 cm 

O 

h 

x 

h 

150 – x 

27° 

x 

° ¢£ 

h 

B 

5 km 

35° 

2 = (5 – x) 2 +h2 8 BC = √2,112 + 1,472 = 2,57 km 


25° 

P 

C 

h h 

27° 35° 

A 5 km 

C 

h 

tg 27° = — x 

h 

tg 35° = — 5 – x 

x 

° §§¢§§£ 

20° 

150 m 

B 

35° 

h = x tg 27° 

h = (5 – x)tg 35° 

° ¢£ 

Pág. 17


45 Halla el área de un octógono regular de 12 cm de lado. 

12 cm 

22,5° 

= 45°; = 22,5°; apotema: x 

tg 22,5° = 8 x = 14,49 cm 

Área = = 695,52 cm2 360° 45° 

8 2 

6 

x 

(12 · 8) · 14,49 

2 

46 En un trapecio isósceles de bases AB y DC, conocemos los lados 

AB — = 5m y BC — = 3 m, y los ángulos que forma la base mayor con los lados oblicuos, 

que son de 45°. 

Halla su área. 

A 5 m B 

sen 45° = 8 h = 3 m 

D 

45° 

h 

3√ 

45° 

C 

cos 45° = 8 x = 3 m 

Base mayor: 5 + 3 + 3 = 11 m 

— √2 

h 

3√2 

2 m 

x 

x 

3√2 

Área = = 24 m2 (5 + 11) · 3 

2 

47 El lado de la base de una pirámide cuadrangular regular 

mide 6 m y el ángulo APD 

ì = 60°. Halla su volumen. 

P 

60° 

B 

C 

m 6 

A O 

D 

l 

El triángulo APD es equilátero; l = 6 m 

• Altura de la pirámide: 

d 2 = 62 +62 8 d = 6√2 m 

d 

6 m 6√2 

AO = = 3√2 m 

2 

En el triángulo APO, = √6 = √18 = 3√2 m 

2 – (3√ — 2) 2 

PO 

Volumen = · 62 · 3 = 36 m3 1 

√2 √2 

3 


x 

A 

P 

60° 

l l 

6 m 

D 

A 

B 

P 

D 

C 

Pág. 18


48 Halla el ángulo que forma la diagonal de un cubo de arista 6 cm con la 

diagonal de la base. 

AC 2 = 62 +62 8 AC = 6√2 cm 

6 

tg a = 

6√2 

1 

= 

√2 

8a= 35° 15' 52'' 

49 Desde un faro F se observa un barco A bajo un ángulo de 43° con respecto 

a la línea de la costa; y unbarco B, bajo un ángulo de 21°. El barco A 

está a 5 km de la costa, y el B, a 3 km. Calcula la distancia entre los barcos. 

Calculamos FA y FB: 

sen 43° = 

5 

FA 

8 FA = 

5 

= 7,33 km 

sen 43° 

sen 21° = 

3 

FB 

8 FB = 

3 

= 8,37 km 

sen 21° 

Para calcular d utilizamos el triángulo de la derecha: 

sen 22° = 

5 

7,33 

h = 7,33 · sen 22° = 2,74 km 

F 

cos 22° = 

x 

8 x = 7,33 · cos 22° = 6,8 km 

7,33 

y = 8,37 – x 8 y = 8,37 – 6,8 = 1,57 km 

Utilizando el teorema de Pitágoras: 

d = = √2,74 = 3,16 km 

2 + 1,572 √h2 + y 2 

La distancia entre A y B es de 3,16 km. 


A 

a 6√ — 2 

a 

B 

6 cm 

C 

A 

F 

6 cm 

43° 21° 

22° 

C 

6 cm 

7,33 km 

A 

x 

8,37 km 

5 km 

d 

h 

A 

y 

B 

3 km 

d 

B 

Pág. 19


PÁGINA 165 

R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 

50 Observa el triángulo rectángulo MPN, y en las siguientes 

igualdades, sustituye los puntos suspensivos por 

sen, cos o tg. 

a) … M ^ = b)… N ^ m 

= 

p 

c) … M ^ = d)… N ^ m 

= 

n 

a) sen M ^ = b) cos N ^ = c) tg M ^ = d) sen N ^ m 

m 

m 

= 

p 

p 

n 

51 ¿Existe algún ángulo a tal que sen a = 3/5 y tg a = 1/4? 

No, porque si sen a = 

3 

9 

, cos a = – — = 

4 

y tg a = 

3/5 

= 

3 

? 

1 

. 

5 

25 5 4/5 4 4 

52 ¿Existe algún ángulo agudo cuyo seno sea mayor que la tangente? Justifica 

la respuesta. 

El seno es siempre menor que la tangente, porque 

seno = 

cateto opuesto 

y tangente = 

cateto opuesto 

hipotenusa 

cateto continguo 

y la hipotenusa es, siempre, mayor que el cateto contiguo. 

n 

p 

√ 1 

53 En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide el doble que el otro. 

¿Cuánto valen las razones trigonométricas del ángulo menor? 

1 

2 

√ — 5 

1 √5 2 2√5 

sen a = = ; cos a = = ; tg a = 

√5 5 √5 5 

54 ¿Puede existir un ángulo cuyo seno sea igual a 2? ¿Y uno cuyo coseno sea 

igual a 3/2? Razona las respuestas. 

No, porque el cateto opuesto es siempre menor que la hipotenusa y, por ello, el valor 

del seno de un ángulo agudo es siempre menor que 1. 

