Descargar Archivo - Liceo Javiera Carrera

Texto del Estudiante
Matemática
Básica
8ºEducación
EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO
LICENCIADO EN MATEMÁTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO
LICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA,
MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
MARIO ZAÑARTU NAVARRO
LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD,
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.

El Texto del Estudiante Matemática 8,
para Octavo Año de Educación Básica, es
una obra colectiva, creada y diseñada por
el departamento de Investigaciones Educativas
de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:
MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA
COORDINACIÓN DEL PROYECTO:
Eugenia Águila Garay
COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:
Viviana López Fuster
EDICIÓN:
AUTORES:
Carolina Henríquez Rivas
Eduardo Bórquez Avendaño
Florencia Darrigrandi Navarro
Mario Zañartu Navarro
CORRECCIÓN DE ESTILO:
Isabel Spoerer Varela
Gabriela Precht Rojas
DOCUMENTACIÓN:
Paulina Novoa Venturino
La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:
VERÓNICA ROJAS LUNA
COORDINACIÓN GRÁFICA:
Carlota Godoy Bustos
COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN:
Xenia Venegas Zevallos
JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA:
Mariela Pineda Gálvez
DIAGRAMACIÓN:
María Macarena Cruz Rencoret
ILUSTRACIONES:
Martín Oyarce Gallardo
FOTOGRAFÍAS:
Archivo Santillana
CUBIERTA:
La Práctica S.P.A.
PRODUCCIÓN:
Germán Urrutia Garín
Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del
"Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal o
par cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la
re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella
me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.
© 2010, by San ti lla na del Pa cí fi co S.A. de Edi cio nes
Dr. Aní bal Ariz tía 1444, Pro vi den cia, San tia go (Chi le)
PRINTED IN CHILE
Im pre so en Chi le por WorldColor Chile S.A.
ISBN: 978-956-15-1762-2
Ins crip ción N°: 198.045
Se terminó de imprimir esta xx edición
de xx ejemplares, en el mes de xx del año xx.
www.santillana.cl
Referencias de los Textos Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Proyecto punto cl y de los Textos Matemática 7 y Matemática 8,
Educación Básica, Mineduc, de los autores: Patricia Urzúa Figueroa, Marjorie Benavides Simon, Alexandra Gederlini Gollerino, María José
González Clares, Gladys Sepúlveda Romero, Cristián Vergara Bize, Javiera Setz Mena, Florencia Darrigrandi Navarro.
Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2007 y 2010.

Presentación del Texto
Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar. El Texto Matemática 8
te invita a comprender que la Matemática es parte del mundo que te
rodea. A través de sus páginas te enfrentarás a diversas situaciones en
las que podrás desarrollar diversas habilidades para explorar, aprender y
construir conceptos matemáticos, a partir de los ejes Números, Álgebra,
Geometría y Datos y Azar.
En este año, en el eje Números profundizarás tus conocimientos sobre
operaciones con números enteros, descubrirás y emplearás estrategias
para multiplicar y dividir con números enteros, comprenderás y aplicarás el
algoritmo de la división de números enteros, descubrirás y usarás estrategias
para calcular potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y
exponente natural y aplicarás sus propiedades.
En el eje Álgebra plantearás ecuaciones, analizarás relaciones por medio
de tablas y gráficos, reconocerás y representarás diversas funciones e
identificarás algunos de sus elementos, diferenciarás entre relaciones
proporcionales y no proporcionales.
En el eje Geometría realizarás traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras
geométricas planas, construirás teselaciones, aprenderás a caracterizar la
circunferencia y círculo como lugar geométrico, calcularás la longitud de
una circunferencia y estimarás el área de un círculo, comprenderás la
relación del número pi con la circunferencia, utilizarás el área de la
superficie del cilindro, cono y pirámide y el volumen de cilindros y
conos rectos en la resolución de problemas.
En el eje Datos y Azar, interpretarás información en diversas
tablas con datos agrupados en intervalos, aprenderás a
construir dichas tablas y a determinar la media aritmética
y moda en esos casos, comprenderás y analizarás
muestras aleatorias y determinarás probabilidades de
ocurrencia de eventos en experimentos aleatorios y
las contrastarás con resultados experimentales.
Para resolver problemas, utilizarás diversas estrategias,
además, podrás conectar tus conocimientos con temas
de actualidad y emplearás herramientas tecnológicas.
Todo esto a través de entretenidas actividades en las
que podrás razonar, reflexionar, analizar y compartir tus
conocimientos con tus compañeros y compañeras.
Presentación 3

Estructura del Texto
El Texto Matemática 8 está organizado en 6 unidades. En cada Unidad encontrarás las siguientes
páginas y secciones:
Conversemos de...
Sección que te plantea preguntas relacionadas
con la imagen y con los contenidos de la Unidad
que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones
y argumentar a partir de tus experiencias.
¿Cuánto sabes?
Podrás resolver
ejercicios y problemas
que te ayudarán a
recordar conocimientos
que serán la base para
el desarrollo de la
Unidad.
4 Matemática 8
Páginas de inicio
En esta Unidad podrás...
En esta sección conocerás
los principales objetivos que
se espera que logres con el
desarrollo de la Unidad.
¿Qué debes recordar?
Encontrarás el resumen de los
principales conceptos trabajados en
años anteriores y que te servirán como
apoyo para los aprendizajes que se
espera que logres en la Unidad.

Ayuda
Te recuerda un
contenido o
procedimiento.
En equipo
Desarrollarás en grupo
entretenidas e interesantes
actividades que te permitirán
progresar en tu aprendizaje
Para discutir
Por medio de preguntas,
explorarás el contenido
matemático que
aprenderás, pondrás en
práctica lo que ya sabes,
compartirás tus ideas
y extraerás conclusiones.
Páginas de desarrollo
Actividades
Resolverás variadas
actividades para ir
descubriendo los
conceptos y reforzar
así su aprendizaje.
No olvides que...
Encontrarás explicaciones,
descripciones o
definiciones que destacan
y precisan lo que vas
aprendiendo.
Te invitamos a ingresar al
hipertexto donde encontrarás
diferentes recursos y actividades
interactivas que complementarán
tu aprendizaje.
Estructura del Texto 5

Herramientas
tecnológicas
Aprenderás a ocupar la
calculadora para resolver
diversos ejercicios y a
utilizar planillas de
cálculo o programas
computacionales.
Buscando estrategias
Observarás un problema
resuelto paso a paso a
través de una determinada
estrategia. Podrás aprender
y practicar la estrategia
utilizada y buscar otras que
te permitan encontrar la
solución.
6 Matemática 8
Mi progreso
Resolverás actividades
que te permitirán
evaluar tu progreso
en el logro de los
aprendizajes.
Estrategia mental
Podrás aprender y
practicar diversas
estrategias de cálculo
mental.

Conexiones
A partir de una noticia
o tema, desarrollarás en
equipo una actividad que
te permitirá aplicar lo que
aprendiste en la Unidad.
Además, te invitamos a
evaluar tu actitud y la de
cada integrante del grupo
para que puedas mejorar
tu forma de trabajar.
¿Qué aprendí?
En estas dos páginas
responderás preguntas
de selección múltiple
y actividades de
desarrollo para evaluar
lo que has aprendido
en la Unidad.
Páginas de cierre
Síntesis
Podrás organizar y sintetizar lo aprendido
utilizando un organizador gráfico.
Además, aclararás los conceptos trabajados
respondiendo preguntas sobre estos
y sus relaciones.
¿Qué logré?
Evaluarás y reflexionarás
sobre los aprendizajes que
adquiriste en esta Unidad.
Estructura del Texto 7

1
Unidad
2
Unidad
3
Unidad
8 Matemática 8
Índice
Números enteros 10
¿Cuánto sabes? 12
Multiplicación de un número natural
por un número entero negativo 14
Multiplicación de números enteros 16
División exacta de números enteros 18
Mi progreso 21
División inexacta de números enteros 22
Operaciones combinadas 24
¿Cuánto sabes? 38
Potencias de base entera y
exponente natural 40
Valor de la potencia 42
Multiplicación de potencias de
igual base 44
División de potencias de igual base 46
Multiplicación de potencias de
igual exponente 48
División de potencias de
igual exponente 50
Potencia de una potencia 52
Mi progreso 29
Buscando estrategias 30
Para finalizar 32
¿Qué aprendí? 34
Potencias 36
Mi progreso 55
Potencias de base fraccionaria
positiva y exponente natural 56
Potencias de base decimal positiva
y exponente natural 58
Crecimiento exponencial 60
Decrecimiento exponencial 62
Mi progreso 65
Buscando estrategias 66
Para finalizar 68
¿Qué aprendí? 70
Geometría y medición 72
¿Cuánto sabes? 74
Circunferencia y círculo como
lugar geométrico 76
Elementos de la circunferencia 78
Número π y su relación con la
circunferencia 80
Longitud de la circunferencia 82
Área del círculo 84
Mi progreso 87
Área del cilindro y cono 88
Volumen del cilindro y cono 92
Mi progreso 95
Buscando estrategias 96
Para finalizar 98
¿Qué aprendí? 100

4
Unidad
5
Unidad
6
Unidad
Movimientos en el plano 102
¿Cuánto sabes? 104
Transformaciones de figuras
y objetos 106
Traslaciones de figuras planas 108
Reflexiones de figuras planas 110
Rotaciones de figuras planas 112
Mi progreso 117
Teselaciones 118
¿Cuánto sabes? 132
Interpretación de tablas de
frecuencias 134
Construcción de tablas para
datos agrupados 136
Media aritmética para datos
agrupados 138
Moda para datos agrupados 140
Censo y muestreo 142
Análisis de encuestas 144
Teselaciones regulares y
semirregulares 120
Mi progreso 123
Buscando estrategias 124
Para finalizar 126
¿Qué aprendí? 128
Datos y azar 130
¿Cuánto sabes? 166
Situaciones con dos variables 168
Noción de función 172
Variables dependientes
e independientes 174
Dominio y recorrido 178
Mi progreso 181
Variaciones proporcionales y
no proporcionales 182
Mi progreso 149
Espacio muestral y principio
multiplicativo 150
Sucesos equiprobables 152
Regla de Laplace 154
Mi progreso 157
Buscando estrategias 158
Para finalizar 160
¿Qué aprendí? 162
Funciones y relaciones proporcionales 164
Relación de proporcionalidad directa 184
Relación de proporcionalidad inversa 188
Mi progreso 193
Buscando estrategias 194
Para finalizar 196
¿Qué aprendí? 198
Solucionario 200
Índice temático 220
Bibliografía 223
Índice 9

10 Unidad 1
1Unidad
Números
enteros

En esta Unidad podrás...
• Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un
número entero negativo.
• Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar números enteros.
• Emplear procedimientos de cálculo en divisiones exactas de números enteros.
• Ampliar el algoritmo de la división de números naturales a la división de
números enteros y aplicarlo.
• Calcular operaciones combinadas con números enteros.
• Resolver problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan
las cuatro operaciones aritméticas con números enteros.
Conversemos de...
La atmósfera es una masa gaseosa que envuelve a la Tierra.
Sus componentes cumplen un papel muy importante para que en nuestro
planeta pueda existir la vida; además, no solo nos protege de la radiación solar,
sino que filtra radiaciones nocivas e impide que el calor emitido por el Sol se
escape al espacio.
Sin la atmósfera, la temperatura de la Tierra se volvería insoportable,
aumentaría en 100 ºC por el día y variaría cerca de –150 ºC en la noche.
La atmósfera se divide en capas, la primera es la tropósfera, en la cual la
temperatura disminuye con la altura.
Fuente: Dirección Meteorológica de Chile,
www.meteochile.cl/ayudaest.html, septiembre 2009.
La fotografía fue tomada en un avión que volaba en la tropósfera, sobre una zona
en que la temperatura de la superficie era de 24 ºC y esta disminuía, según la
altura, a razón de 6 ºC por kilómetro.
1. ¿Cuál era la temperatura a 2 km de altura?
2. ¿A qué altura la temperatura fue de 0 ºC?
3. ¿A qué altura volaba el avión, si la temperatura del aire varió a –24 ºC?
Números enteros 11

¿Cuánto sabes?
12 Unidad 1
1. Completa con los signos o =, según corresponda.
a) –7 –5 c) –10 –15 e) –3 3
b) –8 5 d) 4 –1 f) 8 –8
2. Ordena los siguientes números de menor a mayor.
a) 49; –14; –28; 20; 29; –29 d) –7; –10; –16; –18; 1; 0
b) –4; –5; –1; 1; 3; 5 e) –14; –19; 22; –23; 10; –5
c) 101; 111; –111; –1; 5; 18 f) –18; –20; –40; 2; –6; 6
3. Ubica en la recta numérica los números: –6, –4, 7, –5, –1, 3, –2 y sus
inversos aditivos.
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4. Calcula mentalmente:
a) (–2) + 8 = e) 22 – 30 =
b) (–14) + 6 = f) –(–4 + 2) – (9 – 5) =
c) (–3) + (–8) = g) (5 – 18) – (–8 + 8) =
d) –11 – (–4) = h) –4 – 7 + (9 – 3) + 10 =
5. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, la estrategia
que utilizaste.
a) La temperatura de un frigorífico es de –10 ºC. Después de un corte de
luz sube 15 ºC, luego, cuando vuelve la energía, baja rápidamente
12 ºC. ¿Cuál es la temperatura del frigorífico después de esta
disminución de temperatura?
b) Camila le debe $ 12 000 a su madre y $ 5500 a su hermano. Si le paga
$ 10 500 a su madre y $ 3800 a su hermano, ¿cuánto debe ahora
en total?
c) Un buzo que se encuentra a 9 metros bajo el nivel del mar sube hacia la
superficie 5 metros, luego, desciende 6 metros. ¿A qué profundidad se
encuentra ahora?
d) Un pez que está a 5 metros bajo el nivel del mar, primero desciende
3 metros y, luego, sube 6 metros. ¿A qué distancia del nivel del mar
se encuentra ahora? Represéntalo en la recta numérica.

6. Calcula mentalmente:
a) 45 : 9 = e) 2 • 3 • 10 =
b) 50 • 6 = f) 540 : 60 =
c) 13 • 4 = g) 121 : 11 =
d) 180 : 6 = h) 12 • 5 =
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿Qué debes recordar?
• El conjunto de los números enteros está compuesto por los números naturales (),
el cero y los números negativos. Se simboliza por .
• La distancia que hay entre un número y el cero la representaremos a través del valor
absoluto. El valor absoluto de un número a lo escribiremos a.
Por ejemplo: la distancia entre –20 y cero en la recta numérica es 20, entonces –20 = 20.
Unidad 1
• En la recta numérica, un número, positivo o negativo, es mayor que todos los números que
están a la izquierda de él y es menor que cualquier número que esté a la derecha de él.
Por ejemplo, –2 > –4, ya que el –2 está a la derecha del –4, como se observa en la siguiente
recta numérica:
• Para sumar números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y conservamos
el signo.
Para sumar dos números enteros de distinto signo restamos sus valores absolutos y,
al resultado, le asignamos el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplo: (–3) + (–5) = –8
6 + (–9) = –3
• Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplo: 15 – (–10) = 15 + 10 = 25
–18 – 22 = –18 + (–22) = –40
= …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Números enteros 13

14 Unidad 1
Multiplicación de un número natural
por un número entero negativo
Claudia y Juan aprendieron a multiplicar dos números naturales
utilizando diferentes procedimientos. Claudia lo hace como adición
de sumandos iguales. Juan lo hace descomponiendo el primer
factor. Observa.
Para discutir
• ¿Cuál de los dos procedimientos utilizas frecuentemente?,
¿qué otro procedimiento conoces? Explícalo.
• ¿Se puede escribir como multiplicación una adición de sumandos
iguales, si el sumando que se repite es un número entero menor
que cero?, ¿cómo?, ¿por qué?
• Las expresiones (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) y (–14) • 5
¿son equivalentes?, ¿por qué?, ¿cuál es el resultado en cada caso?
• ¿Cuál es el signo del resultado de una multiplicación entre dos
números si uno de los factores es un número natural y el otro es
un número entero negativo?
En la situación anterior, si consideramos el procedimiento de Claudia,
el sumando 14 se repite 5 veces, lo que, escrito como multiplicación,
es 14 • 5.
Luego, para escribir como multiplicación
(–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14), el sumando (–14) se repite
5 veces, entonces se escribe (–14) • 5.
Podemos calcular (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) apoyándonos
en la recta numérica:
–80 –70
–56 –42 –28 –14
–60 –50 –40 –30 –20 –10 0 10
Obtenemos:
(–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = –14 – 14 – 14 – 14 – 14 = –70.
Como (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = (–14) • 5,
tenemos que (–14) • 5 = –70.

¿Cómo calcular 5 • (–14)?
En el caso que el número negativo sea el segundo factor,
como 5 • (–14), se puede escribir como (–14) • 5, por la propiedad
conmutativa de la multiplicación.
Por lo tanto, 5 • (–14) = (–14) • 5 = –70
No olvides que...
Actividades
1. Escribe como adición las siguientes multiplicaciones y, luego, resuelve.
Ayuda
Unidad 1
Propiedad conmutativa de la
multiplicación:
a • b = b • a, con a y b
números enteros.
• Para multiplicar un número natural por un número entero negativo, la expresión se puede
escribir como una adición iterada de sumandos iguales y, luego, calcular la operación.
Ejemplos: (–12) • 3 = (–12) + (–12) + (–12) = –12 – 12 – 12 = –36
2 • (–7) = (–7) • 2 = (–7) + (–7) = –7 – 7 = –14
a) (–3) • 5 = c) 4 • (–6) = e) (–1) • 8 = g) 9 • (–4) =
b) 2 • 10 = d) (–10) • 3 = f) 1 • (–8) = h) (–13) • 4 =
2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números.
a) –1 b) –16 c) 8 d) –10 e) –36 f) –7
3. Escribe como una multiplicación cada adición de sumandos iguales.
a) (+14) + (+14) + (+14) + (+14) d) (–4) + (–4) + (–4) + (–4)
b) (–1) + (–1) + (–1) + (–1) + (–1) e) (–5) + (–5)
c) (–21) + (–21) + (–21) f) (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6)
4. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.
a) En una multiplicación, si los factores son dos números naturales, el producto también lo es.
b) La multiplicación de un número natural por un número entero negativo resulta un número
entero positivo o negativo, según el caso.
c) En una multiplicación, donde un factor es un número natural y el otro es un número entero
negativo, el producto es siempre menor que cada uno de los factores.
d) El doble de un número entero es siempre mayor que ese número.
Números enteros 15

Ayuda
Recuerda que, usualmente,
cuando el número es positivo,
no se escribe el signo +.
Por ejemplo:
(+3) se escribe también 3.
16 Unidad 1
Multiplicación de números enteros
Un grupo de 4 amigos inventaron un juego en el que obtenían puntos
al responder ciertas preguntas. Si no respondían correctamente, se
anotaban puntos negativos o cero. Aquí está el resumen después de
5 etapas.
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Etapa 5
Beatriz 15 15 15 15 15
Cristián –10 –10 –10 –10 –10
Gonzalo 0 0 0 0 0
Alejandra –12 –12 –12 –12 –12
Para discutir
• ¿Con cuántos puntos terminó cada jugador?
• ¿Quién obtuvo más puntos?
• Si Alejandra jugara hasta la tercera etapa, ¿cuántos puntos
dejaría de perder con las dos etapas que no jugó?
Como Beatriz obtuvo 15 puntos en cada etapa, la expresión que
permite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las 5 etapas
es: 15 • 5 = 75, es decir, terminó con 75 puntos.
La expresión que permite calcular con cuántos puntos terminó
Cristián al final de las 5 etapas, si obtuvo –10 en cada una es:
(–10) • 5 = –50, o bien: 5 • (–10) = –50. Por lo tanto, Cristián terminó
con –50 puntos al final del juego.
Gonzalo hizo 0 puntos en cada etapa. En este caso, la expresión que
permite calcular la cantidad de puntos al finalizar el juego es:
0 • 5 = 0, es decir, terminó con 0 puntos.
Si Alejandra hizo –12 puntos en cada etapa, la expresión que
permite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las etapas es:
(–12) • 5 = –60. En este caso, Alejandra terminó el juego con
–60 puntos.
Beatriz fue quien obtuvo más puntos.
La expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvo
Alejandra en las 2 últimas etapas, si en cada una obtuvo (–12) puntos,
es: (–12) • 2 = –24 puntos. Entonces, al no jugar las últimas dos
etapas dejó de perder 24 puntos. La expresión matemática en este
caso, considerando que representaremos con (–2) a las dos etapas
que no jugó, es: (–12) • (–2) = 24.
Notemos que (–12) • (–2) = 12 • 2 = 24.

No olvides que...
• Para cualquier número entero a, se tiene que a • 0 = 0 • a = 0.
Actividades
1. Calcula el resultado de los siguientes productos.
a) 3 • (–5) c) (–11) • 3 e) (–4) • (–1) g) 7 • (–2)
b) 0 • (–3) d) (–5) • (–6) f) 1 • (–7) h) (–9) • (–5)
2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números.
a) –20 b) –16 c) –18 d) +8
3. Completa con el factor que falta.
a) • (–7) = 21 c) • 9 = –72 e) (–4) • = 4
b) 5 • = –35 d) 6 • = 18 f) (–4) • = –64
4. En esta pirámide, el número de cada casilla debe ser el producto de los dos números de las
casillas sobre las que está apoyada dicha casilla. Complétala.
Unidad 1
• Para multiplicar números enteros, se deben multiplicar sus valores absolutos y al resultado
anteponer el signo + si los factores tienen el mismo signo, o el signo – si tienen distinto signo.
• La tabla que se muestra a la derecha te permite recordar la regla de los signos.
• Al multiplicar dos números que tienen igual signo,
el resultado es positivo. Por ejemplo:
(+5) • (+7) = +35 (–6 • (–2) = +12
• Al multiplicar dos números que tienen diferente signo,
el resultado es negativo. Por ejemplo:
(+8) • (–9) = –72 (–6) • (+4) = –24
+1080
–12
+6
+3
Signo del
1 er factor
Signo del
2 o factor
Signo del
producto
+ + +
– – +
+ – –
– + –
Números enteros 17

Ayuda
En una división exacta, el resto
es igual a cero. Por ejemplo,
en 30 : 5 = 6, significa que
30 = 5 • 6 + 0.
18 Unidad 1
División exacta de números enteros
Carlos y Francisca tienen una libreta donde ingresan sus transacciones
de dinero mensual. Estas son las anotaciones del mes de abril:
Concepto Arriendo Luz Sueldos Gas Supermercado
Movimiento
(en pesos)
Para discutir
80 000 9000 415 000 12 000 55 000
• ¿Con qué número entero relacionarías cada movimiento de
dinero?, ¿por qué?
• Si ambos tienen el mismo sueldo, ¿cuánto recibe cada uno?
• Si el consumo diario de gas y luz fue aproximadamente el mismo,
¿cuánto gastaron cada día por concepto?, ¿cómo lo calculaste?
• ¿Cómo comprobarías que los resultados obtenidos en cada caso
son correctos?
Si asociamos las ganancias con el signo +, y los gastos con el signo –,
en la situación anterior, el sueldo se escribirá entonces como
+415 000 ó 415 000 y los otros movimientos son gastos, por
consiguiente se escribirán como –80 000, –9000, –12 000 y –55 000,
por concepto de arriendo, luz, gas y supermercado, respectivamente.
Para determinar el sueldo que recibieron Carlos y Francisca en abril,
si reciben lo mismo, calculamos: 415 000 : 2 = 207 500. Es decir, cada
uno recibió un sueldo de $ 207 500 ese mes. Para comprobar que el
resultado obtenido es correcto, multiplicamos el divisor por el cociente,
que debe ser igual al dividendo, es decir, 415 000 = 2 • 207 500.
Sabemos que el mes de abril tiene 30 días; para determinar cuánto
dinero gastaron diariamente en gas, calculamos: 12 000 : 30 = 400.
Luego, gastaron $ 400 por día en gas. Como asociamos a los gastos
el signo –, podemos escribir –12 000 : 30 = –400. Al comprobar en
este caso, tenemos: –12 000 = 30 • (–400). Para determinar el gasto
diario en luz, calculamos: –9000 : 30 = –300. Por lo tanto, gastaron
$ 300 en luz diariamente. Luego, para verificar que el cálculo
realizado es correcto, tenemos: –9000 = 30 • (–300).
Ten presente que en las divisiones realizadas el dividendo es igual al
divisor por el cociente, es decir, las divisiones son exactas.

No olvides que...
• Para calcular el cociente de dos números enteros, se deben dividir sus valores absolutos
y al resultado se le antepone el signo + si ambos números, dividendo y divisor, son de
igual signo, o el signo – si son de signos diferentes.
• La tabla que se muestra a la derecha te permite
recordar la regla de los signos:
• La división es la operación inversa de la
multiplicación. Cuando la división de números
enteros es exacta, se verifica que el resultado
obtenido o cociente es correcto, si el dividendo
es igual al divisor por el cociente.
Por ejemplo:
14 : 2 = 7 14 = 2 • 7 (–20) : (–4) = 5 (–20) = (–4) • 5
15 : (–3) = –5 15 = (–3) • (–5) (–18) : 9 = –2 (–18) = 9 • (–2)
Actividades
1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos.
a) 120 : 2 = d) 270 : (–27) = g) 120 : (–2) =
b) 164 : (–4) = e) (–333) : 3 = h) (–108) : (–12) =
c) (–225) : 5 = f) (–456) : (–6) = i) 300 : ((–30) : 6) =
2. Obtén dos números cuyo cociente sea el indicado.
a) : = 48 b) : = –54 c) : = –1024
3. Escribe en cada línea el número que falta para que se cumpla la igualdad.
a) 180 : (–9) = c) : (–9) = 7 e) : (–14) = –9
b) 240 : = –24 d) : 12 = 4 f) (–720) : = –6
4. Lee atentamente, comenta y, luego, responde:
Signo del
dividendo
Signo del
divisor
Signo del
cociente
+ + +
– – +
+ – –
– + –
a) Considera la expresión: x : y = 2. Si x es un número entero negativo mayor que –11,
¿qué valores pueden tomar x e y?
b) El cociente de dos números enteros ¿es siempre un número natural? Justifica.
Unidad 1
Números enteros 19

5. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes
y completa la tabla.
6. A partir de los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior, responde:
a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y –(b : a)?, ¿por qué?
b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y b : a?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en
estos casos?, ¿por qué?
c) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular las divisiones b : a y b : a?, ¿ocurrirá siempre lo
mismo en estos casos?, ¿por qué?, ¿y si fueran multiplicaciones?
7. Un clavadista se lanza de una altura de 12 metros a una piscina. Si la profundidad que logra es un
tercio de la altura a la que se lanzó, ¿qué número representa la profundidad que alcanza respecto
del nivel del agua?
En equipo
En esta actividad deberán utilizar seis tarjetas azules, seis tarjetas rojas y una moneda para calcular
mentalmente multiplicaciones y divisiones con números enteros. Formen grupos de cuatro
integrantes y sigan las instrucciones.
1. Elaboren seis tarjetas azules con los siguientes números: –150, +200, –250, +300, –350, +400.
2. Elaboren seis tarjetas rojas con los siguientes números: –25, –10, –5, –1, 2, 5.
3. Cada integrante, por turno:
1º Saca una tarjeta azul al azar.
2º Saca una tarjeta roja al azar.
3º Lanza la moneda, si sale cara se deben multiplicar mentalmente los números obtenidos;
de lo contrario (sello), se divide mentalmente el número de la tarjeta azul por el de la
tarjeta roja.
4º Si responde correctamente, gana 1 punto; si no, pierde 1 punto.
4. Jueguen hasta que alguno de los integrantes complete 10 puntos.
20 Unidad 1
a b b : a –(b : a) b : a b : a
5 15
– 3 –18
–2 4
4 –28

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.
1. En la expresión (–36) : x = –4, el valor de x es:
A. –9 B. 9 C. 6 D. –12
2. Si x es un número entero negativo, ¿cuál de estos números es el más grande?
A. 4 + x B. 4 • x C. 4 : x D. 4 – x
3. Remplaza los valores de m y n en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.
m n m • m m : n m • n m • m
–20 5
48 –6
–450 –90
A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:
a) ¿Qué tienen en común las soluciones obtenidas al calcular m : n y m • n?, ¿por qué?
b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular m • m y m • m?, ¿ocurrirá siempre lo mismo
en estos casos?, ¿por qué?
4. En un juego, Emilia tiene 60 puntos a favor y Carlos tiene 10 puntos en contra. Si Carlos gana la
mitad de puntos que Emilia tiene y, luego, Emilia dobla su puntaje, ¿cuántos puntos tienen ahora
Emilia y Carlos?
5. En el interior de una cámara frigorífica puede descender la temperatura 4 ºC cada hora.
¿Cuántas horas tardará en bajar la temperatura 20 ºC?, ¿y en bajar 16 ºC?
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto; completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Criterio Ítem Respuestas correctas
Reconocer el divisor en una expresión asociada a números enteros. 1
Analizar expresiones algebraicas asociadas a números enteros. 2
Calcular el producto o cociente de dos números enteros. 3
Resolver un problema que requiere multiplicación y división de
números enteros.
4 y 5
Unidad 1
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
Números enteros 21

22 Unidad 1
División inexacta de números enteros
Una profesora recuerda a sus alumnas y alumnos el algoritmo de la
división de números naturales, cuando el resto o residuo es mayor
que cero. Observa:
Divisor
Dividendo
17 : 5 = 3 Cociente
2 Resto
Para discutir
• La división anterior, ¿es exacta?, ¿por qué?
• ¿Se puede comprobar que el resultado es correcto en este caso?,
¿cómo lo harías?
• Si el dividendo o divisor fuera negativo, ¿se podrá comprobar
que el resultado es correcto de la misma forma anterior?,
¿cómo lo harías?
• En la división –17 : 5, ¿qué sucederá con el resto?, ¿será 2?,
¿por qué?
La división que muestra la profesora no es exacta, ya que el residuo o
resto es mayor que cero, es 2. Luego, podemos escribir 17 = 5 • 3 + 2.
En general, según el algoritmo de la división de números naturales,
el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo.
En el caso que el dividendo o divisor sea negativo, debemos
considerar algunos aspectos nuevos.
En la división: –17 : 5, el dividendo se puede escribir de dos
formas. Observa:
a) –17 = 5 • (–3) –2 b) –17 = 5 • (–4) + 3
Si queremos escribir el dividendo como la multiplicación entre divisor
por el cociente más el resto, ¿cuál de las dos formas es correcta?
La respuesta es la letra b, pues según el algoritmo que se extiende
a los números enteros, el resto debe ser positivo (y menor que el
valor absoluto del divisor), cuando no es cero. Entonces, para:
17 : –5, significa que 17 = (–5) • (–3) + 2, ya que, 0 < 2 < –5
–17 : –5, significa que –17 = (–5) • 4 + 3, ya que, 0 < 3 < –5

No olvides que...
Según el algoritmo de la división:
• El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo.
• Si la división es exacta, el residuo es igual a cero.
• Si la división no es exacta, el residuo es mayor que cero y menor que el valor absoluto
del divisor.
Actividades
1. Completa la siguiente tabla, guiándote por el ejemplo.
Dividendo Divisor Cociente Resto El dividendo es igual a
30 –6 –5 0 30 = (–6) • (–5) + 0
30 6
42 5
–42 –5
–12 8
12 8
27 –6
–27 –6
27 6
–20 4
20 –4
2. Observa los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior y responde:
a) Observa los casos en que el dividendo es igual, ¿por qué el cociente es distinto?,
¿de qué depende?
b) ¿Existirá otra forma de escribir el dividendo en cada caso?, ¿por qué?
3. Utilizando lo aprendido hasta ahora, responde:
a) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que a : 0 no tiene solución?
b) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que 0 : a = 0?
Unidad 1
Números enteros 23

La temperatura máxima
en Temuco se registró
a las 15 horas.
Glosario
amplitud térmica:
es la diferencia entre la
temperatura más alta y la más
baja registrada en un lugar,
durante un período de tiempo.
Ayuda
Propiedad distributiva de la
multiplicación respecto de
la suma:
a • (b + c) = a • b + a • c;
con a, b y c números enteros.
Ejemplo:
(–2) • [(–4) – (+6)]
= (–2) • (–4) – (–2) • (+6)
= (+8) – (–12)
= 20
24 Unidad 1
Operaciones combinadas
Un día de invierno, en Temuco, la temperatura mínima registrada
a las 7:00 horas fue de –2 ºC, dos horas más tarde subió 5 ºC.
A las 12:00 horas, la temperatura fue el doble de la temperatura
registrada a las 9:00 horas. La máxima del día se registró tres horas
después, y subió 7 ºC.
Para discutir
• ¿Cuál fue la temperatura registrada a mediodía en Temuco?,
¿y a las 15:00 horas?, ¿cómo lo supiste?
• ¿Cuál fue la variación de temperatura (amplitud térmica)
en grados ese día?
• Averigua la temperatura mínima y máxima para mañana en
tu ciudad.
En la situación anterior, una forma de determinar cuál fue la
temperatura registrada a las 12:00 horas, es calculando la expresión:
(–2 + 5) • 2.
Esta expresión se puede calcular de dos formas: 1º resolver primero
las operaciones entre paréntesis y luego multiplicar; 2º aplicar la
propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
Forma 1: (–2 + 5) • 2 = 3 • 2
= 6
Forma 2: (–2 + 5) • 2 = 2 • (–2) + 2 • 5
= –4 + 10
= 6
Así, la temperatura a las 12:00 horas fue 6 ºC.
Para determinar la temperatura registrada a las 15:00 horas,
una forma es resolver la expresión: (–2 + 5) • 2 + 7
Entonces: (–2 + 5) • 2 + 7
= 3 • 2 + 7
= 6 + 7
= 13
Luego, la temperatura registrada a las 15:00 horas fue 13 ºC.
Por lo tanto, la amplitud térmica ese día fue 15 ºC, ya que:
13 – (–2) = 15

No olvides que...
Actividades
1. Resuelve.
a) (–18 : 6) • –2 d) (–640 : –4) • (12 : 2) g) (24 : –12) • (7 • 0)
b) 36 : (–4 : 1) e) (30 • 0) : (–2 • 3) h) (8 • –3) : (4 : –2)
c) (–9 : 3) • (10 : –5) f) (10 : –10) • 10 i) (8 : –8) • (–7 : 7)
2. Calcula aplicando la propiedad distributiva.
a) (–5) • (–4 + 8) c) (7 – 9) • (+5) e) (20 –30) • (–10)
b) (–10) • (5 + (–3)) d) (–9 – 12) • (+2) f) (–15) • (–2 + 10)
3. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a) 16 : (–2) – (–4 + 2) + 5 • (–1) d) 4 • (14 : –2) + 9 • (–3) – 2 : –2)
b) 25 : 5 – (4 – 9) • 3 – (9 –12) : 3 e) –7 – (–49 : 7) + 14 • 2 + 7
c) 2 + (8 : 4) – (–2 • 3) + (9 : –3) f) –20 : (16 – 12) • –5 – 14
4. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa
la tabla.
Unidad 1
• Si al resolver un problema aparecen operaciones combinadas, debes calcular siguiendo el orden:
1º Se resuelven los paréntesis.
2º Después se realizan las multiplicaciones y divisiones en orden, de izquierda a derecha.
3º Se efectúan, por último, las sumas y las restas en orden, de izquierda a derecha.
a b (a + b) • a (a • b):(a + b) (a + b) • (a – b)
12 –4
– 2 3
–10 –15
Números enteros 25

5. Una familia gasta mensualmente $ 100 000 de arriendo, $ 65 000 en mercadería y $ 50 000
en gas, luz y agua. Si desean comprar un automóvil a crédito que cuesta $ 1 200 000, dando de
pie unos ahorros que equivalen $ 150 000 y el resto en 24 cuotas mensuales iguales, calcula:
a) ¿Cuál es el valor de cada una de las 24 cuotas del auto?
b) Si deciden comprar el auto, ¿cuánto dinero gastarán mensualmente en cuentas?
6. Una familia compra una casa en enero del año 2011 con un crédito en cuotas fijas a 20 años.
El valor de la casa es de $ 12 000 000 incluidos los intereses.
a) ¿Cuánto pagan anualmente?
b) ¿Cuál es el valor de cada cuota mensual?
c) ¿Cuánto han pagado después de 5 años?
7. El valor de las acciones de una empresa en la bolsa de comercio disminuye $ 12 cada día.
Hoy tienen un valor de $ 690.
a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuánto costarán dentro de 8 días?
b) ¿Cuánto costarán dentro de 8 días?, ¿y en 15 días?
8. La temperatura en una cámara de refrigeración a las 14:45 horas es de 20 ºC.
Se sabe que la temperatura baja 2 ºC cada minuto.
a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuál será la temperatura a las 15:03 horas?
b) Calcula la temperatura a las 15:03 horas.
9. Remplaza los valores de a, b y c en cada caso, realiza los cálculos correspondientes
y completa la tabla.
10. A partir de los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior, responde:
a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular (b : c) • a y b : (c • a)?, ¿ocurrirá siempre
lo mismo en estos casos?, ¿por qué?
b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular a • (b • c) y (a • b) • c?, ¿ocurrirá siempre
lo mismo en estos casos?, ¿por qué?
26 Unidad 1
a b c (b : c) • a b : (c • a) a • (b • c) (a • b) • c
3 –36 6
–2 18 –9
4 –96 8
–10 –50 –5
8 32 –2

11. Escribe en cada línea el número que falta para que se cumpla la igualdad.
a) 6 : –3 • = –8 e) –5 • –7 • 2 : = –7
b) –3 • ( : –5) = 9 f) : –9 • 2 = –10
c) (–20 : ) • (–8 : 2) = –40 g) 100 : (20 : ) = –50
d) 45 : : 3 = –3 h) • –6 : 2 = 9
12. En cada caso, escribe una pregunta para que el problema sea resuelto con las operaciones que
se indican. Luego, resuélvelos.
a) Operaciones: adición y multiplicación.
En una ciudad del país, la temperatura mínima a las 7:00 horas fue de –2 ºC.
Cada hora aumentó 3 ºC hasta las 11:00 horas.
Pregunta:
Respuesta:
b) Operaciones: adición y división.
Patricio logró ahorrar $ 95 000 en una alcancía desde enero hasta mayo. En junio pudo
guardar $ 20 000, en julio ahorró $ 15 000 y en agosto retiró la cuarta parte del total.
Pregunta:
Respuesta:
Estrategia mental
Unidad 1
Para saber en forma rápida qué signo corresponde al resultado de una multiplicación o
división entre números enteros, cuenta la cantidad de números negativos de la expresión:
si es par, el resultado será positivo; de lo contrario (cantidad impar), el resultado es negativo.
Observa los ejemplos:
25 • (–4) : 20 • 6 : (–10) = +3 (–20 : 2 • (–5) • (–2) = –100
(2 números negativos) (3 números negativos)
Calcula mentalmente, aplicando la estrategia aprendida.
a) (–2) • 2 • (–2) • 2 • (–2) = g) 2 • (–5) • (–10) : 4 • (–3) =
b) (–15) : (–3) • (–4) • 2 : (–5) = h) 300 : 15 • (–3) : 2 • 6 =
c) (–10) • (–100) • (–1000) • (–10 000) = i) (–1) : 1 • (–1) : 1 • (–1) • (–1) : (–1) =
d) 2500 : (–5) : (–10) = j) (–24) : (–8) : 3 • (–1) • (–2) =
e) 3 • 3 • (–4) : (–2) : 9 • (–1) = k) 12 • 10 : (–4) • (–3) : (–9) =
f) 4 • 4 • 4 : (–4) • 1 : (–1) = l) (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) =
Números enteros 27

Herramientas tecnológicas
Usando una planilla de cálculo, resuelve operaciones combinadas con números enteros. Sigue
las instrucciones.
1º En A1 escribe “Positivo”, en B1 “Negativo”, en C1 “Operación 1”, en D1 “Operación 2”,
en E1 “Operación 3” y en F1 “Operación 4”.
2º En las celdas A2 y B2 anota 600 y –30, respectivamente.
3º En la celda C2 correspondiente a “Operación 1” haz doble clic y anota = A2*B2-B2*A2.
Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 • (–30) – (–30) • 600.
4º En la celda D2 correspondiente a “Operación 2” haz doble clic y anota = A2/B2-B2.
Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) – (–30).
5º En la celda E2 correspondiente a “Operación 3” haz doble clic y anota = A2/B2+ABS(B2).
Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) + –30.
6º En la celda F2, inventa una operación combinada usando los números que aparecen en las
celdas A2 y B2 (como en los puntos 3, 4 y 5) y los símbolos +, – , * y /.
7º En las celdas de la columna “Positivo” escribe números enteros positivos hasta A10. En las
celdas de la columna “Negativo” escribe números enteros negativos que sean divisores del
número positivo de su fila correspondiente.
8º Con el mouse, selecciona la celda C2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezca
una cruz negrita, arrastra hasta la celda C10. Así, deberían aparecer todos los resultados
correspondientes.
9º Repite el paso anterior para las celdas D2, E2 y F2. Deberías obtener:
Finalmente, compara los números obtenidos en cada columna y responde:
a) ¿Por qué en “Operación 1” los resultados son siempre cero?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?
Justifica.
b) ¿Por qué los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” son iguales?, ¿ocurrirá siempre
lo mismo? Justifica.
c) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿obtienes como resultado cero
en la columna “Operación 1”?, ¿por qué?
d) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿los resultados de “Operación 2”
y “Operación 3” serían iguales?, ¿por qué? Verifica en tu planilla de cálculo.
28 Unidad 1

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.
1. Juan trabaja en un supermercado. Durante el primer semestre del año pasado tuvo un sueldo fijo
mensual de $ 300 000. En julio recibió un aumento de $ 50 000. ¿Qué expresión permite calcular
cuánto ganó Juan el año pasado?
A. 300 000 • 6 + 50 000 • 6 C. 300 000 • 6 + 350 000 • 6
B. 300 000 • 12 + 50 000 D. 300 000 • 12 + 350 000
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A. Una división de números enteros es siempre exacta.
B. El resto en una división de números negativos, es negativo.
C. El producto de dos números enteros negativos es un número entero negativo.
D. El dividendo en la división exacta con números enteros es igual al divisor por el cociente.
3. Remplaza los valores de a, b y c y completa la tabla con los resultados que obtengas. Luego, responde.
a b c a : b • c a • b : c c • (a – b) + a c • a – c • b + a
–18 2 –12
–28 –7 –14
• ¿Obtienes los mismos resultados en las columnas 4 y 5?, ¿y en las columnas 6 y 7?,
¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?
4. Un objeto se encuentra a 32 metros bajo el nivel del mar. Si cada 5 minutos desciende 3 metros,
¿qué número representa la profundidad que se encontrará 35 minutos después?
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Criterio Ítem Respuestas correctas
Representar en lenguaje matemático una situación escrita en
lenguaje natural.
1
Analizar expresiones relacionadas al algoritmo de la división. 2
Calcular operaciones combinadas con números enteros. 3
Resolver un problema, que involucra las cuatro operaciones con
números enteros.
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
4
Unidad 1
Números enteros 29

Buscando estrategias
El año 2005, Marcos inició una empresa. Ese año perdió
$ 12 000 000, el segundo año perdió el doble que el
primero, el tercer año ganó el triple que las pérdidas
de los dos anteriores juntos. El cuarto tuvo ingresos de
$ 18 000 000, y el quinto año obtuvo ganancias iguales
a la mitad de las ganancias del tercer año. ¿Cuál fue el
saldo final de la empresa?
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
Que el primer y segundo año perdió, y los tres años siguientes tuvo ganancias.
• ¿Qué debes encontrar?
La cantidad de dinero correspondiente al saldo final de la empresa.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
Para facilitar los cálculos, representaremos con signo + los números correspondientes a
ganancias, y con signo –, los números que corresponden a pérdidas. Luego, calculamos los
valores correspondientes a cada año y, por último, los sumamos para obtener el saldo final.
Resolver
• Calculamos los valores correspondientes a cada año:
Año 2005: –12 000 000
Año 2006: 2 • –12 000 000 = –24 000 000
Año 2007: 3 • (+12 000 000 + +24 000 000) = 3 • +36 000 000 = +108 000 000
Año 2008: +18 000 000
Año 2009: +108 000 000 : 2 = +54 000 000
Luego, sumamos los valores obtenidos:
(–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000)
= 144 000 000
Responder
• El saldo final de la empresa corresponde a una ganancia de $ 144 000 000.
Revisar
• Para comprobar el resultado, puedes asociar la suma de otra manera:
(–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000) =
(–12 000 000 + –24 000 000) + (+108 000 000 + +18 000 000 + +54 000 000) =
(–36 000 000) + (+180 000 000) =
–36 000 000 + 180 000 000 = +144 000 000
30 Unidad 1

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.
Unidad 1
a) Marcelo, el tesorero del Octavo Año Básico de un colegio de Coquimbo, debe rendir
cuentas al curso cada término de semestre. Dice lo siguiente: “Por aportes voluntarios en
marzo reunimos $ 88 000; en abril, $ 65 000; en mayo, $ 100 000, y en junio, $ 55 000.
En la fiesta de curso gastamos $ 140 000; el regalo a la profesora costó $ 35 000, y en la
rifa de curso ganamos $ 63 000”. ¿Cuál fue el saldo final del curso?
b) Claudio puso un negocio de comida rápida. El primer mes ganó $ 300 000, el segundo
mes ganó el doble que en el primero, en el tercero ganó el triple del segundo, el cuarto
mes perdió la mitad de las ganancias de los primeros meses juntos, y en el quinto tuvo
ingresos de $ 255 000. ¿Cuál fue el saldo final?
c) Un día de julio, en Calama, la temperatura mínima que se registró a las 7:30 horas,
fue de –3 ºC. Durante las siguientes 8 horas, la temperatura subió 3 ºC por hora
y, luego, descendió 2 ºC por hora. ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 23:30 horas?,
¿y a las 00:30 horas?
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.
Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,
¿por qué?
a) Un día de agosto, a las 9:00 horas, un submarino se
encuentra a 150 m de profundidad.
Si durante una hora baja con rapidez de 12 m cada
10 minutos, y luego sube hacia la superficie durante
una hora y media con rapidez de 18 m cada
15 minutos, y durante los siguientes 40 minutos
sigue subiendo aumentando la rapidez a 20 m cada
10 minutos, ¿a qué profundidad se encontrará a las
12:10 horas?
b) La señora Carmen, dueña de un almacén, calcula mensualmente las ganancias y gastos de
su negocio. En el mes de junio, la primera semana vendió $ 210 000, la segunda semana
vendió $ 180 000, la tercera gastó $ 140 000 en el arriendo del local y vendió $ 270 000,
y la cuarta semana ganó $ 192 000 y pagó $ 25 000 en luz, $ 10 000 en agua y $ 300 000
en mercadería. ¿Cuál fue el saldo final de junio?
Números enteros 31

Conexiones
Para finalizar
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?
32 Unidad 1
Respetó las opiniones de los demás integrantes.
Cumplió con las tareas que se comprometió.
NACIONAL
Un cometa visto en el siglo XX
El cometa Halley (1P/Halley) es un cometa
brillante y grande que orbita alrededor del Sol cada
77 años en promedio. Es uno de lo cometas más
conocidos; a partir de él ha sido posible estudiar las
características de los demás cometas. Este cometa
fue el primero en fotografiarse desde el espacio. La
última vez que pasó por las cercanías de la órbita de
la Tierra fue en 1986. Si bien existen otros cometas,
este se puede observar a simple vista, por lo cual
existen referencias de sus apariciones, incluso antes
de Cristo.
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
Fuente: Instituto de Astrofísica de Canarias,
www.iac.es/gabinete/difus/cometas/halley.htm, septiembre 2009.
1. ¿Cuándo se calcula que será la siguiente visita?
2. Desde 1986, ¿cuántas visitas habrá hecho el cometa hasta el año 2217?, ¿en qué años?
3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la
solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.
4. Averigüen por qué el cometa tiene ese nombre y en qué año fue observado por primera vez.
5. En el año 1472, el cometa fue observado por un astrónomo alemán. Anoten todos los años
que el Halley pasó, desde 1472 hasta la fecha. ¿Coincide con el último año que pasó por las
cercanías de la órbita de la Tierra?, ¿por qué?
6. Averigüen cuál fue la distancia más cercana del Halley a la Tierra en 1986.
Evaluamos nuestro trabajo
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

Unidad 1
A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales
conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las
relaciones que hay entre los conceptos.
OPERACIONES CON
NÚMEROS ENTEROS
MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN
OPERACIONES
COMBINADAS
1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Cómo multiplicas un número natural por un número entero negativo?
3. ¿Cómo multiplicas números enteros?
4. ¿Cómo divides números enteros?
5. ¿Cómo resuelves ejercicios con multiplicaciones y divisiones combinadas?
EXACTA
INEXACTA
6. ¿Cuál es la prioridad de las operaciones al resolver ejercicios con operatoria combinada?
7. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de números enteros?,
¿y qué diferencias?
8. Si a, b y c son números enteros, ¿podrías afirmar que a • (b + c) = a • b + a • c?, ¿por qué?
Da dos ejemplos.
9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en
tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Números enteros 33
Síntesis

¿Qué aprendí?
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.
1. Si n es un número entero positivo, ¿cuál de
estos números es menor que cero?
A. 5 + n
B. 2 • n
C. n : (–n)
D. –2 • (–n)
2. Un tiburón gris se encuentra a 250 metros
de profundidad. Si desciende un quinto de
la profundidad a la que se encuentra,
¿qué número representa la profundidad que
está con respecto al nivel del mar?
A. –300
B. 300
C. –200
D. 200
3. Un día de julio en Santiago, la temperatura a
las 7:30 horas fue de –4 ºC, y tres horas más
tarde subió 7 ºC. Si la máxima fue el triple de
la temperatura registrada a las 10:30 horas,
¿cuál fue la temperatura máxima del día?
A. –9 ºC
B. –8 ºC
C. 9 ºC
D. 6 ºC
4. Si n, m son números enteros, n es el antecesor
de m y –8 es el sucesor de m, ¿cuál es el
sucesor de (n • m)?
A. 91
B. –90
C. –89
D. 90
34 Unidad 1
5. ¿Cuál de las siguientes frases es incorrecta?
A. Si se multiplican dos números enteros
negativos, el resultado es mayor que cero.
B. Si se dividen dos números enteros
negativos, el resultado es mayor que cero.
C. Si se multiplica el valor absoluto de un
número entero negativo por un número
natural, el resultado es negativo.
D. Si se multiplica un número natural por un
número entero negativo, el resultado es un
número entero negativo.
6. Si a = –5, entonces (a • a) es igual a:
A. a • a
B. a • a
C. a • 1
D. –(a • a)
7. Al calcular –9 + 3 : –2 + (–1 • 1), resulta:
A. 10
B. –9
C. –10
D. –6
8. En la expresión –5 • x : –2 = 10,
el valor de x es:
A. –4
B. –20
C. 20
D. 4

9. La temperatura de un meteorito al ingresar a la atmósfera terrestre varía
de –150 ºC a 2230 ºC en diez minutos. Si en cada minuto que transcurre,
la temperatura aumenta de igual manera, ¿cuánto aumenta por minuto?
10. La estructura de una mina subterránea de carbón está formada por galerías
horizontales. La distancia vertical entre cada dos galerías es de 10 m, estando,
por ejemplo, la galería 2 situada a 20 m de profundidad.
a) Si estamos a 50 m de profundidad, ¿en qué galería nos encontramos?
b) Tras subir 30 m, Carlos está en la galería 7. ¿En qué galería estaba antes?
c) Antes de subir 20 m, Luis estaba en la galería 6, ¿en qué galería se
encuentra ahora?
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
¿Qué logré?
1. Marca según tu apreciación.
Multiplicación de un número natural por un número
entero negativo
Multiplicación de números enteros
División exacta de números enteros
División inexacta de números enteros
Operaciones combinadas
Resolución de problemas
2. Reflexiona y responde.
No lo
entendí
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 11 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.
Lo
entendí
Unidad 1
Puedo
explicarlo
Números enteros 35

36 Unidad 2
2Unidad
Potencias

En esta Unidad podrás...
• Emplear estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias
de base entera y exponente natural.
• Determinar y aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de
potencias de base entera y exponente natural.
• Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base
fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.
• Resolver problemas que involucran crecimiento y decrecimiento exponencial.
• Resolver problemas en contextos diversos y significativos que involucran
potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.
Conversemos de...
Las bacterias son microorganismos unicelulares de tamaño muy pequeño y son
los organismos más abundantes del planeta.
Muchas especies bacterianas son tan parecidas que es imposible diferenciarlas
solo con el uso del microscopio; para identificarlas, se estudian sus características
“sembrándolas” en medios de cultivo especiales, que es un método para
multiplicar los microorganismos.
Los cultivos suelen usarse en medicina para identificar y estudiar las enfermedades.
Si un cultivo de bacterias se inicia con 10 000 bacterias y su número se duplica
cada media hora.
1. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 2 horas?, ¿y al cabo de 4 horas?;
¿cómo lo calculaste?
2. ¿Cuántas bacterias hay después de 9 horas?
3. ¿Después de cuántos minutos habrán 40 960 000 bacterias?
Potencias 37

¿Cuánto sabes?
38 Unidad 2
1. Escribe como potencia los siguientes enunciados.
a) Tres elevado a dos. d) Tres cuartos al cuadrado.
b) Siete elevado a seis. e) Cinco al cubo.
c) Cuatro décimos elevado a cuatro. f) Dos tercios elevado a cinco.
2. Escribe el desarrollo de cada potencia.
a) 5 2
b) 4
4
9
c) 18 3
d) (0,2) 5
e) 2 8
f) (1,3) 2
3. Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula su valor.
a) 3 4 d) (0,4) 2 g) 2 6
b) 153 e) 4
1
h) 25 2
c) (0,3) 3 f) 64 i) 5
2
3
4. Completa el exponente de cada potencia para que la igualdad sea verdadera.
a) 2 = 32 c) 26 = 1 e) =
b) 11 = 161 051 d) 0,1 = 0,0001 f) 3 = 243
5. Un grupo de 10 amigos organiza una campaña solidaria con el fin de
recaudar dinero para un hogar de ancianos. Para ello, cada uno dona $ 500
el primer día y, a su vez, se comprometen a que cada uno pedirá $ 500 a
otras 10 amistades diferentes el segundo día, y que cada una de estas
personas les pedirán $ 500 a otras 10 personas diferentes el tercer día,
y así sucesivamente los siguientes días.
a) ¿Cuántas personas participaron en la campaña solidaria al finalizar el
quinto día?; ¿cómo lo calculaste?
b) ¿Cuánto dinero recaudaron al finalizar el tercer día?, ¿y el séptimo día?;
¿cómo lo calculaste?
5
5
6
125
216

6. Un grupo scout formado por 120 personas, organizó una campaña
para plantar árboles en 4 plazas de la ciudad. Si el grupo se dividió en
4 subgrupos y cada subgrupo debe plantar 4 árboles por plaza,
¿cuántos árboles plantarán en total?
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿Qué debes recordar?
• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.
En ella se reconocen la base y el exponente.
En general:
a n Exponente
Base ; a es un número positivo y n un número natural.
Se lee: “a elevado a n”.
Ejemplo: 3 4 , se lee “tres elevado a cuatro”.
Unidad 2
• La base corresponde al factor que se repite; el exponente indica cuántas veces debe repetirse
dicho factor.
• El valor de la potencia es el producto total que se obtiene al multiplicar la base por sí misma
tantas veces como lo indica el exponente, es decir:
Ejemplo: 4 3 = 4 • 4 • 4 = 64
(0,5) 2 = 0,5 • 0,5 = 0,25
a n = a • a • a • … • a = b
• Si la base de una potencia es 1, el valor de la potencia para cualquier exponente es 1.
Si el exponente de una potencia es 1, el valor de la potencia es igual a la base.
Si el exponente de una potencia es 0, el valor de la potencia es 1.
En general: 1 n = 1 a 1 = a a 0 = 1 con a = 0
• Para calcular el valor de una potencia cuya base es una fracción positiva, se debe calcular el
valor de la potencia del numerador y del denominador y, luego, dividirlos.
a n
Ejemplo: n
= ; a, b y n son números naturales.
Ejemplo: 3
a
b b
= = =
n
2 2 8
3
27
3 2 • 2 • 2
3 • 3 • 3
3 3
n factores valor de la potencia
Potencias 39

No olvides que...
40 Unidad 2
Potencias de base entera y exponente
natural
En un restaurante se ofrece un menú a elección a la hora de
almuerzo, que incluye: entrada, plato de fondo, agregado, postre
y algo para beber. Las alternativas para la selección del menú se
muestran en la carta.
Para discutir
• ¿Cuántos menús diferentes se pueden escoger?; ¿cómo lo calculaste?
• Para determinar cuántas alternativas de menús hay, se puede
calcular el producto de 3 • 3 • 3 • 3 • 3, ¿por qué?, ¿cómo se escribe
en forma abreviada?, ¿cuál es la base?, ¿y el exponente?
• Si en una multiplicación de factores iguales el factor que se repite
es un número negativo, ¿cómo lo escribirías en forma de potencia?,
¿por qué?
• ¿Cómo escribirías en forma abreviada (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3)?;
¿cuál es el resultado?, ¿por qué?
En la situación anterior, cada una de las 5 partes que conforman el
menú tiene 3 opciones. Una forma de determinar cuántos menús
diferentes se pueden escoger es calculando: 3 • 3 • 3 • 3 • 3.
Como 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243, entonces hay 243 opciones para escoger.
Verifica con un diagrama de árbol.
Observa que la multiplicación anterior tiene 5 factores iguales, lo
que se puede escribir en forma abreviada como 3 5 .
Luego, 3 5 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243.
En una multiplicación de factores iguales, si estos son negativos,
como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3), que tiene 5 factores iguales, al
escribir como potencia, queda (–3) 5 .
Al calcular (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3),
obtenemos: (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = –243.
Como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = (–3) 5 , tenemos que (–3) 5 = –243.
• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales;
en ella se reconocen la base y el exponente. Este concepto se puede ampliar para los
números enteros negativos, es decir:
a n ; con a número entero, distinto de 0, y n un número natural.

• El valor de la potencia se obtiene de la siguiente manera:
Actividades
1. Escribe como potencia los siguientes enunciados.
a) Tres al cuadrado. d) Diez elevado a once.
b) Menos cinco elevado a cuatro. e) Menos quince elevado a ocho.
c) Menos seis al cubo. f) Tres elevado a tres.
2. Escribe como multiplicación de factores iguales cada potencia y calcula su valor.
a) 5 4
b) (–6) 5
c) (–10) 6
d) 7 3
e) (–14) 3
3. Completa con el exponente que falta para que la igualdad sea verdadera.
a) (–4) = 256 c) 8 = 512 e) (–2) = –32
b) (–1) = –1 d) (–10) = 1 000 000 f) 9 = 81
f) (–2) 8
4. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.
a b (a + b) 2
2 2
–2 3
–4 –6
2 5
a n = a • a • a • … • a = b
a 2 + b 2
A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:
(a – b) 2
a 2 – b 2
Unidad 2
Ejemplo: 73 = 7 • 7 • 7 = 343
(–7) 3 = (–7) • (–7) • (–7) = –343
La potencia del ejemplo, (–7) 3 n factores valor de la potencia
, se lee: “menos siete elevado a tres” o “menos siete al cubo”.
a) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a + b) 2 y a 2 + b 2 ?, ¿por qué?
b) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a – b) 2 y a 2 – b 2 ?, ¿por qué?
c) ¿crees que siempre ocurre lo mismo?, ¿existirán casos en que los resultados sean iguales? Explica.
Potencias 41

42 Unidad 2
Valor de la potencia
Observa los cálculos realizados por Felipe para cada potencia:
3 2 = 3 • 3 = 9 (–3) 2 = (–3) • (–3) = 9
3 3 = 3 • 3 • 3 = 27 (–3) 3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27
Para discutir
• ¿Por qué uno de los resultados obtenidos por Felipe es
negativo?, ¿qué relación tiene con la base y el exponente?
• Si la base de la potencia es negativa, ¿por qué los resultados
pueden ser positivos o negativos?, ¿de qué depende?
• Si el exponente de una potencia es impar, ¿el resultado es
negativo?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué?
• Si la base de la potencia es positiva, ¿el resultado puede ser
negativo?, ¿por qué?
En la situación anterior, podemos observar que el resultado puede
ser positivo o negativo, dependiendo de la base y exponente de
la potencia.
Si la base es positiva, el resultado siempre será positivo, pues los
factores que se multiplican son positivos (e iguales), como:
3 2 = 3 • 3 = 9 ó 3 3 = 3 • 3 • 3 = 27
Si la base es negativa, el resultado puede ser positivo o negativo,
dependiendo del exponente:
Cuando es par, el resultado será positivo, pues la cantidad de
factores es par, como:
(–3) 2 = (–3) • (–3) = 9
(dos números negativos)
Cuando es impar, el resultado será negativo, pues la cantidad de
factores es impar, como:
(–3) 3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27
(tres números negativos)

Actividades
1. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado.
a) (–4) 2 = c) 3 3 = e) (–10) 9 = g) (–1) 15 =
b) (–5) 3 = d) 2 4 = f) 12 2 = h) (–12) 2 =
2. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.
Unidad 2
a) Los valores de las potencias de exponente par son siempre positivos.
b) Si el valor de la potencia es un número natural, el exponente de la potencia es siempre impar.
c) Si la base de una potencia es un número negativo, el valor de la potencia también lo es.
d) Los valores de las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
3. Compara los resultados en cada caso y completa con o =, según corresponda.
a) 2 3 (–2) 2 c) (–1) 10 7 0 e) (–1) 6 (–2) 1
b) 5 4 (–5) 4 d) (–4) 3 (–4) 2 f) (–100) 4 100
No olvides que...
• En una potencia que tiene como base un número entero positivo y como exponente un
número natural, el resultado es siempre positivo. Ejemplo: 2 3 = 2 • 2 • 2 = 8.
• En una potencia que tiene como base un número entero negativo, el resultado es:
– positivo, si el exponente es un número natural par. Ejemplo: (–2) 2 = (–2) • (–2) = 4
– negativo, si el exponente es un número natural impar. Ejemplo: (–2) 3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8
Herramientas tecnológicas
En las calculadoras científicas la tecla x o la tecla , dependiendo de la calculadora, se usan
y
^
para elevar un número a cualquier exponente. Si la base es un número negativo, utiliza paréntesis
y la tecla (–) . Ejemplo:
(–4) 6
xy (–) 4 6 =
4096 o
(–4) 6 (–) 4 ^ 6 = 4096
Utiliza la calculadora para verificar tus respuestas de los ítems 1 y 3.
Potencias 43

Ayuda
En algunas ocasiones los
números negativos aparecen
escritos entre paréntesis, sin
embargo, también se pueden
escribir sin estos. Ejemplo:
(–2) • (–2) = –2 • –2
Pero al trabajar con potencias
de base negativa, siempre
conviene escribir los números
negativos entre paréntesis.
De este modo podemos
distinguir si el signo negativo
corresponde a la base o bien,
al valor de la potencia.
44 Unidad 2
Multiplicación de potencias de igual base
Carolina desea calcular el área del rectángulo de la figura. Observa:
Para discutir
• ¿Cómo calcularías el área del rectángulo?, ¿por qué?
• Carolina calcula el área de la siguiente manera: 2 3 • 2 4 = 2 7 .
¿Consideras correcto el cálculo realizado?, ¿por qué?
• ¿Se relacionan los exponentes de los factores y el exponente del
resultado?, ¿cuál es la relación?
• Si las bases de los factores fueran números negativos, ¿los
exponentes se relacionarán de la misma forma anterior?, ¿por qué?
En la situación anterior, para calcular el área del rectángulo se
multiplica el largo por el ancho, es decir: 8 • 16 = 128. Entonces,
el área del rectángulo es 128 cm 2 .
Como 8 = 2 3 , 16 = 2 4 y 128 = 2 7 , podemos escribir el cálculo anterior
utilizando potencias, es decir:
2 3 • 2 4 = (2 • 2 • 2) • (2 • 2 • 2 • 2) = 2 7 = 128
Al observar lo anterior, podemos notar que al multiplicar
potencias de igual base (positiva), se puede conservar la base y
sumar los exponentes.
¿Sucederá lo mismo si la base de las potencias es negativa, como
(–2) 3 • (–2) 4 ?
Realizamos la multiplicación de las potencias:
= (–2) 7 = –128
16 cm
3 factores 4 factores 7 factores
( –2) 3 • (–2) 4 = (–2 • –2 • –2) • (–2 • –2 • –2 • –2) = –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2
8 cm
3 factores 4 factores 7 factores
Luego, al multiplicar potencias de igual base (negativa), se puede
conservar la base y sumar los exponentes.

No olvides que...
Actividades
1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor.
a) 4 • 4 2 • 4 3 = c) (–5) 3 • (–5 2 = e) (–1) 2 • (–1) 3 • (–1) 5 =
b) 10 3 • 10 6 = d) 2 • 2 • 2 • 2 2 = f) (–6) 2 • (–6) 5 • (–6) =
2. Encuentra el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.
a) (–3) • (–3) 4 = (–3) 9 c) 11 3 • 11 = 11 12
b) (–2 2 • (–2) • (–2) 5 = (–2) 10 d) (–10) • (–10) • (–10) 2 = (–10) 4
3. Transforma a potencias de igual base y, luego, expresa el resultado como una sola potencia.
Guíate por el siguiente ejemplo: 9 • (–27) = (–3) 2 • (–3) 3 = (–3) 5
a) 25 • (–125) = b) 8 • 16 • 64 = c) 64 • (–8) • 16 =
4. Aplica la propiedad de las potencias que corresponde y resuelve.
Unidad 2
• Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puede
conservar la base y sumar los exponentes.
Ejemplo: (–3) 2 • (–3) 4 = (–3) 2 + 4 = (–3) 6 = 729
En general: Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces:
an • am n + m
=(a • a • … • a) • (a • a • … • a) =a • a • a • … • a = a
n factores m factores n + m factores
• Esta propiedad también es aplicable al producto de tres o más potencias de igual base.
Ejemplo: 2 2 • 2 3 • 2 4 = 2 2 + 3 + 4 = 2 9 = 512
a) 2 4 • 2 3 – 5 • 5 2 = b) (–3) 2 • (–3) 3 + 2 • 2 2 = c) (–2) 3 • (–2) 2 + (–1) 5 • (–1) 4 =
5. Lee y resuelve usando las potencias.
a) Una empresa inmobiliaria construirá 4 edificios. Cada edificio tendrá 16 pisos y cada
piso tendrá 8 departamentos. ¿Cuántos departamentos habrá en total?
b) Las bailarinas de un grupo folclórico deben elegir la tenida para una de sus presentaciones.
Las alternativas son: 3 pañuelos, 9 zapatos de distintos colores, 9 faldas y 27 blusas.
¿Cuántas tenidas distintas pueden escoger?
Potencias 45

4096 dividido en 128,
resulta 32.
Ayuda
• Las fracciones se pueden
representar de diversas
formas. Una de ellas es
escribir la expresión
fraccionaria como una
división.
2
Por ejemplo: se puede
3
escribir como 2 : 3.
• Simplificar una fracción
consiste en dividir el
numerador y denominador
por un mismo número.
Por ejemplo:
12
36
46 Unidad 2
2 • 2 •
=
3
=
2 • 2 • 3 • 3
1
3
División de potencias de igual base
Un agricultor desea cultivar lechugas en un terreno rectangular
de área 4096 m 2 y ancho 128 m. Para organizar el cultivo,
necesita saber el largo del terreno.
Para discutir
• ¿Es adecuado calcular el largo del terreno de la siguiente manera:
4096 : 128 = 32?, ¿por qué?
• Si escribes los números de la división anterior como potencias de
bases iguales, ¿cómo se relacionan los exponentes?
• Si las bases de las potencias fueran números negativos, ¿cómo se
relacionarían los exponentes?
Para saber cuánto mide el largo del terreno, podemos calcular
4096 : 128 = 32. Por lo tanto, el largo mide 32 m.
Como 4096 = 212 , 128 = 27 y 32 = 25 , podemos escribir la división
anterior utilizando potencias de igual base, esto es:
12 factores
2 12 : 2 7 = =
= 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2 5 = 32
5 factores
Al observar lo anterior, podemos notar que al dividir potencias
de igual base (positiva), se puede conservar la base y restar
los exponentes.
¿Sucederá lo mismo en (–2) 12 : (–2) 7 ?
Al escribir la expresión como fracción, obtenemos:
(–2) 12
(–2) 7
=
212 2 7
2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2
2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2
12 factores
–2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2
–2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2
7 factores
= –2 • –2 • –2 • –2 • –2 = (–2) 5 = –32
5 factores
7 factores
Luego, al dividir potencias de igual base (negativa), se puede
conservar la base y restar los exponentes.

No olvides que...
• Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puede
conservar la base y restar los exponentes.
Ejemplo: (–5) 4 : (–5) 2 = (–5) 4 – 2 = (–5) 2 = 25
En general:
Si a es un número entero distinto de cero, n y m son números naturales y n > m, se tiene:
m factores n – m factores
an : am a
= = = a n a • a • ... • a • a • ... • a
a • a • ... • a
1. Resuelve las siguientes divisiones de potencias. Guíate por el ejemplo.
a m
a n
m factores
(–4) 5 : (–4) 3 = (–4) 2 = 16
a) (–10) 8 : (–10) 2 = c) 6 6 : 6 5 = e) (–81) 12 : (–81) 12 =
b) (–5) 4 : (–5) = d) (–12) 20 : (–12) 18 = f) 7 3 : 7 =
Unidad 2
• Calcula cada potencia usando calculadora científica, luego divide y comprueba los resultados
obtenidos anteriormente.
2. Completa con el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.
a) 7 : 7 4 = 7 6 b) 8 7 :8 = 8 2 c) (–2) 5 : (–2) = (–2) 2
3. Transforma a potencias de igual base y expresa el resultado como una única potencia.
a) (–125) : 25 b) 216 : 36 c) 64 : (–8)
4. Si ambos rectángulos, el amarillo y el azul tienen la misma área, ¿cuánto mide el largo (x)
del rectángulo amarillo?
n – m
• Si n = m y a es distinto de cero, entonces: a n : a m = = = a n – n = a 0 =1
Por ejemplo: 23 : 23 = 23– 3 = 20 a
= 1
m
a n
Actividades
2 2 cm
x cm
a n
2 4 cm
2 3 cm
Potencias 47

Ayuda
Recuerda que un paralelepípedo
es un prisma que tiene sus
caras basales cuadradas o
rectangulares.
48 Unidad 2
Multiplicación de potencias de igual
exponente
El paralelepípedo de la figura tiene las siguientes medidas:
8 cm de ancho, 27 cm de largo y 64 cm de alto.
Para discutir
• ¿Cómo calcularías el volumen del paralelepípedo?
• Si escribes las medidas como potencias, ¿puedes calcular el
volumen de otra manera?, ¿cómo lo harías?
• Al calcular (2 • 3 • 4) 3 , ¿obtienes el mismo resultado que
calculaste al principio?, ¿por qué?
• Si en la multiplicación de potencias una de las bases fuera un
número negativo, por ejemplo (–2) 3 • 3 3 • 4 3 , ¿obtienes el mismo
resultado que al calcular (–2) • 3 • 4 3 ?, ¿por qué?
Para saber cuál es el volumen del paralelepípedo de la figura,
debemos multiplicar el ancho por el largo por el alto, es decir,
8 • 27 • 64 = 13 824. Por lo tanto, el volumen es 13 824 cm 3 .
Como 8 = 2 3 , 27 = 3 3 , 64 = 4 3 y 13 824 = 24 3 , podemos realizar el
cálculo anterior usando potencias, esto es:
23 • 33 • 43 = (2 • 2 • 2) • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4)
= (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) = (2 • 3 • 4) 3 = 243 Luego: 2 3 • 3 3 • 4 3 = (2 • 3 • 4) 3 = 24 3 = 13 824.
¿Qué sucederá en la multiplicación de potencias con igual exponente
si alguna de las bases es un número negativo?
Consideremos el siguiente caso:
3 factores
3 factores 3 factores 3 factores
3 factores
(–2) 3 • 3 3 • 4 3 = (–2) • (–2) • (–2) • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4)
= (–2) • 3 • 4 • (–2) • 3 • 4 • (–2) • 3 • 4 = (–2) • 3 • 4 3 = (–24) 3
3 factores
3 factores 3 factores
Luego: (–2) 3 • 3 3 • 4 3 = (–2) • 3 • 4 3 = (–24) 3 = –13 824.
Si observas lo realizado anteriormente, podemos concluir que, al
multiplicar potencias con igual exponente, podemos multiplicar las
bases y conservar el exponente.

No olvides que...
Actividades
1. Escribe cada expresión como una sola potencia.
a) 3 4 • 4 4 = c) 2 6 • (–5) 6 = e) (–6) 7 • 11 7 =
b) (–2) 8 • (–7) 8 = d) 4 3 • 5 3 • 6 3 = f) (–3) 2 • (–4) 2 • (–2) 2 =
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo.
(–3) 2 • 5 2 = (–3) • 5 2 = (–15) 2 = 225
a) 5 4 • (–2) 4 = b) (–10) 5 • (–2) 5 = c) 2 2 • 2 2 • 3 2 = d) (–25) 3 • 4 3 =
Unidad 2
• Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente,
se pueden multiplicar las bases y conservar el exponente.
Ejemplo: (–2) 2 • 5 2 = (–2) • 5 2 = (–10) 2 = 100
En general:
Si a y b son números enteros y n es un número natural, entonces:
a n • b n =(a • a • … • a) • (b • b • … • b) =(a • b) • (a • b) • … • (a • b) =(a • b) n
• Como vimos al inicio, esta propiedad también es aplicable al producto de tres o más
potencias de igual exponente.
Ejemplo: (–2) 3 • (–4) 3 • (–5) 3 = (–2) • (–4) • (–5) 3 = (–40) 3 = –64 000
3. Al calcular: (–5) 3 • (–5) 3 , ¿obtienes los mismos resultados si lo resuelves de la siguiente manera:
(–5) 3 + 3 , o bien: (–5) • (–5) 3 ?, ¿por qué?
4. Completa y resuelve en cada caso.
a) b)
Área = • = = cm 2
53 cm
n factores n factores n factores
4 3 cm
3 2 cm
4 2 cm
Volumen = • • = = cm 3
22 cm
Potencias 49

¿49 • = 3136?
50 Unidad 2
División de potencias de igual
exponente
Don Luis, un jardinero, desea poner pasto en un parque de forma
rectangular, cuyo ancho mide 49 m. Para ello, calculó el área del
terreno, obteniendo 3136 m 2 .
Para discutir
• ¿Cuánto mide el largo del parque?, ¿cómo lo calculaste?
• Si escribes los números como potencias, ¿cómo calcularías?
• ¿Qué relación tiene (56 : 7) 2 con lo del principio?
• Si en la división de potencias anterior una de las bases fuera un
número negativo, por ejemplo (–56) 2 : 7 2 , ¿obtienes el mismo
resultado que al calcular (–56) : 7 2 ?, ¿por qué?
En la situación anterior, el área es 3136 m 2 y el ancho mide 49 m,
entonces para calcular el largo podemos realizar la siguiente
división: 3136 : 49 = 64. Por lo tanto, el largo mide 64 m.
Al escribir los números como potencias de igual exponente,
tenemos: 49 = 72 , 3136 = 562 y 64 = 82 . Luego, podemos realizar el
cálculo anterior de la siguiente manera:
2 factores
562 : 72 = = = • = 2
562 56 • 56 56 56 56
7 2
Luego: 56 2 : 7 2 = (56 : 7) 2 = 8 2 = 64.
= (56 : 7) 2 =8 2
¿Qué sucederá en la división de potencias de igual exponente si una
de las potencias tiene como base un número negativo?
Calculemos (–56) 2 : 7 2 , utilizando el mismo procedimiento anterior:
(–56) 2
7 • 7
(–56) 2 : 7 2 = = = • = 2
–56 –56 –56
7 2
2 factores
(–56) • (–56)
7 • 7
Entonces: (–56) 2 : 7 2 = (–56 : 7) 2 = (–8) 2 = 64.
7
7
2 factores 2 factores
2 factores 2 factores
= (–56 : 7) 2 = (–8) 2
Si observas los cálculos anteriores, podemos concluir que, al dividir
potencias con igual exponente, podemos dividir las bases y
conservar el exponente.
7
7
7
7

No olvides que...
• Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente,
se pueden dividir las bases y conservar el exponente.
Ejemplo: (–20) 3 : (–5) 3 = (–20) : (–5) 3 = 4 3 = 64
En general:
Si a y b son números enteros, b es distinto de cero y n es un número natural, entonces:
a n : b n = = = • • ... • = n
= (a : b) n
a a • a • ... • a a a a a
b • b • ... • b b b b b
n
n factores
Actividades
b n
n factores
1. Escribe cada expresión como una sola potencia.
n factores
a) 100 4 : (–25) 4 = c) 81 6 : 9 6 = e) (–21) 11 : 3 11 =
b) (–36) 9 : (–4) 9 = d) (–96) 3 : 12 3 = f) 48 7 : 6 7 =
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo.
(–18) 3 : 9 3 = (–18) : 9 3 = (–2) 3 = –8
a) 225 2 : (–25) 2 = c) (–200) 5 : (–2) 5 =
b) (–24) 3 : 3 3 = d) 15 4 : 5 4 =
3. Calcula aplicando lo aprendido hasta ahora y ten en cuenta la prioridad de las operaciones.
a) 16 2 : (–8) 2 + –2) 3 = b) 4 2 : 4 2 – 15 3 : 5 3 = c) (–36) 2 : 9 2 + 3 2 • 4 2 =
Unidad 2
4. En un restaurante se ofrece, a la hora de colación, un menú con plato de fondo y postre.
Si hay 4 opciones de postre y en total se pueden escoger 36 menús diferentes, ¿cuántos platos
de fondo hay para escoger? Usa potencias para resolver.
5. El equipo de básquetbol de un colegio debe elegir su tenida deportiva para el próximo año.
Como propuesta tienen 64 combinaciones, que pueden formar con 16 poleras y una cantidad
de pantalones. ¿Cuántos pantalones tienen para escoger? Usa potencias para resolver.
Potencias 51

52 Unidad 2
Potencia de una potencia
Marcela y Patricio quieren calcular el volumen del cubo representado
en la imagen, cuya arista mide 25 cm. Observa el procedimiento
realizado por cada uno:
Marcela Patricio
25 • 25 • 25 = 52 • 52 • 52 = (5 • 5 • 5) 2 = 1252 V = 1252 cm3 Para discutir
Al calcular 125 2 = 125 • 125 = 15 625 y 5 6 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 15 625.
Por lo tanto, ambos procedimientos son correctos.
Consideremos el procedimiento de Marcela, que escribió (5 • 5 • 5) 2 ,
lo cual se puede escribir como (5 3 ) 2 , ya que hay 3 factores 5 elevados
a 2. Entonces, al calcular, tenemos:
(5 3 ) 2 = (5 • 5 • 5 2 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 5 6
Luego, (5 3 ) 2 = 5 6 3 factores
6 factores
. Esta es otra forma de calcular el volumen.
Notemos que la expresión (5 3 ) 2 es la potencia de una potencia,
ya que su base corresponde a una potencia, en este caso 5 3 .
Para calcular el valor de dicha potencia, podemos mantener la base
y multiplicar los exponentes, es decir: (5 3 ) 2 = 5 3 • 2 = 5 6 .
En el caso de que la base sea negativa, tenemos:
(–5) 3 2 = (–5) • (–5) • (–5) 2
Por lo tanto: (–5) 3 2 = (–5) 6 = 15 625.
25 • 25 • 25 = 5 2 • 5 2 • 5 2
V = 5 6 cm 3
= 5 2+2+2 = 5 6
• ¿Son correctos ambos procedimientos?, ¿obtienes los mismos
resultados en cada caso?, ¿cómo lo supiste?
• ¿Podrías utilizar otro procedimiento usando potencias?,
¿cómo lo harías?
• Si encontraste otro procedimiento, ¿lo puedes aplicar para
potencias de base negativa?, ¿por qué?
3 factores
= (–5) • (–5) • (–5) • (–5) • (–5) • (–5) = (–5) 6
6 factores

No olvides que...
• Para calcular el valor de la potencia de una potencia, basta con mantener la base y
multiplicar los exponentes.
Ejemplo: (–2) 3 3 = (–2) 3 • 3 = (–2) 9 = –512
En general:
Unidad 2
Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces:
(an ) m = (a • a • … • a) m n • m
= (a • a • … • a) • (a • a • … • a) • … • (a • a • … • a) = a
• Esta propiedad también es aplicable a la potencia de una potencia de una potencia,
y así sucesivamente. Ejemplo: (22 ) 2 3
= 22 • 2 • 3 = 212 Actividades
1. Si la arista de un cubo mide 9 cm, expresa como potencia:
a) el área de cada cara del cubo.
b) el área total del cubo.
c) el volumen del cubo.
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a) (3 2 ) 4 = c) (–3) 2 2 = e) (2 2 ) 2 2
=
b) (–2) 3 3 = d) (–1) 35 2
= f) (–5) 2 4 =
3. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad.
a) (3 5 ) 3 = 3 c) (2 2 ) 5 = 2 20
b) (–7) 2
= (–7) 10
n factores a (n • m) factores a
d) (–7) 9 3 = (–7
4. Escribe cada expresión como una sola potencia de base 2 ó (–2), según el caso, aplicando lo
aprendido. Guíate por el ejemplo.
(8 2 : 2 2 ) 3 = (4 2 ) 3 = 4 6 = (2 2 ) 6 = 2 12
a) (16 3 : 2 3 ) 4 = b) (–12) 5 : 6 5 3
= c) (–2) 2 • (–2) 5 3
= d) 4 6 : 4 4 4
=
5. Si b es un número entero, x e y son números naturales, las expresiones (b x ) y y (b y ) x , ¿tienen el
mismo valor?, ¿por qué? Da dos ejemplos.
Potencias 53

Estrategia mental
Para calcular en forma rápida el valor de una potencia que tiene como base un número
cualquiera, que la cifra de las unidades es 5 y el exponente es 2 (comenzando por 15 2 ,
luego, 25 2 , 35 2 , …), multiplica el número de la base que se forma sin la cifra de la unidad
(sin el 5) por su sucesor. El valor de la potencia será el número formado por el resultado de la
multiplicación anterior, seguido por 25. Observa los ejemplos:
• Para 15 2 , multiplicamos 1 por su sucesor, es decir por 2, esto es 2. Luego el resultado es 225.
• Para 105 2 , multiplicamos 10 por su sucesor, es decir por 11, esto es 110. Luego el resultado
es 11 025.
• Si la base es negativa, utiliza el mismo procedimiento anterior (como si fuera de base
positiva), pues al tener exponente 2, el resultado queda siempre positivo.
Calcula mentalmente, aplicando la estrategia aprendida.
a) 25 2 = d) (–35) 2 = g) (–85) 2 = j) (–95) 2 =
b) (–65) 2 = e) 95 2 = h) 55 2 = k) 1005 2 =
c) 45 2 = f) 995 2 = i) 205 2 = l) (–125) 2 =
En equipo
En esta actividad deberán utilizar 64 cubos. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan
las instrucciones.
1. Armen entre todos, 64 cubos de igual medida. Cada uno de arista 4 cm.
2. Comenzando por un cubo y agregando los que sean necesarios, formen cubos de mayor tamaño.
3. A medida que forman los cubos de mayor tamaño, completen la siguiente tabla:
4. Según lo obtenido, comenten y respondan:
a) ¿Cuál es el valor de las potencias de las columnas 3 y 5?
b) Si elevaran a 2 las potencias de la última columna, ¿cómo lo expresarían en forma de una sola
potencia?, ¿cómo lo hicieron?
c) Escribe como potencia la cantidad de cubos utilizados.
54 Unidad 2
Cantidad de cubos
utilizados
Medida de
la arista (cm)
Área de una cara expresada
como potencia (cm 2 )
1 4 4 2
Área
total (cm 2 )
Volumen expresado
como potencia (cm 3 )
8 8 3

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 4.
1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?
A. (6 12 : 6 2 ) 2 = 6 20 C. (–9) 3 • (–9 3 ) 2
= (–9) 12
B. 6 4 : 3 4 = 2 4 D. (–2) 2 • 4 2 = (–8) 4
2. Para hacer su árbol familiar, Carlos parte por él, luego sus padres, sus abuelos, bisabuelos y
tatarabuelos. ¿Qué potencia representa la cantidad de tatarabuelos de Carlos?
A. 2 4 B. 2 5 C. 4 4 D. 2 3
3. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo es 4 4 cm y su ancho 2 4 cm?
A. 8 8 cm 2 B. 2 7 cm 2 C. 2 12 cm 2 D. 6 4 cm 2
4. ¿En cuál de las siguientes potencias se obtiene el número mayor?
A. (–2) 3 B. (–3) 2 C. (–2) 2 D. (–4) 3
5. Paula tiene 2 pares de zapatos, 4 pantalones y un número desconocido de poleras. Si puede formar
64 tenidas diferentes combinando su vestuario, ¿cuántas poleras tiene? Usa potencias para resolver.
6. La arista de un cubo mide 16 cm. Si se duplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado
como potencia de base 2?
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Criterio Ítem Respuestas correctas
Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de
potencias de base entera y exponente natural.
Analizar una situación asociada a una potencia de base entera y
exponente natural.
Aplicar propiedades relativas a la multiplicación de potencias de
base entera y exponente natural.
Calcular potencias de base entera y exponente natural. 4
Resolver un problema que requiere aplicar propiedades de
potencias de base entera y exponente natural.
1
2
3
5 y 6
Unidad 2
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
Potencias 55

56 Unidad 2
Potencias de base fraccionaria positiva
y exponente natural
Observa las siguientes expresiones:
a) 5
: 2
b) 2
1 1
2 2
3
5
2
7
Para discutir
• 2
c) 2
2
• ¿Podrías escribir como una sola potencia cada expresión?, ¿cómo
lo harías?
• ¿Qué resultados obtienes al calcular cada expresión?
• Las propiedades estudiadas en las páginas anteriores, ¿se pueden
aplicar en estos casos?, ¿por qué?
En las expresiones anteriores, observamos que la primera (a) es una
división de potencias de igual base; la segunda (b) es una
multiplicación de potencias de igual exponente y, la tercera (c) es la
potencia de una potencia.
Al calcular la primera expresión, obtenemos:
5 factores
5
: 2
= = • • = 3
1 1
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
• • • •
• 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1
= = . Si observamos lo realizado
2 2 2
anteriormente, podemos notar que, en la división de potencias de
igual base (en este caso fraccionaria), se conserva la base y se restan
los exponentes.
3
1
2
8
Luego: 5
: 2
= 3
1 1 1
2 factores
Si calculamos la segunda expresión, obtenemos:
2
• 2
3 2
5 7
3
5
3
5
2
7
2
7
3
5
2
7
3
5
2
1 3
2
= • • • = • • • = • 2
2 3 2
2 factores 2 factores 2 factores
3 factores
7
3
5
3
7

= = . En este caso,
5 5 7 35 35
observamos que en la multiplicación de potencias de igual
exponente se multiplican las bases (en este caso fraccionarias)
y se conserva el exponente.
2
36
7
1225
Luego: 2
• 2
= • 2
= 2
3 2 3 2 6
Al calcular la tercera expresión, obtenemos:
2 2
3
3
Por lo tanto: 2 2
= • 3
= • • • • • = 6
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
3
3
= = . En este caso, podemos notar
3 3 3
que, en la potencia de una potencia, se mantiene la base
(en este caso fraccionaria) y se multiplican los exponentes.
6
64
729
No olvides que...
= 6 2
3
2 6
3
3
6 2
3
3
3
3
Unidad 2
Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de las
potencias que tienen base entera y exponente natural se pueden aplicar a potencias de base
fraccionaria positiva y exponente natural.
En general: Si a, b, c, d, n y m son números naturales y nm, entonces:
• n a
b
• n a
b
a
b
• m
c
d
Actividades
a
b
=
a
b
n + m
c
d
• n
= • n
• n
: m a a
b b
a
b
=
n – m
• n
: n
= : n
a c a c
b d b d
1. Escribe en forma de una sola potencia y calcula su valor.
• n a
b
a) 3
• = c) 10
: 7
= e) 3
• =
2 4
10 10
1 8
3
9
b) 2
: 2
= d) 3
2 1
3
9
4
2 factores 6 factores
11
7
3
= f) 3
: 3
4 4
2. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad.
a) 6
= 18
b) : 3
= 7
12
17
12
17
2
13
2 2
13 13
1
4
2
3
11
4
7
27
7
m
a
=
=
b
c) : 9
= 9
3
8
n • m
Potencias 57

58 Unidad 2
Potencias de base decimal positiva
y exponente natural
Pedro y Macarena quieren escribir como una sola potencia las
siguientes expresiones:
Para discutir
(0,3) 3 • (0,3) 3 (1,2) 3 3
• ¿Cómo escribirías cada expresión como una sola potencia?
• Pedro escribió la primera expresión como 0,3 6 y Macarena
como 0,09 3 , ¿cuál consideras correcta?, ¿por qué?
• De lo estudiado hasta ahora, ¿con qué puedes relacionar lo
realizado por Pedro y por Macarena?
• ¿Las propiedades estudiadas anteriormente se pueden aplicar
en potencias de base decimal positiva?
Sabemos que en matemática, muchas veces hay más de un camino
para resolver problemas. En este caso, Pedro y Macarena utilizaron
dos caminos diferentes para escribir como una sola potencia la primera
expresión. Analicemos el procedimiento de cada uno y, luego,
calcularemos ambos resultados para ver cuál es el correcto.
Pedro observó que las bases eran iguales; entonces, conservó la base y
sumó los exponentes, es decir: (0,3) 3 • (0,3) 3 = (0,3) 3 + 3 = (0,3) 6 .
Macarena observó que los exponentes eran iguales; entonces,
multiplicó las bases y conservó el exponente, es decir:
(0,3) 3 • (0,3) 3 = (0,3 • 0,3) 3 = (0,09) 3
Al calcular la potencia obtenida por cada uno,
obtenemos: (0,3) 6 = 0,000729 y (0,09) 3 = 0,000729. Por lo tanto,
ambos, Pedro y Macarena, llegaron al mismo resultado empleando
caminos diferentes.
Calcularemos la segunda expresión:
(1,2) 3 3 = 1,2 • 1,2 • 1,2 3 = 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2
Luego: (1,2) 3 3 = (1,2) 9 .
3 factores 9 factores
Como vimos, en este caso, al ser la potencia de una potencia,
se mantiene la base (decimal) y se multiplican los exponentes.