El coseno es también menor que 1 por la misma razón. No puede ser igual a 3/2. 


a 

m 

p 

n 

p 

P 

n 

m 

M 

N 

p 

1 

2 

Pág. 20


55 Indica, en cada caso, en qué cuadrante está el ángulo a: 

a) sen a > 0, cos a < 0 

b) tg a > 0, cos a > 0 

c) sen a < 0, cos a > 0 

d) sen a < 0, cos a < 0 

a) 2.° cuadrante. b) 1. er cuadrante. 

c) 4.° cuadrante. d) 3. er cuadrante. 

56 Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo se llaman complementarios 

porque su suma es uno recto. Observa la figura, completa la tabla y 

expresa simbólicamente lo que obtienes: 

B 

c 

a 

a 

90° – a 

A b 

C 

sen a = cos (90° – a) 

cos a = sen (90° – a) 

tg a = 

1 

tg(90° – a) 

57 Usando las relaciones fundamentales, demuestra que: 

a) (sen a + cos a) 2 +(sen a – cos a) 2 = 2 

b) = 1 

c) = tg a 

d)1 + (tg a) 2 = 

a) (sen a + cos a) 2 +(sen a – cos a) 2 = 

= (sen a) 2 +(cos a) 2 + 2sen a cos a +(sen a) 2 +(cos a) 2 1 

(cos a) 

– 2sen a cos a = 1 + 1 = 2 

2 

(sen a) 3 + sen a · (cos a) 2 

(sen a) 

cos a 

3 + sen a · (cos a) 2 

sen a 

b) = 

sen a[(sen a) 

= 

sen a 

= 1 

sen a 

2 +(cos a) 2 (sen a) ] 

sen a 

3 + sen a · (cos a) 2 

sen a 

c) = 

sen a[(sen a) 

= 

sen a 

= tg a 

cos a 

2 +(cos a) 2 (sen a) ] 

cos a 

3 + sen a · (cos a) 2 

cos a 

d) 1 + (tg a) 2 = 1 + = = 

1 

(cos a) 2 

(cos a) 2 +(sen a) 2 

(cos a) 2 

(sen a) 2 

(cos a) 2 


a 90° – a 

sen b/a c/a 

cos c/a b/a 

tg b/c c/b 

sen 

cos 

tg 

a 90° – a 

Pág. 21


P ROFUNDIZA 

58 Sobre la circunferencia goniométrica señalamos un ángulo a en el primer 

cuadrante y a partir de él dibujamos los ángulos: 

180° – a 180° + a 360° – a 

Busca la relación que existre entre: 

a) sen (180° – a) y sen a 

cos (180° – a) y cos a 

tg (180° – a) y tg a 

b)sen (180° + a) y sen a 

cos (180° + a) y cos a 

tg (180° + a) y tg a 

c) sen (360° – a) y sen a 

cos (360° – a) y cos a 

tg (360° – a) y tg a 

a) sen (180° – a) = sen a b) sen (180° + a) = – sen a 

cos (180° – a) = – cos a cos (180° + a) = – cos a 

tg (180° – a) = – tg a tg (180° + a) = tg a 

c) sen (360° – a) = – sen a 

cos (360° – a) = cos a 

tg (360° – a) = – tg a 

59 Sitúa el ángulo dado sobre la circunferencia goniométrica y expresa sus 

razones trigonométricas utilizando un ángulo agudo como en el ejemplo: 

Ejemplo: 215° 

sen 215° = –sen 35° 

cos 215° = –cos 35° 

tg 215° = tg 35° 

a) 150° b) 240° c) 300° 

d) 225° e) 100° f) 320° 

a) sen 150° = sen 30° b) sen 240° = –sen 60° 

cos 150° = –cos 30° cos 240° = –cos 60° 

tg 150° = –tg 30° tg 240° = tg 60° 

150° 

30° 


240° 60° 

180° – a 

a 

180° + a 

a 

360° – a 

a 

Pág. 22


c) sen 300° = –sen 60° d) sen 225° = –sen 45° 

cos 300° = cos 60° cos 225° = –cos 45° 

tg 300° = –tg 60° tg 225° = tg 45° 

300° 

e) sen 100° = sen 80° f) sen 320° = –sen 40° 

cos 100° = –cos 80° cos 320° = cos 40° 

tg 100° = –tg 80° tg 320° = –tg 40° 

100° 

60° 

80° 

60 Resuelto en el libro de texto. 

61 Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que 0° Ì x Ì 360°: 

a) (sen x) 2 – sen x = 0 

b)2(cos x) 2 – √3 cos x = 0 

c) 3 tg x + 3 = 0 

d)4(sen x) 2 – 1 = 0 

e) 2(cos x) 2 – cos x – 1 = 0 

a) (sen x) 2 – sen x = 0 

sen x(sen x – 1) = 0 

b) 2(cos x) 2 – √3 cos x = 0 

cos x(2 cos x – √3) 

= 0 

c) 3 tg x + 3 = 0 8 tg x = –1 


sen x = 0 

sen x = 1 8 

cos x = 0 

cos x = √ — 3/2 

x = 135° 

x = 315° 

225° 

320° 40° 

x = 0 

x = 180° 

x = 90° 

45° 

x = 90° 

x = 270° 

x = 30° 

x = 330° 

Pág. 23


d) 4(sen x) 2 – 1 = 0 8 (sen x) 2 = 

e) 2(cos x) 2 – cos x – 1 = 0 

1 ± √1 + 8 

cos x = = 

4 


1 ± 3 

4 

1 

4 

1 x = 30° 

sen x = — 2 x = 150° 

1 x = 210° 

sen x = – — 2 x = 330° 

cos x = 1 8 x = 0° 

1 x = 120° 

cos x = – — 2 x = 240° 

Pág. 24

Trigonometría - Cepasanfrancisco.edurioja.org

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