No olvides que...
Actividades
1. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como una sola potencia.
• ¿En qué caso puedes utilizar otra propiedad para resolver?, ¿por qué?
2. Escribe cada expresión como una sola potencia y completa con los signos o =,
según corresponda.
a) (0,2) 3 : (0,2) 3 (0,5) 4 : (0,5) 3 c) (0,1) 5 • 6 5 (0,6) 2 2
b) 5 3 • (0,5) 3 (2,5) 5 : (2,5) 2 d) (5,5) 8 : (5,5) 6 (11) 3 • (0,5) 3
3. Completa la siguiente tabla, escribiendo el valor de cada potencia.
a) Los resultados obtenidos en las filas 1 y 2, ¿representan el mismo número?, ¿por qué?,
¿y los de las filas 3 y 4?
b) Si escribes un número decimal como fracción o viceversa y elevas ambos al cuadrado,
¿los resultados obtenidos siempre representan el mismo número?, ¿por qué?
Unidad 2
Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de las
potencias que tienen base entera y exponente natural también se pueden aplicar a potencias
de base decimal positiva y exponente natural. Por ejemplo:
(1,5) 5 : (1,5) 3 = (1,5) 5 – 3 = (1,5) 2 = 1,5 • 1,5 = 2,25
a b a a • b a : b (a : b) 4
0,027 0,3
4 (2,5) 2
0,0625 (0,5) 4
0,0001 (0,1) 3
Nº fila a a 2 a 5 : a 2 (a 2 ) 2
1 0,5
2
3 0,25
4
1
2
1
4
Potencias 59

60 Unidad 2
Crecimiento exponencial
Un grupo de estudiantes está analizando la descomposición de una
hortaliza. Ellos consideran que la infección es extensa, es decir,
la hortaliza no puede ser consumida cuando tiene 1024 o más
bacterias por milímetro cuadrado (mm 2 ). Además, observaron que
las bacterias que producen la descomposición de la hortaliza se
duplican cada una hora.
Para discutir
• Si en un comienzo hay una bacteria por mm 2 , ¿en cuántas horas
la hortaliza ya no podrá ser consumida?, ¿cómo lo supiste?
• Si parten el estudio a las 8:30 h; ¿a qué hora la hortaliza no servirá
para el consumo?, ¿y a qué hora habrá 64 bacterias por mm 2 ?
• ¿Podrías explicar la reproducción de las bacterias utilizando
potencias?, ¿por qué?
• ¿Cómo graficarías el comportamiento de las bacterias?
La situación anterior se puede resumir en la siguiente tabla:
Tiempo transcurrido Número de bacterias
Número de bacterias
como potencia
0 1 20 1 hora 2 21 2 horas 4 22 3 horas 8 23 4 horas 16 2 4
5 horas 32 25 6 horas 64 26 7 horas 128 27 8 horas 256 28 9 horas 512 29 10 horas 1024 210 Si observamos la tabla, hay 64 bacterias por mm 2 en la hortaliza
transcurridas 6 horas, es decir, si comenzaron el estudio a las
8:30 horas, dicha cantidad estará presente a las 14:30 horas.
Por otra parte, la hortaliza no podrá ser consumida transcurridas
10 horas, es decir, a las 18:30 horas la infección será considerada
extensa por los estudiantes.

Como las bacterias se duplican cada una hora,
cada vez se multiplica por dos. Entonces,
si queremos expresar como potencia, la base
será 2 y el exponente corresponde a las
horas transcurridas.
Además, en este caso observamos dos variables,
una dependiente de la otra, ya que el número
de bacterias depende de las horas transcurridas;
dicho de otro modo, a medida que el tiempo
transcurre, la cantidad de bacterias aumenta.
Para analizar la relación entre las variables,
observa el gráfico:
No olvides que...
Actividades
Unidad 2
Este tipo de relación entre las variables se llama crecimiento exponencial, o se dice que crecen
exponencialmente, porque se usa en ellas una potencia con base mayor que 1. Este tema lo
estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.
1. Luisa llama a cuatro compañeras y les informa sobre una campaña de recolección de alimentos.
Cada una de estas amigas llama a otras cuatro amigas para contarles sobre la campaña, y así,
una a una, van contando a 4 nuevas amigas. Completa la tabla, el gráfico y responde.
Nivel de
llamados
Personas
informadas en
el nivel
Potencia
relacionada
0 1 40 1
2
3
4
4
a) ¿Cuántas personas son informadas en el nivel 4?
b) ¿Cuál es la variable dependiente de la otra?,
¿por qué?
Crecimiento de una población de bacterias
N o de bacterias
90
80
70
60
50
40
30
20
10
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tiempo transcurrido (h)
N o de personas
1 2 3 4 5
Nivel
Potencias 61

62 Unidad 2
Decrecimiento exponencial
Científicos de diversos países se han reunido con el fin inventar
una vacuna para combatir un virus respiratorio. Esperan que, al
momento de vacunar a la población, la cantidad de contagiados
disminuya a un tercio de la población cada día.
Para discutir
• Si se vacunara a la población, ¿en cuánto disminuirían los
contagiados luego de 3 días?, ¿y luego de 6 días?, ¿por qué?
• ¿Podrías explicar la disminución de los contagiados utilizando
potencias?, ¿cómo lo harías?
• Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados al momento de
vacunar a la población, ¿cuál sería el número de contagiados
luego de 2 y 5 días?; ¿cuál es el gráfico que representa la
cantidad de contagiados por día?
• Considerando la información de la pregunta anterior, ¿al cabo de
cuántos días se contagiará solo una persona?
Suponiendo que se vacunara a la población e inicialmente hubiera
19 683 contagiados, la información se resume en la siguiente tabla:
Días transcurridos
Factor de
decrecimiento
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
Cantidad
de contagiados
19 683 • 0
1
19 683 • 1
1
19 683 • 2
1
19 683 • 3
1
19 683 • 4
1
19 683 • 5
1
19 683 • 6
1
Si observamos la tabla, en tres días los contagiados disminuirían
en 3
de su población y en 6 días 6
1
1
.
3
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3
3
3
3
3
3
3
= 19 683
= 6561
= 2187
= 729
= 243
= 81
= 27

Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados
al momento de vacunar a la población, la
cantidad de contagiados del segundo día sería
2187; del quinto día, 81 contagiados y el
noveno día se contagiaría solo una persona.
En esta situación, observamos la relación entre
dos variables y, al igual que en el crecimiento
exponencial, una depende de la otra. En este
caso, la cantidad de contagiados depende de
los días transcurridos, pues, a medida que
pasan los días, la cantidad de contagiados
disminuye. Para analizar la relación entre
las variables, observa el gráfico:
No olvides que...
Actividades
20 000
18 000
16 000
14 000
12 000
10 000
Unidad 2
1. Una población de aproximadamente 262 144 insectos decrece por acción de un depredador natural
a la mitad de su población cada año. Completa la tabla, grafica y responde.
8000
6000
4000
2000
a) ¿En qué año la población es de 32 768?
b) ¿Cuántos insectos hay el 4º año?
c) Se extinguirá este tipo de insecto, ¿después de cuántos años?
Decrecimiento de una población de contagiados
No de contagiados
0
1 2 3 4 5 6 7
Tiempo
transcurrido (días)
Este tipo de relación entre las variables se llama decrecimiento exponencial, o se dice que
decrecen exponencialmente, porque se usa en ellas una potencia con base mayor que 0 y menor
que 1. Este tema también lo estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.
Años
transcurridos
Factor de
decrecimiento
0 0
1
2
3
4
1
2
Tamaño de población
262 144 • 0 1
2
= 262 144
Población en miles de individuos
300
250
200
150
100
50
0
1 2 3 4 5
Años transcurridos
Potencias 63

Herramientas tecnológicas
Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para construir un gráfico:
1º En la columna A escribe el valor de la potencia de base 3 y exponente, partiendo desde 0
hasta 10, en orden creciente, es decir, en A1 escribe el valor de la potencia 3 0 , en la celda A2
el valor de 3 1 , en A3 el valor de 3 2 , y así sucesivamente.
2º Selecciona los todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:
3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”,
como se observa en la siguiente imagen:
4º En las opciones de gráficos, selecciona “XY Dispersión”.
5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la
planilla. Además, puedes poner el siguiente título al gráfico:
Exponentes de la potencia de base 3 y sus respectivos valores.
Finalmente, observa el gráfico y responde:
a) ¿A qué gráfico se parece?, ¿por qué?
b) Los valores: 0, 1, 2, 3, … del eje horizontal, ¿qué representan?, ¿y los valores del eje vertical?
c) ¿Por qué este gráfico es con puntos y no con líneas?
d) ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base 4?, ¿qué tiene en común con el gráfico
que acabas de hacer?
1
e) ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base ?, ¿tiene algo en común con el gráfico que
4
acabas de hacer?, ¿por qué?
f) Sigue los pasos anteriores para graficar la potencia de base 5. Luego, responde las preguntas
a y b.
64 Unidad 2

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.
1. La expresión: 0,3 • 0,09 • 0,027, escrita como un sola potencia es:
A. 3 6
B. 0,3 6
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A. • = 4
1 1 1
8
B. 6
5
6
2
2
= 12
5
6
2
C. 0,3 5
C. 5
• 5
= 10
4 4 16
D. : = 2
64 4 4
Criterio Ítem Respuestas correctas
Aplicar propiedades de potencias que tienen base fraccionaria
o decimal positiva y exponente natural.
1, 2 y 3
Resolver un problema sobre crecimiento exponencial. 4
Resolver un problema, aplicando propiedades de potencias de base
entera y fraccionaria positiva y exponente natural.
D. 0,09 5
3. Para que la igualdad: 0,2 x : 0,2 2 = 0,2 4 , sea verdadera, el valor de x, es:
A. 2 B. 4 C. 1 D. 6
4. Las bacterias se reproducen dividiéndose en 2. En un determinado ambiente, la división se
produce cada un minuto.
a) ¿Qué tipo de crecimiento representa la relación entre los minutos transcurridos y la cantidad
de bacterias?, ¿por qué?
b) ¿Cuál es la potencia que representa la cantidad de bacterias al término de 12 minutos,
considerando que el ciclo de reproducción comienza con una bacteria?
5. Jorge y Mario inventaron un juego en el que cada jugador parte con un punto y, cada vez que
gana, su puntaje se duplica, y si pierde, su puntaje será la mitad de lo que tenía. Jorge ganó 6 veces
y Mario perdió 5 veces. ¿Cuántos puntos obtuvo Jorge?, ¿y Mario? Expresa cada resultado como
una sola potencia.
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.
9
125
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
9
5
81
5
5
Unidad 2
Potencias 65

Buscando estrategias
Considera la potencia 4 15 , el valor de esta potencia tiene 10 cifras. ¿Cuál es el último dígito de
este número?, ¿y de 4 48 ?
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
4 15 = 4 • 4 • 4 • … • 4 4 48 = 4 • 4 • 4 • 4 • … • 4 • 4
15 factores 48 factores
• ¿Qué debes encontrar?
El valor del último dígito de las potencias anteriores.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
En el caso de 4 15 podríamos utilizar la calculadora científica para saber cuál es el último
dígito del valor de la potencia, pero en 4 48 la calculadora no puede dar respuesta, ya que la
mayoría no tiene tanta capacidad. Sin embargo, podemos comenzar resolviendo los primeros
8 casos y, luego, observaremos la cifra de las unidades para encontrar alguna regularidad.
Resolver
• Calculamos los valores de las potencias de base 4 y exponente desde 1 hasta 8:
4 1 = 4 4 3 = 64 4 5 = 1024 4 7 = 16 384
4 2 = 16 4 4 = 256 4 6 = 4096 4 8 = 65 536
Luego, observamos que en las potencias de base 4 y exponente:
a) par, la última cifra del resultado es 6. b) impar, la última cifra del resultado es 4.
Responder
• Como en 4 15 el exponente es impar, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 4.
• Como en 4 48 el exponente es par, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 6.
Revisar
• Para comprobar cada resultado, puedes utilizar las propiedades de las potencias, luego,
calcular cada expresión (utilizando calculadora si es necesario) y, finalmente, multiplicar las
últimas cifras:
Utilizando propiedades de potencias, tenemos: 4 15 = 4 7 • 4 8 = 16 384 • 65 536. Entonces, al
multiplicar las últimas cifras de los factores, obtenemos: 4 • 6 = 24. Luego, la última cifra es 4.
En el segundo caso, tenemos que:
4 48 = 4 10 • 4 10 • 4 10 • 4 15 • 4 3 = 1 048 576 • 1 048 576 • 1 048 576 • 1 073 741 824 • 64.
Luego, multiplicamos las últimas cifras de los factores, es decir: 6 • 6 • 6 • 4 • 4 = 3456.
Entonces, la última cifra es 6.
66 Unidad 2

1. Aplica la estrategia aprendida para calcular la cifra de las unidades de los valores de las
siguientes potencias.
a) 4 289 d) 2 86 g) 3 85
b) 4 274 e) 2 104 h) 3 52
c) 2 29 f) 3 19 i) 3 222
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.
Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tus
compañeros y compañeras.
Unidad 2
3. Calcula la cifra de las unidades de los valores de las siguientes potencias, utilizando la estrategia
aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o
compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
a) 5 47 c) 7 33 e) 9 19
b) 6 22 d) 8 40 f) 10 521
4. Imagina que tienes una hoja de papel rectangular muy grande, y que comienzas a doblarla por la
mitad, una y otra vez. Si la abres, observarás que se forman rectángulos iguales.
a) ¿Qué relación tiene esta situación con las potencias?, ¿cuál es la base?, ¿qué representa el
exponente en este caso?
b) Si doblas el papel 3 veces por la mitad, ¿cuántos rectángulos se forman al abrir el papel?
Utiliza potencias para responder.
c) Y si doblaras 5 veces el papel por la mitad, ¿cuántos rectángulos se formarían?
Utiliza potencias para responder.
d) Comprueba los resultados obtenidos utilizando una hoja tamaño carta.
e) Sin utilizar papel para comprobar, ¿cuál es la cifra de las unidades equivalente a la cantidad
de rectángulos que se forman al doblar un papel rectangular 15 veces por la mitad?,
¿cómo lo supiste?
Potencias 67

Conexiones
Para finalizar
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.
Respetó las opiniones de los demás integrantes.
Cumplió con las tareas que se comprometió.
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?
68 Unidad 2
NACIONAL
Los efectos del alcohol en el organismo
El alcohol es un depresor del sistema nervioso
central. Sus efectos en el organismo son inmediatos y a
largo plazo. Algunos efectos inmediatos son: afección a
la frecuencia cardiaca, al habla, al entendimiento, al
juicio y, al llegar a la intoxicación alcohólica, puede
provocarse un estado de coma e, incluso, la muerte.
Algunos riesgos a largo plazo son: daño al corazón, al
hígado y su abuso puede generar trastornos mentales.
En Chile, el alcohol es la droga más consumida,
de hecho, un 68,5% de los encuestados, en un estudio
realizado por el Conace, declaró haber consumido alcohol
el año 2008. Su uso genera graves problemas sociales,
entre otros, causando accidentes automovilísticos.
Fuentes: Ministerio del Interior, www.conacedrogas.cl, septiembre 2009.
Octavo Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile, 2008. Informe de principales resultados, Conace, Chile.
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.
1. Un profesor universitario encontró una fórmula para calcular el porcentaje de riesgo de tener
un accidente si se conduce bajo los efectos del alcohol. La fórmula es igual a: 6 • (1,14) x ,
donde x es el porcentaje de alcohol en la sangre.
• Si una persona tiene un 4% de alcohol en la sangre, ¿cuál es el porcentaje de riesgo de
tener accidente?, ¿y si tiene un 20% de alcohol en la sangre?
2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la
solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.
Evaluamos nuestro trabajo
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

A continuación, se presenta un mapa conceptual que relaciona los principales conceptos
estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones
que hay entre los conceptos.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE
POTENCIAS DE IGUAL BASE
POTENCIAS DE BASE FRACCIONARIA
POSITIVA Y EXPONENTE NATURAL
POTENCIAS DE BASE ENTERA
Y EXPONENTE NATURAL
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE
POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE
POTENCIAS DE BASE DECIMAL
POSITIVA Y EXPONENTE NATURAL
Unidad 2
Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.
1. ¿Crees qué faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Cómo calculas una potencia de base entera y exponente natural?
POTENCIA DE UNA POTENCIA
3. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de potencias de igual base?,
¿y qué diferencias?
4. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de potencias de igual exponente?,
¿y qué diferencias?
5. ¿Cómo calculas la potencia de una potencia de base entera y exponente natural?, ¿y de base
decimal positiva? Da tres ejemplos.
6. Si w, x, y, z son números naturales, ¿podrías afirmar que z
w
x x z •w
= ?, ¿por qué?
y y
Da 2 ejemplos.
7. ¿Qué caracteriza al crecimiento exponencial?, ¿y al decrecimiento exponencial?
8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela
en tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Potencias 69
Síntesis

¿Qué aprendí?
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.
1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?
A. (–15) 11 :(–15 8 = –3375
B. 2
1
4
70 Unidad 2
3
=
C. (0,5) 2 • (0,8) 2 = (0,4) 4
D. (–2) 2 3 = (–2) 3 2
2. Una profesora compró lápices de colores para
regalar a sus alumnos y alumnas. Si compró
8 cajas que contienen 16 estuches cada una
y cada estuche tiene 4 lápices, ¿cuántos lápices
tiene para regalar?
A. 2 6
B. 2 9
C. 2 28
D. 2 2 • 7
3. Si a, b, c son números naturales mayores que
1 y b > c, entonces, es cierto que:
A. aa : aa = aa B. b
c b •c
=
C. b
: c
D. a b • c b = (a • c) 2
a a
b b
a a a
b b b
= b +c
4. El volumen de un cubo cuya arista mide
216 cm, es:
A. 6 6 cm 3
B. 6 3 cm 3
C. 6 5 cm 3
D. 6 9 cm 3
1
4096
5. La directiva de un curso quiere hacer un diario
mural rectangular para su sala de clases.
Si solo saben que el área disponible es de
19 683 cm 2 y el ancho mide 81 cm,
¿cuánto mide el largo?
A. 3 5 cm
B. 3 9 cm
C. 3 4 cm
D. 5 3 cm
6. El valor de (0,5) 13 : (0,5) 11 , escrito como
fracción, es:
A.
1
2
B.
1
16
C.
1
4
D.
1
25
7. Un grupo de 78 125 bacterias decrecen
exponencialmente a un quinto de su población
cada día. ¿Cuántas bacterias quedarán al cabo
de 5 días?
A. 5 5
B. 5 4
C. 5 2
D. 5 3
8. Para que la igualdad: (1,3) x • (0,1) 9 = (0,13) 9 ,
sea verdadera, el valor de x es:
A. 9
B. 1
C. 0
D. 18

9. Una cuerda tiene 16 384 m de longitud y se corta sucesivamente un cuarto de
su longitud.
a) ¿Cuánto queda después de 3 cortes?, ¿y después de 6?
b) Construye, en tu cuaderno, un gráfico para esta situación.
10. Se sabe que el volumen de un paralelepípedo es 729 cm 3 . Si su ancho mide 3 cm,
su largo 9 cm, ¿cuánto mide el alto? Usa potencias para resolver.
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
¿Qué logré?
1. Marca según tu apreciación.
Concepto de potencia.
Potencia de base entera y exponente natural.
Multiplicación y división de potencias de igual base.
Multiplicación y división de potencias de igual
exponente.
Potencia de una potencia.
Potencias de base fraccionaria positiva y exponente
natural.
Potencias de base decimal positiva y exponente
natural.
Crecimiento y decrecimiento exponencial.
Resolución de problemas.
2. Reflexiona y responde.
No lo
entendí
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 37 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”;
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.
Lo
entendí
Unidad 2
Puedo
explicarlo
Potencias 71

72 Unidad 3
3Unidad
Geometría y
medición

En esta Unidad podrás...
• Identificar la circunferencia y círculo como lugar geométrico y representarlos
mediante lenguaje conjuntista.
• Identificar el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia.
• Relacionar el número π con el diámetro y la longitud de la circunferencia.
• Calcular la longitud de una circunferencia.
• Estimar el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares
inscritos en la circunferencia.
• Conjeturar respecto del volumen del cilindro y cono.
• Calcular el área del cilindro, cono y pirámide y verificarlas, usando un
procesador geométrico.
Conversemos de...
Para preservar de mejor forma los alimentos durante un largo período de
tiempo, se realiza un proceso de manipulación de estos, llamada conserva
alimenticia.
El objetivo de la conserva es proteger a los alimentos de microorganismos que
podrían modificar sus condiciones sanitarias y su sabor. Las conservas se pueden
encontrar en envases de vidrio o de hojalata.
El envase de hojalata conserva por más tiempo los alimentos y evita los efectos
de la luz, que deteriora su contenido vitamínico.
La fotografía muestra distintas conservas en envases de hojalata de una empresa.
Si desean modificar las dimensiones de los tarros, responde las siguientes
preguntas.
1. ¿Qué variará si desean agrandar los envases sin modificar su altura?
2. ¿Qué sucederá con el volumen del envase si modifican la altura al doble?,
¿cómo lo supiste?
3. ¿Con qué forma geométrica asocias estos tarros de conservas?
4. ¿Haz consumido algún alimento en conserva?, ¿cuál?
Geometría y medición 73

¿Cuánto sabes?
74 Unidad 3
1. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos y explica el procedimiento
que utilizaste.
a) ABCD cuadrado c) LMNO romboide
D C O
A 5 cm B
b) HGFE trapecio isósceles d) ∅IJK equilátero
K
E
5 cm
F
H
9 cm
2. Calcula el área de los siguientes polígonos y explica el procedimiento
que utilizaste.
a) c) ΔEFG isósceles de base EF
D C
G
A
2,6 cm
B
5 cm
b) H K d) L
I 17,5 cm J
3. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
a) b)
4 cm
2,6 cm
5,5 cm
4 cm
12 cm
4 cm
G
4. El perímetro de un triángulo equilátero es 24 cm. Si la medida de uno de
sus lados aumenta en 3 cm, ¿cuánto mide ahora el perímetro del triángulo?,
¿sigue siendo equilátero?, ¿por qué?
L
I
E
M
5 m
8 cm
3,5 cm
12 cm
4 cm
J
10 cm
5 cm
3 m
F
5 m
M
N
6 cm
N

5. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuánto mide
su perímetro?; ¿y su área?, ¿y si los catetos se duplican?
6. Si el área de un terreno cuadrado es 100 m 2 , ¿cuántos metros de alambre se
necesitan para cercar el terreno con una vuelta?
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿Qué debes recordar?
Unidad 3
• Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectos
consecutivos no alineados, llamados lados. Según el número de sus lados, se clasifican en:
triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), etc.
• Los polígonos que tienen todos sus ángulos de igual medida, al igual que la medida de sus
lados, reciben el nombre de polígono regular.
• La apotema de un polígono regular es la distancia entre el
centro y cualquiera de sus lados; es perpendicular a dicho lado.
apotema
del pentágono
• El perímetro de un polígono es la medida de la longitud de su frontera o contorno,
expresada en la misma unidad de longitud.
• El área es la medida de la superficie de una figura.
• Para calcular el área de un cuadrado de lado a, se puede utilizar la fórmula a2 .
• Para calcular el área de un rectángulo de lados a y b, se puede utilizar la fórmula a • b.
•
b • h
Para calcular el área de un triángulo de base b y altura h, se puede utilizar la fórmula .
2
• En un triángulo rectángulo, las medidas de los catetos se pueden considerar como su base
y su altura, ya que son perpendiculares entre sí.
B
• En un triángulo ABC rectángulo en C se cumple que: c
a a
A
b C
• Un prisma recto es aquel poliedro que tiene dos caras paralelas que son polígonos iguales
llamados bases. El resto de las caras son rectángulos perpendiculares a las bases y se llaman
caras laterales.
• Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos,
que concurren en un punto llamado cúspide. Las pirámides rectas son aquellas cuyas caras
laterales son triángulos isósceles. De lo contrario, se denominan oblicuas. Las pirámides
regulares son aquellas cuya base es un polígono regular.
2 + b2 = c2 (Teorema de Pitágoras)
Geometría y medición 75

Dispositivo
Hernán H
Carolina
Francisca
Bernardo
F
Glosario
C
B
Límite de la señal
conjunto: es toda agrupación de
objetos. Los objetos agrupados
toman el nombre de elementos
del conjunto.
pertenece: corresponde a todos
los elementos que forman parte de
un conjunto dado. Se simboliza .
no pertenece: corresponde a
todos los elementos que no
forman parte de un conjunto dado.
Se simboliza .
76 Unidad 3
O
T
G
D E
S
Tomás
Gabriel
Eduardo
Daniela
Sara
Circunferencia y círculo como lugar
geométrico
En el patio de una universidad se ha instalado un dispositivo emisor
de Internet, para que los y las estudiantes que dispongan de tarjetas
receptoras en sus computadores personales puedan acceder a la
Web. El dispositivo receptor tiene un alcance hasta los 500 metros
a la redonda. Observa la imagen que muestra el punto del patio
donde se instaló el dispositivo emisor y a los y las estudiantes que,
en ese momento, estaban con sus computadores usando internet.
Para discutir
• ¿Cuántos metros hay desde el dispositivo hasta E?, ¿y hasta B y H?,
¿cómo lo supiste?
• ¿Qué sucede con los estudiantes que están a menor distancia
que 500 m del dispositivo?, ¿y los que están a más de 500 m a
la redonda?, ¿cómo lo expresarías geométricamente?
• Si los estudiantes que están ubicados a menos de 500 m del
dispositivo se ubicaran justo a 500 m de este, ¿dónde se
encontrarían geométricamente?, ¿por qué?
• ¿Con qué conceptos geométricos puedes relacionar a las personas
que están a menor distancia de 500 m a la redonda del dispositivo?,
¿y los que están a 500 m?, ¿por qué?
En la situación anterior, los puntos que se encuentran a 500 metros
del dispositivo emisor son H, B y E. Estos puntos y todos aquellos
que están a 500 metros del dispositivo emisor O, pertenecen a
la circunferencia. El dispositivo corresponde al centro de la
circunferencia; la distancia desde el centro O a la circunferencia
se denomina radio; en este caso, el radio es de 500 metros.
El conjunto de todos los puntos que están en el interior de la
circunferencia de centro O, como C, F, G y D, pertenecen al círculo.
Luego, la circunferencia es el contorno del círculo.
Los puntos S y T se encuentran a más de 500 m del centro O de la
circunferencia, por lo tanto, no pertenecen a ella (ni al círculo).
Esto quiere decir que Sara y Tomás no pueden acceder a la web.

No olvides que...
• Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas
propiedades geométricas.
Actividades
1. Observa la siguiente circunferencia de centro O y el círculo de centro C, respectivamente y,
luego, responde.
a) ¿En qué se parecen ambas figuras?, ¿en qué se diferencian?
b) ¿Qué aspectos caracterizan a cada figura?
c) ¿Cuándo un punto pertenece al círculo?, ¿y a la circunferencia?
Da 2 ejemplos para cada caso.
2. Observando la figura, completa cada una de las siguientes expresiones con:
• pertenecen • radio • no pertenecen
• no pertenece • pertenecen • pertenece
a) El de la circunferencia de centro O mide 1 cm.
b) El punto C al círculo.
c) Los puntos D y E al círculo.
d) Los puntos D y E a la circunferencia.
e) Los puntos B y F a la circunferencia.
f) El punto E al círculo.
Unidad 3
• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia
de un punto fijo, llamado centro; dicha distancia se denomina radio.
Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a una
circunferencia de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:
C = p P / d (p, O) = r
• El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo,
llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.
Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a un círculo
de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:
C = p P / d (p, O)r
La notación d(p, O) representa la distancia desde cualquier punto p del plano P al centro O.
D
O
B
O C
E
F
C
Geometría y medición 77

Glosario
En Matemática puedes utilizar
la siguiente notación:
Segmento HI: HI
Recta AB: AB ↔
Arco FG: FG
Ayuda
El arco de una circunferencia
se lee en sentido inverso al
giro de los punteros del reloj.
78 Unidad 3
Elementos de la circunferencia
Observa la siguiente
circunferencia de
centro O y los elementos
marcados en ella.
G
Para discutir
H
A
• Si mides con una regla OE y OI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué?
• ¿Qué diferencias observas entre la parte de la circunferencia
comprendida entre los puntos F y G y el trazo FG?, ¿cómo lo supiste?
• Si mides con una regla OE y HI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué?
• ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre GF y AB ↔ ?,
¿y entre AB ↔ y CD ↔ ?
• ¿Cuánto miden los ángulos OED y CEO? Usa transportador.
• ¿Ocurrirá siempre lo mismo con las medidas de los ángulos
formados entre el radio y la recta que interseca a la circunferencia
en un solo punto?, ¿cómo lo supiste?
En la circunferencia anterior, tenemos que OE y OI corresponden a
segmentos que unen un punto de la circunferencia con su centro O;
estos segmentos corresponden al radio de la circunferencia.
La parte de la circunferencia comprendida entre los puntos F y G
se denomina arco (FG ), es decir, corresponde a todos los puntos
pertenecientes a la circunferencia entre dichos puntos, a diferencia
de FG, que contiene solo a dos puntos de la circunferencia. Este
segmento se denomina cuerda.
Por otra parte, HI mide el doble del radio; este segmento que une
dos puntos de la circunferencia y, además, pasa por el centro de ella
se llama diámetro.
Al observar AB ↔ y CD ↔ , podemos notar que la primera recta corta
a la circunferencia en dos puntos, a diferencia de CD ↔ , que toca
a la circunferencia en un solo punto (E ). En el caso de AB ↔ , la recta
se llama secante a la circunferencia, y en el caso de CD ↔ , tangente
a la circunferencia. Además, el ángulo formado entre la tangente
y el radio, en el punto de intersección (E ) es recto (mide 90º).
C
F
O
E
B
I
D

No olvides que...
En una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos:
• Radio: segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.
• Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
• Diámetro: cuerda que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Es la cuerda
de mayor longitud en la circunferencia. En toda circunferencia se tiene que la medida del
diámetro corresponde al doble de la medida del radio.
• Arco: parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
• Secante a una circunferencia: recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.
• Tangente a una circunferencia: recta que interseca en un único punto a la circunferencia.
Actividades
1. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno una circunferencia de centro O y radio 3 cm.
Luego, sigue las instrucciones y responde las preguntas.
a) Traza un diámetro: ¿cuánto mide?
b) Traza una recta secante y marca con distintos colores los arcos determinados por ella.
c) Traza un radio OA y, luego, una tangente a la circunferencia que pase por A. Para esto,
utiliza escuadra.
d) Traza una cuerda de menor longitud que el diámetro, ¿qué sucede si son de igual longitud?
2. Considera la circunferencia de centro O y completa la siguiente tabla.
Cuerda(s)
Diámetro(s)
Radio(s)
Secante(s)
Tangente(s)
Arco(s)
3. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.
Unidad 3
a) Las cuerdas que contienen al centro de la circunferencia se denominan arcos.
b) El diámetro de una circunferencia mide la mitad del radio.
c) Toda recta secante a una circunferencia determina dos arcos.
d) Toda recta tangente a una circunferencia interseca al menos en un punto a la circunferencia.
e) El diámetro de una circunferencia determina dos arcos de igual medida.
A
C
F
O
B
D
E
Geometría y medición 79

En equipo
80 Unidad 3
Número π y su relación con la
circunferencia
En esta actividad deberán utilizar 1 metro y medio (aprox.) de lana, regla, compás y calculadora para
medir la longitud y el diámetro de circunferencias y calcular el cociente entre dichas medidas. Formen
grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.
1. Dibujen en sus cuadernos circunferencias cuyos radios midan 2 cm, 3 cm, 5 cm y 10 cm.
2. Pongan la lana sobre cada circunferencia, cortándola de tal modo que mida exactamente
lo mismo que cada una de estas figuras.
3. Después que han cortado los trozos de lana, estírenlos y mídanlos con regla, para calcular la
longitud de las circunferencias.
4. Completen la tabla.
Ayuda
Circunferencia
Recuerda que el valor de la
razón es el cociente entre
dos cantidades.
1
2
3
4
Medida del diámetro
(cm)
Para discutir
Medida de la longitud
(cm)
Valor de la razón entre
la longitud y el diámetro
• ¿Cómo calculaste la medida del diámetro?, ¿y la longitud de
cada circunferencia?
• Los valores obtenidos en la última columna, ¿tienen algo en común?,
¿por qué?
• Si dibujaras otras circunferencias, con distintos radios, ¿qué valores
obtendrías al calcular el cociente entre su longitud y el diámetro?,
¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué?
• ¿Reconoces los valores obtenidos en la última columna con algún
número especial?, ¿cuál?
En la actividad anterior, podemos notar que el cociente obtenido
en la última columna de la actividad experimental es
aproximadamente 3,14 en todos los casos. Si realizáramos el mismo
experimento con circunferencias cuyo radio fuera diferente,
observaríamos que dicho valor se mantiene constante. Este valor
se representa con la letra griega π, y se pronuncia número pi.

No olvides que...
La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un número constante que
llamamos número π. Este número es decimal infinito no periódico, que truncado a sus primeras
cifras es:
π 3,1415926535…
Actividades
1. Usando calculadora, determina cuál de las siguientes expresiones corresponde a una mejor
aproximación al número π.
a)
22
7
c)
256
81
e)
377
120
b)
355
113
d)
25
8
f)
3927
1250
2. Agustín dice que para calcular la longitud de una circunferencia basta con multiplicar π por
el diámetro de esta. ¿Consideras correcto lo que afirma?, ¿por qué?
3. ¿Puedes obtener la longitud de una circunferencia si conoces la medida de su radio?,
¿cómo lo harías?
4. Utilizando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera el número π, redondeado a
los centésimos (π = 3,14).
Circunferencia Medida del radio (cm) Medida del diámetro (cm) Medida de la longitud (cm)
1 37,68
2 62,8
3 31,4
4 15
5 10,5
6 314
7 6,5
8 125,6
Unidad 3
Geometría y medición 81

F
82 Unidad 3
E D
A
O
B
C
Longitud de la circunferencia
La siguiente figura muestra un hexágono regular que está
inscrito en una circunferencia. El hexágono regular está dividido
en 6 triángulos equiláteros, que tienen un vértice común en el
centro de la circunferencia.
Para discutir
• ¿Con qué elemento de la circunferencia puedes igualar los lados
del hexágono?, ¿por qué?
• Observa el perímetro del hexágono y la longitud de la
circunferencia, ¿cuál es mayor?, ¿cómo lo supiste?
• Según lo estudiado hasta ahora, ¿cómo relacionarías la longitud
de la circunferencia con el diámetro y el número π?
En la situación anterior, el hexágono regular inscrito en la
circunferencia con centro en O se ha dividido en 6 triángulos
equiláteros y cada lado de los 6 triángulos coincide con el radio
de la circunferencia.
Los arcos que se forman con los lados del hexágono tienen medida
un poco mayor que dichos lados y, por lo tanto, es un poco mayor
que el radio. Luego, si comparamos la longitud de la circunferencia,
que es igual a la suma de todos los arcos; con el perímetro del
hexágono, que es igual a 6 veces el radio, tenemos que:
longitud de la circunferencia > perímetro del hexágono
longitud de la circunferencia > 6 veces la medida del radio
longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro
Por otro lado, estudiamos en la actividad experimental de la página
80 que el número π es igual a la razón entre la longitud de una
l
circunferencia (l) y su diámetro (d), es decir, π = . Entonces:
d
l
π = / multiplicamos por d
d
l
π • d = • d
d
Por lo tanto, l = π • d

Luego, si consideramos lo anterior y, además, que el diámetro es
igual a 2 veces el radio (2 • r), verificamos que:
longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro
Actividades
π • d > 3 • d
π • (2 • r) > 3 • (2 • r)
Por lo tanto, 2 • π • r > 2 • 3 • r
Lo anterior se confirma con que π > 3.
No olvides que...
La longitud de una circunferencia (l ) es igual al producto de 2 por π por su radio (r ). Es decir,
l = 2 • π • r
1. Calcula la longitud de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r). Considera π = 3,14.
7
a) r = 4 cm c) r = 4,7 cm e) r = cm g) r = 1000 cm
2
b) r = 0,5 m d) r = 1,7 km f) r = 9 cm h) r = 10 000 cm
2. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de la longitud (l ). Considera π = 3,14.
a) l = 28,26 cm c) l = 1256 km e) l = 3,14 m g) l = 31,4 cm
b) l = 11,304 m d) l = 6,28 cm f) l = 188,4 cm h) l = 50,24 m
3. Calcula la longitud de cada circunferencia. Considera π = 3,14.
a) b) c)
G
3 cm
15 cm
L
5 cm
K
Unidad 3
Geometría y medición 83

Ayuda
Recuerda que la fórmula para
calcular el área de un polígono
regular es:
perímetro • apotema
2
84 Unidad 3
O
Área del círculo
Observa los siguientes polígonos regulares inscritos en
una circunferencia.
Para discutir
• ¿Cómo son entre sí el área del círculo y el área de cada polígono
regular?, ¿qué sucede con estas áreas a medida que aumenta la
cantidad de lados del polígono regular?
• ¿Con qué elemento del círculo relacionas la apotema?, ¿qué
relación tiene con el número de lados del polígono regular?
• ¿Puedes aproximar el área del círculo conociendo la medida de la
apotema y de uno de sus lados?, ¿cómo?
Como puedes observar en las figuras de la situación anterior,
mientras más lados tenga el polígono regular, su área será una
mejor aproximación al área del círculo. Por otra parte, la medida
de la apotema del polígono se aproxima cada vez más al radio
del círculo.
Para aproximar el área del círculo, podemos calcular el área de un
polígono regular inscrito en la circunferencia y, mientras más lados
tenga el polígono, la aproximación será mejor. Por ejemplo, el
polígono regular de la siguiente figura tiene 10 lados, si cada lado
mide 2,5 cm y su apotema mide 3,85 cm, entonces:
Área polígono regular = = 48,125 cm2 (10 • 2,5) • 3,85
2
Por lo tanto, el área del círculo se aproxima a 48,125 cm 2 .
Luego, como la longitud de la circunferencia es igual a 2 • π • r , y el
área del círculo (Á) se aproxima a la de un polígono regular de
muchos lados, entonces:
Á = = = π • r 2
perímetro • apotema (2 • π • r ) • r
2
2

No olvides que...
El área de un círculo (Á) es igual al producto de π por su radio al cuadrado (r 2 ). Es decir, Á = π • r 2
Actividades
1. Dados los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia, usa escuadra
para dibujar la apotema, y con una regla mide uno de los lados y la apotema dibujada.
Luego, aproxima el área de cada círculo.
a) b) c)
¿Cuál de las aproximaciones es más cercana al área del círculo correspondiente? Justifica.
Unidad 3
2. Observa los siguientes círculos cuyos radios miden lo mismo y los polígonos inscritos en ellos.
Utilizando regla, escuadra y calculadora, completa la tabla. Considera el número π, redondeado
a los centésimos (π = 3,14).
Nº lados del
polígono
O C G
Medida de la
apotema (cm)
Medida del
radio (cm)
Área polígono (cm 2 ) Área círculo (cm 2 )
6 1,5 3,14 • 1,5 2 = 7,065
3. Utiliza la fórmula: Área = π • r 2 , para calcular el área de los círculos de la pregunta 1 y,
luego, compara los valores obtenidos con las aproximaciones. Considera π = 3,14.
4. Dado un círculo cuyo radio mide 3 cm, ¿qué sucede con su área su duplicas el radio?,
¿y si lo triplicas? Calcula el área en cada caso.
Geometría y medición 85

Herramientas tecnológicas
Usando Geogebra puedes calcular la longitud de una circunferencia y área de un círculo, entre
otras cosas. Para descargar este software ingresa a: www.geogebra.at; en el menú de la
izquierda selecciona Webstart-TeleInicio, luego, el botón Webstart y sigue las instrucciones.
Longitud de la circunferencia y área del círculo
1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes.
2º En las herramientas del software, selecciona Polígono Regular . Haz dos clic en puntos
distintos del plano; luego, indica la cantidad de vértices del polígono (menor que 16) y,
finalmente, presiona OK; aparecerá el polígono regular.
3º Selecciona Circunferencia dados Tres de sus Puntos . Haz clic en tres vértices del polígono
regular; aparecerá la circunferencia circunscrita en el polígono.
4º Repite los pasos 2º y 3º (en el mismo plano); pero, en este caso, el polígono debe tener 20 lados.
5º Selecciona Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su perímetro.
Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud.
6º Selecciona Área . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su área. Luego, haz clic sobre
cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo.
Luego de realizar los pasos anteriores, responde.
a) ¿En cuál de los casos el perímetro del polígono se aproxima más a la longitud de la
circunferencia?, ¿y en el caso del área?, ¿por qué?
b) Verifica en una nueva aplicación de Geogebra para otros polígonos. Compara los resultados
obtenidos con tus compañeros y compañeras.
Corona circular
1º En una nueva aplicación de Geogebra, presiona el botón derecho y selecciona Ejes.
2º En las herramientas del software, selecciona Circunferencia dado su Centro y uno de
sus puntos . Haz dos clic en lugares distintos del plano; aparecerá una circunferencia.
3º Usando la misma herramienta anterior, haz un clic sobre el centro de la
circunferencia y, luego, un clic que esté contenido en la circunferencia (no debe
pertenecer a ella), como se observa en la figura.
c
La parte de la superficie que hay entre ambos círculos corresponde a la
d
corona circular.
4º Selecciona Distancia o Longitud. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá
su longitud.
5º Selecciona Área. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo.
Luego responde: ¿cuál es el área de la corona circular?, ¿y el perímetro?, ¿cómo lo hiciste?
86 Unidad 3
A
C
B

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.
1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?
Unidad 3
I. La circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
II. El número π se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
III. Una recta tangente es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
A. Solo I B. Solo II C. I y II D. I, II y III
2. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de dos circunferencias de diámetros 18 cm y 4 cm?
(Considera π = 3,14)
A. 56,52 cm B. 43,96 cm C. 12,56 cm D. 87,92 cm
3. El área de la corona circular es (considera π = 3,14):
A. 28,26 cm 2
B. 172,7 cm 2
C. 69,08 cm 2
D. 229,22 cm 2
4. El área del cuadrado de la figura es 16 cm 2 ,
¿cuál es el área del círculo inscrito?
(Considera π = 3,14).
5. Para una presentación de gimnasia de un colegio se necesita elaborar 15 argollas de diámetro 80 cm,
¿cuántos metros de tubo plástico se debe comprar para su elaboración? (Considera π = 3,14).
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Criterio Ítem Respuestas correctas
Analizar afirmaciones asociadas a la circunferencia, círculo y π. 1
Calcular la longitud de circunferencias. 2
Calcular el área de una corona circular. 3
Resolver problemas que involucran área de círculo y longitud
de circunferencia.
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
5 cm
O
3 cm
4 y 5
Geometría y medición 87

Glosario
cilindro recto: cuerpo geométrico
obtenido al rotar un rectángulo en
torno a uno de sus lados.
cono recto: cuerpo geométrico
obtenido al rotar un triángulo
rectángulo en torno a un cateto.
88 Unidad 3
Área del cilindro y cono
Pedro y Lorena elaboraron
las redes que se muestran a
continuación, para construir
dos cuerpos geométricos
diferentes. Observa.
Para discutir
• Si armas estas redes, ¿qué cuerpos geométricos obtendrías?
• Si armas las redes, ¿qué diferencias y semejanzas observas en
cada cuerpo geométrico?
• Si rotaras un rectángulo en torno a uno de sus lados, ¿cuál de
estos cuerpos geométricos obtienes?, ¿y si rotaras un triángulo
rectángulo en torno a uno de sus catetos?
• ¿Es necesario conocer algunos elementos para construir cada
una de las redes?, ¿cuáles?
• ¿Cómo calcularías el área total de cada cuerpo geométrico?,
¿puedes apoyarte en las redes?, ¿cómo lo harías?
Las redes de la situación anterior se obtienen al desarmar dos
cuerpos geométricos. Con la primera red es posible construir un
cilindro recto y, con la segunda red, se puede construir un cono recto.
Si armamos las redes para construir los cuerpos correspondientes,
observamos que el cilindro y cono están compuestos por al menos
una cara curva; estos cuerpos se denominan redondos. En cambio,
aquellos cuerpos formados solamente por figuras geométricas planas,
como la pirámide, se denominan poliedros.
Un cilindro se obtiene al rotar un rectángulo de lados r y h alrededor
de uno de sus lados. Los lados no paralelos al eje de giro
determinan círculos llamados bases.
r
h

El cono se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos r y h
alrededor de uno de sus catetos. El otro cateto determina un círculo
llamado base.
h: altura
Si quieres dibujar una red para construir un cilindro recto, debes
conocer el radio del círculo de la base para dibujar un rectángulo en
el que el lado a de este coincide con la longitud de las
circunferencias y, luego, dibujas los círculos con el radio conocido.
Para calcular el área total del cilindro, sumamos el área del
rectángulo y el área de las bases circulares, es decir:
Á = área rectángulo + 2 • área círculo = (2 • π • r • h) + (2 • π • r 2 )
h: altura
a
r: radio
b: base
cara lateral
Si quieres dibujar una red para construir un cono recto, debes
conocer la longitud del radio r de la base y la longitud de la
generatriz g (radio del sector circular) para calcular el ángulo α
del sector circular, el que se calcula con la siguiente fórmula:
r • 360º
α =
g
Con esta información, construyes una circunferencia de radio g
y marcas un ángulo α en el centro, de esta forma obtienes el sector
circular; luego, dibuja la circunferencia de radio r, como se observa
a continuación en la figura.
Para calcular el área del cono, sumamos el área de la base y el área
del sector circular.
Si r es el radio de la base, su área es: Á b = π • r 2
g: generatriz
r: radio
Si g es la generatriz, el área del sector circular es: Á sc = π • r • g
a
h
r
g: generatriz
Unidad 3
Geometría y medición 89

Ayuda
Recuerda que el área de una
pirámide se obtiene al sumar
el área de todas sus caras y el
área de la base.
No olvides que...
• Si r es el radio de la base y h la altura, el área total de un cilindro está dada por:
Á cilindro = (2 • π • r • h) + (2 • π • r 2 )
• Si g es la generatriz y r el radio de un cono, el área total del cono está dada por:
Actividades
90 Unidad 3
Luego, el área total del cono es:
g: generatriz
Á cono = (π • r 2 ) + (π • r • g)
1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos (considera π = 3,14).
a) c)
arista de la base = 10 cm
altura = 12 cm
b) d)
radio de la base = 6 cm
generatriz = 10 cm
Á = área base + área sector circular = (π • r 2 )+ (π • r • g)
sector circular
r: radio
b: base
α r
g
radio de base = 7 cm
generatriz = 20 cm
altura = 24 cm
generatriz = 26 cm
h

2. El ancho del rectángulo que gira mide 30 cm y su largo mide 45 cm, calcula (considera π = 3,14):
a) el área de la base del cilindro que se genera.
b) el área total del cilindro.
3. Calcula el área lateral de un cilindro recto, cuya base es un círculo de 452,16 cm 2 de área
y cuya altura es igual al diámetro de la base (considera π = 3,14).
4. Calcula el área total de un cono recto donde r = 3 cm y g = 10 cm (considera π = 3,14).
5. Si el radio de la base de un cono recto mide 4 cm y el ángulo del sector circular mide 60º,
¿cuál es el área total del cono?
6. Un recipiente tiene forma de cilindro circular recto. El área de cada base es de 1256 cm 2
y la altura del cilindro mide 15 cm (considera π = 3,14).
a) ¿Cuánto mide el diámetro de la base?
b) ¿Cuál es el área lateral del recipiente?
c) ¿Cuánto mide el área total?
7. El área total de un cilindro recto es 565,2 cm 2 , su radio mide 5 cm y su generatriz mide
13 cm. Si su radio aumentara en 2 cm (considera π = 3,14):
a) ¿cuál es el área total del nuevo cilindro?
b) ¿en cuántos cm 2 aumenta su área?
8. El perímetro de la base de la pirámide recta cuya base es un polígono regular mide 36 cm,
la apotema lateral mide 20 cm. Calcula:
a) la apotema de la base.
b) el área de la base.
c) el área total.
9. La longitud de la circunferencia de la base de un cilindro recto mide 62,8 cm y su altura
mide 18 cm (considera π = 3,14).
a) ¿Cuál es su área lateral? b) ¿Cuál es el área total del cilindro?
10. El radio de un cono recto mide 5 cm y su altura mide 12 cm, calcula:
a) la medida de la generatriz. b) ¿cuál es su área total?
r
h
Unidad 3
Geometría y medición 91

En equipo
92 Unidad 3
Volumen del cilindro y cono
En esta actividad deberán utilizar cartulina, pegamento, tijeras, regla,
transportador y arena para dibujar redes de cilindro y cono y, luego,
con los cuerpos geométricos que construyeron y la arena, realizarán
una actividad exploratoria. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.
a) Dibujen sobre la cartulina dos redes, una para armar un cilindro recto y otra para un cono recto.
El radio de la base del cilindro mide 6 cm y su altura mide 8 cm. El radio de la base del cono
mide 6 cm y su generatriz mide 10 cm; con esta información pueden calcular el ángulo del
sector circular.
b) Llenen el cono con arena y, luego, vacíenla en el cilindro. Repitan este procedimiento hasta que el
cilindro quede completamente lleno.
Ayuda
Recuerda que, cuando
hablamos de volumen, nos
referimos a la medida del
espacio que ocupa un cuerpo.
Para calcular el volumen de un
prisma recto, puedes utilizar
la fórmula:
Volumen = área base • altura
Para discutir
• ¿Podrían establecer una fórmula para calcular el volumen del
cilindro?, ¿cuál?
• ¿Cuál es el volumen del cilindro construido?, ¿cómo lo calculaste?
• ¿Cuánto mide la altura del cono?, ¿cómo la calculaste?
• ¿Cuántas veces puedes vaciar la arena que contiene el cono en
el cilindro?, ¿por qué?
• Usando la información anterior, ¿puedes encontrar una fórmula
para calcular el volumen del cono?, ¿cuál?
Después de realizar la actividad anterior, se debe considerar que el
área de un círculo se puede aproximar por medio del cálculo del
área de polígonos regulares inscritos en una circunferencia y,
además, que dicha aproximación será mejor mientras mayor sea
el número de lados del polígono inscrito. Entonces, para calcular
el volumen del cilindro podemos utilizar la fórmula:
área base • altura
Luego, el volumen del cilindro construido es (considerando π = 3,14):
V = 3,14 • 6 2 • 8 = 904,32 cm 3
Por otra parte, notemos que la cantidad de arena que puede
contener el cilindro es exactamente 3 veces lo que puede contener
el cono. Entonces, para calcular el volumen del cono, podemos
dividir por 3 el volumen del cilindro calculado anteriormente.
Es decir, el volumen del cono es 904,32 : 3 = 301,44 cm 3 .
Notemos que ambos cuerpos redondos tienen la misma altura (8 cm).

No olvides que...
• El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura. Es decir,
en un cilindro de radio r y altura h, el volumen se calcula:
V cilindro = área base • altura = π • r 2 • h
• El volumen del cono es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura.
Es decir, en un cono de radio r y altura h, el volumen se calcula:
V = • área base • altura = • π • r cono 2 1
1
• h
3
3
Actividades
Considera π = 3,14 en cada caso.
1. El radio de un cilindro mide 3,5 cm y su altura mide 10 cm, calcula su volumen.
2. Considera un cilindro cuya base es un círculo de 4 cm de radio y su altura mide 11 cm.
Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es su volumen?
b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se duplica?, ¿y si se triplica?
3. Considera un cono cuya base tiene 5 cm de radio y su altura mide 12 cm. Responde las
siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es su volumen?
b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su radio se duplica?, ¿y si se triplica?
4. Considera un cono cuya altura mide 24 cm y su generatriz mide 26 cm. Responde las
siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es su volumen?
b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se reduce a la mitad?, ¿y si se reduce al tercio?
5. El volumen de un cilindro es 240,21 cm 3 y el radio de su base mide 3 cm; ¿cuánto mide su altura?
Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.
6. El volumen de un cono es 1017,36 cm 3 y el área de su base es 254,34 cm 2 ; ¿cuánto mide
su altura?, ¿y el radio de su base? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.
Unidad 3
Geometría y medición 93

7. Calcula el área total y volumen de los siguientes cilindros y conos rectos (considera π = 3,14).
a) f)
2,5 cm
b) g)
c) h)
4 cm
d) i)
e) j)
Herramientas tecnológicas
Usando el programa Limix Geometric puedes representar gráficamente distintos cuerpos
geométricos y calcular su área y volumen. Para descargar este programa ingresa a:
www.limix.net. Luego, descarga Limix Geometric 1.2.16, haciendo clic sobre este link.
Sigue los siguientes pasos para verificar con el software que tus resultados obtenidos en el ítem 7
son correctos:
a) Después de abrir el programa, selecciona figura 3D ; aparecerá una lista de cuerpos
geométricos. Selecciona cilindro y cono, según corresponda.
b) Luego, debes ingresar los datos solicitados, como se muestra en el ejemplo .
c) Presiona Calcular y obtendrás los resultados respectivos.
d) Repite los pasos anteriores en una nueva aplicación cada vez, para verificar tus resultados.
94 Unidad 3
10 cm
2 cm
8,5 cm
7 cm
3,6 cm
7 cm
16,3 cm
15 cm
15 cm
7,6 cm
15 cm
7,3 cm
15 cm
15 cm
11,2 cm
9 cm
4,5 cm
39 cm

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. Considera π = 3,14 en todos los casos.
1. ¿Cuál es el área lateral del cilindro recto cuya base es un círculo de 3,5 m de radio y su altura
mide 12 m?
A. 340,69 m 2 B. 76,93 m 2 C. 461,58 m 2 D. 263,76 m 2
20 cm
12 cm
Unidad 3
2. Si en un cono recto la altura mide 4 cm y su generatriz mide 5 cm, ¿cuál es su volumen si su radio
se triplica?
A. 1017,36 cm 3 B. 37,68 cm 3 C. 339,12 cm 3 D. 942 cm 3
3. El volumen de un cono recto es 1004,8 cm 3 y su área basal es 200,96 cm 2 , ¿cuánto mide
su altura?
A. 15 cm B. 5 cm C. 1,7 cm D. 45 cm
4. La red dibujada es la de un cono recto. Calcula:
a) el área total.
b) el volumen.
5. En una empresa de conservas están haciendo una
revisión de sus envases para modificar sus dimensiones,
si fuese necesario. Los tipos de envases actuales se
muestran a continuación:
a) ¿Cuánto material más necesitan si la altura del envase tipo A aumenta al doble?
b) ¿Cuál es la capacidad del envase tipo B, si su radio se modifica a la mitad y su altura se triplica?
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Criterio Ítem Respuestas correctas
Calcular el área lateral de un cilindro recto. 1
Calcular el volumen de un cono recto. 2
Determinar la altura de un cono, dado el volumen y área basal. 3
Resolver problemas sobre el área y volumen del cilindro y cono. 4 y 5
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
8 cm
Tipo A
5 cm
10 cm
Tipo B
4 cm
Geometría y medición 95

Buscando estrategias
Sobre la base superior de un cilindro recto de 6 cm de radio de la base y 12 cm de
altura, se construye un cono circular recto cuya altura es el triple que el cilindro y el
radio es el mismo. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? (Considera π = 3,14).
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
Que el cono se encuentra en la base superior del cilindro. Ambos cuerpos tienen
el mismo radio y la altura del cono es el triple que la altura del cilindro.
• ¿Qué debes encontrar?
El volumen del cuerpo formado por el cilindro y el cono.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
Podemos calcular el volumen del cilindro y el del cono. Luego, sumamos ambos valores
obtenidos para obtener el volumen del cuerpo que se forma.
Resolver
• Calculamos los volúmenes de cada cuerpo redondo:
El volumen del cilindro es π • 6 2 • 12 = 3,14 • 36 • 12 = 1356,48 cm 3 .
El volumen del cono es = = 1356,48 cm3 .
Luego, sumamos los valores obtenidos: 1356,48 + 1356,48 = 2712,96 cm3 π • 6
.
2 • 36 3,14 • 36 • 36
3
3
Responder
• El volumen del cuerpo formado es 2712,96 cm 3 .
Revisar
• Para comprobar el resultado, puedes realizar la adición algebraicamente y, luego,
remplazar los datos correspondientes.
El volumen del cuerpo generado, considerando que la altura del cono (h co ) es el triple de
la altura del cilindro (h ci ), es decir, h co = 3 • h ci , entonces:
Remplazando, 2 • 3,14 • 36 • 12 = 2712,96 cm 3
96 Unidad 3
π • r 2 π • r
• h + =
ci 2 • h 3 • π • r co
3
2 • h + π • r ci 2 • hco 3
=
3 • π • r 2 • h + π • r
ci 2 • (3 • h )
ci
3
= = 2 • π • r 2 6 • π • r
• hci 2 • hci 3
12 cm
6 cm

Unidad 3
1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones, donde los radios basales
se mantienen en cada caso (considera π = 3,14).
a) Sobre cada base de un cilindro recto de 8 cm de radio de la base y 15 cm de altura, se
construye un cono recto, uno de altura 20 cm y el otro de altura el doble que el cilindro.
¿Cuál es el volumen del cuerpo formado?
b) Sobre la base de un cono recto de 6 cm de radio de la base y 10 cm de generatriz, se
construye un cono recto cuya altura es la mitad del otro cono.
¿Cuál es el volumen del cuerpo formado?
c) Sobre la base superior de un cilindro recto de 5 cm de radio de la base y 4 cm de altura,
se construye un cono recto cuya altura es el triple que el cilindro. ¿Cuál es el área total
del cono?
d) Dentro de un cubo de arista 6 cm, se construye una pirámide recta de base cuadrada la
cual coincide con una de las caras del cubo. ¿Cuál es el área total de la pirámide recta si su
altura es 6 cm?
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.
Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,
¿por qué?
a) ¿Cuál es el volumen del cuerpo redondo que se obtiene al rotar
un triángulo rectángulo de catetos 10 cm y 24 cm, alrededor
del vértice que se observa en la figura?
b) Si la arista del cubo mide 14 cm, ¿cuál es el volumen
del espacio limitado entre la pirámide recta y el cubo?
14 cm
10 cm
24 cm
Geometría y medición 97

Conexiones
Para finalizar
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.
Respetó las opiniones de los demás integrantes.
Cumplió con las tareas con las que se comprometió.
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
2. Comenten y respondan: para el próximo trabajo en equipo, ¿qué aspectos podrían mejorar?
98 Unidad 3
NACIONAL
Una técnica para obtener dibujos
Existe una técnica para dibujar objetos de forma sencilla y
rápida; esta técnica consiste en “envolver” el objeto con alguna
figura o cuerpo geométrico, la cual se denomina encaje.
En nuestro alrededor existen muchos objetos que
podemos encajar en cubos, cilindros, conos y esferas, o bien,
por combinaciones de ellas. En la imagen podemos observar
que el árbol de Navidad es, básicamente, la combinación de un
cilindro y un cono.
Utilizando esta técnica podemos aproximar la medida
que ocupa un cuerpo en el espacio, calculando el volumen de
el o los cuerpos asociados al objeto.
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.
Evaluamos nuestro trabajo
Fuente: www.purpuraplastika.org/libros/10.pdf (consultado en noviembre de 2009,
biblioteca on line Púrpura Plástica (PPK), libros para consulta).
1. Si el radio del cilindro que envuelve a la base del árbol navideño mide 20 cm y su altura mide
10 cm y, el radio del cono que envuelve al árbol mide 35 cm y su altura mide 1,5 m, ¿cuánto
mide aproximadamente el volumen del árbol de Navidad?
2. Escojan un objeto (por persona) de su entorno que se pueda encajar en un cilindro,
cono o cubo, o la combinación de estos. Dibújenlo y calculen su volumen aproximado.
3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la
solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.
4. ¿Cuál o cuáles cuerpos geométricos escogerían para dibujarse?, ¿por qué? Utilicen esta
técnica para calcular el volumen de cada uno.
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

Unidad 3
A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales
conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las
relaciones que hay entre los conceptos.
FIGURAS PLANAS
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
PERÍMETRO
MEDICIONES
• ARCO
• CUERDA
• SECANTE
• TANGENTE
Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.
1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
ÁREA
2. ¿Qué diferencias existen entre la circunferencia y el círculo?, ¿y qué semejanzas?
3. ¿Cuáles son los elementos de una circunferencia?, ¿qué características tienen?
4. ¿Qué relación tiene el número π con la circunferencia? Da 3 ejemplos.
5. ¿Cómo calculas la longitud de una circunferencia?, ¿qué otra forma conoces?
6. ¿Cómo calculas la el área del círculo?, ¿qué otra forma conoces?
7. Explica cómo calcular el área de un cono y un cilindro.
CUERPOS GEOMÉTRICOS
CILINDRO, CONO Y PIRÁMIDE
VOLUMEN
8. ¿Qué datos necesitas para calcular el volumen de un cono recto?, ¿y de un cilindro recto?
9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en
tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Geometría y medición 99
Síntesis

¿Qué aprendí?
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Considera π = 3,14, en todos los casos.
1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones
son correctas?
I. Toda recta secante a una circunferencia
determina una cuerda.
II. Toda cuerda determina dos arcos de igual
medida.
III. En una circunferencia, si el radio mide 6 m,
entonces, su diámetro mide 12 m.
A. Solo I C. I y III
B. Solo II D. I, II y III
2. El número π se define como:
A. la razón entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro.
B. la razón entre la longitud de una
circunferencia y su radio.
C. la razón entre el diámetro de una
circunferencia y su longitud.
D. la razón entre el radio de una
circunferencia y su diámetro.
3. Si la longitud de una circunferencia es 53,38 m,
entonces, su diámetro mide:
A. 8,5 m
B. 26,69 m
C. 6,28 m
D. 17 m
4. Los polígono regulares de la figura están
inscritos en la circunferencia de centro O.
La mejor aproximación para el área del
círculo es:
A. 45,4 cm 2
B. 50 cm 2
C. 46,8 cm 2
D. 52 cm 2
100 Unidad 3
4,2 cm
4 cm
O
3,6 cm
2,6 cm
5. Si BC = 7 cm y AC = 11 cm, entonces, el área
de la corona circular es:
A. 153,86 cm 2
B. 329,7 cm 2
C. 50,24 cm 2
D. 379,94 cm 2
6. En el rectángulo ABCD, AD = 5 cm, DC = 2 cm,
entonces, el área total del cilindro generado al
rotar el rectángulo respecto de AD es:
A. 10 cm 2
B. 87,92 cm 2
C. 75,36 cm 2
D. 157 cm 2
7. ¿Cuál es el volumen del cono generado al rotar
el triángulo rectángulo RST respecto de SR?
A. 12,56 m 3
B. 47,1 m 3
C. 37,68 m 3
D. 113,04 m 3
8. Si el radio del cilindro recto mide 10 cm y su
altura mide 24 cm, ¿cuánto mide el área total
del cono recto?
A. 1130,4 cm 2
B. 2135,2 cm 2
C. 816,4 cm 2
D. 62,8 cm 2
4 m
A B C
D C
A B
S
R
T
5 m

9. Laura necesita forrar un envase cilíndrico recto cuyo radio mide 6 cm y su altura
mide 21 cm. Si solo forrara su cara lateral, ¿cuánto papel necesitará?
10. Tres albañiles pintarán el exterior de un estanque de almacenamiento de agua
que tiene forma de cilindro, cuyas medidas son 20 m de diámetro y 15 m de altura.
a) ¿Cuál es el área que pintarán?
b) Si cobran $ 860 por m 2 , ¿cuánto cobrarán por el trabajo completo?
11. La base de una pirámide regular es un hexágono cuyo perímetro es 60 cm, la
apotema lateral mide 28 cm. Calcula el área de la base y el área total.
12. Si los radios de dos circunferencias están en la razón 1 : 3 y el radio menor mide
4 cm, responde:
a) ¿cuál es la longitud de cada circunferencia?
b) ¿cuál es el área de cada círculo?, ¿cuál es la razón entre sus áreas?
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
¿Qué logré?
1. Marca según tu apreciación.
Circunferencia y círculo como lugar geométrico.
Elementos de la circunferencia.
Número π y su relación con la circunferencia.
Longitud de la circunferencia.
Área del círculo.
Área del cilindro y cono.
Volumen del cilindro y cono.
2. Reflexiona y responde.
No lo
entendí
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 73 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.
Lo
entendí
Unidad 3
Puedo
explicarlo
Geometría y medición 101

102 Unidad 4
4Unidad
Movimientos
en el plano

En esta Unidad podrás...
• Efectuar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas
por medio de construcciones con regla y compás.
• Realizar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas
por medio de un procesador geométrico.
• Reconocer las invariantes que se generan al realizar transformaciones isométricas.
• Construir teselaciones regulares y semirregulares.
• Reconocer y argumentar respecto de las transformaciones isométricas utilizadas
en teselaciones regulares y semirregulares.
Conversemos de...
Symmetry drawing E70, Maurits Cornelis Escher.
The M.C. Escher Company.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972), artista holandés, es uno de los artistas
gráficos más grandes del siglo XX. Sus trabajos han sido del interés de muchos
matemáticos, porque utiliza patrones de figuras que cubren una superficie
plana sin superponer las figuras ni dejar espacios libres entre ellas.
Escher trabaja principalmente con figuras obtenidas a partir de cuadriláteros
y triángulos, las que modifica para crear un patrón que, al repetirlo, encaja con
los demás, embaldosando una superficie plana.
La imagen corresponde a una de las obras de Escher. Observa y responde.
1. ¿Observas alguna regularidad o patrón?, ¿cuál?
2. ¿Qué figuras observas en la imagen?, ¿se repite alguna?, ¿cuál? Comenta con tus
compañeros y compañeras de qué manera se va repitiendo la imagen.
3. ¿Te imaginas esta imagen girando alrededor de un punto?, ¿de cuál?
Movimientos en el plano 103

¿Cuánto sabes?
104 Unidad 4
1. Calcula las medidas de los ángulos x e y. En cada caso L 1 // L 2 .
a) b)
x
y
72º
L 1
L 2
140º
x
2. Completa la siguiente tabla. Utiliza regla y transportador para efectuar las
mediciones de lados y ángulos, respectivamente.
R
γ
Figura Nombre
α
M
J
δ γ
α β
G
H
E ε
ω
F
D
δ
α
A
β
γ C
β
B
3. Sigue las siguientes instrucciones. Usa regla y compás para realizar
las construcciones en tu cuaderno.
a) Copia los segmentos y el ángulo que aparecen a continuación
para construir un triángulo.
b) Construye la circunferencia circunscrita al triángulo.
α
N
I
• ¿Cómo lo hiciste?, ¿cuál es el centro de la circunferencia inscrita
al triángulo?
a
y
L 1
Medida
de ángulos
β
L 2
Medida
de lados

4. Copia la siguiente recta L en tu cuaderno y construye usando regla y compás:
a) una recta paralela a la recta L. b) una recta perpendicular a la recta L.
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿Qué debes recordar?
• Dos rectas son paralelas, cuando no se intersecan en ningún punto o son coincidentes.
• Dos rectas son secantes, cuando se cortan en un único punto.
• Dos rectas son perpendiculares, cuando al intersecarse forman 4 ángulos rectos.
• Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados,
•
que tienen un origen común, llamado vértice.
Un ángulo como el de la figura se puede nombrar utilizando la
A
notación BOA, siendo O el vértice del ángulo. La medida de O
α
este ángulo es α.
B
Unidad 4
• Los ángulos se pueden clasificar según sus medidas en: agudo (mide más de 0º y menos
de 90º), recto (mide 90º), obtuso (mide más de 90º y menos de 180º), extendido (mide 180º)
y completo (mide 360º).
• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90º, y suplementarios
si la suma de sus medidas es igual a 180º.
• Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos
consecutivos no alineados, llamados lados.
D C
γ´ γ
δ δ´
α´ α
β β´
A B
En el polígono ABCD:
α, β,δ, y γ son ángulos interiores.
α´, β´,δ´, y γ´ son ángulos exteriores.
• Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados en: triángulos (3 lados),
cuadriláteros (4 lados), pentágonos (5 lados), hexágonos (6 lados), etc.
• Si un polígono tiene todos sus lados de igual medida y todos sus ángulos son congruentes,
se llama polígono regular.
• Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores que 180º.
• La suma de todos los ángulos interiores de un polígono de n lados se puede calcular con la
siguiente fórmula: (n – 2) • 180º.
• La suma de todos los ángulos exteriores de un polígono convexo es 360º.
L
Movimientos en el plano 105

Glosario
isometría: La palabra isometría
es de origen griego y significa
“igual medida” (iso = igual
o mismo, metría = medir).
106 Unidad 4
Transformaciones de figuras y objetos
A partir de la figura 1 y 3 se obtuvieron las figuras 2 y 4,
respectivamente. Obsérvalas.
Figura 1 Figura 2
Para discutir
Figura 3
Figura 4
• ¿Qué cambió en la figura 1 para obtener la figura 2?, ¿cómo
lo supiste?
• ¿Qué cambió en la figura 3 para obtener la figura 4?, ¿cómo
lo supiste?
• ¿Podrías decir que los cambios corresponden a transformaciones
en cada caso?, ¿por qué?, ¿de qué tipo?
• ¿Qué sucede con las medidas de los lados y ángulos en cada caso?
Comúnmente utilizamos la palabra transformación para referirnos
a algún cambio, ya sea en el tamaño, en la forma o en la posición
de un objeto o un cuerpo. En matemática, hablamos de una
transformación cuando un conjunto de puntos se ha movido
siguiendo una regla o condición dada.
Como puedes observar, para obtener la figura 2 a partir de la figura
1, fue necesario aplicar una transformación. En este caso, cambió su
posición, pero no su tamaño ni su forma, pues las medidas de sus
lados y ángulos son iguales (congruentes). Esta transformación se
denomina reflexión y corresponde a una transformación isométrica
porque los puntos de la figura 1 se han movido de manera tal que
se conservan todas sus medidas.
Observa que también se aplicó una transformación a la figura 3
para obtener la figura 4; sin embargo, no corresponde a una
transformación isométrica, porque cambia el tamaño de la figura,
aunque no su forma. En este caso, las medidas de los lados de la
figura 4 son el doble de los de la figura 3 y las medidas de los
ángulos correspondientes son las mismas.

No olvides que...
• Cuando se aplica una transformación a una figura u objeto,
modificando su posición, sin alterar su tamaño ni su forma,
se habla de que se le ha aplicado una transformación isométrica.
• Al aplicar una transformación isométrica a una figura, se
obtiene otra figura, que se denomina imagen de la figura
inicial. En general, usaremos la misma letra con un apóstrofo
para señalar el vértice obtenido luego de una transformación.
Por ejemplo: El Δ A´B´C´ es la imagen del Δ ABC
Actividades
1. Observa las imágenes de cada recuadro y, luego, responde.
• ¿Podrías decir que corresponden a transformaciones isométricas?, ¿por qué?
2. En cada caso, determina si las siguientes figuras pueden obtenerse a partir de la aplicación de
una transformación isométrica. Justifica.
a) c)
b) d)
Figura inicial Imagen
A
A´
C
Unidad 4
C´
B
B´
A y A´; B y B´; C y C´ son vértices
correspondientes entre sí.
Movimientos en el plano 107

D
A
Ayuda
Para realizar la construcción
geométrica de una recta
paralela a una recta L que
pasa por un punto D, exterior
a L, podemos dibujar una
circunferencia con centro en
cualquier punto de la recta
L que contenga a D.
Luego, llamamos F y G a los
puntos de intersección entre
L y la circunferencia. Con el
compás, medimos el trazo FD
y, luego, dibujamos un arco
con centro en G y radio FD
que interseque a la
circunferencia, determinando
el punto J. Finalmente, se une
D con J, obteniendo la recta
DJ, paralela a la recta L.
Figura 1
D
A
E
C
B
108 Unidad 4
C
B
D´
A´
F
C´
B´
Traslaciones de figuras planas
Observa el cuadrilátero A´B´C´D´ que se obtuvo al aplicar una
transformación isométrica al cuadrilátero ABCD.
Para discutir
• ¿Cómo describirías la transformación isométrica que se le aplicó?,
¿qué cambió?, ¿y qué se mantuvo?
• ¿Cuánto miden los lados y ángulos correspondientes en
las figuras?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?
• Si unes los vértices correspondientes (A con A´, B con B´, etc.)
con una línea y, luego, las mides, ¿cómo son entre sí?, ¿qué otra
característica observas?
• Si tuvieras solo la figura inicial y la flecha que representa el
movimiento de A hasta A´, ¿cómo podrías obtener la imagen
usando regla y compás?
En la situación presentada, cada uno de los puntos de la figura
inicial (ABCD) se desplazó en la misma magnitud, dirección
y sentido para obtener su imagen (A´B´C´D´), además, al medir
los lados y ángulos correspondientes de ambas figuras, podrás
constatar que dichas medidas se mantienen; esto ocurre cuando
la transformación isométrica que se aplica a la figura inicial
corresponde a una traslación.
Para representar gráficamente el movimiento realizado,
podemos utilizar una flecha, que se llama vector de traslación.
En las figuras presentadas, al unir sus vértices correspondientes,
obtenemos los vectores de traslación que miden lo mismo,
tienen el mismo sentido y son paralelos entre sí.
Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás, la
traslación de una figura dada conociendo el vector de traslación (EF → ).
1º Realizamos la construcción geométrica de rectas paralelas al
vector dado que pasen por cada vértice (A, B, C y D). En este
caso, tenemos que construir 4 rectas paralelas al vector EF,
como se observa en la figura 1.

2º Copiamos la medida del vector en cada recta construida,
a partir del vértice en el sentido que indica el vector. De este
modo, obtenemos los vértices de la imagen, como se observa
en la figura 2.
3º Unimos los vértices de la imagen, determinando el cuadrilátero
trasladado, según el vector dado, como se observa en la figura 3.
No olvides que...
Actividades
1. Construye un triángulo isósceles en tu cuaderno y dibuja un vector con la magnitud, dirección
y sentido que tú quieras. Luego, usando regla y compás, trasládalo según el vector.
2. Usando regla y compás, traslada el ΔABC
según el vector DT y, luego, a la imagen
obtenida, trasládala según el vector FK.
Unidad 4
Una traslación es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una figura
en una misma magnitud, dirección y sentido.
3. ¿Podrías trasladar el ΔABC del ítem anterior, según un solo vector, obteniendo la segunda imagen?,
¿cuál es el vector?, ¿cómo lo construirías manteniendo la magnitud, dirección y sentido?
Construye la traslación en tu cuaderno, usando regla y compás.
D
A
B
T
C
Figura 2
D
A
D
A
E
Figura 3
E
B
C
B
C
F
D´
A´
D´
A´
C´
B´
Movimientos en el plano 109
F
F
K
C´
B´

Ayuda
Recuerda que, la simetral o
mediatriz de un segmento es
una recta perpendicular al
segmento que pasa por el
punto medio del segmento.
Todos los puntos de una
simetral están a igual distancia
de los extremos del segmento.
Figura 1
A
C
B
110 Unidad 4
L
E D
P
Q
Reflexiones de figuras planas
Observa la figura inicial y su
imagen obtenida al aplicarle
una transformación isométrica.
Para discutir
L
A A´
C
E D D´ E´
B B´
• ¿Qué ocurriría con las figuras si doblaras la hoja por la recta L?
• Si se le aplicó una transformación isométrica a la figura inicial,
¿qué se mantiene?, ¿y qué cambia?
• Une con una línea recta los puntos correspondientes (A con A´,
B con B´, etc.). ¿Cómo son estas líneas en relación a la recta L?
• Mide la distancia entre el punto A y la recta y, luego, la distancia
entre el punto A´ y la recta. ¿Cómo son entre sí?
• Haz lo mismo con las medidas de los demás puntos.
¿Se cumple siempre?
En la situación anterior, el pentágono A´B´C´D´E´ es la imagen del
pentágono ABCDE. Si dobláramos la hoja por la recta L, los vértices
y lados de la figura inicial coinciden con los de la imagen. Además,
al unir cada par de puntos correspondientes, podrás verificar que
la recta L es perpendicular a estos trazos (AA´ ⊥ L, BB´ ⊥ L, etc.)
y que los vértices correspondientes se ubican a igual distancia de la
recta L. Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicada
se llama reflexión.
En esta transformación isométrica, todos los puntos se reflejan
respecto de una línea recta, llamada eje de simetría, ubicándose
a la misma distancia del eje, pero al lado contrario. En el ejemplo
anterior, el eje de simetría es la recta L.
Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás la
reflexión de una figura dada respecto de un eje de simetría (recta L).
1º Dibujamos un arco con centro en uno de los vértices (D) de la
figura inicial que interseque al eje de simetría en dos puntos,
que denominaremos P y Q, como se observa en la figura 1.
C´

2º Con centro en P y el mismo radio anterior dibujamos una
circunferencia y con centro en Q dibujamos otra circunferencia
con el mismo radio. El vértice D y su imagen D´corresponden a la
intersección de las circunferencias con centros P y Q; como se
observa en la figura 2.
La recta DD´ corresponde a la simetral del trazo PQ.
3º Finalmente, realizamos la misma construcción para cada
vértice de la figura inicial; de este modo, obtenemos la
imagen de cada vértice, los cuales unimos determinando
la imagen, como se observa en la figura 3.
No olvides que...
Actividades
Unidad 4
Una reflexión es una transformación isométrica en la cual a cada punto de una figura se le asocia
otro punto, llamado imagen, de modo que:
• El punto y su imagen están a igual distancia del eje de simetría.
• El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría.
1. Construye un cuadrilátero en tu cuaderno y dibuja una recta que no interseque al cuadrilátero.
Luego, usando regla y compás, aplícale una reflexión con respecto a la recta.
2. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo
isósceles MNR (de base MN) respecto de la recta MN.
3. ¿Qué tipo de cuadrilátero se formó al reflejar el Δ MNR del ítem anterior respecto de la
recta MN?, ¿por qué?, ¿qué otro triángulo podrías reflejar para obtener el cuadrilátero?
A
C
B
Figura 2
L
P
E D D´
A
L
Figura 3
A´
C
E D D´ E´
B B´
M
R
N
Q
C´
Movimientos en el plano 111

Ayuda
Recuerda que, para copiar un
ángulo AOB dado, copiamos
el trazo OB sobre una recta L.
Con centro en O, dibujar una
circunferencia con radio OA.
Luego, con centro en B,
dibujar una circunferencia con
radio AB. La intersección de
ambas circunferencias
determina el punto A.
Finalmente, unir O con A para
obtener el ángulo requerido.
Figura 1
A
B
Figura 2
A
B
112 Unidad 4
C
C
C´
O
β
O
I
I
β
β
J
J
K
K
Rotaciones de figuras planas
A la siguiente pieza de un rompecabezas, se le aplicó la misma
transformación isométrica 2 veces. Observa lo que se obtuvo
cada vez.
Para discutir
• ¿Cómo describirías cada movimiento de la pieza?, ¿por qué?
• Según los movimientos realizados por la figura, ¿cuántas veces
debes aplicar la misma transformación isométrica para que quede
como la figura del principio?, ¿cómo lo supiste?
• ¿Existe algún punto de esta pieza que quede siempre fijo al realizar
los movimientos anteriores?, ¿cuál?
Si observas los movimientos de la pieza de rompecabezas de la
situación anterior, en el siguiente movimiento, la pieza volverá a su
posición inicial, siempre y cuando el movimiento realizado sea igual
a los anteriores. En esta transformación, todos los puntos de la
figura se mueven en torno a un punto fijo, llamado centro de
rotación, en un ángulo determinado, que es el ángulo de rotación.
Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicada se
llama rotación.
El centro de rotación puede estar dentro o fuera de la figura.
El ángulo de rotación puede tener sentido positivo (en sentido
contrario a los punteros del reloj) o negativo (en el sentido de los
punteros del reloj).
En el ejemplo anterior, el centro de rotación está dentro de la
figura y el ángulo de rotación es de 90º cada vez que rota (en
sentido positivo).
Observa ahora cómo realizar, con regla y compás, la rotación
del Δ ABC respecto del centro O y en un ángulo de rotación β = 75º
(en sentido positivo), como se observa en la figura 1
1º Dibujamos una circunferencia con centro O y radio OC
y copiamos el ángulo β (o usamos transportador) en sentido
positivo, respecto al radio OC y con vértice O. Marcar la imagen
C´ en la circunferencia, como se observa en la figura 2.

2º Repetimos el mismo procedimiento para los demás vértices y,
luego, unimos los puntos, obteniendo la imagen del triángulo,
como se observa en la figura 3.
No olvides que...
Una rotación es una transformación isométrica, en la cual todos los puntos se mueven
respecto a un punto fijo llamado centro de rotación, en un determinado ángulo, llamado
ángulo de rotación.
Actividades
1. Construye un triángulo escaleno en tu cuaderno. Luego, usando regla y compás, rótalo
respecto de uno de sus vértices en un ángulo que tú escojas.
2. Usando regla y compás (si es
necesario transportador),
aplícale una rotación al
ΔPQR en torno al punto O
en el ángulo α = 70º y,
luego, a la imagen obtenida
aplícale otra rotación
respecto del mismo punto O
en el ángulo β = 110º.
Q
Unidad 4
3. En el ítem anterior, ¿puedes obtener la imagen final mediante una sola rotación de la figura inicial
respecto del punto O?, ¿cómo? Realiza la rotación en tu cuaderno utilizando regla, compás
y transportador.
P
R
O
E
α
A
F
B
D
A’
B
β
C
C’
B’
C
O
A
Figura 3
J
Movimientos en el plano 113
I
β
K

Herramientas tecnológicas
Traslaciones, reflexiones y rotaciones usando software geométrico
Usando el programa Geogebra puedes construir transformaciones isométricas, siguiendo los
pasos que se dan a continuación. Para descargar este programa ingresa a: www.geogebra.at y
en el menú de la izquierda, selecciona Webstart-TeleInicio y, luego, el botón Webstart.
Traslación de un triángulo
1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho y
selecciona Cuadrícula.
2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un
triángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vértice
del primer clic del triángulo.
3º Selecciona la herramienta Vector entre Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic en
distintos puntos para dibujar el vector de traslación, con la magnitud y sentido que quieras.
4º Selecciona la herramienta Traslada objeto por un Vector . Haz clic sobre el triángulo y
luego, sobre el vector; aparecerá el triángulo trasladado.
5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada uno de los triángulos.
6º Selecciona la herramienta Área . Haz clic sobre cada uno de los triángulos.
Luego de realizar los pasos anteriores, responde:
a) ¿Cuánto mide el perímetro y área de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?
b) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier traslación de figuras?, ¿cómo lo supiste?
c) En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea un triángulo), realiza
los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a y b.
Reflexión de un cuadrilátero
1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente
el botón derecho y selecciona Cuadrícula.
2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja
un cuadrilátero haciendo cuatro clic en distintos puntos, el quinto clic lo debes hacer sobre el
vértice del primer clic del cuadrilátero.
3º Selecciona la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic
en distintos puntos para dibujar el eje de simetría.
4º Selecciona la herramienta Refleja objeto en recta . Haz clic sobre el cuadrilátero y,
luego, sobre la recta, aparecerá la imagen.
5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada lado de la figura
inicial y, luego, sobre cada lado de la imagen; aparecerán las medidas de todos los lados.
114 Unidad 4

Luego de realizar los pasos anteriores, responde:
Unidad 4
a) ¿Cuánto mide cada lado de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?
b) Calcula el perímetro y área de ambas figuras, usando las herramientas del software.
c) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier polígono que apliques una reflexión?, ¿cómo lo supiste?
d) En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea cuadrilátero), realiza
los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a, b y c.
Rotación de un triángulo
1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el
botón derecho y seleccionar Cuadrícula.
2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un
triángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vértice
del primer clic del triángulo.
3º Selecciona la herramienta Nuevo Punto . Haz clic en cualquier parte de la cuadrícula
para dibujar el centro de rotación.
4º Selecciona la herramienta Rota Objeto en torno a un Punto,
el Ángulo indicado . Haz clic sobre el triángulo y,
luego, sobre el centro de rotación. Aparecerá una tabla
en la cual debes ingresar el ángulo de rotación, puede
ser 70º (o el que tú quieras). Para escribir el símbolo º,
selecciónalo en las opciones que aparecen en la tabla que se muestra en la figura. Una vez
ingresado el ángulo de rotación, presiona OK; aparecerá la imagen rotada en sentido positivo.
5º Selecciona la herramienta Ángulo . Haz clic sobre cada vértice
correspondiente al ángulo interior que deseas medir del triángulo
de la figura inicial, en sentido antihorario; aparecerán las medidas
de los ángulos interiores del triángulo como se muestra en la
figura. Luego, repite el mismo procedimiento para medir los
ángulos interiores de la imagen.
Luego de realizar los pasos anteriores, responde:
a) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?
b) Calcula el perímetro, área y medidas de cada lado de ambas figuras, usando las herramientas
del software, ¿qué observas?
c) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier transformación isométrica?, ¿por qué?
C
b
A
B
a
α = 36.51º
γ = 57.95º
c
β = 85.54º
Movimientos en el plano 115

En equipo
En esta actividad deberán usar el software Geogebra. Formen grupos de tres integrantes y sigan
las instrucciones.
1. Presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botón derecho
y seleccionen Cuadrícula.
2. En las herramientas del software, seleccionen Polígono . Dibujen un triángulo escaleno
obtusángulo haciendo tres clic en distintos puntos, luego, hagan un clic sobre el vértice del primer
clic del triángulo.
3. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, hagan dos clic
en distintos puntos para dibujar el eje de simetría.
4. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta . Hagan clic sobre el triángulo y, luego,
sobre la recta; aparecerá la imagen.
5. Seleccionen la herramienta Recta Paralela . En la cuadrícula, hacer un clic por donde deseen
que pase la recta paralela al eje de simetría y, luego, hagan clic sobre dicho eje; aparecerá la recta
paralela al eje de simetría.
6. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenida
anteriormente según la segunda recta dibujada; aparecerá la imagen de la primera imagen.
7. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica es
equivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquen
sus respuestas utilizando el software.
8. En una hoja nueva, presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botón
derecho y seleccionen Cuadrícula.
9. En las herramientas del software, seleccionen Polígono . Luego, dibujen el polígono que
ustedes quieran.
10. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y hagan una recta vertical.
11. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen el polígono respecto de la recta.
12. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y hagan una recta horizontal,
perpendicular a la otra recta como se observa en la figura 1.
13. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenida respecto
de la recta horizontal.
14. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica
es equivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquen
sus respuestas utilizando el software.
116 Unidad 4
C´
b´
G
B´
c´
D´
H
d´
a´
A´
A
F
a
d
D
c
B
b
C
Figura 1

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.
1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una traslación según un determinado vector?
A. B. C. D.
2. ¿En cuál de los siguientes casos se representa mejor una reflexión según la recta dada?
A. B. C. D.
Unidad 54
3. Al aplicar una rotación a una figura con el centro de rotación en uno de los vértices de ella, siempre
se cumple que:
A. un punto de la figura queda fijo.
B. ningún punto de la figura queda fijo.
C. todos los puntos de la figura cambian de posición.
D. los vértices de la figura no cambian de posición.
4. Construye en tu cuaderno un triángulo (ΔMNT ), además, dibuja un vector
(DE → ) y una recta (L), como se observa en la figura. Luego, usando regla y
compás, aplica una traslación al triángulo, según el vector. A la imagen
obtenida, aplícale una reflexión según la recta. A esta última imagen, rotar con
centro de rotación en uno de sus vértices y en un ángulo de rotación de 100º.
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Criterio Ítem Respuestas correctas
Identificar una traslación según un vector. 1
Identificar una reflexión según una recta dada. 2
Analizar expresiones asociadas a la rotación de una figura. 3
Realizar transformaciones isométricas usando regla y compás. 4
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
M
Movimientos en el plano 117
T
N E
D
L

Glosario
mosaico: corresponde a una obra
realizada con fracciones diversas
empleando materiales como rocas,
vidrios o madera. Diversas culturas
han decorado paredes o han
pavimentado pisos incursionando
en este arte.
118 Unidad 4
Teselaciones
Observa el siguiente diseño.
Para discutir
• ¿Qué características observas en el diseño anterior?, ¿qué tipo
de polígono se repite?, ¿es posible realizar un diseño similar con
cuadrados?, ¿y con círculos?
• ¿Puedes cubrir una superficie plana con otros polígonos?,
¿cuáles?, ¿cómo lo harías?, ¿qué condiciones se deben cumplir?
• ¿Es posible que queden espacios al cubrir una superficie plana
muy grande con el diseño anterior?, ¿por qué?
• ¿Se utilizaron transformaciones isométricas para realizar el
diseño anterior?, ¿cuáles?
El polígono que se repite en el diseño anterior es un triángulo
equilátero, el cual puede cubrir o pavimentar una superficie plana
de modo que no queden espacios y no se sobrepongan las figuras.
Esta regularidad de las figuras se llama teselación, técnica utilizada
por diversas culturas para pavimentar o formar un mosaico.
Las teselaciones se construyen realizando traslaciones, reflexiones
o rotaciones sobre una figura inicial. En el diseño anterior, para cubrir
la superficie, se pueden aplicar sucesivas traslaciones, según el mismo
vector, como se observa a continuación:
Figura inicial
Luego, a cada triángulo obtenido se puede reflejar con respecto al
lado de la base, es decir:
Los triángulos obtenidos se pueden trasladar con vectores de igual
magnitud, y sentido contrario. De este modo, la imagen de cada
triángulo, será la pintada del mismo color, como se observa:
Aplicando estas transformaciones se obtiene el diseño inicial.

Así, se deben seguir aplicando transformaciones isométricas para
cubrir completamente una superficie plana.
Si observas la teselación anterior, los ángulos que concurren a un
vértice suman 360º, pues concurren 6 ángulos que miden
60º cada uno.
No olvides que...
• Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta
completamente una superficie plana y que cumple con dos requisitos: que no queden
espacios y que no se sobrepongan o traslapen las figuras.
Unidad 4
• Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una o varias figuras iniciales.
• Para construir una teselación, se debe considerar que la suma de los ángulos de las figuras
que concurren a un vértice es 360º.
Actividades
1. Señala si los siguientes diseños pueden ser parte de una teselación. Explica tu decisión.
a) b) c) d)
2. Indica con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano. Justifica tu respuesta.
a) b) c) d)
3. Construye teselaciones en tu cuaderno, a partir de las figuras seleccionadas del ítem anterior.
Indica las transformaciones isométricas que utilizaste para teselar.
Movimientos en el plano 119

Ayuda
Recuerda que un polígono
regular tiene todos sus lados
de igual medida y todos sus
ángulos son congruentes.
Cada ángulo interior de un
polígono regular de n lados
está dado por:
(n – 2) • 180
n
No olvides que...
120 Unidad 4
Teselaciones regulares y semirregulares
Observa las siguientes teselaciones.
Para discutir
• ¿Qué diferencias observas en cada teselación?, ¿qué semejanzas?
• ¿Qué polígonos se utilizaron para construir cada teselación?,
¿son polígonos regulares?
• ¿Con qué polígono regular es posible construir teselaciones?,
¿cómo lo supiste?
• ¿Es posible construir teselaciones combinando otros polígonos
regulares?, ¿cuáles?
En las teselaciones anteriores puedes observar que ambas están
construidas con polígonos regulares. La primera está construida
usando solo un polígono regular (hexágono), por lo que se llama
teselación regular. La segunda, en cambio, se construyó usando
combinaciones de polígonos regulares (hexágono y triángulo
equilátero), por lo que se llama teselación semirregular.
En una teselación, la suma de los ángulos que concurren a un
vértice es 360º. En las teselaciones anteriores, podemos verificarlo:
120º
120º 120º
120º
60º
120º 60º
• Una teselación es regular cuando se construye usando solo un polígono regular.
• Una teselación es semirregular cuando se construye usando combinaciones de polígonos
regulares. Llamaremos base a la combinación de polígonos que generan dicha teselación.

Actividades
1. Si las bases en las teselaciones de la página anterior, son las que están pintadas, indica las
transformaciones isométricas involucradas en cada una de ellas.
a) b)
Unidad 4
2. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un cuadrado y, a partir de esta figura, construye
una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas.
3. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 3 cm por lado y, a partir de
esta figura, construye una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas.
4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular para cada caso y,
luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con cada combinación
de polígonos regulares. Indica las transformaciones isométricas involucradas.
a) b)
5. Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Es posible construir teselaciones con pentágonos regulares?, ¿y con heptágonos?,
¿por qué?
b) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con pentágonos regulares y triángulos
equiláteros?, ¿cómo?
c) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con dodecágonos regulares y triángulos
equiláteros?, ¿cómo?
Movimientos en el plano 121

En equipo
En esta actividad deberán utilizar un trozo de cartón piedra de 40 cm por 30 cm, pegamento, tijeras,
papeles de colores, regla y compás. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones.
1. Algunas teselaciones se pueden obtener realizando algunas transformaciones sobre una
figura. Observa.
2. Escojan alguna de las teselaciones anteriores o construyan otra usando la misma técnica
(para triángulo equilátero o cuadrado), para teselar sobre el cartón utilizando los papeles
de colores.
3. Identifiquen y describan las transformaciones isométricas involucradas en su teselación.
4. Expongan al resto del curso el trabajo realizado y expliquen acerca de las transformaciones
isométricas utilizadas.
Herramientas tecnológicas
M. C. Escher es un artista clave en el tema de las teselaciones. Legó gran cantidad de obras de
arte en las cuales se observa la aplicación de teselaciones.
En la página que se sugiere a continuación, podrás observar algunas de las obras de este artista:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/escher.htm
Usando la página web anterior, sigue las instrucciones y responde las preguntas.
a) Selecciona una de las teselaciones de Escher, haciendo un clic en el número correspondiente.
b) Mueve el deslizador hacia abajo. ¿A partir de qué polígono se genera la teselación?
c) ¿Qué transformaciones se aplicaron al polígono para obtener la figura de la teselación?
d) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan en la teselación?
e) Selecciona otra teselación, repite los pasos anteriores y responde las preguntas.
122 Unidad 4
cuadrado rotación de semicircunferencia teselación
triángulo equilátero rotación de arco teselación

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.
1. Se puede teselar el plano combinando:
A. pentágonos regulares y cuadrados.
B. octágonos regulares y cuadrados.
C. hexágonos y pentágonos regulares.
D. Todas las anteriores.
2. ¿Qué polígono no tesela el plano?
A. Cuadrado. B. Rectángulo. C. Pentágono. D. Hexágono regular.
Unidad 4
3. Identifica con cuál o cuáles transformaciones isométricas se realizaron las siguientes teselaciones.
a) b)
4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla
y compás construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones
isométricas involucradas.
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Criterio Ítem Respuestas correctas
Reconocer con qué polígonos se pueden construir teselaciones
semirregulares y regulares.
1 y 2
Identificar las transformaciones isométricas en una teselación. 3
Construir una teselación semirregular y argumentar acerca de las
transformaciones isométricas involucradas.
4
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
Movimientos en el plano 123

Buscando estrategias
Un grupo de amigos y amigas organizó un juego,
que consiste en partir desde un lugar y llegar a otro,
pasando a buscar agua al río. Gana la persona que
escoge el camino de menor longitud.
Si llamaron punto A al lugar inicial, punto B al lugar
de llegada y recta L al río, ¿qué estrategia permite
ganar el juego?, ¿por qué?
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
Que cada jugador estará ubicado en un punto, denominado punto A y debe llegar a otro
punto denominado B, pasando a buscar agua a un río, denominado recta L.
• ¿Qué debes encontrar?
El camino de menor longitud justificando la estrategia empleada.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
Para resolver el problema aplicaremos una reflexión y, luego, justificaremos la estrategia
empleada con la desigualdad triangular.
Resolver
• Debemos encontrar un punto C en el río, de
manera que la distancia desde A hasta C y, luego,
desde C hasta B, sea la mínima. Para ello,
reflejamos el punto A en la recta L, determinando
A´. Unimos con una recta A´ con B. El trazo A´ B
corta a la recta L en C. De este modo, el camino
desde A hasta C y, luego, desde C hasta B, es el
más corto.
Para justificar la estrategia empleada, consideremos que el trazo A´ C es el reflejo del
trazo AC, entonces dichos trazos (x) tienen igual medida.
Consideremos cualquier otro camino que vaya de
A a B y que recoja agua en un punto D del río.
Por la desigualdad triangular, sabemos que la suma
de las longitudes de dos lados de un triángulo es
siempre mayor que la longitud del tercer lado,
además, A´B = x + y, y A´D = AD = d. Por lo tanto:
x + y < d + e.
Finalmente, podemos concluir que el punto C determina el menor camino.
124 Unidad 4
A
A´
A
A´
A
C 1
x
x
C 2
B
C L
C
d
y
D
B
e
B
L
L

Responder
• Al aplicar una reflexión al punto A, según la recta L, determinamos el punto A´.
Luego, unimos A´ con B, la intersección entre el segmento A´B con la recta L es C,
que corresponde al punto del río que determina el menor camino.
Unidad 4
Revisar
• Para comprobar que el punto C determina el menor camino marcamos distintos puntos en
la recta L y, luego, medimos la distancia desde A hasta cada punto y desde el punto
(incluido C) hasta B. De este modo verificamos que el punto C determina el menor camino.
1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.
a) Luis, Marcela y Paula están jugando en el gimnasio de su colegio, el
cual tiene forma rectangular. El juego consiste en partir desde un
punto del gimnasio, tocar una de sus paredes, llegar a otro punto,
E
tocar nuevamente la pared y, finalmente, llegar a otro punto del
gimnasio. Gana quien escoge el camino más corto; para ello,
Paula es la que determina quién ganó, midiendo con una huincha
partida F
el camino de cada competidor. ¿Cuál es la estrategia que permite ganar el juego?
Justifica tu respuesta.
b) El billar es un juego que se practica en una mesa, generalmente
rectangular, rodeada de bandas. El juego se basa en choques
de bolas entre sí y con las bandas, impulsadas con un taco.
Camilo y Loreto, están jugando billar. Al poco tiempo de jugar,
las bolas A y B quedan en la ubicación que se observa en la figura.
Si Loreto está planeando golpear la bola A para dar a la bola B después de tocar en dos
bandas, ¿qué recorrido tendrá que hacer la bola A? Justifica tu respuesta.
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.
Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?,
¿por qué?
El Tetris es un video juego inventado en 1984, en el cual se deben aplicar
repetidas veces transformaciones isométricas a 4 figuras diferentes para
hacerlas encajar. Considerando la jugada que aparece a la derecha,
¿qué transformaciones isométricas debes realizar para hacer encajar
correctamente la figura 1 en A?, ¿y para encajar la figura 2 en B?
Puedes jugar Tetris online en: www.juegostetris.com/juegos/tetris-ii/
A
2
A
B
G
llegada
Movimientos en el plano 125
1
B

Conexiones
Para finalizar
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.
Respetó las opiniones de los demás integrantes.
Cumplió con las tareas con las que se comprometió.
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?
126 Unidad 4
NACIONAL
Museos de medianoche
El viernes 23 de enero de 2009 se realizó la 19ª versión de
la iniciativa que reúne a varios museos y centros culturales de la
capital, que abrieron de 18:00 a 24:00 horas.
Algunos museos y centros culturales que participaron fueron:
el Museo de Artes Visuales (MAVI), el Museo Arqueológico de
Santiago (MAS), el Museo de Arte Contemporáneo (MAC), el
Museo de la Solidaridad Salvador Allende, el Centro de Extensión
de la Universidad Católica, el Centro Cultural Palacio de la
Moneda (CCPLM), la sede de la Sociedad Nacional de Bellas
Artes, que es el palacio La Alhambra, entre otros.
El palacio La Alhambra fue encargado en 1860 por Francisco Ignacio Ossa Mercado al
arquitecto Manuel Aldunate Avaria, quien viajó a España a tomar apuntes para realizar la obra.
En 1940 el palacio fue donado a la Sociedad Nacional de Bellas Artes por Julio Garrido Falcón.
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.
Evaluamos nuestro trabajo
Museo Nacional de Bellas Artes,
Santiago.
Fuentes: www.portaldearte.cl/agenda/actividades/2009/19_version.html
www.snba.cl/paginas/palacio.htm, consultado en febrero de 2010.
1. Busquen fotografías del palacio La Alhambra de Santiago u otro edificio de arquitectura
morisca, como el casino Español de Iquique.
2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser
la solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.
a) ¿Qué caracteriza a estos diseños?, ¿qué tipo de transformaciones isométricas es
posible identificar?
b) ¿En qué se parecen?, ¿en qué se diferencian?
3. Busquen imágenes de la obra de Matilde Pérez, pintora y escultora chilena. Averigüen
y comenten qué relación tiene su obra con la Geometría.
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

Unidad 4
A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales
conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las
relaciones que hay entre los conceptos.
TRASLACIONES
DE FIGURAS PLANAS
TRANSFORMACIONES
ISOMÉTRICAS
REFLEXIONES
DE FIGURAS PLANAS
TESELACIONES
REGULARES SEMIRREGULARES
Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.
1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. Cuando se efectúa la transformación isométrica a una figura geométrica plana,
¿qué características observas en su imagen?
3. ¿Cómo trasladas un triángulo con regla y compás?, ¿cómo lo rotas?
4. ¿Qué características tiene la imagen de una figura, luego de aplicar una reflexión?,
¿cómo confirmas que se aplicó dicha transformación?
5. ¿Qué caracteriza a una teselación?, ¿cómo se construye?
ROTACIONES
DE FIGURAS PLANAS
6. ¿Qué diferencias observas en las teselaciones regulares y semirregulares?, ¿y qué semejanzas?
7. ¿Con qué polígonos puedes construir una teselación regular?, ¿y una semirregular?
8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela
en tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Movimientos en el plano 127
Síntesis

¿Qué aprendí?
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.
1. ¿En cuál de las siguientes opciones las figuras
corresponden a una reflexión?
A. R y S
B. S y V
C. S y T
D. R y V
2. En la transformación de la imagen se aplicó
una rotación con centro en O y ángulo de
rotación de:
A. 60º
B. 360º
C. 90º
D. 180º
3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la estrella
de David?
A. 8
B. 2
C. 4
D. 6
4. ¿Por qué es posible teselar con
triángulos equiláteros?
A. Porque la suma de los ángulos que
concurren a un vértice es 180º.
B. Porque la suma de los ángulos que
concurren a un vértice es 360º.
C. Porque la suma de sus ángulos interiores
es 180º.
D. Porque la suma de sus ángulos exteriores
es 360º.
5. ¿Con cuál de los siguientes polígonos se
puede construir una teselación regular?
A. Cuadrado. C. Rombo.
B. Rectángulo. D. Romboide.
128 Unidad 4
R S
O
T V
6. Para trasladar una circunferencia según
un vector dado, con regla y compás,
basta con trasladar:
A. el centro de la circunferencia, según
dicho vector.
B. dos puntos de la circunferencia, según
dicho vector.
C. un punto cualquiera de la circunferencia,
según dicho vector.
D. el centro y un punto cualquiera de la
circunferemcia, según dicho vector.
7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A. No es posible teselar una superficie plana
con romboide.
B. El eje de simetría es perpendicular a los
trazos que unen cada par de puntos
correspondientes.
C. Al aplicar una rotación, todos los puntos
de la figura se mueven en torno a un
punto fijo.
D. Al aplicar una traslación, todos los puntos
de la figura se mueven según una flecha.
8. Al aplicar una transformación isométrica se
obtiene una figura:
A. que mantiene la posición de la
figura original.
B. que mantiene la forma, tamaño y
posición original.
C. que mantiene la forma y tamaño original,
solo varía su posición.
D. que mantiene el tamaño original y varía su
forma y posición.

9. Usando regla y compás, aplica una reflexión
al ΔABC respecto de la recta L.
Luego, a la imagen obtenida, rotar respecto
del vértice C´ y ángulo de rotación de 60º
(usa transportador).
10. Dadas las siguientes figuras, forma la base
de una teselación semirregular y, luego,
usando regla y compás, construye en tu
cuaderno una teselación con ella. Indica las
transformaciones isométricas involucradas.
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
¿Qué logré?
1. Marca según tu apreciación.
Transformaciones de objetos
Traslaciones de figuras planas
Reflexiones de figuras planas
Rotaciones de figuras planas
Teselaciones
Teselaciones regulares y semirregulares
Resolución de problemas
2. Reflexiona y responde.
No lo
entendí
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 103 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.
A
C
B
L
Lo
entendí
Unidad 4
Puedo
explicarlo
Movimientos en el plano 129

130 Unidad 5
5Unidad
Datos y azar

En esta Unidad podrás...
• Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, con datos agrupados
en intervalos.
• Construir tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma
manual y mediante herramientas tecnológicas, y determinar la media
aritmética y moda en estos casos.
• Discutir respecto de la importancia de tomar muestras al azar en experimentos
aleatorios, y analizar su comportamiento usando medidas de tendencia central.
• Analizar situaciones donde los resultados son equiprobables en experimentos
aleatorios, mediante el uso de herramientas tecnológicas.
• Identificar el espacio muestral en experimentos aleatorios, y usar el principio
multiplicativo para obtener su cardinalidad.
• Asignar la probabilidad de un evento en un experimento aleatorio, usando el
modelo de Laplace.
Conversemos de...
En Chile, los censos se realizan cada diez años, aproximadamente. El último
se realizó en el año 2002 y el próximo se efectuará en el año 2012.
Los siguientes datos corresponden a los resultados del Censo 2002. Observa.
Población de cinco años o más por grupos de edad, según región, provincia,
sexo, su nivel de instrucción y el último curso aprobado
Provincia de Valdivia / ambos sexos
Enseñanza
Media común
6 a 14
años
Grupos de edad
15 a 19
años
20 a 29
años
30 a 49
años
50 años o
más
1 año 1825 4436 3173 6170 1237
2 años 565 3841 2552 4818 986
3 años 0 3465 1486 3095 709
4 años 0 4323 9529 14 536 3183
Fuente: www.ine.cl/cd2002/index.php, consultado en febrero de 2010.
1. En Valdivia, ¿cuántas personas terminaron la Educación Media hasta el año 2002?
2. ¿Cuál es nivel de Educación Media promedio alcanzado por los jóvenes entre 20
y 29 años?, ¿cómo lo supiste?
3. ¿Cuál es la moda en este caso?, ¿cómo la interpretarías?
Datos y azar 131

¿Cuánto sabes?
132 Unidad 5
1. En una ciudad del norte del país, durante el mes de enero, se han registrado
las siguientes temperaturas máximas en grados Celsius:
32, 31, 28, 30, 28, 30, 31, 33, 29, 30, 30, 32, 28, 31, 29, 29,
32, 30, 29, 33, 30, 31, 30, 29, 30, 33, 34, 28, 30, 30, 29
a) Completa la tabla de frecuencias.
Temperatura
(ºC)
Frecuencia
absoluta
b) ¿Cuántos días hubo con temperatura máxima de 29 ºC?
c) ¿Qué porcentaje del mes hubo 31 ºC?
d) Calcula la media aritmética, la mediana y la moda. ¿Cómo interpretarías
los resultados obtenidos en cada caso?
2. El siguiente gráfico circular representa la cantidad de horas semanales que
los 40 estudiantes del 8ºA de un colegio de Arica destinan a hacer deportes.
a) Completa la tabla de frecuencias.
Nº de
horas
28
29
30
31
32
33
34
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
Frecuencia relativa
porcentual
1 2 5%
2
3
4
5
6
Frecuencia relativa
porcentual
15%
10%
b) ¿Cuántos alumnos y alumnas dedican 4 horas semanales a hacer
deportes?, ¿y una hora semanal?
c) ¿Cuántas horas semanales, en promedio, destinan los y las estudiantes a
hacer deportes?, ¿cómo lo calculaste?
d) Calcula e interpreta la mediana y moda, en cada caso.
20%
10%
1 hora
2 horas
3 horas
5%
40%
4 horas
5 horas
6 horas

3. Antonia necesita averiguar la cantidad de horas diarias que los alumnos y
alumnas de su colegio destinan a ver televisión. Si tuvieras que realizar la
misma investigación que Antonia:
a) ¿Cuál sería la población?, ¿qué muestra escogerías?, ¿por qué?
b) ¿Cuál sería la variable de estudio?, ¿de qué tipo es? Explica tu decisión.
4. Se lanza 50 veces un dado con las caras numeradas del 1 al 6, y se obtiene
10 veces uno, 3 veces dos, 6 el tres, 12 el cuatro, 9 el cinco y 10 el seis.
a) Construye en tu cuaderno una tabla de frecuencias.
b) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de que se obtenga 2?, ¿y 4?
c) ¿Cuál es la frecuencia relativa de que se obtenga 3?, ¿y 5?
d) ¿Cuáles son las probabilidades de que salga cada una de las caras?
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿Qué debes recordar?
Unidad 5
• En una encuesta, el conjunto total de individuos que son objeto de estudio y que poseen al
menos una característica en común se denomina población. Una muestra es una parte o
subconjunto de la población.
• Una variable estadística corresponde a la característica que se observa en cada uno de los
elementos de la población, y que se mide en la muestra. Las variables pueden ser
cuantitativas (pueden tomar valores numéricos) o cualitativas (clasifica a los individuos en
categorías que no se pueden expresar con números).
• La frecuencia absoluta es el número de repeticiones de cada dato de una muestra. La razón
entre la frecuencia absoluta y el número total de datos de la muestra es la frecuencia relativa.
• Las medidas que describen un valor central que representa a un grupo de observaciones se
denominan medidas de tendencia central. Estas son: la media aritmética (x ⎯ ), la mediana y la
moda (Mo).
• Una forma de calcular la media aritmética o promedio es sumar todos los datos y dividir el
resultado por el número total de observaciones.
• La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que
tiene mayor frecuencia absoluta. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la
mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.
• El número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un resultado, a medida que
aumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se llama
probabilidad. La probabilidad se puede expresar como un número entre 0 y 1.
Datos y azar 133

134 Unidad 5
Interpretación de tablas de frecuencias
Completa la tabla que muestra el número de primos que tienen los
y las estudiantes de los 8º Básico de un colegio.
Intervalo
(i)
Nº de
primos
Para discutir
Frecuencia
absoluta
F. absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
1 1 - 4 4 4 4 0,06
70
2 5 - 8 6 10 6
70
0,09
3 9 - 12 18
4 13 - 16 20
5 17 - 20 12
6 21 - 24 5
7 25 - 28 3
8 29 - 32 2
F. relativa
acumulada
• ¿Qué puedes deducir del intervalo 2 (5 - 8)?
• ¿Cuántos alumnos o alumnas tienen 12 primos o menos?, ¿por qué?
• Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la
probabilidad de que tenga entre 25 y 28 primos?, ¿y de que tenga
8 primos, o menos?
En la situación anterior, se puede deducir del intervalo 2, que existen
6 estudiantes que tienen entre 5 y 8 primos.
También, es posible observar que si sumamos el número de
estudiantes de los intervalos 1, 2 y 3, hay 28 alumnos o alumnas que
tienen 12 primos o menos. Este valor corresponde a la frecuencia
absoluta acumulada hasta ese intervalo.
Por otro lado, si preguntamos a un alumno o alumna cualquiera de
ese colegio que cursa 8º Básico, cuál es la probabilidad de que tenga
entre 25 y 28 primos, esta se puede obtener calculando la razón
entre su frecuencia absoluta por el total de observaciones, es decir:
3
0,04
70
Esta razón es la frecuencia relativa. Otra manera de representar este
valor es con porcentajes: si multiplicamos el resultado anterior por
100, se obtiene que la probabilidad de tener entre 25 y 28 primos es
igual a un 4%.

Ahora, la probabilidad de tener 8 primos o menos, es igual a la
suma de frecuencias relativas hasta 8, es decir, 0,06 + 0,09 = 0,15.
Luego, un 15% de los alumnos y las alumnas tiene 8 primos, o
menos. Llamamos a ese valor frecuencia relativa acumulada.
No olvides que...
• La frecuencia absoluta acumulada en el intervalo i es la suma de las frecuencias absolutas
observadas hasta el intervalo i. Se escribe Fi.
• La frecuencia relativa de la categoría i corresponde a la probabilidad de pertenecer a esa
categoría. Lo calculamos dividiendo la frecuencia absoluta (fi) por el total de datos de la
muestra. Denotamos este valor por hi.
Actividades
1. Responde la siguientes preguntas observando la tabla de la página anterior.
Unidad 5
• La frecuencia relativa acumulada en la categoría i, es la probabilidad de observar un valor
menor o igual al mayor valor que toma la variable en estudio en ese intervalo. Lo calculamos
dividiendo Fi por el total de datos de la muestra. Denotamos este valor por Hi.
a) ¿Cuántos estudiantes tienen a lo más 20 primos?, ¿cómo lo calculaste?
b) ¿Cuántos estudiantes tienen 25 primos o más?, ¿por qué?
c) Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre
9 y 12 primos?, ¿y 16 primos o menos?
2. Una encuesta referida al día en que 60 personas eligen para ir al cine, dio los siguientes
resultados. Completa la tabla.
Día
Frecuencia
absoluta (fi)
Lunes 5
Martes 7
Miércoles 10
Jueves 3
Viernes 13
Sábado 14
Domingo 8
Frecuencia absoluta
acumulada (Fi)
Frecuencia
relativa (hi)
Frecuencia relativa
acumulada (Hi)
Datos y azar 135

Glosario
rango: diferencia entre el mayor
y menor valor de una variable.
136 Unidad 5
Construcción de tablas para datos
agrupados
Un grupo de 40 pacientes, entre 25 y 50 años, se realizaron un
examen para medir su nivel de colesterol (en mg/dl). Los
resultados obtenidos fueron los siguientes:
184 115 53 174 222 156 185 78
98 80 60 177 228 189 181 194
120 78 100 258 190 166 207 200
184 198 191 175 214 211 206 199
199 206 218 51 296 155 195 96
Para discutir
• ¿Es posible agrupar los datos en intervalos o clases?, ¿cómo?
• ¿Cuántos pacientes tienen mediciones menores o iguales que
150 mg/dl?
• Si consideramos a las personas que tienen una concentración de
colesterol en la sangre de 200 mg/dl o menos, con bajo riesgo
cardiovascular y las que tienen colesterol mayor, con riesgo,
¿cuántas personas podrían sufrir un evento cardiovascular?
En la situación anterior, el conjunto de datos es numeroso y, además,
el rango es amplio (296 – 51 = 245). En este caso y en todos aquellos
con similares características, es conveniente agruparlos y ordenarlos
en intervalos o clases.
El tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor
del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener.
Si agrupamos los datos en 5 intervalos, resulta:
296 – 51 245
= = 49
5 5
Luego, cada intervalo es de amplitud 49 (tamaño del intervalo).
La tabla de frecuencias correspondiente es:
Nivel de
colesterol
F. absoluta
(fi)
F. absoluta acumulada
(Fi)
F. relativa
(hi)
51 - 100 9 9 9 : 40 = 0,225
101 - 150 2 11 2 : 40 = 0,05
151 - 200 19 30 19 : 40 = 0,475
201 - 250 8 38 8 : 40 = 0,2
251 - 300 2 40 2 : 40 = 0,05

Después de construir la tabla, observamos que 11 pacientes tienen
mediciones iguales o menores que 150 mg/dl. En este caso, usamos
la frecuencia absoluta acumulada.
Por otro lado, 10 personas tienen más de 200 mg/dl, es decir, un
25% de los pacientes examinados tiene riesgo de sufrir un evento
cardiovascular. En este caso, usamos la frecuencia relativa.
No olvides que...
• Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango es muy amplio,
es usual presentarlos agrupados y ordenados en intervalos o clases.
• La amplitud o tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por
la cantidad de intervalos que se desean obtener.
Actividades
1. En un centro comercial, se consultó la
edad a todas las personas que entraban
entre las 12:00 h y 12:30 h. Los resultados
obtenidos fueron los siguientes:
15 73 1 65 16 3 42
36 42 3 61 19 36 47
30 45 29 73 69 34 23
22 21 33 27 55 58 17
a) Construye una tabla de frecuencias 4 17 48 25 36 11 4
cuyos datos estén agrupados en
ocho intervalos.
54 70 51 3 34 26 10
b) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen entre 31 y 40 años?
c) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen 60 o menos años?
d) ¿Cuál es la probabilidad de, que al elegir al azar a una persona consultada, esta tenga entre
11 y 20 años?
2. Los datos que a continuación se presentan corresponden al número de llamadas telefónicas que
un grupo de personas realiza durante el día.
0, 1, 2, 4, 3, 5, 10, 6, 13, 9, 8, 10, 11, 12, 13, 14,
6, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 12, 7, 11, 3, 20
a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cuatro intervalos.
b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?
c) ¿Cuántas personas hicieron entre 0 y 5 llamadas?
d) ¿Cuántas personas hicieron 17 llamadas o menos?
e) ¿Cuál es la probabilidad que una persona realice más de 17 llamadas diarias?
Unidad 5
Datos y azar 137

138 Unidad 5
Media aritmética para datos agrupados
La siguiente tabla de distribución de frecuencias muestra la
puntuación obtenida por 1500 estudiantes de 5º a 8º Básico en
una encuesta de 65 preguntas acerca de su desempeño durante
el año.
Categoría Muy bajo Bajo Regular Bueno Muy bueno Sobresaliente
Puntaje 0 - 10 11 - 21 22 - 32 33 - 43 44 - 54 55 - 65
Frecuencia
absoluta
350 400 420 200 80 50
Para discutir
• ¿Es posible determinar un puntaje “representante” de cada
intervalo?, ¿cuál es ese valor?
• Utilizando el “representante” de cada intervalo, ¿puedes calcular
el promedio de puntaje obtenido en el cuestionario por los y las
estudiantes?, ¿cómo lo harías?
• ¿En qué categoría se encuentra el promedio obtenido?
Como podemos observar en la situación anterior, los datos están
agrupados en intervalos. Para calcular el promedio en estos casos,
primero, se busca un representante de cada intervalo o clase. Este
representante es el promedio de los extremos del intervalo, y se
conoce como marca de clase. Observa y verifica los valores obtenidos:
Categoría Muy bajo Bajo Regular Bueno Muy bueno Sobresaliente
Puntaje 0 - 10 11 - 21 22 - 32 33 - 43 44 - 54 55 - 65
Marca de clase 5 16 27 38 49 60
Frecuencia
absoluta
350 400 420 200 80 50
Luego, el promedio se calcula sumando los productos de cada
marca de clase por su frecuencia absoluta respectiva (cantidad de
alumnos y alumnas), y dividiendo por el total de estudiantes,
es decir:
5 • 350 + 16 • 400 + 27 • 420 + 38 • 200 + 49 • 80 + 60 • 50 34 010
= = 22,67
1500
1500
Entonces, el promedio es 22,67. Esto significa que, en promedio,
los alumnos y las alumnas consideran que su nivel de desempeño
es “regular”.

No olvides que...
• La marca de clase de una tabla para datos agrupados en intervalos corresponde al promedio
de los extremos del intervalo.
• Podemos calcular la media aritmética (x ⎯ ) para datos agrupados, sumando todos los productos
de marca de clase con la frecuencia absoluta respectiva y su resultado dividirlo por el número
total de datos, es decir:
Actividades
x ⎯ =
• Para datos agrupados la media aritmética que se obtiene al calcular corresponde a una
estimación de la media aritmética real.
1. Los datos que se muestran a continuación corresponden a la cantidad de horas diarias que un
grupo de personas utiliza Internet.
4, 2, 5, 7, 6, 6, 4, 3, 5, 10, 7, 8, 8, 4, 2, 4, 12, 13, 3, 11
1, 12, 8, 10, 9, 13, 2, 2, 1, 4, 5, 8, 9, 4, 2, 10, 12, 13, 5, 8
a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en tres intervalos.
b) ¿Cuántas personas usan Internet 10 horas diarias, o menos?
c) ¿En promedio cuántas horas usan Internet al día?
2. Los alumnos y las alumnas de 8º Básico realizaron una prueba de 24 preguntas. En la siguiente
tabla aparece el número de respuestas correctas obtenidas.
Nº de respuestas
correctas
suma (marca de clase • frecuencia absoluta)
total de datos
Marca
de clase
0 - 4 3
5 - 9 8
10 - 14 15
15 - 19 15
20 - 24 4
Total estudiantes:
(fi) (Fi) (hi) (Hi)
Unidad 5
a) Completa la tabla de frecuencias.
b) ¿Cuántos alumnos y alumnas tuvieron 14 o menos respuestas correctas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno o alumna tenga 20 o más respuestas correctas?
d) Calcula e interpreta la media aritmética.
Datos y azar 139

140 Unidad 5
Moda para datos agrupados
En una empresa, las edades del personal se resumen en la
siguiente tabla. Observa y completa.
Edades (en años) Marca de clase Frecuencia absoluta
20 - 25 25
26 - 31 30
32 - 37 45
38 - 43 40
44 - 49 35
50 - 55 30
Para discutir
• ¿Cuál es el intervalo que agrupa la menor cantidad de personal?
• ¿En qué intervalo está la mayor frecuencia absoluta?
• ¿Podrías estimar la edad que más se repite o representar la moda
en esta situación?, ¿cómo lo harías?
En la situación anterior, observamos que la cantidad menor de
personas tiene entre 20 a 25 años.
Por otra parte, el intervalo que presenta la mayor frecuencia
absoluta o intervalo modal, corresponde a 32 - 37.
Para obtener la moda para datos agrupados, podemos seguir los
siguientes pasos:
1º Identificar el intervalo modal, en este caso es 32 - 37, con una
frecuencia de 45 personas.
2º Identificar las frecuencias absolutas del intervalo anterior y
posterior al intervalo modal. En este caso, el intervalo anterior
corresponde a 26 - 31, con una frecuencia de 30 personas; y el
intervalo posterior a 38 - 43, con una frecuencia de 40 personas.
3º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la
frecuencia del intervalo anterior (d 1 ). Entonces, tenemos que,
45 – 30 = 15.
4º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la
frecuencia del intervalo posterior (d 2 ). Entonces, tenemos que,
45 – 40 = 5.
5º Obtener el tamaño de los intervalos (t ; debe ser constante).
La amplitud de los intervalos es 5.

6º Obtener el número que representa el extremo inferior del
intervalo modal (Li). En el ejemplo es 32.
Luego, el cálculo de la moda (Mo) se puede obtener por medio
de la expresión:
d1 Mo = Li + • t
d + d 1 2
En la situación anterior, el valor aproximado de la moda
corresponde a 36, ya que:
15
Mo = 32 + • 5 = 35,75
15 + 5
Esto significa que una estimación de la edad más repetida por el
personal de la empresa es de 36 años.
No olvides que...
• Para obtener la moda (Mo) para datos agrupados, podemos utilizar la expresión:
Mo = Li + • t
d + d 1 2
Li: extremo inferior del intervalo modal.
d : diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo anterior.
1
d : diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo posterior.
2
t: amplitud de los intervalos.
Unidad 5
• Para datos agrupados la moda que se obtiene al calcular corresponde a una estimación de
la moda real.
Actividades
1. A continuación, se muestra el promedio obtenido en Matemática por los alumnos y las alumnas
de un curso: 4,4 5,5 5,0 4,9 5,9 6,0 4,2 6,8 7,0 6,1 7,0 3,7 4,5 4,8 6,3 4,1, 3,4
5,3 5,0 6,0 2,6 3,8 4,0 2,0 5,6 6,7 6,0 4,9 3,3 7,0 6,3 5,0
a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cinco intervalos.
b) Determina la media aritmética y moda. Interpreta los valores obtenidos.
2. Las estaturas de los y las estudiantes
de un 8º Básico se resumen en la
siguiente tabla. Complétala.
• Calcula e interpreta la media
aritmética y la moda.
d 1
Estatura (m) Frecuencia absoluta Marca de clase
1,40 - 1,47 3
1,48 - 1,55 12
1,56 - 1,63 22
1,64 - 1,71 6
1,72 - 1,79 2
Datos y azar 141

142 Unidad 5
Censo y muestreo
Para discutir
El Ministerio de Salud está planificando una
campaña de vacunación contra un virus
respiratorio. Debe pedir vacunas al
laboratorio, pero no sabe cuántas encargar.
Se considera que la población de mayor
riesgo son los niños entre 0 y 4 años, y los
adultos mayores, entre 65 años y más.
• ¿Qué información se necesita en este caso?
• ¿Existe una forma de obtener la información necesaria?, ¿cuál?
• Si se realizara una investigación respecto de los efectos
posvacunación, ¿es posible estudiar a toda la población vacunada?,
¿por qué?
En el caso anterior, para pedir las vacunas se necesita saber la
cantidad total de población que hay en Chile, entre los 0 y 4 años,
y mayor que 65 años.
Existe un estudio a través del cual podemos obtener esta
información: el Censo.
En Estadística, se conoce como Censo al recuento de todos los
individuos que conforman una población. Un caso particular es el
Censo de población y vivienda, cuyo objetivo es determinar el
número de personas que componen un grupo (normalmente todo
el país). En él se realiza la enumeración de los habitantes de un país
por sexo, edad, distribución geográfica y características socioeconómicas.
En Chile, se realiza aproximadamente cada 10 años.
A su vez, hay otros tipos de situaciones que necesitan de
información que no es entregada por el Censo. En ciertos casos, no
es necesario, o bien, no es posible estudiar a toda la población en
cuestión, pues sería muy costoso. En estos casos se toma una
muestra de la población para llevar a cabo el estudio y, a partir de
sus características, se deduce el comportamiento de la población.

No olvides que...
• El Censo es un estudio que permite conocer la cantidad de habitantes que pertenece a una
población, y sus características.
• Cuando las poblaciones son muy grandes y se quieren estudiar solo algunas de sus
características, se selecciona una muestra y, a partir de sus características, se deduce el
comportamiento de la población. Dicha muestra debe ser representativa de la población.
• La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente, con el tamaño de
esta, sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.
Actividades
1. Pía controla dos máquinas embotelladoras (A y B), en una fábrica de bebidas. Los estándares de
calidad establecen que cada botella debe contener 660 cc de bebida, con una desviación de 5 cc.
Cada día se envasan 2160 botellas, organizadas en lotes de 40 botellas, cada uno.
a) ¿Cómo puede Pía garantizar que se están cumpliendo los estándares de calidad?,
¿es conveniente analizar diariamente las 2160 botellas?, ¿por qué?
b) Pía decide que, para validar que se estén cumpliendo los estándares de calidad, seleccionará
una muestra de dos botellas de cada lote producido. Observa:
Tabla de frecuencias Máquina A Tabla de frecuencias Máquina B
cc 650 652 658 660 658 659 660 661
Frecuencia absoluta 17 27 6 4 1 19 23 11
• Calcula la media aritmética y moda de las muestras de cada máquina. Interpreta los
resultados obtenidos en cada caso. ¿Qué le recomendarías a Pía?
En equipo
En esta actividad, deberán utilizar Internet para averiguar información respecto del Censo 2002.
Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.
Unidad 5
1. Investiguen acerca de la información que pueden obtener a partir del Censo 2002. Para ello,
ingresen a la página web del INE: www.ine.cl y en Microdatos, Censos de Población, Censo 2002,
Datos Tabulados, allí pueden acceder a los datos del estudio. Identifiquen tres variables
observadas y comenten situaciones donde podría ser de utilidad manejar dicha información.
2. Seleccionen una muestra representativa para calcular e interpretar la media aritmética y la moda,
respecto del nivel de instrucción de la población y el último curso aprobado.
3. Propongan un plan para los casos donde la información no se puede obtener del Censo.
Datos y azar 143

144 Unidad 5
Análisis de encuestas
Los profesores de educación física de un colegio, que tiene un total
de 1200 estudiantes, decidieron realizar un sondeo sobre los
hábitos deportivos de sus alumnos y alumnas. Elaboraron una pauta
para diseñar la encuesta y sacar conclusiones de ella.
Se encuestó a 120 alumnos y alumnas escogidos al azar. Observa los
resultados que se muestran en las tablas y complétalas.
Distribución de los alumnos y alumnas por edad
Edad (años) Marca de clase (fi) (Fi) (hi) (Hi)
5 - 8 22
9 - 12 17
13 - 16 39
17 - 20 42
Cantidad de horas semanales que destinan a hacer ejercicios
Horas Marca de clase (fi) (Fi) (hi) (Hi)
2 - 6 56
7 - 11 29
12 - 16 23
17 - 21 12
Actividad deportiva preferida
Actividad (fi) (Fi) (hi) (Hi)
Andar en bicicleta 48
Jugar fútbol 21
Trotar 24
Nadar 12
Otro 15
Para discutir
• ¿Cómo representarías la información en gráficos?
• ¿Cómo interpretarías la información que los gráficos entregan?
• ¿Qué pasos crees que debes seguir para realizar una encuesta que
te permita obtener conclusiones?

La información recolectada en las tablas anteriores se puede
representar en los siguientes gráficos. Observa:
Edad de los y las estudiantes
Nº de estudiantes
50
40
30
20
10
5 - 8 9 - 12 13 - 16 17 - 20 Años
De los gráficos anteriores, podemos interpretar que: la mayor parte
de los alumnos y alumnas encuestados es mayor de 12 años; la
mayoría de los y las estudiantes dedica 11 horas o menos a la
actividad deportiva, y solo el 10% realiza por lo menos 17 horas de
ejercicios; la actividad preferida por los alumnos y alumnas es andar
en bicicleta.
Para diseñar una encuesta que te permita recolectar información,
interpretarla y sacar conclusiones, en primer lugar, debes establecer
los objetivos de estudio y la población a quien está dirigida; luego,
seleccionar una muestra representativa de la población. En segundo
lugar, plantear un cuestionario que responda a los objetivos de
estudio y recolectar la información en tablas. En tercer lugar,
representar en gráficos la información obtenida e interpretarlos.
Por último, presentar las conclusiones del estudio.
No olvides que...
Tiempo en horas que dedican
semanalmente al deporte
Nº de estudiantes
60
50
40
30
20
10
2 - 6 7 - 11 12 - 16 17 - 21 Horas
Unidad 5
• Las encuestas aplicadas a una muestra son una manera útil de obtener información cuando
no podemos acceder a ella desde el total de la población.
• Los pasos que se recomiendan para realizar una encuesta son:
Actividad deportiva preferida
1º Establecer objetivos, población y muestra.
2º Plantear un cuestionario que responda a los objetivos de estudio y agrupar los datos en
tablas de frecuencias.
3º Representar la información en gráficos e interpretarlos.
4º Presentar las conclusiones.
21
24
Bicicleta
Otros
Nadar
Trotar
Fútbol
48
15
12
Datos y azar 145

Actividades
1. Los siguientes resultados fueron obtenidos de la Sexta Encuesta Nacional de Juventud, 2009
(Instituto de la Juventud, Gobierno de Chile) y se refieren a la realidad juvenil del país. Observa
las tablas y responde las preguntas relacionadas.
A.
B.
a) ¿Qué tramo etario tiene mayor presencia entre los jóvenes que estudian?, ¿por qué?
b) ¿Existe una brecha entre la juventud urbana y rural que estudia?, ¿por qué?
c) ¿Quién tiene mayor nivel de endeudamiento entre los jóvenes? Justifica tu respuesta.
d) ¿Entre qué edades se encuentran los jóvenes con mayor endeudamiento?, ¿por qué crees
que puede ocurrir?
146 Unidad 5
Jóvenes que hoy estudian, según edad y localidad
Grupos de edad
(años)
% de jóvenes
que estudian
15 – 19 79,9%
20 – 24 44,5%
25 – 29 19,8%
Zona
% de jóvenes
que estudian
Urbano 51,5%
Rural 36,4%
Situación de endeudamiento, según sexo y edad
Sexo
Edad
Hombre Mujer
15 - 19 20 - 24 25 - 29
Sí 48,5% 54,2% Sí 16,7% 50,8% 57,6%
No 48,2% 40,6% No 69,9% 45,7% 40,0%
No responde 3,3% 5,2% No responde 13,3% 3,5% 2,4%
En equipo
Fuente: www.fundacionfuturo.cl, consultado en enero de 2010.
En esta actividad deberán investigar sobre las actividades realizadas durante el tiempo libre y el
tiempo dedicado a ello. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.
1. Inventen un nombre para su encuesta. Luego, establezcan los objetivos de esta.
2. Determinen a quiénes está dirigido el estudio. Seleccionen la muestra de, al menos 40 personas.
Indiquen la fecha en que se realizó la encuesta.
3. Diseñen un cuestionario que responda los objetivos del estudio. Este puede considerar aspectos
como: edad, sexo, días que dedica para ocio, etc. Previo a su aplicación, se deben mencionar
las posibles respuestas. Indiquen cómo se llevó a cabo: por teléfono, Internet o cara a cara.
4. Recolecten y ordenen la información obtenida en tablas de frecuencias, indicando el nombre de
cada una.
5. Representen la información en gráficos, interpretando la información que ellos entregan.
6. Presenten las conclusiones al resto del curso.

Herramientas tecnológicas
En esta actividad deberás usar una planilla de cálculo para construir tablas de frecuencias con datos
agrupados en intervalos. Sigue las instrucciones.
1º Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada,
en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa.
2º Ingresa los siguientes datos en la columna Datos, que corresponden al número de pasajeros
que en los últimos días tomó un bus de Santiago a Puerto Montt.
68 71 77 83 79 80 48
72 74 57 67 69 84 102
50 60 75 66 76 91 80
70 84 59 75 94 101 63
65 72 85 79 71 86 69
83 84 74 82 97 51 78
Unidad 5
3º Selecciona todos los datos desde A2 hasta A43; ordénalos de menor a mayor, haciendo
clic en .
4º Observa que el dato menor es 48, y el mayor es 102. Por lo tanto, el rango es 54. Agrupa los
datos en 6 intervalos. Cada intervalo es de amplitud 9. Escribe en la columna Intervalos, las
clases correspondientes partiendo por 45 - 54; en la columna Marca de clase, escribe la
información correspondiente.
5º Con la ayuda de una función, determinaremos la frecuencia absoluta acumulada de cada
intervalo. Para el intervalo 45 - 54, haz un clic en la celda D2 y escribe la función:
=CONTAR.SI(A2:A43; “

8º Para determinar el promedio, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G1 y
escribe la función: =PROMEDIO(A2:A43). Luego, presiona enter.
9º Para determinar la moda, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G2 y
escribe la función: =MODA(A2:A43). Luego, presiona enter.
Luego de realizar los pasos anteriores, haz la siguiente actividad en una nueva planilla de cálculo.
1. Los siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 60 alumnos y alumnas de un colegio
de Concepción:
2. Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada,
en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa.
3. Ingresa la información en la columna Datos. Luego, selecciónalos desde A2 hasta A61 y
ordénalos de menor a mayor, haciendo clic en .
4. Calcula el rango para agrupar los datos en 7 intervalos. Escribe en la columna Intervalos, las
clases correspondientes. En la columna Marca de clase, escribe la información correspondiente.
5. Determina la frecuencia absoluta acumulada de cada intervalo. Por ejemplo, si el primer
intervalo es 34 - 41, debes ingresar, en la celda D2, la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.
Unidad 5
1. En una clase de Educación Física, los alumnos y las alumnas del 8ºA, 8ºB y 8ºC realizaron una carrera
desde el colegio hasta una plaza cercana, ida y vuelta. Los profesores de la asignatura registraron el
tiempo de llegada de cada estudiante, y organizaron la información en la siguiente tabla:
• ¿Qué porcentaje de los y las estudiantes tardó
31 minutos o menos en llegar?
A. 20% C. 53%
B. 27% D. 73%
Tiempo de llegada
(minutos)
2. En la situación anterior, ¿en promedio, cuántos minutos tardaron en llegar a la meta?
A. 27 min aprox. B. 47 min aprox. C. 25 min aprox. D. 37 min aprox.
3. En la tabla presentada en el ítem 1, el valor aproximado de la moda corresponde a:
A. 28,6 min B. 25,3 min C. 26,6 min D. 26 min
4. En una empresa hay 280 trabajadores. Para realizar un estudio respecto del nivel de satisfacción del
personal, se consideró una muestra que es igual al 10% de la población. Los resultados de la
encuesta se expresan y se muestran a continuación:
4, 12, 15, 20, 25, 2, 6, 18, 20, 23, 11, 5, 16, 23
2, 9, 13, 19, 25, 24, 15, 3, 6, 6, 10, 20, 21, 30
a) Construye una tabla de frecuencias, agrupando los datos en cuatro intervalos.
b) Si las categorías de los intervalos son: “No conforme”, “Medianamente conforme”,
“Conforme” y “Muy conforme”, ¿qué porcentaje de trabajadores se encuentra “Muy conforme”?
c) Determina e interpreta la media aritmética y la moda.
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Criterio Ítem Respuestas correctas
Analizar una tabla de frecuencias con datos agrupados. 1
Determinar la media aritmética de una tabla con datos agrupados. 2
Determinar la moda de una tabla con datos agrupados. 3
Construir una tabla con datos agrupados y analizarla. 4
Nº alumnos y
alumnas
10 - 20 28
21 - 31 74
32 - 42 38
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
Datos y azar 149

Ayuda
Recuerda que aquellas
situaciones en que no se
puede predecir con certeza
cierto resultado se denominan
experimentos aleatorios.
150 Unidad 5
Espacio muestral y principio
multiplicativo
Camila se encuentra en una plaza mirando el color de los autos
que van pasando. Los colores que observa son: rojo, azul, verde
y gris. También mira el número de puertas que cada auto tiene,
y nota que pueden ser de 3, 4 ó 5 puertas.
Para discutir
• La situación anterior, ¿es un experimento aleatorio?, ¿por qué?
• Si clasificaras los autos por color, ¿cuántas categorías existirán?
• Si clasificaras los autos por el número de puertas, ¿cuántas
categorías existirán?
• Si quisiera clasificar los autos por color y número de puertas,
¿cuántas categorías existirán?
Efectivamente, la situación que observó Camila corresponde a un
experimento aleatorio, pues si bien sabe cuál puede ser el color del
auto que pasará o su número de puertas, no sabe con exactitud
cómo será el auto.
Si solo observa el color, el conjunto de posibles resultados o espacio
muestral es Ω = rojo, azul, verde, gris. En consecuencia, el tamaño
del espacio muestral es 4.
Si solo observa el número de puertas, el espacio muestral es
Ω = 3, 4, 5. En consecuencia, el tamaño del espacio muestral es 3.
Si observa color y número de puertas, conviene realizar un
diagrama de árbol, para determinar el tamaño muestral, como se
muestra a continuación:
3
Rojo 4 Azul 4 Verde 4 Gris
5
3
5
Si contamos el total de ramas, vemos que hay 12, es decir, hay
12 maneras de clasificar un auto por color y por número de puertas.
Entonces, el tamaño del espacio muestral en ese caso es 12.
Observa que 12 es igual a 4 • 3, donde 4 es la cantidad de colores de
autos y 3 la cantidad de categorías para el número de puertas.
3
5
3
4
5

El procedimiento realizado se denomina principio multiplicativo,
el cual establece que si un evento puede ocurrir de m maneras
distintas (en este ejemplo, 4 colores) y es seguido por otro que
puede ocurrir de n maneras distintas (en este ejemplo 3, que
representa la cantidad de puertas), entonces hay m • n maneras
de que puedan ocurrir ambos simultáneamente (en el caso
anterior, 12 categorías según color y cantidad de puertas).
No olvides que...
• El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio
muestral (Ω).
• La cardinalidad del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él.
• El principio multiplicativo señala que si un evento puede ocurrir de m maneras distintas y es
seguido por otro que puede ocurrir de n maneras distintas, entonces hay m • n maneras de
que puedan ocurrir ambos simultáneamente.
Actividades
1. Describe los espacios muestrales de cada uno de estos experimentos e indica su tamaño.
a) Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 5.
b) Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 2 ó 3.
c) Lanzar dos dados, uno rojo y uno verde.
d) Lanzar dos dados simultáneamente y sumar sus puntos.
2. Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que: puede levantar los cimientos de
concreto o block de cemento; las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo; el techo
puede ser de concreto o lámina galvanizada; y por último, los acabados los puede realizar de una
sola manera. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?, ¿cómo lo supiste?
3. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de
doble sentido. ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al C y de regreso al pueblo A?
Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.
4. En el casino de una Universidad a la hora de almuerzo se ofrece un menú con plato de fondo,
bebida o jugo y postre. Las opciones del plato de fondo son: arroz con carne, puré con pollo o
legumbre. De postre puede ser: helado, jalea, flan o fruta.
a) ¿Cuántas opciones de menú se pueden escoger?
b) ¿Cuáles son todas las posibilidades de menú? Anótalas en tu cuaderno.
Unidad 5
Datos y azar 151

Glosario
sucesos elementales:
corresponden a cada uno de los
resultados de un espacio muestral.
No olvides que...
152 Unidad 5
Sucesos equiprobables
Seis amigos y amigas (Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto y
Rosita) salieron de excursión al campo, para investigar acerca de
algunos insectos. Decidieron que uno de ellos escribiría todo lo
observado; para escogerlo realizaron un sorteo, que consistía en
anotar el nombre de cada uno en un papel y, luego, sacar uno,
sin mirar, que indicaría quién escribiría el informe.
Para discutir
• El sorteo realizado, ¿corresponde a un experimento aleatorio?,
¿por qué?
• ¿Cuál es el espacio muestral en este caso?
• ¿Todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos?
En este caso, se puede decir que el sorteo realizado es un
experimento aleatorio, pues al sacar el papel sin mirar, no sabemos
cuál será el resultado.
El espacio muestral de este experimento corresponde a:
Ω = Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto, Rosita, ya que,
son todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizar
el sorteo.
Además, en este ejemplo podemos ver que todos tienen la misma
probabilidad de salir, por lo que ninguno de ellos se verá favorecido
o desfavorecido con el sorteo.
Cuando sucesos elementales tienen la misma probabilidad de
ocurrir, los llamaremos sucesos equiprobables.
• Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que los
sucesos son equiprobables.

Actividades
1. Dados los siguientes experimentos, escribe el espacio muestral de cada uno y, luego, determina
si sus resultados son equiprobables. Explica tu decisión.
a) Extraer, sin mirar, una bolita de una caja que contiene tres blancas y dos rojas y observar
su color.
b) Lanzar una moneda.
c) Escoger una persona al azar, de un curso de 20 niñas y 15 niños.
d) Extraer, sin mirar, una carta de un naipe inglés y observar su pinta.
e) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 3 números pares y 3 impares.
2. Romina dice: si en un experimento los sucesos elementales están en igualdad de condiciones,
entonces hablamos de sucesos equiprobables. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué?
3. Carlos dice: si un experimento no es aleatorio, entonces los sucesos no tienen la misma
probabilidad de ocurrir. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué?
En equipo
Unidad 5
En esta actividad, deberán utilizar una bolsa, hojas blancas, regla, tijeras y lápices rojo, azul y amarillo.
Junto a un compañero o compañera, realicen el siguiente experimento.
1. Recorten 9 rectángulos de papel de 3 cm por 5 cm.
2. Pinten 3 papeles de color rojo, 2 de color azul y 4 de color amarillo. Luego, deposítenlos en la
bolsa doblados de igual forma.
3. Extraigan un papelito, sin mirar. Registren en una tabla (en sus cuadernos) el color del papelito
que sacaron y obtengan su frecuencia absoluta. Vuelvan a meter el papelito en la bolsa.
4. Realicen la misma extracción 50 veces, registrando los resultados obtenidos en la tabla.
5. Repitan lo mismo para 100 extracciones y, luego, respondan las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?
b) ¿Son equiprobables los resultados de este experimento? Expliquen.
Unidad 3
Datos y azar 153

Ayuda
Una fracción se puede
representar como número
decimal y como porcentaje.
Por ejemplo:
1
= 0,25 = 25%
4
154 Unidad 5
Regla de Laplace
En un curso se realizará la elección de presidente, entre los
siguientes candidatos:
Cada estudiante del curso puede votar por un solo candidato.
Para discutir
• ¿Los resultados de la elección corresponden a sucesos
equiprobables?, ¿por qué?
• ¿Podrías calcular la probabilidad de escoger a Daniela como
presidenta?, ¿cómo lo harías?
• ¿La probabilidad de que una mujer sea presidenta es de 60%?,
¿o es de 0,6?, ¿cuál es la correcta?, ¿cómo lo supiste?
• ¿Cómo obtienes la probabilidad de que ocurra un suceso?, ¿se
puede expresar de diversas formas?, ¿cómo?
Como puedes observar, en la situación anterior, todos los candidatos
tienen la misma probabilidad de salir electos, por lo que podemos
decir que los resultados corresponden a sucesos equiprobables.
Cuando esto sucede, la probabilidad se puede obtener mediante
una fracción, donde su numerador representa el número de casos
favorables, mientras que el denominador representa a todos los
posibles resultados. Por ejemplo:
1
• La probabilidad de escoger a Daniela de presidenta es , pues
5
corresponde a un candidato de un total de 5.
• La probabilidad de escoger a una mujer presidenta corresponde
3
a , pues son 3 las mujeres, de un total de 5 candidatos.
5
• También podemos decir que, la probabilidad de que una mujer
sea presidenta es 0,6 ó 60%, ya que entregan la misma
información, mediante distintas representaciones: fracción,
número decimal y porcentaje, respectivamente.

No olvides que...
• La probabilidad de un suceso A, se denota por P(A).
• Regla de Laplace: si en un experimento aleatorio los sucesos tienen la misma probabilidad de
ocurrir, es decir, son equiprobables, la probabilidad de que un suceso A ocurra se puede
calcular utilizando:
Ejemplo:
Actividades
P(A) =
Al lanzar un dado de seis caras, la probabilidad de que el número sea primo es de
ó 0,5 ó 50%, ya que,
Suceso A: obtener un número que sea primo
Casos favorables: 2, 3, 5 3 casos favorables
Casos totales: 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 casos totales
P(A) =
3
6
1
= ó 0,5 ó 50%
2
1. Dado el siguiente experimento: “poner en una caja las letras de la palabra PARALELEPÍPEDO,
y sacar una”. Escribe el número de resultados favorables y el de casos totales, en cada caso.
Calcula su probabilidad expresándola como fracción, número decimal y porcentaje.
a) Obtener una vocal. b) Obtener una consonante. c) Obtener una P.
2. Dado el siguiente experimento; “lanzar un dado de seis caras”. Escribe el número de resultados
favorables y el de casos totales, en cada situación. Calcula su probabilidad, expresándola como
fracción, número decimal y porcentaje.
a) Obtener un número impar.
b) Obtener un número menor o igual a 5.
c) Obtener un número mayor que 5.
número de casos favorables al suceso A
número de casos totales
3. De una urna donde hay 7 bolitas verdes, 5 bolitas azules y 3 bolitas rojas, extraer, sin mirar,
una bolita. Calcula la probabilidad de:
a) extraer una bolita de color verde.
b) extraer una bolita que no sea de color verde.
c) extraer una bolita que no sea de color rojo.
d) extraer una bolita que no sea de color azul.
1
2
Unidad 5
Datos y azar 155

Herramientas tecnológicas
En esta actividad deberán usar una planilla de cálculo para simular el lanzamiento de un dado. Sigue las
siguientes instrucciones.
1º Seleccionar la secuencia Herramientas - Complementos -
Herramientas para análisis; haz clic en Aceptar.
2º Selecciona nuevamente Herramientas y, luego, en la
secuencia , Análisis de datos - Generación de números
aleatorios, haz clic en Aceptar. Aparecerá una tabla en la
que simularemos el lanzamiento de un dado.
3º En Número de variables debes poner 1, al igual que en
Cantidad de números aleatorios, pues estamos simulando
el lanzamiento de un dado.
4º En Distribución debes seleccionar Uniforme; esto significa
que los sucesos son equiprobables.
5º En Parámetros, anota entre 1 y 6, pues son los valores que se pueden obtener al lanzar el dado.
6º En Opciones de salida, selecciona Rango de salida y escribe A1 (como se observa a
continuación), que corresponde a la celda de la planilla donde quedará el dato.
7º Finalmente, haz clic en Aceptar. Observa que el número obtenido no es entero, por lo tanto
debemos utilizar una función que redondee el número, de tal forma que aparezca 1, 2, 3, 4,
5 ó 6. Escribe la siguiente función en la celda B1: =REDONDEAR(A1;0). A1 corresponde a la
celda donde está el número que queremos redondear, y 0 es la cantidad de decimales que
consideramos; en nuestro caso, necesitamos solo números enteros. Luego, presiona enter.
Aparecerá el número equivalente al lanzamiento de un dado. Por ejemplo:
8º Repite el mismo procedimiento para simular más lanzamientos, pero
en Rango de salida escribe A2, A3, …, hasta A20. Además, redondea
cada número obtenido, cambiando la celda donde está el número
a redondear. Por ejemplo: =REDONDEAR(A2;0), hasta B20.
Obtendrás algo similar a la imagen de la derecha.
Luego de realizar los pasos anteriores, construye, en tu cuaderno, una tabla de frecuencias para
esta situación y responde:
a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es 3?, ¿cuál es la probabilidad de
que salga 3?, ¿se relacionan ambos valores?
b) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?, ¿los resultados son equiprobables?, ¿por qué?
c) En una nueva planilla repite el mismo procedimiento hasta las celdas A50 y B50. ¿Qué sucede
con la frecuencia relativa y la probabilidad en cada caso?
156 Unidad 5

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.
Unidad 5
1. El espacio muestral del experimento aleatorio: “lanzar una moneda (C: cara, S: sello) y un dado de
seis caras”, es:
A. Ω = C1, S2, C3, S4, C5, S6
B. Ω = C, S, 1, 2, 3, 4, 5, 6
C. Ω = C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6
D. Ω = C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6, C, S
2. Considera el experimento: “lanzar un dado dos veces”. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?
A. 4 B. 11 C. 12 D. 36
3. Determina si en cada experimento los sucesos son equiprobables. Explica tu decisión.
a) Lanzar un dado dos veces y sumar los resultados.
b) Lanzar una moneda al aire.
c) Sacar, sin mirar, una bola de una urna que tiene 2 bolas rojas, 2 azules y 2 blancas.
d) Escoger una persona al azar, de un curso con 15 niños y 15 niñas.
4. Eduardo tiene 5 poleras de distintos colores (amarilla, azul, blanca, negra y roja) y tres pantalones:
uno negro, uno café y uno gris. El fin de semana asistirá a una fiesta y no sabe qué ropa elegir.
a) ¿Cuántas tenidas puede escoger?, ¿cuáles son?
b) Si escoge una tenida al azar, ¿cuál es la probabilidad que salga polera blanca y pantalón gris?,
¿cómo lo supiste?
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Criterio Ítem Respuestas correctas
Identificar el espacio muestral en un experimento aleatorio. 1
Determinar la cardinalidad de un espacio muestral. 2
Analizar situaciones donde los resultados pueden o no ser
equiprobables.
Identificar el espacio muestral, su cardinalidad y calcular la
probabilidad de una situación.
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
3
4
Datos y azar 157

Buscando estrategias
Loreto se está preparando para correr en una competencia anual de su colegio. Para ello,
investigó sobre la vida de Felipe, el ganador del último año. La información que obtuvo es
la siguiente:
200
150
100
Tiempo en minutos que entrena
diariamente
50
Tiempo (minutos)
¿Cuál o cuáles de estos gráficos le sirven a Loreto para su preparación física?
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
Los gráficos corresponden a aspectos de la vida de Felipe.
• ¿Qué debes encontrar?
Seleccionar aquellos gráficos cuya información le sirva a Loreto.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
Debemos interpretar cada gráfico y sacar conclusiones de ello.
Resolver
• Interpretamos cada uno de los gráficos.
En el gráfico 1, observamos que cada lunes, Felipe entrena 1 hora 40 minutos. Los martes,
2 horas con 5 minutos; los miércoles 2 horas y media; los jueves 3 horas con 20 minutos,
y los viernes, 2 horas y media.
El gráfico 2, nos dice que el 57% de los días de una semana, es decir 4 días, Felipe duerme
8 horas; el 29% de los días duerme 10 horas, que equivale a dos días; y un 14% de los días
duerme 7 horas, es decir un día de la semana.
El gráfico 3, nos dice que Felipe tiene 2 hermanos, uno de 10 y otro de 8 años, y una
hermana de 5 años.
Responder
• Los gráficos 1 y 2 le sirven a Loreto para imitar a Felipe y comenzar a entrenar. En cambio,
la información obtenida del gráfico 3 no es relevante para su preparación.
158 Unidad 5
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Día
Horas que duerme
diariamente
57% de los días
duerme 8 horas
7 horas (14% de los días)
10 horas (29% de los días)
10
8
5
Edad de sus hermanos
Edad
Hermanos

Revisar
• Para comprobar las interpretaciones de los gráficos 1 y 2, puedes utilizar calculadora
cuando sea necesario.
1. Aplica la estrategia aprendida para resolver la siguiente situación.
Unidad 5
Álvaro necesita información sobre la frecuencia con la que leemos los chilenos. Para obtenerla,
recurre a la “Encuesta de Consumo Cultural”, realizada a 600 personas mayores de 18 años
por El Mercurio / Opina, en diciembre de 2009. De allí obtuvo la siguiente información:
500
400
300
200
100
¿Usted asiste a obras de teatro?
Nº de personas
6 o más veces
De 2 a 5 veces
1 vez
Asistencia al teatro
¿Usted lee libros?
• ¿Cuál o cuáles gráficos le sirven a Álvaro para conocer cada cuánto leemos los chilenos?
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.
Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento
que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?, ¿por qué?
4 550 000
4 500 000
4 450 000
4 400 000
4 350 000
4 300 000
4 250 000
Ana está realizando un estudio comparativo sobre la deserción escolar en Chile a través de los
años. Recurrió al estudio “Estadísticas de Educación, Cultura y Medios de Comunicación”,
realizado por el Ministerio de Educación en el año 2008. Allí encontró lo siguiente:
Alumnos matriculados en la educación
regular (Incluye educación de adultos)
Nº de alumnos
2003 2005 2007
2004 2006
No recuerda en los últimos
12 meses
No ha asistido en los últimos
12 meses
Año
1 000 000
900 000
800 000
700 000
600 000
500 000
400 000
300 000
200 000
100 000
0
Nº de personas
Alumnos matriculados en la educación regular
por sexo en el año 2007
Nº de alumnos
• ¿Cuál gráfico le sirve a Ana para averiguar sobre la deserción escolar?
150
120
90
60
30
Frecuencia
Todos los días
Casi todos los días
Una vez por semana
Una vez al mes
Período mayor
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
R.M.
Hombres Mujeres
Región
Datos y azar 159

Conexiones
Para finalizar
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.
Respetó las opiniones de los demás integrantes.
Cumplió con las tareas con las que se comprometió.
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
2. Comenten y respondan: para el próximo trabajo en equipo, ¿qué aspectos podrían mejorar?
160 Unidad 5
NACIONAL
Algunas de las principales tendencias de Internet en Chile
Internet tiene cada vez más presencia en la vida de todos.
Considerando esto, fue que la empresa AyerViernes realizó el
estudio “Soy Digital 2010”, sobre el consumo de Internet en el
país y cómo este ha cambiado.
El reporte concluyó que los usuarios se conectan principalmente
por entretención, siendo sus principales actividades revisar
correos electrónicos (93%), buscar información (91%) y leer noticias
(81%).
Otra tendencia, es que el 80,2% de los usuarios ha realizado una compra online, lo que
confirma que es un medio válido para adquirir algo, en su mayoría un artículo tecnológico (65,4%).
También se destaca que el 41,4% cree que la publicidad es invasiva.
Un desafío pendiente para las empresas que prestan servicios online tiene relación con
crear espacios donde se pueda escuchar a los clientes para saber qué ofrecer, cómo y cuándo.
Fuente: Adaptado de www.emol.com/noticias/tecnologia/detalle/detallenoticias.asp?idnoticia=392589
Publicado el miércoles 6 de enero de 2010.
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.
1. Hagan un listado de las 5 actividades que consideran principales a la hora de conectarse a
Internet. Luego, realicen una encuesta considerando una muestra de 30 personas, que
respondan: ¿cuál de estas 5 actividades son las que más utilizas cuando te conectas a
Internet?
2. Organicen los resultados obtenidos en una tabla, construyan un gráfico y confronten sus
resultados con los del estudio “Soy Digital 2010”.
3. ¿Piensan que el estudio “Soy Digital 2010” se realizó mediante censo o muestreo?
Justifiquen sus respuestas.
Evaluamos nuestro trabajo
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

Unidad 5
A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales
conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las
relaciones que hay entre los conceptos.
DATOS NO
AGRUPADOS
DATOS AZAR
TABLAS DE
FRECUENCIA
MEDIA ARITMÉTICA
Y MODA
DATOS
AGRUPADOS
Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.
1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Cómo calculas la media aritmética para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo.
3. ¿Cómo determinas la moda para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo.
4. ¿Qué diferencias observas entre el Censo y el muestreo?, ¿qué utilidad tienen?
5. ¿Qué aspectos debes considerar para el diseño de una encuesta? Realiza una encuesta, en
tu cuaderno, sobre el tema que tú quieras.
6. ¿Cuándo los sucesos son equiprobables? Da un ejemplo.
ESPACIO
MUESTRAL
PROBABILIDAD
SUCESOS
EQUIPROBABLES
REGLA DE
LAPLACE
PRINCIPIO
MULTIPLICATIVO
7. ¿Cómo puedes obtener la cantidad de elementos de un espacio muestral? Da un ejemplo.
8. ¿Cómo determinas la probabilidad de ocurrencia del evento?, ¿de qué formas se puede
representar? Da un ejemplo.
9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu
curso e intenten aclararla en conjunto.
Datos y azar 161
Síntesis

¿Qué aprendí?
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.
1. La cardinalidad del espacio muestral del
experimento “lanzar cuatro monedas
simultáneamente” es:
A. 2
B. 6
C. 8
D. 16
2. En una caja hay 7 bolitas rojas, 10 negras, 9
amarillas y 4 azules. Si se extrae una bolita, sin
mirar, la probabilidad de que sea amarilla es:
A. 30%
B. 70%
C. 3%
D. 9%
3. Se ha determinado la masa de 100 estudiantes
de un colegio, obteniéndose la tabla adjunta.
¿Qué porcentaje de estudiantes tiene una
masa menor de 71 kg?
A. 7%
B. 20%
C. 70%
D. 93%
162 Unidad 5
Masas (kg)
Nº de
estudiantes
46 - 50 4
51 - 55 11
56 - 60 30
61 - 65 28
66 - 70 20
71 - 75 5
76 - 80 2
4. De la situación anterior, ¿qué porcentaje de
estudiantes pesa más de 60 kg?
A. 28%
B. 45%
C. 55%
D. 93%
5. De la tabla del ítem 3, la frecuencia absoluta
acumulada en el intervalo 56 - 60,
corresponde a:
A. 45
B. 30
C. 15
D. 19
6. De tabla del ítem 3, ¿qué clase tiene la
probabilidad 0,2?
A. 51 - 55
B. 66 - 70
C. 71 - 75
D. 76 - 80
7. De la tabla del ítem 3, el valor aproximado
de la moda corresponde a:
A. 58 kg
B. 59,6 kg
C. 61,6 kg
D. 60,5 kg
8. De la tabla del ítem 3, la media aritmética es:
A. 4,11 kg
B. 63 kg
C. 58 kg
D. 61,6 kg

9. El siguiente gráfico, corresponde a una encuesta realizada por el Consejo Nacional
de Televisión, en el año 2009.
¿Con qué frecuencia ve TV abierta chilena?
Porcentaje
• ¿Cuántas personas ven TV abierta 5 días a la semana, o más?, ¿y los que ven
todos los días?, ¿qué puedes concluir?
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
¿Qué logré?
1. Marca según tu apreciación.
Construcción e interpretación de tablas de frecuencia
para datos agrupados
Media aritmética y moda para datos agrupados
Censo y muestreo
Análisis de encuestas
Espacio muestral y principio multiplicativo
Sucesos equiprobables y regla de Laplace
Resolución de problemas
2. Reflexiona y responde.
Hombres (2419 en total)
80,00% Todos los días
Mujeres (2589 en total)
70,00% 5-6 días a la semana
60,00%
50,00%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
3-4 días a la semana
1-2 días a la semana
Menos de 1 vez a la semana
Nunca o casi nunca
No sabe / no contesta
Frecuencia (TV)
No lo
entendí
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 131 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.
Lo
entendí
Unidad 5
Puedo
explicarlo
Datos y azar 163

164 Unidad 6
6Unidad
Funciones
y relaciones
proporcionales

En esta Unidad podrás...
• Plantear ecuaciones que representan situaciones de la vida cotidiana, y analizarlas
a través de tablas y gráficos.
• Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y utilizarlos
para representar variadas situaciones.
• Distinguir entre variables dependientes e independientes en las funciones,
e identificar el dominio y recorrido de estas.
• Identificar variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional.
• Reconocer y representar funciones de proporcionalidad directa e inversa.
• Analizar y comparar situaciones que representan variaciones proporcionales
y no proporcionales; uso de software gráfico en estos casos.
• Resolver problemas que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.
Conversemos de...
En la actualidad, el sedentarismo afecta a un gran porcentaje de la
población, a pesar de que se ha demostrado que hacer deporte
regularmente produce numerosos beneficios para la salud, tanto físicos
como psicológicos: fortalece los huesos, previene la obesidad y la
hipertensión arterial, ayuda a liberar tensiones, entre muchos otros. Incluso,
se ha probado que las personas que practican ejercicio físico de forma
regular, suelen vivir más que aquellas que no lo realizan.
La fotografía muestra a Carlos; él se moviliza en bicicleta diariamente.
Considerando que avanza en promedio a 21 km/h, piensa y responde.
1. Después de cinco horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrer
Carlos, si no se detiene y mantiene el mismo ritmo?
2. Si el trabajo de Carlos está a 31,5 km de su casa, y va en bicicleta, ¿cuánto demora
aproximadamente en llegar al trabajo si no se detiene en ningún momento?
3. El fin de semana visitará a su hermana que vive a 84 km de su casa. Si va en
bicicleta, ¿cuántas horas tardaría en llegar si no realiza detenciones?, ¿a qué hora
llegaría a destino si comienza el viaje a las seis de la mañana?
4. ¿Existe alguna ecuación que permita representar la distancia que recorre
Carlos en un determinado período de tiempo?, ¿cuál?
Funciones y relaciones proporcionales 165

¿Cuánto sabes?
166 Unidad 6
1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases.
a) El triple de un número.
b) El doble de la suma de 3 y –8
c) La tercera parte del doble de un número.
d) La suma del cuarto de un número y el triple de otro número.
e) El valor de n paltas a t pesos cada una.
f) El valor de quince latas de bebida a x pesos cada una.
g) El valor de y kg de pan a $ 750 cada uno.
h) El valor de un huevo si la docena cuesta x pesos.
2. Escribe una expresión algebraica que represente el área y perímetro de las
siguientes figuras.
a) b) c)
t
r
s
a + 3
a + 3
3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.
a) 4 + 10y – 8 = 2y + 12 d)
3
z + 2 = 62
7
b) 3x – 6 = x + 2 e) 1,4a – 0,72 = 11,28 – 0,6a
c) 0,8x – 3 = 12 – 2,2x f)
2
3
2
– 3 = 5 + x
5
4. Plantea una ecuación y encuentra en cada caso, el o los números desconocidos.
a) Si a un número le quito 27 se obtiene 77.
b) La suma de un número y su antecesor es 49.
c) La suma de tres números impares consecutivos es 177.
d) Si al cuádruple de un número le quitamos 3, nos resulta el triple del
número aumentado en 12.
5. En un curso de cuarenta estudiantes, el 20% obtuvo nota igual o superior
a 6,0 en una prueba; el 30% entre 5,0 y 5,9; el 35% entre 4,0 y 4,9, y el resto
del curso obtuvo nota inferior a 4,0.
a) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota mayor o igual a 6,0?
b) ¿Cuántos estudiantes no aprobaron la prueba?
c) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota entre 4,0 y 5,9?
x
y

6. Resuelve los siguientes problemas. Explica el procedimiento utilizado.
a) Un padre tiene veintitrés años menos que su madre, y su hijo tiene
35 años menos que él. Si la suma de las tres edades es 168 años,
¿qué edad tiene cada uno?
b) En un negocio, Matías y Josefa ganaron $ 155 000. Como no trabajaron
de igual forma, el dinero será repartido en la razón 2 : 3.
¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno por el trabajo realizado?
c) En un supermercado, todos los lunes se efectúa un descuento de 3%
sobre la compra total. Si Carmen compró el lunes pasado la mercadería
para el mes y pagó $ 44 232, ¿cuánto habría pagado sin el descuento?
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿Qué debes recordar?
Unidad 6
• Una razón es una comparación entre dos cantidades que se realiza por medio de una división.
Ejemplo:
a
b
antecedente
consecuente
• El valor de la razón es el cociente entre las cantidades. Dos razones son equivalentes si su
valor es el mismo. Ejemplo:
5
10
es equivalente a
4
, ya que
8
5
10
4
= 0,5 y
8
= 0,5.
• Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. La proporción entre las cantidades
a, b, c y d se puede expresar a : b = c
a c
: d, o bien = y se lee “a es a b, como c es a d”.
b d
•
a c
En toda proporción se cumple que = , si y solo si a • d = b • c.
b d
• Un porcentaje se escribe, por ejemplo, 15%, y se lee “quince por ciento”. El porcentaje es
una razón cuyo consecuente es 100.
• Para transformar una razón en porcentaje, basta con multiplicar la razón por 100 y, luego,
calcular el cociente.
4 400
Ejemplo: • 100 = = 80% “4 representa el 80% de 5”.
5 5
• En el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar variables. Para variables
diferentes se asignan letras distintas. Por ejemplo: “el doble de un número aumentado
en el triple de otro número” se puede representar por la expresión algebraica: 2x + 3y.
• Una ecuación de primer grado es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido
llamado incógnita. Resolver una ecuación equivale a encontrar el o los valores desconocidos
para los cuales se cumple la igualdad.
Funciones y relaciones proporcionales 167

Ayuda
• En una ecuación se debe
verificar que la solución
obtenida sea correcta.
Por ejemplo:
5x + 5 = 2x + 20 / – 2x
3x + 5 = 20 / – 5
3x = 15 / : 3
x = 5
Verificamos que la
solución x = 5 es correcta
remplazando:
5 • 5 + 5 = 2 • 5 + 20
30 = 30
• Si se trata de un problema,
además se debe verificar si
la solución es pertinente.
168 Unidad 6
Situaciones con dos variables
Tomás compró mandarinas y un pimentón, y gastó $ 4400.
El kilogramo de mandarinas costó $ 650 y el pimentón $ 500.
Para discutir
• ¿Cuántos kilogramos de mandarinas compró Tomás?,
¿cómo lo calculaste?
• ¿Cuál es la ecuación que permite calcular esta situación?
• ¿Cuánto costarán 9 kg de mandarinas?, ¿y 13 kg?, ¿por qué?
• ¿Podrías representar en una tabla o gráfico la relación entre los
kilogramos de mandarinas comprados y su costo?, ¿cómo?
En esta situación, si representamos con x cada kilogramo de
mandarinas, una ecuación que permitiría determinar la cantidad de
kilogramos de mandarinas que Tomás compró es:
kilogramo de
mandarinas
650x + 500 = 4400
pimentón
Luego, resolvemos la ecuación y obtenemos:
650x + 500 = 4400 / – 500
650x = 3900 / : 650
x = 6
Por lo tanto, Tomás compró 6 kg de mandarinas.
gasto total
Por otro lado, si queremos saber cuánto costarán 9 kg de
mandarinas, podemos multiplicar el valor de cada kilogramo de
mandarinas por 9, es decir, 650 • 9 = 5850, lo que significa que 9 kg
de mandarinas costarán $ 5850. Para saber el valor de 13 kg de
mandarinas calculamos 650 • 13 = 8450, entonces, costarán $ 8450.
Otra forma de resolver la situación presentada es registrar los datos
en una tabla o representarlos en un gráfico.

Observa, en cada caso, la relación entre los kilogramos de
mandarinas y su precio.
Precio ($)
Kilogramos de
mandarinas
No olvides que...
Actividades
Precio
($)
1 650 • 1 = 650
2 650 • 2 = 1300
3 650 • 3 = 1950
4 650 • 4 = 2600
5 650 • 5 = 3250
6 650 • 6 = 3900
7 650 • 7 = 4550
8 650 • 8 = 5200
5200
4550
3900
3250
2600
1950
1300
650
0
Para saber cuánto costarán 7 kg de mandarinas, podemos ver la
tabla y conocer de inmediato el valor. En el caso del gráfico, para
determinar cuánto costarán 5 kg de mandarinas, debemos ubicar
en el eje de las abscisas el número 5, luego, en el punto que tiene
en dicho eje observamos qué valor le corresponde en el eje de las
ordenadas. En este caso es 3250.
1 2 3 4 5 6 7 8
Glosario
1. Resuelve las siguientes situaciones planteando una ecuación, que en cada caso, permita
resolver el problema. Luego, encuentra el valor de la incógnita.
Unidad 6
Kilogramos
de mandarinas
eje de las abscisas: corresponde
al eje horizontal o eje X.
eje de las ordenadas:
corresponde al eje vertical o eje Y.
• Una situación que involucra encontrar un valor desconocido o incógnita se puede representar
planteando la ecuación que, al resolverla, dará solución al problema en cuestión.
• Si la situación relaciona dos variables, podemos analizar su comportamiento por medio de
diversos registros, como una tabla o un gráfico.
a) Manuel tiene x cantidad de dinero en un bolsillo, y el triple en el otro. Si en total tiene
$ 6000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo?
b) Marcela compró un ramo de flores por $ 8900 y 4 jarrones. Si el valor total de la compra es
$ 14 700, ¿cuánto costó cada jarrón?
c) En un rectángulo, el largo mide el doble del ancho. Si el perímetro es 72 cm, ¿cuánto mide
cada lado?, ¿cuánto mide su área?
Funciones y relaciones proporcionales 169

2. En uno de sus planes, una compañía de teléfonos celulares cobra $ 2,5 por segundo al realizar
llamadas a cualquier compañía nacional y en cualquier horario. Camila, que tiene este plan, habló
con su amiga Francisca (que tiene un celular de otra compañía) y gastó $ 900 en esa llamada.
a) ¿Cuál es la ecuación que permite saber cuántos minutos habló Camila con su amiga? Resuélvela.
b) Si una llamada le costó $ 300, ¿cuántos minutos habló?
c) Si Camila llama nuevamente a su amiga Francisca, ¿cuánto gastará si habla 3 minutos?,
¿y si habla 5 minutos?
d) Completa la tabla que relaciona la cantidad de segundos hablados, y su respectivo costo.
e) Si a fin de mes habló 65 minutos a compañías nacionales, ¿cuánto pagará en total ese mes?
f) Completa el siguiente gráfico, que relaciona los minutos hablados con el valor mensual del plan.
g) Si Camila hablara 4 minutos y 12 segundos, ¿cuánto dinero gastaría?
h) Francisca tiene un plan de otra compañía de teléfonos celulares. Los costos de su plan
aparecen en la siguiente tabla:
Si en un mes habla 200 minutos, ¿cuánto debería pagar?
i) Si cada mes hablaras 180 minutos por teléfono celular, ¿qué plan sería más conveniente,
el de Camila o el de Francisca?, ¿por qué?
170 Unidad 6
Precio ($)
5000
4000
3000
2000
1000
Segundos Precio ($)
1 2,5
10
60
90
180
300
5 10 15 20 25 30 35
Minutos hablados
Cargo fijo ($) Minutos incluidos Valor del segundo adicional ($)
14 490 100 2

Unidad 6
3. Sandra se encarga de los pedidos en una empresa de decoración. En una de las compras gastó
$ 27 250, al adquirir un florero a $ 1250 y claveles rojos y blancos. Los primeros tienen un costo
de $ 140, los segundos de $ 120. Compró la misma cantidad de claveles de cada color.
a) ¿Cuántos claveles compró en total?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar
la solución?
b) ¿Cuánto gastaría si comprara treinta claveles en total?, ¿y cuarenta?
c) ¿Cuánto gastaría, incluyendo el florero, si comprara ochenta y seis claveles en total?
d) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de claveles y el gasto asociado.
Cantidad de claveles Precio ($)
e) Observa la tabla: ¿podría Sandra comprar siete claveles en el pedido realizado?, ¿y quince?,
¿cuánto gastaría?
f) Completa el siguiente gráfico.
Precio ($)
1500
1250
1000
750
500
250
2 260
4
12
20
30
50
80
114
2 4 6 8 10 12
Cantidad de claveles
g) ¿Cuánto gastará Sandra en total si compra doce claveles y un florero que cuesta $ 1450 más
que el anterior?
Funciones y relaciones proporcionales 171

Ayuda
Recuerda que la expresión
algebraica 35 000x también
puede escribirse como
35 000 • x.
172 Unidad 6
Noción de función
Miguel vende automóviles. Su sueldo fijo mensual es de $ 180 000,
y por cada unidad vendida durante el mes, recibe una comisión
de $ 35 000.
Observa la tabla de valores:
Cantidad de automóviles vendidos Sueldo recibido ($)
Para discutir
1 180 000 + 35 000 • 1 = 215 000
2 180 000 + 35 000 • 2 = 250 000
3 180 000 + 35 000 • 3 = 285 000
4 180 000 + 35 000 • 4 = 320 000
• ¿Cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles durante
un mes?, ¿y si vende dieciséis?, ¿por qué?
• Si durante un mes vendió x automóviles y recibió un sueldo de
y pesos, ¿qué expresión algebraica permitiría calcular su sueldo?,
¿cuántas variables tiene?
• ¿Cuántos automóviles vendió en un mes que ganó $ 530 000?,
¿cómo lo supiste?
Si analizamos la tabla, podemos observar que para determinar cuál
será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles, podemos
calcular 180 000 + 35 000 • 8 = 460 000,
es decir, este será de $ 460 000 y, si vendiera dieciséis, calculamos
180 000 + 35 000 • 16 = 740 000, entonces, recibiría $ 740 000.
Si representamos con una y el sueldo recibido por Miguel al vender
x automóviles, la situación anterior se puede modelar por la expresión
y = 180 000 + 35 000x. Esta expresión, que relaciona dos variables x e y
de manera que a cada valor de x (nº autos vendidos) le corresponde
un único valor de y (sueldo), recibe el nombre de función.
Luego, para saber cuántos autos vendió en un mes que recibió
$ 530 000 de sueldo, podemos resolver la ecuación:
530 000 = 180 000 + 35 000x / – 180 000
350 000 = 35 000 • x / : 35 000
10 = x
Por lo tanto, ese mes vendió diez automóviles.

No olvides que...
• Una función es una relación entre dos variables x e y, de manera que a cada valor de
x le corresponde un único valor de y.
• Una función se puede representar o modelar de diversas formas; por ejemplo, con una
ecuación, una tabla de valores o un gráfico.
Actividades
1. Construye, en tu cuaderno, un gráfico que represente la situación descrita en la página anterior.
2. Determina, en cada caso, si la relación entre las variables corresponde o no a una función.
Justifica tus respuestas.
a) Un número natural y su opuesto aditivo.
b) Los sabores preferidos de helado por los integrantes de un curso.
c) La longitud del lado de un cuadrado y su área.
d) La cantidad de respuestas correctas en una prueba y la nota final obtenida.
3. Andrea compara los planes que le ofrece una compañía de telefonía celular.
Tarifas Cargo fijo Minutos incluidos en el plan Valor minuto adicional
Plan A 9490 60 220
Plan B 12 990 80 160
Plan C 14 490 100 120
a) Completa la tabla con los valores que debería pagar en cada caso, según la cantidad de
minutos que va a utilizar.
Minutos 60 80 100 120 150
Costo plan A 9490
Costo plan B 12 990
Costo plan C 14 490
b) Si Andrea hablara 80 minutos, ¿qué plan le convendría?, ¿y si hablara 120?, ¿por qué?
c) Si x representa la cantidad de minutos no incluidos en el plan, ¿qué función representa
el monto y de la cuenta de telefonía celular en cada caso?
Unidad 6
Funciones y relaciones proporcionales 173

174 Unidad 6
Variables dependientes e
independientes
En una amasandería se venden empanadas a $ 850 cada una.
Observa y completa la siguiente tabla.
Para discutir
Cantidad de empanadas Precio ($)
1 850 • 1 = 850
2
3
4
5
6
• ¿Cuánto costarán seis empanadas?, ¿y diecinueve?, ¿y treinta y dos?,
¿cómo lo calculaste?
• ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿qué representa la
variable x y la variable y, en este caso?
• ¿Cuál es el gráfico que representa esta situación?, ¿cómo lo hiciste?
• ¿De qué depende el precio final a pagar por las empanadas?
Después de completar la tabla de la situación presentada,
podemos observar que para seis empanadas se cancelan $ 5100,
ya que 850 • 6 = 5100. En este caso, la expresión algebraica que
modela esta situación es:
y = 850x, o bien f (x) = 850x
donde x representa la cantidad de empanadas por comprar e y
representa el valor total a pagar por las empanadas compradas.
Luego, para diecinueve empanadas se cancelan $ 16 150, ya que,
para x = 19, se tiene que y = 850 • 19 = 16 150, o bien
f (19) = 850 • 19 = 16 150.
Para treinta y dos empanadas se cancelan $ 27 200, ya que, para
x = 32, se tiene que y = 850 • 32 = 27 200, o bien
f (32) = 850 • 32 = 27 200.

Observa el gráfico que relaciona la cantidad de empanadas y su precio.
Precio ($)
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
En este caso, para distintos valores de x (cantidad de empanadas)
se obtendrán distintos valores para y (precio de las empanadas).
Además, el valor total de las empanadas compradas depende de la
cantidad que se compren, es decir, el valor de la variable y depende
del valor de la variable x.
No olvides que...
Actividades
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente.
a) El volumen de un cubo y su arista.
b) Un número y su sucesor.
c) La cantidad de kilogramos de pan y el precio total.
Cantidad de
empanadas
Unidad 6
• Una relación entre dos variables x e y se puede representar o modelar por una ecuación tal
que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Como el valor de y depende del
valor x, se dice que y es la variable dependiente y x la variable independiente.
• Para representar una función en un gráfico, los valores de la variable independiente se
representan sobre el eje horizontal o de las abscisas, y los valores de la variable dependiente
se representan sobre el eje vertical o de las ordenadas.
• La variable y puede también escribirse como f (x) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”.
Por ejemplo, la función y = 150 000 + 25 000x, también se puede escribir como
fx = 150 000 + 25 000x.
Funciones y relaciones proporcionales 175

2. Las entradas para asistir a un concierto de hip hop tienen un valor general de $ 10 500.
a) ¿Cuál es el precio de siete entradas?, ¿y de doce?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?
c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?
d) Completa la siguiente tabla según corresponda.
e) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.
3. Observa los valores de la siguiente tabla y complétala.
a) Si el lado del cuadrado mide 9 cm, ¿cuánto mide su perímetro?, ¿y si mide 15 cm?
b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?
c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?
4. El maestro Camilo pinta todo tipo de muros. Él cobra $ 5000 por metro cuadrado pintado
y $ 6800 por la evaluación en terreno del trabajo antes de realizarlo.
a) Completa la siguiente tabla que relaciona los metros cuadrados por pintar y el costo
completo del trabajo.
b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?
c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?, ¿por qué?
d) Si el maestro Camilo no cobrara por la evaluación y pidiera $ 6000 por metro cuadrado
pintado, ¿cuál es la función que representa esta situación? Muéstrala en un gráfico.
5. Observa en el siguiente gráfico, la relación entre la longitud del lado de un triángulo equilátero
y su perímetro.
a) ¿Cuál es la variable dependiente?
¿y la independiente?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa
esta situación?
c) Si el perímetro de un triángulo equilátero es 42 cm,
¿cuánto mide cada uno de sus lados?, ¿por qué?
176 Unidad 6
x 1 Z3 7 10 12 20
y
Lado del cuadrado (cm) 2 3 4 5 6
Perímetro del cuadrado (cm) 8
m 2 1 2 3 4 5 6
Total a pagar
Perímetro (cm)
20
15
10
5
1 2 3 4 5
Lado triángulo
equilátero (cm)

6. Consuelo hace clases particulares a domicilio. Completa la siguiente tabla con el dinero que
Consuelo puede reunir durante un mes.
Cantidad de
clases
Dinero
reunido ($)
a) ¿Cuánto dinero reúne Consuelo en seis clases?, ¿y en dieciséis?
b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?
c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?
d) Construye en tu cuaderno el gráfico correspondiente.
En equipo
1 4 6 16
4500 40 500 54 000
En esta actividad deberán utilizar palitos de fósforo para formar triángulos. Formen grupos de
cuatro integrantes y sigan las instrucciones.
1. Formen un triángulo con tres palitos de fósforo.
2. Luego, con dos palitos más formen dos triángulos, como se observa en la figura.
Un triángulo
Dos triángulos
3. Con dos palitos más formen tres triángulos, con dos más cuatro triángulos y así, vayan
agregando dos palitos más para formar un triángulo más cada vez.
4. Según lo obtenido, comenten y respondan:
a) ¿Qué tipo de triángulos son los que se forman?, ¿por qué?
b) En una tabla anoten la cantidad de triángulos que se forman y la cantidad de palitos
utilizados en cada caso, ¿qué observan?
c) ¿Cuántos palitos son necesarios para formar siete triángulos?, ¿y veinte?, ¿y ciento tres?,
¿por qué?
d) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?
e) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?
Unidad 6
Funciones y relaciones proporcionales 177

178 Unidad 6
Dominio y recorrido
Daniel hizo ciento sesenta alfajores y quiere envasarlos en cajas
que contengan la misma cantidad de unidades. Observa la
siguiente tabla.
Cantidad de cajas 8 10 12 16 20 30
Cantidad de
alfajores por caja
Para discutir
20 16 13,3 10 8 5,3
• ¿Cuántas cajas necesita para distribuir los alfajores?, ¿por qué?
• ¿Cuál es la función que modela esta situación?
• ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?
• ¿Qué valores puede tomar en este caso la variable x?, ¿y la
variable y?, ¿por qué?
Daniel quiere envasar todos los alfajores y repartirlos equitativamente
en las cajas. Por lo tanto, si observamos la tabla anterior, notamos
que no podría usar doce cajas, tampoco treinta, ya que tendría que
partir los alfajores, o las cajas no tendrían la misma cantidad.
160
Luego, la función que modela esta situación es y = , donde la
x
variable independiente x es la cantidad de cajas y la variable
dependiente y es la cantidad de alfajores por caja. En este caso,
los valores de x y los de y deben ser números enteros positivos.
Como 160 debe ser divisible por x, los valores que puede tomar la
variable x en este caso son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160.
El conjunto de valores mencionados corresponden al dominio de la
función y son todos aquellos valores que la variable independiente
x puede tomar.
En el caso de los valores resultantes, al remplazar los valores del
dominio son: 160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1.
Estos valores corresponden al recorrido de la función y son todos
aquellos valores que toma la variable dependiente y.
Finalmente, los conjuntos dominio y recorrido de la función
f (x) =
160
son:
x
Dom ( f ) = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160
Rec ( f ) = {160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1}

No olvides que...
• Se llama dominio de una función, y se expresa por Dom ( f ), al conjunto de valores que la
variable independiente x puede tomar en la función f .
• Se llama recorrido de una función, y se expresa por Rec ( f ), al conjunto de valores que
toma la variable dependiente y, es decir, todos los valores que resultan al remplazar los
valores del dominio en la función f .
Actividades
1. Entre dos ciudades hay una distancia de 360 km. Construye una tabla de valores que relacione la
rapidez constante y el tiempo que emplearían diversos automóviles en recorrer esta distancia,
considerando que la rapidez máxima es de 120 km/h. A partir de la tabla, determina el dominio
y el recorrido de la función.
2. El valor general de las entradas para asistir a un teatro es de $ 4500 y su capacidad máxima es
para ciento cincuenta personas.
a) ¿Cuánto dinero se recauda si asisten ochenta y seis personas?, ¿y si van ciento treinta y tres?
b) ¿Cuál es la función que determina esta situación?
c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?
d) Determina el dominio y recorrido de esta función.
3. Romina tiene trescientos caramelos que reparte entre los niños del barrio, entregándoles la
misma cantidad de dulces a cada uno.
a) ¿Cuántos caramelos les regala a cada niño si son quince?, ¿y a veinticinco?
b) Determina la expresión algebraica que representa esta situación.
c) Si uno de los niños recibe cinco dulces, ¿a cuántos niños les repartió los caramelos?
d) Determina el dominio y recorrido de esta función.
4. En un triángulo rectángulo la medida de uno de los ángulos agudos se puede representar por la
función y = 90 – x.
a) ¿Qué representa la variable independiente x en este caso?
b) ¿Qué valores puede tomar la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué?
c) ¿Qué sucede con el ángulo x si el triángulo es isósceles?
d) Construye en tu cuaderno una tabla que represente esta situación.
Unidad 6
Funciones y relaciones proporcionales 179

Herramientas tecnológicas
Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones, determinar la
expresión algebraica asociada y observar su dominio y recorrido.
Gráfico de una función en Excel
1º En la columna A escribe el doble de los siete primeros números naturales, en orden creciente,
es decir, en la celda A1 escribe el doble de 1, en A2 el doble de 2, en A3 el doble de 3,
así sucesivamente, hasta A7.
2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:
3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”.
4º En las opciones de gráficos selecciona “XY Dispersión”.
5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la planilla, como el que
aparece a continuación:
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
6º Además, puedes poner el siguiente título al gráfico: Relación entre un número natural y su doble.
Luego de desarrollar los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades.
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al gráfico anterior?, ¿cuál es su dominio?,
¿y el recorrido?
b) En una nueva planilla de cálculo, escribe el área de seis cuadrados, cada uno tiene como
medida de sus lados un número natural (en cm), partiendo desde 1 hasta 6, en orden
creciente. Luego, sigue nuevamente los seis pasos y responde las preguntas anteriores.
c) En el almacén de don Luis se venden masticables a $ 40 cada uno.
• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?
• Sigue los seis pasos anteriores para graficar esta función, en una nueva planilla de cálculo.
• ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?
• ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?
• ¿Cuánto costarán diecisiete masticables?, ¿por qué?
180 Unidad 6

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.
1. En una florería, cada rosa vale $ 1200. Si x representa la cantidad de rosas de un ramo e y
su costo, ¿cuál es la función que representa el precio de un ramo de rosas?
A. y = 1200 B. y = 1200 + x C. y = 1200x D. y =
2. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta?
1200
x
x 1 2 3 4 5 6 7
y 5 7 9 11 13 15 17
Unidad 6
A. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable
dependiente.
B. Si el dominio de la función y = 3x corresponde al conjunto de los números naturales,
el recorrido está compuesto por los divisores de tres.
C. El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.
D. La relación entre un número natural y su doble es una función que algebraicamente se
representa como y = 2x.
3. La función y = 130x representa el dinero (y) que se recauda en un día según la cantidad (x) de
sopaipillas vendidas en una panadería.
a) Si un día contabilizaron $ 12 610, ¿cuántas sopaipillas se vendieron?
b) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?
c) ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste.
d) Grafica esta función en tu cuaderno.
4. ¿Puedes determinar una expresión algebraica que modela los valores de la siguiente tabla?
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Criterio Ítem Respuestas correctas
Reconocer la función que representa una situación dada. 1
Analizar la veracidad de afirmaciones asociadas a funciones. 2
Resolver un problema que requiere analizar una función. 3
Analizar una función escrita en tabla y escribirla algebraicamente. 4
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
Funciones y relaciones proporcionales 181

Glosario
constante: es un valor de tipo
permanente, que no se modifica,
en una situación dada.
182 Unidad 6
Variaciones proporcionales y no
proporcionales
Marisol amplió unas fotografías de su hija, al verlas se dio cuenta
de que una de ellas está “distorsionada”, es decir, la imagen no se
ve igual que la fotografía original.
Completa la tabla.
Fotografía 2
Para discutir
Fotografía 3
Largo (cm) Ancho (cm)
Fotografía (1) 4 2
Fotografía (2) 6 2
Fotografía (3) 6 3
Fotografía original (1)
Razón entre
largo y ancho
• ¿Cuál es el valor de la razón en cada caso?
• ¿Cuáles de las razones entre las medidas de los lados de las
fotografías forman una proporción?, ¿por qué?
• ¿Cuál es la fotografía “distorsionada”?, ¿por qué?
En la situación presentada, al calcular el valor de la razón de la
fotografía original, de la fotografía 2 y de la fotografía 3,
obtenemos 2, 3 y 2, respectivamente. Notemos que en la fotografía
original y en la fotografía 3 el valor de la razón se mantiene
constante, por lo tanto, la fotografía 3 está correctamente
ampliada; en este caso, diremos que las fotografías 1 y 3 son
proporcionales, mientras que las fotografías 1 y 2 no son
proporcionales, ya que sus razones no forman una proporción,
es decir, la fotografía 2 es la que se ve distorsionada.

No olvides que...
• Si el valor de la razón entre dos variables se mantiene constante (no cambia) estas variables
son proporcionales.
Actividades
1. Mide el largo y ancho de las siguientes fotografías y determina si son proporcionales a
la fotografía original.
Fotografía original
a) c)
b)
2. Un padre tiene 40 años de edad y su hijo, 20 años. Completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Padre 41
Hijo 21
Tiempo transcurrido en años
1 5 10 15
• ¿La edad del padre y la del hijo son proporcionales a medida que transcurren los años?,
¿por qué?
3. Observa los datos respecto de la temperatura de un paciente en un día cualquiera.
Hora (h) 8 9 10 11 12 13 14
Temperatura (ºC) 37,5 37 38 38,5 39 37,5 38
a) ¿Cuáles son las variables que intervienen?
b) Estas variables ¿son proporcionales o no proporcionales?, ¿por qué?
c) Construye el gráfico correspondiente.
Unidad 6
Funciones y relaciones proporcionales 183

184 Unidad 6
Relación de proporcionalidad directa
En una ciudad del país, el valor de un boleto de locomoción pública
cuesta $ 430.
El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan
la relación entre la cantidad de boletos vendidos y el precio.
Completa la tabla.
Precio ($)
2000
1500
1000
500
1 2 3 4 5
Para discutir
Cantidad
de boletos
Cantidad
de boletos
Total por pagar
($)
1 430 • 1 = 430
2 430 • 2 = 860
• ¿Cuánto pagarías por cinco boletos?, ¿y por veinticuatro?
• ¿Cuál es la función que modela esta situación?
• ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?, ¿cuál es su
dominio y recorrido?
• ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos
vendidos?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es siempre el mismo?
La situación presentada se puede modelar mediante la función
f (x) = 430x. En este caso, el precio total (variable y) depende de la
cantidad de boletos vendidos (variable x), por lo tanto, el total
corresponde a la variable dependiente y la cantidad de boletos a la
variable independiente. Además, dado que se trata de cantidad de
boletos, podemos notar que los valores que puede tomar la
variable x, son el conjunto de los números naturales, es decir,
Dom ( f ) = y los valores que resultan al remplazar los números
naturales en la función son múltiplos de 430, es decir,
Rec ( f ) = 430, 860, 1290, 1720, ….
Para saber cuánto se cancela por cinco boletos podemos calcular
el valor de la función para x = 5, remplazando obtenemos:
f (5) = 430 • 5 = 2150, lo que significa que se pagará $ 2150.
Si queremos saber cuánto se cancela por veinticuatro boletos
calculamos f (24) = 430 • 24 = 10 320, es decir, se pagará $ 10 320.
3
4
5
6
7

En esta situación, el valor de la razón entre el total a pagar y la
cantidad de boletos vendidos es constante, ya que,
430 860 1290
= = = 430.
1 2 3
En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta
y
forma, es decir, si el valor de la razón es constante, las variables
x
son directamente proporcionales. Además, notemos que, en este
ejemplo, mientras más boletos compramos, más dinero debemos
pagar. En general, en una relación de proporcionalidad directa si
una de las variables aumenta o disminuye, la otra también aumenta
o disminuye en la misma razón.
No olvides que...
• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, son directamente
y
y
proporcionales si el valor de la razón es constante, es decir, = k, donde k es la constante
x
x
de proporcionalidad.
• Esta relación de proporcionalidad directa se puede representar como una función de la forma
y = kx. La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una misma
recta que pasa por el origen en un sistema de coordenadas cartesianas.
• En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra también
aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra también disminuye
en un mismo factor.
Actividades
1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional.
Justifica tus respuestas.
a) El número de hojas de un libro y su peso.
b) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.
c) Las longitudes de los lados de un triángulo y su área.
d) El precio de las entradas para ir al cine y la cantidad comprada.
e) El número de trabajadores y los días que demoran en terminar su trabajo.
f) La longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.
Unidad 6
Funciones y relaciones proporcionales 185

2. En los días de calor, el dueño de un kiosco vende muchos helados, por eso diseña una tabla con
los posibles pedidos. Complétala.
a) ¿Cuál es la razón entre el precio y la cantidad de helados?, ¿cuál es el valor de la razón?,
¿es constante?, ¿por qué?
b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?
c) ¿Cuánto costarán dieciocho helados?, ¿y treinta y cinco?, ¿por qué?
d) Completa el gráfico de esta función.
3. Observa el rectángulo. Luego, completa la tabla y el gráfico correspondiente y responde.
a) ¿Qué sucede con el perímetro a medida que x aumenta?, ¿y si disminuye?
b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? Explica cómo la encontraste.
186 Unidad 6
Cantidad de helados 1 2 5 8 12 17
Precio ($) 360
x 3x
1
2
3
4
5
Precio ($)
2000
1600
1200
800
400
1 2 3 4 5 6 7
x
Perímetro
rectángulo (y)
3x
Perímetro (y)
40
30
20
10
Cantidad de helados
1 2 3 4 5
Ancho (x)

4. El siguiente gráfico indica la distancia recorrida por dos autos, uno rojo y uno verde, en un
tiempo determinado sin que cambien sus velocidades en el tiempo.
Distancia (km) Trayectoria de 2 autos
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3
Tiempo (h)
Unidad 6
a) Completa las tablas según el gráfico.
b) ¿Cuál de los dos autos va más rápido?, ¿por qué?
c) ¿En cuánto tiempo el auto verde recorrerá 60 km?
d) ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el auto rojo?, ¿y para el verde?
e) ¿A qué distancia del punto inicial se encontrará el auto verde en 10 horas más?
f) ¿Cuánto tiempo se demorará el auto rojo en recorrer 480 km?
g) ¿Cuál es la función que representa la distancia recorrida por el auto rojo?, ¿y la del auto verde?
En equipo
Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.
Tiempo (h) Distancia (km)
1 30
Tiempo (h) Distancia (km)
2 80
1. En esta actividad deberán buscar información en diversas fuentes para completar y responder
las siguientes preguntas.
a) Los trenes del Metro de Santiago viajan con una rapidez promedio de por hora
entre cada estación.
b) Si la distancia desde Santiago a Talca es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro en
llegar a esa ciudad si no realizara detenciones?
c) Si la distancia desde Valparaíso a Temuco es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro
en llegar a esa ciudad si no realizara detenciones?
d) Si el Metro logró llegar a su destino en 2,8 horas, ¿cuántos kilómetros recorrió
aproximadamente sin considerar las detenciones?
Funciones y relaciones proporcionales 187

Nº de días
70
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50
188 Unidad 6
Relación de proporcionalidad inversa
Para terminar la construcción de un edificio, el ingeniero a cargo ha
calculado que con diez obreros igualmente calificados y trabajando
en las mismas condiciones, termina la obra en treinta días.
El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan la
relación entre el número de obreros y los días que tardan en
terminar el edificio. Completa la tabla.
Nº de obreros
Para discutir
Número de
obreros
Número de
días
5 10 20 30 50
30 6
• ¿Qué sucedería si contrataran a 10 obreros más y trabajaran todos
al mismo ritmo?, ¿se demorarían más o menos tiempo?, ¿y si
contratara a la mitad de obreros considerados inicialmente?
• ¿Cuál es el producto entre el número de obreros y los días que
tardan en terminar el edificio?, ¿es constante?
• ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio
y su recorrido?
En la situación presentada anteriormente, si contrataran a veinte
obreros, estos tardarían quince días en realizar la obra, pues al
duplicarse el personal y si trabajan al mismo ritmo, tardarían la
mitad del tiempo en terminar el trabajo. En cambio, si contrataran
a cinco obreros, estos se demorarían sesenta días en realizar el
trabajo, ya que como corresponden a la mitad de los considerados
inicialmente, tardarían el doble del tiempo en terminar el trabajo.
Notemos que la variable independiente x es el número de obreros
y la variable dependiente y es el número de días.
Observa que, el producto entre el número de obreros y los días
que tardan en terminar el edificio es constante, pues
5 • 60 = 10 • 30 = 20 • 15 = 300.
En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta
forma, es decir, si su producto x • y es constante, las variables son
inversamente proporcionales.

Por otro lado, notemos que si aumenta la cantidad de obreros,
disminuye la cantidad de días que demoran en realizar el trabajo en
la misma razón y, si la cantidad de obreros disminuye, aumenta la
cantidad de días que tardarán en realizar la obra en la misma razón.
300
Luego, la función que modela esta situación es y = , donde x
x
corresponde al número de obreros y son números naturales e y
corresponde a los días, por lo que son números naturales también.
Los valores que puede tomar la variable x son números naturales
divisores de 300, es decir, Dom ( f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, …, 300 y
los valores que resultan al remplazar estos números corresponden
al recorrido de la función, es decir, Rec ( f ) = 300, 150, 100, …, 2, 1.
No olvides que...
• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, están en proporción inversa
cuando el producto entre ellas se mantiene constante, es decir, x • y = k, donde k es la
constante de proporcionalidad.
• Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma
k
y = . La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una curva,
x
llamada hipérbola.
• En una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra
disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en un
mismo factor.
Actividades
1. Indica si las siguientes variables son inversamente proporcionales. Justifica tus respuestas.
a) La longitud de los lados de un triángulo equilátero y su perímetro
b) El número de días que tardan en realizar un trabajo un cierto número de secretarias.
c) El número de dulces del mismo tipo que compró y lo que pagó por ellos.
d) La rapidez con la que se recorre un camino y el tiempo en que se recorre.
e) Litros de bencina del estanque de un automóvil y los kilómetros que rinde.
f) El caudal de una llave y el tiempo que se demora en llenar un estanque.
Unidad 6
Funciones y relaciones proporcionales 189

2. El 8º A irá a una ciudad del sur de Chile como gira de estudios. Los apoderados quieren que el
lugar de destino sea sorpresa y la única información que les dan es que si el bus va a 80 km/h,
tardarían 6 horas en llegar al lugar.
a) ¿A qué distancia se encuentran de esta ciudad?
b) Completa la siguiente tabla que indica la rapidez posible del vehículo y el tiempo que
tardarían con cada una de ellas para llegar a la ciudad. Completa el gráfico correspondiente.
c) ¿Cuál es la función que relaciona la rapidez y el tiempo, en este caso?, ¿cuál es su dominio?
d) ¿A qué rapidez debe ir el vehículo para tardar 5 horas en llegar?
e) Si el vehículo fuese a una rapidez de 50 km/h, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar a destino?
f) Si la rapidez promedio de una persona al caminar es de 5 km/h, ¿cuánto demoraría una
persona en realizar el mismo viaje?
g) Si unes los puntos del gráfico, ¿qué obtienes?
3. En cada caso, completa la tabla, explica por qué las variables están inversamente relacionadas,
determina la función que las modela y construye el gráfico en tu cuaderno.
a) El área de un rectángulo es 6 cm 2 .
b) Un tren debe recorrer 600 kilómetros. ¿Cuánto tiempo tardará si lleva una rapidez constante?
c) Un panadero elaboró 144 alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma
cantidad de unidades. ¿Cuántas cajas podría armar según la cantidad de alfajores que se
indican en la tabla?
190 Unidad 6
Tiempo (h) Rapidez (km/h)
4
6 80
60
10
12
Rapidez (km/h)
120
100
80
60
40
20
2 4 6 8 10 12 14 16
base (cm) 1 1,5 2 3 4 6
2 Área 6 cm
altura (cm)
Rapidez constante (km/h) 40 50 60 100 120
Tiempo (h) 6
Cantidad de alfajores por caja
Cantidad de cajas
6 12 18 24
0
Tiempo (h)

Unidad 6
4. Descubre qué tablas expresan funciones de proporcionalidad inversa y cuáles directa. En cada
caso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) donde corresponde. Luego, escribe la
función que modela los datos en cada tabla.
x y
4 5
2 10
1 20
0,5 40
k = k = k = k =
5. Resuelve en tu cuaderno y, luego, completa la tabla.
Problema
Quince máquinas iguales hacen su
trabajo en cinco días. ¿Cuántas
máquinas se necesitan para hacer
el trabajo en un día?
Una persona acumula en promedio
1 kg de basura diaria. ¿Cuántos
kilogramos juntará en diez días?
Si van doce niños a un campamento,
los alimentos durarán seis días.
Si todos comen la misma cantidad,
¿cuántos días durará la comida si van
seis niños más?
Dos ciclistas demoran cuatro horas
en llegar a la playa viajando con una
rapidez de 30 km por hora. ¿Con qué
rapidez tendrían que viajar para tardar
tres horas?
La impresora de un colegio reproduce
cincuenta y cuatro informes de notas
en tres minutos. ¿Cuántos informes
imprime en cinco minutos?
x y
7 21
2 6
10 30
0,5 1,5
Tipo de
proporcionalidad
x y
3 525
5 875
2 350
10 1750
Función que la
representa
x y
3 8
6 4
12 2
1 24
Respuesta al
problema
Funciones y relaciones proporcionales 191

Herramientas tecnológicas
Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones de proporcionalidad
directa e inversa.
Gráfico de funciones proporcionales y no proporcionales
1º Para graficar la función que representa la relación entre un número natural y su triple, en la
columna A escribe los primeros seis valores del recorrido de la función, es decir: 3, 6, 9, 12,
15 y 18.
2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:
3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego la opción “Gráfico”. En las opciones de gráficos
selecciona “XY Dispersión”.
4º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que aparezca en la planilla un gráfico como el siguiente:
Luego de realizar los pasos anteriores:
a) Grafica la función que representa la relación entre un número natural y su sucesor.
b) Grafica la función que representa la relación entre un grupo de amigos que están de
vacaciones y la cantidad de días que les alcanzará el alimento, considerando que para tres
personas el alimento alcanza cuatro días y todos los días consumen la misma cantidad.
c) Escribe función que modela cada situación.
d) ¿Cuál es el dominio de cada función anterior?, ¿y su recorrido?
e) En las funciones anteriores ¿las variables se relacionan en forma proporcional? Explica.
f) ¿Qué semejanzas observas en los gráficos de cada función?, ¿y qué diferencias?
g) ¿Alguna de las situaciones anteriores no representa una variación proporcional?, ¿cuál?, ¿por qué?
192 Unidad 6
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7

Mi progreso
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.
1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A. La cantidad de kilogramos de pan y su costo son proporcionales a medida que aumenta la
cantidad de pan.
B. En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta la otra
también aumenta.
C. La edad de Juan (12) y su hermano Luis (15) son proporcionales a medida que transcurren
los años.
D. En una función de proporcionalidad inversa el producto entre las variables es constante.
3. La función que relaciona el tiempo y la rapidez en la pregunta anterior es:
200
A. y =
x
x
B. y =
200
C. y = 200x D. y = 2 • 100
Unidad 6
2. Carlos viajó a la costa la semana pasada. Tardó dos horas en llegar al destino viajando a 100 km/h
durante todo el trayecto. ¿Cuánto hubiese demorado si fuera a 80 km/h durante todo el viaje?
A. 2 h y 5 m B. 4 h C. 2 h y 50 m D. 2 h y 30 m
4. Laura hará un queque para quince personas, usando una receta que necesita cinco huevos.
a) Si usa esta receta, ¿cuántos huevos necesitará para hacer un queque para veintiún personas?
b) ¿Qué función representa esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?
c) Construye el gráfico que representa esta situación.
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.
Criterio Ítem Respuestas correctas
Analizar afirmaciones relacionadas con magnitudes proporcionales
y no proporcionales.
1
Analizar una situación de proporcionalidad inversa. 2
Reconocer una función de proporcionalidad inversa escrita en
lenguaje algebraico.
3
Resolver un problema sobre función de proporcionalidad directa. 4
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera
la estrategia utilizada.
Funciones y relaciones proporcionales 193

Buscando estrategias
En una distribuidora de productos al por mayor se venden cajas de galletas según la
siguiente regla: la primera caja cuesta $ 5000, la segunda cuesta $ 100 menos, la siguiente
cuesta $ 100 menos que la anterior, y así sucesivamente, con un límite de veinticinco cajas. Si
Diego compra veinte cajas de galletas, ¿cuánto pagó por la última caja?
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
Que la primera caja cuesta $ 5000, la segunda $ 100 menos, la tercera $ 100 menos que la
anterior, y así sucesivamente.
• ¿Qué debes encontrar?
El costo de la vigésima caja, si se sigue la regla.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
Para resolver el problema encontraremos la expresión algebraica que modela esta situación.
Es conveniente construir una tabla de valores, a modo de observar el comportamiento de la
función, para así encontrar una expresión algebraica que la represente y, finalmente,
evaluar la función en el valor pedido (20) para responder a la pregunta.
Resolver
• En la siguiente tabla se muestran algunos valores para cada caja de galletas y el monto
por pagar:
Luego, podemos escribir la función que representa el costo de una caja, considerando
cuántas ya se han comprado:
y = 5000 – 100(x – 1)
donde x es la cantidad de cajas de galletas, e y es el costo de la caja.
Finalmente, evaluamos la función en x = 20 y obtenemos:
y = 5000 – 100(20 – 1) = 5000 – 100 • 19 = 3100
Responder
• El valor de la vigésima caja, si se sigue la regla, es de $ 3100.
Revisar
• Para comprobar que la vigésima caja tiene un costo de $ 3100, podemos completar la
tabla hasta la caja número 20.
194 Unidad 6
Cajas de galletas 1 2 3 4 5 6
Costo de la caja ($) 5000 4900 4800 4700 4600 4500

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.
Unidad 6
a) Claudia solicitó un crédito para comprar una camioneta para su taller. Si el monto total del
crédito es de $ 3 600 000, y lo cancelará en 36 cuotas iguales, ¿cuál es el monto por pagar
después de pagar la octava cuota?, ¿y la cuota número 25?, ¿cuál es la función que
representa esta situación?
b) María Elena compró un saco de 20 kg de cebollas en la vega. Si cada día utiliza 400 g en
las distintas recetas que prepara, ¿cuánta cebolla le queda después de dos semanas?, ¿cuál
es la función que representa esta situación?
c) Un veterinario cobra $ 7000 por realizar un aseo
completo a un perro. Si se asean más perros, se
efectúa el siguiente descuento: el segundo $ 350
menos, el tercero $ 350 menos que el anterior, y así
se sigue esta regla sucesivamente hasta el décimo perro.
Si Manuel llevó a asear a sus ocho perros:
• ¿cuánto pagó por el octavo perro?, ¿y cuánto
pagó en total?
• ¿cuál es la expresión algebraica que representa
esta situación?
• ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido?
2. Ahora, resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.
Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,
¿por qué?
a) Carolina tiene una deuda con su amiga Beatriz. Acordaron que Carolina le pagaría en doce
cuotas de la siguiente forma: el primer mes abonaría $ 9000, el segundo $ 700 más, el
tercero $ 700 más que el mes anterior, y así sucesivamente hasta saldar la deuda completa.
• ¿Cuánto canceló Carolina el séptimo mes?, ¿y el décimo?
• ¿Cuánto debe en total Carolina a su amiga?
• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?
b) En una fábrica de empanadas compran 5 kg de aceitunas semanalmente para su
elaboración. La semana pasada utilizaron 800 g diarios de aceitunas. ¿Cuántas aceitunas
quedaron, si fabrican empanadas de lunes a sábado?
Funciones y relaciones proporcionales 195

Conexiones
Para finalizar
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla, escribiendo Sí, A veces y No, según
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.
Respetó las opiniones de los demás integrantes.
Cumplió con las tareas comprometidas.
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?
196 Unidad 6
NACIONAL
Día Mundial sin Tabaco
La adicción al tabaco es una enfermedad crónica, considerada
por la Organización Mundial de la Salud (OMS) como la causa principal
de enfermedades, invalidez y mortalidad prematura a nivel mundial.
Además, no solo afecta a los fumadores, sino que a aquellas
personas que están cerca de un fumador y respiran el mismo aire (los
fumadores pasivos). En Chile, el 17% de las muertes que cada año
ocurren se atribuyen al consumo de tabaco.
La OMS ha establecido el 31 de mayo como el Día Mundial sin
Tabaco y nuestro país no está ajeno a esta cruzada, en la que se llama a
tomar conciencia para frenar su consumo, pues ha alcanzado niveles
alarmantes, situándonos como el país con la población más fumadora de
la región: en promedio ocho cigarrillos diarios (Estadísticas de consumo
de tabaco en Chile).
Fuentes: Ministerio de Salud, www.redsalud.gov.cl/noticias/noticias.php?id_n=449&show=5-2009 ,
publicada el 29 de mayo de 2009.
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.
1. Consideren la cantidad promedio de cigarrillos que fuma una persona chilena y, luego, respondan.
a) ¿Cuántos cigarrillos fumará una persona en un año?, ¿y en ocho años?, ¿cuáles son las
consecuencias a corto y largo plazo de fumar?
b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido?
2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la
solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.
3. Averigüen qué programas o actividades se han realizado este año en nuestro país para
promover la vida sana libre del tabaquismo.
Evaluamos nuestro trabajo
Gentileza MINSAL.
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

Unidad 6
A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales
conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace.
VARIABLES DEPENDIENTES
VARIACIONES PROPORCIONALES
DIRECTA INVERSA
SITUACIONES CON
DOS VARIABLES
FUNCIONES
Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.
1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Cómo reconoces una función?, ¿cuáles son sus características?, ¿cómo se expresa una
función en lenguaje algebraico?
3. ¿Qué diferencias hay entre variables dependientes e independientes?, ¿y qué semejanzas?
4. ¿Qué caracteriza al dominio de una función?, ¿y al recorrido?
VARIABLES INDEPENDIENTES
VARIACIONES NO
PROPORCIONALES
5. ¿Cuándo las variables se relacionan proporcionalmente?, ¿y cuándo no son proporcionales?
6. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad directa? Da un ejemplo.
7. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad inversa? Da un ejemplo.
8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en
tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Funciones y relaciones proporcionales 197
Síntesis

¿Qué aprendí?
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.
1. En una librería, el precio de cada cuaderno es
de $ 890. La función que relaciona la cantidad
de cuadernos y su costo es:
A. y = 890 + x
890
B. y =
x
C. y = 890 – x
D. y = 890x
2. ¿Cuál de las siguientes situaciones no
corresponde a una función?
A. Un número natural y su mitad.
B. La cantidad de pasajes de metro
comprados y su costo.
C. Los kilómetros recorridos por un automóvil
(va a velocidad constante) y el tiempo
que tarda.
D. Los deportes que practican los integrantes
de un curso.
3. Si cinco pintores logran pintar una casa
en cuatro días, ¿cuántos días se demoran
diez pintores, trabajando en las
mismas condiciones?
A. Dos días.
B. Veinte días.
C. Cuarenta días.
D. Ocho días.
4. En la función: “el doble de un número natural”,
¿cuál es el recorrido?
A. Rec ( f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
B. Rec ( f ) = 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
C. Rec ( f ) = 2, 4, 6, 8
D. Rec ( f ) = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
198 Unidad 6
5. ¿Cuál de las siguientes relaciones no
es proporcional?
A. Distancia recorrida y tiempo utilizado
(a velocidad constante).
B. El peso de una mochila y la cantidad de
cuadernos que lleva dentro.
C. El lado de un cuadrado y su área.
D. La velocidad de un automóvil y el tiempo
utilizado en un recorrido de 40 km.
6. En una chocolatería, el precio de un tipo de
bombón es de $ 220 la unidad. ¿Cuál es la
variable dependiente?
A. La cantidad de bombones.
B. El precio a pagar por los bombones.
C. El tipo de bombón.
D. La cantidad de bombones y su costo.
7. El sueldo fijo mensual de un vendedor de
computadores es $ 150 000 más una comisión
de $ 9000 por unidad vendida. ¿Cuál de las
siguientes expresiones algebraicas representa
el sueldo del vendedor?
A. y = 150 000x + 9000
B. y = 159 000 + x
C. y = 9000x + 150 000
D. y = 159 000x
8. Si 1200 g de mermelada se pueden envasar
en seis frascos de 200 g. ¿Cuántos frascos
de 150 g se necesitan para envasar 1200 g
de mermelada?
A. Ocho frascos.
B. Treinta y tres frascos.
C. Cincuenta frascos.
D. Trece frascos.

9. Los valores x e y de la tabla representan una función de proporcionalidad directa.
Completa con los valores que faltan y construye en tu cuaderno un gráfico.
• ¿Cuál es la expresión algebraica que
representa esta situación?
10. El gráfico representa la relación entre la
cantidad de secretarias y el tiempo que se
demoran en organizar un archivo (días),
trabajando todas en igualdad de condiciones
y la misma cantidad de tiempo.
a) ¿Qué tipo de función representa
el gráfico?, ¿por qué?
b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
¿Qué logré?
1. Marca según tu apreciación.
Análisis de relaciones entre variables.
Noción de función.
Variables dependientes e independientes.
Dominio y recorrido.
Variaciones proporcionales y no proporcionales.
Relación de proporcionalidad directa.
Relación de proporcionalidad inversa.
Resolución de problemas.
2. Reflexiona y responde.
x 1 16 32
y 5 10 320
Tiempo (días)
120
100
80
60
40
20
1 2 3 4 5 6
No lo
entendí
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 165 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.
Cantidad de
secretarias
Lo
entendí
Unidad 6
Puedo
explicarlo
Funciones y relaciones proporcionales 199

Unidad 1
Números enteros 10
Página 11
1. 12 km 2. 4 km 3. 8 km
Página 12
1. a) –7 < –5 d) 4 > –1
b) –8 > 5 e) –3 = 3
c) –10 < –15 f) 8 > –8
2. a) –29 < –28 < –14 < 20 < 29 < 49
b) –5 < –4 < –1 < 1 < 3 < 5
c) –111 < –1 < 5 < 18 < 101 < 111
d) –18 < –16 < –10 < –7 < 0 < 1
e) –23 < –19 < –14 < –5 < 10 < 22
f) –40 < –20 < –18 < –6 < 2 < 6
3.
Número Inverso Aditivo
–6 6
–4 4
7 –7
–5 5
–1 1
3 –3
–2 2
4. a) 6 c) –11 e) –8 g) –13
b) –8 d) –7 f) –2 h) 5
5. a) –7 ºC
b) $ 3200
c) A 10 m bajo el nivel del mar.
d) A 2 m bajo el nivel del mar.
Página 13
6. a) 5 c) 52 e) 60 g) 11
b) 300 d) 30 f) 9 h) 60
Página 15
1. a) –15 c) –24 e) –8 g) –36
b) 20 d) –30 f) –8 h) –52
200 Matemática 8
Solucionario
2. Puede ser:
a) 1 • (–1) c) 2 • 4 e) 4 • (–9)
b) 8 • (–2) d) 2 • (–5) f) 7 • (–1)
3. a) 14 • 4 c) 3 • (–21) e) 2 • (–5)
b) 5 • (–1) d) 4 • (–4) f) 6 • (–6)
4. a) Verdadero
b) Falso, el resultado de la multiplicación de un
número natural (positivo) por un número
entero negativo siempre es un número
negativo, por la regla de los signos.
c) Falso, ya que 1 • –1 = –1.
d) Falso, porque el número puede ser negativo
y si se multiplica por dos el resultado es menor
que el factor.
Página 17
1. a) –15 c) –33 e) 4 g) –14
b) 0 d) 30 f) –7 h) 45
2. a) Puede ser –4 • 5. c) Puede ser –6 • 3.
b) Puede ser 8 • –2. d) Puede ser 8 • 1.
3. a) –3 c) –8 e) –1
b) –7 d) 3 f) 16
4.
Página 19
1. a) 60 d) –10 g) –60
b) –41 e) –111 h) 9
c) –45 f) 76 i) –60
2. Puede ser:
1080
–12 –90
–2 6 –15
–1 +2 3 –5
a) 96 : 2 b) –162 : 3 c) 4096 : (–4)
3. a) –20 c) –63 e) 126
b) –10 d) 48 f) 120

4. a)
x y
–10 –5
–8 –4
–6 –3
–4 –2
–2 –1
b) No, por ejemplo en la operación 6 : 5 = 1,2;
el número 1,2 no es un número entero sino
que un racional.
Página 20
5.
3 –3 3 3
6 –6 6 6
–2 2 2 2
– 7 7 7 7
6. a) No, porque uno es el inverso aditivo del otro.
b) No, porque el valor absoluto de un número es
siempre positivo.
c) Sí, porque ambas expresiones son siempre
positivas. Además, b • a = b • a.
7. –4
En equipo
Las posibilidades
• 150 200 –250 300 –350 400
–25 3750 –5000 6250 –7500 8750 –10 000
–10 1500 –2000 2500 –3000 3500 –4000
–5 750 –1000 1250 –1500 1750 –2000
–1 150 –200 250 –300 350 –400
2 –300 400 –500 600 –700 800
5 –750 1000 –1250 1500 –1750 2000
: 150 200 –250 300 –350 400
–25 6 –8 10 –12 14 –16
–10 15 –20 25 –30 35 –40
–5 30 –40 50 –60 70 –80
–1 150 –200 250 –300 350 –400
2 –75 100 –125 150 –175 200
5 –30 40 –50 60 –70 80
Página 21
1. B 2. D
3.
a) Los signos del cociente y producto,
respectivamente.
b) Sí, pues en ambos casos el resultado es
siempre positivo.
4. Emilia 120 puntos y Carlos 20 puntos.
5. 5 horas y 4 horas, respectivamente.
Página 23
1.
400 –4 –100 400
2304 –8 –288 2304
202 500 5 40 500 202 500
–6 –5 0 30 = (–6) • (–5) + 0
6 5 0 30 = 6 • 5 + 0
5 8 2 42 = 5 • 8 +2
–5 9 3 –42 = (–5) • 9 + 3
8 –2 4 –12 = 8 • (–2) + 4
8 1 4 12 = 8 • 1 + 4
–6 –4 3 27 = (–6) • (–4) + 3
–6 5 3 –27 = (–6) • 5 + 3
6 4 3 27 = 6 • 4 + 3
4 –5 0 –20 = 4 • (–5) + 0
–4 –5 0 20 = (–4) • (–5) + 0
2. a) Del dividendo y divisor.
b) En algunos casos, pero según el algoritmo de
la división, el cociente y resto son únicos en
cada caso.
3. a) Si a : 0 = x, se tendría que a = 0 • x, pero no
existe un número entero x que multiplicado
por cero resulte a.
b) Si 0 : a = 0, se tiene que 0 = a • 0. Luego,
todo número entero multiplicado por cero
es cero.
Solucionario 201

Página 25
1. a) 6 d) 960 g) 0
b) –9 e) 0 h) 12
c) 6 f) –10 i) 1
2. a) –20 c) –10 e) 100
b) –20 d) –42 f) –120
3. a) –11 c) 7 e) 35
b) 19 d) –54 f) 11
4.
Página 26
9.
202 Matemática 8
96 –6 128
–2 –6 –5
250 –6 –125
5. a) $ 43 750 d) $ 258 750
6. a) $ 600 000
b) $ 50 000
c) $ 3 000 000
7. a) 690 – 12 • 8
b) $ 594 y $ 510, respectivamente.
8. a) 20 – 2 • 18 b) –16 ºC
–
–18 –2 –648 –648
4 1 324 324
–48 –3 –3072 –3072
–100 –1 –2500 –2500
–128 –2 –512 –512
10. a) No, serán iguales solo si a es 1 ó –1.
b) Sí, pues se trata de la propiedad asociativa.
Página 27
11. a) 4 c) –2 e) –10 g) –10
b) 15 d) –5 f) 45 h) –3
12. a) Pregunta: ¿Cuál fue la temperatura registrada
a las 11:00 h?
Respuesta: La temperatura a las 11:00 h fue
de 10 ºC
b) Pregunta: ¿Cuánto dinero retiró en
agosto Patricio?
Respuesta: Patricio retiró $ 32 500.
Estrategia mental
a) –32 g) –75
b) 8 h) –180
c) 10 000 000 000 i) –1
d) 50 j) 2
e) –2 k) –10
f) 16 l) 1
Página 28
Herramientas tecnológicas
9. a) Ocurre siempre lo mismo ya que
A2 • B2 = B2 • A2.
b) Ocurre lo mismo siempre que B2 sea un
número entero negativo.
c) Sí
d) No
Página 29
1. C 2. D
3.
¿Obtiene los mismos resultados en las columnas
4 y 5? No, ¿y en las 6 y 7? Sí
¿Ocurrirá siempre los mismo en estos casos?
Ocurre siempre lo mismo en las columnas 6 y 7,
ya que en la columna 7 se aplica la
propiedad distributiva.
4. –53
Página 31
Buscando estrategias
1. a) $ 196 000
b) $ 1 605 000
c) 5 ºC y 3 ºC, respectivamente.
3. a) A 34 m bajo el nivel del mar.
b) $ 377 000
Página 32
1. 2063
2. 3 y 2063, 2140, 2217
108
–
3 222 222
–56 –14 266 266
5. No coincide, ya que el cometa tiene como
promedio pasar cada 77 años, pero este rango
puede variar entre 74 y 79 años.

Página 34
1. C 3. C 5. C 7. C
2. A 4. A 6. A 8. D
Página 35
9. Aumenta 238 ºC por minuto.
10. a) Galería 5. c) Galería 10. e) Galería 4.
Unidad 2
Potencias 36
Página 37
1. 160 000 bacterias, 2 560 000 bacterias,
10 000 • 2 n , donde n es el tiempo transcurrido.
2. 2 621 440 000 bacterias.
3. Después de 6 horas.
Página 38
1. a) 3 2 c) (0,4) 4 ó 4
b) 7 6 d) 2
2. a) 5 • 5
4 • 4 • 4 • 4
b)
9 • 9 • 9 • 9
c) 18 • 18 • 18
d) 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2
e) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2
f) 1,3 • 1,3
e) 5 3
f) 5
3. a) 81 d) 0,16 g) 64
b) 3375
c) 0,027
e)
f)
1
81
1296
h) 625
i)
32
3125
4. a) 5 c) 0 e) 3
b) 5 d) 4 f) 5
5. a) 100 000 personas.
b) $ 500 000 y $ 5 000 000 000
Página 39
6. 64 árboles.
3
4
4
10
2
3
Página 41
1. a) 3 2 c) (–6) 3 e) (–15) 8
b) (–5) 4 d) 10 11 f) 3 3
2. a) 625 c) 1 000 000 e) –2744
b) –7776 d) 343 f) 256
3. a) 4 c) 3 e) 5
b) Puede ser 3 d) 6 f) 2
4.
16 8 0 0
1 13 25 –5
100 52 4 –20
49 29 9 –21
a) No
b) No, solo cuando a = b.
c) Existen casos en que los resultados son
iguales.
Página 43
1. a) 16 e) –1 000 000 000
b) –125 f) 144
c) 27 g) –1
d) 16 h) 144
2. a) Verdadero c) Falso
b) Falso d) Verdadero
3. a) 8 > 4 d) –64 < 16
b) 625 = 625 e) 1 > –2
c) 1 = 1 f) 100 000 000 > 100
Página 45
1. a) 4 6 = 4096
b) 10 9 = 1 000 000 000
c) (–5) 5 = –3125
d) 2 5 = 32
e) (–1) 10 = 1
f) (–6) 8 = 1 679 616
2. a) 5 b) 3 c) 9 d) 1
3. a) (–5) 5 b) 2 13 c) (–2) 13
4. a) 3 b) –235 c) –33
5. a) 512 departamentos.
b) 6561 tenidas.
Solucionario 203

Página 47
1. a) 1 000 000 c) 6 e) 1
b) –125 d) 144 f) 49
2. a) 10 b) 5 c) 3
3. a) (–5) 1 b) 6 1 c) (–2) 3
4. 2 5 cm
Página 49
1. a) 12 4 c) (–10) 6 e) (–66) 7
b) 14 8 d) 120 3 f) (–24) 2
2. a) 10 000 c) 144
b) –3 200 000 d) –1 000 000
3. Sí, porque se pueden aplicar ambas propiedades.
4. a) Área = 8000 cm 2
b) Volumen = 576 cm 3
Página 51
1. a) (–4) 4 c) 9 6 e) (–7) 11
b) 9 9 d) (–8) 3 f) 8 7
2. a) 81 c) 10 000 000 000
b) –512 d) 81
3. a) –4 b) –26 c) 160
4. 3 2 platos de fondo. 5. 2 2 pantalones.
Página 53
1. a) 9 2 cm 2 b) 6 • 9 2 cm 2 c) 9 3 cm 3
2. a) 6561 c) 81 e) 256
b) –512 d) 1 f) 390 625
3. a) 15 b) 5 c) 2 d) 27
4. a) 2 36 b (–2) 15 c) (–2) 21 d) 2 16
5. Sí, porque x • y = y • x.
Página 54
Estrategia mental
a) 625 e) 9025 i) 42 025
b) 4225 f) 990 025 j) 9025
c) 2025 g) 7225 k) 1 010 025
d) 1225 h) 3025 l) 15 625
204 Matemática 8
En equipo
3.
4. a)
b) 4 6 , 8 6 , 12 6 , 16 6
c) 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3
Página 55
1. D 4. B
2. A 5. 8 poleras.
3. C 6. Volumen = 2 15 cm 3
Página 57
1. a)
32
243
c)
1000
1331
e)
8
1728
b)
64
81
d)
19 683
40 352 607
f) 1
2. a) 3 b) 10 c) 9
Página 59
1.
1 4 4 2 96 4 3
8 8 8 2 384 8 3
27 12 12 2 864 12 3
64 16 16 2 1536 16 3
Columna 3 Columna 5
16 64
64 512
144 1728
256 4096
0,3 3 0,3 4 0,3 2 0,3 8
2 2 5 2 0,8 2 0,8 8
0,5 4 0,5 8 ó 0,25 4 1 1 4
0,1 4 0,1 7 0,1 1 0,1 4
2. a) 1 > 0,5 c) (0,6) 5 < (0,6) 4
b) (2,5) 3 = (2,5) 3 d) (5,5) 2 < (5,5) 3

3.
a) Sí. b) Sí.
Página 61
1.
N o de personas
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
0,25 0,125 0,0625
1 1 1
4 8 16
0,0625 0,015625 0,00390625
1 1 1
16 64 256
4 1
16 4 2
64 4 3
256 4 4
1 2 3 4 5
Nivel
a) 256 personas.
b) El número de personas depende del nivel de
llamados, porque a medida que aumentan los
niveles, aumenta la cantidad de personas
informadas.
Página 63
1.
Población en miles de individuos
300
250
200
150
100
50
0
a) En el 3º año.
b) 16 384
c) En 19 años.
Página 65
1. B
2. C
3. D
1
2
1
1
2
2
1
2
3
1
2
4
1 2 3 4 5
1
2
131 072
65 536
32 768
16 384
Años transcurridos
4. a) El tipo de crecimiento es crecimiento
exponencial, ya que a medida que transcurre
el tiempo aumenta exponencialmente el
número de bacterias.
b) 2 12
5. Jorge: 2 6 puntos; Mario: 5
puntos.
Solucionario 205

Página 67
Buscando estrategias
1. a) 4 d) 4 g) 3
b) 6 e) 6 h) 1
c) 2 f) 7 i) 9
3. a) 5 b) 6 c) 7 d) 6 e) 9 f) 0
4. a) La base es 2 y el exponente representa la
cantidad de veces que se dobla la hoja por la
mitad. El valor de la potencia representa la
cantidad de rectángulos.
b) 2 3 = 8 rectángulos
c) 2 5 = 32 rectángulos
e) 8
Página 68
1. El porcentaje de riesgo es de 10,13% y 82,46%,
respectivamente.
Página 70
1. C 3. B 5. A 7. C
2. B 4. D 6. C 8. A
Página 71
9. a) 256 m y 4 m, respectivamente.
b)
Longitud de la cuerda
20000
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
10. 27 cm
Página 73
1. El radio de los envases.
206 Matemática 8
1 2 3 4 5
Cortes de la cuerda
Unidad 3
Geometría y medición 72
2. Si la altura aumenta al doble, el volumen también
aumenta al doble.
3. Con los cilindros.
4. Sí, duraznos en conserva.
Página 74
1. a) 20 cm c) 28 cm
b) 22 cm d) 10,5 cm
2. a) 6,76 cm 2 b) 210 cm 2 c) 48 cm 2 d) 6 cm 2
3. a) Área = 120 cm 2 , volumen = 88 cm 3
b) Área = 64 cm 2 , volumen = 25 cm 3
4. Perímetro = 27 cm. No sigue siendo equilátero,
ya que al aumentar uno de sus lados, dos de ellos
medirán 8 cm y el otro 11 cm, por lo tanto el
triángulo es isósceles.
Página 75
5. Perímetro = 36 cm y su área = 54 cm 2 .
Si sus catetos se duplican, cada uno medirá 18
cm y 24 cm, su perímetro será de 72 cm y su área
de 216 cm 2 .
6. 40 m
Página 77
1. a) En que ambas tienen el mismo perímetro. Se
diferencian en que una tiene área y la otra no.
b) Que una considera el interior y la otra solo el
contorno. Ambas tienen un centro y radio.
c) Cuando el punto se encuentra en contorno
del círculo, y cuando el punto se encuentra
en el interior de la circunferencia.
2. a) Radio. d) No pertenecen.
b) No pertenece. e) Pertenecen.
c) Pertenecen. f) Pertenece.
Página 79
2.
Cuerda(s) FE ⎯ , CD ⎯ y AB ⎯
Diámetro(s) CD ⎯
Radio(s) OC ⎯ , OD ⎯ y OA ⎯
Secante(s) AB ↔
Tangente(s) Recta E
Arco(s) BA, AC, CF, FE, ED y DB
3. a) F b) F c) V d) F e) V

Página 81
1. a) 3,1428
b) 3,14159, es la mejor aproximación al número π.
c) 3,1604
d) 3,125
e) 3,1466
f) 3,1416
2. Sí, ya que el perímetro se puede calcular usando
la fórmula 2 • π • r. Luego, 2 • r = d.
3. Sí es posible.
4.
Página 83
1. a) 25,12 cm e) 21,98 cm
b) 3,14 m f) 56,52 cm
c) 29,516 cm g) 6280 m
d) 10,676 km h) 62 800 cm
2. a) 4,5 cm c) 200 cm e) 0,5 cm g) 5 cm
b) 1,8 cm d) 1 cm f) 30 cm h) 8 cm
3. a) 18,84 cm b) 47,1 cm c) 15,7 cm
Página 85
1. a) Apotema = 1,1 cm. Área = 3,79 cm 2 .
b) Apotema = 0,8 cm. Área = 2,01 cm 2 .
c) Apotema = 0,6 cm. Área = 1,3 cm 2 .
2.
6 12
10 20
5 10
7,5 47,1
21 65,94
50 100
13 40,82
20 40
1,3 5,8
8 1,4 1,5 6,72 7,065
4 1 1,5 4,47 7,065
10 1,4 1,5 7
4. Aumenta 4 veces (113,04 cm 2 ).
Aumenta 9 veces (254,34 cm 2 ).
Página 87
1. C 2. B 3. B
4. 12,56 cm 2 5. 3768 cm de plástico.
Página 90
1. a) 360 cm 2 e) 1186,92 cm 2
b) 301,44 cm 2 f) 1130,4 cm 2
Página 91
2. a) 2826 cm 2 b) 14 130 cm
3. 1808,64 cm 2
4. 122,46 cm 2
5. 351,68 cm 2
6. a) 40 cm b) 1884 cm 2 c) 4396 cm 2
7. a) 879,2 cm 2 b) 314 cm 2
8. a) 5,2 cm b) 93,6 cm 2 c) 453,6 cm 2
9. a) 1130,4 cm 2 b) 1758,4 cm 2
10. a) 13 cm b) 282,6 cm 2
Página 93
1. 384,65 cm 3
2. a) 552,64 cm 3
b) El volumen también se duplicaría y si la altura
se triplica el volumen también aumenta
tres veces.
3. a) 314 cm 3
b) Su volumen aumenta 4 veces y si el radio se
triplica el volumen aumenta 9 veces.
4. a) 2512 cm 3
b) El volumen también disminuye a la mitad y si
su altura se reduce a un tercio el volumen
disminuye un tercio.
Solucionario 207

Página 94
7. a) Área = 172,7 cm 2 y Volumen = 166,81 cm 3 .
b) Área = 129,67 cm 2 y Volumen = 94,95 cm 3 .
c) Área = 185,5 cm 2 y Volumen = 167,47 cm 3 .
d) Área = 229,85 cm 2 y Volumen = 204,73 cm 3 .
e) Área = 967,12 cm 2 y Volumen = 2307,9 cm 3 .
f) Área = 678,24 cm 2 y Volumen = 1017,36 cm 3 .
g) Área = 1022,32 cm 2 y Volumen = 2509,96 cm 3 .
h) Área = 2128,92 cm 2 y Volumen = 5369,4 cm 3 .
i) Área = 234,14 cm 2 y Volumen = 237,38 cm 3 .
j) Área = 2543,4 cm 2 y Volumen = 8478 cm 3 .
Página 95
1. D 2. C 3. A
4. a) Á = 1205,76 cm 2 b) V = 2411,52 cm 3
5. a) Necesitaría el doble de material.
b) La capacidad del envase es de 376,8 cm 3 .
Página 97
Buscando estrategias
1. a) 6363,73 cm 3 c) 282,6 cm 2
b) 452,16 cm 3 d) 116,4 cm 2
3. a) 5024 cm 3 b) 1829,3 cm 3
Página 98
1. V = 589 535 cm 3
Página 100
1. C 3. D 5. B 7. C
2. A 4. D 6. B 8. A
Página 101
9. 791,28 cm 2
10. a) 942 m 2 b) 810 120
11. 259,81 cm 2 y 1099,81, respectivamente.
12. a) 25,12 cm y 75,36 cm
b) 50,24 cm 2 y 452,16 cm 2 . La razón entre sus
áreas es 1 : 9.
Unidad 4
Movimiento en el plano 103
Página 103
1. Sí, se puede observar un hexágono.
208 Matemática 8
2. Mariposas, se repiten en toda la imagen.
3. La imagen gira alrededor del punto que se
encuentra en un ala de la mariposa.
Página 104
1. a) x = 72º, y = 108º b) x = 140º, y = 40º
2.
3. El centro es el centro de las simetrales, es decir, el
circuncentro.
Página 107
1. • Sí, porque cambia la posición de las figuras,
no su tamaño ni forma.
2. a) No b) Sí c) Sí d) No
Página 109
1. Por ejemplo:
2.
Triángulo
Rectángulo
Hexágono
D
A
B
T
α = 140º
β = 20º
γ = 20º
α = β = γ = δ
= 90º
α = β = γ = δ
= ε = ω = 120º
C
A´
A´´
3. Si se puede trasladar con un solo vector.
B´
C´ B´´
F
C´´
NR = 4,8 cm
MN = 2,5 cm
RM = 2,6 cm
JL = GH = 4,4 cm
IH = JG = 1,5 cm
AB = BC = CD = DE
= EF = FA = 1,1 cm
K

Página 111
1. Por ejemplo: 2.
3. Un rombo. Un triángulo equilátero.
Página 113
1. Por ejemplo:
2.
3. Sí, haciendo una rotación en torno al punto O en
un ángulo de 180º.
Página 117
1. A 2. B 3. A
4.
A
B
M
D
C
Página 119
D´
C´
Q
P´ R O
R´ R´´
N
M´
Q´
N´
D
T
P
T´
E
A´
B´
A´ B
P´´
1. a) No b) Sí c) Sí d) No
B´
L
2. a) Si es posible teselar. c) No es posible teselar.
b) Sí es posible teselar. d) Sí es posible teselar.
Q´´
A
T´´´
M´´´
T´´
O´
N´´´
M
M´´
R
R´
N
3. a) Se puede construir aplicando traslación.
b) Se puede construir aplicando reflexión.
c) No se puede teselar el plano con esa figura.
d) Se puede construir aplicando simetría y
traslación.
Página 121
1. a) Traslación. b) Traslación y reflexión.
2. Se puede construir aplicando traslación.
3. Se puede construir aplicando traslación
y reflexión.
4. a) b)
5. a) No b) No c) Sí
Página 123
1. B 2. C
3. a) Traslación. b) Traslación y reflexión.
Solucionario 209

4. Se puede construir aplicando traslación
y rotación.
Página 125
Buscando estrategias
1. a)
b)
El reflejo de E en una de las paredes (E´) se
une con F, obteniendo P 1 . El reflejo de F en la
misma pared (F´) se une con G, obteniendo P 2 .
Entonces, se parte en E, luego ir a P 1 , luego a
F, después a P 2 y, finalmente, llega a G.
El reflejo de la bola A en uno de los bordes se
une con el reflejo de la bola B en la otra pared
que es perpendicular a la pared anterior,
obteniendo los puntos P 1 y P 2 . Entonces, el
recorrido de la bola A será a P 1 , luego a P 2 y,
finalmente, golpeará a B.
3. Para encajar la figura 1 en A, se debe realizar
traslación y rotación y, para encajar 1 en B,
también.
Página 128
1. C 3. D 5. A 7. A
2. D 4. B 6. D 8. C
Página 129
9.
A
C
E
E´
P 1
A
A´
B
B´´
F´
F
210 Matemática 8
A´´
L
P 2
P 1
B´
C´ A´
G
B
P 2
B´
10. Traslación.
Unidad 5
Datos y azar 131
Página 131
1. 31 571 personas.
2. E años en promedio.
3. Una estimación del nivel de instrucción más
repetido es de 4 años (31 571 personas).
Página 132
1. a)
–
4
4
31
13%
6
6
31
19%
10
10
31
32%
4
4
31
13%
3
3
31
10%
3
3
31
10%
1
1
31
3%
b) 6 días.
c) 13%
d) x = 30,29, mediana: 30, Moda: 30.

2. a)
–
2.
2
2
40
5%
5
12
0,08
0,12
0,08
0,2
6
6
40
15%
22
25
0,17
0,05
0,37
0,42
4
4
40
10%
38
52
0,22
0,23
0,64
0,87
8
8
40
20%
60 0,13 1
4
4
40
10%
Página 137
1. a)
16
16
40
40%
Edad
F.
absoluta
F. Absoluta
acumulada
F.
Relativa
F. relativa
Porcentual
b) 8 alumnos y 2 alumnos, respectivamente.
c) 4 h y 21 min.
1 - 10
11 - 20
7
6
7
13
0,17
0,14
17%
14%
d) Mediana: 4,5; Moda: 6.
21 - 30 8 21 0,19 19%
Página 133
31 - 40
41 - 50
6
5
27
32
0,14
0,12
14%
12%
3. a) Población: alumnos y alumnas del colegio. 51 - 60 4 36 0,1 10%
Muestra: pueden ser los compañeros de curso.
b) Variable cuantitativa: horas destinadas a
ver TV.
61 - 70
71 - 80
4
2
40
42
0,1
0,05
10%
5%
4. a)
Nº de
caras
F. absoluta F. Relativa
b) 3 y 12, respectivamente.
c)
6 9
y , respectivamente.
50 50
d)
1
6
Página 135
F. relativa
Porcentual
1 10 0,2 20%
2 3 0,06 6%
3 6 0,12 12%
4 12 0,24 24%
5 9 0,18 18%
6 10 0,2 20%
1. a) 60
b) 5
c) 26% y 69%, respectivamente.
2. a)
b) 6 c) 36 d) 14,28%
Llamadas
F.
absoluta
Horas Marca
de clase
F. Absoluta
acumulada
F.
absoluta
F. Absoluta
acumulada
F.
Relativa
F.
Relativa
F. relativa
Porcentual
0 - 5 8 8 0,27 27%
6 - 11 10 18 0,33 33%
12 - 17 9 27 0,3 30%
18 - 23 3 30 0,1 10%
b) 5 c) 8 d) 27 e) 10%
Página 139
1. a)
F. relativa
Porcentual
1 - 5 3 19 19 0,475 47,5%
6 - 10 8 14 33 0,35 35%
11 - 15 13 7 40 0,175 17,5%
b) 33 c) x = 6,5
Solucionario 211

2. a)
b) 26 c) 9% d) x = 13
Página 141
1. a)
Notas
Marca
de clase
212 Matemática 8
F.
absoluta
F. Absoluta
acumulada
F.
Relativa
1,40 - 1,47 3 1,435
1,48 - 1,55 12 1,515
1,56 - 1,63 22 1,595
1,64 - 1,71 6 1,675
1,72 - 1,79 2 1,755
F. relativa
Porcentual
2,0 - 3,0 2,5 2 2 0,06 6%
3,1 - 4,1 3,6 6 8 0,19 19%
4,2 - 5,2 4,7 9 17 0,28 28%
5,3 - 6,3 5,8 10 27 0,31 31%
6,4 - 7,4 6,9 5 32 0,16 16%
2. •
b) x = 5,0 Mo = 5,5
Página 143
x = 1,58 Mo = 1,59
1. a) Seleccionando una muestra. No es
conveniente analizar las 2160 botellas, ya que
le tomaría demasiado tiempo y es un
procedimiento costoso.
b)
Página 146
Máquina A Máquina B
Media
aritmética
652,63 659,81
Moda 652 660
La máquina A está debajo del nivel de calidad,
es recomendable revisarla.
1. a) 15 a 19 años.
b) Sí
2 3 0,07 7%
7 11 0,18 18%
12 26 0,33 33%
17 41 0,33 33%
22 45 0,09 9%
c) Las mujeres jóvenes tienen mayor nivel de
endeudamiento.
d) Entre 25 a 29 años.
Página 149
1. D 2. A 3. C
4. a)
Categoría
Marca F.
Clase Absoluta
F. Absoluta
acumulada
No conforme 0- 7 3,5 8 8
Medianamente
conforme
8-15 11,5 7 15
Conforme 16 - 23 19,5 9 24
Muy conforme 24 - 31 27,5 4 28
b) 14% c) x = 14,07
Mo = 5,5
Página 151
1. a) Ω = TBPR50, TBPR51, TBPR52, TBPR53,
TBPR54, TBPR55, TBPR56, TBPR57,
TBPR58, TBPR59. Tamaño 10.
b) Ω = TBPR20, TBPR21, TBPR22, TBPR23,
TBPR24, TBPR25, TBPR26, TBPR27,
TBPR28, TBPR29, TBPR30, TBPR31,
TBPR32, TBPR33, TBPR34, TBPR35,
TBPR36, TBPR37, TBPR38, TBPR39.
Tamaño 20.
c) Ω = 1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1),
(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2),
(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3),
(4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4),
(5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5),
(6,6). Tamaño 36.
d) Ω = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Tamaño 11.
2. 12 maneras. 3. De 4 formas distintas.
4. a) 24 tipos de menú.
F. F. relativa
relativa Porcentual
0,29 29%
0,25
25%
0,32 32%
0,14 14%

) Las opciones de plato de fondo son: arroz con
carne (A), puré con pollo (P), legumbre (L).
Las opciones para beber son: bebida (B) o
jugo (J). Las opciones de postre son: helado (1),
jalea (2), flan (3) o fruta (4). Entonces, todas
las posibilidades de menú son:
AB1, AB2, AB3, AB4, AJ1, AJ2, AJ3, AJ4,
PB1, PB2, PB3, PB4, PJ1, PJ2, PJ3, PJ4, LB1,
LB2, LB3, LB4, LJ1, LJ2, LJ3, LJ4
Página 153
1. a) Ω = Blanca, Roja. No son equiprobables.
b) Ω = Cara, Sello. Sí son equiprobables.
c) Ω = niña, niño. No son equiprobables.
d) Ω = 13 cartas , 13 cartas , 13 cartas ,
13 cartas . Sí son equiprobables.
e) Ω = par, impar. Sí son equiprobables.
2. Es correcto lo que dice Romina, ya que si están
en igualdad de condiciones, tienen la misma
probabilidad de salir (son equiprobables).
3. Sí es correcto.
En equipo
1. a) Ω = {Rojo, azul, amarillo}.
b) No son equiprobables.
Página 155
1. a)
1
2
b)
1
2
c)
3
14
2. a)
1
2
ó 0,5 ó 50% c)
1
ó 0,17 ó 17%
6
b)
5
6
ó 0,83 ó 83%
3. a) 47% b) 53% c) 80% d) 67%
Página 157
1. C 2. D
3. a) No. b) Sí. c) Sí. d) Sí.
4. a) 15 tenidas, estas son:
Polera Amarilla, pantalón Negro.
Polera Amarilla, pantalón Café.
Polera Amarilla, pantalón Gris.
Polera Azul, pantalón Negro.
Polera Azul, pantalón Café.
Polera Azul, pantalón Gris.
Polera Blanca, pantalón Negro.
Polera Blanca, pantalón Café.
Polera Blanca, pantalón Gris.
Polera Negra, pantalón Negro.
Polera Negra, pantalón Café.
Polera Negra, pantalón Gris.
Polera Roja, pantalón Negro.
Polera Roja, pantalón Café.
Polera Roja, pantalón Gris.
b) La probabilidad es 0,07.
Página 159
Buscando estrategias
1. Le sirve el gráfico “¿Usted lee libros?”
3. Ambos gráficos le permiten extraer la
información que necesita.
Página 162
1. D 3. D 5. A 7. B
2. A 4. C 6. B 8. D
Página 163
9. • La mayoría de las personas encuestadas
(hombres y mujeres) ven TV abierta 5 días a la
semana, o más.
A pesar que son más mujeres que hombres
los que ven TV abierta todos los días, son
similares los porcentajes, pues la diferencia es
de 3% aproximadamente.
Unidad 6
Funciones y relaciones proporcionales 165
Página 165
1. 105 km 2. 1 h y 30 min
3. Tardaría 4 h y llagaría a las 10 de la mañana.
4. Sí, y = 21 • x, donde x son horas.
Página 166
1. a) 3x e) t • n
b) 2 • (3 + (–8)) f) 15 • x
c)
2x
3
g) 750 • y
d)
x
+ 3y
4
h)
x
12
Solucionario 213

2. a) P = t + r + s, A =
b) P = 4 • a + 12, A = (a + 3) 2
2
c) P = 2x + 2y, A = x • y
3. a) y = 2 d) z = 140
b) x = 4 e) a = 6
c) x = 5 f) a = –
4. a) x – 27 = 77, x = 104
b) x + (x – 1) = 49, x = 25
c) (2x – 1) + (2x + 1) + (2x + 3) = 177,
los números son: 57, 59, 61.
d) 4x – 3 = 3x + 12, x = 15
5. a) 8 b) 6 c) 26
Página 167
6. a) Padre: 60 años, hijo: 25 años,
madre: 83 años.
b) Matías: $ 62 000, Josefa: $ 93 000
c) $ 45 600
Página 169
1. a) En un bolsillo hay $ 1500 y en el otro $ 4500.
b) $ 1450 cada jarrón.
c) 12 cm y 24 cm. Área = 288 cm 2
Página 170
2. a) 2,5 • 60 • x = 900
b) 2 min
c) $ 450
d)
e) $ 9750
f) Precio ($)
4000
3000
2000
1000
214 Matemática 8
25
150
225
450
750
2,5
t • r
55
3
0
0 5 10 15 20 25 30 35
Minutos
hablados
g) $ 630
h) $ 26 490
i) El plan de Francisca es más conveniente,
porque Camila pagaría $ 27000 y Francisca
$ 24 090.
Página 171
3. a) 200 claveles. La ecuación es:
1250 + 140x + 120x = 27250
b) $ 3900 y $ 5200
c) $ 12 430
d)
260
520
1560
2600
3900
6500
10 400
14 820
e) No, porque debe comprar la misma cantidad
de claveles de cada color.
f)
Precio
1750
1500
1250
1000
750
500
250
g) $ 4260
Página 173
0
0 2 4 6 8 10 12
2. a) Sí es función.
b) No es función.
c) Sí es función.
d) Sí es función.
Cantidad
de claveles

3. a)
13 890 18 290 22 690 29 290
12 990 16 190 19 390 24 190
14 490 14 490 16 890 20 490
b) Para 80 min, el Plan B, y para 120 min,
el Plan C.
c) Plan A y = 9460 + 220x
Plan B y = 12 990 + 160x
Plan C y = 14 490 + 120x
Página 175
1. a) Independiente: arista.
Dependiente: volumen.
b) Independiente: número.
Dependiente: sucesor.
c) Independiente: kilogramos de pan.
Dependiente: precio total.
Página 176
2. a) $ 73 500 y $ 126 000, respectivamente.
b) y = 10 500x
c) Variable dependiente: precio total recaudado.
Variable independiente: número de entradas.
d)
3.
10 500 31 500 73 500 105 000 126 000 210 000
e)
y
70 000
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
0
0 1 2 3 4 5 6 7
12 16 20 24
x
4. a)
a) 36 cm y 60 cm, respectivamente.
b) f (x) = 4x
c) Variable dependiente: perímetro.
Variable independiente: lado del cuadrado.
11 800 16 800 21 800 26 800 31 800 36 800
b) f (x) = 5000x + 6800
c) Variable dependiente: total a pagar.
Variable independiente: m 2 .
d) f (x) = 6000x
5. a) Variable dependiente: perímetro.
Variable independiente: lado del triangulo.
b) f (x) = 3x
c) Cada uno de sus lados mide 14 cm, porque
es equilátero.
Página 177
6.
Total a pagar
40 000
35 000
30 000
25 000
20 000
15 000
10 000
5000
0
0 1 2 3 4 5 6 7
9 12
18 000 27 000 72 000
a) $ 27 000 y $ 72 000, respectivamente.
b) f (x) = 4500x
c) Variable dependiente: dinero reunido.
Variable independiente: cantidad de clases.
d) Dinero reunido ($)
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
0
0
1 2 3 4 5 6 7
m 2
Cantidad
de clases
Solucionario 215

En equipo
4. a) Triángulos equiláteros, porque como los
palitos representan los lados, cada palito mide
lo mismo (aproximadamente).
b)
Numero
Triángulos
de palitos
1 3
2 5
3 7
4 9
5 11
Se observa que cada triángulo nuevo, se
suman dos palitos.
c) 15 palitos, 41 palitos y 207 palitos,
respectivamente.
d) f (x) = 2x + 1
e) Variable dependiente: número de palitos.
Variable independiente: número de triángulos.
Página 179
1.
Rapidez
constante
(km/h)
30 40 50 60 80 100 120
Tiempo (h) 12 9 7,2 6 7,2 3,6 3
Dominio: números positivos entre 30 y 120.
Recorrido: números positivos entre 3 y 12.
2. a) $ 387 000 y $ 598 500, respectivamente.
b) f (x) = 4500x
c) Variable dependiente: dinero recaudado.
Variable independiente: cantidad de personas.
d) Dominio: desde 0 a 150 (personas).
Recorrido: 4500 • 1, 4500 • 2, 4500 • 3, …,
4500 • 150
3. a) 20 caramelos y 12 caramelos, respectivamente.
300
b) f (x) =
x
c) A 60 niños.
d) Dom (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25,
30, 50, 60, 75, 100, 150, 300
Rec (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25,
30, 50, 60, 75, 100, 150, 300. En ambos
casos, divisores de 300.
4. a) La medida de un ángulo agudo.
b) 0º < x < 90º y el ángulo y es el complemento
de x.
c) Mide 45º.
216 Matemática 8
d)
Página 180
x (grados) y (grados)
89 1
10 80
20 70
35 55
45 45
50 40
89 1
Herramientas tecnológicas
a) y = 2x
Dom (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Rec (f ) = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
b) y = x 2
Dom (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Rec (f ) = 1, 4, 9, 16, 25, 36
c) • y = 40x
• Variable dependiente: precio.
Variable independiente: número de masticables.
• Dom (f ) = 0
Rec (f ) = 40 • n /n ∈ 0
• $ 680
Página 181
1. C 2. D
3. a) 97 sopaipillas.
b) Dependiente: dinero recaudado en un día.
Independiente: cantidad de sopaipillas.
c) Dom (f ) = 0
Rec (f ) = 130 • n /n ∈ 0
d)
900
800
700
600
500
400
300
200
100
Dinero recaudado ($)
0 0 1 2 3 4 5 6 7
Cantidad de
sopaipillas

4. y = 2x + 3
Página 183
1. a) No b) No c) Sí
2.
39.5
39
38.5
38
37.5
37
0
45 50 55
25 30 35
• No son proporcionales, ya que la razón entre
las edades no se mantiene con el tiempo.
3. a) Las horas y la temperatura.
b) No son proporcionales, ya que la razón entre
las variables no es constante.
c)
Temperatura (ºC)
Página 185
2 4 6 8 10 12 14 16
1. a) Sí c) No e) No
b) Sí d) Sí f) Sí
Página 186
2.
Horas
a) 360 : 1
El valor de la razón es constante y su valor es 360.
b) f (x) = 360x
c) $ 6480 y $ 12 600, respectivamente.
d)
2400
2000
1600
1200
800
400
360 720 1800 2880 4320 6120
Precio ($)
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Cantidad
de helados
3.
40
30
20
10
Perímetro (y)
3 8
6 16
9 24
12 32
15 40
0
0 1 2 3 4 5
2 60
3 90
1 40
3 120
Ancho (x)
a) Si aumenta x el perímetro aumenta, mientras
que si x disminuye el perímetro también
disminuye.
b) f (x) = 8x
Página 187
4. a)
b) El auto rojo, porque recorre más distancia en
menos tiempo.
c) En 2 horas.
d) 40 : 1 para el auto rojo y 30 : 1 para el auto
verde.
e) A 300 km.
f) 12 horas.
g) f (x) = 40x y g(x) = 30x, respectivamente.
Página 189
1. a) No c) No e) No
b) Sí d) Sí f) Sí
Página 190
2. a) A 480 km.
Solucionario 217

)
8
48
40
480
c) y = . El dominio son los números positivos
x
menores o iguales a 480.
d) Debe ir a 96 km/h.
e) Tardaría 9 h y 36 min en llegar.
f) Demoraría 96 horas.
g) Una hipérbola.
3. a) y =
b) y =
c) y =
6
x
218 Matemática 8
120
100
80
60
40
Rapidez (km/h)
20
Tiempo
0
(h)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
6 4 3 2 1,5 1
Altura (cm)
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7
600
x
Rapidez (km/h)
144
x
15 12 10 6 5
Base
(cm)
140
120
100
80
60
40
20
0
0 2 4 6 8 10 12 14
Tiempo
(h)
16
24 12 8 6
Página 191
20
4. a) Proporcionalidad inversa. k = 20. f (x) =
x
b) Proporcionalidad directa. k = 3. f (x) = 3x
c) Proporcionalidad directa. k = 175. f (x) = 175x
5.
30
25
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20 25
Cantidad de
alfajores
30
d) Proporcionalidad inversa. k = 24. f (x) =
Tipo de
proporcionalidad
Función que la
representa
Respuesta al
problema
Inversa
75
y =
x
75 máquinas
Directa y = x 10 kg
Inversa
72
y =
x
4 días
Inversa
120
y =
x
40 km/h
Directa y = 18x 90 informes
Página 192
Herramientas tecnológicas
12
c) f (x) = x + 1, g(x) =
x
d) En la primera función: Dom (f ) = y
Rec (f ) = 2, 3, 4, 5, … o Rec (f ) = – {1}
En la segunda función: Dom (f ) = 1, 2, 3, 4,
6, 12 y Rec (f ) = 1, 2, 3, 4, 6, 12
e) En la función f (x) = x + 1 no se relacionan en
12
forma proporcional, mientras que en g(x) = ,
x
sí se relacionan proporcionalmente.
Página 193
Cantidad de cajas
1. C 2. D 3. A
4. a) 7 huevos.
b) f (x) = 3x. Dom (f ) = 0 y
Rec (f ) = 3 • n /n ∈ 0
24
x

)
Cantidad de personas
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Página 195
Buscando estrategias
Cantidad
de huevos
1. a) $ 2 800 000 y $ 1 100 000, respectivamente.
La función es f (x) = 3 600 000 – 100 000x
b) 14 kg y 400 g. La función es:
f (x) = 20 000 – 400x
c) • $ 4550 y $ 46 200, respectivamente.
• f (x) = 7000 – 350(x – 1)
• Dom f (x) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …, 19, 20
y Rec f (x) = 7000, 6650, 6300, 5950,...,
700, 350.
3. a) • $ 13 200 y $ 15 300, respectivamente.
• $ 154 200
• f (x) = 9000 + 700(x – 1)
b) Quedaron 200 gramos de aceitunas.
Página 198
1. D 3. A 5. C 7. C
2. D 4. D 6. B 8. A
Página 199
9.
• f (x) = 5x
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
x 2 64
y 80 160
y
1 2 3 4 5 6 7 8
10. a) De proporcionalidad inversa, ya que el
gráfico es una hipérbola.
b) k = 120
120
c) f (x) =
x
x
Solucionario 219

220 Matemática 8
A
Adición con números enteros, 13
Algoritmo de la división, 23
Amplitud
- de un intervalo, 137
- térmica, 24
Análisis de encuestas, 144, 145
Ángulo, 105
- de rotación, 112
- interior de un polígono regular, 120
Apotema de un polígono, 75
Arco de una circunferencia, 78, 79
Área, 75
- del cilindro 88, 89, 90
- del círculo, 84, 85
- del cono 88, 89, 90
- de un cuadrado, 75
- de un polígono regular, 84
- de un rectángulo, 75
- de un triángulo, 75
- de una pirámide, 90
B
Base de una potencia, 39
Cardinalidad del espacio muestral, 151
C
Centro
- de una circunferencia, 76, 77
- de rotación, 112
Censos, 131, 142, 143
- Censo y muestreo, 142
Circunferencia y círculo como lugar geométrico,
76, 77
Índice temático
Construcción geométrica
- copiar un ángulo, 112
- de rectas paralelas, 108
- de simetral de un trazo, 111
Crecimiento exponencial, 60, 61
Cuerpos geométricos
- cilindro recto, 88
- cono recto, 88
- paralelepípedo, 48
- pirámides, 75
- poliedros, 88
- prisma recto, 75
- redondos, 88
Cuerda, 78, 79
Datos y azar, 130
D
Decrecimiento exponencial, 62, 63
Diámetro de una circunferencia, 78, 79
División
- de potencias de igual base, 46, 47
- de potencias de igual exponente, 50, 51
- exacta de números enteros, 18, 19
- inexacta de números enteros, 22
Dominio de una función, 178, 179
Ecuación, 168
- verificación, 168
Eje
- de las abscisas, 169
- de las ordenadas, 169
- de simetría, 110
Elementos de una circunferencia, 78, 79
Encaje (técnica), 98
Encuestas, 145
E

Espacio muestral, 150, 151
Experimentos aleatorios, 150
Exponente de una potencia, 39
Expresión algebraica, 172
Fracciones (representación), 46, 154
F
Frecuencia
- absoluta, 133, 134, 135
- absoluta acumulada, 135
- relativa, 133, 134, 135
- relativa acumulada, 135
Funciones y relaciones proporcionales, 164
- proporcionalidad directa, 184, 185
- proporcionalidad inversa, 188, 189
G
Generatriz, 89, 90
Geometría y medición, 72
Hipérbola, 189
Intervalos, 137
Intervalo modal, 140
Isometría, 106
H
Longitud de una circunferencia, 82, 83
Lugar geométrico, 77
Marca de clase, 139
I
L
M
Medidas de tendencia central
- media aritmética, 133
- media aritmética para datos agrupados,
138, 139
- mediana, 133
- moda, 133
- moda para datos agrupados, 140, 141
Mosaico, 118
Movimientos en el plano, 102
Muestra, 133, 143
Multiplicación
- de números enteros, 16, 17
- de potencias de igual base, 44, 45
- de potencias de igual exponente, 48, 49
- de un número natural por un número entero
negativo, 14, 15
N
Noción de función, 172, 173
Número(s)
- enteros, 10
- y su relación con la circunferencia, 80, 81
- positivo, 16
O
Operaciones combinadas, 24, 25
P
Perímetro de un polígono, 75
Población, 133
Polígono, 75, 105
- regular, 75, 105
Porcentaje, 167
Potencia(s), 36, 39
- de base decimal positiva y exponente natural,
58, 59
Índice temático 221

- de base entera y exponente natural, 40,
42, 43
- de base fraccionaria positiva y exponente
natural, 56, 57
- de una potencia, 52, 53
Principio multiplicativo, 150, 151
Probabilidad, 133
- regla de Laplace, 154, 155
Propiedad
- conmutativa de la multiplicación, 15
- distributiva de la multiplicación respecto de la
suma, 24
Proporción, 167
Radio de una circunferencia, 76, 77, 78, 79
Rango, 136, 137
Razón, 167
222 Matemática 8
R
Recorrido de una función, 178, 179
Recta(s)
- numérica, 13
- paralelas, 105
- perpendiculares, 105
- secantes, 105
- secante a una circunferencia, 78, 79
- tangente a una circunferencia, 78, 79
Reflexiones de figuras planas, 110, 111
Regla de los signos, 17, 19
Representatividad de una muestra, 143
Resto, 18, 22
Rotaciones de figuras planas, 112, 113
S
Simetral de un segmento, 110
Simplificación de fracciones, 46
Situaciones con dos variables, 168, 169
Sucesos
- elementales, 152
- equiprobables, 152
Sustracción con números enteros, 13
T
Tablas de frecuencia, 134
- construcción para datos agrupados, 136, 137
- interpretación, 134, 135
Teselaciones, 118, 119
- regulares y semirregulares, 120
Tetris (juego), 125
Transformaciones
- de figuras y objetos, 106
- isométricas, 106, 107
Traslaciones de figuras planas 108, 109
Triángulo rectángulo, 75
V
Valor
- absoluto, 13
- de la potencia, 39, 41, 54
- de la razón, 80, 167
Variable
- dependiente, 174, 175
- independiente, 174, 175
- estadística cuantitativa y cualitativa, 133
Variaciones proporcionales y no proporcionales,
182, 183
Vector de traslación, 108
Volumen, 92
- del cilindro 92, 93
- del cono, 92, 93

DOCUMENTOS OFICIALES
• Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos
Mínimos Obligatorios de la Educación Básica.
Ministerio de Educación de Chile, 2001.
• Mineduc. Propuesta de Ajuste Curricular.
Matemática, junio 2009. Ajuste promulgado por
el Decreto N° 256 para la Educación Básica y
publicado en el Diario Oficial de la República de
Chile el 19 de agosto de 2009.
• Ministerio de Educación. Matemática. Programa de
Estudio. Octavo Año Básico. Propuesta presentada
a resolución del Consejo Nacional de Educación.
Ministerio de Educación de Chile, Unidad de
Currículum y Evaluación, diciembre 2009.
MATERIAL CRA
• Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción al
Álgebra. Grupo Editorial Iberoamérica, México,
1997.1ª ed. [r. 1996]
Las actividades propuestas están orientadas a la
enseñanza del código algebraico como
herramienta para expresar generalizaciones y
resolver problemas, e introducir la noción de
función a partir de la construcción e
interpretación de gráficas.
• Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. Ediciones
Pirámide, España, 1995, 2ª ed.
El objetivo de la obra es mostrar cómo la
exploración de los propios métodos de
pensamiento es una tarea que puede mejorar la
calidad del pensar y los aportes de la Matemática
en este ámbito.
• Hitt, Fernando. Investigaciones en Matemática
Educativa. Grupo Editorial Iberoamérica, México,
1996, 1ª ed.
Reúne un conjunto de artículos sobre diversas
investigaciones que tratan la problemática de la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas
desde el nivel básico hasta el universitario.
• Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática y
desarrollo del sujeto. Magisterio, Colombia,
1997, 1ª ed.
El autor propone una estrategia pedagógica que
implica la comprensión del desarrollo de los sujetos,
el proceso de construcción y estructuración lógica
de los conceptos y de los saberes específicos
abordados con los alumnos y alumnas.
Bibliografía
• Rodríguez, José y otros. Razonamiento
matemático. International Thompson Editores,
México, 1997, 1ª ed.
Organizado en cinco capítulos, el texto trata el
modelo de Polya y presenta estrategias utilizadas
para resolver problemas, conceptos de álgebra
relacionados con ecuaciones de primer grado,
interpretación gráfica y las matemáticas de
finanzas.
• Steen, Lynn. La enseñanza agradable de las
matemáticas. Editorial Limusa, México, 1998,
1ª ed.
Pretende mostrar que es posible desarrollar el
pensamiento matemático mediante experiencias
informales a muy temprana edad, mucho antes
de que los niños lleguen al punto de poder
comprender fórmulas algebraicas.
• Varios autores. Enseñanza efectiva de las
Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica,
México, 1995, 1ª ed.
Guía básica que sugiere técnicas y habilidades
para la enseñanza de las matemáticas; incluye
aspectos que abarcan desde la preparación y
desarrollo de una clase hasta la elaboración y
aplicación de pruebas y exámenes.
LIBROS
• Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental.
Ediciones Universidad Católica de Chile,
Santiago,1993.
• Bermeosolo, J. Metacognición y estrategias de
aprendizaje e instrucción. Documentos de apoyo
a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767,
Santiago, 1994.
• Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la
vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995.
• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. Geometry
Revisited. The Mathematical Association of
America, EE.UU.,1967.
• Díaz, J. y otros. Azar y probabilidad. Ed. Síntesis,
Madrid, 1987.
• Dickson, L. Brown, M. y Gibson, O. El aprendizaje
de las Matemáticas. Ed. Labor, Barcelona, 1991.
• Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los
números. Ediciones Siruela, España, 1998.
Bibliografía 223

• E.T. Bell. Los grandes matemáticos. Editorial
Losada S.A., Buenos Aires, 1948.
• Figueroa, Lourdes. “Para qué sirve medir”.
Cuadernos de Pedagogía, Nº 302, España, 2001.
• Gardner, Martin. Carnaval matemático. Alianza
Editorial, Madrid, 1980.
• Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas que
hacen pensar. Labor S.A., Barcelona, 1989.
• Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los
números. Ediciones B S.A., Barcelona, 1998.
• Guzmán R., Ismenia. Didáctica de la matemática
como disciplina experimental. Pontificia
Universidad Católica de Valparaíso, Chile, 2002.
• Jouette André. El secreto de los números.
Ediciones Robinbook, Barcelona, 2000.
• Julius, Edgard. Matemáticas rápidas. Norma,
Bogotá, 2002.
• Linares, Salvador. Fracciones, la relación partetodo.
Síntesis, Madrid, 1988.
• Mateos, Mar. Metacognición y educación. Aique,
Buenos Aires, 2001.
• Novak, J. Aprendiendo a aprender. Ediciones
Martínez Roca S.A., Barcelona, 1988.
• Ontoria A. Mapas conceptuales. Editorial Nancea,
2ª edición, España, 1993.
• Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas.
Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1987.
• Perero, Mariano. Historia e historias de
matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericano,
México, 1994.
• Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje.
Morata, Madrid, 1990.
• R. David Gustafson. Álgebra Intermedia.
International Thomson Editores, México, 1997.
• Rencoret, María del Carmen. Iniciación
matemática - Un modelo de jerarquía de
enseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002.
• Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar a
pensar. Aula XXI, Santillana, España, 1996.
• Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos
y matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990.
• Vygotski, L. El desarrollo de los procesos
psicológicos superiores. Libergraf, S.A.,
Barcelona, 1995.
• Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividades
para implementar los Objetivos Fundamentales
Transversales. Lom Ediciones, 2001.
224 Matemática 8
RECURSOS TECNOLÓGICOS
• Software geométrico GeoGebra. En este sitio
encontrará un programa geométrico libre, para
descargar, que le permitirá enseñar y trabajar con
sus alumnos y alumnas.
http://www.geogebra.org
• Software geométrico Limix Geometric. En este
sitio encontrará un programa gratuito que podrá
descargar, permite obtener el área y volumen de
distintos cuerpos geométricos.
http://www.limix.net
PÁGINAS WEBS
• Ministerio de Educación de Chile
http://www.mineduc.cl
• Centro Comenius. Software educativos, en
especial de matemáticas, recursos y muchas cosas
más. Patrocinado por la USACH.
http://www.comenius.usach.cl
• Recursos matemáticos Redemat
http://www.recursosmatematicos.com/redemat.
html
• Base de datos de documentos para Educación.
http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm
• REDUC. Red Latinoamericana de información y
documentación en educación. Contiene base de
datos sobre investigaciones, textos completos,
recortes de prensa.
http://www.reduc.cl
• Sociedad de Matemática de Chile
http://www.sochiem.cl
• Recursos matemáticos Redemat
http://www.recursosmatematicos.com/redemat.
html
• Instituto Nacional de Estadísticas.
http://www.ine.cl
• Ministerio de salud.
http://www.redsalud.gov.cl
• Consejo Nacional para el Control de
Estupefacientes (Conace).
http://www.conacedrogas.cl
• Fundación Futuro.
http://www.fundacionfuturo.cl/
BUSCADOR RECOMENDADO
• Sitio educativo con diversos recursos,
planificaciones e información de todas las áreas.
Incluye buscador.
http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente