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Texto del Estudiante<br />
Matemática<br />
Básica<br />
8ºEducación<br />
EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO<br />
LICENCIADO EN MATEMÁTICA,<br />
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.<br />
FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO<br />
LICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA,<br />
MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA,<br />
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.<br />
MARIO ZAÑARTU NAVARRO<br />
LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,<br />
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.<br />
MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD,<br />
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.
El Texto del Estudiante Matemática 8,<br />
para Octavo Año de Educación Básica, es<br />
una obra colectiva, creada y diseñada por<br />
el departamento de Investigaciones Educativas<br />
de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:<br />
MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA<br />
COORDINACIÓN DEL PROYECTO:<br />
Eugenia Águila Garay<br />
COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:<br />
Viviana López Fuster<br />
EDICIÓN:<br />
AUTORES:<br />
Carolina Henríquez Rivas<br />
Eduardo Bórquez Avendaño<br />
Florencia Darrigrandi Navarro<br />
Mario Zañartu Navarro<br />
CORRECCIÓN DE ESTILO:<br />
Isabel Spoerer Varela<br />
Gabriela Precht Rojas<br />
DOCUMENTACIÓN:<br />
Paulina Novoa Venturino<br />
La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:<br />
VERÓNICA ROJAS LUNA<br />
COORDINACIÓN GRÁFICA:<br />
Carlota Godoy Bustos<br />
COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN:<br />
Xenia Venegas Zevallos<br />
JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA:<br />
Mariela Pineda Gálvez<br />
DIAGRAMACIÓN:<br />
María Macarena Cruz Rencoret<br />
ILUSTRACIONES:<br />
Martín Oyarce Gallardo<br />
FOTOGRAFÍAS:<br />
<strong>Archivo</strong> Santillana<br />
CUBIERTA:<br />
La Práctica S.P.A.<br />
PRODUCCIÓN:<br />
Germán Urrutia Garín<br />
Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del<br />
"Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal o<br />
par cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la<br />
re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella<br />
me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.<br />
© 2010, by San ti lla na del Pa cí fi co S.A. de Edi cio nes<br />
Dr. Aní bal Ariz tía 1444, Pro vi den cia, San tia go (Chi le)<br />
PRINTED IN CHILE<br />
Im pre so en Chi le por WorldColor Chile S.A.<br />
ISBN: 978-956-15-1762-2<br />
Ins crip ción N°: 198.045<br />
Se terminó de imprimir esta xx edición<br />
de xx ejemplares, en el mes de xx del año xx.<br />
www.santillana.cl<br />
Referencias de los Textos Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Proyecto punto cl y de los Textos Matemática 7 y Matemática 8,<br />
Educación Básica, Mineduc, de los autores: Patricia Urzúa Figueroa, Marjorie Benavides Simon, Alexandra Gederlini Gollerino, María José<br />
González Clares, Gladys Sepúlveda Romero, Cristián Vergara Bize, <strong>Javiera</strong> Setz Mena, Florencia Darrigrandi Navarro.<br />
Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2007 y 2010.
Presentación del Texto<br />
Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar. El Texto Matemática 8<br />
te invita a comprender que la Matemática es parte del mundo que te<br />
rodea. A través de sus páginas te enfrentarás a diversas situaciones en<br />
las que podrás desarrollar diversas habilidades para explorar, aprender y<br />
construir conceptos matemáticos, a partir de los ejes Números, Álgebra,<br />
Geometría y Datos y Azar.<br />
En este año, en el eje Números profundizarás tus conocimientos sobre<br />
operaciones con números enteros, descubrirás y emplearás estrategias<br />
para multiplicar y dividir con números enteros, comprenderás y aplicarás el<br />
algoritmo de la división de números enteros, descubrirás y usarás estrategias<br />
para calcular potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y<br />
exponente natural y aplicarás sus propiedades.<br />
En el eje Álgebra plantearás ecuaciones, analizarás relaciones por medio<br />
de tablas y gráficos, reconocerás y representarás diversas funciones e<br />
identificarás algunos de sus elementos, diferenciarás entre relaciones<br />
proporcionales y no proporcionales.<br />
En el eje Geometría realizarás traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras<br />
geométricas planas, construirás teselaciones, aprenderás a caracterizar la<br />
circunferencia y círculo como lugar geométrico, calcularás la longitud de<br />
una circunferencia y estimarás el área de un círculo, comprenderás la<br />
relación del número pi con la circunferencia, utilizarás el área de la<br />
superficie del cilindro, cono y pirámide y el volumen de cilindros y<br />
conos rectos en la resolución de problemas.<br />
En el eje Datos y Azar, interpretarás información en diversas<br />
tablas con datos agrupados en intervalos, aprenderás a<br />
construir dichas tablas y a determinar la media aritmética<br />
y moda en esos casos, comprenderás y analizarás<br />
muestras aleatorias y determinarás probabilidades de<br />
ocurrencia de eventos en experimentos aleatorios y<br />
las contrastarás con resultados experimentales.<br />
Para resolver problemas, utilizarás diversas estrategias,<br />
además, podrás conectar tus conocimientos con temas<br />
de actualidad y emplearás herramientas tecnológicas.<br />
Todo esto a través de entretenidas actividades en las<br />
que podrás razonar, reflexionar, analizar y compartir tus<br />
conocimientos con tus compañeros y compañeras.<br />
Presentación 3
Estructura del Texto<br />
El Texto Matemática 8 está organizado en 6 unidades. En cada Unidad encontrarás las siguientes<br />
páginas y secciones:<br />
Conversemos de...<br />
Sección que te plantea preguntas relacionadas<br />
con la imagen y con los contenidos de la Unidad<br />
que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones<br />
y argumentar a partir de tus experiencias.<br />
¿Cuánto sabes?<br />
Podrás resolver<br />
ejercicios y problemas<br />
que te ayudarán a<br />
recordar conocimientos<br />
que serán la base para<br />
el desarrollo de la<br />
Unidad.<br />
4 Matemática 8<br />
Páginas de inicio<br />
En esta Unidad podrás...<br />
En esta sección conocerás<br />
los principales objetivos que<br />
se espera que logres con el<br />
desarrollo de la Unidad.<br />
¿Qué debes recordar?<br />
Encontrarás el resumen de los<br />
principales conceptos trabajados en<br />
años anteriores y que te servirán como<br />
apoyo para los aprendizajes que se<br />
espera que logres en la Unidad.
Ayuda<br />
Te recuerda un<br />
contenido o<br />
procedimiento.<br />
En equipo<br />
Desarrollarás en grupo<br />
entretenidas e interesantes<br />
actividades que te permitirán<br />
progresar en tu aprendizaje<br />
Para discutir<br />
Por medio de preguntas,<br />
explorarás el contenido<br />
matemático que<br />
aprenderás, pondrás en<br />
práctica lo que ya sabes,<br />
compartirás tus ideas<br />
y extraerás conclusiones.<br />
Páginas de desarrollo<br />
Actividades<br />
Resolverás variadas<br />
actividades para ir<br />
descubriendo los<br />
conceptos y reforzar<br />
así su aprendizaje.<br />
No olvides que...<br />
Encontrarás explicaciones,<br />
descripciones o<br />
definiciones que destacan<br />
y precisan lo que vas<br />
aprendiendo.<br />
Te invitamos a ingresar al<br />
hipertexto donde encontrarás<br />
diferentes recursos y actividades<br />
interactivas que complementarán<br />
tu aprendizaje.<br />
Estructura del Texto 5
Herramientas<br />
tecnológicas<br />
Aprenderás a ocupar la<br />
calculadora para resolver<br />
diversos ejercicios y a<br />
utilizar planillas de<br />
cálculo o programas<br />
computacionales.<br />
Buscando estrategias<br />
Observarás un problema<br />
resuelto paso a paso a<br />
través de una determinada<br />
estrategia. Podrás aprender<br />
y practicar la estrategia<br />
utilizada y buscar otras que<br />
te permitan encontrar la<br />
solución.<br />
6 Matemática 8<br />
Mi progreso<br />
Resolverás actividades<br />
que te permitirán<br />
evaluar tu progreso<br />
en el logro de los<br />
aprendizajes.<br />
Estrategia mental<br />
Podrás aprender y<br />
practicar diversas<br />
estrategias de cálculo<br />
mental.
Conexiones<br />
A partir de una noticia<br />
o tema, desarrollarás en<br />
equipo una actividad que<br />
te permitirá aplicar lo que<br />
aprendiste en la Unidad.<br />
Además, te invitamos a<br />
evaluar tu actitud y la de<br />
cada integrante del grupo<br />
para que puedas mejorar<br />
tu forma de trabajar.<br />
¿Qué aprendí?<br />
En estas dos páginas<br />
responderás preguntas<br />
de selección múltiple<br />
y actividades de<br />
desarrollo para evaluar<br />
lo que has aprendido<br />
en la Unidad.<br />
Páginas de cierre<br />
Síntesis<br />
Podrás organizar y sintetizar lo aprendido<br />
utilizando un organizador gráfico.<br />
Además, aclararás los conceptos trabajados<br />
respondiendo preguntas sobre estos<br />
y sus relaciones.<br />
¿Qué logré?<br />
Evaluarás y reflexionarás<br />
sobre los aprendizajes que<br />
adquiriste en esta Unidad.<br />
Estructura del Texto 7
1<br />
Unidad<br />
2<br />
Unidad<br />
3<br />
Unidad<br />
8 Matemática 8<br />
Índice<br />
Números enteros 10<br />
¿Cuánto sabes? 12<br />
Multiplicación de un número natural<br />
por un número entero negativo 14<br />
Multiplicación de números enteros 16<br />
División exacta de números enteros 18<br />
Mi progreso 21<br />
División inexacta de números enteros 22<br />
Operaciones combinadas 24<br />
¿Cuánto sabes? 38<br />
Potencias de base entera y<br />
exponente natural 40<br />
Valor de la potencia 42<br />
Multiplicación de potencias de<br />
igual base 44<br />
División de potencias de igual base 46<br />
Multiplicación de potencias de<br />
igual exponente 48<br />
División de potencias de<br />
igual exponente 50<br />
Potencia de una potencia 52<br />
Mi progreso 29<br />
Buscando estrategias 30<br />
Para finalizar 32<br />
¿Qué aprendí? 34<br />
Potencias 36<br />
Mi progreso 55<br />
Potencias de base fraccionaria<br />
positiva y exponente natural 56<br />
Potencias de base decimal positiva<br />
y exponente natural 58<br />
Crecimiento exponencial 60<br />
Decrecimiento exponencial 62<br />
Mi progreso 65<br />
Buscando estrategias 66<br />
Para finalizar 68<br />
¿Qué aprendí? 70<br />
Geometría y medición 72<br />
¿Cuánto sabes? 74<br />
Circunferencia y círculo como<br />
lugar geométrico 76<br />
Elementos de la circunferencia 78<br />
Número π y su relación con la<br />
circunferencia 80<br />
Longitud de la circunferencia 82<br />
Área del círculo 84<br />
Mi progreso 87<br />
Área del cilindro y cono 88<br />
Volumen del cilindro y cono 92<br />
Mi progreso 95<br />
Buscando estrategias 96<br />
Para finalizar 98<br />
¿Qué aprendí? 100
4<br />
Unidad<br />
5<br />
Unidad<br />
6<br />
Unidad<br />
Movimientos en el plano 102<br />
¿Cuánto sabes? 104<br />
Transformaciones de figuras<br />
y objetos 106<br />
Traslaciones de figuras planas 108<br />
Reflexiones de figuras planas 110<br />
Rotaciones de figuras planas 112<br />
Mi progreso 117<br />
Teselaciones 118<br />
¿Cuánto sabes? 132<br />
Interpretación de tablas de<br />
frecuencias 134<br />
Construcción de tablas para<br />
datos agrupados 136<br />
Media aritmética para datos<br />
agrupados 138<br />
Moda para datos agrupados 140<br />
Censo y muestreo 142<br />
Análisis de encuestas 144<br />
Teselaciones regulares y<br />
semirregulares 120<br />
Mi progreso 123<br />
Buscando estrategias 124<br />
Para finalizar 126<br />
¿Qué aprendí? 128<br />
Datos y azar 130<br />
¿Cuánto sabes? 166<br />
Situaciones con dos variables 168<br />
Noción de función 172<br />
Variables dependientes<br />
e independientes 174<br />
Dominio y recorrido 178<br />
Mi progreso 181<br />
Variaciones proporcionales y<br />
no proporcionales 182<br />
Mi progreso 149<br />
Espacio muestral y principio<br />
multiplicativo 150<br />
Sucesos equiprobables 152<br />
Regla de Laplace 154<br />
Mi progreso 157<br />
Buscando estrategias 158<br />
Para finalizar 160<br />
¿Qué aprendí? 162<br />
Funciones y relaciones proporcionales 164<br />
Relación de proporcionalidad directa 184<br />
Relación de proporcionalidad inversa 188<br />
Mi progreso 193<br />
Buscando estrategias 194<br />
Para finalizar 196<br />
¿Qué aprendí? 198<br />
Solucionario 200<br />
Índice temático 220<br />
Bibliografía 223<br />
Índice 9
10 Unidad 1<br />
1Unidad<br />
Números<br />
enteros
En esta Unidad podrás...<br />
• Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un<br />
número entero negativo.<br />
• Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar números enteros.<br />
• Emplear procedimientos de cálculo en divisiones exactas de números enteros.<br />
• Ampliar el algoritmo de la división de números naturales a la división de<br />
números enteros y aplicarlo.<br />
• Calcular operaciones combinadas con números enteros.<br />
• Resolver problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan<br />
las cuatro operaciones aritméticas con números enteros.<br />
Conversemos de...<br />
La atmósfera es una masa gaseosa que envuelve a la Tierra.<br />
Sus componentes cumplen un papel muy importante para que en nuestro<br />
planeta pueda existir la vida; además, no solo nos protege de la radiación solar,<br />
sino que filtra radiaciones nocivas e impide que el calor emitido por el Sol se<br />
escape al espacio.<br />
Sin la atmósfera, la temperatura de la Tierra se volvería insoportable,<br />
aumentaría en 100 ºC por el día y variaría cerca de –150 ºC en la noche.<br />
La atmósfera se divide en capas, la primera es la tropósfera, en la cual la<br />
temperatura disminuye con la altura.<br />
Fuente: Dirección Meteorológica de Chile,<br />
www.meteochile.cl/ayudaest.html, septiembre 2009.<br />
La fotografía fue tomada en un avión que volaba en la tropósfera, sobre una zona<br />
en que la temperatura de la superficie era de 24 ºC y esta disminuía, según la<br />
altura, a razón de 6 ºC por kilómetro.<br />
1. ¿Cuál era la temperatura a 2 km de altura?<br />
2. ¿A qué altura la temperatura fue de 0 ºC?<br />
3. ¿A qué altura volaba el avión, si la temperatura del aire varió a –24 ºC?<br />
Números enteros 11
¿Cuánto sabes?<br />
12 Unidad 1<br />
1. Completa con los signos o =, según corresponda.<br />
a) –7 –5 c) –10 –15 e) –3 3<br />
b) –8 5 d) 4 –1 f) 8 –8<br />
2. Ordena los siguientes números de menor a mayor.<br />
a) 49; –14; –28; 20; 29; –29 d) –7; –10; –16; –18; 1; 0<br />
b) –4; –5; –1; 1; 3; 5 e) –14; –19; 22; –23; 10; –5<br />
c) 101; 111; –111; –1; 5; 18 f) –18; –20; –40; 2; –6; 6<br />
3. Ubica en la recta numérica los números: –6, –4, 7, –5, –1, 3, –2 y sus<br />
inversos aditivos.<br />
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
4. Calcula mentalmente:<br />
a) (–2) + 8 = e) 22 – 30 =<br />
b) (–14) + 6 = f) –(–4 + 2) – (9 – 5) =<br />
c) (–3) + (–8) = g) (5 – 18) – (–8 + 8) =<br />
d) –11 – (–4) = h) –4 – 7 + (9 – 3) + 10 =<br />
5. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, la estrategia<br />
que utilizaste.<br />
a) La temperatura de un frigorífico es de –10 ºC. Después de un corte de<br />
luz sube 15 ºC, luego, cuando vuelve la energía, baja rápidamente<br />
12 ºC. ¿Cuál es la temperatura del frigorífico después de esta<br />
disminución de temperatura?<br />
b) Camila le debe $ 12 000 a su madre y $ 5500 a su hermano. Si le paga<br />
$ 10 500 a su madre y $ 3800 a su hermano, ¿cuánto debe ahora<br />
en total?<br />
c) Un buzo que se encuentra a 9 metros bajo el nivel del mar sube hacia la<br />
superficie 5 metros, luego, desciende 6 metros. ¿A qué profundidad se<br />
encuentra ahora?<br />
d) Un pez que está a 5 metros bajo el nivel del mar, primero desciende<br />
3 metros y, luego, sube 6 metros. ¿A qué distancia del nivel del mar<br />
se encuentra ahora? Represéntalo en la recta numérica.
6. Calcula mentalmente:<br />
a) 45 : 9 = e) 2 • 3 • 10 =<br />
b) 50 • 6 = f) 540 : 60 =<br />
c) 13 • 4 = g) 121 : 11 =<br />
d) 180 : 6 = h) 12 • 5 =<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.<br />
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve<br />
correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué debes recordar?<br />
• El conjunto de los números enteros está compuesto por los números naturales (),<br />
el cero y los números negativos. Se simboliza por .<br />
• La distancia que hay entre un número y el cero la representaremos a través del valor<br />
absoluto. El valor absoluto de un número a lo escribiremos a.<br />
Por ejemplo: la distancia entre –20 y cero en la recta numérica es 20, entonces –20 = 20.<br />
Unidad 1<br />
• En la recta numérica, un número, positivo o negativo, es mayor que todos los números que<br />
están a la izquierda de él y es menor que cualquier número que esté a la derecha de él.<br />
Por ejemplo, –2 > –4, ya que el –2 está a la derecha del –4, como se observa en la siguiente<br />
recta numérica:<br />
• Para sumar números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y conservamos<br />
el signo.<br />
Para sumar dos números enteros de distinto signo restamos sus valores absolutos y,<br />
al resultado, le asignamos el signo del número de mayor valor absoluto.<br />
Ejemplo: (–3) + (–5) = –8<br />
6 + (–9) = –3<br />
• Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.<br />
Ejemplo: 15 – (–10) = 15 + 10 = 25<br />
–18 – 22 = –18 + (–22) = –40<br />
= …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…<br />
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4<br />
Números enteros 13
14 Unidad 1<br />
Multiplicación de un número natural<br />
por un número entero negativo<br />
Claudia y Juan aprendieron a multiplicar dos números naturales<br />
utilizando diferentes procedimientos. Claudia lo hace como adición<br />
de sumandos iguales. Juan lo hace descomponiendo el primer<br />
factor. Observa.<br />
Para discutir<br />
• ¿Cuál de los dos procedimientos utilizas frecuentemente?,<br />
¿qué otro procedimiento conoces? Explícalo.<br />
• ¿Se puede escribir como multiplicación una adición de sumandos<br />
iguales, si el sumando que se repite es un número entero menor<br />
que cero?, ¿cómo?, ¿por qué?<br />
• Las expresiones (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) y (–14) • 5<br />
¿son equivalentes?, ¿por qué?, ¿cuál es el resultado en cada caso?<br />
• ¿Cuál es el signo del resultado de una multiplicación entre dos<br />
números si uno de los factores es un número natural y el otro es<br />
un número entero negativo?<br />
En la situación anterior, si consideramos el procedimiento de Claudia,<br />
el sumando 14 se repite 5 veces, lo que, escrito como multiplicación,<br />
es 14 • 5.<br />
Luego, para escribir como multiplicación<br />
(–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14), el sumando (–14) se repite<br />
5 veces, entonces se escribe (–14) • 5.<br />
Podemos calcular (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) apoyándonos<br />
en la recta numérica:<br />
–80 –70<br />
–56 –42 –28 –14<br />
–60 –50 –40 –30 –20 –10 0 10<br />
Obtenemos:<br />
(–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = –14 – 14 – 14 – 14 – 14 = –70.<br />
Como (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = (–14) • 5,<br />
tenemos que (–14) • 5 = –70.
¿Cómo calcular 5 • (–14)?<br />
En el caso que el número negativo sea el segundo factor,<br />
como 5 • (–14), se puede escribir como (–14) • 5, por la propiedad<br />
conmutativa de la multiplicación.<br />
Por lo tanto, 5 • (–14) = (–14) • 5 = –70<br />
No olvides que...<br />
Actividades<br />
1. Escribe como adición las siguientes multiplicaciones y, luego, resuelve.<br />
Ayuda<br />
Unidad 1<br />
Propiedad conmutativa de la<br />
multiplicación:<br />
a • b = b • a, con a y b<br />
números enteros.<br />
• Para multiplicar un número natural por un número entero negativo, la expresión se puede<br />
escribir como una adición iterada de sumandos iguales y, luego, calcular la operación.<br />
Ejemplos: (–12) • 3 = (–12) + (–12) + (–12) = –12 – 12 – 12 = –36<br />
2 • (–7) = (–7) • 2 = (–7) + (–7) = –7 – 7 = –14<br />
a) (–3) • 5 = c) 4 • (–6) = e) (–1) • 8 = g) 9 • (–4) =<br />
b) 2 • 10 = d) (–10) • 3 = f) 1 • (–8) = h) (–13) • 4 =<br />
2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números.<br />
a) –1 b) –16 c) 8 d) –10 e) –36 f) –7<br />
3. Escribe como una multiplicación cada adición de sumandos iguales.<br />
a) (+14) + (+14) + (+14) + (+14) d) (–4) + (–4) + (–4) + (–4)<br />
b) (–1) + (–1) + (–1) + (–1) + (–1) e) (–5) + (–5)<br />
c) (–21) + (–21) + (–21) f) (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6)<br />
4. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.<br />
a) En una multiplicación, si los factores son dos números naturales, el producto también lo es.<br />
b) La multiplicación de un número natural por un número entero negativo resulta un número<br />
entero positivo o negativo, según el caso.<br />
c) En una multiplicación, donde un factor es un número natural y el otro es un número entero<br />
negativo, el producto es siempre menor que cada uno de los factores.<br />
d) El doble de un número entero es siempre mayor que ese número.<br />
Números enteros 15
Ayuda<br />
Recuerda que, usualmente,<br />
cuando el número es positivo,<br />
no se escribe el signo +.<br />
Por ejemplo:<br />
(+3) se escribe también 3.<br />
16 Unidad 1<br />
Multiplicación de números enteros<br />
Un grupo de 4 amigos inventaron un juego en el que obtenían puntos<br />
al responder ciertas preguntas. Si no respondían correctamente, se<br />
anotaban puntos negativos o cero. Aquí está el resumen después de<br />
5 etapas.<br />
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Etapa 5<br />
Beatriz 15 15 15 15 15<br />
Cristián –10 –10 –10 –10 –10<br />
Gonzalo 0 0 0 0 0<br />
Alejandra –12 –12 –12 –12 –12<br />
Para discutir<br />
• ¿Con cuántos puntos terminó cada jugador?<br />
• ¿Quién obtuvo más puntos?<br />
• Si Alejandra jugara hasta la tercera etapa, ¿cuántos puntos<br />
dejaría de perder con las dos etapas que no jugó?<br />
Como Beatriz obtuvo 15 puntos en cada etapa, la expresión que<br />
permite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las 5 etapas<br />
es: 15 • 5 = 75, es decir, terminó con 75 puntos.<br />
La expresión que permite calcular con cuántos puntos terminó<br />
Cristián al final de las 5 etapas, si obtuvo –10 en cada una es:<br />
(–10) • 5 = –50, o bien: 5 • (–10) = –50. Por lo tanto, Cristián terminó<br />
con –50 puntos al final del juego.<br />
Gonzalo hizo 0 puntos en cada etapa. En este caso, la expresión que<br />
permite calcular la cantidad de puntos al finalizar el juego es:<br />
0 • 5 = 0, es decir, terminó con 0 puntos.<br />
Si Alejandra hizo –12 puntos en cada etapa, la expresión que<br />
permite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las etapas es:<br />
(–12) • 5 = –60. En este caso, Alejandra terminó el juego con<br />
–60 puntos.<br />
Beatriz fue quien obtuvo más puntos.<br />
La expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvo<br />
Alejandra en las 2 últimas etapas, si en cada una obtuvo (–12) puntos,<br />
es: (–12) • 2 = –24 puntos. Entonces, al no jugar las últimas dos<br />
etapas dejó de perder 24 puntos. La expresión matemática en este<br />
caso, considerando que representaremos con (–2) a las dos etapas<br />
que no jugó, es: (–12) • (–2) = 24.<br />
Notemos que (–12) • (–2) = 12 • 2 = 24.
No olvides que...<br />
• Para cualquier número entero a, se tiene que a • 0 = 0 • a = 0.<br />
Actividades<br />
1. Calcula el resultado de los siguientes productos.<br />
a) 3 • (–5) c) (–11) • 3 e) (–4) • (–1) g) 7 • (–2)<br />
b) 0 • (–3) d) (–5) • (–6) f) 1 • (–7) h) (–9) • (–5)<br />
2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números.<br />
a) –20 b) –16 c) –18 d) +8<br />
3. Completa con el factor que falta.<br />
a) • (–7) = 21 c) • 9 = –72 e) (–4) • = 4<br />
b) 5 • = –35 d) 6 • = 18 f) (–4) • = –64<br />
4. En esta pirámide, el número de cada casilla debe ser el producto de los dos números de las<br />
casillas sobre las que está apoyada dicha casilla. Complétala.<br />
Unidad 1<br />
• Para multiplicar números enteros, se deben multiplicar sus valores absolutos y al resultado<br />
anteponer el signo + si los factores tienen el mismo signo, o el signo – si tienen distinto signo.<br />
• La tabla que se muestra a la derecha te permite recordar la regla de los signos.<br />
• Al multiplicar dos números que tienen igual signo,<br />
el resultado es positivo. Por ejemplo:<br />
(+5) • (+7) = +35 (–6 • (–2) = +12<br />
• Al multiplicar dos números que tienen diferente signo,<br />
el resultado es negativo. Por ejemplo:<br />
(+8) • (–9) = –72 (–6) • (+4) = –24<br />
+1080<br />
–12<br />
+6<br />
+3<br />
Signo del<br />
1 er factor<br />
Signo del<br />
2 o factor<br />
Signo del<br />
producto<br />
+ + +<br />
– – +<br />
+ – –<br />
– + –<br />
Números enteros 17
Ayuda<br />
En una división exacta, el resto<br />
es igual a cero. Por ejemplo,<br />
en 30 : 5 = 6, significa que<br />
30 = 5 • 6 + 0.<br />
18 Unidad 1<br />
División exacta de números enteros<br />
Carlos y Francisca tienen una libreta donde ingresan sus transacciones<br />
de dinero mensual. Estas son las anotaciones del mes de abril:<br />
Concepto Arriendo Luz Sueldos Gas Supermercado<br />
Movimiento<br />
(en pesos)<br />
Para discutir<br />
80 000 9000 415 000 12 000 55 000<br />
• ¿Con qué número entero relacionarías cada movimiento de<br />
dinero?, ¿por qué?<br />
• Si ambos tienen el mismo sueldo, ¿cuánto recibe cada uno?<br />
• Si el consumo diario de gas y luz fue aproximadamente el mismo,<br />
¿cuánto gastaron cada día por concepto?, ¿cómo lo calculaste?<br />
• ¿Cómo comprobarías que los resultados obtenidos en cada caso<br />
son correctos?<br />
Si asociamos las ganancias con el signo +, y los gastos con el signo –,<br />
en la situación anterior, el sueldo se escribirá entonces como<br />
+415 000 ó 415 000 y los otros movimientos son gastos, por<br />
consiguiente se escribirán como –80 000, –9000, –12 000 y –55 000,<br />
por concepto de arriendo, luz, gas y supermercado, respectivamente.<br />
Para determinar el sueldo que recibieron Carlos y Francisca en abril,<br />
si reciben lo mismo, calculamos: 415 000 : 2 = 207 500. Es decir, cada<br />
uno recibió un sueldo de $ 207 500 ese mes. Para comprobar que el<br />
resultado obtenido es correcto, multiplicamos el divisor por el cociente,<br />
que debe ser igual al dividendo, es decir, 415 000 = 2 • 207 500.<br />
Sabemos que el mes de abril tiene 30 días; para determinar cuánto<br />
dinero gastaron diariamente en gas, calculamos: 12 000 : 30 = 400.<br />
Luego, gastaron $ 400 por día en gas. Como asociamos a los gastos<br />
el signo –, podemos escribir –12 000 : 30 = –400. Al comprobar en<br />
este caso, tenemos: –12 000 = 30 • (–400). Para determinar el gasto<br />
diario en luz, calculamos: –9000 : 30 = –300. Por lo tanto, gastaron<br />
$ 300 en luz diariamente. Luego, para verificar que el cálculo<br />
realizado es correcto, tenemos: –9000 = 30 • (–300).<br />
Ten presente que en las divisiones realizadas el dividendo es igual al<br />
divisor por el cociente, es decir, las divisiones son exactas.
No olvides que...<br />
• Para calcular el cociente de dos números enteros, se deben dividir sus valores absolutos<br />
y al resultado se le antepone el signo + si ambos números, dividendo y divisor, son de<br />
igual signo, o el signo – si son de signos diferentes.<br />
• La tabla que se muestra a la derecha te permite<br />
recordar la regla de los signos:<br />
• La división es la operación inversa de la<br />
multiplicación. Cuando la división de números<br />
enteros es exacta, se verifica que el resultado<br />
obtenido o cociente es correcto, si el dividendo<br />
es igual al divisor por el cociente.<br />
Por ejemplo:<br />
14 : 2 = 7 14 = 2 • 7 (–20) : (–4) = 5 (–20) = (–4) • 5<br />
15 : (–3) = –5 15 = (–3) • (–5) (–18) : 9 = –2 (–18) = 9 • (–2)<br />
Actividades<br />
1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos.<br />
a) 120 : 2 = d) 270 : (–27) = g) 120 : (–2) =<br />
b) 164 : (–4) = e) (–333) : 3 = h) (–108) : (–12) =<br />
c) (–225) : 5 = f) (–456) : (–6) = i) 300 : ((–30) : 6) =<br />
2. Obtén dos números cuyo cociente sea el indicado.<br />
a) : = 48 b) : = –54 c) : = –1024<br />
3. Escribe en cada línea el número que falta para que se cumpla la igualdad.<br />
a) 180 : (–9) = c) : (–9) = 7 e) : (–14) = –9<br />
b) 240 : = –24 d) : 12 = 4 f) (–720) : = –6<br />
4. Lee atentamente, comenta y, luego, responde:<br />
Signo del<br />
dividendo<br />
Signo del<br />
divisor<br />
Signo del<br />
cociente<br />
+ + +<br />
– – +<br />
+ – –<br />
– + –<br />
a) Considera la expresión: x : y = 2. Si x es un número entero negativo mayor que –11,<br />
¿qué valores pueden tomar x e y?<br />
b) El cociente de dos números enteros ¿es siempre un número natural? Justifica.<br />
Unidad 1<br />
Números enteros 19
5. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes<br />
y completa la tabla.<br />
6. A partir de los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior, responde:<br />
a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y –(b : a)?, ¿por qué?<br />
b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y b : a?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en<br />
estos casos?, ¿por qué?<br />
c) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular las divisiones b : a y b : a?, ¿ocurrirá siempre lo<br />
mismo en estos casos?, ¿por qué?, ¿y si fueran multiplicaciones?<br />
7. Un clavadista se lanza de una altura de 12 metros a una piscina. Si la profundidad que logra es un<br />
tercio de la altura a la que se lanzó, ¿qué número representa la profundidad que alcanza respecto<br />
del nivel del agua?<br />
En equipo<br />
En esta actividad deberán utilizar seis tarjetas azules, seis tarjetas rojas y una moneda para calcular<br />
mentalmente multiplicaciones y divisiones con números enteros. Formen grupos de cuatro<br />
integrantes y sigan las instrucciones.<br />
1. Elaboren seis tarjetas azules con los siguientes números: –150, +200, –250, +300, –350, +400.<br />
2. Elaboren seis tarjetas rojas con los siguientes números: –25, –10, –5, –1, 2, 5.<br />
3. Cada integrante, por turno:<br />
1º Saca una tarjeta azul al azar.<br />
2º Saca una tarjeta roja al azar.<br />
3º Lanza la moneda, si sale cara se deben multiplicar mentalmente los números obtenidos;<br />
de lo contrario (sello), se divide mentalmente el número de la tarjeta azul por el de la<br />
tarjeta roja.<br />
4º Si responde correctamente, gana 1 punto; si no, pierde 1 punto.<br />
4. Jueguen hasta que alguno de los integrantes complete 10 puntos.<br />
20 Unidad 1<br />
a b b : a –(b : a) b : a b : a<br />
5 15<br />
– 3 –18<br />
–2 4<br />
4 –28
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.<br />
1. En la expresión (–36) : x = –4, el valor de x es:<br />
A. –9 B. 9 C. 6 D. –12<br />
2. Si x es un número entero negativo, ¿cuál de estos números es el más grande?<br />
A. 4 + x B. 4 • x C. 4 : x D. 4 – x<br />
3. Remplaza los valores de m y n en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.<br />
m n m • m m : n m • n m • m<br />
–20 5<br />
48 –6<br />
–450 –90<br />
A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:<br />
a) ¿Qué tienen en común las soluciones obtenidas al calcular m : n y m • n?, ¿por qué?<br />
b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular m • m y m • m?, ¿ocurrirá siempre lo mismo<br />
en estos casos?, ¿por qué?<br />
4. En un juego, Emilia tiene 60 puntos a favor y Carlos tiene 10 puntos en contra. Si Carlos gana la<br />
mitad de puntos que Emilia tiene y, luego, Emilia dobla su puntaje, ¿cuántos puntos tienen ahora<br />
Emilia y Carlos?<br />
5. En el interior de una cámara frigorífica puede descender la temperatura 4 ºC cada hora.<br />
¿Cuántas horas tardará en bajar la temperatura 20 ºC?, ¿y en bajar 16 ºC?<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto; completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Reconocer el divisor en una expresión asociada a números enteros. 1<br />
Analizar expresiones algebraicas asociadas a números enteros. 2<br />
Calcular el producto o cociente de dos números enteros. 3<br />
Resolver un problema que requiere multiplicación y división de<br />
números enteros.<br />
4 y 5<br />
Unidad 1<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
Números enteros 21
22 Unidad 1<br />
División inexacta de números enteros<br />
Una profesora recuerda a sus alumnas y alumnos el algoritmo de la<br />
división de números naturales, cuando el resto o residuo es mayor<br />
que cero. Observa:<br />
Divisor<br />
Dividendo<br />
17 : 5 = 3 Cociente<br />
2 Resto<br />
Para discutir<br />
• La división anterior, ¿es exacta?, ¿por qué?<br />
• ¿Se puede comprobar que el resultado es correcto en este caso?,<br />
¿cómo lo harías?<br />
• Si el dividendo o divisor fuera negativo, ¿se podrá comprobar<br />
que el resultado es correcto de la misma forma anterior?,<br />
¿cómo lo harías?<br />
• En la división –17 : 5, ¿qué sucederá con el resto?, ¿será 2?,<br />
¿por qué?<br />
La división que muestra la profesora no es exacta, ya que el residuo o<br />
resto es mayor que cero, es 2. Luego, podemos escribir 17 = 5 • 3 + 2.<br />
En general, según el algoritmo de la división de números naturales,<br />
el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo.<br />
En el caso que el dividendo o divisor sea negativo, debemos<br />
considerar algunos aspectos nuevos.<br />
En la división: –17 : 5, el dividendo se puede escribir de dos<br />
formas. Observa:<br />
a) –17 = 5 • (–3) –2 b) –17 = 5 • (–4) + 3<br />
Si queremos escribir el dividendo como la multiplicación entre divisor<br />
por el cociente más el resto, ¿cuál de las dos formas es correcta?<br />
La respuesta es la letra b, pues según el algoritmo que se extiende<br />
a los números enteros, el resto debe ser positivo (y menor que el<br />
valor absoluto del divisor), cuando no es cero. Entonces, para:<br />
17 : –5, significa que 17 = (–5) • (–3) + 2, ya que, 0 < 2 < –5<br />
–17 : –5, significa que –17 = (–5) • 4 + 3, ya que, 0 < 3 < –5
No olvides que...<br />
Según el algoritmo de la división:<br />
• El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo.<br />
• Si la división es exacta, el residuo es igual a cero.<br />
• Si la división no es exacta, el residuo es mayor que cero y menor que el valor absoluto<br />
del divisor.<br />
Actividades<br />
1. Completa la siguiente tabla, guiándote por el ejemplo.<br />
Dividendo Divisor Cociente Resto El dividendo es igual a<br />
30 –6 –5 0 30 = (–6) • (–5) + 0<br />
30 6<br />
42 5<br />
–42 –5<br />
–12 8<br />
12 8<br />
27 –6<br />
–27 –6<br />
27 6<br />
–20 4<br />
20 –4<br />
2. Observa los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior y responde:<br />
a) Observa los casos en que el dividendo es igual, ¿por qué el cociente es distinto?,<br />
¿de qué depende?<br />
b) ¿Existirá otra forma de escribir el dividendo en cada caso?, ¿por qué?<br />
3. Utilizando lo aprendido hasta ahora, responde:<br />
a) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que a : 0 no tiene solución?<br />
b) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que 0 : a = 0?<br />
Unidad 1<br />
Números enteros 23
La temperatura máxima<br />
en Temuco se registró<br />
a las 15 horas.<br />
Glosario<br />
amplitud térmica:<br />
es la diferencia entre la<br />
temperatura más alta y la más<br />
baja registrada en un lugar,<br />
durante un período de tiempo.<br />
Ayuda<br />
Propiedad distributiva de la<br />
multiplicación respecto de<br />
la suma:<br />
a • (b + c) = a • b + a • c;<br />
con a, b y c números enteros.<br />
Ejemplo:<br />
(–2) • [(–4) – (+6)]<br />
= (–2) • (–4) – (–2) • (+6)<br />
= (+8) – (–12)<br />
= 20<br />
24 Unidad 1<br />
Operaciones combinadas<br />
Un día de invierno, en Temuco, la temperatura mínima registrada<br />
a las 7:00 horas fue de –2 ºC, dos horas más tarde subió 5 ºC.<br />
A las 12:00 horas, la temperatura fue el doble de la temperatura<br />
registrada a las 9:00 horas. La máxima del día se registró tres horas<br />
después, y subió 7 ºC.<br />
Para discutir<br />
• ¿Cuál fue la temperatura registrada a mediodía en Temuco?,<br />
¿y a las 15:00 horas?, ¿cómo lo supiste?<br />
• ¿Cuál fue la variación de temperatura (amplitud térmica)<br />
en grados ese día?<br />
• Averigua la temperatura mínima y máxima para mañana en<br />
tu ciudad.<br />
En la situación anterior, una forma de determinar cuál fue la<br />
temperatura registrada a las 12:00 horas, es calculando la expresión:<br />
(–2 + 5) • 2.<br />
Esta expresión se puede calcular de dos formas: 1º resolver primero<br />
las operaciones entre paréntesis y luego multiplicar; 2º aplicar la<br />
propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.<br />
Forma 1: (–2 + 5) • 2 = 3 • 2<br />
= 6<br />
Forma 2: (–2 + 5) • 2 = 2 • (–2) + 2 • 5<br />
= –4 + 10<br />
= 6<br />
Así, la temperatura a las 12:00 horas fue 6 ºC.<br />
Para determinar la temperatura registrada a las 15:00 horas,<br />
una forma es resolver la expresión: (–2 + 5) • 2 + 7<br />
Entonces: (–2 + 5) • 2 + 7<br />
= 3 • 2 + 7<br />
= 6 + 7<br />
= 13<br />
Luego, la temperatura registrada a las 15:00 horas fue 13 ºC.<br />
Por lo tanto, la amplitud térmica ese día fue 15 ºC, ya que:<br />
13 – (–2) = 15
No olvides que...<br />
Actividades<br />
1. Resuelve.<br />
a) (–18 : 6) • –2 d) (–640 : –4) • (12 : 2) g) (24 : –12) • (7 • 0)<br />
b) 36 : (–4 : 1) e) (30 • 0) : (–2 • 3) h) (8 • –3) : (4 : –2)<br />
c) (–9 : 3) • (10 : –5) f) (10 : –10) • 10 i) (8 : –8) • (–7 : 7)<br />
2. Calcula aplicando la propiedad distributiva.<br />
a) (–5) • (–4 + 8) c) (7 – 9) • (+5) e) (20 –30) • (–10)<br />
b) (–10) • (5 + (–3)) d) (–9 – 12) • (+2) f) (–15) • (–2 + 10)<br />
3. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.<br />
a) 16 : (–2) – (–4 + 2) + 5 • (–1) d) 4 • (14 : –2) + 9 • (–3) – 2 : –2)<br />
b) 25 : 5 – (4 – 9) • 3 – (9 –12) : 3 e) –7 – (–49 : 7) + 14 • 2 + 7<br />
c) 2 + (8 : 4) – (–2 • 3) + (9 : –3) f) –20 : (16 – 12) • –5 – 14<br />
4. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa<br />
la tabla.<br />
Unidad 1<br />
• Si al resolver un problema aparecen operaciones combinadas, debes calcular siguiendo el orden:<br />
1º Se resuelven los paréntesis.<br />
2º Después se realizan las multiplicaciones y divisiones en orden, de izquierda a derecha.<br />
3º Se efectúan, por último, las sumas y las restas en orden, de izquierda a derecha.<br />
a b (a + b) • a (a • b):(a + b) (a + b) • (a – b)<br />
12 –4<br />
– 2 3<br />
–10 –15<br />
Números enteros 25
5. Una familia gasta mensualmente $ 100 000 de arriendo, $ 65 000 en mercadería y $ 50 000<br />
en gas, luz y agua. Si desean comprar un automóvil a crédito que cuesta $ 1 200 000, dando de<br />
pie unos ahorros que equivalen $ 150 000 y el resto en 24 cuotas mensuales iguales, calcula:<br />
a) ¿Cuál es el valor de cada una de las 24 cuotas del auto?<br />
b) Si deciden comprar el auto, ¿cuánto dinero gastarán mensualmente en cuentas?<br />
6. Una familia compra una casa en enero del año 2011 con un crédito en cuotas fijas a 20 años.<br />
El valor de la casa es de $ 12 000 000 incluidos los intereses.<br />
a) ¿Cuánto pagan anualmente?<br />
b) ¿Cuál es el valor de cada cuota mensual?<br />
c) ¿Cuánto han pagado después de 5 años?<br />
7. El valor de las acciones de una empresa en la bolsa de comercio disminuye $ 12 cada día.<br />
Hoy tienen un valor de $ 690.<br />
a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuánto costarán dentro de 8 días?<br />
b) ¿Cuánto costarán dentro de 8 días?, ¿y en 15 días?<br />
8. La temperatura en una cámara de refrigeración a las 14:45 horas es de 20 ºC.<br />
Se sabe que la temperatura baja 2 ºC cada minuto.<br />
a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuál será la temperatura a las 15:03 horas?<br />
b) Calcula la temperatura a las 15:03 horas.<br />
9. Remplaza los valores de a, b y c en cada caso, realiza los cálculos correspondientes<br />
y completa la tabla.<br />
10. A partir de los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior, responde:<br />
a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular (b : c) • a y b : (c • a)?, ¿ocurrirá siempre<br />
lo mismo en estos casos?, ¿por qué?<br />
b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular a • (b • c) y (a • b) • c?, ¿ocurrirá siempre<br />
lo mismo en estos casos?, ¿por qué?<br />
26 Unidad 1<br />
a b c (b : c) • a b : (c • a) a • (b • c) (a • b) • c<br />
3 –36 6<br />
–2 18 –9<br />
4 –96 8<br />
–10 –50 –5<br />
8 32 –2
11. Escribe en cada línea el número que falta para que se cumpla la igualdad.<br />
a) 6 : –3 • = –8 e) –5 • –7 • 2 : = –7<br />
b) –3 • ( : –5) = 9 f) : –9 • 2 = –10<br />
c) (–20 : ) • (–8 : 2) = –40 g) 100 : (20 : ) = –50<br />
d) 45 : : 3 = –3 h) • –6 : 2 = 9<br />
12. En cada caso, escribe una pregunta para que el problema sea resuelto con las operaciones que<br />
se indican. Luego, resuélvelos.<br />
a) Operaciones: adición y multiplicación.<br />
En una ciudad del país, la temperatura mínima a las 7:00 horas fue de –2 ºC.<br />
Cada hora aumentó 3 ºC hasta las 11:00 horas.<br />
Pregunta:<br />
Respuesta:<br />
b) Operaciones: adición y división.<br />
Patricio logró ahorrar $ 95 000 en una alcancía desde enero hasta mayo. En junio pudo<br />
guardar $ 20 000, en julio ahorró $ 15 000 y en agosto retiró la cuarta parte del total.<br />
Pregunta:<br />
Respuesta:<br />
Estrategia mental<br />
Unidad 1<br />
Para saber en forma rápida qué signo corresponde al resultado de una multiplicación o<br />
división entre números enteros, cuenta la cantidad de números negativos de la expresión:<br />
si es par, el resultado será positivo; de lo contrario (cantidad impar), el resultado es negativo.<br />
Observa los ejemplos:<br />
25 • (–4) : 20 • 6 : (–10) = +3 (–20 : 2 • (–5) • (–2) = –100<br />
(2 números negativos) (3 números negativos)<br />
Calcula mentalmente, aplicando la estrategia aprendida.<br />
a) (–2) • 2 • (–2) • 2 • (–2) = g) 2 • (–5) • (–10) : 4 • (–3) =<br />
b) (–15) : (–3) • (–4) • 2 : (–5) = h) 300 : 15 • (–3) : 2 • 6 =<br />
c) (–10) • (–100) • (–1000) • (–10 000) = i) (–1) : 1 • (–1) : 1 • (–1) • (–1) : (–1) =<br />
d) 2500 : (–5) : (–10) = j) (–24) : (–8) : 3 • (–1) • (–2) =<br />
e) 3 • 3 • (–4) : (–2) : 9 • (–1) = k) 12 • 10 : (–4) • (–3) : (–9) =<br />
f) 4 • 4 • 4 : (–4) • 1 : (–1) = l) (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) =<br />
Números enteros 27
Herramientas tecnológicas<br />
Usando una planilla de cálculo, resuelve operaciones combinadas con números enteros. Sigue<br />
las instrucciones.<br />
1º En A1 escribe “Positivo”, en B1 “Negativo”, en C1 “Operación 1”, en D1 “Operación 2”,<br />
en E1 “Operación 3” y en F1 “Operación 4”.<br />
2º En las celdas A2 y B2 anota 600 y –30, respectivamente.<br />
3º En la celda C2 correspondiente a “Operación 1” haz doble clic y anota = A2*B2-B2*A2.<br />
Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 • (–30) – (–30) • 600.<br />
4º En la celda D2 correspondiente a “Operación 2” haz doble clic y anota = A2/B2-B2.<br />
Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) – (–30).<br />
5º En la celda E2 correspondiente a “Operación 3” haz doble clic y anota = A2/B2+ABS(B2).<br />
Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) + –30.<br />
6º En la celda F2, inventa una operación combinada usando los números que aparecen en las<br />
celdas A2 y B2 (como en los puntos 3, 4 y 5) y los símbolos +, – , * y /.<br />
7º En las celdas de la columna “Positivo” escribe números enteros positivos hasta A10. En las<br />
celdas de la columna “Negativo” escribe números enteros negativos que sean divisores del<br />
número positivo de su fila correspondiente.<br />
8º Con el mouse, selecciona la celda C2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezca<br />
una cruz negrita, arrastra hasta la celda C10. Así, deberían aparecer todos los resultados<br />
correspondientes.<br />
9º Repite el paso anterior para las celdas D2, E2 y F2. Deberías obtener:<br />
Finalmente, compara los números obtenidos en cada columna y responde:<br />
a) ¿Por qué en “Operación 1” los resultados son siempre cero?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?<br />
Justifica.<br />
b) ¿Por qué los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” son iguales?, ¿ocurrirá siempre<br />
lo mismo? Justifica.<br />
c) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿obtienes como resultado cero<br />
en la columna “Operación 1”?, ¿por qué?<br />
d) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿los resultados de “Operación 2”<br />
y “Operación 3” serían iguales?, ¿por qué? Verifica en tu planilla de cálculo.<br />
28 Unidad 1
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.<br />
1. Juan trabaja en un supermercado. Durante el primer semestre del año pasado tuvo un sueldo fijo<br />
mensual de $ 300 000. En julio recibió un aumento de $ 50 000. ¿Qué expresión permite calcular<br />
cuánto ganó Juan el año pasado?<br />
A. 300 000 • 6 + 50 000 • 6 C. 300 000 • 6 + 350 000 • 6<br />
B. 300 000 • 12 + 50 000 D. 300 000 • 12 + 350 000<br />
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?<br />
A. Una división de números enteros es siempre exacta.<br />
B. El resto en una división de números negativos, es negativo.<br />
C. El producto de dos números enteros negativos es un número entero negativo.<br />
D. El dividendo en la división exacta con números enteros es igual al divisor por el cociente.<br />
3. Remplaza los valores de a, b y c y completa la tabla con los resultados que obtengas. Luego, responde.<br />
a b c a : b • c a • b : c c • (a – b) + a c • a – c • b + a<br />
–18 2 –12<br />
–28 –7 –14<br />
• ¿Obtienes los mismos resultados en las columnas 4 y 5?, ¿y en las columnas 6 y 7?,<br />
¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?<br />
4. Un objeto se encuentra a 32 metros bajo el nivel del mar. Si cada 5 minutos desciende 3 metros,<br />
¿qué número representa la profundidad que se encontrará 35 minutos después?<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Representar en lenguaje matemático una situación escrita en<br />
lenguaje natural.<br />
1<br />
Analizar expresiones relacionadas al algoritmo de la división. 2<br />
Calcular operaciones combinadas con números enteros. 3<br />
Resolver un problema, que involucra las cuatro operaciones con<br />
números enteros.<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
4<br />
Unidad 1<br />
Números enteros 29
Buscando estrategias<br />
El año 2005, Marcos inició una empresa. Ese año perdió<br />
$ 12 000 000, el segundo año perdió el doble que el<br />
primero, el tercer año ganó el triple que las pérdidas<br />
de los dos anteriores juntos. El cuarto tuvo ingresos de<br />
$ 18 000 000, y el quinto año obtuvo ganancias iguales<br />
a la mitad de las ganancias del tercer año. ¿Cuál fue el<br />
saldo final de la empresa?<br />
Comprender<br />
• ¿Qué sabes del problema?<br />
Que el primer y segundo año perdió, y los tres años siguientes tuvo ganancias.<br />
• ¿Qué debes encontrar?<br />
La cantidad de dinero correspondiente al saldo final de la empresa.<br />
Planificar<br />
• ¿Cómo resolver el problema?<br />
Para facilitar los cálculos, representaremos con signo + los números correspondientes a<br />
ganancias, y con signo –, los números que corresponden a pérdidas. Luego, calculamos los<br />
valores correspondientes a cada año y, por último, los sumamos para obtener el saldo final.<br />
Resolver<br />
• Calculamos los valores correspondientes a cada año:<br />
Año 2005: –12 000 000<br />
Año 2006: 2 • –12 000 000 = –24 000 000<br />
Año 2007: 3 • (+12 000 000 + +24 000 000) = 3 • +36 000 000 = +108 000 000<br />
Año 2008: +18 000 000<br />
Año 2009: +108 000 000 : 2 = +54 000 000<br />
Luego, sumamos los valores obtenidos:<br />
(–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000)<br />
= 144 000 000<br />
Responder<br />
• El saldo final de la empresa corresponde a una ganancia de $ 144 000 000.<br />
Revisar<br />
• Para comprobar el resultado, puedes asociar la suma de otra manera:<br />
(–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000) =<br />
(–12 000 000 + –24 000 000) + (+108 000 000 + +18 000 000 + +54 000 000) =<br />
(–36 000 000) + (+180 000 000) =<br />
–36 000 000 + 180 000 000 = +144 000 000<br />
30 Unidad 1
1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.<br />
Unidad 1<br />
a) Marcelo, el tesorero del Octavo Año Básico de un colegio de Coquimbo, debe rendir<br />
cuentas al curso cada término de semestre. Dice lo siguiente: “Por aportes voluntarios en<br />
marzo reunimos $ 88 000; en abril, $ 65 000; en mayo, $ 100 000, y en junio, $ 55 000.<br />
En la fiesta de curso gastamos $ 140 000; el regalo a la profesora costó $ 35 000, y en la<br />
rifa de curso ganamos $ 63 000”. ¿Cuál fue el saldo final del curso?<br />
b) Claudio puso un negocio de comida rápida. El primer mes ganó $ 300 000, el segundo<br />
mes ganó el doble que en el primero, en el tercero ganó el triple del segundo, el cuarto<br />
mes perdió la mitad de las ganancias de los primeros meses juntos, y en el quinto tuvo<br />
ingresos de $ 255 000. ¿Cuál fue el saldo final?<br />
c) Un día de julio, en Calama, la temperatura mínima que se registró a las 7:30 horas,<br />
fue de –3 ºC. Durante las siguientes 8 horas, la temperatura subió 3 ºC por hora<br />
y, luego, descendió 2 ºC por hora. ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 23:30 horas?,<br />
¿y a las 00:30 horas?<br />
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.<br />
Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.<br />
3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el<br />
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,<br />
¿por qué?<br />
a) Un día de agosto, a las 9:00 horas, un submarino se<br />
encuentra a 150 m de profundidad.<br />
Si durante una hora baja con rapidez de 12 m cada<br />
10 minutos, y luego sube hacia la superficie durante<br />
una hora y media con rapidez de 18 m cada<br />
15 minutos, y durante los siguientes 40 minutos<br />
sigue subiendo aumentando la rapidez a 20 m cada<br />
10 minutos, ¿a qué profundidad se encontrará a las<br />
12:10 horas?<br />
b) La señora Carmen, dueña de un almacén, calcula mensualmente las ganancias y gastos de<br />
su negocio. En el mes de junio, la primera semana vendió $ 210 000, la segunda semana<br />
vendió $ 180 000, la tercera gastó $ 140 000 en el arriendo del local y vendió $ 270 000,<br />
y la cuarta semana ganó $ 192 000 y pagó $ 25 000 en luz, $ 10 000 en agua y $ 300 000<br />
en mercadería. ¿Cuál fue el saldo final de junio?<br />
Números enteros 31
Conexiones<br />
Para finalizar<br />
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según<br />
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.<br />
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?<br />
32 Unidad 1<br />
Respetó las opiniones de los demás integrantes.<br />
Cumplió con las tareas que se comprometió.<br />
NACIONAL<br />
Un cometa visto en el siglo XX<br />
El cometa Halley (1P/Halley) es un cometa<br />
brillante y grande que orbita alrededor del Sol cada<br />
77 años en promedio. Es uno de lo cometas más<br />
conocidos; a partir de él ha sido posible estudiar las<br />
características de los demás cometas. Este cometa<br />
fue el primero en fotografiarse desde el espacio. La<br />
última vez que pasó por las cercanías de la órbita de<br />
la Tierra fue en 1986. Si bien existen otros cometas,<br />
este se puede observar a simple vista, por lo cual<br />
existen referencias de sus apariciones, incluso antes<br />
de Cristo.<br />
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.<br />
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.<br />
Fuente: Instituto de Astrofísica de Canarias,<br />
www.iac.es/gabinete/difus/cometas/halley.htm, septiembre 2009.<br />
1. ¿Cuándo se calcula que será la siguiente visita?<br />
2. Desde 1986, ¿cuántas visitas habrá hecho el cometa hasta el año 2217?, ¿en qué años?<br />
3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la<br />
solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.<br />
4. Averigüen por qué el cometa tiene ese nombre y en qué año fue observado por primera vez.<br />
5. En el año 1472, el cometa fue observado por un astrónomo alemán. Anoten todos los años<br />
que el Halley pasó, desde 1472 hasta la fecha. ¿Coincide con el último año que pasó por las<br />
cercanías de la órbita de la Tierra?, ¿por qué?<br />
6. Averigüen cuál fue la distancia más cercana del Halley a la Tierra en 1986.<br />
Evaluamos nuestro trabajo<br />
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
Unidad 1<br />
A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales<br />
conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las<br />
relaciones que hay entre los conceptos.<br />
OPERACIONES CON<br />
NÚMEROS ENTEROS<br />
MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN<br />
OPERACIONES<br />
COMBINADAS<br />
1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.<br />
2. ¿Cómo multiplicas un número natural por un número entero negativo?<br />
3. ¿Cómo multiplicas números enteros?<br />
4. ¿Cómo divides números enteros?<br />
5. ¿Cómo resuelves ejercicios con multiplicaciones y divisiones combinadas?<br />
EXACTA<br />
INEXACTA<br />
6. ¿Cuál es la prioridad de las operaciones al resolver ejercicios con operatoria combinada?<br />
7. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de números enteros?,<br />
¿y qué diferencias?<br />
8. Si a, b y c son números enteros, ¿podrías afirmar que a • (b + c) = a • b + a • c?, ¿por qué?<br />
Da dos ejemplos.<br />
9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en<br />
tu curso e intenten aclararla en conjunto.<br />
Números enteros 33<br />
Síntesis
¿Qué aprendí?<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.<br />
1. Si n es un número entero positivo, ¿cuál de<br />
estos números es menor que cero?<br />
A. 5 + n<br />
B. 2 • n<br />
C. n : (–n)<br />
D. –2 • (–n)<br />
2. Un tiburón gris se encuentra a 250 metros<br />
de profundidad. Si desciende un quinto de<br />
la profundidad a la que se encuentra,<br />
¿qué número representa la profundidad que<br />
está con respecto al nivel del mar?<br />
A. –300<br />
B. 300<br />
C. –200<br />
D. 200<br />
3. Un día de julio en Santiago, la temperatura a<br />
las 7:30 horas fue de –4 ºC, y tres horas más<br />
tarde subió 7 ºC. Si la máxima fue el triple de<br />
la temperatura registrada a las 10:30 horas,<br />
¿cuál fue la temperatura máxima del día?<br />
A. –9 ºC<br />
B. –8 ºC<br />
C. 9 ºC<br />
D. 6 ºC<br />
4. Si n, m son números enteros, n es el antecesor<br />
de m y –8 es el sucesor de m, ¿cuál es el<br />
sucesor de (n • m)?<br />
A. 91<br />
B. –90<br />
C. –89<br />
D. 90<br />
34 Unidad 1<br />
5. ¿Cuál de las siguientes frases es incorrecta?<br />
A. Si se multiplican dos números enteros<br />
negativos, el resultado es mayor que cero.<br />
B. Si se dividen dos números enteros<br />
negativos, el resultado es mayor que cero.<br />
C. Si se multiplica el valor absoluto de un<br />
número entero negativo por un número<br />
natural, el resultado es negativo.<br />
D. Si se multiplica un número natural por un<br />
número entero negativo, el resultado es un<br />
número entero negativo.<br />
6. Si a = –5, entonces (a • a) es igual a:<br />
A. a • a<br />
B. a • a<br />
C. a • 1<br />
D. –(a • a)<br />
7. Al calcular –9 + 3 : –2 + (–1 • 1), resulta:<br />
A. 10<br />
B. –9<br />
C. –10<br />
D. –6<br />
8. En la expresión –5 • x : –2 = 10,<br />
el valor de x es:<br />
A. –4<br />
B. –20<br />
C. 20<br />
D. 4
9. La temperatura de un meteorito al ingresar a la atmósfera terrestre varía<br />
de –150 ºC a 2230 ºC en diez minutos. Si en cada minuto que transcurre,<br />
la temperatura aumenta de igual manera, ¿cuánto aumenta por minuto?<br />
10. La estructura de una mina subterránea de carbón está formada por galerías<br />
horizontales. La distancia vertical entre cada dos galerías es de 10 m, estando,<br />
por ejemplo, la galería 2 situada a 20 m de profundidad.<br />
a) Si estamos a 50 m de profundidad, ¿en qué galería nos encontramos?<br />
b) Tras subir 30 m, Carlos está en la galería 7. ¿En qué galería estaba antes?<br />
c) Antes de subir 20 m, Luis estaba en la galería 6, ¿en qué galería se<br />
encuentra ahora?<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste<br />
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué logré?<br />
1. Marca según tu apreciación.<br />
Multiplicación de un número natural por un número<br />
entero negativo<br />
Multiplicación de números enteros<br />
División exacta de números enteros<br />
División inexacta de números enteros<br />
Operaciones combinadas<br />
Resolución de problemas<br />
2. Reflexiona y responde.<br />
No lo<br />
entendí<br />
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?<br />
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?<br />
c) Vuelve a la página 11 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,<br />
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.<br />
Lo<br />
entendí<br />
Unidad 1<br />
Puedo<br />
explicarlo<br />
Números enteros 35
36 Unidad 2<br />
2Unidad<br />
Potencias
En esta Unidad podrás...<br />
• Emplear estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias<br />
de base entera y exponente natural.<br />
• Determinar y aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de<br />
potencias de base entera y exponente natural.<br />
• Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base<br />
fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.<br />
• Resolver problemas que involucran crecimiento y decrecimiento exponencial.<br />
• Resolver problemas en contextos diversos y significativos que involucran<br />
potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.<br />
Conversemos de...<br />
Las bacterias son microorganismos unicelulares de tamaño muy pequeño y son<br />
los organismos más abundantes del planeta.<br />
Muchas especies bacterianas son tan parecidas que es imposible diferenciarlas<br />
solo con el uso del microscopio; para identificarlas, se estudian sus características<br />
“sembrándolas” en medios de cultivo especiales, que es un método para<br />
multiplicar los microorganismos.<br />
Los cultivos suelen usarse en medicina para identificar y estudiar las enfermedades.<br />
Si un cultivo de bacterias se inicia con 10 000 bacterias y su número se duplica<br />
cada media hora.<br />
1. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 2 horas?, ¿y al cabo de 4 horas?;<br />
¿cómo lo calculaste?<br />
2. ¿Cuántas bacterias hay después de 9 horas?<br />
3. ¿Después de cuántos minutos habrán 40 960 000 bacterias?<br />
Potencias 37
¿Cuánto sabes?<br />
38 Unidad 2<br />
1. Escribe como potencia los siguientes enunciados.<br />
a) Tres elevado a dos. d) Tres cuartos al cuadrado.<br />
b) Siete elevado a seis. e) Cinco al cubo.<br />
c) Cuatro décimos elevado a cuatro. f) Dos tercios elevado a cinco.<br />
2. Escribe el desarrollo de cada potencia.<br />
a) 5 2<br />
b) 4<br />
4<br />
9<br />
c) 18 3<br />
d) (0,2) 5<br />
e) 2 8<br />
f) (1,3) 2<br />
3. Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula su valor.<br />
a) 3 4 d) (0,4) 2 g) 2 6<br />
b) 153 e) 4<br />
1<br />
h) 25 2<br />
c) (0,3) 3 f) 64 i) 5<br />
2<br />
3<br />
4. Completa el exponente de cada potencia para que la igualdad sea verdadera.<br />
a) 2 = 32 c) 26 = 1 e) =<br />
b) 11 = 161 051 d) 0,1 = 0,0001 f) 3 = 243<br />
5. Un grupo de 10 amigos organiza una campaña solidaria con el fin de<br />
recaudar dinero para un hogar de ancianos. Para ello, cada uno dona $ 500<br />
el primer día y, a su vez, se comprometen a que cada uno pedirá $ 500 a<br />
otras 10 amistades diferentes el segundo día, y que cada una de estas<br />
personas les pedirán $ 500 a otras 10 personas diferentes el tercer día,<br />
y así sucesivamente los siguientes días.<br />
a) ¿Cuántas personas participaron en la campaña solidaria al finalizar el<br />
quinto día?; ¿cómo lo calculaste?<br />
b) ¿Cuánto dinero recaudaron al finalizar el tercer día?, ¿y el séptimo día?;<br />
¿cómo lo calculaste?<br />
5<br />
5<br />
6<br />
125<br />
216
6. Un grupo scout formado por 120 personas, organizó una campaña<br />
para plantar árboles en 4 plazas de la ciudad. Si el grupo se dividió en<br />
4 subgrupos y cada subgrupo debe plantar 4 árboles por plaza,<br />
¿cuántos árboles plantarán en total?<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.<br />
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve<br />
correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué debes recordar?<br />
• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.<br />
En ella se reconocen la base y el exponente.<br />
En general:<br />
a n Exponente<br />
Base ; a es un número positivo y n un número natural.<br />
Se lee: “a elevado a n”.<br />
Ejemplo: 3 4 , se lee “tres elevado a cuatro”.<br />
Unidad 2<br />
• La base corresponde al factor que se repite; el exponente indica cuántas veces debe repetirse<br />
dicho factor.<br />
• El valor de la potencia es el producto total que se obtiene al multiplicar la base por sí misma<br />
tantas veces como lo indica el exponente, es decir:<br />
Ejemplo: 4 3 = 4 • 4 • 4 = 64<br />
(0,5) 2 = 0,5 • 0,5 = 0,25<br />
a n = a • a • a • … • a = b<br />
• Si la base de una potencia es 1, el valor de la potencia para cualquier exponente es 1.<br />
Si el exponente de una potencia es 1, el valor de la potencia es igual a la base.<br />
Si el exponente de una potencia es 0, el valor de la potencia es 1.<br />
En general: 1 n = 1 a 1 = a a 0 = 1 con a = 0<br />
• Para calcular el valor de una potencia cuya base es una fracción positiva, se debe calcular el<br />
valor de la potencia del numerador y del denominador y, luego, dividirlos.<br />
a n<br />
Ejemplo: n<br />
= ; a, b y n son números naturales.<br />
Ejemplo: 3<br />
a<br />
b b<br />
= = =<br />
n<br />
2 2 8<br />
3<br />
27<br />
3 2 • 2 • 2<br />
3 • 3 • 3<br />
3 3<br />
n factores valor de la potencia<br />
Potencias 39
No olvides que...<br />
40 Unidad 2<br />
Potencias de base entera y exponente<br />
natural<br />
En un restaurante se ofrece un menú a elección a la hora de<br />
almuerzo, que incluye: entrada, plato de fondo, agregado, postre<br />
y algo para beber. Las alternativas para la selección del menú se<br />
muestran en la carta.<br />
Para discutir<br />
• ¿Cuántos menús diferentes se pueden escoger?; ¿cómo lo calculaste?<br />
• Para determinar cuántas alternativas de menús hay, se puede<br />
calcular el producto de 3 • 3 • 3 • 3 • 3, ¿por qué?, ¿cómo se escribe<br />
en forma abreviada?, ¿cuál es la base?, ¿y el exponente?<br />
• Si en una multiplicación de factores iguales el factor que se repite<br />
es un número negativo, ¿cómo lo escribirías en forma de potencia?,<br />
¿por qué?<br />
• ¿Cómo escribirías en forma abreviada (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3)?;<br />
¿cuál es el resultado?, ¿por qué?<br />
En la situación anterior, cada una de las 5 partes que conforman el<br />
menú tiene 3 opciones. Una forma de determinar cuántos menús<br />
diferentes se pueden escoger es calculando: 3 • 3 • 3 • 3 • 3.<br />
Como 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243, entonces hay 243 opciones para escoger.<br />
Verifica con un diagrama de árbol.<br />
Observa que la multiplicación anterior tiene 5 factores iguales, lo<br />
que se puede escribir en forma abreviada como 3 5 .<br />
Luego, 3 5 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243.<br />
En una multiplicación de factores iguales, si estos son negativos,<br />
como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3), que tiene 5 factores iguales, al<br />
escribir como potencia, queda (–3) 5 .<br />
Al calcular (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3),<br />
obtenemos: (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = –243.<br />
Como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = (–3) 5 , tenemos que (–3) 5 = –243.<br />
• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales;<br />
en ella se reconocen la base y el exponente. Este concepto se puede ampliar para los<br />
números enteros negativos, es decir:<br />
a n ; con a número entero, distinto de 0, y n un número natural.
• El valor de la potencia se obtiene de la siguiente manera:<br />
Actividades<br />
1. Escribe como potencia los siguientes enunciados.<br />
a) Tres al cuadrado. d) Diez elevado a once.<br />
b) Menos cinco elevado a cuatro. e) Menos quince elevado a ocho.<br />
c) Menos seis al cubo. f) Tres elevado a tres.<br />
2. Escribe como multiplicación de factores iguales cada potencia y calcula su valor.<br />
a) 5 4<br />
b) (–6) 5<br />
c) (–10) 6<br />
d) 7 3<br />
e) (–14) 3<br />
3. Completa con el exponente que falta para que la igualdad sea verdadera.<br />
a) (–4) = 256 c) 8 = 512 e) (–2) = –32<br />
b) (–1) = –1 d) (–10) = 1 000 000 f) 9 = 81<br />
f) (–2) 8<br />
4. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.<br />
a b (a + b) 2<br />
2 2<br />
–2 3<br />
–4 –6<br />
2 5<br />
a n = a • a • a • … • a = b<br />
a 2 + b 2<br />
A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:<br />
(a – b) 2<br />
a 2 – b 2<br />
Unidad 2<br />
Ejemplo: 73 = 7 • 7 • 7 = 343<br />
(–7) 3 = (–7) • (–7) • (–7) = –343<br />
La potencia del ejemplo, (–7) 3 n factores valor de la potencia<br />
, se lee: “menos siete elevado a tres” o “menos siete al cubo”.<br />
a) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a + b) 2 y a 2 + b 2 ?, ¿por qué?<br />
b) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a – b) 2 y a 2 – b 2 ?, ¿por qué?<br />
c) ¿crees que siempre ocurre lo mismo?, ¿existirán casos en que los resultados sean iguales? Explica.<br />
Potencias 41
42 Unidad 2<br />
Valor de la potencia<br />
Observa los cálculos realizados por Felipe para cada potencia:<br />
3 2 = 3 • 3 = 9 (–3) 2 = (–3) • (–3) = 9<br />
3 3 = 3 • 3 • 3 = 27 (–3) 3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27<br />
Para discutir<br />
• ¿Por qué uno de los resultados obtenidos por Felipe es<br />
negativo?, ¿qué relación tiene con la base y el exponente?<br />
• Si la base de la potencia es negativa, ¿por qué los resultados<br />
pueden ser positivos o negativos?, ¿de qué depende?<br />
• Si el exponente de una potencia es impar, ¿el resultado es<br />
negativo?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué?<br />
• Si la base de la potencia es positiva, ¿el resultado puede ser<br />
negativo?, ¿por qué?<br />
En la situación anterior, podemos observar que el resultado puede<br />
ser positivo o negativo, dependiendo de la base y exponente de<br />
la potencia.<br />
Si la base es positiva, el resultado siempre será positivo, pues los<br />
factores que se multiplican son positivos (e iguales), como:<br />
3 2 = 3 • 3 = 9 ó 3 3 = 3 • 3 • 3 = 27<br />
Si la base es negativa, el resultado puede ser positivo o negativo,<br />
dependiendo del exponente:<br />
Cuando es par, el resultado será positivo, pues la cantidad de<br />
factores es par, como:<br />
(–3) 2 = (–3) • (–3) = 9<br />
(dos números negativos)<br />
Cuando es impar, el resultado será negativo, pues la cantidad de<br />
factores es impar, como:<br />
(–3) 3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27<br />
(tres números negativos)
Actividades<br />
1. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado.<br />
a) (–4) 2 = c) 3 3 = e) (–10) 9 = g) (–1) 15 =<br />
b) (–5) 3 = d) 2 4 = f) 12 2 = h) (–12) 2 =<br />
2. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.<br />
Unidad 2<br />
a) Los valores de las potencias de exponente par son siempre positivos.<br />
b) Si el valor de la potencia es un número natural, el exponente de la potencia es siempre impar.<br />
c) Si la base de una potencia es un número negativo, el valor de la potencia también lo es.<br />
d) Los valores de las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.<br />
3. Compara los resultados en cada caso y completa con o =, según corresponda.<br />
a) 2 3 (–2) 2 c) (–1) 10 7 0 e) (–1) 6 (–2) 1<br />
b) 5 4 (–5) 4 d) (–4) 3 (–4) 2 f) (–100) 4 100<br />
No olvides que...<br />
• En una potencia que tiene como base un número entero positivo y como exponente un<br />
número natural, el resultado es siempre positivo. Ejemplo: 2 3 = 2 • 2 • 2 = 8.<br />
• En una potencia que tiene como base un número entero negativo, el resultado es:<br />
– positivo, si el exponente es un número natural par. Ejemplo: (–2) 2 = (–2) • (–2) = 4<br />
– negativo, si el exponente es un número natural impar. Ejemplo: (–2) 3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8<br />
Herramientas tecnológicas<br />
En las calculadoras científicas la tecla x o la tecla , dependiendo de la calculadora, se usan<br />
y<br />
^<br />
para elevar un número a cualquier exponente. Si la base es un número negativo, utiliza paréntesis<br />
y la tecla (–) . Ejemplo:<br />
(–4) 6<br />
<br />
xy (–) 4 6 =<br />
4096 o<br />
(–4) 6 (–) 4 ^ 6 = 4096<br />
Utiliza la calculadora para verificar tus respuestas de los ítems 1 y 3.<br />
Potencias 43
Ayuda<br />
En algunas ocasiones los<br />
números negativos aparecen<br />
escritos entre paréntesis, sin<br />
embargo, también se pueden<br />
escribir sin estos. Ejemplo:<br />
(–2) • (–2) = –2 • –2<br />
Pero al trabajar con potencias<br />
de base negativa, siempre<br />
conviene escribir los números<br />
negativos entre paréntesis.<br />
De este modo podemos<br />
distinguir si el signo negativo<br />
corresponde a la base o bien,<br />
al valor de la potencia.<br />
44 Unidad 2<br />
Multiplicación de potencias de igual base<br />
Carolina desea calcular el área del rectángulo de la figura. Observa:<br />
Para discutir<br />
• ¿Cómo calcularías el área del rectángulo?, ¿por qué?<br />
• Carolina calcula el área de la siguiente manera: 2 3 • 2 4 = 2 7 .<br />
¿Consideras correcto el cálculo realizado?, ¿por qué?<br />
• ¿Se relacionan los exponentes de los factores y el exponente del<br />
resultado?, ¿cuál es la relación?<br />
• Si las bases de los factores fueran números negativos, ¿los<br />
exponentes se relacionarán de la misma forma anterior?, ¿por qué?<br />
En la situación anterior, para calcular el área del rectángulo se<br />
multiplica el largo por el ancho, es decir: 8 • 16 = 128. Entonces,<br />
el área del rectángulo es 128 cm 2 .<br />
Como 8 = 2 3 , 16 = 2 4 y 128 = 2 7 , podemos escribir el cálculo anterior<br />
utilizando potencias, es decir:<br />
2 3 • 2 4 = (2 • 2 • 2) • (2 • 2 • 2 • 2) = 2 7 = 128<br />
Al observar lo anterior, podemos notar que al multiplicar<br />
potencias de igual base (positiva), se puede conservar la base y<br />
sumar los exponentes.<br />
¿Sucederá lo mismo si la base de las potencias es negativa, como<br />
(–2) 3 • (–2) 4 ?<br />
Realizamos la multiplicación de las potencias:<br />
= (–2) 7 = –128<br />
16 cm<br />
3 factores 4 factores 7 factores<br />
( –2) 3 • (–2) 4 = (–2 • –2 • –2) • (–2 • –2 • –2 • –2) = –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2<br />
8 cm<br />
3 factores 4 factores 7 factores<br />
Luego, al multiplicar potencias de igual base (negativa), se puede<br />
conservar la base y sumar los exponentes.
No olvides que...<br />
Actividades<br />
1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor.<br />
a) 4 • 4 2 • 4 3 = c) (–5) 3 • (–5 2 = e) (–1) 2 • (–1) 3 • (–1) 5 =<br />
b) 10 3 • 10 6 = d) 2 • 2 • 2 • 2 2 = f) (–6) 2 • (–6) 5 • (–6) =<br />
2. Encuentra el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.<br />
a) (–3) • (–3) 4 = (–3) 9 c) 11 3 • 11 = 11 12<br />
b) (–2 2 • (–2) • (–2) 5 = (–2) 10 d) (–10) • (–10) • (–10) 2 = (–10) 4<br />
3. Transforma a potencias de igual base y, luego, expresa el resultado como una sola potencia.<br />
Guíate por el siguiente ejemplo: 9 • (–27) = (–3) 2 • (–3) 3 = (–3) 5<br />
a) 25 • (–125) = b) 8 • 16 • 64 = c) 64 • (–8) • 16 =<br />
4. Aplica la propiedad de las potencias que corresponde y resuelve.<br />
Unidad 2<br />
• Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puede<br />
conservar la base y sumar los exponentes.<br />
Ejemplo: (–3) 2 • (–3) 4 = (–3) 2 + 4 = (–3) 6 = 729<br />
En general: Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces:<br />
an • am n + m<br />
=(a • a • … • a) • (a • a • … • a) =a • a • a • … • a = a<br />
n factores m factores n + m factores<br />
• Esta propiedad también es aplicable al producto de tres o más potencias de igual base.<br />
Ejemplo: 2 2 • 2 3 • 2 4 = 2 2 + 3 + 4 = 2 9 = 512<br />
a) 2 4 • 2 3 – 5 • 5 2 = b) (–3) 2 • (–3) 3 + 2 • 2 2 = c) (–2) 3 • (–2) 2 + (–1) 5 • (–1) 4 =<br />
5. Lee y resuelve usando las potencias.<br />
a) Una empresa inmobiliaria construirá 4 edificios. Cada edificio tendrá 16 pisos y cada<br />
piso tendrá 8 departamentos. ¿Cuántos departamentos habrá en total?<br />
b) Las bailarinas de un grupo folclórico deben elegir la tenida para una de sus presentaciones.<br />
Las alternativas son: 3 pañuelos, 9 zapatos de distintos colores, 9 faldas y 27 blusas.<br />
¿Cuántas tenidas distintas pueden escoger?<br />
Potencias 45
4096 dividido en 128,<br />
resulta 32.<br />
Ayuda<br />
• Las fracciones se pueden<br />
representar de diversas<br />
formas. Una de ellas es<br />
escribir la expresión<br />
fraccionaria como una<br />
división.<br />
2<br />
Por ejemplo: se puede<br />
3<br />
escribir como 2 : 3.<br />
• Simplificar una fracción<br />
consiste en dividir el<br />
numerador y denominador<br />
por un mismo número.<br />
Por ejemplo:<br />
12<br />
36<br />
46 Unidad 2<br />
2 • 2 •<br />
=<br />
3<br />
=<br />
2 • 2 • 3 • 3<br />
1<br />
3<br />
División de potencias de igual base<br />
Un agricultor desea cultivar lechugas en un terreno rectangular<br />
de área 4096 m 2 y ancho 128 m. Para organizar el cultivo,<br />
necesita saber el largo del terreno.<br />
Para discutir<br />
• ¿Es adecuado calcular el largo del terreno de la siguiente manera:<br />
4096 : 128 = 32?, ¿por qué?<br />
• Si escribes los números de la división anterior como potencias de<br />
bases iguales, ¿cómo se relacionan los exponentes?<br />
• Si las bases de las potencias fueran números negativos, ¿cómo se<br />
relacionarían los exponentes?<br />
Para saber cuánto mide el largo del terreno, podemos calcular<br />
4096 : 128 = 32. Por lo tanto, el largo mide 32 m.<br />
Como 4096 = 212 , 128 = 27 y 32 = 25 , podemos escribir la división<br />
anterior utilizando potencias de igual base, esto es:<br />
12 factores<br />
2 12 : 2 7 = =<br />
= 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2 5 = 32<br />
5 factores<br />
Al observar lo anterior, podemos notar que al dividir potencias<br />
de igual base (positiva), se puede conservar la base y restar<br />
los exponentes.<br />
¿Sucederá lo mismo en (–2) 12 : (–2) 7 ?<br />
Al escribir la expresión como fracción, obtenemos:<br />
(–2) 12<br />
(–2) 7<br />
=<br />
212 2 7<br />
2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2<br />
2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2<br />
12 factores<br />
–2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2<br />
–2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2<br />
7 factores<br />
= –2 • –2 • –2 • –2 • –2 = (–2) 5 = –32<br />
5 factores<br />
7 factores<br />
Luego, al dividir potencias de igual base (negativa), se puede<br />
conservar la base y restar los exponentes.
No olvides que...<br />
• Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puede<br />
conservar la base y restar los exponentes.<br />
Ejemplo: (–5) 4 : (–5) 2 = (–5) 4 – 2 = (–5) 2 = 25<br />
En general:<br />
Si a es un número entero distinto de cero, n y m son números naturales y n > m, se tiene:<br />
m factores n – m factores<br />
an : am a<br />
= = = a n a • a • ... • a • a • ... • a<br />
a • a • ... • a<br />
1. Resuelve las siguientes divisiones de potencias. Guíate por el ejemplo.<br />
a m<br />
a n<br />
m factores<br />
(–4) 5 : (–4) 3 = (–4) 2 = 16<br />
a) (–10) 8 : (–10) 2 = c) 6 6 : 6 5 = e) (–81) 12 : (–81) 12 =<br />
b) (–5) 4 : (–5) = d) (–12) 20 : (–12) 18 = f) 7 3 : 7 =<br />
Unidad 2<br />
• Calcula cada potencia usando calculadora científica, luego divide y comprueba los resultados<br />
obtenidos anteriormente.<br />
2. Completa con el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.<br />
a) 7 : 7 4 = 7 6 b) 8 7 :8 = 8 2 c) (–2) 5 : (–2) = (–2) 2<br />
3. Transforma a potencias de igual base y expresa el resultado como una única potencia.<br />
a) (–125) : 25 b) 216 : 36 c) 64 : (–8)<br />
4. Si ambos rectángulos, el amarillo y el azul tienen la misma área, ¿cuánto mide el largo (x)<br />
del rectángulo amarillo?<br />
n – m<br />
• Si n = m y a es distinto de cero, entonces: a n : a m = = = a n – n = a 0 =1<br />
Por ejemplo: 23 : 23 = 23– 3 = 20 a<br />
= 1<br />
m<br />
a n<br />
Actividades<br />
2 2 cm<br />
x cm<br />
a n<br />
2 4 cm<br />
2 3 cm<br />
Potencias 47
Ayuda<br />
Recuerda que un paralelepípedo<br />
es un prisma que tiene sus<br />
caras basales cuadradas o<br />
rectangulares.<br />
48 Unidad 2<br />
Multiplicación de potencias de igual<br />
exponente<br />
El paralelepípedo de la figura tiene las siguientes medidas:<br />
8 cm de ancho, 27 cm de largo y 64 cm de alto.<br />
Para discutir<br />
• ¿Cómo calcularías el volumen del paralelepípedo?<br />
• Si escribes las medidas como potencias, ¿puedes calcular el<br />
volumen de otra manera?, ¿cómo lo harías?<br />
• Al calcular (2 • 3 • 4) 3 , ¿obtienes el mismo resultado que<br />
calculaste al principio?, ¿por qué?<br />
• Si en la multiplicación de potencias una de las bases fuera un<br />
número negativo, por ejemplo (–2) 3 • 3 3 • 4 3 , ¿obtienes el mismo<br />
resultado que al calcular (–2) • 3 • 4 3 ?, ¿por qué?<br />
Para saber cuál es el volumen del paralelepípedo de la figura,<br />
debemos multiplicar el ancho por el largo por el alto, es decir,<br />
8 • 27 • 64 = 13 824. Por lo tanto, el volumen es 13 824 cm 3 .<br />
Como 8 = 2 3 , 27 = 3 3 , 64 = 4 3 y 13 824 = 24 3 , podemos realizar el<br />
cálculo anterior usando potencias, esto es:<br />
23 • 33 • 43 = (2 • 2 • 2) • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4)<br />
= (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) = (2 • 3 • 4) 3 = 243 Luego: 2 3 • 3 3 • 4 3 = (2 • 3 • 4) 3 = 24 3 = 13 824.<br />
¿Qué sucederá en la multiplicación de potencias con igual exponente<br />
si alguna de las bases es un número negativo?<br />
Consideremos el siguiente caso:<br />
3 factores<br />
3 factores 3 factores 3 factores<br />
3 factores<br />
(–2) 3 • 3 3 • 4 3 = (–2) • (–2) • (–2) • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4)<br />
= (–2) • 3 • 4 • (–2) • 3 • 4 • (–2) • 3 • 4 = (–2) • 3 • 4 3 = (–24) 3<br />
3 factores<br />
3 factores 3 factores<br />
Luego: (–2) 3 • 3 3 • 4 3 = (–2) • 3 • 4 3 = (–24) 3 = –13 824.<br />
Si observas lo realizado anteriormente, podemos concluir que, al<br />
multiplicar potencias con igual exponente, podemos multiplicar las<br />
bases y conservar el exponente.
No olvides que...<br />
Actividades<br />
1. Escribe cada expresión como una sola potencia.<br />
a) 3 4 • 4 4 = c) 2 6 • (–5) 6 = e) (–6) 7 • 11 7 =<br />
b) (–2) 8 • (–7) 8 = d) 4 3 • 5 3 • 6 3 = f) (–3) 2 • (–4) 2 • (–2) 2 =<br />
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo.<br />
(–3) 2 • 5 2 = (–3) • 5 2 = (–15) 2 = 225<br />
a) 5 4 • (–2) 4 = b) (–10) 5 • (–2) 5 = c) 2 2 • 2 2 • 3 2 = d) (–25) 3 • 4 3 =<br />
Unidad 2<br />
• Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente,<br />
se pueden multiplicar las bases y conservar el exponente.<br />
Ejemplo: (–2) 2 • 5 2 = (–2) • 5 2 = (–10) 2 = 100<br />
En general:<br />
Si a y b son números enteros y n es un número natural, entonces:<br />
a n • b n =(a • a • … • a) • (b • b • … • b) =(a • b) • (a • b) • … • (a • b) =(a • b) n<br />
• Como vimos al inicio, esta propiedad también es aplicable al producto de tres o más<br />
potencias de igual exponente.<br />
Ejemplo: (–2) 3 • (–4) 3 • (–5) 3 = (–2) • (–4) • (–5) 3 = (–40) 3 = –64 000<br />
3. Al calcular: (–5) 3 • (–5) 3 , ¿obtienes los mismos resultados si lo resuelves de la siguiente manera:<br />
(–5) 3 + 3 , o bien: (–5) • (–5) 3 ?, ¿por qué?<br />
4. Completa y resuelve en cada caso.<br />
a) b)<br />
Área = • = = cm 2<br />
53 cm<br />
n factores n factores n factores<br />
4 3 cm<br />
3 2 cm<br />
4 2 cm<br />
Volumen = • • = = cm 3<br />
22 cm<br />
Potencias 49
¿49 • = 3136?<br />
50 Unidad 2<br />
División de potencias de igual<br />
exponente<br />
Don Luis, un jardinero, desea poner pasto en un parque de forma<br />
rectangular, cuyo ancho mide 49 m. Para ello, calculó el área del<br />
terreno, obteniendo 3136 m 2 .<br />
Para discutir<br />
• ¿Cuánto mide el largo del parque?, ¿cómo lo calculaste?<br />
• Si escribes los números como potencias, ¿cómo calcularías?<br />
• ¿Qué relación tiene (56 : 7) 2 con lo del principio?<br />
• Si en la división de potencias anterior una de las bases fuera un<br />
número negativo, por ejemplo (–56) 2 : 7 2 , ¿obtienes el mismo<br />
resultado que al calcular (–56) : 7 2 ?, ¿por qué?<br />
En la situación anterior, el área es 3136 m 2 y el ancho mide 49 m,<br />
entonces para calcular el largo podemos realizar la siguiente<br />
división: 3136 : 49 = 64. Por lo tanto, el largo mide 64 m.<br />
Al escribir los números como potencias de igual exponente,<br />
tenemos: 49 = 72 , 3136 = 562 y 64 = 82 . Luego, podemos realizar el<br />
cálculo anterior de la siguiente manera:<br />
2 factores<br />
562 : 72 = = = • = 2<br />
562 56 • 56 56 56 56<br />
7 2<br />
Luego: 56 2 : 7 2 = (56 : 7) 2 = 8 2 = 64.<br />
= (56 : 7) 2 =8 2<br />
¿Qué sucederá en la división de potencias de igual exponente si una<br />
de las potencias tiene como base un número negativo?<br />
Calculemos (–56) 2 : 7 2 , utilizando el mismo procedimiento anterior:<br />
(–56) 2<br />
7 • 7<br />
(–56) 2 : 7 2 = = = • = 2<br />
–56 –56 –56<br />
7 2<br />
2 factores<br />
(–56) • (–56)<br />
7 • 7<br />
Entonces: (–56) 2 : 7 2 = (–56 : 7) 2 = (–8) 2 = 64.<br />
7<br />
7<br />
2 factores 2 factores<br />
2 factores 2 factores<br />
= (–56 : 7) 2 = (–8) 2<br />
Si observas los cálculos anteriores, podemos concluir que, al dividir<br />
potencias con igual exponente, podemos dividir las bases y<br />
conservar el exponente.<br />
7<br />
7<br />
7<br />
7
No olvides que...<br />
• Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente,<br />
se pueden dividir las bases y conservar el exponente.<br />
Ejemplo: (–20) 3 : (–5) 3 = (–20) : (–5) 3 = 4 3 = 64<br />
En general:<br />
Si a y b son números enteros, b es distinto de cero y n es un número natural, entonces:<br />
a n : b n = = = • • ... • = n<br />
= (a : b) n<br />
a a • a • ... • a a a a a<br />
b • b • ... • b b b b b<br />
n<br />
n factores<br />
Actividades<br />
b n<br />
n factores<br />
1. Escribe cada expresión como una sola potencia.<br />
n factores<br />
a) 100 4 : (–25) 4 = c) 81 6 : 9 6 = e) (–21) 11 : 3 11 =<br />
b) (–36) 9 : (–4) 9 = d) (–96) 3 : 12 3 = f) 48 7 : 6 7 =<br />
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo.<br />
(–18) 3 : 9 3 = (–18) : 9 3 = (–2) 3 = –8<br />
a) 225 2 : (–25) 2 = c) (–200) 5 : (–2) 5 =<br />
b) (–24) 3 : 3 3 = d) 15 4 : 5 4 =<br />
3. Calcula aplicando lo aprendido hasta ahora y ten en cuenta la prioridad de las operaciones.<br />
a) 16 2 : (–8) 2 + –2) 3 = b) 4 2 : 4 2 – 15 3 : 5 3 = c) (–36) 2 : 9 2 + 3 2 • 4 2 =<br />
Unidad 2<br />
4. En un restaurante se ofrece, a la hora de colación, un menú con plato de fondo y postre.<br />
Si hay 4 opciones de postre y en total se pueden escoger 36 menús diferentes, ¿cuántos platos<br />
de fondo hay para escoger? Usa potencias para resolver.<br />
5. El equipo de básquetbol de un colegio debe elegir su tenida deportiva para el próximo año.<br />
Como propuesta tienen 64 combinaciones, que pueden formar con 16 poleras y una cantidad<br />
de pantalones. ¿Cuántos pantalones tienen para escoger? Usa potencias para resolver.<br />
Potencias 51
52 Unidad 2<br />
Potencia de una potencia<br />
Marcela y Patricio quieren calcular el volumen del cubo representado<br />
en la imagen, cuya arista mide 25 cm. Observa el procedimiento<br />
realizado por cada uno:<br />
Marcela Patricio<br />
25 • 25 • 25 = 52 • 52 • 52 = (5 • 5 • 5) 2 = 1252 V = 1252 cm3 Para discutir<br />
Al calcular 125 2 = 125 • 125 = 15 625 y 5 6 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 15 625.<br />
Por lo tanto, ambos procedimientos son correctos.<br />
Consideremos el procedimiento de Marcela, que escribió (5 • 5 • 5) 2 ,<br />
lo cual se puede escribir como (5 3 ) 2 , ya que hay 3 factores 5 elevados<br />
a 2. Entonces, al calcular, tenemos:<br />
(5 3 ) 2 = (5 • 5 • 5 2 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 5 6<br />
Luego, (5 3 ) 2 = 5 6 3 factores<br />
6 factores<br />
. Esta es otra forma de calcular el volumen.<br />
Notemos que la expresión (5 3 ) 2 es la potencia de una potencia,<br />
ya que su base corresponde a una potencia, en este caso 5 3 .<br />
Para calcular el valor de dicha potencia, podemos mantener la base<br />
y multiplicar los exponentes, es decir: (5 3 ) 2 = 5 3 • 2 = 5 6 .<br />
En el caso de que la base sea negativa, tenemos:<br />
(–5) 3 2 = (–5) • (–5) • (–5) 2<br />
Por lo tanto: (–5) 3 2 = (–5) 6 = 15 625.<br />
25 • 25 • 25 = 5 2 • 5 2 • 5 2<br />
V = 5 6 cm 3<br />
= 5 2+2+2 = 5 6<br />
• ¿Son correctos ambos procedimientos?, ¿obtienes los mismos<br />
resultados en cada caso?, ¿cómo lo supiste?<br />
• ¿Podrías utilizar otro procedimiento usando potencias?,<br />
¿cómo lo harías?<br />
• Si encontraste otro procedimiento, ¿lo puedes aplicar para<br />
potencias de base negativa?, ¿por qué?<br />
3 factores<br />
= (–5) • (–5) • (–5) • (–5) • (–5) • (–5) = (–5) 6<br />
6 factores
No olvides que...<br />
• Para calcular el valor de la potencia de una potencia, basta con mantener la base y<br />
multiplicar los exponentes.<br />
Ejemplo: (–2) 3 3 = (–2) 3 • 3 = (–2) 9 = –512<br />
En general:<br />
Unidad 2<br />
Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces:<br />
(an ) m = (a • a • … • a) m n • m<br />
= (a • a • … • a) • (a • a • … • a) • … • (a • a • … • a) = a<br />
• Esta propiedad también es aplicable a la potencia de una potencia de una potencia,<br />
y así sucesivamente. Ejemplo: (22 ) 2 3<br />
= 22 • 2 • 3 = 212 Actividades<br />
1. Si la arista de un cubo mide 9 cm, expresa como potencia:<br />
a) el área de cada cara del cubo.<br />
b) el área total del cubo.<br />
c) el volumen del cubo.<br />
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.<br />
a) (3 2 ) 4 = c) (–3) 2 2 = e) (2 2 ) 2 2<br />
=<br />
b) (–2) 3 3 = d) (–1) 35 2<br />
= f) (–5) 2 4 =<br />
3. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad.<br />
a) (3 5 ) 3 = 3 c) (2 2 ) 5 = 2 20<br />
b) (–7) 2<br />
= (–7) 10<br />
n factores a (n • m) factores a<br />
d) (–7) 9 3 = (–7<br />
4. Escribe cada expresión como una sola potencia de base 2 ó (–2), según el caso, aplicando lo<br />
aprendido. Guíate por el ejemplo.<br />
(8 2 : 2 2 ) 3 = (4 2 ) 3 = 4 6 = (2 2 ) 6 = 2 12<br />
a) (16 3 : 2 3 ) 4 = b) (–12) 5 : 6 5 3<br />
= c) (–2) 2 • (–2) 5 3<br />
= d) 4 6 : 4 4 4<br />
=<br />
5. Si b es un número entero, x e y son números naturales, las expresiones (b x ) y y (b y ) x , ¿tienen el<br />
mismo valor?, ¿por qué? Da dos ejemplos.<br />
Potencias 53
Estrategia mental<br />
Para calcular en forma rápida el valor de una potencia que tiene como base un número<br />
cualquiera, que la cifra de las unidades es 5 y el exponente es 2 (comenzando por 15 2 ,<br />
luego, 25 2 , 35 2 , …), multiplica el número de la base que se forma sin la cifra de la unidad<br />
(sin el 5) por su sucesor. El valor de la potencia será el número formado por el resultado de la<br />
multiplicación anterior, seguido por 25. Observa los ejemplos:<br />
• Para 15 2 , multiplicamos 1 por su sucesor, es decir por 2, esto es 2. Luego el resultado es 225.<br />
• Para 105 2 , multiplicamos 10 por su sucesor, es decir por 11, esto es 110. Luego el resultado<br />
es 11 025.<br />
• Si la base es negativa, utiliza el mismo procedimiento anterior (como si fuera de base<br />
positiva), pues al tener exponente 2, el resultado queda siempre positivo.<br />
Calcula mentalmente, aplicando la estrategia aprendida.<br />
a) 25 2 = d) (–35) 2 = g) (–85) 2 = j) (–95) 2 =<br />
b) (–65) 2 = e) 95 2 = h) 55 2 = k) 1005 2 =<br />
c) 45 2 = f) 995 2 = i) 205 2 = l) (–125) 2 =<br />
En equipo<br />
En esta actividad deberán utilizar 64 cubos. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan<br />
las instrucciones.<br />
1. Armen entre todos, 64 cubos de igual medida. Cada uno de arista 4 cm.<br />
2. Comenzando por un cubo y agregando los que sean necesarios, formen cubos de mayor tamaño.<br />
3. A medida que forman los cubos de mayor tamaño, completen la siguiente tabla:<br />
4. Según lo obtenido, comenten y respondan:<br />
a) ¿Cuál es el valor de las potencias de las columnas 3 y 5?<br />
b) Si elevaran a 2 las potencias de la última columna, ¿cómo lo expresarían en forma de una sola<br />
potencia?, ¿cómo lo hicieron?<br />
c) Escribe como potencia la cantidad de cubos utilizados.<br />
54 Unidad 2<br />
Cantidad de cubos<br />
utilizados<br />
Medida de<br />
la arista (cm)<br />
Área de una cara expresada<br />
como potencia (cm 2 )<br />
1 4 4 2<br />
Área<br />
total (cm 2 )<br />
Volumen expresado<br />
como potencia (cm 3 )<br />
8 8 3
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 4.<br />
1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?<br />
A. (6 12 : 6 2 ) 2 = 6 20 C. (–9) 3 • (–9 3 ) 2<br />
= (–9) 12<br />
B. 6 4 : 3 4 = 2 4 D. (–2) 2 • 4 2 = (–8) 4<br />
2. Para hacer su árbol familiar, Carlos parte por él, luego sus padres, sus abuelos, bisabuelos y<br />
tatarabuelos. ¿Qué potencia representa la cantidad de tatarabuelos de Carlos?<br />
A. 2 4 B. 2 5 C. 4 4 D. 2 3<br />
3. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo es 4 4 cm y su ancho 2 4 cm?<br />
A. 8 8 cm 2 B. 2 7 cm 2 C. 2 12 cm 2 D. 6 4 cm 2<br />
4. ¿En cuál de las siguientes potencias se obtiene el número mayor?<br />
A. (–2) 3 B. (–3) 2 C. (–2) 2 D. (–4) 3<br />
5. Paula tiene 2 pares de zapatos, 4 pantalones y un número desconocido de poleras. Si puede formar<br />
64 tenidas diferentes combinando su vestuario, ¿cuántas poleras tiene? Usa potencias para resolver.<br />
6. La arista de un cubo mide 16 cm. Si se duplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado<br />
como potencia de base 2?<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de<br />
potencias de base entera y exponente natural.<br />
Analizar una situación asociada a una potencia de base entera y<br />
exponente natural.<br />
Aplicar propiedades relativas a la multiplicación de potencias de<br />
base entera y exponente natural.<br />
Calcular potencias de base entera y exponente natural. 4<br />
Resolver un problema que requiere aplicar propiedades de<br />
potencias de base entera y exponente natural.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
5 y 6<br />
Unidad 2<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
Potencias 55
56 Unidad 2<br />
Potencias de base fraccionaria positiva<br />
y exponente natural<br />
Observa las siguientes expresiones:<br />
a) 5<br />
: 2<br />
b) 2<br />
1 1<br />
2 2<br />
3<br />
5<br />
2<br />
7<br />
Para discutir<br />
• 2<br />
c) 2<br />
2<br />
• ¿Podrías escribir como una sola potencia cada expresión?, ¿cómo<br />
lo harías?<br />
• ¿Qué resultados obtienes al calcular cada expresión?<br />
• Las propiedades estudiadas en las páginas anteriores, ¿se pueden<br />
aplicar en estos casos?, ¿por qué?<br />
En las expresiones anteriores, observamos que la primera (a) es una<br />
división de potencias de igual base; la segunda (b) es una<br />
multiplicación de potencias de igual exponente y, la tercera (c) es la<br />
potencia de una potencia.<br />
Al calcular la primera expresión, obtenemos:<br />
5 factores<br />
5<br />
: 2<br />
= = • • = 3<br />
1 1<br />
1 1 1 1<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
• • • • <br />
• 1 1 1 1 1<br />
2 2 2 2 2<br />
1 1<br />
<br />
= = . Si observamos lo realizado<br />
2 2 2<br />
anteriormente, podemos notar que, en la división de potencias de<br />
igual base (en este caso fraccionaria), se conserva la base y se restan<br />
los exponentes.<br />
3<br />
1<br />
2<br />
8<br />
Luego: 5<br />
: 2<br />
= 3<br />
1 1 1<br />
2 factores<br />
Si calculamos la segunda expresión, obtenemos:<br />
2<br />
• 2<br />
3 2<br />
5 7<br />
3<br />
5<br />
3<br />
5<br />
2<br />
7<br />
2<br />
7<br />
3<br />
5<br />
2<br />
7<br />
3<br />
5<br />
2<br />
1 3<br />
2<br />
= • • • = • • • = • 2<br />
2 3 2<br />
2 factores 2 factores 2 factores<br />
3 factores<br />
7<br />
3<br />
5<br />
3<br />
7
= = . En este caso,<br />
5 5 7 35 35<br />
observamos que en la multiplicación de potencias de igual<br />
exponente se multiplican las bases (en este caso fraccionarias)<br />
y se conserva el exponente.<br />
2<br />
36<br />
7<br />
1225<br />
Luego: 2<br />
• 2<br />
= • 2<br />
= 2<br />
3 2 3 2 6<br />
Al calcular la tercera expresión, obtenemos:<br />
2 2<br />
3<br />
3<br />
Por lo tanto: 2 2<br />
= • 3<br />
= • • • • • = 6<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
3<br />
3<br />
3<br />
= = . En este caso, podemos notar<br />
3 3 3<br />
que, en la potencia de una potencia, se mantiene la base<br />
(en este caso fraccionaria) y se multiplican los exponentes.<br />
6<br />
64<br />
729<br />
No olvides que...<br />
= 6 2<br />
3<br />
2 6<br />
3<br />
3<br />
6 2<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
Unidad 2<br />
Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de las<br />
potencias que tienen base entera y exponente natural se pueden aplicar a potencias de base<br />
fraccionaria positiva y exponente natural.<br />
En general: Si a, b, c, d, n y m son números naturales y nm, entonces:<br />
• n a<br />
b<br />
• n a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
• m<br />
c<br />
d<br />
Actividades<br />
a<br />
b<br />
= <br />
a<br />
b<br />
n + m<br />
c<br />
d<br />
• n<br />
= • n<br />
• n<br />
: m a a<br />
b b<br />
a<br />
b<br />
= <br />
n – m<br />
• n<br />
: n<br />
= : n<br />
a c a c<br />
b d b d<br />
1. Escribe en forma de una sola potencia y calcula su valor.<br />
• n a<br />
b<br />
a) 3<br />
• = c) 10<br />
: 7<br />
= e) 3<br />
• =<br />
2 4<br />
10 10<br />
1 8<br />
3<br />
9<br />
b) 2<br />
: 2<br />
= d) 3<br />
2 1<br />
3<br />
9<br />
4<br />
2 factores 6 factores<br />
11<br />
7<br />
3<br />
= f) 3<br />
: 3<br />
4 4<br />
2. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad.<br />
a) 6<br />
= 18<br />
b) : 3<br />
= 7<br />
12<br />
17<br />
12<br />
17<br />
2<br />
13<br />
2 2<br />
13 13<br />
1<br />
4<br />
2<br />
3<br />
11<br />
4<br />
7<br />
27<br />
7<br />
m<br />
a<br />
= <br />
=<br />
b<br />
c) : 9<br />
= 9<br />
3<br />
8<br />
n • m<br />
Potencias 57
58 Unidad 2<br />
Potencias de base decimal positiva<br />
y exponente natural<br />
Pedro y Macarena quieren escribir como una sola potencia las<br />
siguientes expresiones:<br />
Para discutir<br />
(0,3) 3 • (0,3) 3 (1,2) 3 3<br />
• ¿Cómo escribirías cada expresión como una sola potencia?<br />
• Pedro escribió la primera expresión como 0,3 6 y Macarena<br />
como 0,09 3 , ¿cuál consideras correcta?, ¿por qué?<br />
• De lo estudiado hasta ahora, ¿con qué puedes relacionar lo<br />
realizado por Pedro y por Macarena?<br />
• ¿Las propiedades estudiadas anteriormente se pueden aplicar<br />
en potencias de base decimal positiva?<br />
Sabemos que en matemática, muchas veces hay más de un camino<br />
para resolver problemas. En este caso, Pedro y Macarena utilizaron<br />
dos caminos diferentes para escribir como una sola potencia la primera<br />
expresión. Analicemos el procedimiento de cada uno y, luego,<br />
calcularemos ambos resultados para ver cuál es el correcto.<br />
Pedro observó que las bases eran iguales; entonces, conservó la base y<br />
sumó los exponentes, es decir: (0,3) 3 • (0,3) 3 = (0,3) 3 + 3 = (0,3) 6 .<br />
Macarena observó que los exponentes eran iguales; entonces,<br />
multiplicó las bases y conservó el exponente, es decir:<br />
(0,3) 3 • (0,3) 3 = (0,3 • 0,3) 3 = (0,09) 3<br />
Al calcular la potencia obtenida por cada uno,<br />
obtenemos: (0,3) 6 = 0,000729 y (0,09) 3 = 0,000729. Por lo tanto,<br />
ambos, Pedro y Macarena, llegaron al mismo resultado empleando<br />
caminos diferentes.<br />
Calcularemos la segunda expresión:<br />
(1,2) 3 3 = 1,2 • 1,2 • 1,2 3 = 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2<br />
Luego: (1,2) 3 3 = (1,2) 9 .<br />
3 factores 9 factores<br />
Como vimos, en este caso, al ser la potencia de una potencia,<br />
se mantiene la base (decimal) y se multiplican los exponentes.
No olvides que...<br />
Actividades<br />
1. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como una sola potencia.<br />
• ¿En qué caso puedes utilizar otra propiedad para resolver?, ¿por qué?<br />
2. Escribe cada expresión como una sola potencia y completa con los signos o =,<br />
según corresponda.<br />
a) (0,2) 3 : (0,2) 3 (0,5) 4 : (0,5) 3 c) (0,1) 5 • 6 5 (0,6) 2 2<br />
b) 5 3 • (0,5) 3 (2,5) 5 : (2,5) 2 d) (5,5) 8 : (5,5) 6 (11) 3 • (0,5) 3<br />
3. Completa la siguiente tabla, escribiendo el valor de cada potencia.<br />
a) Los resultados obtenidos en las filas 1 y 2, ¿representan el mismo número?, ¿por qué?,<br />
¿y los de las filas 3 y 4?<br />
b) Si escribes un número decimal como fracción o viceversa y elevas ambos al cuadrado,<br />
¿los resultados obtenidos siempre representan el mismo número?, ¿por qué?<br />
Unidad 2<br />
Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de las<br />
potencias que tienen base entera y exponente natural también se pueden aplicar a potencias<br />
de base decimal positiva y exponente natural. Por ejemplo:<br />
(1,5) 5 : (1,5) 3 = (1,5) 5 – 3 = (1,5) 2 = 1,5 • 1,5 = 2,25<br />
a b a a • b a : b (a : b) 4<br />
0,027 0,3<br />
4 (2,5) 2<br />
0,0625 (0,5) 4<br />
0,0001 (0,1) 3<br />
Nº fila a a 2 a 5 : a 2 (a 2 ) 2<br />
1 0,5<br />
2<br />
3 0,25<br />
4<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
Potencias 59
60 Unidad 2<br />
Crecimiento exponencial<br />
Un grupo de estudiantes está analizando la descomposición de una<br />
hortaliza. Ellos consideran que la infección es extensa, es decir,<br />
la hortaliza no puede ser consumida cuando tiene 1024 o más<br />
bacterias por milímetro cuadrado (mm 2 ). Además, observaron que<br />
las bacterias que producen la descomposición de la hortaliza se<br />
duplican cada una hora.<br />
Para discutir<br />
• Si en un comienzo hay una bacteria por mm 2 , ¿en cuántas horas<br />
la hortaliza ya no podrá ser consumida?, ¿cómo lo supiste?<br />
• Si parten el estudio a las 8:30 h; ¿a qué hora la hortaliza no servirá<br />
para el consumo?, ¿y a qué hora habrá 64 bacterias por mm 2 ?<br />
• ¿Podrías explicar la reproducción de las bacterias utilizando<br />
potencias?, ¿por qué?<br />
• ¿Cómo graficarías el comportamiento de las bacterias?<br />
La situación anterior se puede resumir en la siguiente tabla:<br />
Tiempo transcurrido Número de bacterias<br />
Número de bacterias<br />
como potencia<br />
0 1 20 1 hora 2 21 2 horas 4 22 3 horas 8 23 4 horas 16 2 4<br />
5 horas 32 25 6 horas 64 26 7 horas 128 27 8 horas 256 28 9 horas 512 29 10 horas 1024 210 Si observamos la tabla, hay 64 bacterias por mm 2 en la hortaliza<br />
transcurridas 6 horas, es decir, si comenzaron el estudio a las<br />
8:30 horas, dicha cantidad estará presente a las 14:30 horas.<br />
Por otra parte, la hortaliza no podrá ser consumida transcurridas<br />
10 horas, es decir, a las 18:30 horas la infección será considerada<br />
extensa por los estudiantes.
Como las bacterias se duplican cada una hora,<br />
cada vez se multiplica por dos. Entonces,<br />
si queremos expresar como potencia, la base<br />
será 2 y el exponente corresponde a las<br />
horas transcurridas.<br />
Además, en este caso observamos dos variables,<br />
una dependiente de la otra, ya que el número<br />
de bacterias depende de las horas transcurridas;<br />
dicho de otro modo, a medida que el tiempo<br />
transcurre, la cantidad de bacterias aumenta.<br />
Para analizar la relación entre las variables,<br />
observa el gráfico:<br />
No olvides que...<br />
Actividades<br />
Unidad 2<br />
Este tipo de relación entre las variables se llama crecimiento exponencial, o se dice que crecen<br />
exponencialmente, porque se usa en ellas una potencia con base mayor que 1. Este tema lo<br />
estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.<br />
1. Luisa llama a cuatro compañeras y les informa sobre una campaña de recolección de alimentos.<br />
Cada una de estas amigas llama a otras cuatro amigas para contarles sobre la campaña, y así,<br />
una a una, van contando a 4 nuevas amigas. Completa la tabla, el gráfico y responde.<br />
Nivel de<br />
llamados<br />
Personas<br />
informadas en<br />
el nivel<br />
Potencia<br />
relacionada<br />
0 1 40 1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
4<br />
a) ¿Cuántas personas son informadas en el nivel 4?<br />
b) ¿Cuál es la variable dependiente de la otra?,<br />
¿por qué?<br />
Crecimiento de una población de bacterias<br />
N o de bacterias<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
250<br />
225<br />
200<br />
175<br />
150<br />
125<br />
100<br />
75<br />
50<br />
25<br />
0<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
Tiempo transcurrido (h)<br />
N o de personas<br />
1 2 3 4 5<br />
Nivel<br />
Potencias 61
62 Unidad 2<br />
Decrecimiento exponencial<br />
Científicos de diversos países se han reunido con el fin inventar<br />
una vacuna para combatir un virus respiratorio. Esperan que, al<br />
momento de vacunar a la población, la cantidad de contagiados<br />
disminuya a un tercio de la población cada día.<br />
Para discutir<br />
• Si se vacunara a la población, ¿en cuánto disminuirían los<br />
contagiados luego de 3 días?, ¿y luego de 6 días?, ¿por qué?<br />
• ¿Podrías explicar la disminución de los contagiados utilizando<br />
potencias?, ¿cómo lo harías?<br />
• Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados al momento de<br />
vacunar a la población, ¿cuál sería el número de contagiados<br />
luego de 2 y 5 días?; ¿cuál es el gráfico que representa la<br />
cantidad de contagiados por día?<br />
• Considerando la información de la pregunta anterior, ¿al cabo de<br />
cuántos días se contagiará solo una persona?<br />
Suponiendo que se vacunara a la población e inicialmente hubiera<br />
19 683 contagiados, la información se resume en la siguiente tabla:<br />
Días transcurridos<br />
Factor de<br />
decrecimiento<br />
0 0<br />
1 1<br />
2 2<br />
3 3<br />
4 4<br />
5 5<br />
6 6<br />
Cantidad<br />
de contagiados<br />
19 683 • 0<br />
1<br />
19 683 • 1<br />
1<br />
19 683 • 2<br />
1<br />
19 683 • 3<br />
1<br />
19 683 • 4<br />
1<br />
19 683 • 5<br />
1<br />
19 683 • 6<br />
1<br />
Si observamos la tabla, en tres días los contagiados disminuirían<br />
en 3<br />
de su población y en 6 días 6<br />
1<br />
1<br />
.<br />
3<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
= 19 683<br />
= 6561<br />
= 2187<br />
= 729<br />
= 243<br />
= 81<br />
= 27
Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados<br />
al momento de vacunar a la población, la<br />
cantidad de contagiados del segundo día sería<br />
2187; del quinto día, 81 contagiados y el<br />
noveno día se contagiaría solo una persona.<br />
En esta situación, observamos la relación entre<br />
dos variables y, al igual que en el crecimiento<br />
exponencial, una depende de la otra. En este<br />
caso, la cantidad de contagiados depende de<br />
los días transcurridos, pues, a medida que<br />
pasan los días, la cantidad de contagiados<br />
disminuye. Para analizar la relación entre<br />
las variables, observa el gráfico:<br />
No olvides que...<br />
Actividades<br />
20 000<br />
18 000<br />
16 000<br />
14 000<br />
12 000<br />
10 000<br />
Unidad 2<br />
1. Una población de aproximadamente 262 144 insectos decrece por acción de un depredador natural<br />
a la mitad de su población cada año. Completa la tabla, grafica y responde.<br />
8000<br />
6000<br />
4000<br />
2000<br />
a) ¿En qué año la población es de 32 768?<br />
b) ¿Cuántos insectos hay el 4º año?<br />
c) Se extinguirá este tipo de insecto, ¿después de cuántos años?<br />
Decrecimiento de una población de contagiados<br />
No de contagiados<br />
0<br />
1 2 3 4 5 6 7<br />
Tiempo<br />
transcurrido (días)<br />
Este tipo de relación entre las variables se llama decrecimiento exponencial, o se dice que<br />
decrecen exponencialmente, porque se usa en ellas una potencia con base mayor que 0 y menor<br />
que 1. Este tema también lo estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.<br />
Años<br />
transcurridos<br />
Factor de<br />
decrecimiento<br />
0 0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
1<br />
2<br />
Tamaño de población<br />
262 144 • 0 1<br />
2<br />
= 262 144<br />
Población en miles de individuos<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
1 2 3 4 5<br />
Años transcurridos<br />
Potencias 63
Herramientas tecnológicas<br />
Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para construir un gráfico:<br />
1º En la columna A escribe el valor de la potencia de base 3 y exponente, partiendo desde 0<br />
hasta 10, en orden creciente, es decir, en A1 escribe el valor de la potencia 3 0 , en la celda A2<br />
el valor de 3 1 , en A3 el valor de 3 2 , y así sucesivamente.<br />
2º Selecciona los todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:<br />
3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”,<br />
como se observa en la siguiente imagen:<br />
4º En las opciones de gráficos, selecciona “XY Dispersión”.<br />
5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la<br />
planilla. Además, puedes poner el siguiente título al gráfico:<br />
Exponentes de la potencia de base 3 y sus respectivos valores.<br />
Finalmente, observa el gráfico y responde:<br />
a) ¿A qué gráfico se parece?, ¿por qué?<br />
b) Los valores: 0, 1, 2, 3, … del eje horizontal, ¿qué representan?, ¿y los valores del eje vertical?<br />
c) ¿Por qué este gráfico es con puntos y no con líneas?<br />
d) ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base 4?, ¿qué tiene en común con el gráfico<br />
que acabas de hacer?<br />
1<br />
e) ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base ?, ¿tiene algo en común con el gráfico que<br />
4<br />
acabas de hacer?, ¿por qué?<br />
f) Sigue los pasos anteriores para graficar la potencia de base 5. Luego, responde las preguntas<br />
a y b.<br />
64 Unidad 2
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.<br />
1. La expresión: 0,3 • 0,09 • 0,027, escrita como un sola potencia es:<br />
A. 3 6<br />
B. 0,3 6<br />
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?<br />
A. • = 4<br />
1 1 1<br />
8<br />
B. 6<br />
5<br />
6<br />
2<br />
2<br />
= 12<br />
5<br />
6<br />
2<br />
C. 0,3 5<br />
C. 5<br />
• 5<br />
= 10<br />
4 4 16<br />
D. : = 2<br />
64 4 4<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Aplicar propiedades de potencias que tienen base fraccionaria<br />
o decimal positiva y exponente natural.<br />
1, 2 y 3<br />
Resolver un problema sobre crecimiento exponencial. 4<br />
Resolver un problema, aplicando propiedades de potencias de base<br />
entera y fraccionaria positiva y exponente natural.<br />
D. 0,09 5<br />
3. Para que la igualdad: 0,2 x : 0,2 2 = 0,2 4 , sea verdadera, el valor de x, es:<br />
A. 2 B. 4 C. 1 D. 6<br />
4. Las bacterias se reproducen dividiéndose en 2. En un determinado ambiente, la división se<br />
produce cada un minuto.<br />
a) ¿Qué tipo de crecimiento representa la relación entre los minutos transcurridos y la cantidad<br />
de bacterias?, ¿por qué?<br />
b) ¿Cuál es la potencia que representa la cantidad de bacterias al término de 12 minutos,<br />
considerando que el ciclo de reproducción comienza con una bacteria?<br />
5. Jorge y Mario inventaron un juego en el que cada jugador parte con un punto y, cada vez que<br />
gana, su puntaje se duplica, y si pierde, su puntaje será la mitad de lo que tenía. Jorge ganó 6 veces<br />
y Mario perdió 5 veces. ¿Cuántos puntos obtuvo Jorge?, ¿y Mario? Expresa cada resultado como<br />
una sola potencia.<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
9<br />
125<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
9<br />
5<br />
81<br />
5<br />
5<br />
Unidad 2<br />
Potencias 65
Buscando estrategias<br />
Considera la potencia 4 15 , el valor de esta potencia tiene 10 cifras. ¿Cuál es el último dígito de<br />
este número?, ¿y de 4 48 ?<br />
Comprender<br />
• ¿Qué sabes del problema?<br />
4 15 = 4 • 4 • 4 • … • 4 4 48 = 4 • 4 • 4 • 4 • … • 4 • 4<br />
15 factores 48 factores<br />
• ¿Qué debes encontrar?<br />
El valor del último dígito de las potencias anteriores.<br />
Planificar<br />
• ¿Cómo resolver el problema?<br />
En el caso de 4 15 podríamos utilizar la calculadora científica para saber cuál es el último<br />
dígito del valor de la potencia, pero en 4 48 la calculadora no puede dar respuesta, ya que la<br />
mayoría no tiene tanta capacidad. Sin embargo, podemos comenzar resolviendo los primeros<br />
8 casos y, luego, observaremos la cifra de las unidades para encontrar alguna regularidad.<br />
Resolver<br />
• Calculamos los valores de las potencias de base 4 y exponente desde 1 hasta 8:<br />
4 1 = 4 4 3 = 64 4 5 = 1024 4 7 = 16 384<br />
4 2 = 16 4 4 = 256 4 6 = 4096 4 8 = 65 536<br />
Luego, observamos que en las potencias de base 4 y exponente:<br />
a) par, la última cifra del resultado es 6. b) impar, la última cifra del resultado es 4.<br />
Responder<br />
• Como en 4 15 el exponente es impar, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 4.<br />
• Como en 4 48 el exponente es par, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 6.<br />
Revisar<br />
• Para comprobar cada resultado, puedes utilizar las propiedades de las potencias, luego,<br />
calcular cada expresión (utilizando calculadora si es necesario) y, finalmente, multiplicar las<br />
últimas cifras:<br />
Utilizando propiedades de potencias, tenemos: 4 15 = 4 7 • 4 8 = 16 384 • 65 536. Entonces, al<br />
multiplicar las últimas cifras de los factores, obtenemos: 4 • 6 = 24. Luego, la última cifra es 4.<br />
En el segundo caso, tenemos que:<br />
4 48 = 4 10 • 4 10 • 4 10 • 4 15 • 4 3 = 1 048 576 • 1 048 576 • 1 048 576 • 1 073 741 824 • 64.<br />
Luego, multiplicamos las últimas cifras de los factores, es decir: 6 • 6 • 6 • 4 • 4 = 3456.<br />
Entonces, la última cifra es 6.<br />
66 Unidad 2
1. Aplica la estrategia aprendida para calcular la cifra de las unidades de los valores de las<br />
siguientes potencias.<br />
a) 4 289 d) 2 86 g) 3 85<br />
b) 4 274 e) 2 104 h) 3 52<br />
c) 2 29 f) 3 19 i) 3 222<br />
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.<br />
Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tus<br />
compañeros y compañeras.<br />
Unidad 2<br />
3. Calcula la cifra de las unidades de los valores de las siguientes potencias, utilizando la estrategia<br />
aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o<br />
compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?<br />
a) 5 47 c) 7 33 e) 9 19<br />
b) 6 22 d) 8 40 f) 10 521<br />
4. Imagina que tienes una hoja de papel rectangular muy grande, y que comienzas a doblarla por la<br />
mitad, una y otra vez. Si la abres, observarás que se forman rectángulos iguales.<br />
a) ¿Qué relación tiene esta situación con las potencias?, ¿cuál es la base?, ¿qué representa el<br />
exponente en este caso?<br />
b) Si doblas el papel 3 veces por la mitad, ¿cuántos rectángulos se forman al abrir el papel?<br />
Utiliza potencias para responder.<br />
c) Y si doblaras 5 veces el papel por la mitad, ¿cuántos rectángulos se formarían?<br />
Utiliza potencias para responder.<br />
d) Comprueba los resultados obtenidos utilizando una hoja tamaño carta.<br />
e) Sin utilizar papel para comprobar, ¿cuál es la cifra de las unidades equivalente a la cantidad<br />
de rectángulos que se forman al doblar un papel rectangular 15 veces por la mitad?,<br />
¿cómo lo supiste?<br />
Potencias 67
Conexiones<br />
Para finalizar<br />
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según<br />
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.<br />
Respetó las opiniones de los demás integrantes.<br />
Cumplió con las tareas que se comprometió.<br />
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.<br />
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?<br />
68 Unidad 2<br />
NACIONAL<br />
Los efectos del alcohol en el organismo<br />
El alcohol es un depresor del sistema nervioso<br />
central. Sus efectos en el organismo son inmediatos y a<br />
largo plazo. Algunos efectos inmediatos son: afección a<br />
la frecuencia cardiaca, al habla, al entendimiento, al<br />
juicio y, al llegar a la intoxicación alcohólica, puede<br />
provocarse un estado de coma e, incluso, la muerte.<br />
Algunos riesgos a largo plazo son: daño al corazón, al<br />
hígado y su abuso puede generar trastornos mentales.<br />
En Chile, el alcohol es la droga más consumida,<br />
de hecho, un 68,5% de los encuestados, en un estudio<br />
realizado por el Conace, declaró haber consumido alcohol<br />
el año 2008. Su uso genera graves problemas sociales,<br />
entre otros, causando accidentes automovilísticos.<br />
Fuentes: Ministerio del Interior, www.conacedrogas.cl, septiembre 2009.<br />
Octavo Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile, 2008. Informe de principales resultados, Conace, Chile.<br />
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.<br />
1. Un profesor universitario encontró una fórmula para calcular el porcentaje de riesgo de tener<br />
un accidente si se conduce bajo los efectos del alcohol. La fórmula es igual a: 6 • (1,14) x ,<br />
donde x es el porcentaje de alcohol en la sangre.<br />
• Si una persona tiene un 4% de alcohol en la sangre, ¿cuál es el porcentaje de riesgo de<br />
tener accidente?, ¿y si tiene un 20% de alcohol en la sangre?<br />
2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la<br />
solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.<br />
Evaluamos nuestro trabajo<br />
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
A continuación, se presenta un mapa conceptual que relaciona los principales conceptos<br />
estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones<br />
que hay entre los conceptos.<br />
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE<br />
POTENCIAS DE IGUAL BASE<br />
POTENCIAS DE BASE FRACCIONARIA<br />
POSITIVA Y EXPONENTE NATURAL<br />
POTENCIAS DE BASE ENTERA<br />
Y EXPONENTE NATURAL<br />
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE<br />
POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE<br />
POTENCIAS DE BASE DECIMAL<br />
POSITIVA Y EXPONENTE NATURAL<br />
Unidad 2<br />
Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.<br />
1. ¿Crees qué faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.<br />
2. ¿Cómo calculas una potencia de base entera y exponente natural?<br />
POTENCIA DE UNA POTENCIA<br />
3. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de potencias de igual base?,<br />
¿y qué diferencias?<br />
4. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de potencias de igual exponente?,<br />
¿y qué diferencias?<br />
5. ¿Cómo calculas la potencia de una potencia de base entera y exponente natural?, ¿y de base<br />
decimal positiva? Da tres ejemplos.<br />
6. Si w, x, y, z son números naturales, ¿podrías afirmar que z<br />
w<br />
x x z •w<br />
= ?, ¿por qué?<br />
y y<br />
Da 2 ejemplos.<br />
7. ¿Qué caracteriza al crecimiento exponencial?, ¿y al decrecimiento exponencial?<br />
8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela<br />
en tu curso e intenten aclararla en conjunto.<br />
Potencias 69<br />
Síntesis
¿Qué aprendí?<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.<br />
1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?<br />
A. (–15) 11 :(–15 8 = –3375<br />
B. 2<br />
1<br />
4<br />
70 Unidad 2<br />
3<br />
=<br />
C. (0,5) 2 • (0,8) 2 = (0,4) 4<br />
D. (–2) 2 3 = (–2) 3 2<br />
2. Una profesora compró lápices de colores para<br />
regalar a sus alumnos y alumnas. Si compró<br />
8 cajas que contienen 16 estuches cada una<br />
y cada estuche tiene 4 lápices, ¿cuántos lápices<br />
tiene para regalar?<br />
A. 2 6<br />
B. 2 9<br />
C. 2 28<br />
D. 2 2 • 7<br />
3. Si a, b, c son números naturales mayores que<br />
1 y b > c, entonces, es cierto que:<br />
A. aa : aa = aa B. b<br />
c b •c<br />
= <br />
C. b<br />
: c<br />
D. a b • c b = (a • c) 2<br />
a a<br />
b b<br />
a a a<br />
b b b<br />
= b +c<br />
4. El volumen de un cubo cuya arista mide<br />
216 cm, es:<br />
A. 6 6 cm 3<br />
B. 6 3 cm 3<br />
C. 6 5 cm 3<br />
D. 6 9 cm 3<br />
1<br />
4096<br />
5. La directiva de un curso quiere hacer un diario<br />
mural rectangular para su sala de clases.<br />
Si solo saben que el área disponible es de<br />
19 683 cm 2 y el ancho mide 81 cm,<br />
¿cuánto mide el largo?<br />
A. 3 5 cm<br />
B. 3 9 cm<br />
C. 3 4 cm<br />
D. 5 3 cm<br />
6. El valor de (0,5) 13 : (0,5) 11 , escrito como<br />
fracción, es:<br />
A.<br />
1<br />
2<br />
B.<br />
1<br />
16<br />
C.<br />
1<br />
4<br />
D.<br />
1<br />
25<br />
7. Un grupo de 78 125 bacterias decrecen<br />
exponencialmente a un quinto de su población<br />
cada día. ¿Cuántas bacterias quedarán al cabo<br />
de 5 días?<br />
A. 5 5<br />
B. 5 4<br />
C. 5 2<br />
D. 5 3<br />
8. Para que la igualdad: (1,3) x • (0,1) 9 = (0,13) 9 ,<br />
sea verdadera, el valor de x es:<br />
A. 9<br />
B. 1<br />
C. 0<br />
D. 18
9. Una cuerda tiene 16 384 m de longitud y se corta sucesivamente un cuarto de<br />
su longitud.<br />
a) ¿Cuánto queda después de 3 cortes?, ¿y después de 6?<br />
b) Construye, en tu cuaderno, un gráfico para esta situación.<br />
10. Se sabe que el volumen de un paralelepípedo es 729 cm 3 . Si su ancho mide 3 cm,<br />
su largo 9 cm, ¿cuánto mide el alto? Usa potencias para resolver.<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste<br />
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué logré?<br />
1. Marca según tu apreciación.<br />
Concepto de potencia.<br />
Potencia de base entera y exponente natural.<br />
Multiplicación y división de potencias de igual base.<br />
Multiplicación y división de potencias de igual<br />
exponente.<br />
Potencia de una potencia.<br />
Potencias de base fraccionaria positiva y exponente<br />
natural.<br />
Potencias de base decimal positiva y exponente<br />
natural.<br />
Crecimiento y decrecimiento exponencial.<br />
Resolución de problemas.<br />
2. Reflexiona y responde.<br />
No lo<br />
entendí<br />
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?<br />
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?<br />
c) Vuelve a la página 37 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”;<br />
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.<br />
Lo<br />
entendí<br />
Unidad 2<br />
Puedo<br />
explicarlo<br />
Potencias 71
72 Unidad 3<br />
3Unidad<br />
Geometría y<br />
medición
En esta Unidad podrás...<br />
• Identificar la circunferencia y círculo como lugar geométrico y representarlos<br />
mediante lenguaje conjuntista.<br />
• Identificar el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia.<br />
• Relacionar el número π con el diámetro y la longitud de la circunferencia.<br />
• Calcular la longitud de una circunferencia.<br />
• Estimar el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares<br />
inscritos en la circunferencia.<br />
• Conjeturar respecto del volumen del cilindro y cono.<br />
• Calcular el área del cilindro, cono y pirámide y verificarlas, usando un<br />
procesador geométrico.<br />
Conversemos de...<br />
Para preservar de mejor forma los alimentos durante un largo período de<br />
tiempo, se realiza un proceso de manipulación de estos, llamada conserva<br />
alimenticia.<br />
El objetivo de la conserva es proteger a los alimentos de microorganismos que<br />
podrían modificar sus condiciones sanitarias y su sabor. Las conservas se pueden<br />
encontrar en envases de vidrio o de hojalata.<br />
El envase de hojalata conserva por más tiempo los alimentos y evita los efectos<br />
de la luz, que deteriora su contenido vitamínico.<br />
La fotografía muestra distintas conservas en envases de hojalata de una empresa.<br />
Si desean modificar las dimensiones de los tarros, responde las siguientes<br />
preguntas.<br />
1. ¿Qué variará si desean agrandar los envases sin modificar su altura?<br />
2. ¿Qué sucederá con el volumen del envase si modifican la altura al doble?,<br />
¿cómo lo supiste?<br />
3. ¿Con qué forma geométrica asocias estos tarros de conservas?<br />
4. ¿Haz consumido algún alimento en conserva?, ¿cuál?<br />
Geometría y medición 73
¿Cuánto sabes?<br />
74 Unidad 3<br />
1. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos y explica el procedimiento<br />
que utilizaste.<br />
a) ABCD cuadrado c) LMNO romboide<br />
D C O<br />
A 5 cm B<br />
b) HGFE trapecio isósceles d) ∅IJK equilátero<br />
K<br />
E<br />
5 cm<br />
F<br />
H<br />
9 cm<br />
2. Calcula el área de los siguientes polígonos y explica el procedimiento<br />
que utilizaste.<br />
a) c) ΔEFG isósceles de base EF<br />
D C<br />
G<br />
A<br />
2,6 cm<br />
B<br />
5 cm<br />
b) H K d) L<br />
I 17,5 cm J<br />
3. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos.<br />
a) b)<br />
4 cm<br />
2,6 cm<br />
5,5 cm<br />
4 cm<br />
12 cm<br />
4 cm<br />
G<br />
4. El perímetro de un triángulo equilátero es 24 cm. Si la medida de uno de<br />
sus lados aumenta en 3 cm, ¿cuánto mide ahora el perímetro del triángulo?,<br />
¿sigue siendo equilátero?, ¿por qué?<br />
L<br />
I<br />
E<br />
M<br />
5 m<br />
8 cm<br />
3,5 cm<br />
12 cm<br />
4 cm<br />
J<br />
10 cm<br />
5 cm<br />
3 m<br />
F<br />
5 m<br />
M<br />
N<br />
6 cm<br />
N
5. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuánto mide<br />
su perímetro?; ¿y su área?, ¿y si los catetos se duplican?<br />
6. Si el área de un terreno cuadrado es 100 m 2 , ¿cuántos metros de alambre se<br />
necesitan para cercar el terreno con una vuelta?<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.<br />
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve<br />
correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué debes recordar?<br />
Unidad 3<br />
• Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectos<br />
consecutivos no alineados, llamados lados. Según el número de sus lados, se clasifican en:<br />
triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), etc.<br />
• Los polígonos que tienen todos sus ángulos de igual medida, al igual que la medida de sus<br />
lados, reciben el nombre de polígono regular.<br />
• La apotema de un polígono regular es la distancia entre el<br />
centro y cualquiera de sus lados; es perpendicular a dicho lado.<br />
apotema<br />
del pentágono<br />
• El perímetro de un polígono es la medida de la longitud de su frontera o contorno,<br />
expresada en la misma unidad de longitud.<br />
• El área es la medida de la superficie de una figura.<br />
• Para calcular el área de un cuadrado de lado a, se puede utilizar la fórmula a2 .<br />
• Para calcular el área de un rectángulo de lados a y b, se puede utilizar la fórmula a • b.<br />
•<br />
b • h<br />
Para calcular el área de un triángulo de base b y altura h, se puede utilizar la fórmula .<br />
2<br />
• En un triángulo rectángulo, las medidas de los catetos se pueden considerar como su base<br />
y su altura, ya que son perpendiculares entre sí.<br />
B<br />
• En un triángulo ABC rectángulo en C se cumple que: c<br />
a a<br />
A<br />
b C<br />
• Un prisma recto es aquel poliedro que tiene dos caras paralelas que son polígonos iguales<br />
llamados bases. El resto de las caras son rectángulos perpendiculares a las bases y se llaman<br />
caras laterales.<br />
• Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos,<br />
que concurren en un punto llamado cúspide. Las pirámides rectas son aquellas cuyas caras<br />
laterales son triángulos isósceles. De lo contrario, se denominan oblicuas. Las pirámides<br />
regulares son aquellas cuya base es un polígono regular.<br />
2 + b2 = c2 (Teorema de Pitágoras)<br />
Geometría y medición 75
Dispositivo<br />
Hernán H<br />
Carolina<br />
Francisca<br />
Bernardo<br />
F<br />
Glosario<br />
C<br />
B<br />
Límite de la señal<br />
conjunto: es toda agrupación de<br />
objetos. Los objetos agrupados<br />
toman el nombre de elementos<br />
del conjunto.<br />
pertenece: corresponde a todos<br />
los elementos que forman parte de<br />
un conjunto dado. Se simboliza .<br />
no pertenece: corresponde a<br />
todos los elementos que no<br />
forman parte de un conjunto dado.<br />
Se simboliza .<br />
76 Unidad 3<br />
O<br />
T<br />
G<br />
D E<br />
S<br />
Tomás<br />
Gabriel<br />
Eduardo<br />
Daniela<br />
Sara<br />
Circunferencia y círculo como lugar<br />
geométrico<br />
En el patio de una universidad se ha instalado un dispositivo emisor<br />
de Internet, para que los y las estudiantes que dispongan de tarjetas<br />
receptoras en sus computadores personales puedan acceder a la<br />
Web. El dispositivo receptor tiene un alcance hasta los 500 metros<br />
a la redonda. Observa la imagen que muestra el punto del patio<br />
donde se instaló el dispositivo emisor y a los y las estudiantes que,<br />
en ese momento, estaban con sus computadores usando internet.<br />
Para discutir<br />
• ¿Cuántos metros hay desde el dispositivo hasta E?, ¿y hasta B y H?,<br />
¿cómo lo supiste?<br />
• ¿Qué sucede con los estudiantes que están a menor distancia<br />
que 500 m del dispositivo?, ¿y los que están a más de 500 m a<br />
la redonda?, ¿cómo lo expresarías geométricamente?<br />
• Si los estudiantes que están ubicados a menos de 500 m del<br />
dispositivo se ubicaran justo a 500 m de este, ¿dónde se<br />
encontrarían geométricamente?, ¿por qué?<br />
• ¿Con qué conceptos geométricos puedes relacionar a las personas<br />
que están a menor distancia de 500 m a la redonda del dispositivo?,<br />
¿y los que están a 500 m?, ¿por qué?<br />
En la situación anterior, los puntos que se encuentran a 500 metros<br />
del dispositivo emisor son H, B y E. Estos puntos y todos aquellos<br />
que están a 500 metros del dispositivo emisor O, pertenecen a<br />
la circunferencia. El dispositivo corresponde al centro de la<br />
circunferencia; la distancia desde el centro O a la circunferencia<br />
se denomina radio; en este caso, el radio es de 500 metros.<br />
El conjunto de todos los puntos que están en el interior de la<br />
circunferencia de centro O, como C, F, G y D, pertenecen al círculo.<br />
Luego, la circunferencia es el contorno del círculo.<br />
Los puntos S y T se encuentran a más de 500 m del centro O de la<br />
circunferencia, por lo tanto, no pertenecen a ella (ni al círculo).<br />
Esto quiere decir que Sara y Tomás no pueden acceder a la web.
No olvides que...<br />
• Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas<br />
propiedades geométricas.<br />
Actividades<br />
1. Observa la siguiente circunferencia de centro O y el círculo de centro C, respectivamente y,<br />
luego, responde.<br />
a) ¿En qué se parecen ambas figuras?, ¿en qué se diferencian?<br />
b) ¿Qué aspectos caracterizan a cada figura?<br />
c) ¿Cuándo un punto pertenece al círculo?, ¿y a la circunferencia?<br />
Da 2 ejemplos para cada caso.<br />
2. Observando la figura, completa cada una de las siguientes expresiones con:<br />
• pertenecen • radio • no pertenecen<br />
• no pertenece • pertenecen • pertenece<br />
a) El de la circunferencia de centro O mide 1 cm.<br />
b) El punto C al círculo.<br />
c) Los puntos D y E al círculo.<br />
d) Los puntos D y E a la circunferencia.<br />
e) Los puntos B y F a la circunferencia.<br />
f) El punto E al círculo.<br />
Unidad 3<br />
• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia<br />
de un punto fijo, llamado centro; dicha distancia se denomina radio.<br />
Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a una<br />
circunferencia de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:<br />
C = p P / d (p, O) = r<br />
• El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo,<br />
llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.<br />
Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a un círculo<br />
de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:<br />
C = p P / d (p, O)r<br />
La notación d(p, O) representa la distancia desde cualquier punto p del plano P al centro O.<br />
D<br />
O<br />
B<br />
O C<br />
E<br />
F<br />
C<br />
Geometría y medición 77
Glosario<br />
En Matemática puedes utilizar<br />
la siguiente notación:<br />
Segmento HI: HI<br />
<br />
Recta AB: AB ↔<br />
Arco FG: FG <br />
Ayuda<br />
El arco de una circunferencia<br />
se lee en sentido inverso al<br />
giro de los punteros del reloj.<br />
78 Unidad 3<br />
Elementos de la circunferencia<br />
Observa la siguiente<br />
circunferencia de<br />
centro O y los elementos<br />
marcados en ella.<br />
G<br />
Para discutir<br />
H<br />
A<br />
• Si mides con una regla OE y OI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué?<br />
• ¿Qué diferencias observas entre la parte de la circunferencia<br />
comprendida entre los puntos F y G y el trazo FG?, ¿cómo lo supiste?<br />
• Si mides con una regla OE y HI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué?<br />
• ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre GF y AB ↔ ?,<br />
¿y entre AB ↔ y CD ↔ ?<br />
• ¿Cuánto miden los ángulos OED y CEO? Usa transportador.<br />
• ¿Ocurrirá siempre lo mismo con las medidas de los ángulos<br />
formados entre el radio y la recta que interseca a la circunferencia<br />
en un solo punto?, ¿cómo lo supiste?<br />
En la circunferencia anterior, tenemos que OE y OI corresponden a<br />
segmentos que unen un punto de la circunferencia con su centro O;<br />
estos segmentos corresponden al radio de la circunferencia.<br />
La parte de la circunferencia comprendida entre los puntos F y G<br />
se denomina arco (FG ), es decir, corresponde a todos los puntos<br />
pertenecientes a la circunferencia entre dichos puntos, a diferencia<br />
de FG, que contiene solo a dos puntos de la circunferencia. Este<br />
segmento se denomina cuerda.<br />
Por otra parte, HI mide el doble del radio; este segmento que une<br />
dos puntos de la circunferencia y, además, pasa por el centro de ella<br />
se llama diámetro.<br />
Al observar AB ↔ y CD ↔ , podemos notar que la primera recta corta<br />
a la circunferencia en dos puntos, a diferencia de CD ↔ , que toca<br />
a la circunferencia en un solo punto (E ). En el caso de AB ↔ , la recta<br />
se llama secante a la circunferencia, y en el caso de CD ↔ , tangente<br />
a la circunferencia. Además, el ángulo formado entre la tangente<br />
y el radio, en el punto de intersección (E ) es recto (mide 90º).<br />
C<br />
F<br />
O<br />
E<br />
B<br />
I<br />
D
No olvides que...<br />
En una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos:<br />
• Radio: segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.<br />
• Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.<br />
• Diámetro: cuerda que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Es la cuerda<br />
de mayor longitud en la circunferencia. En toda circunferencia se tiene que la medida del<br />
diámetro corresponde al doble de la medida del radio.<br />
• Arco: parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.<br />
• Secante a una circunferencia: recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.<br />
• Tangente a una circunferencia: recta que interseca en un único punto a la circunferencia.<br />
Actividades<br />
1. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno una circunferencia de centro O y radio 3 cm.<br />
Luego, sigue las instrucciones y responde las preguntas.<br />
a) Traza un diámetro: ¿cuánto mide?<br />
b) Traza una recta secante y marca con distintos colores los arcos determinados por ella.<br />
c) Traza un radio OA y, luego, una tangente a la circunferencia que pase por A. Para esto,<br />
utiliza escuadra.<br />
d) Traza una cuerda de menor longitud que el diámetro, ¿qué sucede si son de igual longitud?<br />
2. Considera la circunferencia de centro O y completa la siguiente tabla.<br />
Cuerda(s)<br />
Diámetro(s)<br />
Radio(s)<br />
Secante(s)<br />
Tangente(s)<br />
Arco(s)<br />
3. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.<br />
Unidad 3<br />
a) Las cuerdas que contienen al centro de la circunferencia se denominan arcos.<br />
b) El diámetro de una circunferencia mide la mitad del radio.<br />
c) Toda recta secante a una circunferencia determina dos arcos.<br />
d) Toda recta tangente a una circunferencia interseca al menos en un punto a la circunferencia.<br />
e) El diámetro de una circunferencia determina dos arcos de igual medida.<br />
A<br />
C<br />
F<br />
O<br />
B<br />
D<br />
E<br />
Geometría y medición 79
En equipo<br />
80 Unidad 3<br />
Número π y su relación con la<br />
circunferencia<br />
En esta actividad deberán utilizar 1 metro y medio (aprox.) de lana, regla, compás y calculadora para<br />
medir la longitud y el diámetro de circunferencias y calcular el cociente entre dichas medidas. Formen<br />
grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.<br />
1. Dibujen en sus cuadernos circunferencias cuyos radios midan 2 cm, 3 cm, 5 cm y 10 cm.<br />
2. Pongan la lana sobre cada circunferencia, cortándola de tal modo que mida exactamente<br />
lo mismo que cada una de estas figuras.<br />
3. Después que han cortado los trozos de lana, estírenlos y mídanlos con regla, para calcular la<br />
longitud de las circunferencias.<br />
4. Completen la tabla.<br />
Ayuda<br />
Circunferencia<br />
Recuerda que el valor de la<br />
razón es el cociente entre<br />
dos cantidades.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
Medida del diámetro<br />
(cm)<br />
Para discutir<br />
Medida de la longitud<br />
(cm)<br />
Valor de la razón entre<br />
la longitud y el diámetro<br />
• ¿Cómo calculaste la medida del diámetro?, ¿y la longitud de<br />
cada circunferencia?<br />
• Los valores obtenidos en la última columna, ¿tienen algo en común?,<br />
¿por qué?<br />
• Si dibujaras otras circunferencias, con distintos radios, ¿qué valores<br />
obtendrías al calcular el cociente entre su longitud y el diámetro?,<br />
¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué?<br />
• ¿Reconoces los valores obtenidos en la última columna con algún<br />
número especial?, ¿cuál?<br />
En la actividad anterior, podemos notar que el cociente obtenido<br />
en la última columna de la actividad experimental es<br />
aproximadamente 3,14 en todos los casos. Si realizáramos el mismo<br />
experimento con circunferencias cuyo radio fuera diferente,<br />
observaríamos que dicho valor se mantiene constante. Este valor<br />
se representa con la letra griega π, y se pronuncia número pi.
No olvides que...<br />
La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un número constante que<br />
llamamos número π. Este número es decimal infinito no periódico, que truncado a sus primeras<br />
cifras es:<br />
π 3,1415926535…<br />
Actividades<br />
1. Usando calculadora, determina cuál de las siguientes expresiones corresponde a una mejor<br />
aproximación al número π.<br />
a)<br />
22<br />
7<br />
c)<br />
256<br />
81<br />
e)<br />
377<br />
120<br />
b)<br />
355<br />
113<br />
d)<br />
25<br />
8<br />
f)<br />
3927<br />
1250<br />
2. Agustín dice que para calcular la longitud de una circunferencia basta con multiplicar π por<br />
el diámetro de esta. ¿Consideras correcto lo que afirma?, ¿por qué?<br />
3. ¿Puedes obtener la longitud de una circunferencia si conoces la medida de su radio?,<br />
¿cómo lo harías?<br />
4. Utilizando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera el número π, redondeado a<br />
los centésimos (π = 3,14).<br />
Circunferencia Medida del radio (cm) Medida del diámetro (cm) Medida de la longitud (cm)<br />
1 37,68<br />
2 62,8<br />
3 31,4<br />
4 15<br />
5 10,5<br />
6 314<br />
7 6,5<br />
8 125,6<br />
Unidad 3<br />
Geometría y medición 81
F<br />
82 Unidad 3<br />
E D<br />
A<br />
O<br />
B<br />
C<br />
Longitud de la circunferencia<br />
La siguiente figura muestra un hexágono regular que está<br />
inscrito en una circunferencia. El hexágono regular está dividido<br />
en 6 triángulos equiláteros, que tienen un vértice común en el<br />
centro de la circunferencia.<br />
Para discutir<br />
• ¿Con qué elemento de la circunferencia puedes igualar los lados<br />
del hexágono?, ¿por qué?<br />
• Observa el perímetro del hexágono y la longitud de la<br />
circunferencia, ¿cuál es mayor?, ¿cómo lo supiste?<br />
• Según lo estudiado hasta ahora, ¿cómo relacionarías la longitud<br />
de la circunferencia con el diámetro y el número π?<br />
En la situación anterior, el hexágono regular inscrito en la<br />
circunferencia con centro en O se ha dividido en 6 triángulos<br />
equiláteros y cada lado de los 6 triángulos coincide con el radio<br />
de la circunferencia.<br />
Los arcos que se forman con los lados del hexágono tienen medida<br />
un poco mayor que dichos lados y, por lo tanto, es un poco mayor<br />
que el radio. Luego, si comparamos la longitud de la circunferencia,<br />
que es igual a la suma de todos los arcos; con el perímetro del<br />
hexágono, que es igual a 6 veces el radio, tenemos que:<br />
longitud de la circunferencia > perímetro del hexágono<br />
longitud de la circunferencia > 6 veces la medida del radio<br />
longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro<br />
Por otro lado, estudiamos en la actividad experimental de la página<br />
80 que el número π es igual a la razón entre la longitud de una<br />
l<br />
circunferencia (l) y su diámetro (d), es decir, π = . Entonces:<br />
d<br />
l<br />
π = / multiplicamos por d<br />
d<br />
l<br />
π • d = • d<br />
d<br />
Por lo tanto, l = π • d
Luego, si consideramos lo anterior y, además, que el diámetro es<br />
igual a 2 veces el radio (2 • r), verificamos que:<br />
longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro<br />
Actividades<br />
π • d > 3 • d<br />
π • (2 • r) > 3 • (2 • r)<br />
Por lo tanto, 2 • π • r > 2 • 3 • r<br />
Lo anterior se confirma con que π > 3.<br />
No olvides que...<br />
La longitud de una circunferencia (l ) es igual al producto de 2 por π por su radio (r ). Es decir,<br />
l = 2 • π • r<br />
1. Calcula la longitud de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r). Considera π = 3,14.<br />
7<br />
a) r = 4 cm c) r = 4,7 cm e) r = cm g) r = 1000 cm<br />
2<br />
b) r = 0,5 m d) r = 1,7 km f) r = 9 cm h) r = 10 000 cm<br />
2. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de la longitud (l ). Considera π = 3,14.<br />
a) l = 28,26 cm c) l = 1256 km e) l = 3,14 m g) l = 31,4 cm<br />
b) l = 11,304 m d) l = 6,28 cm f) l = 188,4 cm h) l = 50,24 m<br />
3. Calcula la longitud de cada circunferencia. Considera π = 3,14.<br />
a) b) c)<br />
G<br />
3 cm<br />
15 cm<br />
L<br />
5 cm<br />
K<br />
Unidad 3<br />
Geometría y medición 83
Ayuda<br />
Recuerda que la fórmula para<br />
calcular el área de un polígono<br />
regular es:<br />
perímetro • apotema<br />
2<br />
84 Unidad 3<br />
O<br />
Área del círculo<br />
Observa los siguientes polígonos regulares inscritos en<br />
una circunferencia.<br />
Para discutir<br />
• ¿Cómo son entre sí el área del círculo y el área de cada polígono<br />
regular?, ¿qué sucede con estas áreas a medida que aumenta la<br />
cantidad de lados del polígono regular?<br />
• ¿Con qué elemento del círculo relacionas la apotema?, ¿qué<br />
relación tiene con el número de lados del polígono regular?<br />
• ¿Puedes aproximar el área del círculo conociendo la medida de la<br />
apotema y de uno de sus lados?, ¿cómo?<br />
Como puedes observar en las figuras de la situación anterior,<br />
mientras más lados tenga el polígono regular, su área será una<br />
mejor aproximación al área del círculo. Por otra parte, la medida<br />
de la apotema del polígono se aproxima cada vez más al radio<br />
del círculo.<br />
Para aproximar el área del círculo, podemos calcular el área de un<br />
polígono regular inscrito en la circunferencia y, mientras más lados<br />
tenga el polígono, la aproximación será mejor. Por ejemplo, el<br />
polígono regular de la siguiente figura tiene 10 lados, si cada lado<br />
mide 2,5 cm y su apotema mide 3,85 cm, entonces:<br />
Área polígono regular = = 48,125 cm2 (10 • 2,5) • 3,85<br />
2<br />
Por lo tanto, el área del círculo se aproxima a 48,125 cm 2 .<br />
Luego, como la longitud de la circunferencia es igual a 2 • π • r , y el<br />
área del círculo (Á) se aproxima a la de un polígono regular de<br />
muchos lados, entonces:<br />
Á = = = π • r 2<br />
perímetro • apotema (2 • π • r ) • r<br />
2<br />
2
No olvides que...<br />
El área de un círculo (Á) es igual al producto de π por su radio al cuadrado (r 2 ). Es decir, Á = π • r 2<br />
Actividades<br />
1. Dados los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia, usa escuadra<br />
para dibujar la apotema, y con una regla mide uno de los lados y la apotema dibujada.<br />
Luego, aproxima el área de cada círculo.<br />
a) b) c)<br />
¿Cuál de las aproximaciones es más cercana al área del círculo correspondiente? Justifica.<br />
Unidad 3<br />
2. Observa los siguientes círculos cuyos radios miden lo mismo y los polígonos inscritos en ellos.<br />
Utilizando regla, escuadra y calculadora, completa la tabla. Considera el número π, redondeado<br />
a los centésimos (π = 3,14).<br />
Nº lados del<br />
polígono<br />
O C G<br />
Medida de la<br />
apotema (cm)<br />
Medida del<br />
radio (cm)<br />
Área polígono (cm 2 ) Área círculo (cm 2 )<br />
6 1,5 3,14 • 1,5 2 = 7,065<br />
3. Utiliza la fórmula: Área = π • r 2 , para calcular el área de los círculos de la pregunta 1 y,<br />
luego, compara los valores obtenidos con las aproximaciones. Considera π = 3,14.<br />
4. Dado un círculo cuyo radio mide 3 cm, ¿qué sucede con su área su duplicas el radio?,<br />
¿y si lo triplicas? Calcula el área en cada caso.<br />
Geometría y medición 85
Herramientas tecnológicas<br />
Usando Geogebra puedes calcular la longitud de una circunferencia y área de un círculo, entre<br />
otras cosas. Para descargar este software ingresa a: www.geogebra.at; en el menú de la<br />
izquierda selecciona Webstart-TeleInicio, luego, el botón Webstart y sigue las instrucciones.<br />
Longitud de la circunferencia y área del círculo<br />
1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes.<br />
2º En las herramientas del software, selecciona Polígono Regular . Haz dos clic en puntos<br />
distintos del plano; luego, indica la cantidad de vértices del polígono (menor que 16) y,<br />
finalmente, presiona OK; aparecerá el polígono regular.<br />
3º Selecciona Circunferencia dados Tres de sus Puntos . Haz clic en tres vértices del polígono<br />
regular; aparecerá la circunferencia circunscrita en el polígono.<br />
4º Repite los pasos 2º y 3º (en el mismo plano); pero, en este caso, el polígono debe tener 20 lados.<br />
5º Selecciona Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su perímetro.<br />
Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud.<br />
6º Selecciona Área . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su área. Luego, haz clic sobre<br />
cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo.<br />
Luego de realizar los pasos anteriores, responde.<br />
a) ¿En cuál de los casos el perímetro del polígono se aproxima más a la longitud de la<br />
circunferencia?, ¿y en el caso del área?, ¿por qué?<br />
b) Verifica en una nueva aplicación de Geogebra para otros polígonos. Compara los resultados<br />
obtenidos con tus compañeros y compañeras.<br />
Corona circular<br />
1º En una nueva aplicación de Geogebra, presiona el botón derecho y selecciona Ejes.<br />
2º En las herramientas del software, selecciona Circunferencia dado su Centro y uno de<br />
sus puntos . Haz dos clic en lugares distintos del plano; aparecerá una circunferencia.<br />
3º Usando la misma herramienta anterior, haz un clic sobre el centro de la<br />
circunferencia y, luego, un clic que esté contenido en la circunferencia (no debe<br />
pertenecer a ella), como se observa en la figura.<br />
c<br />
La parte de la superficie que hay entre ambos círculos corresponde a la<br />
d<br />
corona circular.<br />
4º Selecciona Distancia o Longitud. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá<br />
su longitud.<br />
5º Selecciona Área. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo.<br />
Luego responde: ¿cuál es el área de la corona circular?, ¿y el perímetro?, ¿cómo lo hiciste?<br />
86 Unidad 3<br />
A<br />
C<br />
B
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.<br />
1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?<br />
Unidad 3<br />
I. La circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.<br />
II. El número π se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.<br />
III. Una recta tangente es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.<br />
A. Solo I B. Solo II C. I y II D. I, II y III<br />
2. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de dos circunferencias de diámetros 18 cm y 4 cm?<br />
(Considera π = 3,14)<br />
A. 56,52 cm B. 43,96 cm C. 12,56 cm D. 87,92 cm<br />
3. El área de la corona circular es (considera π = 3,14):<br />
A. 28,26 cm 2<br />
B. 172,7 cm 2<br />
C. 69,08 cm 2<br />
D. 229,22 cm 2<br />
4. El área del cuadrado de la figura es 16 cm 2 ,<br />
¿cuál es el área del círculo inscrito?<br />
(Considera π = 3,14).<br />
5. Para una presentación de gimnasia de un colegio se necesita elaborar 15 argollas de diámetro 80 cm,<br />
¿cuántos metros de tubo plástico se debe comprar para su elaboración? (Considera π = 3,14).<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Analizar afirmaciones asociadas a la circunferencia, círculo y π. 1<br />
Calcular la longitud de circunferencias. 2<br />
Calcular el área de una corona circular. 3<br />
Resolver problemas que involucran área de círculo y longitud<br />
de circunferencia.<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
5 cm<br />
O<br />
3 cm<br />
4 y 5<br />
Geometría y medición 87
Glosario<br />
cilindro recto: cuerpo geométrico<br />
obtenido al rotar un rectángulo en<br />
torno a uno de sus lados.<br />
cono recto: cuerpo geométrico<br />
obtenido al rotar un triángulo<br />
rectángulo en torno a un cateto.<br />
88 Unidad 3<br />
Área del cilindro y cono<br />
Pedro y Lorena elaboraron<br />
las redes que se muestran a<br />
continuación, para construir<br />
dos cuerpos geométricos<br />
diferentes. Observa.<br />
Para discutir<br />
• Si armas estas redes, ¿qué cuerpos geométricos obtendrías?<br />
• Si armas las redes, ¿qué diferencias y semejanzas observas en<br />
cada cuerpo geométrico?<br />
• Si rotaras un rectángulo en torno a uno de sus lados, ¿cuál de<br />
estos cuerpos geométricos obtienes?, ¿y si rotaras un triángulo<br />
rectángulo en torno a uno de sus catetos?<br />
• ¿Es necesario conocer algunos elementos para construir cada<br />
una de las redes?, ¿cuáles?<br />
• ¿Cómo calcularías el área total de cada cuerpo geométrico?,<br />
¿puedes apoyarte en las redes?, ¿cómo lo harías?<br />
Las redes de la situación anterior se obtienen al desarmar dos<br />
cuerpos geométricos. Con la primera red es posible construir un<br />
cilindro recto y, con la segunda red, se puede construir un cono recto.<br />
Si armamos las redes para construir los cuerpos correspondientes,<br />
observamos que el cilindro y cono están compuestos por al menos<br />
una cara curva; estos cuerpos se denominan redondos. En cambio,<br />
aquellos cuerpos formados solamente por figuras geométricas planas,<br />
como la pirámide, se denominan poliedros.<br />
Un cilindro se obtiene al rotar un rectángulo de lados r y h alrededor<br />
de uno de sus lados. Los lados no paralelos al eje de giro<br />
determinan círculos llamados bases.<br />
r<br />
h
El cono se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos r y h<br />
alrededor de uno de sus catetos. El otro cateto determina un círculo<br />
llamado base.<br />
h: altura<br />
Si quieres dibujar una red para construir un cilindro recto, debes<br />
conocer el radio del círculo de la base para dibujar un rectángulo en<br />
el que el lado a de este coincide con la longitud de las<br />
circunferencias y, luego, dibujas los círculos con el radio conocido.<br />
Para calcular el área total del cilindro, sumamos el área del<br />
rectángulo y el área de las bases circulares, es decir:<br />
Á = área rectángulo + 2 • área círculo = (2 • π • r • h) + (2 • π • r 2 )<br />
h: altura<br />
a<br />
r: radio<br />
b: base<br />
cara lateral<br />
Si quieres dibujar una red para construir un cono recto, debes<br />
conocer la longitud del radio r de la base y la longitud de la<br />
generatriz g (radio del sector circular) para calcular el ángulo α<br />
del sector circular, el que se calcula con la siguiente fórmula:<br />
r • 360º<br />
α =<br />
g<br />
Con esta información, construyes una circunferencia de radio g<br />
y marcas un ángulo α en el centro, de esta forma obtienes el sector<br />
circular; luego, dibuja la circunferencia de radio r, como se observa<br />
a continuación en la figura.<br />
Para calcular el área del cono, sumamos el área de la base y el área<br />
del sector circular.<br />
Si r es el radio de la base, su área es: Á b = π • r 2<br />
g: generatriz<br />
r: radio<br />
Si g es la generatriz, el área del sector circular es: Á sc = π • r • g<br />
a<br />
h<br />
r<br />
g: generatriz<br />
Unidad 3<br />
Geometría y medición 89
Ayuda<br />
Recuerda que el área de una<br />
pirámide se obtiene al sumar<br />
el área de todas sus caras y el<br />
área de la base.<br />
No olvides que...<br />
• Si r es el radio de la base y h la altura, el área total de un cilindro está dada por:<br />
Á cilindro = (2 • π • r • h) + (2 • π • r 2 )<br />
• Si g es la generatriz y r el radio de un cono, el área total del cono está dada por:<br />
Actividades<br />
90 Unidad 3<br />
Luego, el área total del cono es:<br />
g: generatriz<br />
Á cono = (π • r 2 ) + (π • r • g)<br />
1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos (considera π = 3,14).<br />
a) c)<br />
arista de la base = 10 cm<br />
altura = 12 cm<br />
b) d)<br />
radio de la base = 6 cm<br />
generatriz = 10 cm<br />
Á = área base + área sector circular = (π • r 2 )+ (π • r • g)<br />
sector circular<br />
r: radio<br />
b: base<br />
α r<br />
g<br />
radio de base = 7 cm<br />
generatriz = 20 cm<br />
altura = 24 cm<br />
generatriz = 26 cm<br />
h
2. El ancho del rectángulo que gira mide 30 cm y su largo mide 45 cm, calcula (considera π = 3,14):<br />
a) el área de la base del cilindro que se genera.<br />
b) el área total del cilindro.<br />
3. Calcula el área lateral de un cilindro recto, cuya base es un círculo de 452,16 cm 2 de área<br />
y cuya altura es igual al diámetro de la base (considera π = 3,14).<br />
4. Calcula el área total de un cono recto donde r = 3 cm y g = 10 cm (considera π = 3,14).<br />
5. Si el radio de la base de un cono recto mide 4 cm y el ángulo del sector circular mide 60º,<br />
¿cuál es el área total del cono?<br />
6. Un recipiente tiene forma de cilindro circular recto. El área de cada base es de 1256 cm 2<br />
y la altura del cilindro mide 15 cm (considera π = 3,14).<br />
a) ¿Cuánto mide el diámetro de la base?<br />
b) ¿Cuál es el área lateral del recipiente?<br />
c) ¿Cuánto mide el área total?<br />
7. El área total de un cilindro recto es 565,2 cm 2 , su radio mide 5 cm y su generatriz mide<br />
13 cm. Si su radio aumentara en 2 cm (considera π = 3,14):<br />
a) ¿cuál es el área total del nuevo cilindro?<br />
b) ¿en cuántos cm 2 aumenta su área?<br />
8. El perímetro de la base de la pirámide recta cuya base es un polígono regular mide 36 cm,<br />
la apotema lateral mide 20 cm. Calcula:<br />
a) la apotema de la base.<br />
b) el área de la base.<br />
c) el área total.<br />
9. La longitud de la circunferencia de la base de un cilindro recto mide 62,8 cm y su altura<br />
mide 18 cm (considera π = 3,14).<br />
a) ¿Cuál es su área lateral? b) ¿Cuál es el área total del cilindro?<br />
10. El radio de un cono recto mide 5 cm y su altura mide 12 cm, calcula:<br />
a) la medida de la generatriz. b) ¿cuál es su área total?<br />
r<br />
h<br />
Unidad 3<br />
Geometría y medición 91
En equipo<br />
92 Unidad 3<br />
Volumen del cilindro y cono<br />
En esta actividad deberán utilizar cartulina, pegamento, tijeras, regla,<br />
transportador y arena para dibujar redes de cilindro y cono y, luego,<br />
con los cuerpos geométricos que construyeron y la arena, realizarán<br />
una actividad exploratoria. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.<br />
a) Dibujen sobre la cartulina dos redes, una para armar un cilindro recto y otra para un cono recto.<br />
El radio de la base del cilindro mide 6 cm y su altura mide 8 cm. El radio de la base del cono<br />
mide 6 cm y su generatriz mide 10 cm; con esta información pueden calcular el ángulo del<br />
sector circular.<br />
b) Llenen el cono con arena y, luego, vacíenla en el cilindro. Repitan este procedimiento hasta que el<br />
cilindro quede completamente lleno.<br />
Ayuda<br />
Recuerda que, cuando<br />
hablamos de volumen, nos<br />
referimos a la medida del<br />
espacio que ocupa un cuerpo.<br />
Para calcular el volumen de un<br />
prisma recto, puedes utilizar<br />
la fórmula:<br />
Volumen = área base • altura<br />
Para discutir<br />
• ¿Podrían establecer una fórmula para calcular el volumen del<br />
cilindro?, ¿cuál?<br />
• ¿Cuál es el volumen del cilindro construido?, ¿cómo lo calculaste?<br />
• ¿Cuánto mide la altura del cono?, ¿cómo la calculaste?<br />
• ¿Cuántas veces puedes vaciar la arena que contiene el cono en<br />
el cilindro?, ¿por qué?<br />
• Usando la información anterior, ¿puedes encontrar una fórmula<br />
para calcular el volumen del cono?, ¿cuál?<br />
Después de realizar la actividad anterior, se debe considerar que el<br />
área de un círculo se puede aproximar por medio del cálculo del<br />
área de polígonos regulares inscritos en una circunferencia y,<br />
además, que dicha aproximación será mejor mientras mayor sea<br />
el número de lados del polígono inscrito. Entonces, para calcular<br />
el volumen del cilindro podemos utilizar la fórmula:<br />
área base • altura<br />
Luego, el volumen del cilindro construido es (considerando π = 3,14):<br />
V = 3,14 • 6 2 • 8 = 904,32 cm 3<br />
Por otra parte, notemos que la cantidad de arena que puede<br />
contener el cilindro es exactamente 3 veces lo que puede contener<br />
el cono. Entonces, para calcular el volumen del cono, podemos<br />
dividir por 3 el volumen del cilindro calculado anteriormente.<br />
Es decir, el volumen del cono es 904,32 : 3 = 301,44 cm 3 .<br />
Notemos que ambos cuerpos redondos tienen la misma altura (8 cm).
No olvides que...<br />
• El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura. Es decir,<br />
en un cilindro de radio r y altura h, el volumen se calcula:<br />
V cilindro = área base • altura = π • r 2 • h<br />
• El volumen del cono es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura.<br />
Es decir, en un cono de radio r y altura h, el volumen se calcula:<br />
V = • área base • altura = • π • r cono 2 1<br />
1<br />
• h<br />
3<br />
3<br />
Actividades<br />
Considera π = 3,14 en cada caso.<br />
1. El radio de un cilindro mide 3,5 cm y su altura mide 10 cm, calcula su volumen.<br />
2. Considera un cilindro cuya base es un círculo de 4 cm de radio y su altura mide 11 cm.<br />
Responde las siguientes preguntas.<br />
a) ¿Cuál es su volumen?<br />
b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se duplica?, ¿y si se triplica?<br />
3. Considera un cono cuya base tiene 5 cm de radio y su altura mide 12 cm. Responde las<br />
siguientes preguntas.<br />
a) ¿Cuál es su volumen?<br />
b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su radio se duplica?, ¿y si se triplica?<br />
4. Considera un cono cuya altura mide 24 cm y su generatriz mide 26 cm. Responde las<br />
siguientes preguntas.<br />
a) ¿Cuál es su volumen?<br />
b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se reduce a la mitad?, ¿y si se reduce al tercio?<br />
5. El volumen de un cilindro es 240,21 cm 3 y el radio de su base mide 3 cm; ¿cuánto mide su altura?<br />
Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.<br />
6. El volumen de un cono es 1017,36 cm 3 y el área de su base es 254,34 cm 2 ; ¿cuánto mide<br />
su altura?, ¿y el radio de su base? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.<br />
Unidad 3<br />
Geometría y medición 93
7. Calcula el área total y volumen de los siguientes cilindros y conos rectos (considera π = 3,14).<br />
a) f)<br />
2,5 cm<br />
b) g)<br />
c) h)<br />
4 cm<br />
d) i)<br />
e) j)<br />
Herramientas tecnológicas<br />
Usando el programa Limix Geometric puedes representar gráficamente distintos cuerpos<br />
geométricos y calcular su área y volumen. Para descargar este programa ingresa a:<br />
www.limix.net. Luego, descarga Limix Geometric 1.2.16, haciendo clic sobre este link.<br />
Sigue los siguientes pasos para verificar con el software que tus resultados obtenidos en el ítem 7<br />
son correctos:<br />
a) Después de abrir el programa, selecciona figura 3D ; aparecerá una lista de cuerpos<br />
geométricos. Selecciona cilindro y cono, según corresponda.<br />
b) Luego, debes ingresar los datos solicitados, como se muestra en el ejemplo .<br />
c) Presiona Calcular y obtendrás los resultados respectivos.<br />
d) Repite los pasos anteriores en una nueva aplicación cada vez, para verificar tus resultados.<br />
94 Unidad 3<br />
10 cm<br />
2 cm<br />
8,5 cm<br />
7 cm<br />
3,6 cm<br />
7 cm<br />
16,3 cm<br />
15 cm<br />
15 cm<br />
7,6 cm<br />
15 cm<br />
7,3 cm<br />
15 cm<br />
15 cm<br />
11,2 cm<br />
9 cm<br />
4,5 cm<br />
39 cm
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. Considera π = 3,14 en todos los casos.<br />
1. ¿Cuál es el área lateral del cilindro recto cuya base es un círculo de 3,5 m de radio y su altura<br />
mide 12 m?<br />
A. 340,69 m 2 B. 76,93 m 2 C. 461,58 m 2 D. 263,76 m 2<br />
20 cm<br />
12 cm<br />
Unidad 3<br />
2. Si en un cono recto la altura mide 4 cm y su generatriz mide 5 cm, ¿cuál es su volumen si su radio<br />
se triplica?<br />
A. 1017,36 cm 3 B. 37,68 cm 3 C. 339,12 cm 3 D. 942 cm 3<br />
3. El volumen de un cono recto es 1004,8 cm 3 y su área basal es 200,96 cm 2 , ¿cuánto mide<br />
su altura?<br />
A. 15 cm B. 5 cm C. 1,7 cm D. 45 cm<br />
4. La red dibujada es la de un cono recto. Calcula:<br />
a) el área total.<br />
b) el volumen.<br />
5. En una empresa de conservas están haciendo una<br />
revisión de sus envases para modificar sus dimensiones,<br />
si fuese necesario. Los tipos de envases actuales se<br />
muestran a continuación:<br />
a) ¿Cuánto material más necesitan si la altura del envase tipo A aumenta al doble?<br />
b) ¿Cuál es la capacidad del envase tipo B, si su radio se modifica a la mitad y su altura se triplica?<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Calcular el área lateral de un cilindro recto. 1<br />
Calcular el volumen de un cono recto. 2<br />
Determinar la altura de un cono, dado el volumen y área basal. 3<br />
Resolver problemas sobre el área y volumen del cilindro y cono. 4 y 5<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
8 cm<br />
Tipo A<br />
5 cm<br />
10 cm<br />
Tipo B<br />
4 cm<br />
Geometría y medición 95
Buscando estrategias<br />
Sobre la base superior de un cilindro recto de 6 cm de radio de la base y 12 cm de<br />
altura, se construye un cono circular recto cuya altura es el triple que el cilindro y el<br />
radio es el mismo. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? (Considera π = 3,14).<br />
Comprender<br />
• ¿Qué sabes del problema?<br />
Que el cono se encuentra en la base superior del cilindro. Ambos cuerpos tienen<br />
el mismo radio y la altura del cono es el triple que la altura del cilindro.<br />
• ¿Qué debes encontrar?<br />
El volumen del cuerpo formado por el cilindro y el cono.<br />
Planificar<br />
• ¿Cómo resolver el problema?<br />
Podemos calcular el volumen del cilindro y el del cono. Luego, sumamos ambos valores<br />
obtenidos para obtener el volumen del cuerpo que se forma.<br />
Resolver<br />
• Calculamos los volúmenes de cada cuerpo redondo:<br />
El volumen del cilindro es π • 6 2 • 12 = 3,14 • 36 • 12 = 1356,48 cm 3 .<br />
El volumen del cono es = = 1356,48 cm3 .<br />
Luego, sumamos los valores obtenidos: 1356,48 + 1356,48 = 2712,96 cm3 π • 6<br />
.<br />
2 • 36 3,14 • 36 • 36<br />
3<br />
3<br />
Responder<br />
• El volumen del cuerpo formado es 2712,96 cm 3 .<br />
Revisar<br />
• Para comprobar el resultado, puedes realizar la adición algebraicamente y, luego,<br />
remplazar los datos correspondientes.<br />
El volumen del cuerpo generado, considerando que la altura del cono (h co ) es el triple de<br />
la altura del cilindro (h ci ), es decir, h co = 3 • h ci , entonces:<br />
Remplazando, 2 • 3,14 • 36 • 12 = 2712,96 cm 3<br />
96 Unidad 3<br />
π • r 2 π • r<br />
• h + =<br />
ci 2 • h 3 • π • r co<br />
3<br />
2 • h + π • r ci 2 • hco 3<br />
=<br />
3 • π • r 2 • h + π • r<br />
ci 2 • (3 • h )<br />
ci<br />
3<br />
= = 2 • π • r 2 6 • π • r<br />
• hci 2 • hci 3<br />
12 cm<br />
6 cm
Unidad 3<br />
1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones, donde los radios basales<br />
se mantienen en cada caso (considera π = 3,14).<br />
a) Sobre cada base de un cilindro recto de 8 cm de radio de la base y 15 cm de altura, se<br />
construye un cono recto, uno de altura 20 cm y el otro de altura el doble que el cilindro.<br />
¿Cuál es el volumen del cuerpo formado?<br />
b) Sobre la base de un cono recto de 6 cm de radio de la base y 10 cm de generatriz, se<br />
construye un cono recto cuya altura es la mitad del otro cono.<br />
¿Cuál es el volumen del cuerpo formado?<br />
c) Sobre la base superior de un cilindro recto de 5 cm de radio de la base y 4 cm de altura,<br />
se construye un cono recto cuya altura es el triple que el cilindro. ¿Cuál es el área total<br />
del cono?<br />
d) Dentro de un cubo de arista 6 cm, se construye una pirámide recta de base cuadrada la<br />
cual coincide con una de las caras del cubo. ¿Cuál es el área total de la pirámide recta si su<br />
altura es 6 cm?<br />
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.<br />
Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.<br />
3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el<br />
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,<br />
¿por qué?<br />
a) ¿Cuál es el volumen del cuerpo redondo que se obtiene al rotar<br />
un triángulo rectángulo de catetos 10 cm y 24 cm, alrededor<br />
del vértice que se observa en la figura?<br />
b) Si la arista del cubo mide 14 cm, ¿cuál es el volumen<br />
del espacio limitado entre la pirámide recta y el cubo?<br />
14 cm<br />
10 cm<br />
24 cm<br />
Geometría y medición 97
Conexiones<br />
Para finalizar<br />
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según<br />
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.<br />
Respetó las opiniones de los demás integrantes.<br />
Cumplió con las tareas con las que se comprometió.<br />
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.<br />
2. Comenten y respondan: para el próximo trabajo en equipo, ¿qué aspectos podrían mejorar?<br />
98 Unidad 3<br />
NACIONAL<br />
Una técnica para obtener dibujos<br />
Existe una técnica para dibujar objetos de forma sencilla y<br />
rápida; esta técnica consiste en “envolver” el objeto con alguna<br />
figura o cuerpo geométrico, la cual se denomina encaje.<br />
En nuestro alrededor existen muchos objetos que<br />
podemos encajar en cubos, cilindros, conos y esferas, o bien,<br />
por combinaciones de ellas. En la imagen podemos observar<br />
que el árbol de Navidad es, básicamente, la combinación de un<br />
cilindro y un cono.<br />
Utilizando esta técnica podemos aproximar la medida<br />
que ocupa un cuerpo en el espacio, calculando el volumen de<br />
el o los cuerpos asociados al objeto.<br />
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.<br />
Evaluamos nuestro trabajo<br />
Fuente: www.purpuraplastika.org/libros/10.pdf (consultado en noviembre de 2009,<br />
biblioteca on line Púrpura Plástica (PPK), libros para consulta).<br />
1. Si el radio del cilindro que envuelve a la base del árbol navideño mide 20 cm y su altura mide<br />
10 cm y, el radio del cono que envuelve al árbol mide 35 cm y su altura mide 1,5 m, ¿cuánto<br />
mide aproximadamente el volumen del árbol de Navidad?<br />
2. Escojan un objeto (por persona) de su entorno que se pueda encajar en un cilindro,<br />
cono o cubo, o la combinación de estos. Dibújenlo y calculen su volumen aproximado.<br />
3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la<br />
solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.<br />
4. ¿Cuál o cuáles cuerpos geométricos escogerían para dibujarse?, ¿por qué? Utilicen esta<br />
técnica para calcular el volumen de cada uno.<br />
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
Unidad 3<br />
A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales<br />
conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las<br />
relaciones que hay entre los conceptos.<br />
FIGURAS PLANAS<br />
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO<br />
PERÍMETRO<br />
MEDICIONES<br />
• ARCO<br />
• CUERDA<br />
• SECANTE<br />
• TANGENTE<br />
Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.<br />
1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.<br />
ÁREA<br />
2. ¿Qué diferencias existen entre la circunferencia y el círculo?, ¿y qué semejanzas?<br />
3. ¿Cuáles son los elementos de una circunferencia?, ¿qué características tienen?<br />
4. ¿Qué relación tiene el número π con la circunferencia? Da 3 ejemplos.<br />
5. ¿Cómo calculas la longitud de una circunferencia?, ¿qué otra forma conoces?<br />
6. ¿Cómo calculas la el área del círculo?, ¿qué otra forma conoces?<br />
7. Explica cómo calcular el área de un cono y un cilindro.<br />
CUERPOS GEOMÉTRICOS<br />
CILINDRO, CONO Y PIRÁMIDE<br />
VOLUMEN<br />
8. ¿Qué datos necesitas para calcular el volumen de un cono recto?, ¿y de un cilindro recto?<br />
9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en<br />
tu curso e intenten aclararla en conjunto.<br />
Geometría y medición 99<br />
Síntesis
¿Qué aprendí?<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Considera π = 3,14, en todos los casos.<br />
1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones<br />
son correctas?<br />
I. Toda recta secante a una circunferencia<br />
determina una cuerda.<br />
II. Toda cuerda determina dos arcos de igual<br />
medida.<br />
III. En una circunferencia, si el radio mide 6 m,<br />
entonces, su diámetro mide 12 m.<br />
A. Solo I C. I y III<br />
B. Solo II D. I, II y III<br />
2. El número π se define como:<br />
A. la razón entre la longitud de una<br />
circunferencia y su diámetro.<br />
B. la razón entre la longitud de una<br />
circunferencia y su radio.<br />
C. la razón entre el diámetro de una<br />
circunferencia y su longitud.<br />
D. la razón entre el radio de una<br />
circunferencia y su diámetro.<br />
3. Si la longitud de una circunferencia es 53,38 m,<br />
entonces, su diámetro mide:<br />
A. 8,5 m<br />
B. 26,69 m<br />
C. 6,28 m<br />
D. 17 m<br />
4. Los polígono regulares de la figura están<br />
inscritos en la circunferencia de centro O.<br />
La mejor aproximación para el área del<br />
círculo es:<br />
A. 45,4 cm 2<br />
B. 50 cm 2<br />
C. 46,8 cm 2<br />
D. 52 cm 2<br />
100 Unidad 3<br />
4,2 cm<br />
4 cm<br />
O<br />
3,6 cm<br />
2,6 cm<br />
5. Si BC = 7 cm y AC = 11 cm, entonces, el área<br />
de la corona circular es:<br />
A. 153,86 cm 2<br />
B. 329,7 cm 2<br />
C. 50,24 cm 2<br />
D. 379,94 cm 2<br />
6. En el rectángulo ABCD, AD = 5 cm, DC = 2 cm,<br />
entonces, el área total del cilindro generado al<br />
rotar el rectángulo respecto de AD es:<br />
A. 10 cm 2<br />
B. 87,92 cm 2<br />
C. 75,36 cm 2<br />
D. 157 cm 2<br />
7. ¿Cuál es el volumen del cono generado al rotar<br />
el triángulo rectángulo RST respecto de SR?<br />
A. 12,56 m 3<br />
B. 47,1 m 3<br />
C. 37,68 m 3<br />
D. 113,04 m 3<br />
8. Si el radio del cilindro recto mide 10 cm y su<br />
altura mide 24 cm, ¿cuánto mide el área total<br />
del cono recto?<br />
A. 1130,4 cm 2<br />
B. 2135,2 cm 2<br />
C. 816,4 cm 2<br />
D. 62,8 cm 2<br />
4 m<br />
A B C<br />
D C<br />
A B<br />
S<br />
R<br />
T<br />
5 m
9. Laura necesita forrar un envase cilíndrico recto cuyo radio mide 6 cm y su altura<br />
mide 21 cm. Si solo forrara su cara lateral, ¿cuánto papel necesitará?<br />
10. Tres albañiles pintarán el exterior de un estanque de almacenamiento de agua<br />
que tiene forma de cilindro, cuyas medidas son 20 m de diámetro y 15 m de altura.<br />
a) ¿Cuál es el área que pintarán?<br />
b) Si cobran $ 860 por m 2 , ¿cuánto cobrarán por el trabajo completo?<br />
11. La base de una pirámide regular es un hexágono cuyo perímetro es 60 cm, la<br />
apotema lateral mide 28 cm. Calcula el área de la base y el área total.<br />
12. Si los radios de dos circunferencias están en la razón 1 : 3 y el radio menor mide<br />
4 cm, responde:<br />
a) ¿cuál es la longitud de cada circunferencia?<br />
b) ¿cuál es el área de cada círculo?, ¿cuál es la razón entre sus áreas?<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste<br />
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué logré?<br />
1. Marca según tu apreciación.<br />
Circunferencia y círculo como lugar geométrico.<br />
Elementos de la circunferencia.<br />
Número π y su relación con la circunferencia.<br />
Longitud de la circunferencia.<br />
Área del círculo.<br />
Área del cilindro y cono.<br />
Volumen del cilindro y cono.<br />
2. Reflexiona y responde.<br />
No lo<br />
entendí<br />
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?<br />
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?<br />
c) Vuelve a la página 73 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,<br />
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.<br />
Lo<br />
entendí<br />
Unidad 3<br />
Puedo<br />
explicarlo<br />
Geometría y medición 101
102 Unidad 4<br />
4Unidad<br />
Movimientos<br />
en el plano
En esta Unidad podrás...<br />
• Efectuar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas<br />
por medio de construcciones con regla y compás.<br />
• Realizar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas<br />
por medio de un procesador geométrico.<br />
• Reconocer las invariantes que se generan al realizar transformaciones isométricas.<br />
• Construir teselaciones regulares y semirregulares.<br />
• Reconocer y argumentar respecto de las transformaciones isométricas utilizadas<br />
en teselaciones regulares y semirregulares.<br />
Conversemos de...<br />
Symmetry drawing E70, Maurits Cornelis Escher.<br />
The M.C. Escher Company.<br />
Maurits Cornelis Escher (1898-1972), artista holandés, es uno de los artistas<br />
gráficos más grandes del siglo XX. Sus trabajos han sido del interés de muchos<br />
matemáticos, porque utiliza patrones de figuras que cubren una superficie<br />
plana sin superponer las figuras ni dejar espacios libres entre ellas.<br />
Escher trabaja principalmente con figuras obtenidas a partir de cuadriláteros<br />
y triángulos, las que modifica para crear un patrón que, al repetirlo, encaja con<br />
los demás, embaldosando una superficie plana.<br />
La imagen corresponde a una de las obras de Escher. Observa y responde.<br />
1. ¿Observas alguna regularidad o patrón?, ¿cuál?<br />
2. ¿Qué figuras observas en la imagen?, ¿se repite alguna?, ¿cuál? Comenta con tus<br />
compañeros y compañeras de qué manera se va repitiendo la imagen.<br />
3. ¿Te imaginas esta imagen girando alrededor de un punto?, ¿de cuál?<br />
Movimientos en el plano 103
¿Cuánto sabes?<br />
104 Unidad 4<br />
1. Calcula las medidas de los ángulos x e y. En cada caso L 1 // L 2 .<br />
a) b)<br />
x<br />
y<br />
72º<br />
L 1<br />
L 2<br />
140º<br />
x<br />
2. Completa la siguiente tabla. Utiliza regla y transportador para efectuar las<br />
mediciones de lados y ángulos, respectivamente.<br />
R<br />
γ<br />
Figura Nombre<br />
α<br />
M<br />
J<br />
δ γ<br />
α β<br />
G<br />
H<br />
E ε<br />
ω<br />
F<br />
D<br />
δ<br />
α<br />
A<br />
β<br />
γ C<br />
β<br />
B<br />
3. Sigue las siguientes instrucciones. Usa regla y compás para realizar<br />
las construcciones en tu cuaderno.<br />
a) Copia los segmentos y el ángulo que aparecen a continuación<br />
para construir un triángulo.<br />
b) Construye la circunferencia circunscrita al triángulo.<br />
α<br />
N<br />
I<br />
• ¿Cómo lo hiciste?, ¿cuál es el centro de la circunferencia inscrita<br />
al triángulo?<br />
a<br />
y<br />
L 1<br />
Medida<br />
de ángulos<br />
β<br />
L 2<br />
Medida<br />
de lados
4. Copia la siguiente recta L en tu cuaderno y construye usando regla y compás:<br />
a) una recta paralela a la recta L. b) una recta perpendicular a la recta L.<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.<br />
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve<br />
correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué debes recordar?<br />
• Dos rectas son paralelas, cuando no se intersecan en ningún punto o son coincidentes.<br />
• Dos rectas son secantes, cuando se cortan en un único punto.<br />
• Dos rectas son perpendiculares, cuando al intersecarse forman 4 ángulos rectos.<br />
• Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados,<br />
•<br />
que tienen un origen común, llamado vértice.<br />
Un ángulo como el de la figura se puede nombrar utilizando la<br />
A<br />
notación BOA, siendo O el vértice del ángulo. La medida de O<br />
α<br />
este ángulo es α.<br />
B<br />
Unidad 4<br />
• Los ángulos se pueden clasificar según sus medidas en: agudo (mide más de 0º y menos<br />
de 90º), recto (mide 90º), obtuso (mide más de 90º y menos de 180º), extendido (mide 180º)<br />
y completo (mide 360º).<br />
• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90º, y suplementarios<br />
si la suma de sus medidas es igual a 180º.<br />
• Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos<br />
consecutivos no alineados, llamados lados.<br />
D C<br />
γ´ γ<br />
δ δ´<br />
α´ α<br />
β β´<br />
A B<br />
En el polígono ABCD:<br />
α, β,δ, y γ son ángulos interiores.<br />
α´, β´,δ´, y γ´ son ángulos exteriores.<br />
• Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados en: triángulos (3 lados),<br />
cuadriláteros (4 lados), pentágonos (5 lados), hexágonos (6 lados), etc.<br />
• Si un polígono tiene todos sus lados de igual medida y todos sus ángulos son congruentes,<br />
se llama polígono regular.<br />
• Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores que 180º.<br />
• La suma de todos los ángulos interiores de un polígono de n lados se puede calcular con la<br />
siguiente fórmula: (n – 2) • 180º.<br />
• La suma de todos los ángulos exteriores de un polígono convexo es 360º.<br />
L<br />
Movimientos en el plano 105
Glosario<br />
isometría: La palabra isometría<br />
es de origen griego y significa<br />
“igual medida” (iso = igual<br />
o mismo, metría = medir).<br />
106 Unidad 4<br />
Transformaciones de figuras y objetos<br />
A partir de la figura 1 y 3 se obtuvieron las figuras 2 y 4,<br />
respectivamente. Obsérvalas.<br />
Figura 1 Figura 2<br />
Para discutir<br />
Figura 3<br />
Figura 4<br />
• ¿Qué cambió en la figura 1 para obtener la figura 2?, ¿cómo<br />
lo supiste?<br />
• ¿Qué cambió en la figura 3 para obtener la figura 4?, ¿cómo<br />
lo supiste?<br />
• ¿Podrías decir que los cambios corresponden a transformaciones<br />
en cada caso?, ¿por qué?, ¿de qué tipo?<br />
• ¿Qué sucede con las medidas de los lados y ángulos en cada caso?<br />
Comúnmente utilizamos la palabra transformación para referirnos<br />
a algún cambio, ya sea en el tamaño, en la forma o en la posición<br />
de un objeto o un cuerpo. En matemática, hablamos de una<br />
transformación cuando un conjunto de puntos se ha movido<br />
siguiendo una regla o condición dada.<br />
Como puedes observar, para obtener la figura 2 a partir de la figura<br />
1, fue necesario aplicar una transformación. En este caso, cambió su<br />
posición, pero no su tamaño ni su forma, pues las medidas de sus<br />
lados y ángulos son iguales (congruentes). Esta transformación se<br />
denomina reflexión y corresponde a una transformación isométrica<br />
porque los puntos de la figura 1 se han movido de manera tal que<br />
se conservan todas sus medidas.<br />
Observa que también se aplicó una transformación a la figura 3<br />
para obtener la figura 4; sin embargo, no corresponde a una<br />
transformación isométrica, porque cambia el tamaño de la figura,<br />
aunque no su forma. En este caso, las medidas de los lados de la<br />
figura 4 son el doble de los de la figura 3 y las medidas de los<br />
ángulos correspondientes son las mismas.
No olvides que...<br />
• Cuando se aplica una transformación a una figura u objeto,<br />
modificando su posición, sin alterar su tamaño ni su forma,<br />
se habla de que se le ha aplicado una transformación isométrica.<br />
• Al aplicar una transformación isométrica a una figura, se<br />
obtiene otra figura, que se denomina imagen de la figura<br />
inicial. En general, usaremos la misma letra con un apóstrofo<br />
para señalar el vértice obtenido luego de una transformación.<br />
Por ejemplo: El Δ A´B´C´ es la imagen del Δ ABC<br />
Actividades<br />
1. Observa las imágenes de cada recuadro y, luego, responde.<br />
• ¿Podrías decir que corresponden a transformaciones isométricas?, ¿por qué?<br />
2. En cada caso, determina si las siguientes figuras pueden obtenerse a partir de la aplicación de<br />
una transformación isométrica. Justifica.<br />
a) c)<br />
b) d)<br />
Figura inicial Imagen<br />
A<br />
A´<br />
C<br />
Unidad 4<br />
C´<br />
B<br />
B´<br />
A y A´; B y B´; C y C´ son vértices<br />
correspondientes entre sí.<br />
Movimientos en el plano 107
D<br />
A<br />
Ayuda<br />
Para realizar la construcción<br />
geométrica de una recta<br />
paralela a una recta L que<br />
pasa por un punto D, exterior<br />
a L, podemos dibujar una<br />
circunferencia con centro en<br />
cualquier punto de la recta<br />
L que contenga a D.<br />
Luego, llamamos F y G a los<br />
puntos de intersección entre<br />
L y la circunferencia. Con el<br />
compás, medimos el trazo FD<br />
y, luego, dibujamos un arco<br />
con centro en G y radio FD<br />
que interseque a la<br />
circunferencia, determinando<br />
el punto J. Finalmente, se une<br />
D con J, obteniendo la recta<br />
DJ, paralela a la recta L.<br />
Figura 1<br />
D<br />
A<br />
E<br />
C<br />
B<br />
108 Unidad 4<br />
C<br />
B<br />
D´<br />
A´<br />
F<br />
C´<br />
B´<br />
Traslaciones de figuras planas<br />
Observa el cuadrilátero A´B´C´D´ que se obtuvo al aplicar una<br />
transformación isométrica al cuadrilátero ABCD.<br />
Para discutir<br />
• ¿Cómo describirías la transformación isométrica que se le aplicó?,<br />
¿qué cambió?, ¿y qué se mantuvo?<br />
• ¿Cuánto miden los lados y ángulos correspondientes en<br />
las figuras?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?<br />
• Si unes los vértices correspondientes (A con A´, B con B´, etc.)<br />
con una línea y, luego, las mides, ¿cómo son entre sí?, ¿qué otra<br />
característica observas?<br />
• Si tuvieras solo la figura inicial y la flecha que representa el<br />
movimiento de A hasta A´, ¿cómo podrías obtener la imagen<br />
usando regla y compás?<br />
En la situación presentada, cada uno de los puntos de la figura<br />
inicial (ABCD) se desplazó en la misma magnitud, dirección<br />
y sentido para obtener su imagen (A´B´C´D´), además, al medir<br />
los lados y ángulos correspondientes de ambas figuras, podrás<br />
constatar que dichas medidas se mantienen; esto ocurre cuando<br />
la transformación isométrica que se aplica a la figura inicial<br />
corresponde a una traslación.<br />
Para representar gráficamente el movimiento realizado,<br />
podemos utilizar una flecha, que se llama vector de traslación.<br />
En las figuras presentadas, al unir sus vértices correspondientes,<br />
obtenemos los vectores de traslación que miden lo mismo,<br />
tienen el mismo sentido y son paralelos entre sí.<br />
Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás, la<br />
traslación de una figura dada conociendo el vector de traslación (EF → ).<br />
1º Realizamos la construcción geométrica de rectas paralelas al<br />
vector dado que pasen por cada vértice (A, B, C y D). En este<br />
caso, tenemos que construir 4 rectas paralelas al vector EF,<br />
como se observa en la figura 1.
2º Copiamos la medida del vector en cada recta construida,<br />
a partir del vértice en el sentido que indica el vector. De este<br />
modo, obtenemos los vértices de la imagen, como se observa<br />
en la figura 2.<br />
3º Unimos los vértices de la imagen, determinando el cuadrilátero<br />
trasladado, según el vector dado, como se observa en la figura 3.<br />
No olvides que...<br />
Actividades<br />
1. Construye un triángulo isósceles en tu cuaderno y dibuja un vector con la magnitud, dirección<br />
y sentido que tú quieras. Luego, usando regla y compás, trasládalo según el vector.<br />
2. Usando regla y compás, traslada el ΔABC<br />
según el vector DT y, luego, a la imagen<br />
obtenida, trasládala según el vector FK.<br />
Unidad 4<br />
Una traslación es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una figura<br />
en una misma magnitud, dirección y sentido.<br />
3. ¿Podrías trasladar el ΔABC del ítem anterior, según un solo vector, obteniendo la segunda imagen?,<br />
¿cuál es el vector?, ¿cómo lo construirías manteniendo la magnitud, dirección y sentido?<br />
Construye la traslación en tu cuaderno, usando regla y compás.<br />
D<br />
A<br />
B<br />
T<br />
C<br />
Figura 2<br />
D<br />
A<br />
D<br />
A<br />
E<br />
Figura 3<br />
E<br />
B<br />
C<br />
B<br />
C<br />
F<br />
D´<br />
A´<br />
D´<br />
A´<br />
C´<br />
B´<br />
Movimientos en el plano 109<br />
F<br />
F<br />
K<br />
C´<br />
B´
Ayuda<br />
Recuerda que, la simetral o<br />
mediatriz de un segmento es<br />
una recta perpendicular al<br />
segmento que pasa por el<br />
punto medio del segmento.<br />
Todos los puntos de una<br />
simetral están a igual distancia<br />
de los extremos del segmento.<br />
Figura 1<br />
A<br />
C<br />
B<br />
110 Unidad 4<br />
L<br />
E D<br />
P<br />
Q<br />
Reflexiones de figuras planas<br />
Observa la figura inicial y su<br />
imagen obtenida al aplicarle<br />
una transformación isométrica.<br />
Para discutir<br />
L<br />
A A´<br />
C<br />
E D D´ E´<br />
B B´<br />
• ¿Qué ocurriría con las figuras si doblaras la hoja por la recta L?<br />
• Si se le aplicó una transformación isométrica a la figura inicial,<br />
¿qué se mantiene?, ¿y qué cambia?<br />
• Une con una línea recta los puntos correspondientes (A con A´,<br />
B con B´, etc.). ¿Cómo son estas líneas en relación a la recta L?<br />
• Mide la distancia entre el punto A y la recta y, luego, la distancia<br />
entre el punto A´ y la recta. ¿Cómo son entre sí?<br />
• Haz lo mismo con las medidas de los demás puntos.<br />
¿Se cumple siempre?<br />
En la situación anterior, el pentágono A´B´C´D´E´ es la imagen del<br />
pentágono ABCDE. Si dobláramos la hoja por la recta L, los vértices<br />
y lados de la figura inicial coinciden con los de la imagen. Además,<br />
al unir cada par de puntos correspondientes, podrás verificar que<br />
la recta L es perpendicular a estos trazos (AA´ ⊥ L, BB´ ⊥ L, etc.)<br />
y que los vértices correspondientes se ubican a igual distancia de la<br />
recta L. Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicada<br />
se llama reflexión.<br />
En esta transformación isométrica, todos los puntos se reflejan<br />
respecto de una línea recta, llamada eje de simetría, ubicándose<br />
a la misma distancia del eje, pero al lado contrario. En el ejemplo<br />
anterior, el eje de simetría es la recta L.<br />
Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás la<br />
reflexión de una figura dada respecto de un eje de simetría (recta L).<br />
1º Dibujamos un arco con centro en uno de los vértices (D) de la<br />
figura inicial que interseque al eje de simetría en dos puntos,<br />
que denominaremos P y Q, como se observa en la figura 1.<br />
C´
2º Con centro en P y el mismo radio anterior dibujamos una<br />
circunferencia y con centro en Q dibujamos otra circunferencia<br />
con el mismo radio. El vértice D y su imagen D´corresponden a la<br />
intersección de las circunferencias con centros P y Q; como se<br />
observa en la figura 2.<br />
La recta DD´ corresponde a la simetral del trazo PQ.<br />
3º Finalmente, realizamos la misma construcción para cada<br />
vértice de la figura inicial; de este modo, obtenemos la<br />
imagen de cada vértice, los cuales unimos determinando<br />
la imagen, como se observa en la figura 3.<br />
No olvides que...<br />
Actividades<br />
Unidad 4<br />
Una reflexión es una transformación isométrica en la cual a cada punto de una figura se le asocia<br />
otro punto, llamado imagen, de modo que:<br />
• El punto y su imagen están a igual distancia del eje de simetría.<br />
• El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría.<br />
1. Construye un cuadrilátero en tu cuaderno y dibuja una recta que no interseque al cuadrilátero.<br />
Luego, usando regla y compás, aplícale una reflexión con respecto a la recta.<br />
2. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo<br />
isósceles MNR (de base MN) respecto de la recta MN.<br />
3. ¿Qué tipo de cuadrilátero se formó al reflejar el Δ MNR del ítem anterior respecto de la<br />
recta MN?, ¿por qué?, ¿qué otro triángulo podrías reflejar para obtener el cuadrilátero?<br />
A<br />
C<br />
B<br />
Figura 2<br />
L<br />
P<br />
E D D´<br />
A<br />
L<br />
Figura 3<br />
A´<br />
C<br />
E D D´ E´<br />
B B´<br />
M<br />
R<br />
N<br />
Q<br />
C´<br />
Movimientos en el plano 111
Ayuda<br />
Recuerda que, para copiar un<br />
ángulo AOB dado, copiamos<br />
el trazo OB sobre una recta L.<br />
Con centro en O, dibujar una<br />
circunferencia con radio OA.<br />
Luego, con centro en B,<br />
dibujar una circunferencia con<br />
radio AB. La intersección de<br />
ambas circunferencias<br />
determina el punto A.<br />
Finalmente, unir O con A para<br />
obtener el ángulo requerido.<br />
Figura 1<br />
A<br />
B<br />
Figura 2<br />
A<br />
B<br />
112 Unidad 4<br />
C<br />
C<br />
C´<br />
O<br />
β<br />
O<br />
I<br />
I<br />
β<br />
β<br />
J<br />
J<br />
K<br />
K<br />
Rotaciones de figuras planas<br />
A la siguiente pieza de un rompecabezas, se le aplicó la misma<br />
transformación isométrica 2 veces. Observa lo que se obtuvo<br />
cada vez.<br />
Para discutir<br />
• ¿Cómo describirías cada movimiento de la pieza?, ¿por qué?<br />
• Según los movimientos realizados por la figura, ¿cuántas veces<br />
debes aplicar la misma transformación isométrica para que quede<br />
como la figura del principio?, ¿cómo lo supiste?<br />
• ¿Existe algún punto de esta pieza que quede siempre fijo al realizar<br />
los movimientos anteriores?, ¿cuál?<br />
Si observas los movimientos de la pieza de rompecabezas de la<br />
situación anterior, en el siguiente movimiento, la pieza volverá a su<br />
posición inicial, siempre y cuando el movimiento realizado sea igual<br />
a los anteriores. En esta transformación, todos los puntos de la<br />
figura se mueven en torno a un punto fijo, llamado centro de<br />
rotación, en un ángulo determinado, que es el ángulo de rotación.<br />
Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicada se<br />
llama rotación.<br />
El centro de rotación puede estar dentro o fuera de la figura.<br />
El ángulo de rotación puede tener sentido positivo (en sentido<br />
contrario a los punteros del reloj) o negativo (en el sentido de los<br />
punteros del reloj).<br />
En el ejemplo anterior, el centro de rotación está dentro de la<br />
figura y el ángulo de rotación es de 90º cada vez que rota (en<br />
sentido positivo).<br />
Observa ahora cómo realizar, con regla y compás, la rotación<br />
del Δ ABC respecto del centro O y en un ángulo de rotación β = 75º<br />
(en sentido positivo), como se observa en la figura 1<br />
1º Dibujamos una circunferencia con centro O y radio OC<br />
y copiamos el ángulo β (o usamos transportador) en sentido<br />
positivo, respecto al radio OC y con vértice O. Marcar la imagen<br />
C´ en la circunferencia, como se observa en la figura 2.
2º Repetimos el mismo procedimiento para los demás vértices y,<br />
luego, unimos los puntos, obteniendo la imagen del triángulo,<br />
como se observa en la figura 3.<br />
No olvides que...<br />
Una rotación es una transformación isométrica, en la cual todos los puntos se mueven<br />
respecto a un punto fijo llamado centro de rotación, en un determinado ángulo, llamado<br />
ángulo de rotación.<br />
Actividades<br />
1. Construye un triángulo escaleno en tu cuaderno. Luego, usando regla y compás, rótalo<br />
respecto de uno de sus vértices en un ángulo que tú escojas.<br />
2. Usando regla y compás (si es<br />
necesario transportador),<br />
aplícale una rotación al<br />
ΔPQR en torno al punto O<br />
en el ángulo α = 70º y,<br />
luego, a la imagen obtenida<br />
aplícale otra rotación<br />
respecto del mismo punto O<br />
en el ángulo β = 110º.<br />
Q<br />
Unidad 4<br />
3. En el ítem anterior, ¿puedes obtener la imagen final mediante una sola rotación de la figura inicial<br />
respecto del punto O?, ¿cómo? Realiza la rotación en tu cuaderno utilizando regla, compás<br />
y transportador.<br />
P<br />
R<br />
O<br />
E<br />
α<br />
A<br />
F<br />
B<br />
D<br />
A’<br />
B<br />
β<br />
C<br />
C’<br />
B’<br />
C<br />
O<br />
A<br />
Figura 3<br />
J<br />
Movimientos en el plano 113<br />
I<br />
β<br />
K
Herramientas tecnológicas<br />
Traslaciones, reflexiones y rotaciones usando software geométrico<br />
Usando el programa Geogebra puedes construir transformaciones isométricas, siguiendo los<br />
pasos que se dan a continuación. Para descargar este programa ingresa a: www.geogebra.at y<br />
en el menú de la izquierda, selecciona Webstart-TeleInicio y, luego, el botón Webstart.<br />
Traslación de un triángulo<br />
1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho y<br />
selecciona Cuadrícula.<br />
2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un<br />
triángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vértice<br />
del primer clic del triángulo.<br />
3º Selecciona la herramienta Vector entre Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic en<br />
distintos puntos para dibujar el vector de traslación, con la magnitud y sentido que quieras.<br />
4º Selecciona la herramienta Traslada objeto por un Vector . Haz clic sobre el triángulo y<br />
luego, sobre el vector; aparecerá el triángulo trasladado.<br />
5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada uno de los triángulos.<br />
6º Selecciona la herramienta Área . Haz clic sobre cada uno de los triángulos.<br />
Luego de realizar los pasos anteriores, responde:<br />
a) ¿Cuánto mide el perímetro y área de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?<br />
b) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier traslación de figuras?, ¿cómo lo supiste?<br />
c) En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea un triángulo), realiza<br />
los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a y b.<br />
Reflexión de un cuadrilátero<br />
1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente<br />
el botón derecho y selecciona Cuadrícula.<br />
2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja<br />
un cuadrilátero haciendo cuatro clic en distintos puntos, el quinto clic lo debes hacer sobre el<br />
vértice del primer clic del cuadrilátero.<br />
3º Selecciona la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic<br />
en distintos puntos para dibujar el eje de simetría.<br />
4º Selecciona la herramienta Refleja objeto en recta . Haz clic sobre el cuadrilátero y,<br />
luego, sobre la recta, aparecerá la imagen.<br />
5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada lado de la figura<br />
inicial y, luego, sobre cada lado de la imagen; aparecerán las medidas de todos los lados.<br />
114 Unidad 4
Luego de realizar los pasos anteriores, responde:<br />
Unidad 4<br />
a) ¿Cuánto mide cada lado de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?<br />
b) Calcula el perímetro y área de ambas figuras, usando las herramientas del software.<br />
c) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier polígono que apliques una reflexión?, ¿cómo lo supiste?<br />
d) En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea cuadrilátero), realiza<br />
los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a, b y c.<br />
Rotación de un triángulo<br />
1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el<br />
botón derecho y seleccionar Cuadrícula.<br />
2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un<br />
triángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vértice<br />
del primer clic del triángulo.<br />
3º Selecciona la herramienta Nuevo Punto . Haz clic en cualquier parte de la cuadrícula<br />
para dibujar el centro de rotación.<br />
4º Selecciona la herramienta Rota Objeto en torno a un Punto,<br />
el Ángulo indicado . Haz clic sobre el triángulo y,<br />
luego, sobre el centro de rotación. Aparecerá una tabla<br />
en la cual debes ingresar el ángulo de rotación, puede<br />
ser 70º (o el que tú quieras). Para escribir el símbolo º,<br />
selecciónalo en las opciones que aparecen en la tabla que se muestra en la figura. Una vez<br />
ingresado el ángulo de rotación, presiona OK; aparecerá la imagen rotada en sentido positivo.<br />
5º Selecciona la herramienta Ángulo . Haz clic sobre cada vértice<br />
correspondiente al ángulo interior que deseas medir del triángulo<br />
de la figura inicial, en sentido antihorario; aparecerán las medidas<br />
de los ángulos interiores del triángulo como se muestra en la<br />
figura. Luego, repite el mismo procedimiento para medir los<br />
ángulos interiores de la imagen.<br />
Luego de realizar los pasos anteriores, responde:<br />
a) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?<br />
b) Calcula el perímetro, área y medidas de cada lado de ambas figuras, usando las herramientas<br />
del software, ¿qué observas?<br />
c) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier transformación isométrica?, ¿por qué?<br />
C<br />
b<br />
A<br />
B<br />
a<br />
α = 36.51º<br />
γ = 57.95º<br />
c<br />
β = 85.54º<br />
Movimientos en el plano 115
En equipo<br />
En esta actividad deberán usar el software Geogebra. Formen grupos de tres integrantes y sigan<br />
las instrucciones.<br />
1. Presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botón derecho<br />
y seleccionen Cuadrícula.<br />
2. En las herramientas del software, seleccionen Polígono . Dibujen un triángulo escaleno<br />
obtusángulo haciendo tres clic en distintos puntos, luego, hagan un clic sobre el vértice del primer<br />
clic del triángulo.<br />
3. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, hagan dos clic<br />
en distintos puntos para dibujar el eje de simetría.<br />
4. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta . Hagan clic sobre el triángulo y, luego,<br />
sobre la recta; aparecerá la imagen.<br />
5. Seleccionen la herramienta Recta Paralela . En la cuadrícula, hacer un clic por donde deseen<br />
que pase la recta paralela al eje de simetría y, luego, hagan clic sobre dicho eje; aparecerá la recta<br />
paralela al eje de simetría.<br />
6. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenida<br />
anteriormente según la segunda recta dibujada; aparecerá la imagen de la primera imagen.<br />
7. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica es<br />
equivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquen<br />
sus respuestas utilizando el software.<br />
8. En una hoja nueva, presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botón<br />
derecho y seleccionen Cuadrícula.<br />
9. En las herramientas del software, seleccionen Polígono . Luego, dibujen el polígono que<br />
ustedes quieran.<br />
10. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y hagan una recta vertical.<br />
11. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen el polígono respecto de la recta.<br />
12. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y hagan una recta horizontal,<br />
perpendicular a la otra recta como se observa en la figura 1.<br />
13. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenida respecto<br />
de la recta horizontal.<br />
14. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica<br />
es equivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquen<br />
sus respuestas utilizando el software.<br />
116 Unidad 4<br />
C´<br />
b´<br />
G<br />
B´<br />
c´<br />
D´<br />
H<br />
d´<br />
a´<br />
A´<br />
A<br />
F<br />
a<br />
d<br />
D<br />
c<br />
B<br />
b<br />
C<br />
Figura 1
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.<br />
1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una traslación según un determinado vector?<br />
A. B. C. D.<br />
2. ¿En cuál de los siguientes casos se representa mejor una reflexión según la recta dada?<br />
A. B. C. D.<br />
Unidad 54<br />
3. Al aplicar una rotación a una figura con el centro de rotación en uno de los vértices de ella, siempre<br />
se cumple que:<br />
A. un punto de la figura queda fijo.<br />
B. ningún punto de la figura queda fijo.<br />
C. todos los puntos de la figura cambian de posición.<br />
D. los vértices de la figura no cambian de posición.<br />
4. Construye en tu cuaderno un triángulo (ΔMNT ), además, dibuja un vector<br />
(DE → ) y una recta (L), como se observa en la figura. Luego, usando regla y<br />
compás, aplica una traslación al triángulo, según el vector. A la imagen<br />
obtenida, aplícale una reflexión según la recta. A esta última imagen, rotar con<br />
centro de rotación en uno de sus vértices y en un ángulo de rotación de 100º.<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Identificar una traslación según un vector. 1<br />
Identificar una reflexión según una recta dada. 2<br />
Analizar expresiones asociadas a la rotación de una figura. 3<br />
Realizar transformaciones isométricas usando regla y compás. 4<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
M<br />
Movimientos en el plano 117<br />
T<br />
N E<br />
D<br />
L
Glosario<br />
mosaico: corresponde a una obra<br />
realizada con fracciones diversas<br />
empleando materiales como rocas,<br />
vidrios o madera. Diversas culturas<br />
han decorado paredes o han<br />
pavimentado pisos incursionando<br />
en este arte.<br />
118 Unidad 4<br />
Teselaciones<br />
Observa el siguiente diseño.<br />
Para discutir<br />
• ¿Qué características observas en el diseño anterior?, ¿qué tipo<br />
de polígono se repite?, ¿es posible realizar un diseño similar con<br />
cuadrados?, ¿y con círculos?<br />
• ¿Puedes cubrir una superficie plana con otros polígonos?,<br />
¿cuáles?, ¿cómo lo harías?, ¿qué condiciones se deben cumplir?<br />
• ¿Es posible que queden espacios al cubrir una superficie plana<br />
muy grande con el diseño anterior?, ¿por qué?<br />
• ¿Se utilizaron transformaciones isométricas para realizar el<br />
diseño anterior?, ¿cuáles?<br />
El polígono que se repite en el diseño anterior es un triángulo<br />
equilátero, el cual puede cubrir o pavimentar una superficie plana<br />
de modo que no queden espacios y no se sobrepongan las figuras.<br />
Esta regularidad de las figuras se llama teselación, técnica utilizada<br />
por diversas culturas para pavimentar o formar un mosaico.<br />
Las teselaciones se construyen realizando traslaciones, reflexiones<br />
o rotaciones sobre una figura inicial. En el diseño anterior, para cubrir<br />
la superficie, se pueden aplicar sucesivas traslaciones, según el mismo<br />
vector, como se observa a continuación:<br />
Figura inicial<br />
Luego, a cada triángulo obtenido se puede reflejar con respecto al<br />
lado de la base, es decir:<br />
Los triángulos obtenidos se pueden trasladar con vectores de igual<br />
magnitud, y sentido contrario. De este modo, la imagen de cada<br />
triángulo, será la pintada del mismo color, como se observa:<br />
Aplicando estas transformaciones se obtiene el diseño inicial.
Así, se deben seguir aplicando transformaciones isométricas para<br />
cubrir completamente una superficie plana.<br />
Si observas la teselación anterior, los ángulos que concurren a un<br />
vértice suman 360º, pues concurren 6 ángulos que miden<br />
60º cada uno.<br />
No olvides que...<br />
• Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta<br />
completamente una superficie plana y que cumple con dos requisitos: que no queden<br />
espacios y que no se sobrepongan o traslapen las figuras.<br />
Unidad 4<br />
• Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una o varias figuras iniciales.<br />
• Para construir una teselación, se debe considerar que la suma de los ángulos de las figuras<br />
que concurren a un vértice es 360º.<br />
Actividades<br />
1. Señala si los siguientes diseños pueden ser parte de una teselación. Explica tu decisión.<br />
a) b) c) d)<br />
2. Indica con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano. Justifica tu respuesta.<br />
a) b) c) d)<br />
3. Construye teselaciones en tu cuaderno, a partir de las figuras seleccionadas del ítem anterior.<br />
Indica las transformaciones isométricas que utilizaste para teselar.<br />
Movimientos en el plano 119
Ayuda<br />
Recuerda que un polígono<br />
regular tiene todos sus lados<br />
de igual medida y todos sus<br />
ángulos son congruentes.<br />
Cada ángulo interior de un<br />
polígono regular de n lados<br />
está dado por:<br />
(n – 2) • 180<br />
n<br />
No olvides que...<br />
120 Unidad 4<br />
Teselaciones regulares y semirregulares<br />
Observa las siguientes teselaciones.<br />
Para discutir<br />
• ¿Qué diferencias observas en cada teselación?, ¿qué semejanzas?<br />
• ¿Qué polígonos se utilizaron para construir cada teselación?,<br />
¿son polígonos regulares?<br />
• ¿Con qué polígono regular es posible construir teselaciones?,<br />
¿cómo lo supiste?<br />
• ¿Es posible construir teselaciones combinando otros polígonos<br />
regulares?, ¿cuáles?<br />
En las teselaciones anteriores puedes observar que ambas están<br />
construidas con polígonos regulares. La primera está construida<br />
usando solo un polígono regular (hexágono), por lo que se llama<br />
teselación regular. La segunda, en cambio, se construyó usando<br />
combinaciones de polígonos regulares (hexágono y triángulo<br />
equilátero), por lo que se llama teselación semirregular.<br />
En una teselación, la suma de los ángulos que concurren a un<br />
vértice es 360º. En las teselaciones anteriores, podemos verificarlo:<br />
120º<br />
120º 120º<br />
120º<br />
60º<br />
120º 60º<br />
• Una teselación es regular cuando se construye usando solo un polígono regular.<br />
• Una teselación es semirregular cuando se construye usando combinaciones de polígonos<br />
regulares. Llamaremos base a la combinación de polígonos que generan dicha teselación.
Actividades<br />
1. Si las bases en las teselaciones de la página anterior, son las que están pintadas, indica las<br />
transformaciones isométricas involucradas en cada una de ellas.<br />
a) b)<br />
Unidad 4<br />
2. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un cuadrado y, a partir de esta figura, construye<br />
una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas.<br />
3. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 3 cm por lado y, a partir de<br />
esta figura, construye una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas.<br />
4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular para cada caso y,<br />
luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con cada combinación<br />
de polígonos regulares. Indica las transformaciones isométricas involucradas.<br />
a) b)<br />
5. Responde las siguientes preguntas.<br />
a) ¿Es posible construir teselaciones con pentágonos regulares?, ¿y con heptágonos?,<br />
¿por qué?<br />
b) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con pentágonos regulares y triángulos<br />
equiláteros?, ¿cómo?<br />
c) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con dodecágonos regulares y triángulos<br />
equiláteros?, ¿cómo?<br />
Movimientos en el plano 121
En equipo<br />
En esta actividad deberán utilizar un trozo de cartón piedra de 40 cm por 30 cm, pegamento, tijeras,<br />
papeles de colores, regla y compás. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones.<br />
1. Algunas teselaciones se pueden obtener realizando algunas transformaciones sobre una<br />
figura. Observa.<br />
2. Escojan alguna de las teselaciones anteriores o construyan otra usando la misma técnica<br />
(para triángulo equilátero o cuadrado), para teselar sobre el cartón utilizando los papeles<br />
de colores.<br />
3. Identifiquen y describan las transformaciones isométricas involucradas en su teselación.<br />
4. Expongan al resto del curso el trabajo realizado y expliquen acerca de las transformaciones<br />
isométricas utilizadas.<br />
Herramientas tecnológicas<br />
M. C. Escher es un artista clave en el tema de las teselaciones. Legó gran cantidad de obras de<br />
arte en las cuales se observa la aplicación de teselaciones.<br />
En la página que se sugiere a continuación, podrás observar algunas de las obras de este artista:<br />
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/escher.htm<br />
Usando la página web anterior, sigue las instrucciones y responde las preguntas.<br />
a) Selecciona una de las teselaciones de Escher, haciendo un clic en el número correspondiente.<br />
b) Mueve el deslizador hacia abajo. ¿A partir de qué polígono se genera la teselación?<br />
c) ¿Qué transformaciones se aplicaron al polígono para obtener la figura de la teselación?<br />
d) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan en la teselación?<br />
e) Selecciona otra teselación, repite los pasos anteriores y responde las preguntas.<br />
122 Unidad 4<br />
cuadrado rotación de semicircunferencia teselación<br />
triángulo equilátero rotación de arco teselación
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.<br />
1. Se puede teselar el plano combinando:<br />
A. pentágonos regulares y cuadrados.<br />
B. octágonos regulares y cuadrados.<br />
C. hexágonos y pentágonos regulares.<br />
D. Todas las anteriores.<br />
2. ¿Qué polígono no tesela el plano?<br />
A. Cuadrado. B. Rectángulo. C. Pentágono. D. Hexágono regular.<br />
Unidad 4<br />
3. Identifica con cuál o cuáles transformaciones isométricas se realizaron las siguientes teselaciones.<br />
a) b)<br />
4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla<br />
y compás construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones<br />
isométricas involucradas.<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Reconocer con qué polígonos se pueden construir teselaciones<br />
semirregulares y regulares.<br />
1 y 2<br />
Identificar las transformaciones isométricas en una teselación. 3<br />
Construir una teselación semirregular y argumentar acerca de las<br />
transformaciones isométricas involucradas.<br />
4<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
Movimientos en el plano 123
Buscando estrategias<br />
Un grupo de amigos y amigas organizó un juego,<br />
que consiste en partir desde un lugar y llegar a otro,<br />
pasando a buscar agua al río. Gana la persona que<br />
escoge el camino de menor longitud.<br />
Si llamaron punto A al lugar inicial, punto B al lugar<br />
de llegada y recta L al río, ¿qué estrategia permite<br />
ganar el juego?, ¿por qué?<br />
Comprender<br />
• ¿Qué sabes del problema?<br />
Que cada jugador estará ubicado en un punto, denominado punto A y debe llegar a otro<br />
punto denominado B, pasando a buscar agua a un río, denominado recta L.<br />
• ¿Qué debes encontrar?<br />
El camino de menor longitud justificando la estrategia empleada.<br />
Planificar<br />
• ¿Cómo resolver el problema?<br />
Para resolver el problema aplicaremos una reflexión y, luego, justificaremos la estrategia<br />
empleada con la desigualdad triangular.<br />
Resolver<br />
• Debemos encontrar un punto C en el río, de<br />
manera que la distancia desde A hasta C y, luego,<br />
desde C hasta B, sea la mínima. Para ello,<br />
reflejamos el punto A en la recta L, determinando<br />
A´. Unimos con una recta A´ con B. El trazo A´ B<br />
corta a la recta L en C. De este modo, el camino<br />
desde A hasta C y, luego, desde C hasta B, es el<br />
más corto.<br />
Para justificar la estrategia empleada, consideremos que el trazo A´ C es el reflejo del<br />
trazo AC, entonces dichos trazos (x) tienen igual medida.<br />
Consideremos cualquier otro camino que vaya de<br />
A a B y que recoja agua en un punto D del río.<br />
Por la desigualdad triangular, sabemos que la suma<br />
de las longitudes de dos lados de un triángulo es<br />
siempre mayor que la longitud del tercer lado,<br />
además, A´B = x + y, y A´D = AD = d. Por lo tanto:<br />
x + y < d + e.<br />
Finalmente, podemos concluir que el punto C determina el menor camino.<br />
124 Unidad 4<br />
A<br />
A´<br />
A<br />
A´<br />
A<br />
C 1<br />
x<br />
x<br />
C 2<br />
B<br />
C L<br />
C<br />
d<br />
y<br />
D<br />
B<br />
e<br />
B<br />
L<br />
L
Responder<br />
• Al aplicar una reflexión al punto A, según la recta L, determinamos el punto A´.<br />
Luego, unimos A´ con B, la intersección entre el segmento A´B con la recta L es C,<br />
que corresponde al punto del río que determina el menor camino.<br />
Unidad 4<br />
Revisar<br />
• Para comprobar que el punto C determina el menor camino marcamos distintos puntos en<br />
la recta L y, luego, medimos la distancia desde A hasta cada punto y desde el punto<br />
(incluido C) hasta B. De este modo verificamos que el punto C determina el menor camino.<br />
1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.<br />
a) Luis, Marcela y Paula están jugando en el gimnasio de su colegio, el<br />
cual tiene forma rectangular. El juego consiste en partir desde un<br />
punto del gimnasio, tocar una de sus paredes, llegar a otro punto,<br />
E<br />
tocar nuevamente la pared y, finalmente, llegar a otro punto del<br />
gimnasio. Gana quien escoge el camino más corto; para ello,<br />
Paula es la que determina quién ganó, midiendo con una huincha<br />
partida F<br />
el camino de cada competidor. ¿Cuál es la estrategia que permite ganar el juego?<br />
Justifica tu respuesta.<br />
b) El billar es un juego que se practica en una mesa, generalmente<br />
rectangular, rodeada de bandas. El juego se basa en choques<br />
de bolas entre sí y con las bandas, impulsadas con un taco.<br />
Camilo y Loreto, están jugando billar. Al poco tiempo de jugar,<br />
las bolas A y B quedan en la ubicación que se observa en la figura.<br />
Si Loreto está planeando golpear la bola A para dar a la bola B después de tocar en dos<br />
bandas, ¿qué recorrido tendrá que hacer la bola A? Justifica tu respuesta.<br />
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.<br />
Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.<br />
3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el<br />
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?,<br />
¿por qué?<br />
El Tetris es un video juego inventado en 1984, en el cual se deben aplicar<br />
repetidas veces transformaciones isométricas a 4 figuras diferentes para<br />
hacerlas encajar. Considerando la jugada que aparece a la derecha,<br />
¿qué transformaciones isométricas debes realizar para hacer encajar<br />
correctamente la figura 1 en A?, ¿y para encajar la figura 2 en B?<br />
Puedes jugar Tetris online en: www.juegostetris.com/juegos/tetris-ii/<br />
A<br />
2<br />
A<br />
B<br />
G<br />
llegada<br />
Movimientos en el plano 125<br />
1<br />
B
Conexiones<br />
Para finalizar<br />
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según<br />
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.<br />
Respetó las opiniones de los demás integrantes.<br />
Cumplió con las tareas con las que se comprometió.<br />
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.<br />
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?<br />
126 Unidad 4<br />
NACIONAL<br />
Museos de medianoche<br />
El viernes 23 de enero de 2009 se realizó la 19ª versión de<br />
la iniciativa que reúne a varios museos y centros culturales de la<br />
capital, que abrieron de 18:00 a 24:00 horas.<br />
Algunos museos y centros culturales que participaron fueron:<br />
el Museo de Artes Visuales (MAVI), el Museo Arqueológico de<br />
Santiago (MAS), el Museo de Arte Contemporáneo (MAC), el<br />
Museo de la Solidaridad Salvador Allende, el Centro de Extensión<br />
de la Universidad Católica, el Centro Cultural Palacio de la<br />
Moneda (CCPLM), la sede de la Sociedad Nacional de Bellas<br />
Artes, que es el palacio La Alhambra, entre otros.<br />
El palacio La Alhambra fue encargado en 1860 por Francisco Ignacio Ossa Mercado al<br />
arquitecto Manuel Aldunate Avaria, quien viajó a España a tomar apuntes para realizar la obra.<br />
En 1940 el palacio fue donado a la Sociedad Nacional de Bellas Artes por Julio Garrido Falcón.<br />
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.<br />
Evaluamos nuestro trabajo<br />
Museo Nacional de Bellas Artes,<br />
Santiago.<br />
Fuentes: www.portaldearte.cl/agenda/actividades/2009/19_version.html<br />
www.snba.cl/paginas/palacio.htm, consultado en febrero de 2010.<br />
1. Busquen fotografías del palacio La Alhambra de Santiago u otro edificio de arquitectura<br />
morisca, como el casino Español de Iquique.<br />
2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser<br />
la solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.<br />
a) ¿Qué caracteriza a estos diseños?, ¿qué tipo de transformaciones isométricas es<br />
posible identificar?<br />
b) ¿En qué se parecen?, ¿en qué se diferencian?<br />
3. Busquen imágenes de la obra de Matilde Pérez, pintora y escultora chilena. Averigüen<br />
y comenten qué relación tiene su obra con la Geometría.<br />
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
Unidad 4<br />
A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales<br />
conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las<br />
relaciones que hay entre los conceptos.<br />
TRASLACIONES<br />
DE FIGURAS PLANAS<br />
TRANSFORMACIONES<br />
ISOMÉTRICAS<br />
REFLEXIONES<br />
DE FIGURAS PLANAS<br />
TESELACIONES<br />
REGULARES SEMIRREGULARES<br />
Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.<br />
1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.<br />
2. Cuando se efectúa la transformación isométrica a una figura geométrica plana,<br />
¿qué características observas en su imagen?<br />
3. ¿Cómo trasladas un triángulo con regla y compás?, ¿cómo lo rotas?<br />
4. ¿Qué características tiene la imagen de una figura, luego de aplicar una reflexión?,<br />
¿cómo confirmas que se aplicó dicha transformación?<br />
5. ¿Qué caracteriza a una teselación?, ¿cómo se construye?<br />
ROTACIONES<br />
DE FIGURAS PLANAS<br />
6. ¿Qué diferencias observas en las teselaciones regulares y semirregulares?, ¿y qué semejanzas?<br />
7. ¿Con qué polígonos puedes construir una teselación regular?, ¿y una semirregular?<br />
8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela<br />
en tu curso e intenten aclararla en conjunto.<br />
Movimientos en el plano 127<br />
Síntesis
¿Qué aprendí?<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.<br />
1. ¿En cuál de las siguientes opciones las figuras<br />
corresponden a una reflexión?<br />
A. R y S<br />
B. S y V<br />
C. S y T<br />
D. R y V<br />
2. En la transformación de la imagen se aplicó<br />
una rotación con centro en O y ángulo de<br />
rotación de:<br />
A. 60º<br />
B. 360º<br />
C. 90º<br />
D. 180º<br />
3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la estrella<br />
de David?<br />
A. 8<br />
B. 2<br />
C. 4<br />
D. 6<br />
4. ¿Por qué es posible teselar con<br />
triángulos equiláteros?<br />
A. Porque la suma de los ángulos que<br />
concurren a un vértice es 180º.<br />
B. Porque la suma de los ángulos que<br />
concurren a un vértice es 360º.<br />
C. Porque la suma de sus ángulos interiores<br />
es 180º.<br />
D. Porque la suma de sus ángulos exteriores<br />
es 360º.<br />
5. ¿Con cuál de los siguientes polígonos se<br />
puede construir una teselación regular?<br />
A. Cuadrado. C. Rombo.<br />
B. Rectángulo. D. Romboide.<br />
128 Unidad 4<br />
R S<br />
O<br />
T V<br />
6. Para trasladar una circunferencia según<br />
un vector dado, con regla y compás,<br />
basta con trasladar:<br />
A. el centro de la circunferencia, según<br />
dicho vector.<br />
B. dos puntos de la circunferencia, según<br />
dicho vector.<br />
C. un punto cualquiera de la circunferencia,<br />
según dicho vector.<br />
D. el centro y un punto cualquiera de la<br />
circunferemcia, según dicho vector.<br />
7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?<br />
A. No es posible teselar una superficie plana<br />
con romboide.<br />
B. El eje de simetría es perpendicular a los<br />
trazos que unen cada par de puntos<br />
correspondientes.<br />
C. Al aplicar una rotación, todos los puntos<br />
de la figura se mueven en torno a un<br />
punto fijo.<br />
D. Al aplicar una traslación, todos los puntos<br />
de la figura se mueven según una flecha.<br />
8. Al aplicar una transformación isométrica se<br />
obtiene una figura:<br />
A. que mantiene la posición de la<br />
figura original.<br />
B. que mantiene la forma, tamaño y<br />
posición original.<br />
C. que mantiene la forma y tamaño original,<br />
solo varía su posición.<br />
D. que mantiene el tamaño original y varía su<br />
forma y posición.
9. Usando regla y compás, aplica una reflexión<br />
al ΔABC respecto de la recta L.<br />
Luego, a la imagen obtenida, rotar respecto<br />
del vértice C´ y ángulo de rotación de 60º<br />
(usa transportador).<br />
10. Dadas las siguientes figuras, forma la base<br />
de una teselación semirregular y, luego,<br />
usando regla y compás, construye en tu<br />
cuaderno una teselación con ella. Indica las<br />
transformaciones isométricas involucradas.<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste<br />
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué logré?<br />
1. Marca según tu apreciación.<br />
Transformaciones de objetos<br />
Traslaciones de figuras planas<br />
Reflexiones de figuras planas<br />
Rotaciones de figuras planas<br />
Teselaciones<br />
Teselaciones regulares y semirregulares<br />
Resolución de problemas<br />
2. Reflexiona y responde.<br />
No lo<br />
entendí<br />
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?<br />
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?<br />
c) Vuelve a la página 103 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,<br />
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.<br />
A<br />
C<br />
B<br />
L<br />
Lo<br />
entendí<br />
Unidad 4<br />
Puedo<br />
explicarlo<br />
Movimientos en el plano 129
130 Unidad 5<br />
5Unidad<br />
Datos y azar
En esta Unidad podrás...<br />
• Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, con datos agrupados<br />
en intervalos.<br />
• Construir tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma<br />
manual y mediante herramientas tecnológicas, y determinar la media<br />
aritmética y moda en estos casos.<br />
• Discutir respecto de la importancia de tomar muestras al azar en experimentos<br />
aleatorios, y analizar su comportamiento usando medidas de tendencia central.<br />
• Analizar situaciones donde los resultados son equiprobables en experimentos<br />
aleatorios, mediante el uso de herramientas tecnológicas.<br />
• Identificar el espacio muestral en experimentos aleatorios, y usar el principio<br />
multiplicativo para obtener su cardinalidad.<br />
• Asignar la probabilidad de un evento en un experimento aleatorio, usando el<br />
modelo de Laplace.<br />
Conversemos de...<br />
En Chile, los censos se realizan cada diez años, aproximadamente. El último<br />
se realizó en el año 2002 y el próximo se efectuará en el año 2012.<br />
Los siguientes datos corresponden a los resultados del Censo 2002. Observa.<br />
Población de cinco años o más por grupos de edad, según región, provincia,<br />
sexo, su nivel de instrucción y el último curso aprobado<br />
Provincia de Valdivia / ambos sexos<br />
Enseñanza<br />
Media común<br />
6 a 14<br />
años<br />
Grupos de edad<br />
15 a 19<br />
años<br />
20 a 29<br />
años<br />
30 a 49<br />
años<br />
50 años o<br />
más<br />
1 año 1825 4436 3173 6170 1237<br />
2 años 565 3841 2552 4818 986<br />
3 años 0 3465 1486 3095 709<br />
4 años 0 4323 9529 14 536 3183<br />
Fuente: www.ine.cl/cd2002/index.php, consultado en febrero de 2010.<br />
1. En Valdivia, ¿cuántas personas terminaron la Educación Media hasta el año 2002?<br />
2. ¿Cuál es nivel de Educación Media promedio alcanzado por los jóvenes entre 20<br />
y 29 años?, ¿cómo lo supiste?<br />
3. ¿Cuál es la moda en este caso?, ¿cómo la interpretarías?<br />
Datos y azar 131
¿Cuánto sabes?<br />
132 Unidad 5<br />
1. En una ciudad del norte del país, durante el mes de enero, se han registrado<br />
las siguientes temperaturas máximas en grados Celsius:<br />
32, 31, 28, 30, 28, 30, 31, 33, 29, 30, 30, 32, 28, 31, 29, 29,<br />
32, 30, 29, 33, 30, 31, 30, 29, 30, 33, 34, 28, 30, 30, 29<br />
a) Completa la tabla de frecuencias.<br />
Temperatura<br />
(ºC)<br />
Frecuencia<br />
absoluta<br />
b) ¿Cuántos días hubo con temperatura máxima de 29 ºC?<br />
c) ¿Qué porcentaje del mes hubo 31 ºC?<br />
d) Calcula la media aritmética, la mediana y la moda. ¿Cómo interpretarías<br />
los resultados obtenidos en cada caso?<br />
2. El siguiente gráfico circular representa la cantidad de horas semanales que<br />
los 40 estudiantes del 8ºA de un colegio de Arica destinan a hacer deportes.<br />
a) Completa la tabla de frecuencias.<br />
Nº de<br />
horas<br />
28<br />
29<br />
30<br />
31<br />
32<br />
33<br />
34<br />
Frecuencia<br />
absoluta<br />
Frecuencia<br />
relativa<br />
Frecuencia<br />
relativa<br />
Frecuencia relativa<br />
porcentual<br />
1 2 5%<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
Frecuencia relativa<br />
porcentual<br />
15%<br />
10%<br />
b) ¿Cuántos alumnos y alumnas dedican 4 horas semanales a hacer<br />
deportes?, ¿y una hora semanal?<br />
c) ¿Cuántas horas semanales, en promedio, destinan los y las estudiantes a<br />
hacer deportes?, ¿cómo lo calculaste?<br />
d) Calcula e interpreta la mediana y moda, en cada caso.<br />
20%<br />
10%<br />
1 hora<br />
2 horas<br />
3 horas<br />
5%<br />
40%<br />
4 horas<br />
5 horas<br />
6 horas
3. Antonia necesita averiguar la cantidad de horas diarias que los alumnos y<br />
alumnas de su colegio destinan a ver televisión. Si tuvieras que realizar la<br />
misma investigación que Antonia:<br />
a) ¿Cuál sería la población?, ¿qué muestra escogerías?, ¿por qué?<br />
b) ¿Cuál sería la variable de estudio?, ¿de qué tipo es? Explica tu decisión.<br />
4. Se lanza 50 veces un dado con las caras numeradas del 1 al 6, y se obtiene<br />
10 veces uno, 3 veces dos, 6 el tres, 12 el cuatro, 9 el cinco y 10 el seis.<br />
a) Construye en tu cuaderno una tabla de frecuencias.<br />
b) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de que se obtenga 2?, ¿y 4?<br />
c) ¿Cuál es la frecuencia relativa de que se obtenga 3?, ¿y 5?<br />
d) ¿Cuáles son las probabilidades de que salga cada una de las caras?<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.<br />
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve<br />
correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué debes recordar?<br />
Unidad 5<br />
• En una encuesta, el conjunto total de individuos que son objeto de estudio y que poseen al<br />
menos una característica en común se denomina población. Una muestra es una parte o<br />
subconjunto de la población.<br />
• Una variable estadística corresponde a la característica que se observa en cada uno de los<br />
elementos de la población, y que se mide en la muestra. Las variables pueden ser<br />
cuantitativas (pueden tomar valores numéricos) o cualitativas (clasifica a los individuos en<br />
categorías que no se pueden expresar con números).<br />
• La frecuencia absoluta es el número de repeticiones de cada dato de una muestra. La razón<br />
entre la frecuencia absoluta y el número total de datos de la muestra es la frecuencia relativa.<br />
• Las medidas que describen un valor central que representa a un grupo de observaciones se<br />
denominan medidas de tendencia central. Estas son: la media aritmética (x ⎯ ), la mediana y la<br />
moda (Mo).<br />
• Una forma de calcular la media aritmética o promedio es sumar todos los datos y dividir el<br />
resultado por el número total de observaciones.<br />
• La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que<br />
tiene mayor frecuencia absoluta. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la<br />
mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.<br />
• El número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un resultado, a medida que<br />
aumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se llama<br />
probabilidad. La probabilidad se puede expresar como un número entre 0 y 1.<br />
Datos y azar 133
134 Unidad 5<br />
Interpretación de tablas de frecuencias<br />
Completa la tabla que muestra el número de primos que tienen los<br />
y las estudiantes de los 8º Básico de un colegio.<br />
Intervalo<br />
(i)<br />
Nº de<br />
primos<br />
Para discutir<br />
Frecuencia<br />
absoluta<br />
F. absoluta<br />
acumulada<br />
Frecuencia<br />
relativa<br />
1 1 - 4 4 4 4 0,06<br />
70<br />
2 5 - 8 6 10 6<br />
70<br />
0,09<br />
3 9 - 12 18<br />
4 13 - 16 20<br />
5 17 - 20 12<br />
6 21 - 24 5<br />
7 25 - 28 3<br />
8 29 - 32 2<br />
F. relativa<br />
acumulada<br />
• ¿Qué puedes deducir del intervalo 2 (5 - 8)?<br />
• ¿Cuántos alumnos o alumnas tienen 12 primos o menos?, ¿por qué?<br />
• Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la<br />
probabilidad de que tenga entre 25 y 28 primos?, ¿y de que tenga<br />
8 primos, o menos?<br />
En la situación anterior, se puede deducir del intervalo 2, que existen<br />
6 estudiantes que tienen entre 5 y 8 primos.<br />
También, es posible observar que si sumamos el número de<br />
estudiantes de los intervalos 1, 2 y 3, hay 28 alumnos o alumnas que<br />
tienen 12 primos o menos. Este valor corresponde a la frecuencia<br />
absoluta acumulada hasta ese intervalo.<br />
Por otro lado, si preguntamos a un alumno o alumna cualquiera de<br />
ese colegio que cursa 8º Básico, cuál es la probabilidad de que tenga<br />
entre 25 y 28 primos, esta se puede obtener calculando la razón<br />
entre su frecuencia absoluta por el total de observaciones, es decir:<br />
3<br />
0,04<br />
70<br />
Esta razón es la frecuencia relativa. Otra manera de representar este<br />
valor es con porcentajes: si multiplicamos el resultado anterior por<br />
100, se obtiene que la probabilidad de tener entre 25 y 28 primos es<br />
igual a un 4%.
Ahora, la probabilidad de tener 8 primos o menos, es igual a la<br />
suma de frecuencias relativas hasta 8, es decir, 0,06 + 0,09 = 0,15.<br />
Luego, un 15% de los alumnos y las alumnas tiene 8 primos, o<br />
menos. Llamamos a ese valor frecuencia relativa acumulada.<br />
No olvides que...<br />
• La frecuencia absoluta acumulada en el intervalo i es la suma de las frecuencias absolutas<br />
observadas hasta el intervalo i. Se escribe Fi.<br />
• La frecuencia relativa de la categoría i corresponde a la probabilidad de pertenecer a esa<br />
categoría. Lo calculamos dividiendo la frecuencia absoluta (fi) por el total de datos de la<br />
muestra. Denotamos este valor por hi.<br />
Actividades<br />
1. Responde la siguientes preguntas observando la tabla de la página anterior.<br />
Unidad 5<br />
• La frecuencia relativa acumulada en la categoría i, es la probabilidad de observar un valor<br />
menor o igual al mayor valor que toma la variable en estudio en ese intervalo. Lo calculamos<br />
dividiendo Fi por el total de datos de la muestra. Denotamos este valor por Hi.<br />
a) ¿Cuántos estudiantes tienen a lo más 20 primos?, ¿cómo lo calculaste?<br />
b) ¿Cuántos estudiantes tienen 25 primos o más?, ¿por qué?<br />
c) Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre<br />
9 y 12 primos?, ¿y 16 primos o menos?<br />
2. Una encuesta referida al día en que 60 personas eligen para ir al cine, dio los siguientes<br />
resultados. Completa la tabla.<br />
Día<br />
Frecuencia<br />
absoluta (fi)<br />
Lunes 5<br />
Martes 7<br />
Miércoles 10<br />
Jueves 3<br />
Viernes 13<br />
Sábado 14<br />
Domingo 8<br />
Frecuencia absoluta<br />
acumulada (Fi)<br />
Frecuencia<br />
relativa (hi)<br />
Frecuencia relativa<br />
acumulada (Hi)<br />
Datos y azar 135
Glosario<br />
rango: diferencia entre el mayor<br />
y menor valor de una variable.<br />
136 Unidad 5<br />
Construcción de tablas para datos<br />
agrupados<br />
Un grupo de 40 pacientes, entre 25 y 50 años, se realizaron un<br />
examen para medir su nivel de colesterol (en mg/dl). Los<br />
resultados obtenidos fueron los siguientes:<br />
184 115 53 174 222 156 185 78<br />
98 80 60 177 228 189 181 194<br />
120 78 100 258 190 166 207 200<br />
184 198 191 175 214 211 206 199<br />
199 206 218 51 296 155 195 96<br />
Para discutir<br />
• ¿Es posible agrupar los datos en intervalos o clases?, ¿cómo?<br />
• ¿Cuántos pacientes tienen mediciones menores o iguales que<br />
150 mg/dl?<br />
• Si consideramos a las personas que tienen una concentración de<br />
colesterol en la sangre de 200 mg/dl o menos, con bajo riesgo<br />
cardiovascular y las que tienen colesterol mayor, con riesgo,<br />
¿cuántas personas podrían sufrir un evento cardiovascular?<br />
En la situación anterior, el conjunto de datos es numeroso y, además,<br />
el rango es amplio (296 – 51 = 245). En este caso y en todos aquellos<br />
con similares características, es conveniente agruparlos y ordenarlos<br />
en intervalos o clases.<br />
El tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor<br />
del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener.<br />
Si agrupamos los datos en 5 intervalos, resulta:<br />
296 – 51 245<br />
= = 49<br />
5 5<br />
Luego, cada intervalo es de amplitud 49 (tamaño del intervalo).<br />
La tabla de frecuencias correspondiente es:<br />
Nivel de<br />
colesterol<br />
F. absoluta<br />
(fi)<br />
F. absoluta acumulada<br />
(Fi)<br />
F. relativa<br />
(hi)<br />
51 - 100 9 9 9 : 40 = 0,225<br />
101 - 150 2 11 2 : 40 = 0,05<br />
151 - 200 19 30 19 : 40 = 0,475<br />
201 - 250 8 38 8 : 40 = 0,2<br />
251 - 300 2 40 2 : 40 = 0,05
Después de construir la tabla, observamos que 11 pacientes tienen<br />
mediciones iguales o menores que 150 mg/dl. En este caso, usamos<br />
la frecuencia absoluta acumulada.<br />
Por otro lado, 10 personas tienen más de 200 mg/dl, es decir, un<br />
25% de los pacientes examinados tiene riesgo de sufrir un evento<br />
cardiovascular. En este caso, usamos la frecuencia relativa.<br />
No olvides que...<br />
• Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango es muy amplio,<br />
es usual presentarlos agrupados y ordenados en intervalos o clases.<br />
• La amplitud o tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por<br />
la cantidad de intervalos que se desean obtener.<br />
Actividades<br />
1. En un centro comercial, se consultó la<br />
edad a todas las personas que entraban<br />
entre las 12:00 h y 12:30 h. Los resultados<br />
obtenidos fueron los siguientes:<br />
15 73 1 65 16 3 42<br />
36 42 3 61 19 36 47<br />
30 45 29 73 69 34 23<br />
22 21 33 27 55 58 17<br />
a) Construye una tabla de frecuencias 4 17 48 25 36 11 4<br />
cuyos datos estén agrupados en<br />
ocho intervalos.<br />
54 70 51 3 34 26 10<br />
b) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen entre 31 y 40 años?<br />
c) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen 60 o menos años?<br />
d) ¿Cuál es la probabilidad de, que al elegir al azar a una persona consultada, esta tenga entre<br />
11 y 20 años?<br />
2. Los datos que a continuación se presentan corresponden al número de llamadas telefónicas que<br />
un grupo de personas realiza durante el día.<br />
0, 1, 2, 4, 3, 5, 10, 6, 13, 9, 8, 10, 11, 12, 13, 14,<br />
6, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 12, 7, 11, 3, 20<br />
a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cuatro intervalos.<br />
b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?<br />
c) ¿Cuántas personas hicieron entre 0 y 5 llamadas?<br />
d) ¿Cuántas personas hicieron 17 llamadas o menos?<br />
e) ¿Cuál es la probabilidad que una persona realice más de 17 llamadas diarias?<br />
Unidad 5<br />
Datos y azar 137
138 Unidad 5<br />
Media aritmética para datos agrupados<br />
La siguiente tabla de distribución de frecuencias muestra la<br />
puntuación obtenida por 1500 estudiantes de 5º a 8º Básico en<br />
una encuesta de 65 preguntas acerca de su desempeño durante<br />
el año.<br />
Categoría Muy bajo Bajo Regular Bueno Muy bueno Sobresaliente<br />
Puntaje 0 - 10 11 - 21 22 - 32 33 - 43 44 - 54 55 - 65<br />
Frecuencia<br />
absoluta<br />
350 400 420 200 80 50<br />
Para discutir<br />
• ¿Es posible determinar un puntaje “representante” de cada<br />
intervalo?, ¿cuál es ese valor?<br />
• Utilizando el “representante” de cada intervalo, ¿puedes calcular<br />
el promedio de puntaje obtenido en el cuestionario por los y las<br />
estudiantes?, ¿cómo lo harías?<br />
• ¿En qué categoría se encuentra el promedio obtenido?<br />
Como podemos observar en la situación anterior, los datos están<br />
agrupados en intervalos. Para calcular el promedio en estos casos,<br />
primero, se busca un representante de cada intervalo o clase. Este<br />
representante es el promedio de los extremos del intervalo, y se<br />
conoce como marca de clase. Observa y verifica los valores obtenidos:<br />
Categoría Muy bajo Bajo Regular Bueno Muy bueno Sobresaliente<br />
Puntaje 0 - 10 11 - 21 22 - 32 33 - 43 44 - 54 55 - 65<br />
Marca de clase 5 16 27 38 49 60<br />
Frecuencia<br />
absoluta<br />
350 400 420 200 80 50<br />
Luego, el promedio se calcula sumando los productos de cada<br />
marca de clase por su frecuencia absoluta respectiva (cantidad de<br />
alumnos y alumnas), y dividiendo por el total de estudiantes,<br />
es decir:<br />
5 • 350 + 16 • 400 + 27 • 420 + 38 • 200 + 49 • 80 + 60 • 50 34 010<br />
= = 22,67<br />
1500<br />
1500<br />
Entonces, el promedio es 22,67. Esto significa que, en promedio,<br />
los alumnos y las alumnas consideran que su nivel de desempeño<br />
es “regular”.
No olvides que...<br />
• La marca de clase de una tabla para datos agrupados en intervalos corresponde al promedio<br />
de los extremos del intervalo.<br />
• Podemos calcular la media aritmética (x ⎯ ) para datos agrupados, sumando todos los productos<br />
de marca de clase con la frecuencia absoluta respectiva y su resultado dividirlo por el número<br />
total de datos, es decir:<br />
Actividades<br />
x ⎯ =<br />
• Para datos agrupados la media aritmética que se obtiene al calcular corresponde a una<br />
estimación de la media aritmética real.<br />
1. Los datos que se muestran a continuación corresponden a la cantidad de horas diarias que un<br />
grupo de personas utiliza Internet.<br />
4, 2, 5, 7, 6, 6, 4, 3, 5, 10, 7, 8, 8, 4, 2, 4, 12, 13, 3, 11<br />
1, 12, 8, 10, 9, 13, 2, 2, 1, 4, 5, 8, 9, 4, 2, 10, 12, 13, 5, 8<br />
a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en tres intervalos.<br />
b) ¿Cuántas personas usan Internet 10 horas diarias, o menos?<br />
c) ¿En promedio cuántas horas usan Internet al día?<br />
2. Los alumnos y las alumnas de 8º Básico realizaron una prueba de 24 preguntas. En la siguiente<br />
tabla aparece el número de respuestas correctas obtenidas.<br />
Nº de respuestas<br />
correctas<br />
suma (marca de clase • frecuencia absoluta)<br />
total de datos<br />
Marca<br />
de clase<br />
0 - 4 3<br />
5 - 9 8<br />
10 - 14 15<br />
15 - 19 15<br />
20 - 24 4<br />
Total estudiantes:<br />
(fi) (Fi) (hi) (Hi)<br />
Unidad 5<br />
a) Completa la tabla de frecuencias.<br />
b) ¿Cuántos alumnos y alumnas tuvieron 14 o menos respuestas correctas?<br />
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno o alumna tenga 20 o más respuestas correctas?<br />
d) Calcula e interpreta la media aritmética.<br />
Datos y azar 139
140 Unidad 5<br />
Moda para datos agrupados<br />
En una empresa, las edades del personal se resumen en la<br />
siguiente tabla. Observa y completa.<br />
Edades (en años) Marca de clase Frecuencia absoluta<br />
20 - 25 25<br />
26 - 31 30<br />
32 - 37 45<br />
38 - 43 40<br />
44 - 49 35<br />
50 - 55 30<br />
Para discutir<br />
• ¿Cuál es el intervalo que agrupa la menor cantidad de personal?<br />
• ¿En qué intervalo está la mayor frecuencia absoluta?<br />
• ¿Podrías estimar la edad que más se repite o representar la moda<br />
en esta situación?, ¿cómo lo harías?<br />
En la situación anterior, observamos que la cantidad menor de<br />
personas tiene entre 20 a 25 años.<br />
Por otra parte, el intervalo que presenta la mayor frecuencia<br />
absoluta o intervalo modal, corresponde a 32 - 37.<br />
Para obtener la moda para datos agrupados, podemos seguir los<br />
siguientes pasos:<br />
1º Identificar el intervalo modal, en este caso es 32 - 37, con una<br />
frecuencia de 45 personas.<br />
2º Identificar las frecuencias absolutas del intervalo anterior y<br />
posterior al intervalo modal. En este caso, el intervalo anterior<br />
corresponde a 26 - 31, con una frecuencia de 30 personas; y el<br />
intervalo posterior a 38 - 43, con una frecuencia de 40 personas.<br />
3º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la<br />
frecuencia del intervalo anterior (d 1 ). Entonces, tenemos que,<br />
45 – 30 = 15.<br />
4º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la<br />
frecuencia del intervalo posterior (d 2 ). Entonces, tenemos que,<br />
45 – 40 = 5.<br />
5º Obtener el tamaño de los intervalos (t ; debe ser constante).<br />
La amplitud de los intervalos es 5.
6º Obtener el número que representa el extremo inferior del<br />
intervalo modal (Li). En el ejemplo es 32.<br />
Luego, el cálculo de la moda (Mo) se puede obtener por medio<br />
de la expresión:<br />
d1 Mo = Li + • t<br />
d + d 1 2<br />
En la situación anterior, el valor aproximado de la moda<br />
corresponde a 36, ya que:<br />
15<br />
Mo = 32 + • 5 = 35,75<br />
15 + 5<br />
Esto significa que una estimación de la edad más repetida por el<br />
personal de la empresa es de 36 años.<br />
No olvides que...<br />
• Para obtener la moda (Mo) para datos agrupados, podemos utilizar la expresión:<br />
Mo = Li + • t<br />
d + d 1 2<br />
Li: extremo inferior del intervalo modal.<br />
d : diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo anterior.<br />
1<br />
d : diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo posterior.<br />
2<br />
t: amplitud de los intervalos.<br />
Unidad 5<br />
• Para datos agrupados la moda que se obtiene al calcular corresponde a una estimación de<br />
la moda real.<br />
Actividades<br />
1. A continuación, se muestra el promedio obtenido en Matemática por los alumnos y las alumnas<br />
de un curso: 4,4 5,5 5,0 4,9 5,9 6,0 4,2 6,8 7,0 6,1 7,0 3,7 4,5 4,8 6,3 4,1, 3,4<br />
5,3 5,0 6,0 2,6 3,8 4,0 2,0 5,6 6,7 6,0 4,9 3,3 7,0 6,3 5,0<br />
a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cinco intervalos.<br />
b) Determina la media aritmética y moda. Interpreta los valores obtenidos.<br />
2. Las estaturas de los y las estudiantes<br />
de un 8º Básico se resumen en la<br />
siguiente tabla. Complétala.<br />
• Calcula e interpreta la media<br />
aritmética y la moda.<br />
d 1<br />
Estatura (m) Frecuencia absoluta Marca de clase<br />
1,40 - 1,47 3<br />
1,48 - 1,55 12<br />
1,56 - 1,63 22<br />
1,64 - 1,71 6<br />
1,72 - 1,79 2<br />
Datos y azar 141
142 Unidad 5<br />
Censo y muestreo<br />
Para discutir<br />
El Ministerio de Salud está planificando una<br />
campaña de vacunación contra un virus<br />
respiratorio. Debe pedir vacunas al<br />
laboratorio, pero no sabe cuántas encargar.<br />
Se considera que la población de mayor<br />
riesgo son los niños entre 0 y 4 años, y los<br />
adultos mayores, entre 65 años y más.<br />
• ¿Qué información se necesita en este caso?<br />
• ¿Existe una forma de obtener la información necesaria?, ¿cuál?<br />
• Si se realizara una investigación respecto de los efectos<br />
posvacunación, ¿es posible estudiar a toda la población vacunada?,<br />
¿por qué?<br />
En el caso anterior, para pedir las vacunas se necesita saber la<br />
cantidad total de población que hay en Chile, entre los 0 y 4 años,<br />
y mayor que 65 años.<br />
Existe un estudio a través del cual podemos obtener esta<br />
información: el Censo.<br />
En Estadística, se conoce como Censo al recuento de todos los<br />
individuos que conforman una población. Un caso particular es el<br />
Censo de población y vivienda, cuyo objetivo es determinar el<br />
número de personas que componen un grupo (normalmente todo<br />
el país). En él se realiza la enumeración de los habitantes de un país<br />
por sexo, edad, distribución geográfica y características socioeconómicas.<br />
En Chile, se realiza aproximadamente cada 10 años.<br />
A su vez, hay otros tipos de situaciones que necesitan de<br />
información que no es entregada por el Censo. En ciertos casos, no<br />
es necesario, o bien, no es posible estudiar a toda la población en<br />
cuestión, pues sería muy costoso. En estos casos se toma una<br />
muestra de la población para llevar a cabo el estudio y, a partir de<br />
sus características, se deduce el comportamiento de la población.
No olvides que...<br />
• El Censo es un estudio que permite conocer la cantidad de habitantes que pertenece a una<br />
población, y sus características.<br />
• Cuando las poblaciones son muy grandes y se quieren estudiar solo algunas de sus<br />
características, se selecciona una muestra y, a partir de sus características, se deduce el<br />
comportamiento de la población. Dicha muestra debe ser representativa de la población.<br />
• La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente, con el tamaño de<br />
esta, sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.<br />
Actividades<br />
1. Pía controla dos máquinas embotelladoras (A y B), en una fábrica de bebidas. Los estándares de<br />
calidad establecen que cada botella debe contener 660 cc de bebida, con una desviación de 5 cc.<br />
Cada día se envasan 2160 botellas, organizadas en lotes de 40 botellas, cada uno.<br />
a) ¿Cómo puede Pía garantizar que se están cumpliendo los estándares de calidad?,<br />
¿es conveniente analizar diariamente las 2160 botellas?, ¿por qué?<br />
b) Pía decide que, para validar que se estén cumpliendo los estándares de calidad, seleccionará<br />
una muestra de dos botellas de cada lote producido. Observa:<br />
Tabla de frecuencias Máquina A Tabla de frecuencias Máquina B<br />
cc 650 652 658 660 658 659 660 661<br />
Frecuencia absoluta 17 27 6 4 1 19 23 11<br />
• Calcula la media aritmética y moda de las muestras de cada máquina. Interpreta los<br />
resultados obtenidos en cada caso. ¿Qué le recomendarías a Pía?<br />
En equipo<br />
En esta actividad, deberán utilizar Internet para averiguar información respecto del Censo 2002.<br />
Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.<br />
Unidad 5<br />
1. Investiguen acerca de la información que pueden obtener a partir del Censo 2002. Para ello,<br />
ingresen a la página web del INE: www.ine.cl y en Microdatos, Censos de Población, Censo 2002,<br />
Datos Tabulados, allí pueden acceder a los datos del estudio. Identifiquen tres variables<br />
observadas y comenten situaciones donde podría ser de utilidad manejar dicha información.<br />
2. Seleccionen una muestra representativa para calcular e interpretar la media aritmética y la moda,<br />
respecto del nivel de instrucción de la población y el último curso aprobado.<br />
3. Propongan un plan para los casos donde la información no se puede obtener del Censo.<br />
Datos y azar 143
144 Unidad 5<br />
Análisis de encuestas<br />
Los profesores de educación física de un colegio, que tiene un total<br />
de 1200 estudiantes, decidieron realizar un sondeo sobre los<br />
hábitos deportivos de sus alumnos y alumnas. Elaboraron una pauta<br />
para diseñar la encuesta y sacar conclusiones de ella.<br />
Se encuestó a 120 alumnos y alumnas escogidos al azar. Observa los<br />
resultados que se muestran en las tablas y complétalas.<br />
Distribución de los alumnos y alumnas por edad<br />
Edad (años) Marca de clase (fi) (Fi) (hi) (Hi)<br />
5 - 8 22<br />
9 - 12 17<br />
13 - 16 39<br />
17 - 20 42<br />
Cantidad de horas semanales que destinan a hacer ejercicios<br />
Horas Marca de clase (fi) (Fi) (hi) (Hi)<br />
2 - 6 56<br />
7 - 11 29<br />
12 - 16 23<br />
17 - 21 12<br />
Actividad deportiva preferida<br />
Actividad (fi) (Fi) (hi) (Hi)<br />
Andar en bicicleta 48<br />
Jugar fútbol 21<br />
Trotar 24<br />
Nadar 12<br />
Otro 15<br />
Para discutir<br />
• ¿Cómo representarías la información en gráficos?<br />
• ¿Cómo interpretarías la información que los gráficos entregan?<br />
• ¿Qué pasos crees que debes seguir para realizar una encuesta que<br />
te permita obtener conclusiones?
La información recolectada en las tablas anteriores se puede<br />
representar en los siguientes gráficos. Observa:<br />
Edad de los y las estudiantes<br />
Nº de estudiantes<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
5 - 8 9 - 12 13 - 16 17 - 20 Años<br />
De los gráficos anteriores, podemos interpretar que: la mayor parte<br />
de los alumnos y alumnas encuestados es mayor de 12 años; la<br />
mayoría de los y las estudiantes dedica 11 horas o menos a la<br />
actividad deportiva, y solo el 10% realiza por lo menos 17 horas de<br />
ejercicios; la actividad preferida por los alumnos y alumnas es andar<br />
en bicicleta.<br />
Para diseñar una encuesta que te permita recolectar información,<br />
interpretarla y sacar conclusiones, en primer lugar, debes establecer<br />
los objetivos de estudio y la población a quien está dirigida; luego,<br />
seleccionar una muestra representativa de la población. En segundo<br />
lugar, plantear un cuestionario que responda a los objetivos de<br />
estudio y recolectar la información en tablas. En tercer lugar,<br />
representar en gráficos la información obtenida e interpretarlos.<br />
Por último, presentar las conclusiones del estudio.<br />
No olvides que...<br />
Tiempo en horas que dedican<br />
semanalmente al deporte<br />
Nº de estudiantes<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
2 - 6 7 - 11 12 - 16 17 - 21 Horas<br />
Unidad 5<br />
• Las encuestas aplicadas a una muestra son una manera útil de obtener información cuando<br />
no podemos acceder a ella desde el total de la población.<br />
• Los pasos que se recomiendan para realizar una encuesta son:<br />
Actividad deportiva preferida<br />
1º Establecer objetivos, población y muestra.<br />
2º Plantear un cuestionario que responda a los objetivos de estudio y agrupar los datos en<br />
tablas de frecuencias.<br />
3º Representar la información en gráficos e interpretarlos.<br />
4º Presentar las conclusiones.<br />
21<br />
24<br />
Bicicleta<br />
Otros<br />
Nadar<br />
Trotar<br />
Fútbol<br />
48<br />
15<br />
12<br />
Datos y azar 145
Actividades<br />
1. Los siguientes resultados fueron obtenidos de la Sexta Encuesta Nacional de Juventud, 2009<br />
(Instituto de la Juventud, Gobierno de Chile) y se refieren a la realidad juvenil del país. Observa<br />
las tablas y responde las preguntas relacionadas.<br />
A.<br />
B.<br />
a) ¿Qué tramo etario tiene mayor presencia entre los jóvenes que estudian?, ¿por qué?<br />
b) ¿Existe una brecha entre la juventud urbana y rural que estudia?, ¿por qué?<br />
c) ¿Quién tiene mayor nivel de endeudamiento entre los jóvenes? Justifica tu respuesta.<br />
d) ¿Entre qué edades se encuentran los jóvenes con mayor endeudamiento?, ¿por qué crees<br />
que puede ocurrir?<br />
146 Unidad 5<br />
Jóvenes que hoy estudian, según edad y localidad<br />
Grupos de edad<br />
(años)<br />
% de jóvenes<br />
que estudian<br />
15 – 19 79,9%<br />
20 – 24 44,5%<br />
25 – 29 19,8%<br />
Zona<br />
% de jóvenes<br />
que estudian<br />
Urbano 51,5%<br />
Rural 36,4%<br />
Situación de endeudamiento, según sexo y edad<br />
Sexo<br />
Edad<br />
Hombre Mujer<br />
15 - 19 20 - 24 25 - 29<br />
Sí 48,5% 54,2% Sí 16,7% 50,8% 57,6%<br />
No 48,2% 40,6% No 69,9% 45,7% 40,0%<br />
No responde 3,3% 5,2% No responde 13,3% 3,5% 2,4%<br />
En equipo<br />
Fuente: www.fundacionfuturo.cl, consultado en enero de 2010.<br />
En esta actividad deberán investigar sobre las actividades realizadas durante el tiempo libre y el<br />
tiempo dedicado a ello. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.<br />
1. Inventen un nombre para su encuesta. Luego, establezcan los objetivos de esta.<br />
2. Determinen a quiénes está dirigido el estudio. Seleccionen la muestra de, al menos 40 personas.<br />
Indiquen la fecha en que se realizó la encuesta.<br />
3. Diseñen un cuestionario que responda los objetivos del estudio. Este puede considerar aspectos<br />
como: edad, sexo, días que dedica para ocio, etc. Previo a su aplicación, se deben mencionar<br />
las posibles respuestas. Indiquen cómo se llevó a cabo: por teléfono, Internet o cara a cara.<br />
4. Recolecten y ordenen la información obtenida en tablas de frecuencias, indicando el nombre de<br />
cada una.<br />
5. Representen la información en gráficos, interpretando la información que ellos entregan.<br />
6. Presenten las conclusiones al resto del curso.
Herramientas tecnológicas<br />
En esta actividad deberás usar una planilla de cálculo para construir tablas de frecuencias con datos<br />
agrupados en intervalos. Sigue las instrucciones.<br />
1º Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada,<br />
en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa.<br />
2º Ingresa los siguientes datos en la columna Datos, que corresponden al número de pasajeros<br />
que en los últimos días tomó un bus de Santiago a Puerto Montt.<br />
68 71 77 83 79 80 48<br />
72 74 57 67 69 84 102<br />
50 60 75 66 76 91 80<br />
70 84 59 75 94 101 63<br />
65 72 85 79 71 86 69<br />
83 84 74 82 97 51 78<br />
Unidad 5<br />
3º Selecciona todos los datos desde A2 hasta A43; ordénalos de menor a mayor, haciendo<br />
clic en .<br />
4º Observa que el dato menor es 48, y el mayor es 102. Por lo tanto, el rango es 54. Agrupa los<br />
datos en 6 intervalos. Cada intervalo es de amplitud 9. Escribe en la columna Intervalos, las<br />
clases correspondientes partiendo por 45 - 54; en la columna Marca de clase, escribe la<br />
información correspondiente.<br />
5º Con la ayuda de una función, determinaremos la frecuencia absoluta acumulada de cada<br />
intervalo. Para el intervalo 45 - 54, haz un clic en la celda D2 y escribe la función:<br />
=CONTAR.SI(A2:A43; “
8º Para determinar el promedio, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G1 y<br />
escribe la función: =PROMEDIO(A2:A43). Luego, presiona enter.<br />
9º Para determinar la moda, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G2 y<br />
escribe la función: =MODA(A2:A43). Luego, presiona enter.<br />
Luego de realizar los pasos anteriores, haz la siguiente actividad en una nueva planilla de cálculo.<br />
1. Los siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 60 alumnos y alumnas de un colegio<br />
de Concepción:<br />
2. Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada,<br />
en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa.<br />
3. Ingresa la información en la columna Datos. Luego, selecciónalos desde A2 hasta A61 y<br />
ordénalos de menor a mayor, haciendo clic en .<br />
4. Calcula el rango para agrupar los datos en 7 intervalos. Escribe en la columna Intervalos, las<br />
clases correspondientes. En la columna Marca de clase, escribe la información correspondiente.<br />
5. Determina la frecuencia absoluta acumulada de cada intervalo. Por ejemplo, si el primer<br />
intervalo es 34 - 41, debes ingresar, en la celda D2, la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.<br />
Unidad 5<br />
1. En una clase de Educación Física, los alumnos y las alumnas del 8ºA, 8ºB y 8ºC realizaron una carrera<br />
desde el colegio hasta una plaza cercana, ida y vuelta. Los profesores de la asignatura registraron el<br />
tiempo de llegada de cada estudiante, y organizaron la información en la siguiente tabla:<br />
• ¿Qué porcentaje de los y las estudiantes tardó<br />
31 minutos o menos en llegar?<br />
A. 20% C. 53%<br />
B. 27% D. 73%<br />
Tiempo de llegada<br />
(minutos)<br />
2. En la situación anterior, ¿en promedio, cuántos minutos tardaron en llegar a la meta?<br />
A. 27 min aprox. B. 47 min aprox. C. 25 min aprox. D. 37 min aprox.<br />
3. En la tabla presentada en el ítem 1, el valor aproximado de la moda corresponde a:<br />
A. 28,6 min B. 25,3 min C. 26,6 min D. 26 min<br />
4. En una empresa hay 280 trabajadores. Para realizar un estudio respecto del nivel de satisfacción del<br />
personal, se consideró una muestra que es igual al 10% de la población. Los resultados de la<br />
encuesta se expresan y se muestran a continuación:<br />
4, 12, 15, 20, 25, 2, 6, 18, 20, 23, 11, 5, 16, 23<br />
2, 9, 13, 19, 25, 24, 15, 3, 6, 6, 10, 20, 21, 30<br />
a) Construye una tabla de frecuencias, agrupando los datos en cuatro intervalos.<br />
b) Si las categorías de los intervalos son: “No conforme”, “Medianamente conforme”,<br />
“Conforme” y “Muy conforme”, ¿qué porcentaje de trabajadores se encuentra “Muy conforme”?<br />
c) Determina e interpreta la media aritmética y la moda.<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Analizar una tabla de frecuencias con datos agrupados. 1<br />
Determinar la media aritmética de una tabla con datos agrupados. 2<br />
Determinar la moda de una tabla con datos agrupados. 3<br />
Construir una tabla con datos agrupados y analizarla. 4<br />
Nº alumnos y<br />
alumnas<br />
10 - 20 28<br />
21 - 31 74<br />
32 - 42 38<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
Datos y azar 149
Ayuda<br />
Recuerda que aquellas<br />
situaciones en que no se<br />
puede predecir con certeza<br />
cierto resultado se denominan<br />
experimentos aleatorios.<br />
150 Unidad 5<br />
Espacio muestral y principio<br />
multiplicativo<br />
Camila se encuentra en una plaza mirando el color de los autos<br />
que van pasando. Los colores que observa son: rojo, azul, verde<br />
y gris. También mira el número de puertas que cada auto tiene,<br />
y nota que pueden ser de 3, 4 ó 5 puertas.<br />
Para discutir<br />
• La situación anterior, ¿es un experimento aleatorio?, ¿por qué?<br />
• Si clasificaras los autos por color, ¿cuántas categorías existirán?<br />
• Si clasificaras los autos por el número de puertas, ¿cuántas<br />
categorías existirán?<br />
• Si quisiera clasificar los autos por color y número de puertas,<br />
¿cuántas categorías existirán?<br />
Efectivamente, la situación que observó Camila corresponde a un<br />
experimento aleatorio, pues si bien sabe cuál puede ser el color del<br />
auto que pasará o su número de puertas, no sabe con exactitud<br />
cómo será el auto.<br />
Si solo observa el color, el conjunto de posibles resultados o espacio<br />
muestral es Ω = rojo, azul, verde, gris. En consecuencia, el tamaño<br />
del espacio muestral es 4.<br />
Si solo observa el número de puertas, el espacio muestral es<br />
Ω = 3, 4, 5. En consecuencia, el tamaño del espacio muestral es 3.<br />
Si observa color y número de puertas, conviene realizar un<br />
diagrama de árbol, para determinar el tamaño muestral, como se<br />
muestra a continuación:<br />
3<br />
Rojo 4 Azul 4 Verde 4 Gris<br />
5<br />
3<br />
5<br />
Si contamos el total de ramas, vemos que hay 12, es decir, hay<br />
12 maneras de clasificar un auto por color y por número de puertas.<br />
Entonces, el tamaño del espacio muestral en ese caso es 12.<br />
Observa que 12 es igual a 4 • 3, donde 4 es la cantidad de colores de<br />
autos y 3 la cantidad de categorías para el número de puertas.<br />
3<br />
5<br />
3<br />
4<br />
5
El procedimiento realizado se denomina principio multiplicativo,<br />
el cual establece que si un evento puede ocurrir de m maneras<br />
distintas (en este ejemplo, 4 colores) y es seguido por otro que<br />
puede ocurrir de n maneras distintas (en este ejemplo 3, que<br />
representa la cantidad de puertas), entonces hay m • n maneras<br />
de que puedan ocurrir ambos simultáneamente (en el caso<br />
anterior, 12 categorías según color y cantidad de puertas).<br />
No olvides que...<br />
• El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio<br />
muestral (Ω).<br />
• La cardinalidad del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él.<br />
• El principio multiplicativo señala que si un evento puede ocurrir de m maneras distintas y es<br />
seguido por otro que puede ocurrir de n maneras distintas, entonces hay m • n maneras de<br />
que puedan ocurrir ambos simultáneamente.<br />
Actividades<br />
1. Describe los espacios muestrales de cada uno de estos experimentos e indica su tamaño.<br />
a) Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 5.<br />
b) Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 2 ó 3.<br />
c) Lanzar dos dados, uno rojo y uno verde.<br />
d) Lanzar dos dados simultáneamente y sumar sus puntos.<br />
2. Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que: puede levantar los cimientos de<br />
concreto o block de cemento; las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo; el techo<br />
puede ser de concreto o lámina galvanizada; y por último, los acabados los puede realizar de una<br />
sola manera. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?, ¿cómo lo supiste?<br />
3. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de<br />
doble sentido. ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al C y de regreso al pueblo A?<br />
Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.<br />
4. En el casino de una Universidad a la hora de almuerzo se ofrece un menú con plato de fondo,<br />
bebida o jugo y postre. Las opciones del plato de fondo son: arroz con carne, puré con pollo o<br />
legumbre. De postre puede ser: helado, jalea, flan o fruta.<br />
a) ¿Cuántas opciones de menú se pueden escoger?<br />
b) ¿Cuáles son todas las posibilidades de menú? Anótalas en tu cuaderno.<br />
Unidad 5<br />
Datos y azar 151
Glosario<br />
sucesos elementales:<br />
corresponden a cada uno de los<br />
resultados de un espacio muestral.<br />
No olvides que...<br />
152 Unidad 5<br />
Sucesos equiprobables<br />
Seis amigos y amigas (Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto y<br />
Rosita) salieron de excursión al campo, para investigar acerca de<br />
algunos insectos. Decidieron que uno de ellos escribiría todo lo<br />
observado; para escogerlo realizaron un sorteo, que consistía en<br />
anotar el nombre de cada uno en un papel y, luego, sacar uno,<br />
sin mirar, que indicaría quién escribiría el informe.<br />
Para discutir<br />
• El sorteo realizado, ¿corresponde a un experimento aleatorio?,<br />
¿por qué?<br />
• ¿Cuál es el espacio muestral en este caso?<br />
• ¿Todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos?<br />
En este caso, se puede decir que el sorteo realizado es un<br />
experimento aleatorio, pues al sacar el papel sin mirar, no sabemos<br />
cuál será el resultado.<br />
El espacio muestral de este experimento corresponde a:<br />
Ω = Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto, Rosita, ya que,<br />
son todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizar<br />
el sorteo.<br />
Además, en este ejemplo podemos ver que todos tienen la misma<br />
probabilidad de salir, por lo que ninguno de ellos se verá favorecido<br />
o desfavorecido con el sorteo.<br />
Cuando sucesos elementales tienen la misma probabilidad de<br />
ocurrir, los llamaremos sucesos equiprobables.<br />
• Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que los<br />
sucesos son equiprobables.
Actividades<br />
1. Dados los siguientes experimentos, escribe el espacio muestral de cada uno y, luego, determina<br />
si sus resultados son equiprobables. Explica tu decisión.<br />
a) Extraer, sin mirar, una bolita de una caja que contiene tres blancas y dos rojas y observar<br />
su color.<br />
b) Lanzar una moneda.<br />
c) Escoger una persona al azar, de un curso de 20 niñas y 15 niños.<br />
d) Extraer, sin mirar, una carta de un naipe inglés y observar su pinta.<br />
e) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 3 números pares y 3 impares.<br />
2. Romina dice: si en un experimento los sucesos elementales están en igualdad de condiciones,<br />
entonces hablamos de sucesos equiprobables. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué?<br />
3. Carlos dice: si un experimento no es aleatorio, entonces los sucesos no tienen la misma<br />
probabilidad de ocurrir. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué?<br />
En equipo<br />
Unidad 5<br />
En esta actividad, deberán utilizar una bolsa, hojas blancas, regla, tijeras y lápices rojo, azul y amarillo.<br />
Junto a un compañero o compañera, realicen el siguiente experimento.<br />
1. Recorten 9 rectángulos de papel de 3 cm por 5 cm.<br />
2. Pinten 3 papeles de color rojo, 2 de color azul y 4 de color amarillo. Luego, deposítenlos en la<br />
bolsa doblados de igual forma.<br />
3. Extraigan un papelito, sin mirar. Registren en una tabla (en sus cuadernos) el color del papelito<br />
que sacaron y obtengan su frecuencia absoluta. Vuelvan a meter el papelito en la bolsa.<br />
4. Realicen la misma extracción 50 veces, registrando los resultados obtenidos en la tabla.<br />
5. Repitan lo mismo para 100 extracciones y, luego, respondan las siguientes preguntas.<br />
a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?<br />
b) ¿Son equiprobables los resultados de este experimento? Expliquen.<br />
Unidad 3<br />
Datos y azar 153
Ayuda<br />
Una fracción se puede<br />
representar como número<br />
decimal y como porcentaje.<br />
Por ejemplo:<br />
1<br />
= 0,25 = 25%<br />
4<br />
154 Unidad 5<br />
Regla de Laplace<br />
En un curso se realizará la elección de presidente, entre los<br />
siguientes candidatos:<br />
Cada estudiante del curso puede votar por un solo candidato.<br />
Para discutir<br />
• ¿Los resultados de la elección corresponden a sucesos<br />
equiprobables?, ¿por qué?<br />
• ¿Podrías calcular la probabilidad de escoger a Daniela como<br />
presidenta?, ¿cómo lo harías?<br />
• ¿La probabilidad de que una mujer sea presidenta es de 60%?,<br />
¿o es de 0,6?, ¿cuál es la correcta?, ¿cómo lo supiste?<br />
• ¿Cómo obtienes la probabilidad de que ocurra un suceso?, ¿se<br />
puede expresar de diversas formas?, ¿cómo?<br />
Como puedes observar, en la situación anterior, todos los candidatos<br />
tienen la misma probabilidad de salir electos, por lo que podemos<br />
decir que los resultados corresponden a sucesos equiprobables.<br />
Cuando esto sucede, la probabilidad se puede obtener mediante<br />
una fracción, donde su numerador representa el número de casos<br />
favorables, mientras que el denominador representa a todos los<br />
posibles resultados. Por ejemplo:<br />
1<br />
• La probabilidad de escoger a Daniela de presidenta es , pues<br />
5<br />
corresponde a un candidato de un total de 5.<br />
• La probabilidad de escoger a una mujer presidenta corresponde<br />
3<br />
a , pues son 3 las mujeres, de un total de 5 candidatos.<br />
5<br />
• También podemos decir que, la probabilidad de que una mujer<br />
sea presidenta es 0,6 ó 60%, ya que entregan la misma<br />
información, mediante distintas representaciones: fracción,<br />
número decimal y porcentaje, respectivamente.
No olvides que...<br />
• La probabilidad de un suceso A, se denota por P(A).<br />
• Regla de Laplace: si en un experimento aleatorio los sucesos tienen la misma probabilidad de<br />
ocurrir, es decir, son equiprobables, la probabilidad de que un suceso A ocurra se puede<br />
calcular utilizando:<br />
Ejemplo:<br />
Actividades<br />
P(A) =<br />
Al lanzar un dado de seis caras, la probabilidad de que el número sea primo es de<br />
ó 0,5 ó 50%, ya que,<br />
Suceso A: obtener un número que sea primo<br />
Casos favorables: 2, 3, 5 3 casos favorables<br />
Casos totales: 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 casos totales<br />
P(A) =<br />
3<br />
6<br />
1<br />
= ó 0,5 ó 50%<br />
2<br />
1. Dado el siguiente experimento: “poner en una caja las letras de la palabra PARALELEPÍPEDO,<br />
y sacar una”. Escribe el número de resultados favorables y el de casos totales, en cada caso.<br />
Calcula su probabilidad expresándola como fracción, número decimal y porcentaje.<br />
a) Obtener una vocal. b) Obtener una consonante. c) Obtener una P.<br />
2. Dado el siguiente experimento; “lanzar un dado de seis caras”. Escribe el número de resultados<br />
favorables y el de casos totales, en cada situación. Calcula su probabilidad, expresándola como<br />
fracción, número decimal y porcentaje.<br />
a) Obtener un número impar.<br />
b) Obtener un número menor o igual a 5.<br />
c) Obtener un número mayor que 5.<br />
número de casos favorables al suceso A<br />
número de casos totales<br />
3. De una urna donde hay 7 bolitas verdes, 5 bolitas azules y 3 bolitas rojas, extraer, sin mirar,<br />
una bolita. Calcula la probabilidad de:<br />
a) extraer una bolita de color verde.<br />
b) extraer una bolita que no sea de color verde.<br />
c) extraer una bolita que no sea de color rojo.<br />
d) extraer una bolita que no sea de color azul.<br />
1<br />
2<br />
Unidad 5<br />
Datos y azar 155
Herramientas tecnológicas<br />
En esta actividad deberán usar una planilla de cálculo para simular el lanzamiento de un dado. Sigue las<br />
siguientes instrucciones.<br />
1º Seleccionar la secuencia Herramientas - Complementos -<br />
Herramientas para análisis; haz clic en Aceptar.<br />
2º Selecciona nuevamente Herramientas y, luego, en la<br />
secuencia , Análisis de datos - Generación de números<br />
aleatorios, haz clic en Aceptar. Aparecerá una tabla en la<br />
que simularemos el lanzamiento de un dado.<br />
3º En Número de variables debes poner 1, al igual que en<br />
Cantidad de números aleatorios, pues estamos simulando<br />
el lanzamiento de un dado.<br />
4º En Distribución debes seleccionar Uniforme; esto significa<br />
que los sucesos son equiprobables.<br />
5º En Parámetros, anota entre 1 y 6, pues son los valores que se pueden obtener al lanzar el dado.<br />
6º En Opciones de salida, selecciona Rango de salida y escribe A1 (como se observa a<br />
continuación), que corresponde a la celda de la planilla donde quedará el dato.<br />
7º Finalmente, haz clic en Aceptar. Observa que el número obtenido no es entero, por lo tanto<br />
debemos utilizar una función que redondee el número, de tal forma que aparezca 1, 2, 3, 4,<br />
5 ó 6. Escribe la siguiente función en la celda B1: =REDONDEAR(A1;0). A1 corresponde a la<br />
celda donde está el número que queremos redondear, y 0 es la cantidad de decimales que<br />
consideramos; en nuestro caso, necesitamos solo números enteros. Luego, presiona enter.<br />
Aparecerá el número equivalente al lanzamiento de un dado. Por ejemplo:<br />
8º Repite el mismo procedimiento para simular más lanzamientos, pero<br />
en Rango de salida escribe A2, A3, …, hasta A20. Además, redondea<br />
cada número obtenido, cambiando la celda donde está el número<br />
a redondear. Por ejemplo: =REDONDEAR(A2;0), hasta B20.<br />
Obtendrás algo similar a la imagen de la derecha.<br />
Luego de realizar los pasos anteriores, construye, en tu cuaderno, una tabla de frecuencias para<br />
esta situación y responde:<br />
a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es 3?, ¿cuál es la probabilidad de<br />
que salga 3?, ¿se relacionan ambos valores?<br />
b) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?, ¿los resultados son equiprobables?, ¿por qué?<br />
c) En una nueva planilla repite el mismo procedimiento hasta las celdas A50 y B50. ¿Qué sucede<br />
con la frecuencia relativa y la probabilidad en cada caso?<br />
156 Unidad 5
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.<br />
Unidad 5<br />
1. El espacio muestral del experimento aleatorio: “lanzar una moneda (C: cara, S: sello) y un dado de<br />
seis caras”, es:<br />
A. Ω = C1, S2, C3, S4, C5, S6<br />
B. Ω = C, S, 1, 2, 3, 4, 5, 6<br />
C. Ω = C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6<br />
D. Ω = C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6, C, S<br />
2. Considera el experimento: “lanzar un dado dos veces”. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?<br />
A. 4 B. 11 C. 12 D. 36<br />
3. Determina si en cada experimento los sucesos son equiprobables. Explica tu decisión.<br />
a) Lanzar un dado dos veces y sumar los resultados.<br />
b) Lanzar una moneda al aire.<br />
c) Sacar, sin mirar, una bola de una urna que tiene 2 bolas rojas, 2 azules y 2 blancas.<br />
d) Escoger una persona al azar, de un curso con 15 niños y 15 niñas.<br />
4. Eduardo tiene 5 poleras de distintos colores (amarilla, azul, blanca, negra y roja) y tres pantalones:<br />
uno negro, uno café y uno gris. El fin de semana asistirá a una fiesta y no sabe qué ropa elegir.<br />
a) ¿Cuántas tenidas puede escoger?, ¿cuáles son?<br />
b) Si escoge una tenida al azar, ¿cuál es la probabilidad que salga polera blanca y pantalón gris?,<br />
¿cómo lo supiste?<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Identificar el espacio muestral en un experimento aleatorio. 1<br />
Determinar la cardinalidad de un espacio muestral. 2<br />
Analizar situaciones donde los resultados pueden o no ser<br />
equiprobables.<br />
Identificar el espacio muestral, su cardinalidad y calcular la<br />
probabilidad de una situación.<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
3<br />
4<br />
Datos y azar 157
Buscando estrategias<br />
Loreto se está preparando para correr en una competencia anual de su colegio. Para ello,<br />
investigó sobre la vida de Felipe, el ganador del último año. La información que obtuvo es<br />
la siguiente:<br />
200<br />
150<br />
100<br />
Tiempo en minutos que entrena<br />
diariamente<br />
50<br />
Tiempo (minutos)<br />
¿Cuál o cuáles de estos gráficos le sirven a Loreto para su preparación física?<br />
Comprender<br />
• ¿Qué sabes del problema?<br />
Los gráficos corresponden a aspectos de la vida de Felipe.<br />
• ¿Qué debes encontrar?<br />
Seleccionar aquellos gráficos cuya información le sirva a Loreto.<br />
Planificar<br />
• ¿Cómo resolver el problema?<br />
Debemos interpretar cada gráfico y sacar conclusiones de ello.<br />
Resolver<br />
• Interpretamos cada uno de los gráficos.<br />
En el gráfico 1, observamos que cada lunes, Felipe entrena 1 hora 40 minutos. Los martes,<br />
2 horas con 5 minutos; los miércoles 2 horas y media; los jueves 3 horas con 20 minutos,<br />
y los viernes, 2 horas y media.<br />
El gráfico 2, nos dice que el 57% de los días de una semana, es decir 4 días, Felipe duerme<br />
8 horas; el 29% de los días duerme 10 horas, que equivale a dos días; y un 14% de los días<br />
duerme 7 horas, es decir un día de la semana.<br />
El gráfico 3, nos dice que Felipe tiene 2 hermanos, uno de 10 y otro de 8 años, y una<br />
hermana de 5 años.<br />
Responder<br />
• Los gráficos 1 y 2 le sirven a Loreto para imitar a Felipe y comenzar a entrenar. En cambio,<br />
la información obtenida del gráfico 3 no es relevante para su preparación.<br />
158 Unidad 5<br />
Lunes<br />
Martes<br />
Miércoles<br />
Jueves<br />
Viernes<br />
Día<br />
Horas que duerme<br />
diariamente<br />
57% de los días<br />
duerme 8 horas<br />
7 horas (14% de los días)<br />
10 horas (29% de los días)<br />
10<br />
8<br />
5<br />
Edad de sus hermanos<br />
Edad<br />
Hermanos
Revisar<br />
• Para comprobar las interpretaciones de los gráficos 1 y 2, puedes utilizar calculadora<br />
cuando sea necesario.<br />
1. Aplica la estrategia aprendida para resolver la siguiente situación.<br />
Unidad 5<br />
Álvaro necesita información sobre la frecuencia con la que leemos los chilenos. Para obtenerla,<br />
recurre a la “Encuesta de Consumo Cultural”, realizada a 600 personas mayores de 18 años<br />
por El Mercurio / Opina, en diciembre de 2009. De allí obtuvo la siguiente información:<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
¿Usted asiste a obras de teatro?<br />
Nº de personas<br />
6 o más veces<br />
De 2 a 5 veces<br />
1 vez<br />
Asistencia al teatro<br />
¿Usted lee libros?<br />
• ¿Cuál o cuáles gráficos le sirven a Álvaro para conocer cada cuánto leemos los chilenos?<br />
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.<br />
Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.<br />
3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento<br />
que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?, ¿por qué?<br />
4 550 000<br />
4 500 000<br />
4 450 000<br />
4 400 000<br />
4 350 000<br />
4 300 000<br />
4 250 000<br />
Ana está realizando un estudio comparativo sobre la deserción escolar en Chile a través de los<br />
años. Recurrió al estudio “Estadísticas de Educación, Cultura y Medios de Comunicación”,<br />
realizado por el Ministerio de Educación en el año 2008. Allí encontró lo siguiente:<br />
Alumnos matriculados en la educación<br />
regular (Incluye educación de adultos)<br />
Nº de alumnos<br />
2003 2005 2007<br />
2004 2006<br />
No recuerda en los últimos<br />
12 meses<br />
No ha asistido en los últimos<br />
12 meses<br />
Año<br />
1 000 000<br />
900 000<br />
800 000<br />
700 000<br />
600 000<br />
500 000<br />
400 000<br />
300 000<br />
200 000<br />
100 000<br />
0<br />
Nº de personas<br />
Alumnos matriculados en la educación regular<br />
por sexo en el año 2007<br />
Nº de alumnos<br />
• ¿Cuál gráfico le sirve a Ana para averiguar sobre la deserción escolar?<br />
150<br />
120<br />
90<br />
60<br />
30<br />
Frecuencia<br />
Todos los días<br />
Casi todos los días<br />
Una vez por semana<br />
Una vez al mes<br />
Período mayor<br />
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII<br />
R.M.<br />
Hombres Mujeres<br />
Región<br />
Datos y azar 159
Conexiones<br />
Para finalizar<br />
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según<br />
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.<br />
Respetó las opiniones de los demás integrantes.<br />
Cumplió con las tareas con las que se comprometió.<br />
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.<br />
2. Comenten y respondan: para el próximo trabajo en equipo, ¿qué aspectos podrían mejorar?<br />
160 Unidad 5<br />
NACIONAL<br />
Algunas de las principales tendencias de Internet en Chile<br />
Internet tiene cada vez más presencia en la vida de todos.<br />
Considerando esto, fue que la empresa AyerViernes realizó el<br />
estudio “Soy Digital 2010”, sobre el consumo de Internet en el<br />
país y cómo este ha cambiado.<br />
El reporte concluyó que los usuarios se conectan principalmente<br />
por entretención, siendo sus principales actividades revisar<br />
correos electrónicos (93%), buscar información (91%) y leer noticias<br />
(81%).<br />
Otra tendencia, es que el 80,2% de los usuarios ha realizado una compra online, lo que<br />
confirma que es un medio válido para adquirir algo, en su mayoría un artículo tecnológico (65,4%).<br />
También se destaca que el 41,4% cree que la publicidad es invasiva.<br />
Un desafío pendiente para las empresas que prestan servicios online tiene relación con<br />
crear espacios donde se pueda escuchar a los clientes para saber qué ofrecer, cómo y cuándo.<br />
Fuente: Adaptado de www.emol.com/noticias/tecnologia/detalle/detallenoticias.asp?idnoticia=392589<br />
Publicado el miércoles 6 de enero de 2010.<br />
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.<br />
1. Hagan un listado de las 5 actividades que consideran principales a la hora de conectarse a<br />
Internet. Luego, realicen una encuesta considerando una muestra de 30 personas, que<br />
respondan: ¿cuál de estas 5 actividades son las que más utilizas cuando te conectas a<br />
Internet?<br />
2. Organicen los resultados obtenidos en una tabla, construyan un gráfico y confronten sus<br />
resultados con los del estudio “Soy Digital 2010”.<br />
3. ¿Piensan que el estudio “Soy Digital 2010” se realizó mediante censo o muestreo?<br />
Justifiquen sus respuestas.<br />
Evaluamos nuestro trabajo<br />
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
Unidad 5<br />
A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales<br />
conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las<br />
relaciones que hay entre los conceptos.<br />
DATOS NO<br />
AGRUPADOS<br />
DATOS AZAR<br />
TABLAS DE<br />
FRECUENCIA<br />
MEDIA ARITMÉTICA<br />
Y MODA<br />
DATOS<br />
AGRUPADOS<br />
Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.<br />
1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.<br />
2. ¿Cómo calculas la media aritmética para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo.<br />
3. ¿Cómo determinas la moda para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo.<br />
4. ¿Qué diferencias observas entre el Censo y el muestreo?, ¿qué utilidad tienen?<br />
5. ¿Qué aspectos debes considerar para el diseño de una encuesta? Realiza una encuesta, en<br />
tu cuaderno, sobre el tema que tú quieras.<br />
6. ¿Cuándo los sucesos son equiprobables? Da un ejemplo.<br />
ESPACIO<br />
MUESTRAL<br />
PROBABILIDAD<br />
SUCESOS<br />
EQUIPROBABLES<br />
REGLA DE<br />
LAPLACE<br />
PRINCIPIO<br />
MULTIPLICATIVO<br />
7. ¿Cómo puedes obtener la cantidad de elementos de un espacio muestral? Da un ejemplo.<br />
8. ¿Cómo determinas la probabilidad de ocurrencia del evento?, ¿de qué formas se puede<br />
representar? Da un ejemplo.<br />
9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu<br />
curso e intenten aclararla en conjunto.<br />
Datos y azar 161<br />
Síntesis
¿Qué aprendí?<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.<br />
1. La cardinalidad del espacio muestral del<br />
experimento “lanzar cuatro monedas<br />
simultáneamente” es:<br />
A. 2<br />
B. 6<br />
C. 8<br />
D. 16<br />
2. En una caja hay 7 bolitas rojas, 10 negras, 9<br />
amarillas y 4 azules. Si se extrae una bolita, sin<br />
mirar, la probabilidad de que sea amarilla es:<br />
A. 30%<br />
B. 70%<br />
C. 3%<br />
D. 9%<br />
3. Se ha determinado la masa de 100 estudiantes<br />
de un colegio, obteniéndose la tabla adjunta.<br />
¿Qué porcentaje de estudiantes tiene una<br />
masa menor de 71 kg?<br />
A. 7%<br />
B. 20%<br />
C. 70%<br />
D. 93%<br />
162 Unidad 5<br />
Masas (kg)<br />
Nº de<br />
estudiantes<br />
46 - 50 4<br />
51 - 55 11<br />
56 - 60 30<br />
61 - 65 28<br />
66 - 70 20<br />
71 - 75 5<br />
76 - 80 2<br />
4. De la situación anterior, ¿qué porcentaje de<br />
estudiantes pesa más de 60 kg?<br />
A. 28%<br />
B. 45%<br />
C. 55%<br />
D. 93%<br />
5. De la tabla del ítem 3, la frecuencia absoluta<br />
acumulada en el intervalo 56 - 60,<br />
corresponde a:<br />
A. 45<br />
B. 30<br />
C. 15<br />
D. 19<br />
6. De tabla del ítem 3, ¿qué clase tiene la<br />
probabilidad 0,2?<br />
A. 51 - 55<br />
B. 66 - 70<br />
C. 71 - 75<br />
D. 76 - 80<br />
7. De la tabla del ítem 3, el valor aproximado<br />
de la moda corresponde a:<br />
A. 58 kg<br />
B. 59,6 kg<br />
C. 61,6 kg<br />
D. 60,5 kg<br />
8. De la tabla del ítem 3, la media aritmética es:<br />
A. 4,11 kg<br />
B. 63 kg<br />
C. 58 kg<br />
D. 61,6 kg
9. El siguiente gráfico, corresponde a una encuesta realizada por el Consejo Nacional<br />
de Televisión, en el año 2009.<br />
¿Con qué frecuencia ve TV abierta chilena?<br />
Porcentaje<br />
• ¿Cuántas personas ven TV abierta 5 días a la semana, o más?, ¿y los que ven<br />
todos los días?, ¿qué puedes concluir?<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste<br />
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué logré?<br />
1. Marca según tu apreciación.<br />
Construcción e interpretación de tablas de frecuencia<br />
para datos agrupados<br />
Media aritmética y moda para datos agrupados<br />
Censo y muestreo<br />
Análisis de encuestas<br />
Espacio muestral y principio multiplicativo<br />
Sucesos equiprobables y regla de Laplace<br />
Resolución de problemas<br />
2. Reflexiona y responde.<br />
Hombres (2419 en total)<br />
80,00% Todos los días<br />
Mujeres (2589 en total)<br />
70,00% 5-6 días a la semana<br />
60,00%<br />
50,00%<br />
40,00%<br />
30,00%<br />
20,00%<br />
10,00%<br />
3-4 días a la semana<br />
1-2 días a la semana<br />
Menos de 1 vez a la semana<br />
Nunca o casi nunca<br />
No sabe / no contesta<br />
Frecuencia (TV)<br />
No lo<br />
entendí<br />
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?<br />
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?<br />
c) Vuelve a la página 131 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,<br />
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.<br />
Lo<br />
entendí<br />
Unidad 5<br />
Puedo<br />
explicarlo<br />
Datos y azar 163
164 Unidad 6<br />
6Unidad<br />
Funciones<br />
y relaciones<br />
proporcionales
En esta Unidad podrás...<br />
• Plantear ecuaciones que representan situaciones de la vida cotidiana, y analizarlas<br />
a través de tablas y gráficos.<br />
• Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y utilizarlos<br />
para representar variadas situaciones.<br />
• Distinguir entre variables dependientes e independientes en las funciones,<br />
e identificar el dominio y recorrido de estas.<br />
• Identificar variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional.<br />
• Reconocer y representar funciones de proporcionalidad directa e inversa.<br />
• Analizar y comparar situaciones que representan variaciones proporcionales<br />
y no proporcionales; uso de software gráfico en estos casos.<br />
• Resolver problemas que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.<br />
Conversemos de...<br />
En la actualidad, el sedentarismo afecta a un gran porcentaje de la<br />
población, a pesar de que se ha demostrado que hacer deporte<br />
regularmente produce numerosos beneficios para la salud, tanto físicos<br />
como psicológicos: fortalece los huesos, previene la obesidad y la<br />
hipertensión arterial, ayuda a liberar tensiones, entre muchos otros. Incluso,<br />
se ha probado que las personas que practican ejercicio físico de forma<br />
regular, suelen vivir más que aquellas que no lo realizan.<br />
La fotografía muestra a Carlos; él se moviliza en bicicleta diariamente.<br />
Considerando que avanza en promedio a 21 km/h, piensa y responde.<br />
1. Después de cinco horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrer<br />
Carlos, si no se detiene y mantiene el mismo ritmo?<br />
2. Si el trabajo de Carlos está a 31,5 km de su casa, y va en bicicleta, ¿cuánto demora<br />
aproximadamente en llegar al trabajo si no se detiene en ningún momento?<br />
3. El fin de semana visitará a su hermana que vive a 84 km de su casa. Si va en<br />
bicicleta, ¿cuántas horas tardaría en llegar si no realiza detenciones?, ¿a qué hora<br />
llegaría a destino si comienza el viaje a las seis de la mañana?<br />
4. ¿Existe alguna ecuación que permita representar la distancia que recorre<br />
Carlos en un determinado período de tiempo?, ¿cuál?<br />
Funciones y relaciones proporcionales 165
¿Cuánto sabes?<br />
166 Unidad 6<br />
1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases.<br />
a) El triple de un número.<br />
b) El doble de la suma de 3 y –8<br />
c) La tercera parte del doble de un número.<br />
d) La suma del cuarto de un número y el triple de otro número.<br />
e) El valor de n paltas a t pesos cada una.<br />
f) El valor de quince latas de bebida a x pesos cada una.<br />
g) El valor de y kg de pan a $ 750 cada uno.<br />
h) El valor de un huevo si la docena cuesta x pesos.<br />
2. Escribe una expresión algebraica que represente el área y perímetro de las<br />
siguientes figuras.<br />
a) b) c)<br />
t<br />
r<br />
s<br />
a + 3<br />
a + 3<br />
3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.<br />
a) 4 + 10y – 8 = 2y + 12 d)<br />
3<br />
z + 2 = 62<br />
7<br />
b) 3x – 6 = x + 2 e) 1,4a – 0,72 = 11,28 – 0,6a<br />
c) 0,8x – 3 = 12 – 2,2x f)<br />
2<br />
3<br />
2<br />
– 3 = 5 + x<br />
5<br />
4. Plantea una ecuación y encuentra en cada caso, el o los números desconocidos.<br />
a) Si a un número le quito 27 se obtiene 77.<br />
b) La suma de un número y su antecesor es 49.<br />
c) La suma de tres números impares consecutivos es 177.<br />
d) Si al cuádruple de un número le quitamos 3, nos resulta el triple del<br />
número aumentado en 12.<br />
5. En un curso de cuarenta estudiantes, el 20% obtuvo nota igual o superior<br />
a 6,0 en una prueba; el 30% entre 5,0 y 5,9; el 35% entre 4,0 y 4,9, y el resto<br />
del curso obtuvo nota inferior a 4,0.<br />
a) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota mayor o igual a 6,0?<br />
b) ¿Cuántos estudiantes no aprobaron la prueba?<br />
c) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota entre 4,0 y 5,9?<br />
x<br />
y
6. Resuelve los siguientes problemas. Explica el procedimiento utilizado.<br />
a) Un padre tiene veintitrés años menos que su madre, y su hijo tiene<br />
35 años menos que él. Si la suma de las tres edades es 168 años,<br />
¿qué edad tiene cada uno?<br />
b) En un negocio, Matías y Josefa ganaron $ 155 000. Como no trabajaron<br />
de igual forma, el dinero será repartido en la razón 2 : 3.<br />
¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno por el trabajo realizado?<br />
c) En un supermercado, todos los lunes se efectúa un descuento de 3%<br />
sobre la compra total. Si Carmen compró el lunes pasado la mercadería<br />
para el mes y pagó $ 44 232, ¿cuánto habría pagado sin el descuento?<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.<br />
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve<br />
correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué debes recordar?<br />
Unidad 6<br />
• Una razón es una comparación entre dos cantidades que se realiza por medio de una división.<br />
Ejemplo:<br />
a<br />
b<br />
antecedente<br />
consecuente<br />
• El valor de la razón es el cociente entre las cantidades. Dos razones son equivalentes si su<br />
valor es el mismo. Ejemplo:<br />
5<br />
10<br />
es equivalente a<br />
4<br />
, ya que<br />
8<br />
5<br />
10<br />
4<br />
= 0,5 y<br />
8<br />
= 0,5.<br />
• Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. La proporción entre las cantidades<br />
a, b, c y d se puede expresar a : b = c<br />
a c<br />
: d, o bien = y se lee “a es a b, como c es a d”.<br />
b d<br />
•<br />
a c<br />
En toda proporción se cumple que = , si y solo si a • d = b • c.<br />
b d<br />
• Un porcentaje se escribe, por ejemplo, 15%, y se lee “quince por ciento”. El porcentaje es<br />
una razón cuyo consecuente es 100.<br />
• Para transformar una razón en porcentaje, basta con multiplicar la razón por 100 y, luego,<br />
calcular el cociente.<br />
4 400<br />
Ejemplo: • 100 = = 80% “4 representa el 80% de 5”.<br />
5 5<br />
• En el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar variables. Para variables<br />
diferentes se asignan letras distintas. Por ejemplo: “el doble de un número aumentado<br />
en el triple de otro número” se puede representar por la expresión algebraica: 2x + 3y.<br />
• Una ecuación de primer grado es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido<br />
llamado incógnita. Resolver una ecuación equivale a encontrar el o los valores desconocidos<br />
para los cuales se cumple la igualdad.<br />
Funciones y relaciones proporcionales 167
Ayuda<br />
• En una ecuación se debe<br />
verificar que la solución<br />
obtenida sea correcta.<br />
Por ejemplo:<br />
5x + 5 = 2x + 20 / – 2x<br />
3x + 5 = 20 / – 5<br />
3x = 15 / : 3<br />
x = 5<br />
Verificamos que la<br />
solución x = 5 es correcta<br />
remplazando:<br />
5 • 5 + 5 = 2 • 5 + 20<br />
30 = 30<br />
• Si se trata de un problema,<br />
además se debe verificar si<br />
la solución es pertinente.<br />
168 Unidad 6<br />
Situaciones con dos variables<br />
Tomás compró mandarinas y un pimentón, y gastó $ 4400.<br />
El kilogramo de mandarinas costó $ 650 y el pimentón $ 500.<br />
Para discutir<br />
• ¿Cuántos kilogramos de mandarinas compró Tomás?,<br />
¿cómo lo calculaste?<br />
• ¿Cuál es la ecuación que permite calcular esta situación?<br />
• ¿Cuánto costarán 9 kg de mandarinas?, ¿y 13 kg?, ¿por qué?<br />
• ¿Podrías representar en una tabla o gráfico la relación entre los<br />
kilogramos de mandarinas comprados y su costo?, ¿cómo?<br />
En esta situación, si representamos con x cada kilogramo de<br />
mandarinas, una ecuación que permitiría determinar la cantidad de<br />
kilogramos de mandarinas que Tomás compró es:<br />
kilogramo de<br />
mandarinas<br />
650x + 500 = 4400<br />
pimentón<br />
Luego, resolvemos la ecuación y obtenemos:<br />
650x + 500 = 4400 / – 500<br />
650x = 3900 / : 650<br />
x = 6<br />
Por lo tanto, Tomás compró 6 kg de mandarinas.<br />
gasto total<br />
Por otro lado, si queremos saber cuánto costarán 9 kg de<br />
mandarinas, podemos multiplicar el valor de cada kilogramo de<br />
mandarinas por 9, es decir, 650 • 9 = 5850, lo que significa que 9 kg<br />
de mandarinas costarán $ 5850. Para saber el valor de 13 kg de<br />
mandarinas calculamos 650 • 13 = 8450, entonces, costarán $ 8450.<br />
Otra forma de resolver la situación presentada es registrar los datos<br />
en una tabla o representarlos en un gráfico.
Observa, en cada caso, la relación entre los kilogramos de<br />
mandarinas y su precio.<br />
Precio ($)<br />
Kilogramos de<br />
mandarinas<br />
No olvides que...<br />
Actividades<br />
Precio<br />
($)<br />
1 650 • 1 = 650<br />
2 650 • 2 = 1300<br />
3 650 • 3 = 1950<br />
4 650 • 4 = 2600<br />
5 650 • 5 = 3250<br />
6 650 • 6 = 3900<br />
7 650 • 7 = 4550<br />
8 650 • 8 = 5200<br />
5200<br />
4550<br />
3900<br />
3250<br />
2600<br />
1950<br />
1300<br />
650<br />
0<br />
Para saber cuánto costarán 7 kg de mandarinas, podemos ver la<br />
tabla y conocer de inmediato el valor. En el caso del gráfico, para<br />
determinar cuánto costarán 5 kg de mandarinas, debemos ubicar<br />
en el eje de las abscisas el número 5, luego, en el punto que tiene<br />
en dicho eje observamos qué valor le corresponde en el eje de las<br />
ordenadas. En este caso es 3250.<br />
1 2 3 4 5 6 7 8<br />
Glosario<br />
1. Resuelve las siguientes situaciones planteando una ecuación, que en cada caso, permita<br />
resolver el problema. Luego, encuentra el valor de la incógnita.<br />
Unidad 6<br />
Kilogramos<br />
de mandarinas<br />
eje de las abscisas: corresponde<br />
al eje horizontal o eje X.<br />
eje de las ordenadas:<br />
corresponde al eje vertical o eje Y.<br />
• Una situación que involucra encontrar un valor desconocido o incógnita se puede representar<br />
planteando la ecuación que, al resolverla, dará solución al problema en cuestión.<br />
• Si la situación relaciona dos variables, podemos analizar su comportamiento por medio de<br />
diversos registros, como una tabla o un gráfico.<br />
a) Manuel tiene x cantidad de dinero en un bolsillo, y el triple en el otro. Si en total tiene<br />
$ 6000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo?<br />
b) Marcela compró un ramo de flores por $ 8900 y 4 jarrones. Si el valor total de la compra es<br />
$ 14 700, ¿cuánto costó cada jarrón?<br />
c) En un rectángulo, el largo mide el doble del ancho. Si el perímetro es 72 cm, ¿cuánto mide<br />
cada lado?, ¿cuánto mide su área?<br />
Funciones y relaciones proporcionales 169
2. En uno de sus planes, una compañía de teléfonos celulares cobra $ 2,5 por segundo al realizar<br />
llamadas a cualquier compañía nacional y en cualquier horario. Camila, que tiene este plan, habló<br />
con su amiga Francisca (que tiene un celular de otra compañía) y gastó $ 900 en esa llamada.<br />
a) ¿Cuál es la ecuación que permite saber cuántos minutos habló Camila con su amiga? Resuélvela.<br />
b) Si una llamada le costó $ 300, ¿cuántos minutos habló?<br />
c) Si Camila llama nuevamente a su amiga Francisca, ¿cuánto gastará si habla 3 minutos?,<br />
¿y si habla 5 minutos?<br />
d) Completa la tabla que relaciona la cantidad de segundos hablados, y su respectivo costo.<br />
e) Si a fin de mes habló 65 minutos a compañías nacionales, ¿cuánto pagará en total ese mes?<br />
f) Completa el siguiente gráfico, que relaciona los minutos hablados con el valor mensual del plan.<br />
g) Si Camila hablara 4 minutos y 12 segundos, ¿cuánto dinero gastaría?<br />
h) Francisca tiene un plan de otra compañía de teléfonos celulares. Los costos de su plan<br />
aparecen en la siguiente tabla:<br />
Si en un mes habla 200 minutos, ¿cuánto debería pagar?<br />
i) Si cada mes hablaras 180 minutos por teléfono celular, ¿qué plan sería más conveniente,<br />
el de Camila o el de Francisca?, ¿por qué?<br />
170 Unidad 6<br />
Precio ($)<br />
5000<br />
4000<br />
3000<br />
2000<br />
1000<br />
Segundos Precio ($)<br />
1 2,5<br />
10<br />
60<br />
90<br />
180<br />
300<br />
5 10 15 20 25 30 35<br />
Minutos hablados<br />
Cargo fijo ($) Minutos incluidos Valor del segundo adicional ($)<br />
14 490 100 2
Unidad 6<br />
3. Sandra se encarga de los pedidos en una empresa de decoración. En una de las compras gastó<br />
$ 27 250, al adquirir un florero a $ 1250 y claveles rojos y blancos. Los primeros tienen un costo<br />
de $ 140, los segundos de $ 120. Compró la misma cantidad de claveles de cada color.<br />
a) ¿Cuántos claveles compró en total?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar<br />
la solución?<br />
b) ¿Cuánto gastaría si comprara treinta claveles en total?, ¿y cuarenta?<br />
c) ¿Cuánto gastaría, incluyendo el florero, si comprara ochenta y seis claveles en total?<br />
d) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de claveles y el gasto asociado.<br />
Cantidad de claveles Precio ($)<br />
e) Observa la tabla: ¿podría Sandra comprar siete claveles en el pedido realizado?, ¿y quince?,<br />
¿cuánto gastaría?<br />
f) Completa el siguiente gráfico.<br />
Precio ($)<br />
1500<br />
1250<br />
1000<br />
750<br />
500<br />
250<br />
2 260<br />
4<br />
12<br />
20<br />
30<br />
50<br />
80<br />
114<br />
2 4 6 8 10 12<br />
Cantidad de claveles<br />
g) ¿Cuánto gastará Sandra en total si compra doce claveles y un florero que cuesta $ 1450 más<br />
que el anterior?<br />
Funciones y relaciones proporcionales 171
Ayuda<br />
Recuerda que la expresión<br />
algebraica 35 000x también<br />
puede escribirse como<br />
35 000 • x.<br />
172 Unidad 6<br />
Noción de función<br />
Miguel vende automóviles. Su sueldo fijo mensual es de $ 180 000,<br />
y por cada unidad vendida durante el mes, recibe una comisión<br />
de $ 35 000.<br />
Observa la tabla de valores:<br />
Cantidad de automóviles vendidos Sueldo recibido ($)<br />
Para discutir<br />
1 180 000 + 35 000 • 1 = 215 000<br />
2 180 000 + 35 000 • 2 = 250 000<br />
3 180 000 + 35 000 • 3 = 285 000<br />
4 180 000 + 35 000 • 4 = 320 000<br />
• ¿Cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles durante<br />
un mes?, ¿y si vende dieciséis?, ¿por qué?<br />
• Si durante un mes vendió x automóviles y recibió un sueldo de<br />
y pesos, ¿qué expresión algebraica permitiría calcular su sueldo?,<br />
¿cuántas variables tiene?<br />
• ¿Cuántos automóviles vendió en un mes que ganó $ 530 000?,<br />
¿cómo lo supiste?<br />
Si analizamos la tabla, podemos observar que para determinar cuál<br />
será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles, podemos<br />
calcular 180 000 + 35 000 • 8 = 460 000,<br />
es decir, este será de $ 460 000 y, si vendiera dieciséis, calculamos<br />
180 000 + 35 000 • 16 = 740 000, entonces, recibiría $ 740 000.<br />
Si representamos con una y el sueldo recibido por Miguel al vender<br />
x automóviles, la situación anterior se puede modelar por la expresión<br />
y = 180 000 + 35 000x. Esta expresión, que relaciona dos variables x e y<br />
de manera que a cada valor de x (nº autos vendidos) le corresponde<br />
un único valor de y (sueldo), recibe el nombre de función.<br />
Luego, para saber cuántos autos vendió en un mes que recibió<br />
$ 530 000 de sueldo, podemos resolver la ecuación:<br />
530 000 = 180 000 + 35 000x / – 180 000<br />
350 000 = 35 000 • x / : 35 000<br />
10 = x<br />
Por lo tanto, ese mes vendió diez automóviles.
No olvides que...<br />
• Una función es una relación entre dos variables x e y, de manera que a cada valor de<br />
x le corresponde un único valor de y.<br />
• Una función se puede representar o modelar de diversas formas; por ejemplo, con una<br />
ecuación, una tabla de valores o un gráfico.<br />
Actividades<br />
1. Construye, en tu cuaderno, un gráfico que represente la situación descrita en la página anterior.<br />
2. Determina, en cada caso, si la relación entre las variables corresponde o no a una función.<br />
Justifica tus respuestas.<br />
a) Un número natural y su opuesto aditivo.<br />
b) Los sabores preferidos de helado por los integrantes de un curso.<br />
c) La longitud del lado de un cuadrado y su área.<br />
d) La cantidad de respuestas correctas en una prueba y la nota final obtenida.<br />
3. Andrea compara los planes que le ofrece una compañía de telefonía celular.<br />
Tarifas Cargo fijo Minutos incluidos en el plan Valor minuto adicional<br />
Plan A 9490 60 220<br />
Plan B 12 990 80 160<br />
Plan C 14 490 100 120<br />
a) Completa la tabla con los valores que debería pagar en cada caso, según la cantidad de<br />
minutos que va a utilizar.<br />
Minutos 60 80 100 120 150<br />
Costo plan A 9490<br />
Costo plan B 12 990<br />
Costo plan C 14 490<br />
b) Si Andrea hablara 80 minutos, ¿qué plan le convendría?, ¿y si hablara 120?, ¿por qué?<br />
c) Si x representa la cantidad de minutos no incluidos en el plan, ¿qué función representa<br />
el monto y de la cuenta de telefonía celular en cada caso?<br />
Unidad 6<br />
Funciones y relaciones proporcionales 173
174 Unidad 6<br />
Variables dependientes e<br />
independientes<br />
En una amasandería se venden empanadas a $ 850 cada una.<br />
Observa y completa la siguiente tabla.<br />
Para discutir<br />
Cantidad de empanadas Precio ($)<br />
1 850 • 1 = 850<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
• ¿Cuánto costarán seis empanadas?, ¿y diecinueve?, ¿y treinta y dos?,<br />
¿cómo lo calculaste?<br />
• ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿qué representa la<br />
variable x y la variable y, en este caso?<br />
• ¿Cuál es el gráfico que representa esta situación?, ¿cómo lo hiciste?<br />
• ¿De qué depende el precio final a pagar por las empanadas?<br />
Después de completar la tabla de la situación presentada,<br />
podemos observar que para seis empanadas se cancelan $ 5100,<br />
ya que 850 • 6 = 5100. En este caso, la expresión algebraica que<br />
modela esta situación es:<br />
y = 850x, o bien f (x) = 850x<br />
donde x representa la cantidad de empanadas por comprar e y<br />
representa el valor total a pagar por las empanadas compradas.<br />
Luego, para diecinueve empanadas se cancelan $ 16 150, ya que,<br />
para x = 19, se tiene que y = 850 • 19 = 16 150, o bien<br />
f (19) = 850 • 19 = 16 150.<br />
Para treinta y dos empanadas se cancelan $ 27 200, ya que, para<br />
x = 32, se tiene que y = 850 • 32 = 27 200, o bien<br />
f (32) = 850 • 32 = 27 200.
Observa el gráfico que relaciona la cantidad de empanadas y su precio.<br />
Precio ($)<br />
9000<br />
8000<br />
7000<br />
6000<br />
5000<br />
4000<br />
3000<br />
2000<br />
1000<br />
En este caso, para distintos valores de x (cantidad de empanadas)<br />
se obtendrán distintos valores para y (precio de las empanadas).<br />
Además, el valor total de las empanadas compradas depende de la<br />
cantidad que se compren, es decir, el valor de la variable y depende<br />
del valor de la variable x.<br />
No olvides que...<br />
Actividades<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13<br />
1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente.<br />
a) El volumen de un cubo y su arista.<br />
b) Un número y su sucesor.<br />
c) La cantidad de kilogramos de pan y el precio total.<br />
Cantidad de<br />
empanadas<br />
Unidad 6<br />
• Una relación entre dos variables x e y se puede representar o modelar por una ecuación tal<br />
que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Como el valor de y depende del<br />
valor x, se dice que y es la variable dependiente y x la variable independiente.<br />
• Para representar una función en un gráfico, los valores de la variable independiente se<br />
representan sobre el eje horizontal o de las abscisas, y los valores de la variable dependiente<br />
se representan sobre el eje vertical o de las ordenadas.<br />
• La variable y puede también escribirse como f (x) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”.<br />
Por ejemplo, la función y = 150 000 + 25 000x, también se puede escribir como<br />
fx = 150 000 + 25 000x.<br />
Funciones y relaciones proporcionales 175
2. Las entradas para asistir a un concierto de hip hop tienen un valor general de $ 10 500.<br />
a) ¿Cuál es el precio de siete entradas?, ¿y de doce?<br />
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?<br />
c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?<br />
d) Completa la siguiente tabla según corresponda.<br />
e) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.<br />
3. Observa los valores de la siguiente tabla y complétala.<br />
a) Si el lado del cuadrado mide 9 cm, ¿cuánto mide su perímetro?, ¿y si mide 15 cm?<br />
b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?<br />
c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?<br />
4. El maestro Camilo pinta todo tipo de muros. Él cobra $ 5000 por metro cuadrado pintado<br />
y $ 6800 por la evaluación en terreno del trabajo antes de realizarlo.<br />
a) Completa la siguiente tabla que relaciona los metros cuadrados por pintar y el costo<br />
completo del trabajo.<br />
b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?<br />
c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?, ¿por qué?<br />
d) Si el maestro Camilo no cobrara por la evaluación y pidiera $ 6000 por metro cuadrado<br />
pintado, ¿cuál es la función que representa esta situación? Muéstrala en un gráfico.<br />
5. Observa en el siguiente gráfico, la relación entre la longitud del lado de un triángulo equilátero<br />
y su perímetro.<br />
a) ¿Cuál es la variable dependiente?<br />
¿y la independiente?<br />
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa<br />
esta situación?<br />
c) Si el perímetro de un triángulo equilátero es 42 cm,<br />
¿cuánto mide cada uno de sus lados?, ¿por qué?<br />
176 Unidad 6<br />
x 1 Z3 7 10 12 20<br />
y<br />
Lado del cuadrado (cm) 2 3 4 5 6<br />
Perímetro del cuadrado (cm) 8<br />
m 2 1 2 3 4 5 6<br />
Total a pagar<br />
Perímetro (cm)<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
1 2 3 4 5<br />
Lado triángulo<br />
equilátero (cm)
6. Consuelo hace clases particulares a domicilio. Completa la siguiente tabla con el dinero que<br />
Consuelo puede reunir durante un mes.<br />
Cantidad de<br />
clases<br />
Dinero<br />
reunido ($)<br />
a) ¿Cuánto dinero reúne Consuelo en seis clases?, ¿y en dieciséis?<br />
b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?<br />
c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?<br />
d) Construye en tu cuaderno el gráfico correspondiente.<br />
En equipo<br />
1 4 6 16<br />
4500 40 500 54 000<br />
En esta actividad deberán utilizar palitos de fósforo para formar triángulos. Formen grupos de<br />
cuatro integrantes y sigan las instrucciones.<br />
1. Formen un triángulo con tres palitos de fósforo.<br />
2. Luego, con dos palitos más formen dos triángulos, como se observa en la figura.<br />
Un triángulo<br />
Dos triángulos<br />
3. Con dos palitos más formen tres triángulos, con dos más cuatro triángulos y así, vayan<br />
agregando dos palitos más para formar un triángulo más cada vez.<br />
4. Según lo obtenido, comenten y respondan:<br />
a) ¿Qué tipo de triángulos son los que se forman?, ¿por qué?<br />
b) En una tabla anoten la cantidad de triángulos que se forman y la cantidad de palitos<br />
utilizados en cada caso, ¿qué observan?<br />
c) ¿Cuántos palitos son necesarios para formar siete triángulos?, ¿y veinte?, ¿y ciento tres?,<br />
¿por qué?<br />
d) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?<br />
e) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?<br />
Unidad 6<br />
Funciones y relaciones proporcionales 177
178 Unidad 6<br />
Dominio y recorrido<br />
Daniel hizo ciento sesenta alfajores y quiere envasarlos en cajas<br />
que contengan la misma cantidad de unidades. Observa la<br />
siguiente tabla.<br />
Cantidad de cajas 8 10 12 16 20 30<br />
Cantidad de<br />
alfajores por caja<br />
Para discutir<br />
20 16 13,3 10 8 5,3<br />
• ¿Cuántas cajas necesita para distribuir los alfajores?, ¿por qué?<br />
• ¿Cuál es la función que modela esta situación?<br />
• ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?<br />
• ¿Qué valores puede tomar en este caso la variable x?, ¿y la<br />
variable y?, ¿por qué?<br />
Daniel quiere envasar todos los alfajores y repartirlos equitativamente<br />
en las cajas. Por lo tanto, si observamos la tabla anterior, notamos<br />
que no podría usar doce cajas, tampoco treinta, ya que tendría que<br />
partir los alfajores, o las cajas no tendrían la misma cantidad.<br />
160<br />
Luego, la función que modela esta situación es y = , donde la<br />
x<br />
variable independiente x es la cantidad de cajas y la variable<br />
dependiente y es la cantidad de alfajores por caja. En este caso,<br />
los valores de x y los de y deben ser números enteros positivos.<br />
Como 160 debe ser divisible por x, los valores que puede tomar la<br />
variable x en este caso son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160.<br />
El conjunto de valores mencionados corresponden al dominio de la<br />
función y son todos aquellos valores que la variable independiente<br />
x puede tomar.<br />
En el caso de los valores resultantes, al remplazar los valores del<br />
dominio son: 160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1.<br />
Estos valores corresponden al recorrido de la función y son todos<br />
aquellos valores que toma la variable dependiente y.<br />
Finalmente, los conjuntos dominio y recorrido de la función<br />
f (x) =<br />
160<br />
son:<br />
x<br />
Dom ( f ) = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160<br />
Rec ( f ) = {160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1}
No olvides que...<br />
• Se llama dominio de una función, y se expresa por Dom ( f ), al conjunto de valores que la<br />
variable independiente x puede tomar en la función f .<br />
• Se llama recorrido de una función, y se expresa por Rec ( f ), al conjunto de valores que<br />
toma la variable dependiente y, es decir, todos los valores que resultan al remplazar los<br />
valores del dominio en la función f .<br />
Actividades<br />
1. Entre dos ciudades hay una distancia de 360 km. Construye una tabla de valores que relacione la<br />
rapidez constante y el tiempo que emplearían diversos automóviles en recorrer esta distancia,<br />
considerando que la rapidez máxima es de 120 km/h. A partir de la tabla, determina el dominio<br />
y el recorrido de la función.<br />
2. El valor general de las entradas para asistir a un teatro es de $ 4500 y su capacidad máxima es<br />
para ciento cincuenta personas.<br />
a) ¿Cuánto dinero se recauda si asisten ochenta y seis personas?, ¿y si van ciento treinta y tres?<br />
b) ¿Cuál es la función que determina esta situación?<br />
c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?<br />
d) Determina el dominio y recorrido de esta función.<br />
3. Romina tiene trescientos caramelos que reparte entre los niños del barrio, entregándoles la<br />
misma cantidad de dulces a cada uno.<br />
a) ¿Cuántos caramelos les regala a cada niño si son quince?, ¿y a veinticinco?<br />
b) Determina la expresión algebraica que representa esta situación.<br />
c) Si uno de los niños recibe cinco dulces, ¿a cuántos niños les repartió los caramelos?<br />
d) Determina el dominio y recorrido de esta función.<br />
4. En un triángulo rectángulo la medida de uno de los ángulos agudos se puede representar por la<br />
función y = 90 – x.<br />
a) ¿Qué representa la variable independiente x en este caso?<br />
b) ¿Qué valores puede tomar la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué?<br />
c) ¿Qué sucede con el ángulo x si el triángulo es isósceles?<br />
d) Construye en tu cuaderno una tabla que represente esta situación.<br />
Unidad 6<br />
Funciones y relaciones proporcionales 179
Herramientas tecnológicas<br />
Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones, determinar la<br />
expresión algebraica asociada y observar su dominio y recorrido.<br />
Gráfico de una función en Excel<br />
1º En la columna A escribe el doble de los siete primeros números naturales, en orden creciente,<br />
es decir, en la celda A1 escribe el doble de 1, en A2 el doble de 2, en A3 el doble de 3,<br />
así sucesivamente, hasta A7.<br />
2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:<br />
3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”.<br />
4º En las opciones de gráficos selecciona “XY Dispersión”.<br />
5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la planilla, como el que<br />
aparece a continuación:<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
6º Además, puedes poner el siguiente título al gráfico: Relación entre un número natural y su doble.<br />
Luego de desarrollar los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades.<br />
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al gráfico anterior?, ¿cuál es su dominio?,<br />
¿y el recorrido?<br />
b) En una nueva planilla de cálculo, escribe el área de seis cuadrados, cada uno tiene como<br />
medida de sus lados un número natural (en cm), partiendo desde 1 hasta 6, en orden<br />
creciente. Luego, sigue nuevamente los seis pasos y responde las preguntas anteriores.<br />
c) En el almacén de don Luis se venden masticables a $ 40 cada uno.<br />
• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?<br />
• Sigue los seis pasos anteriores para graficar esta función, en una nueva planilla de cálculo.<br />
• ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?<br />
• ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?<br />
• ¿Cuánto costarán diecisiete masticables?, ¿por qué?<br />
180 Unidad 6
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.<br />
1. En una florería, cada rosa vale $ 1200. Si x representa la cantidad de rosas de un ramo e y<br />
su costo, ¿cuál es la función que representa el precio de un ramo de rosas?<br />
A. y = 1200 B. y = 1200 + x C. y = 1200x D. y =<br />
2. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta?<br />
1200<br />
x<br />
x 1 2 3 4 5 6 7<br />
y 5 7 9 11 13 15 17<br />
Unidad 6<br />
A. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable<br />
dependiente.<br />
B. Si el dominio de la función y = 3x corresponde al conjunto de los números naturales,<br />
el recorrido está compuesto por los divisores de tres.<br />
C. El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.<br />
D. La relación entre un número natural y su doble es una función que algebraicamente se<br />
representa como y = 2x.<br />
3. La función y = 130x representa el dinero (y) que se recauda en un día según la cantidad (x) de<br />
sopaipillas vendidas en una panadería.<br />
a) Si un día contabilizaron $ 12 610, ¿cuántas sopaipillas se vendieron?<br />
b) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?<br />
c) ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste.<br />
d) Grafica esta función en tu cuaderno.<br />
4. ¿Puedes determinar una expresión algebraica que modela los valores de la siguiente tabla?<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Reconocer la función que representa una situación dada. 1<br />
Analizar la veracidad de afirmaciones asociadas a funciones. 2<br />
Resolver un problema que requiere analizar una función. 3<br />
Analizar una función escrita en tabla y escribirla algebraicamente. 4<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
Funciones y relaciones proporcionales 181
Glosario<br />
constante: es un valor de tipo<br />
permanente, que no se modifica,<br />
en una situación dada.<br />
182 Unidad 6<br />
Variaciones proporcionales y no<br />
proporcionales<br />
Marisol amplió unas fotografías de su hija, al verlas se dio cuenta<br />
de que una de ellas está “distorsionada”, es decir, la imagen no se<br />
ve igual que la fotografía original.<br />
Completa la tabla.<br />
Fotografía 2<br />
Para discutir<br />
Fotografía 3<br />
Largo (cm) Ancho (cm)<br />
Fotografía (1) 4 2<br />
Fotografía (2) 6 2<br />
Fotografía (3) 6 3<br />
Fotografía original (1)<br />
Razón entre<br />
largo y ancho<br />
• ¿Cuál es el valor de la razón en cada caso?<br />
• ¿Cuáles de las razones entre las medidas de los lados de las<br />
fotografías forman una proporción?, ¿por qué?<br />
• ¿Cuál es la fotografía “distorsionada”?, ¿por qué?<br />
En la situación presentada, al calcular el valor de la razón de la<br />
fotografía original, de la fotografía 2 y de la fotografía 3,<br />
obtenemos 2, 3 y 2, respectivamente. Notemos que en la fotografía<br />
original y en la fotografía 3 el valor de la razón se mantiene<br />
constante, por lo tanto, la fotografía 3 está correctamente<br />
ampliada; en este caso, diremos que las fotografías 1 y 3 son<br />
proporcionales, mientras que las fotografías 1 y 2 no son<br />
proporcionales, ya que sus razones no forman una proporción,<br />
es decir, la fotografía 2 es la que se ve distorsionada.
No olvides que...<br />
• Si el valor de la razón entre dos variables se mantiene constante (no cambia) estas variables<br />
son proporcionales.<br />
Actividades<br />
1. Mide el largo y ancho de las siguientes fotografías y determina si son proporcionales a<br />
la fotografía original.<br />
Fotografía original<br />
a) c)<br />
b)<br />
2. Un padre tiene 40 años de edad y su hijo, 20 años. Completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Padre 41<br />
Hijo 21<br />
Tiempo transcurrido en años<br />
1 5 10 15<br />
• ¿La edad del padre y la del hijo son proporcionales a medida que transcurren los años?,<br />
¿por qué?<br />
3. Observa los datos respecto de la temperatura de un paciente en un día cualquiera.<br />
Hora (h) 8 9 10 11 12 13 14<br />
Temperatura (ºC) 37,5 37 38 38,5 39 37,5 38<br />
a) ¿Cuáles son las variables que intervienen?<br />
b) Estas variables ¿son proporcionales o no proporcionales?, ¿por qué?<br />
c) Construye el gráfico correspondiente.<br />
Unidad 6<br />
Funciones y relaciones proporcionales 183
184 Unidad 6<br />
Relación de proporcionalidad directa<br />
En una ciudad del país, el valor de un boleto de locomoción pública<br />
cuesta $ 430.<br />
El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan<br />
la relación entre la cantidad de boletos vendidos y el precio.<br />
Completa la tabla.<br />
Precio ($)<br />
2000<br />
1500<br />
1000<br />
500<br />
1 2 3 4 5<br />
Para discutir<br />
Cantidad<br />
de boletos<br />
Cantidad<br />
de boletos<br />
Total por pagar<br />
($)<br />
1 430 • 1 = 430<br />
2 430 • 2 = 860<br />
• ¿Cuánto pagarías por cinco boletos?, ¿y por veinticuatro?<br />
• ¿Cuál es la función que modela esta situación?<br />
• ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?, ¿cuál es su<br />
dominio y recorrido?<br />
• ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos<br />
vendidos?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es siempre el mismo?<br />
La situación presentada se puede modelar mediante la función<br />
f (x) = 430x. En este caso, el precio total (variable y) depende de la<br />
cantidad de boletos vendidos (variable x), por lo tanto, el total<br />
corresponde a la variable dependiente y la cantidad de boletos a la<br />
variable independiente. Además, dado que se trata de cantidad de<br />
boletos, podemos notar que los valores que puede tomar la<br />
variable x, son el conjunto de los números naturales, es decir,<br />
Dom ( f ) = y los valores que resultan al remplazar los números<br />
naturales en la función son múltiplos de 430, es decir,<br />
Rec ( f ) = 430, 860, 1290, 1720, ….<br />
Para saber cuánto se cancela por cinco boletos podemos calcular<br />
el valor de la función para x = 5, remplazando obtenemos:<br />
f (5) = 430 • 5 = 2150, lo que significa que se pagará $ 2150.<br />
Si queremos saber cuánto se cancela por veinticuatro boletos<br />
calculamos f (24) = 430 • 24 = 10 320, es decir, se pagará $ 10 320.<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7
En esta situación, el valor de la razón entre el total a pagar y la<br />
cantidad de boletos vendidos es constante, ya que,<br />
430 860 1290<br />
= = = 430.<br />
1 2 3<br />
En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta<br />
y<br />
forma, es decir, si el valor de la razón es constante, las variables<br />
x<br />
son directamente proporcionales. Además, notemos que, en este<br />
ejemplo, mientras más boletos compramos, más dinero debemos<br />
pagar. En general, en una relación de proporcionalidad directa si<br />
una de las variables aumenta o disminuye, la otra también aumenta<br />
o disminuye en la misma razón.<br />
No olvides que...<br />
• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, son directamente<br />
y<br />
y<br />
proporcionales si el valor de la razón es constante, es decir, = k, donde k es la constante<br />
x<br />
x<br />
de proporcionalidad.<br />
• Esta relación de proporcionalidad directa se puede representar como una función de la forma<br />
y = kx. La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una misma<br />
recta que pasa por el origen en un sistema de coordenadas cartesianas.<br />
• En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra también<br />
aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra también disminuye<br />
en un mismo factor.<br />
Actividades<br />
1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional.<br />
Justifica tus respuestas.<br />
a) El número de hojas de un libro y su peso.<br />
b) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.<br />
c) Las longitudes de los lados de un triángulo y su área.<br />
d) El precio de las entradas para ir al cine y la cantidad comprada.<br />
e) El número de trabajadores y los días que demoran en terminar su trabajo.<br />
f) La longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.<br />
Unidad 6<br />
Funciones y relaciones proporcionales 185
2. En los días de calor, el dueño de un kiosco vende muchos helados, por eso diseña una tabla con<br />
los posibles pedidos. Complétala.<br />
a) ¿Cuál es la razón entre el precio y la cantidad de helados?, ¿cuál es el valor de la razón?,<br />
¿es constante?, ¿por qué?<br />
b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?<br />
c) ¿Cuánto costarán dieciocho helados?, ¿y treinta y cinco?, ¿por qué?<br />
d) Completa el gráfico de esta función.<br />
3. Observa el rectángulo. Luego, completa la tabla y el gráfico correspondiente y responde.<br />
a) ¿Qué sucede con el perímetro a medida que x aumenta?, ¿y si disminuye?<br />
b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? Explica cómo la encontraste.<br />
186 Unidad 6<br />
Cantidad de helados 1 2 5 8 12 17<br />
Precio ($) 360<br />
x 3x<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
Precio ($)<br />
2000<br />
1600<br />
1200<br />
800<br />
400<br />
1 2 3 4 5 6 7<br />
x<br />
Perímetro<br />
rectángulo (y)<br />
3x<br />
Perímetro (y)<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
Cantidad de helados<br />
1 2 3 4 5<br />
Ancho (x)
4. El siguiente gráfico indica la distancia recorrida por dos autos, uno rojo y uno verde, en un<br />
tiempo determinado sin que cambien sus velocidades en el tiempo.<br />
Distancia (km) Trayectoria de 2 autos<br />
120<br />
110<br />
100<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
1 2 3<br />
Tiempo (h)<br />
Unidad 6<br />
a) Completa las tablas según el gráfico.<br />
b) ¿Cuál de los dos autos va más rápido?, ¿por qué?<br />
c) ¿En cuánto tiempo el auto verde recorrerá 60 km?<br />
d) ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el auto rojo?, ¿y para el verde?<br />
e) ¿A qué distancia del punto inicial se encontrará el auto verde en 10 horas más?<br />
f) ¿Cuánto tiempo se demorará el auto rojo en recorrer 480 km?<br />
g) ¿Cuál es la función que representa la distancia recorrida por el auto rojo?, ¿y la del auto verde?<br />
En equipo<br />
Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.<br />
Tiempo (h) Distancia (km)<br />
1 30<br />
Tiempo (h) Distancia (km)<br />
2 80<br />
1. En esta actividad deberán buscar información en diversas fuentes para completar y responder<br />
las siguientes preguntas.<br />
a) Los trenes del Metro de Santiago viajan con una rapidez promedio de por hora<br />
entre cada estación.<br />
b) Si la distancia desde Santiago a Talca es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro en<br />
llegar a esa ciudad si no realizara detenciones?<br />
c) Si la distancia desde Valparaíso a Temuco es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro<br />
en llegar a esa ciudad si no realizara detenciones?<br />
d) Si el Metro logró llegar a su destino en 2,8 horas, ¿cuántos kilómetros recorrió<br />
aproximadamente sin considerar las detenciones?<br />
Funciones y relaciones proporcionales 187
Nº de días<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
10 20 30 40 50<br />
188 Unidad 6<br />
Relación de proporcionalidad inversa<br />
Para terminar la construcción de un edificio, el ingeniero a cargo ha<br />
calculado que con diez obreros igualmente calificados y trabajando<br />
en las mismas condiciones, termina la obra en treinta días.<br />
El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan la<br />
relación entre el número de obreros y los días que tardan en<br />
terminar el edificio. Completa la tabla.<br />
Nº de obreros<br />
Para discutir<br />
Número de<br />
obreros<br />
Número de<br />
días<br />
5 10 20 30 50<br />
30 6<br />
• ¿Qué sucedería si contrataran a 10 obreros más y trabajaran todos<br />
al mismo ritmo?, ¿se demorarían más o menos tiempo?, ¿y si<br />
contratara a la mitad de obreros considerados inicialmente?<br />
• ¿Cuál es el producto entre el número de obreros y los días que<br />
tardan en terminar el edificio?, ¿es constante?<br />
• ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio<br />
y su recorrido?<br />
En la situación presentada anteriormente, si contrataran a veinte<br />
obreros, estos tardarían quince días en realizar la obra, pues al<br />
duplicarse el personal y si trabajan al mismo ritmo, tardarían la<br />
mitad del tiempo en terminar el trabajo. En cambio, si contrataran<br />
a cinco obreros, estos se demorarían sesenta días en realizar el<br />
trabajo, ya que como corresponden a la mitad de los considerados<br />
inicialmente, tardarían el doble del tiempo en terminar el trabajo.<br />
Notemos que la variable independiente x es el número de obreros<br />
y la variable dependiente y es el número de días.<br />
Observa que, el producto entre el número de obreros y los días<br />
que tardan en terminar el edificio es constante, pues<br />
5 • 60 = 10 • 30 = 20 • 15 = 300.<br />
En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta<br />
forma, es decir, si su producto x • y es constante, las variables son<br />
inversamente proporcionales.
Por otro lado, notemos que si aumenta la cantidad de obreros,<br />
disminuye la cantidad de días que demoran en realizar el trabajo en<br />
la misma razón y, si la cantidad de obreros disminuye, aumenta la<br />
cantidad de días que tardarán en realizar la obra en la misma razón.<br />
300<br />
Luego, la función que modela esta situación es y = , donde x<br />
x<br />
corresponde al número de obreros y son números naturales e y<br />
corresponde a los días, por lo que son números naturales también.<br />
Los valores que puede tomar la variable x son números naturales<br />
divisores de 300, es decir, Dom ( f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, …, 300 y<br />
los valores que resultan al remplazar estos números corresponden<br />
al recorrido de la función, es decir, Rec ( f ) = 300, 150, 100, …, 2, 1.<br />
No olvides que...<br />
• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, están en proporción inversa<br />
cuando el producto entre ellas se mantiene constante, es decir, x • y = k, donde k es la<br />
constante de proporcionalidad.<br />
• Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma<br />
k<br />
y = . La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una curva,<br />
x<br />
llamada hipérbola.<br />
• En una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra<br />
disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en un<br />
mismo factor.<br />
Actividades<br />
1. Indica si las siguientes variables son inversamente proporcionales. Justifica tus respuestas.<br />
a) La longitud de los lados de un triángulo equilátero y su perímetro<br />
b) El número de días que tardan en realizar un trabajo un cierto número de secretarias.<br />
c) El número de dulces del mismo tipo que compró y lo que pagó por ellos.<br />
d) La rapidez con la que se recorre un camino y el tiempo en que se recorre.<br />
e) Litros de bencina del estanque de un automóvil y los kilómetros que rinde.<br />
f) El caudal de una llave y el tiempo que se demora en llenar un estanque.<br />
Unidad 6<br />
Funciones y relaciones proporcionales 189
2. El 8º A irá a una ciudad del sur de Chile como gira de estudios. Los apoderados quieren que el<br />
lugar de destino sea sorpresa y la única información que les dan es que si el bus va a 80 km/h,<br />
tardarían 6 horas en llegar al lugar.<br />
a) ¿A qué distancia se encuentran de esta ciudad?<br />
b) Completa la siguiente tabla que indica la rapidez posible del vehículo y el tiempo que<br />
tardarían con cada una de ellas para llegar a la ciudad. Completa el gráfico correspondiente.<br />
c) ¿Cuál es la función que relaciona la rapidez y el tiempo, en este caso?, ¿cuál es su dominio?<br />
d) ¿A qué rapidez debe ir el vehículo para tardar 5 horas en llegar?<br />
e) Si el vehículo fuese a una rapidez de 50 km/h, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar a destino?<br />
f) Si la rapidez promedio de una persona al caminar es de 5 km/h, ¿cuánto demoraría una<br />
persona en realizar el mismo viaje?<br />
g) Si unes los puntos del gráfico, ¿qué obtienes?<br />
3. En cada caso, completa la tabla, explica por qué las variables están inversamente relacionadas,<br />
determina la función que las modela y construye el gráfico en tu cuaderno.<br />
a) El área de un rectángulo es 6 cm 2 .<br />
b) Un tren debe recorrer 600 kilómetros. ¿Cuánto tiempo tardará si lleva una rapidez constante?<br />
c) Un panadero elaboró 144 alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma<br />
cantidad de unidades. ¿Cuántas cajas podría armar según la cantidad de alfajores que se<br />
indican en la tabla?<br />
190 Unidad 6<br />
Tiempo (h) Rapidez (km/h)<br />
4<br />
6 80<br />
60<br />
10<br />
12<br />
Rapidez (km/h)<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
2 4 6 8 10 12 14 16<br />
base (cm) 1 1,5 2 3 4 6<br />
2 Área 6 cm<br />
altura (cm)<br />
Rapidez constante (km/h) 40 50 60 100 120<br />
Tiempo (h) 6<br />
Cantidad de alfajores por caja<br />
Cantidad de cajas<br />
6 12 18 24<br />
0<br />
Tiempo (h)
Unidad 6<br />
4. Descubre qué tablas expresan funciones de proporcionalidad inversa y cuáles directa. En cada<br />
caso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) donde corresponde. Luego, escribe la<br />
función que modela los datos en cada tabla.<br />
x y<br />
4 5<br />
2 10<br />
1 20<br />
0,5 40<br />
k = k = k = k =<br />
5. Resuelve en tu cuaderno y, luego, completa la tabla.<br />
Problema<br />
Quince máquinas iguales hacen su<br />
trabajo en cinco días. ¿Cuántas<br />
máquinas se necesitan para hacer<br />
el trabajo en un día?<br />
Una persona acumula en promedio<br />
1 kg de basura diaria. ¿Cuántos<br />
kilogramos juntará en diez días?<br />
Si van doce niños a un campamento,<br />
los alimentos durarán seis días.<br />
Si todos comen la misma cantidad,<br />
¿cuántos días durará la comida si van<br />
seis niños más?<br />
Dos ciclistas demoran cuatro horas<br />
en llegar a la playa viajando con una<br />
rapidez de 30 km por hora. ¿Con qué<br />
rapidez tendrían que viajar para tardar<br />
tres horas?<br />
La impresora de un colegio reproduce<br />
cincuenta y cuatro informes de notas<br />
en tres minutos. ¿Cuántos informes<br />
imprime en cinco minutos?<br />
x y<br />
7 21<br />
2 6<br />
10 30<br />
0,5 1,5<br />
Tipo de<br />
proporcionalidad<br />
x y<br />
3 525<br />
5 875<br />
2 350<br />
10 1750<br />
Función que la<br />
representa<br />
x y<br />
3 8<br />
6 4<br />
12 2<br />
1 24<br />
Respuesta al<br />
problema<br />
Funciones y relaciones proporcionales 191
Herramientas tecnológicas<br />
Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones de proporcionalidad<br />
directa e inversa.<br />
Gráfico de funciones proporcionales y no proporcionales<br />
1º Para graficar la función que representa la relación entre un número natural y su triple, en la<br />
columna A escribe los primeros seis valores del recorrido de la función, es decir: 3, 6, 9, 12,<br />
15 y 18.<br />
2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:<br />
3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego la opción “Gráfico”. En las opciones de gráficos<br />
selecciona “XY Dispersión”.<br />
4º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que aparezca en la planilla un gráfico como el siguiente:<br />
Luego de realizar los pasos anteriores:<br />
a) Grafica la función que representa la relación entre un número natural y su sucesor.<br />
b) Grafica la función que representa la relación entre un grupo de amigos que están de<br />
vacaciones y la cantidad de días que les alcanzará el alimento, considerando que para tres<br />
personas el alimento alcanza cuatro días y todos los días consumen la misma cantidad.<br />
c) Escribe función que modela cada situación.<br />
d) ¿Cuál es el dominio de cada función anterior?, ¿y su recorrido?<br />
e) En las funciones anteriores ¿las variables se relacionan en forma proporcional? Explica.<br />
f) ¿Qué semejanzas observas en los gráficos de cada función?, ¿y qué diferencias?<br />
g) ¿Alguna de las situaciones anteriores no representa una variación proporcional?, ¿cuál?, ¿por qué?<br />
192 Unidad 6<br />
20<br />
18<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7
Mi progreso<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.<br />
1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?<br />
A. La cantidad de kilogramos de pan y su costo son proporcionales a medida que aumenta la<br />
cantidad de pan.<br />
B. En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta la otra<br />
también aumenta.<br />
C. La edad de Juan (12) y su hermano Luis (15) son proporcionales a medida que transcurren<br />
los años.<br />
D. En una función de proporcionalidad inversa el producto entre las variables es constante.<br />
3. La función que relaciona el tiempo y la rapidez en la pregunta anterior es:<br />
200<br />
A. y =<br />
x<br />
x<br />
B. y =<br />
200<br />
C. y = 200x D. y = 2 • 100<br />
Unidad 6<br />
2. Carlos viajó a la costa la semana pasada. Tardó dos horas en llegar al destino viajando a 100 km/h<br />
durante todo el trayecto. ¿Cuánto hubiese demorado si fuera a 80 km/h durante todo el viaje?<br />
A. 2 h y 5 m B. 4 h C. 2 h y 50 m D. 2 h y 30 m<br />
4. Laura hará un queque para quince personas, usando una receta que necesita cinco huevos.<br />
a) Si usa esta receta, ¿cuántos huevos necesitará para hacer un queque para veintiún personas?<br />
b) ¿Qué función representa esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?<br />
c) Construye el gráfico que representa esta situación.<br />
Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.<br />
Criterio Ítem Respuestas correctas<br />
Analizar afirmaciones relacionadas con magnitudes proporcionales<br />
y no proporcionales.<br />
1<br />
Analizar una situación de proporcionalidad inversa. 2<br />
Reconocer una función de proporcionalidad inversa escrita en<br />
lenguaje algebraico.<br />
3<br />
Resolver un problema sobre función de proporcionalidad directa. 4<br />
¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera<br />
la estrategia utilizada.<br />
Funciones y relaciones proporcionales 193
Buscando estrategias<br />
En una distribuidora de productos al por mayor se venden cajas de galletas según la<br />
siguiente regla: la primera caja cuesta $ 5000, la segunda cuesta $ 100 menos, la siguiente<br />
cuesta $ 100 menos que la anterior, y así sucesivamente, con un límite de veinticinco cajas. Si<br />
Diego compra veinte cajas de galletas, ¿cuánto pagó por la última caja?<br />
Comprender<br />
• ¿Qué sabes del problema?<br />
Que la primera caja cuesta $ 5000, la segunda $ 100 menos, la tercera $ 100 menos que la<br />
anterior, y así sucesivamente.<br />
• ¿Qué debes encontrar?<br />
El costo de la vigésima caja, si se sigue la regla.<br />
Planificar<br />
• ¿Cómo resolver el problema?<br />
Para resolver el problema encontraremos la expresión algebraica que modela esta situación.<br />
Es conveniente construir una tabla de valores, a modo de observar el comportamiento de la<br />
función, para así encontrar una expresión algebraica que la represente y, finalmente,<br />
evaluar la función en el valor pedido (20) para responder a la pregunta.<br />
Resolver<br />
• En la siguiente tabla se muestran algunos valores para cada caja de galletas y el monto<br />
por pagar:<br />
Luego, podemos escribir la función que representa el costo de una caja, considerando<br />
cuántas ya se han comprado:<br />
y = 5000 – 100(x – 1)<br />
donde x es la cantidad de cajas de galletas, e y es el costo de la caja.<br />
Finalmente, evaluamos la función en x = 20 y obtenemos:<br />
y = 5000 – 100(20 – 1) = 5000 – 100 • 19 = 3100<br />
Responder<br />
• El valor de la vigésima caja, si se sigue la regla, es de $ 3100.<br />
Revisar<br />
• Para comprobar que la vigésima caja tiene un costo de $ 3100, podemos completar la<br />
tabla hasta la caja número 20.<br />
194 Unidad 6<br />
Cajas de galletas 1 2 3 4 5 6<br />
Costo de la caja ($) 5000 4900 4800 4700 4600 4500
1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.<br />
Unidad 6<br />
a) Claudia solicitó un crédito para comprar una camioneta para su taller. Si el monto total del<br />
crédito es de $ 3 600 000, y lo cancelará en 36 cuotas iguales, ¿cuál es el monto por pagar<br />
después de pagar la octava cuota?, ¿y la cuota número 25?, ¿cuál es la función que<br />
representa esta situación?<br />
b) María Elena compró un saco de 20 kg de cebollas en la vega. Si cada día utiliza 400 g en<br />
las distintas recetas que prepara, ¿cuánta cebolla le queda después de dos semanas?, ¿cuál<br />
es la función que representa esta situación?<br />
c) Un veterinario cobra $ 7000 por realizar un aseo<br />
completo a un perro. Si se asean más perros, se<br />
efectúa el siguiente descuento: el segundo $ 350<br />
menos, el tercero $ 350 menos que el anterior, y así<br />
se sigue esta regla sucesivamente hasta el décimo perro.<br />
Si Manuel llevó a asear a sus ocho perros:<br />
• ¿cuánto pagó por el octavo perro?, ¿y cuánto<br />
pagó en total?<br />
• ¿cuál es la expresión algebraica que representa<br />
esta situación?<br />
• ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido?<br />
2. Ahora, resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.<br />
Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.<br />
3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el<br />
procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,<br />
¿por qué?<br />
a) Carolina tiene una deuda con su amiga Beatriz. Acordaron que Carolina le pagaría en doce<br />
cuotas de la siguiente forma: el primer mes abonaría $ 9000, el segundo $ 700 más, el<br />
tercero $ 700 más que el mes anterior, y así sucesivamente hasta saldar la deuda completa.<br />
• ¿Cuánto canceló Carolina el séptimo mes?, ¿y el décimo?<br />
• ¿Cuánto debe en total Carolina a su amiga?<br />
• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?<br />
b) En una fábrica de empanadas compran 5 kg de aceitunas semanalmente para su<br />
elaboración. La semana pasada utilizaron 800 g diarios de aceitunas. ¿Cuántas aceitunas<br />
quedaron, si fabrican empanadas de lunes a sábado?<br />
Funciones y relaciones proporcionales 195
Conexiones<br />
Para finalizar<br />
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla, escribiendo Sí, A veces y No, según<br />
corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.<br />
Respetó las opiniones de los demás integrantes.<br />
Cumplió con las tareas comprometidas.<br />
Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.<br />
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?<br />
196 Unidad 6<br />
NACIONAL<br />
Día Mundial sin Tabaco<br />
La adicción al tabaco es una enfermedad crónica, considerada<br />
por la Organización Mundial de la Salud (OMS) como la causa principal<br />
de enfermedades, invalidez y mortalidad prematura a nivel mundial.<br />
Además, no solo afecta a los fumadores, sino que a aquellas<br />
personas que están cerca de un fumador y respiran el mismo aire (los<br />
fumadores pasivos). En Chile, el 17% de las muertes que cada año<br />
ocurren se atribuyen al consumo de tabaco.<br />
La OMS ha establecido el 31 de mayo como el Día Mundial sin<br />
Tabaco y nuestro país no está ajeno a esta cruzada, en la que se llama a<br />
tomar conciencia para frenar su consumo, pues ha alcanzado niveles<br />
alarmantes, situándonos como el país con la población más fumadora de<br />
la región: en promedio ocho cigarrillos diarios (Estadísticas de consumo<br />
de tabaco en Chile).<br />
Fuentes: Ministerio de Salud, www.redsalud.gov.cl/noticias/noticias.php?id_n=449&show=5-2009 ,<br />
publicada el 29 de mayo de 2009.<br />
Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.<br />
1. Consideren la cantidad promedio de cigarrillos que fuma una persona chilena y, luego, respondan.<br />
a) ¿Cuántos cigarrillos fumará una persona en un año?, ¿y en ocho años?, ¿cuáles son las<br />
consecuencias a corto y largo plazo de fumar?<br />
b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido?<br />
2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la<br />
solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.<br />
3. Averigüen qué programas o actividades se han realizado este año en nuestro país para<br />
promover la vida sana libre del tabaquismo.<br />
Evaluamos nuestro trabajo<br />
Gentileza MINSAL.<br />
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
Unidad 6<br />
A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales<br />
conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace.<br />
VARIABLES DEPENDIENTES<br />
VARIACIONES PROPORCIONALES<br />
DIRECTA INVERSA<br />
SITUACIONES CON<br />
DOS VARIABLES<br />
FUNCIONES<br />
Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.<br />
1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.<br />
2. ¿Cómo reconoces una función?, ¿cuáles son sus características?, ¿cómo se expresa una<br />
función en lenguaje algebraico?<br />
3. ¿Qué diferencias hay entre variables dependientes e independientes?, ¿y qué semejanzas?<br />
4. ¿Qué caracteriza al dominio de una función?, ¿y al recorrido?<br />
VARIABLES INDEPENDIENTES<br />
VARIACIONES NO<br />
PROPORCIONALES<br />
5. ¿Cuándo las variables se relacionan proporcionalmente?, ¿y cuándo no son proporcionales?<br />
6. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad directa? Da un ejemplo.<br />
7. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad inversa? Da un ejemplo.<br />
8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en<br />
tu curso e intenten aclararla en conjunto.<br />
Funciones y relaciones proporcionales 197<br />
Síntesis
¿Qué aprendí?<br />
Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.<br />
1. En una librería, el precio de cada cuaderno es<br />
de $ 890. La función que relaciona la cantidad<br />
de cuadernos y su costo es:<br />
A. y = 890 + x<br />
890<br />
B. y =<br />
x<br />
C. y = 890 – x<br />
D. y = 890x<br />
2. ¿Cuál de las siguientes situaciones no<br />
corresponde a una función?<br />
A. Un número natural y su mitad.<br />
B. La cantidad de pasajes de metro<br />
comprados y su costo.<br />
C. Los kilómetros recorridos por un automóvil<br />
(va a velocidad constante) y el tiempo<br />
que tarda.<br />
D. Los deportes que practican los integrantes<br />
de un curso.<br />
3. Si cinco pintores logran pintar una casa<br />
en cuatro días, ¿cuántos días se demoran<br />
diez pintores, trabajando en las<br />
mismas condiciones?<br />
A. Dos días.<br />
B. Veinte días.<br />
C. Cuarenta días.<br />
D. Ocho días.<br />
4. En la función: “el doble de un número natural”,<br />
¿cuál es el recorrido?<br />
A. Rec ( f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …<br />
B. Rec ( f ) = 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …<br />
C. Rec ( f ) = 2, 4, 6, 8<br />
D. Rec ( f ) = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …<br />
198 Unidad 6<br />
5. ¿Cuál de las siguientes relaciones no<br />
es proporcional?<br />
A. Distancia recorrida y tiempo utilizado<br />
(a velocidad constante).<br />
B. El peso de una mochila y la cantidad de<br />
cuadernos que lleva dentro.<br />
C. El lado de un cuadrado y su área.<br />
D. La velocidad de un automóvil y el tiempo<br />
utilizado en un recorrido de 40 km.<br />
6. En una chocolatería, el precio de un tipo de<br />
bombón es de $ 220 la unidad. ¿Cuál es la<br />
variable dependiente?<br />
A. La cantidad de bombones.<br />
B. El precio a pagar por los bombones.<br />
C. El tipo de bombón.<br />
D. La cantidad de bombones y su costo.<br />
7. El sueldo fijo mensual de un vendedor de<br />
computadores es $ 150 000 más una comisión<br />
de $ 9000 por unidad vendida. ¿Cuál de las<br />
siguientes expresiones algebraicas representa<br />
el sueldo del vendedor?<br />
A. y = 150 000x + 9000<br />
B. y = 159 000 + x<br />
C. y = 9000x + 150 000<br />
D. y = 159 000x<br />
8. Si 1200 g de mermelada se pueden envasar<br />
en seis frascos de 200 g. ¿Cuántos frascos<br />
de 150 g se necesitan para envasar 1200 g<br />
de mermelada?<br />
A. Ocho frascos.<br />
B. Treinta y tres frascos.<br />
C. Cincuenta frascos.<br />
D. Trece frascos.
9. Los valores x e y de la tabla representan una función de proporcionalidad directa.<br />
Completa con los valores que faltan y construye en tu cuaderno un gráfico.<br />
• ¿Cuál es la expresión algebraica que<br />
representa esta situación?<br />
10. El gráfico representa la relación entre la<br />
cantidad de secretarias y el tiempo que se<br />
demoran en organizar un archivo (días),<br />
trabajando todas en igualdad de condiciones<br />
y la misma cantidad de tiempo.<br />
a) ¿Qué tipo de función representa<br />
el gráfico?, ¿por qué?<br />
b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?<br />
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?<br />
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste<br />
en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.<br />
¿Qué logré?<br />
1. Marca según tu apreciación.<br />
Análisis de relaciones entre variables.<br />
Noción de función.<br />
Variables dependientes e independientes.<br />
Dominio y recorrido.<br />
Variaciones proporcionales y no proporcionales.<br />
Relación de proporcionalidad directa.<br />
Relación de proporcionalidad inversa.<br />
Resolución de problemas.<br />
2. Reflexiona y responde.<br />
x 1 16 32<br />
y 5 10 320<br />
Tiempo (días)<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
1 2 3 4 5 6<br />
No lo<br />
entendí<br />
a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?<br />
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?<br />
c) Vuelve a la página 165 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,<br />
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.<br />
Cantidad de<br />
secretarias<br />
Lo<br />
entendí<br />
Unidad 6<br />
Puedo<br />
explicarlo<br />
Funciones y relaciones proporcionales 199
Unidad 1<br />
Números enteros 10<br />
Página 11<br />
1. 12 km 2. 4 km 3. 8 km<br />
Página 12<br />
1. a) –7 < –5 d) 4 > –1<br />
b) –8 > 5 e) –3 = 3<br />
c) –10 < –15 f) 8 > –8<br />
2. a) –29 < –28 < –14 < 20 < 29 < 49<br />
b) –5 < –4 < –1 < 1 < 3 < 5<br />
c) –111 < –1 < 5 < 18 < 101 < 111<br />
d) –18 < –16 < –10 < –7 < 0 < 1<br />
e) –23 < –19 < –14 < –5 < 10 < 22<br />
f) –40 < –20 < –18 < –6 < 2 < 6<br />
3.<br />
Número Inverso Aditivo<br />
–6 6<br />
–4 4<br />
7 –7<br />
–5 5<br />
–1 1<br />
3 –3<br />
–2 2<br />
4. a) 6 c) –11 e) –8 g) –13<br />
b) –8 d) –7 f) –2 h) 5<br />
5. a) –7 ºC<br />
b) $ 3200<br />
c) A 10 m bajo el nivel del mar.<br />
d) A 2 m bajo el nivel del mar.<br />
Página 13<br />
6. a) 5 c) 52 e) 60 g) 11<br />
b) 300 d) 30 f) 9 h) 60<br />
Página 15<br />
1. a) –15 c) –24 e) –8 g) –36<br />
b) 20 d) –30 f) –8 h) –52<br />
200 Matemática 8<br />
Solucionario<br />
2. Puede ser:<br />
a) 1 • (–1) c) 2 • 4 e) 4 • (–9)<br />
b) 8 • (–2) d) 2 • (–5) f) 7 • (–1)<br />
3. a) 14 • 4 c) 3 • (–21) e) 2 • (–5)<br />
b) 5 • (–1) d) 4 • (–4) f) 6 • (–6)<br />
4. a) Verdadero<br />
b) Falso, el resultado de la multiplicación de un<br />
número natural (positivo) por un número<br />
entero negativo siempre es un número<br />
negativo, por la regla de los signos.<br />
c) Falso, ya que 1 • –1 = –1.<br />
d) Falso, porque el número puede ser negativo<br />
y si se multiplica por dos el resultado es menor<br />
que el factor.<br />
Página 17<br />
1. a) –15 c) –33 e) 4 g) –14<br />
b) 0 d) 30 f) –7 h) 45<br />
2. a) Puede ser –4 • 5. c) Puede ser –6 • 3.<br />
b) Puede ser 8 • –2. d) Puede ser 8 • 1.<br />
3. a) –3 c) –8 e) –1<br />
b) –7 d) 3 f) 16<br />
4.<br />
Página 19<br />
1. a) 60 d) –10 g) –60<br />
b) –41 e) –111 h) 9<br />
c) –45 f) 76 i) –60<br />
2. Puede ser:<br />
1080<br />
–12 –90<br />
–2 6 –15<br />
–1 +2 3 –5<br />
a) 96 : 2 b) –162 : 3 c) 4096 : (–4)<br />
3. a) –20 c) –63 e) 126<br />
b) –10 d) 48 f) 120
4. a)<br />
x y<br />
–10 –5<br />
–8 –4<br />
–6 –3<br />
–4 –2<br />
–2 –1<br />
b) No, por ejemplo en la operación 6 : 5 = 1,2;<br />
el número 1,2 no es un número entero sino<br />
que un racional.<br />
Página 20<br />
5.<br />
3 –3 3 3<br />
6 –6 6 6<br />
–2 2 2 2<br />
– 7 7 7 7<br />
6. a) No, porque uno es el inverso aditivo del otro.<br />
b) No, porque el valor absoluto de un número es<br />
siempre positivo.<br />
c) Sí, porque ambas expresiones son siempre<br />
positivas. Además, b • a = b • a.<br />
7. –4<br />
En equipo<br />
Las posibilidades<br />
• 150 200 –250 300 –350 400<br />
–25 3750 –5000 6250 –7500 8750 –10 000<br />
–10 1500 –2000 2500 –3000 3500 –4000<br />
–5 750 –1000 1250 –1500 1750 –2000<br />
–1 150 –200 250 –300 350 –400<br />
2 –300 400 –500 600 –700 800<br />
5 –750 1000 –1250 1500 –1750 2000<br />
: 150 200 –250 300 –350 400<br />
–25 6 –8 10 –12 14 –16<br />
–10 15 –20 25 –30 35 –40<br />
–5 30 –40 50 –60 70 –80<br />
–1 150 –200 250 –300 350 –400<br />
2 –75 100 –125 150 –175 200<br />
5 –30 40 –50 60 –70 80<br />
Página 21<br />
1. B 2. D<br />
3.<br />
a) Los signos del cociente y producto,<br />
respectivamente.<br />
b) Sí, pues en ambos casos el resultado es<br />
siempre positivo.<br />
4. Emilia 120 puntos y Carlos 20 puntos.<br />
5. 5 horas y 4 horas, respectivamente.<br />
Página 23<br />
1.<br />
400 –4 –100 400<br />
2304 –8 –288 2304<br />
202 500 5 40 500 202 500<br />
–6 –5 0 30 = (–6) • (–5) + 0<br />
6 5 0 30 = 6 • 5 + 0<br />
5 8 2 42 = 5 • 8 +2<br />
–5 9 3 –42 = (–5) • 9 + 3<br />
8 –2 4 –12 = 8 • (–2) + 4<br />
8 1 4 12 = 8 • 1 + 4<br />
–6 –4 3 27 = (–6) • (–4) + 3<br />
–6 5 3 –27 = (–6) • 5 + 3<br />
6 4 3 27 = 6 • 4 + 3<br />
4 –5 0 –20 = 4 • (–5) + 0<br />
–4 –5 0 20 = (–4) • (–5) + 0<br />
2. a) Del dividendo y divisor.<br />
b) En algunos casos, pero según el algoritmo de<br />
la división, el cociente y resto son únicos en<br />
cada caso.<br />
3. a) Si a : 0 = x, se tendría que a = 0 • x, pero no<br />
existe un número entero x que multiplicado<br />
por cero resulte a.<br />
b) Si 0 : a = 0, se tiene que 0 = a • 0. Luego,<br />
todo número entero multiplicado por cero<br />
es cero.<br />
Solucionario 201
Página 25<br />
1. a) 6 d) 960 g) 0<br />
b) –9 e) 0 h) 12<br />
c) 6 f) –10 i) 1<br />
2. a) –20 c) –10 e) 100<br />
b) –20 d) –42 f) –120<br />
3. a) –11 c) 7 e) 35<br />
b) 19 d) –54 f) 11<br />
4.<br />
Página 26<br />
9.<br />
202 Matemática 8<br />
96 –6 128<br />
–2 –6 –5<br />
250 –6 –125<br />
5. a) $ 43 750 d) $ 258 750<br />
6. a) $ 600 000<br />
b) $ 50 000<br />
c) $ 3 000 000<br />
7. a) 690 – 12 • 8<br />
b) $ 594 y $ 510, respectivamente.<br />
8. a) 20 – 2 • 18 b) –16 ºC<br />
–<br />
–18 –2 –648 –648<br />
4 1 324 324<br />
–48 –3 –3072 –3072<br />
–100 –1 –2500 –2500<br />
–128 –2 –512 –512<br />
10. a) No, serán iguales solo si a es 1 ó –1.<br />
b) Sí, pues se trata de la propiedad asociativa.<br />
Página 27<br />
11. a) 4 c) –2 e) –10 g) –10<br />
b) 15 d) –5 f) 45 h) –3<br />
12. a) Pregunta: ¿Cuál fue la temperatura registrada<br />
a las 11:00 h?<br />
Respuesta: La temperatura a las 11:00 h fue<br />
de 10 ºC<br />
b) Pregunta: ¿Cuánto dinero retiró en<br />
agosto Patricio?<br />
Respuesta: Patricio retiró $ 32 500.<br />
Estrategia mental<br />
a) –32 g) –75<br />
b) 8 h) –180<br />
c) 10 000 000 000 i) –1<br />
d) 50 j) 2<br />
e) –2 k) –10<br />
f) 16 l) 1<br />
Página 28<br />
Herramientas tecnológicas<br />
9. a) Ocurre siempre lo mismo ya que<br />
A2 • B2 = B2 • A2.<br />
b) Ocurre lo mismo siempre que B2 sea un<br />
número entero negativo.<br />
c) Sí<br />
d) No<br />
Página 29<br />
1. C 2. D<br />
3.<br />
¿Obtiene los mismos resultados en las columnas<br />
4 y 5? No, ¿y en las 6 y 7? Sí<br />
¿Ocurrirá siempre los mismo en estos casos?<br />
Ocurre siempre lo mismo en las columnas 6 y 7,<br />
ya que en la columna 7 se aplica la<br />
propiedad distributiva.<br />
4. –53<br />
Página 31<br />
Buscando estrategias<br />
1. a) $ 196 000<br />
b) $ 1 605 000<br />
c) 5 ºC y 3 ºC, respectivamente.<br />
3. a) A 34 m bajo el nivel del mar.<br />
b) $ 377 000<br />
Página 32<br />
1. 2063<br />
2. 3 y 2063, 2140, 2217<br />
108<br />
–<br />
3 222 222<br />
–56 –14 266 266<br />
5. No coincide, ya que el cometa tiene como<br />
promedio pasar cada 77 años, pero este rango<br />
puede variar entre 74 y 79 años.
Página 34<br />
1. C 3. C 5. C 7. C<br />
2. A 4. A 6. A 8. D<br />
Página 35<br />
9. Aumenta 238 ºC por minuto.<br />
10. a) Galería 5. c) Galería 10. e) Galería 4.<br />
Unidad 2<br />
Potencias 36<br />
Página 37<br />
1. 160 000 bacterias, 2 560 000 bacterias,<br />
10 000 • 2 n , donde n es el tiempo transcurrido.<br />
2. 2 621 440 000 bacterias.<br />
3. Después de 6 horas.<br />
Página 38<br />
1. a) 3 2 c) (0,4) 4 ó 4<br />
b) 7 6 d) 2<br />
2. a) 5 • 5<br />
4 • 4 • 4 • 4<br />
b)<br />
9 • 9 • 9 • 9<br />
c) 18 • 18 • 18<br />
d) 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2<br />
e) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2<br />
f) 1,3 • 1,3<br />
e) 5 3<br />
f) 5<br />
3. a) 81 d) 0,16 g) 64<br />
b) 3375<br />
c) 0,027<br />
e)<br />
f)<br />
1<br />
81<br />
1296<br />
h) 625<br />
i)<br />
32<br />
3125<br />
4. a) 5 c) 0 e) 3<br />
b) 5 d) 4 f) 5<br />
5. a) 100 000 personas.<br />
b) $ 500 000 y $ 5 000 000 000<br />
Página 39<br />
6. 64 árboles.<br />
3<br />
4<br />
4<br />
10<br />
2<br />
3<br />
Página 41<br />
1. a) 3 2 c) (–6) 3 e) (–15) 8<br />
b) (–5) 4 d) 10 11 f) 3 3<br />
2. a) 625 c) 1 000 000 e) –2744<br />
b) –7776 d) 343 f) 256<br />
3. a) 4 c) 3 e) 5<br />
b) Puede ser 3 d) 6 f) 2<br />
4.<br />
16 8 0 0<br />
1 13 25 –5<br />
100 52 4 –20<br />
49 29 9 –21<br />
a) No<br />
b) No, solo cuando a = b.<br />
c) Existen casos en que los resultados son<br />
iguales.<br />
Página 43<br />
1. a) 16 e) –1 000 000 000<br />
b) –125 f) 144<br />
c) 27 g) –1<br />
d) 16 h) 144<br />
2. a) Verdadero c) Falso<br />
b) Falso d) Verdadero<br />
3. a) 8 > 4 d) –64 < 16<br />
b) 625 = 625 e) 1 > –2<br />
c) 1 = 1 f) 100 000 000 > 100<br />
Página 45<br />
1. a) 4 6 = 4096<br />
b) 10 9 = 1 000 000 000<br />
c) (–5) 5 = –3125<br />
d) 2 5 = 32<br />
e) (–1) 10 = 1<br />
f) (–6) 8 = 1 679 616<br />
2. a) 5 b) 3 c) 9 d) 1<br />
3. a) (–5) 5 b) 2 13 c) (–2) 13<br />
4. a) 3 b) –235 c) –33<br />
5. a) 512 departamentos.<br />
b) 6561 tenidas.<br />
Solucionario 203
Página 47<br />
1. a) 1 000 000 c) 6 e) 1<br />
b) –125 d) 144 f) 49<br />
2. a) 10 b) 5 c) 3<br />
3. a) (–5) 1 b) 6 1 c) (–2) 3<br />
4. 2 5 cm<br />
Página 49<br />
1. a) 12 4 c) (–10) 6 e) (–66) 7<br />
b) 14 8 d) 120 3 f) (–24) 2<br />
2. a) 10 000 c) 144<br />
b) –3 200 000 d) –1 000 000<br />
3. Sí, porque se pueden aplicar ambas propiedades.<br />
4. a) Área = 8000 cm 2<br />
b) Volumen = 576 cm 3<br />
Página 51<br />
1. a) (–4) 4 c) 9 6 e) (–7) 11<br />
b) 9 9 d) (–8) 3 f) 8 7<br />
2. a) 81 c) 10 000 000 000<br />
b) –512 d) 81<br />
3. a) –4 b) –26 c) 160<br />
4. 3 2 platos de fondo. 5. 2 2 pantalones.<br />
Página 53<br />
1. a) 9 2 cm 2 b) 6 • 9 2 cm 2 c) 9 3 cm 3<br />
2. a) 6561 c) 81 e) 256<br />
b) –512 d) 1 f) 390 625<br />
3. a) 15 b) 5 c) 2 d) 27<br />
4. a) 2 36 b (–2) 15 c) (–2) 21 d) 2 16<br />
5. Sí, porque x • y = y • x.<br />
Página 54<br />
Estrategia mental<br />
a) 625 e) 9025 i) 42 025<br />
b) 4225 f) 990 025 j) 9025<br />
c) 2025 g) 7225 k) 1 010 025<br />
d) 1225 h) 3025 l) 15 625<br />
204 Matemática 8<br />
En equipo<br />
3.<br />
4. a)<br />
b) 4 6 , 8 6 , 12 6 , 16 6<br />
c) 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3<br />
Página 55<br />
1. D 4. B<br />
2. A 5. 8 poleras.<br />
3. C 6. Volumen = 2 15 cm 3<br />
Página 57<br />
1. a)<br />
32<br />
243<br />
c)<br />
1000<br />
1331<br />
e)<br />
8<br />
1728<br />
b)<br />
64<br />
81<br />
d)<br />
19 683<br />
40 352 607<br />
f) 1<br />
2. a) 3 b) 10 c) 9<br />
Página 59<br />
1.<br />
1 4 4 2 96 4 3<br />
8 8 8 2 384 8 3<br />
27 12 12 2 864 12 3<br />
64 16 16 2 1536 16 3<br />
Columna 3 Columna 5<br />
16 64<br />
64 512<br />
144 1728<br />
256 4096<br />
<br />
0,3 3 0,3 4 0,3 2 0,3 8<br />
2 2 5 2 0,8 2 0,8 8<br />
0,5 4 0,5 8 ó 0,25 4 1 1 4<br />
0,1 4 0,1 7 0,1 1 0,1 4<br />
2. a) 1 > 0,5 c) (0,6) 5 < (0,6) 4<br />
b) (2,5) 3 = (2,5) 3 d) (5,5) 2 < (5,5) 3
3.<br />
a) Sí. b) Sí.<br />
Página 61<br />
1.<br />
N o de personas<br />
250<br />
225<br />
200<br />
175<br />
150<br />
125<br />
100<br />
75<br />
50<br />
25<br />
0<br />
0,25 0,125 0,0625<br />
1 1 1<br />
4 8 16<br />
0,0625 0,015625 0,00390625<br />
1 1 1<br />
16 64 256<br />
4 1<br />
16 4 2<br />
64 4 3<br />
256 4 4<br />
1 2 3 4 5<br />
Nivel<br />
a) 256 personas.<br />
b) El número de personas depende del nivel de<br />
llamados, porque a medida que aumentan los<br />
niveles, aumenta la cantidad de personas<br />
informadas.<br />
Página 63<br />
1.<br />
Población en miles de individuos<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
a) En el 3º año.<br />
b) 16 384<br />
c) En 19 años.<br />
Página 65<br />
1. B<br />
2. C<br />
3. D<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
4<br />
1 2 3 4 5<br />
1<br />
2<br />
131 072<br />
65 536<br />
32 768<br />
16 384<br />
Años transcurridos<br />
4. a) El tipo de crecimiento es crecimiento<br />
exponencial, ya que a medida que transcurre<br />
el tiempo aumenta exponencialmente el<br />
número de bacterias.<br />
b) 2 12<br />
5. Jorge: 2 6 puntos; Mario: 5<br />
puntos.<br />
Solucionario 205
Página 67<br />
Buscando estrategias<br />
1. a) 4 d) 4 g) 3<br />
b) 6 e) 6 h) 1<br />
c) 2 f) 7 i) 9<br />
3. a) 5 b) 6 c) 7 d) 6 e) 9 f) 0<br />
4. a) La base es 2 y el exponente representa la<br />
cantidad de veces que se dobla la hoja por la<br />
mitad. El valor de la potencia representa la<br />
cantidad de rectángulos.<br />
b) 2 3 = 8 rectángulos<br />
c) 2 5 = 32 rectángulos<br />
e) 8<br />
Página 68<br />
1. El porcentaje de riesgo es de 10,13% y 82,46%,<br />
respectivamente.<br />
Página 70<br />
1. C 3. B 5. A 7. C<br />
2. B 4. D 6. C 8. A<br />
Página 71<br />
9. a) 256 m y 4 m, respectivamente.<br />
b)<br />
Longitud de la cuerda<br />
20000<br />
18000<br />
16000<br />
14000<br />
12000<br />
10000<br />
8000<br />
6000<br />
4000<br />
2000<br />
0<br />
10. 27 cm<br />
Página 73<br />
1. El radio de los envases.<br />
206 Matemática 8<br />
1 2 3 4 5<br />
Cortes de la cuerda<br />
Unidad 3<br />
Geometría y medición 72<br />
2. Si la altura aumenta al doble, el volumen también<br />
aumenta al doble.<br />
3. Con los cilindros.<br />
4. Sí, duraznos en conserva.<br />
Página 74<br />
1. a) 20 cm c) 28 cm<br />
b) 22 cm d) 10,5 cm<br />
2. a) 6,76 cm 2 b) 210 cm 2 c) 48 cm 2 d) 6 cm 2<br />
3. a) Área = 120 cm 2 , volumen = 88 cm 3<br />
b) Área = 64 cm 2 , volumen = 25 cm 3<br />
4. Perímetro = 27 cm. No sigue siendo equilátero,<br />
ya que al aumentar uno de sus lados, dos de ellos<br />
medirán 8 cm y el otro 11 cm, por lo tanto el<br />
triángulo es isósceles.<br />
Página 75<br />
5. Perímetro = 36 cm y su área = 54 cm 2 .<br />
Si sus catetos se duplican, cada uno medirá 18<br />
cm y 24 cm, su perímetro será de 72 cm y su área<br />
de 216 cm 2 .<br />
6. 40 m<br />
Página 77<br />
1. a) En que ambas tienen el mismo perímetro. Se<br />
diferencian en que una tiene área y la otra no.<br />
b) Que una considera el interior y la otra solo el<br />
contorno. Ambas tienen un centro y radio.<br />
c) Cuando el punto se encuentra en contorno<br />
del círculo, y cuando el punto se encuentra<br />
en el interior de la circunferencia.<br />
2. a) Radio. d) No pertenecen.<br />
b) No pertenece. e) Pertenecen.<br />
c) Pertenecen. f) Pertenece.<br />
Página 79<br />
2.<br />
Cuerda(s) FE ⎯ , CD ⎯ y AB ⎯<br />
Diámetro(s) CD ⎯<br />
Radio(s) OC ⎯ , OD ⎯ y OA ⎯<br />
Secante(s) AB ↔<br />
Tangente(s) Recta E<br />
Arco(s) BA, AC, CF, FE, ED y DB <br />
3. a) F b) F c) V d) F e) V
Página 81<br />
1. a) 3,1428<br />
b) 3,14159, es la mejor aproximación al número π.<br />
c) 3,1604<br />
d) 3,125<br />
e) 3,1466<br />
f) 3,1416<br />
2. Sí, ya que el perímetro se puede calcular usando<br />
la fórmula 2 • π • r. Luego, 2 • r = d.<br />
3. Sí es posible.<br />
4.<br />
Página 83<br />
1. a) 25,12 cm e) 21,98 cm<br />
b) 3,14 m f) 56,52 cm<br />
c) 29,516 cm g) 6280 m<br />
d) 10,676 km h) 62 800 cm<br />
2. a) 4,5 cm c) 200 cm e) 0,5 cm g) 5 cm<br />
b) 1,8 cm d) 1 cm f) 30 cm h) 8 cm<br />
3. a) 18,84 cm b) 47,1 cm c) 15,7 cm<br />
Página 85<br />
1. a) Apotema = 1,1 cm. Área = 3,79 cm 2 .<br />
b) Apotema = 0,8 cm. Área = 2,01 cm 2 .<br />
c) Apotema = 0,6 cm. Área = 1,3 cm 2 .<br />
2.<br />
6 12<br />
10 20<br />
5 10<br />
7,5 47,1<br />
21 65,94<br />
50 100<br />
13 40,82<br />
20 40<br />
1,3 5,8<br />
8 1,4 1,5 6,72 7,065<br />
4 1 1,5 4,47 7,065<br />
10 1,4 1,5 7<br />
4. Aumenta 4 veces (113,04 cm 2 ).<br />
Aumenta 9 veces (254,34 cm 2 ).<br />
Página 87<br />
1. C 2. B 3. B<br />
4. 12,56 cm 2 5. 3768 cm de plástico.<br />
Página 90<br />
1. a) 360 cm 2 e) 1186,92 cm 2<br />
b) 301,44 cm 2 f) 1130,4 cm 2<br />
Página 91<br />
2. a) 2826 cm 2 b) 14 130 cm<br />
3. 1808,64 cm 2<br />
4. 122,46 cm 2<br />
5. 351,68 cm 2<br />
6. a) 40 cm b) 1884 cm 2 c) 4396 cm 2<br />
7. a) 879,2 cm 2 b) 314 cm 2<br />
8. a) 5,2 cm b) 93,6 cm 2 c) 453,6 cm 2<br />
9. a) 1130,4 cm 2 b) 1758,4 cm 2<br />
10. a) 13 cm b) 282,6 cm 2<br />
Página 93<br />
1. 384,65 cm 3<br />
2. a) 552,64 cm 3<br />
b) El volumen también se duplicaría y si la altura<br />
se triplica el volumen también aumenta<br />
tres veces.<br />
3. a) 314 cm 3<br />
b) Su volumen aumenta 4 veces y si el radio se<br />
triplica el volumen aumenta 9 veces.<br />
4. a) 2512 cm 3<br />
b) El volumen también disminuye a la mitad y si<br />
su altura se reduce a un tercio el volumen<br />
disminuye un tercio.<br />
Solucionario 207
Página 94<br />
7. a) Área = 172,7 cm 2 y Volumen = 166,81 cm 3 .<br />
b) Área = 129,67 cm 2 y Volumen = 94,95 cm 3 .<br />
c) Área = 185,5 cm 2 y Volumen = 167,47 cm 3 .<br />
d) Área = 229,85 cm 2 y Volumen = 204,73 cm 3 .<br />
e) Área = 967,12 cm 2 y Volumen = 2307,9 cm 3 .<br />
f) Área = 678,24 cm 2 y Volumen = 1017,36 cm 3 .<br />
g) Área = 1022,32 cm 2 y Volumen = 2509,96 cm 3 .<br />
h) Área = 2128,92 cm 2 y Volumen = 5369,4 cm 3 .<br />
i) Área = 234,14 cm 2 y Volumen = 237,38 cm 3 .<br />
j) Área = 2543,4 cm 2 y Volumen = 8478 cm 3 .<br />
Página 95<br />
1. D 2. C 3. A<br />
4. a) Á = 1205,76 cm 2 b) V = 2411,52 cm 3<br />
5. a) Necesitaría el doble de material.<br />
b) La capacidad del envase es de 376,8 cm 3 .<br />
Página 97<br />
Buscando estrategias<br />
1. a) 6363,73 cm 3 c) 282,6 cm 2<br />
b) 452,16 cm 3 d) 116,4 cm 2<br />
3. a) 5024 cm 3 b) 1829,3 cm 3<br />
Página 98<br />
1. V = 589 535 cm 3<br />
Página 100<br />
1. C 3. D 5. B 7. C<br />
2. A 4. D 6. B 8. A<br />
Página 101<br />
9. 791,28 cm 2<br />
10. a) 942 m 2 b) 810 120<br />
11. 259,81 cm 2 y 1099,81, respectivamente.<br />
12. a) 25,12 cm y 75,36 cm<br />
b) 50,24 cm 2 y 452,16 cm 2 . La razón entre sus<br />
áreas es 1 : 9.<br />
Unidad 4<br />
Movimiento en el plano 103<br />
Página 103<br />
1. Sí, se puede observar un hexágono.<br />
208 Matemática 8<br />
2. Mariposas, se repiten en toda la imagen.<br />
3. La imagen gira alrededor del punto que se<br />
encuentra en un ala de la mariposa.<br />
Página 104<br />
1. a) x = 72º, y = 108º b) x = 140º, y = 40º<br />
2.<br />
3. El centro es el centro de las simetrales, es decir, el<br />
circuncentro.<br />
Página 107<br />
1. • Sí, porque cambia la posición de las figuras,<br />
no su tamaño ni forma.<br />
2. a) No b) Sí c) Sí d) No<br />
Página 109<br />
1. Por ejemplo:<br />
2.<br />
Triángulo<br />
Rectángulo<br />
Hexágono<br />
D<br />
A<br />
B<br />
T<br />
α = 140º<br />
β = 20º<br />
γ = 20º<br />
α = β = γ = δ<br />
= 90º<br />
α = β = γ = δ<br />
= ε = ω = 120º<br />
C<br />
A´<br />
A´´<br />
3. Si se puede trasladar con un solo vector.<br />
B´<br />
C´ B´´<br />
F<br />
C´´<br />
NR = 4,8 cm<br />
MN = 2,5 cm<br />
RM = 2,6 cm<br />
JL = GH = 4,4 cm<br />
IH = JG = 1,5 cm<br />
AB = BC = CD = DE<br />
= EF = FA = 1,1 cm<br />
K
Página 111<br />
1. Por ejemplo: 2.<br />
3. Un rombo. Un triángulo equilátero.<br />
Página 113<br />
1. Por ejemplo:<br />
2.<br />
3. Sí, haciendo una rotación en torno al punto O en<br />
un ángulo de 180º.<br />
Página 117<br />
1. A 2. B 3. A<br />
4.<br />
A<br />
B<br />
M<br />
D<br />
C<br />
Página 119<br />
D´<br />
C´<br />
Q<br />
P´ R O<br />
R´ R´´<br />
N<br />
M´<br />
Q´<br />
N´<br />
D<br />
T<br />
P<br />
T´<br />
E<br />
A´<br />
B´<br />
A´ B<br />
P´´<br />
1. a) No b) Sí c) Sí d) No<br />
B´<br />
L<br />
2. a) Si es posible teselar. c) No es posible teselar.<br />
b) Sí es posible teselar. d) Sí es posible teselar.<br />
Q´´<br />
A<br />
T´´´<br />
M´´´<br />
T´´<br />
O´<br />
N´´´<br />
M<br />
M´´<br />
R<br />
R´<br />
N<br />
3. a) Se puede construir aplicando traslación.<br />
b) Se puede construir aplicando reflexión.<br />
c) No se puede teselar el plano con esa figura.<br />
d) Se puede construir aplicando simetría y<br />
traslación.<br />
Página 121<br />
1. a) Traslación. b) Traslación y reflexión.<br />
2. Se puede construir aplicando traslación.<br />
3. Se puede construir aplicando traslación<br />
y reflexión.<br />
4. a) b)<br />
5. a) No b) No c) Sí<br />
Página 123<br />
1. B 2. C<br />
3. a) Traslación. b) Traslación y reflexión.<br />
Solucionario 209
4. Se puede construir aplicando traslación<br />
y rotación.<br />
Página 125<br />
Buscando estrategias<br />
1. a)<br />
b)<br />
El reflejo de E en una de las paredes (E´) se<br />
une con F, obteniendo P 1 . El reflejo de F en la<br />
misma pared (F´) se une con G, obteniendo P 2 .<br />
Entonces, se parte en E, luego ir a P 1 , luego a<br />
F, después a P 2 y, finalmente, llega a G.<br />
El reflejo de la bola A en uno de los bordes se<br />
une con el reflejo de la bola B en la otra pared<br />
que es perpendicular a la pared anterior,<br />
obteniendo los puntos P 1 y P 2 . Entonces, el<br />
recorrido de la bola A será a P 1 , luego a P 2 y,<br />
finalmente, golpeará a B.<br />
3. Para encajar la figura 1 en A, se debe realizar<br />
traslación y rotación y, para encajar 1 en B,<br />
también.<br />
Página 128<br />
1. C 3. D 5. A 7. A<br />
2. D 4. B 6. D 8. C<br />
Página 129<br />
9.<br />
A<br />
C<br />
E<br />
E´<br />
P 1<br />
A<br />
A´<br />
B<br />
B´´<br />
F´<br />
F<br />
210 Matemática 8<br />
A´´<br />
L<br />
P 2<br />
P 1<br />
B´<br />
C´ A´<br />
G<br />
B<br />
P 2<br />
B´<br />
10. Traslación.<br />
Unidad 5<br />
Datos y azar 131<br />
Página 131<br />
1. 31 571 personas.<br />
2. E años en promedio.<br />
3. Una estimación del nivel de instrucción más<br />
repetido es de 4 años (31 571 personas).<br />
Página 132<br />
1. a)<br />
–<br />
4<br />
4<br />
31<br />
13%<br />
6<br />
6<br />
31<br />
19%<br />
10<br />
10<br />
31<br />
32%<br />
4<br />
4<br />
31<br />
13%<br />
3<br />
3<br />
31<br />
10%<br />
3<br />
3<br />
31<br />
10%<br />
1<br />
1<br />
31<br />
3%<br />
b) 6 días.<br />
c) 13%<br />
d) x = 30,29, mediana: 30, Moda: 30.
2. a)<br />
–<br />
2.<br />
2<br />
2<br />
40<br />
5%<br />
5<br />
12<br />
0,08<br />
0,12<br />
0,08<br />
0,2<br />
6<br />
6<br />
40<br />
15%<br />
22<br />
25<br />
0,17<br />
0,05<br />
0,37<br />
0,42<br />
4<br />
4<br />
40<br />
10%<br />
38<br />
52<br />
0,22<br />
0,23<br />
0,64<br />
0,87<br />
8<br />
8<br />
40<br />
20%<br />
60 0,13 1<br />
4<br />
4<br />
40<br />
10%<br />
Página 137<br />
1. a)<br />
16<br />
16<br />
40<br />
40%<br />
Edad<br />
F.<br />
absoluta<br />
F. Absoluta<br />
acumulada<br />
F.<br />
Relativa<br />
F. relativa<br />
Porcentual<br />
b) 8 alumnos y 2 alumnos, respectivamente.<br />
c) 4 h y 21 min.<br />
1 - 10<br />
11 - 20<br />
7<br />
6<br />
7<br />
13<br />
0,17<br />
0,14<br />
17%<br />
14%<br />
d) Mediana: 4,5; Moda: 6.<br />
21 - 30 8 21 0,19 19%<br />
Página 133<br />
31 - 40<br />
41 - 50<br />
6<br />
5<br />
27<br />
32<br />
0,14<br />
0,12<br />
14%<br />
12%<br />
3. a) Población: alumnos y alumnas del colegio. 51 - 60 4 36 0,1 10%<br />
Muestra: pueden ser los compañeros de curso.<br />
b) Variable cuantitativa: horas destinadas a<br />
ver TV.<br />
61 - 70<br />
71 - 80<br />
4<br />
2<br />
40<br />
42<br />
0,1<br />
0,05<br />
10%<br />
5%<br />
4. a)<br />
Nº de<br />
caras<br />
F. absoluta F. Relativa<br />
b) 3 y 12, respectivamente.<br />
c)<br />
6 9<br />
y , respectivamente.<br />
50 50<br />
d)<br />
1<br />
6<br />
Página 135<br />
F. relativa<br />
Porcentual<br />
1 10 0,2 20%<br />
2 3 0,06 6%<br />
3 6 0,12 12%<br />
4 12 0,24 24%<br />
5 9 0,18 18%<br />
6 10 0,2 20%<br />
1. a) 60<br />
b) 5<br />
c) 26% y 69%, respectivamente.<br />
2. a)<br />
b) 6 c) 36 d) 14,28%<br />
Llamadas<br />
F.<br />
absoluta<br />
Horas Marca<br />
de clase<br />
F. Absoluta<br />
acumulada<br />
F.<br />
absoluta<br />
F. Absoluta<br />
acumulada<br />
F.<br />
Relativa<br />
F.<br />
Relativa<br />
F. relativa<br />
Porcentual<br />
0 - 5 8 8 0,27 27%<br />
6 - 11 10 18 0,33 33%<br />
12 - 17 9 27 0,3 30%<br />
18 - 23 3 30 0,1 10%<br />
b) 5 c) 8 d) 27 e) 10%<br />
Página 139<br />
1. a)<br />
F. relativa<br />
Porcentual<br />
1 - 5 3 19 19 0,475 47,5%<br />
6 - 10 8 14 33 0,35 35%<br />
11 - 15 13 7 40 0,175 17,5%<br />
b) 33 c) x = 6,5<br />
Solucionario 211
2. a)<br />
b) 26 c) 9% d) x = 13<br />
Página 141<br />
1. a)<br />
Notas<br />
Marca<br />
de clase<br />
212 Matemática 8<br />
F.<br />
absoluta<br />
F. Absoluta<br />
acumulada<br />
F.<br />
Relativa<br />
1,40 - 1,47 3 1,435<br />
1,48 - 1,55 12 1,515<br />
1,56 - 1,63 22 1,595<br />
1,64 - 1,71 6 1,675<br />
1,72 - 1,79 2 1,755<br />
F. relativa<br />
Porcentual<br />
2,0 - 3,0 2,5 2 2 0,06 6%<br />
3,1 - 4,1 3,6 6 8 0,19 19%<br />
4,2 - 5,2 4,7 9 17 0,28 28%<br />
5,3 - 6,3 5,8 10 27 0,31 31%<br />
6,4 - 7,4 6,9 5 32 0,16 16%<br />
2. •<br />
b) x = 5,0 Mo = 5,5<br />
Página 143<br />
x = 1,58 Mo = 1,59<br />
1. a) Seleccionando una muestra. No es<br />
conveniente analizar las 2160 botellas, ya que<br />
le tomaría demasiado tiempo y es un<br />
procedimiento costoso.<br />
b)<br />
Página 146<br />
Máquina A Máquina B<br />
Media<br />
aritmética<br />
652,63 659,81<br />
Moda 652 660<br />
La máquina A está debajo del nivel de calidad,<br />
es recomendable revisarla.<br />
1. a) 15 a 19 años.<br />
b) Sí<br />
2 3 0,07 7%<br />
7 11 0,18 18%<br />
12 26 0,33 33%<br />
17 41 0,33 33%<br />
22 45 0,09 9%<br />
c) Las mujeres jóvenes tienen mayor nivel de<br />
endeudamiento.<br />
d) Entre 25 a 29 años.<br />
Página 149<br />
1. D 2. A 3. C<br />
4. a)<br />
Categoría<br />
Marca F.<br />
Clase Absoluta<br />
F. Absoluta<br />
acumulada<br />
No conforme 0- 7 3,5 8 8<br />
Medianamente<br />
conforme<br />
8-15 11,5 7 15<br />
Conforme 16 - 23 19,5 9 24<br />
Muy conforme 24 - 31 27,5 4 28<br />
b) 14% c) x = 14,07<br />
Mo = 5,5<br />
Página 151<br />
1. a) Ω = TBPR50, TBPR51, TBPR52, TBPR53,<br />
TBPR54, TBPR55, TBPR56, TBPR57,<br />
TBPR58, TBPR59. Tamaño 10.<br />
b) Ω = TBPR20, TBPR21, TBPR22, TBPR23,<br />
TBPR24, TBPR25, TBPR26, TBPR27,<br />
TBPR28, TBPR29, TBPR30, TBPR31,<br />
TBPR32, TBPR33, TBPR34, TBPR35,<br />
TBPR36, TBPR37, TBPR38, TBPR39.<br />
Tamaño 20.<br />
c) Ω = 1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1),<br />
(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2),<br />
(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3),<br />
(4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4),<br />
(5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5),<br />
(6,6). Tamaño 36.<br />
d) Ω = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.<br />
Tamaño 11.<br />
2. 12 maneras. 3. De 4 formas distintas.<br />
4. a) 24 tipos de menú.<br />
F. F. relativa<br />
relativa Porcentual<br />
0,29 29%<br />
0,25<br />
25%<br />
0,32 32%<br />
0,14 14%
) Las opciones de plato de fondo son: arroz con<br />
carne (A), puré con pollo (P), legumbre (L).<br />
Las opciones para beber son: bebida (B) o<br />
jugo (J). Las opciones de postre son: helado (1),<br />
jalea (2), flan (3) o fruta (4). Entonces, todas<br />
las posibilidades de menú son:<br />
AB1, AB2, AB3, AB4, AJ1, AJ2, AJ3, AJ4,<br />
PB1, PB2, PB3, PB4, PJ1, PJ2, PJ3, PJ4, LB1,<br />
LB2, LB3, LB4, LJ1, LJ2, LJ3, LJ4<br />
Página 153<br />
1. a) Ω = Blanca, Roja. No son equiprobables.<br />
b) Ω = Cara, Sello. Sí son equiprobables.<br />
c) Ω = niña, niño. No son equiprobables.<br />
d) Ω = 13 cartas , 13 cartas , 13 cartas ,<br />
13 cartas . Sí son equiprobables.<br />
e) Ω = par, impar. Sí son equiprobables.<br />
2. Es correcto lo que dice Romina, ya que si están<br />
en igualdad de condiciones, tienen la misma<br />
probabilidad de salir (son equiprobables).<br />
3. Sí es correcto.<br />
En equipo<br />
1. a) Ω = {Rojo, azul, amarillo}.<br />
b) No son equiprobables.<br />
Página 155<br />
1. a)<br />
1<br />
2<br />
b)<br />
1<br />
2<br />
c)<br />
3<br />
14<br />
2. a)<br />
1<br />
2<br />
ó 0,5 ó 50% c)<br />
1<br />
ó 0,17 ó 17%<br />
6<br />
b)<br />
5<br />
6<br />
ó 0,83 ó 83%<br />
3. a) 47% b) 53% c) 80% d) 67%<br />
Página 157<br />
1. C 2. D<br />
3. a) No. b) Sí. c) Sí. d) Sí.<br />
4. a) 15 tenidas, estas son:<br />
Polera Amarilla, pantalón Negro.<br />
Polera Amarilla, pantalón Café.<br />
Polera Amarilla, pantalón Gris.<br />
Polera Azul, pantalón Negro.<br />
Polera Azul, pantalón Café.<br />
Polera Azul, pantalón Gris.<br />
Polera Blanca, pantalón Negro.<br />
Polera Blanca, pantalón Café.<br />
Polera Blanca, pantalón Gris.<br />
Polera Negra, pantalón Negro.<br />
Polera Negra, pantalón Café.<br />
Polera Negra, pantalón Gris.<br />
Polera Roja, pantalón Negro.<br />
Polera Roja, pantalón Café.<br />
Polera Roja, pantalón Gris.<br />
b) La probabilidad es 0,07.<br />
Página 159<br />
Buscando estrategias<br />
1. Le sirve el gráfico “¿Usted lee libros?”<br />
3. Ambos gráficos le permiten extraer la<br />
información que necesita.<br />
Página 162<br />
1. D 3. D 5. A 7. B<br />
2. A 4. C 6. B 8. D<br />
Página 163<br />
9. • La mayoría de las personas encuestadas<br />
(hombres y mujeres) ven TV abierta 5 días a la<br />
semana, o más.<br />
A pesar que son más mujeres que hombres<br />
los que ven TV abierta todos los días, son<br />
similares los porcentajes, pues la diferencia es<br />
de 3% aproximadamente.<br />
Unidad 6<br />
Funciones y relaciones proporcionales 165<br />
Página 165<br />
1. 105 km 2. 1 h y 30 min<br />
3. Tardaría 4 h y llagaría a las 10 de la mañana.<br />
4. Sí, y = 21 • x, donde x son horas.<br />
Página 166<br />
1. a) 3x e) t • n<br />
b) 2 • (3 + (–8)) f) 15 • x<br />
c)<br />
2x<br />
3<br />
g) 750 • y<br />
d)<br />
x<br />
+ 3y<br />
4<br />
h)<br />
x<br />
12<br />
Solucionario 213
2. a) P = t + r + s, A =<br />
b) P = 4 • a + 12, A = (a + 3) 2<br />
2<br />
c) P = 2x + 2y, A = x • y<br />
3. a) y = 2 d) z = 140<br />
b) x = 4 e) a = 6<br />
c) x = 5 f) a = –<br />
4. a) x – 27 = 77, x = 104<br />
b) x + (x – 1) = 49, x = 25<br />
c) (2x – 1) + (2x + 1) + (2x + 3) = 177,<br />
los números son: 57, 59, 61.<br />
d) 4x – 3 = 3x + 12, x = 15<br />
5. a) 8 b) 6 c) 26<br />
Página 167<br />
6. a) Padre: 60 años, hijo: 25 años,<br />
madre: 83 años.<br />
b) Matías: $ 62 000, Josefa: $ 93 000<br />
c) $ 45 600<br />
Página 169<br />
1. a) En un bolsillo hay $ 1500 y en el otro $ 4500.<br />
b) $ 1450 cada jarrón.<br />
c) 12 cm y 24 cm. Área = 288 cm 2<br />
Página 170<br />
2. a) 2,5 • 60 • x = 900<br />
b) 2 min<br />
c) $ 450<br />
d)<br />
e) $ 9750<br />
f) Precio ($)<br />
4000<br />
3000<br />
2000<br />
1000<br />
214 Matemática 8<br />
25<br />
150<br />
225<br />
450<br />
750<br />
2,5<br />
t • r<br />
55<br />
3<br />
0<br />
0 5 10 15 20 25 30 35<br />
Minutos<br />
hablados<br />
g) $ 630<br />
h) $ 26 490<br />
i) El plan de Francisca es más conveniente,<br />
porque Camila pagaría $ 27000 y Francisca<br />
$ 24 090.<br />
Página 171<br />
3. a) 200 claveles. La ecuación es:<br />
1250 + 140x + 120x = 27250<br />
b) $ 3900 y $ 5200<br />
c) $ 12 430<br />
d)<br />
260<br />
520<br />
1560<br />
2600<br />
3900<br />
6500<br />
10 400<br />
14 820<br />
e) No, porque debe comprar la misma cantidad<br />
de claveles de cada color.<br />
f)<br />
Precio<br />
1750<br />
1500<br />
1250<br />
1000<br />
750<br />
500<br />
250<br />
g) $ 4260<br />
Página 173<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12<br />
2. a) Sí es función.<br />
b) No es función.<br />
c) Sí es función.<br />
d) Sí es función.<br />
Cantidad<br />
de claveles
3. a)<br />
13 890 18 290 22 690 29 290<br />
12 990 16 190 19 390 24 190<br />
14 490 14 490 16 890 20 490<br />
b) Para 80 min, el Plan B, y para 120 min,<br />
el Plan C.<br />
c) Plan A y = 9460 + 220x<br />
Plan B y = 12 990 + 160x<br />
Plan C y = 14 490 + 120x<br />
Página 175<br />
1. a) Independiente: arista.<br />
Dependiente: volumen.<br />
b) Independiente: número.<br />
Dependiente: sucesor.<br />
c) Independiente: kilogramos de pan.<br />
Dependiente: precio total.<br />
Página 176<br />
2. a) $ 73 500 y $ 126 000, respectivamente.<br />
b) y = 10 500x<br />
c) Variable dependiente: precio total recaudado.<br />
Variable independiente: número de entradas.<br />
d)<br />
3.<br />
10 500 31 500 73 500 105 000 126 000 210 000<br />
e)<br />
y<br />
70 000<br />
60 000<br />
50 000<br />
40 000<br />
30 000<br />
20 000<br />
10 000<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
12 16 20 24<br />
x<br />
4. a)<br />
a) 36 cm y 60 cm, respectivamente.<br />
b) f (x) = 4x<br />
c) Variable dependiente: perímetro.<br />
Variable independiente: lado del cuadrado.<br />
11 800 16 800 21 800 26 800 31 800 36 800<br />
b) f (x) = 5000x + 6800<br />
c) Variable dependiente: total a pagar.<br />
Variable independiente: m 2 .<br />
d) f (x) = 6000x<br />
5. a) Variable dependiente: perímetro.<br />
Variable independiente: lado del triangulo.<br />
b) f (x) = 3x<br />
c) Cada uno de sus lados mide 14 cm, porque<br />
es equilátero.<br />
Página 177<br />
6.<br />
Total a pagar<br />
40 000<br />
35 000<br />
30 000<br />
25 000<br />
20 000<br />
15 000<br />
10 000<br />
5000<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
9 12<br />
18 000 27 000 72 000<br />
a) $ 27 000 y $ 72 000, respectivamente.<br />
b) f (x) = 4500x<br />
c) Variable dependiente: dinero reunido.<br />
Variable independiente: cantidad de clases.<br />
d) Dinero reunido ($)<br />
60 000<br />
50 000<br />
40 000<br />
30 000<br />
20 000<br />
10 000<br />
0<br />
0<br />
1 2 3 4 5 6 7<br />
m 2<br />
Cantidad<br />
de clases<br />
Solucionario 215
En equipo<br />
4. a) Triángulos equiláteros, porque como los<br />
palitos representan los lados, cada palito mide<br />
lo mismo (aproximadamente).<br />
b)<br />
Numero<br />
Triángulos<br />
de palitos<br />
1 3<br />
2 5<br />
3 7<br />
4 9<br />
5 11<br />
Se observa que cada triángulo nuevo, se<br />
suman dos palitos.<br />
c) 15 palitos, 41 palitos y 207 palitos,<br />
respectivamente.<br />
d) f (x) = 2x + 1<br />
e) Variable dependiente: número de palitos.<br />
Variable independiente: número de triángulos.<br />
Página 179<br />
1.<br />
Rapidez<br />
constante<br />
(km/h)<br />
30 40 50 60 80 100 120<br />
Tiempo (h) 12 9 7,2 6 7,2 3,6 3<br />
Dominio: números positivos entre 30 y 120.<br />
Recorrido: números positivos entre 3 y 12.<br />
2. a) $ 387 000 y $ 598 500, respectivamente.<br />
b) f (x) = 4500x<br />
c) Variable dependiente: dinero recaudado.<br />
Variable independiente: cantidad de personas.<br />
d) Dominio: desde 0 a 150 (personas).<br />
Recorrido: 4500 • 1, 4500 • 2, 4500 • 3, …,<br />
4500 • 150<br />
3. a) 20 caramelos y 12 caramelos, respectivamente.<br />
300<br />
b) f (x) =<br />
x<br />
c) A 60 niños.<br />
d) Dom (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25,<br />
30, 50, 60, 75, 100, 150, 300<br />
Rec (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25,<br />
30, 50, 60, 75, 100, 150, 300. En ambos<br />
casos, divisores de 300.<br />
4. a) La medida de un ángulo agudo.<br />
b) 0º < x < 90º y el ángulo y es el complemento<br />
de x.<br />
c) Mide 45º.<br />
216 Matemática 8<br />
d)<br />
Página 180<br />
x (grados) y (grados)<br />
89 1<br />
10 80<br />
20 70<br />
35 55<br />
45 45<br />
50 40<br />
89 1<br />
Herramientas tecnológicas<br />
a) y = 2x<br />
Dom (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7<br />
Rec (f ) = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14<br />
b) y = x 2<br />
Dom (f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6<br />
Rec (f ) = 1, 4, 9, 16, 25, 36<br />
c) • y = 40x<br />
• Variable dependiente: precio.<br />
Variable independiente: número de masticables.<br />
• Dom (f ) = 0<br />
Rec (f ) = 40 • n /n ∈ 0 <br />
• $ 680<br />
Página 181<br />
1. C 2. D<br />
3. a) 97 sopaipillas.<br />
b) Dependiente: dinero recaudado en un día.<br />
Independiente: cantidad de sopaipillas.<br />
c) Dom (f ) = 0<br />
Rec (f ) = 130 • n /n ∈ 0 <br />
d)<br />
900<br />
800<br />
700<br />
600<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
Dinero recaudado ($)<br />
0 0 1 2 3 4 5 6 7<br />
Cantidad de<br />
sopaipillas
4. y = 2x + 3<br />
Página 183<br />
1. a) No b) No c) Sí<br />
2.<br />
39.5<br />
39<br />
38.5<br />
38<br />
37.5<br />
37<br />
0<br />
45 50 55<br />
25 30 35<br />
• No son proporcionales, ya que la razón entre<br />
las edades no se mantiene con el tiempo.<br />
3. a) Las horas y la temperatura.<br />
b) No son proporcionales, ya que la razón entre<br />
las variables no es constante.<br />
c)<br />
Temperatura (ºC)<br />
Página 185<br />
2 4 6 8 10 12 14 16<br />
1. a) Sí c) No e) No<br />
b) Sí d) Sí f) Sí<br />
Página 186<br />
2.<br />
Horas<br />
a) 360 : 1<br />
El valor de la razón es constante y su valor es 360.<br />
b) f (x) = 360x<br />
c) $ 6480 y $ 12 600, respectivamente.<br />
d)<br />
2400<br />
2000<br />
1600<br />
1200<br />
800<br />
400<br />
360 720 1800 2880 4320 6120<br />
Precio ($)<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
Cantidad<br />
de helados<br />
3.<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
Perímetro (y)<br />
3 8<br />
6 16<br />
9 24<br />
12 32<br />
15 40<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5<br />
2 60<br />
3 90<br />
1 40<br />
3 120<br />
Ancho (x)<br />
a) Si aumenta x el perímetro aumenta, mientras<br />
que si x disminuye el perímetro también<br />
disminuye.<br />
b) f (x) = 8x<br />
Página 187<br />
4. a)<br />
b) El auto rojo, porque recorre más distancia en<br />
menos tiempo.<br />
c) En 2 horas.<br />
d) 40 : 1 para el auto rojo y 30 : 1 para el auto<br />
verde.<br />
e) A 300 km.<br />
f) 12 horas.<br />
g) f (x) = 40x y g(x) = 30x, respectivamente.<br />
Página 189<br />
1. a) No c) No e) No<br />
b) Sí d) Sí f) Sí<br />
Página 190<br />
2. a) A 480 km.<br />
Solucionario 217
)<br />
8<br />
48<br />
40<br />
480<br />
c) y = . El dominio son los números positivos<br />
x<br />
menores o iguales a 480.<br />
d) Debe ir a 96 km/h.<br />
e) Tardaría 9 h y 36 min en llegar.<br />
f) Demoraría 96 horas.<br />
g) Una hipérbola.<br />
3. a) y =<br />
b) y =<br />
c) y =<br />
6<br />
x<br />
218 Matemática 8<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
Rapidez (km/h)<br />
20<br />
Tiempo<br />
0<br />
(h)<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16<br />
6 4 3 2 1,5 1<br />
Altura (cm)<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
600<br />
x<br />
Rapidez (km/h)<br />
144<br />
x<br />
15 12 10 6 5<br />
Base<br />
(cm)<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14<br />
Tiempo<br />
(h)<br />
16<br />
24 12 8 6<br />
Página 191<br />
20<br />
4. a) Proporcionalidad inversa. k = 20. f (x) =<br />
x<br />
b) Proporcionalidad directa. k = 3. f (x) = 3x<br />
c) Proporcionalidad directa. k = 175. f (x) = 175x<br />
5.<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
0 5 10 15 20 25<br />
Cantidad de<br />
alfajores<br />
30<br />
d) Proporcionalidad inversa. k = 24. f (x) =<br />
Tipo de<br />
proporcionalidad<br />
Función que la<br />
representa<br />
Respuesta al<br />
problema<br />
Inversa<br />
75<br />
y =<br />
x<br />
75 máquinas<br />
Directa y = x 10 kg<br />
Inversa<br />
72<br />
y =<br />
x<br />
4 días<br />
Inversa<br />
120<br />
y =<br />
x<br />
40 km/h<br />
Directa y = 18x 90 informes<br />
Página 192<br />
Herramientas tecnológicas<br />
12<br />
c) f (x) = x + 1, g(x) =<br />
x<br />
d) En la primera función: Dom (f ) = y<br />
Rec (f ) = 2, 3, 4, 5, … o Rec (f ) = – {1}<br />
En la segunda función: Dom (f ) = 1, 2, 3, 4,<br />
6, 12 y Rec (f ) = 1, 2, 3, 4, 6, 12<br />
e) En la función f (x) = x + 1 no se relacionan en<br />
12<br />
forma proporcional, mientras que en g(x) = ,<br />
x<br />
sí se relacionan proporcionalmente.<br />
Página 193<br />
Cantidad de cajas<br />
1. C 2. D 3. A<br />
4. a) 7 huevos.<br />
b) f (x) = 3x. Dom (f ) = 0 y<br />
Rec (f ) = 3 • n /n ∈ 0 <br />
24<br />
x
)<br />
Cantidad de personas<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
Página 195<br />
Buscando estrategias<br />
Cantidad<br />
de huevos<br />
1. a) $ 2 800 000 y $ 1 100 000, respectivamente.<br />
La función es f (x) = 3 600 000 – 100 000x<br />
b) 14 kg y 400 g. La función es:<br />
f (x) = 20 000 – 400x<br />
c) • $ 4550 y $ 46 200, respectivamente.<br />
• f (x) = 7000 – 350(x – 1)<br />
• Dom f (x) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …, 19, 20<br />
y Rec f (x) = 7000, 6650, 6300, 5950,...,<br />
700, 350.<br />
3. a) • $ 13 200 y $ 15 300, respectivamente.<br />
• $ 154 200<br />
• f (x) = 9000 + 700(x – 1)<br />
b) Quedaron 200 gramos de aceitunas.<br />
Página 198<br />
1. D 3. A 5. C 7. C<br />
2. D 4. D 6. B 8. A<br />
Página 199<br />
9.<br />
• f (x) = 5x<br />
40<br />
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
0<br />
x 2 64<br />
y 80 160<br />
y<br />
1 2 3 4 5 6 7 8<br />
10. a) De proporcionalidad inversa, ya que el<br />
gráfico es una hipérbola.<br />
b) k = 120<br />
120<br />
c) f (x) =<br />
x<br />
x<br />
Solucionario 219
220 Matemática 8<br />
A<br />
Adición con números enteros, 13<br />
Algoritmo de la división, 23<br />
Amplitud<br />
- de un intervalo, 137<br />
- térmica, 24<br />
Análisis de encuestas, 144, 145<br />
Ángulo, 105<br />
- de rotación, 112<br />
- interior de un polígono regular, 120<br />
Apotema de un polígono, 75<br />
Arco de una circunferencia, 78, 79<br />
Área, 75<br />
- del cilindro 88, 89, 90<br />
- del círculo, 84, 85<br />
- del cono 88, 89, 90<br />
- de un cuadrado, 75<br />
- de un polígono regular, 84<br />
- de un rectángulo, 75<br />
- de un triángulo, 75<br />
- de una pirámide, 90<br />
B<br />
Base de una potencia, 39<br />
Cardinalidad del espacio muestral, 151<br />
C<br />
Centro<br />
- de una circunferencia, 76, 77<br />
- de rotación, 112<br />
Censos, 131, 142, 143<br />
- Censo y muestreo, 142<br />
Circunferencia y círculo como lugar geométrico,<br />
76, 77<br />
Índice temático<br />
Construcción geométrica<br />
- copiar un ángulo, 112<br />
- de rectas paralelas, 108<br />
- de simetral de un trazo, 111<br />
Crecimiento exponencial, 60, 61<br />
Cuerpos geométricos<br />
- cilindro recto, 88<br />
- cono recto, 88<br />
- paralelepípedo, 48<br />
- pirámides, 75<br />
- poliedros, 88<br />
- prisma recto, 75<br />
- redondos, 88<br />
Cuerda, 78, 79<br />
Datos y azar, 130<br />
D<br />
Decrecimiento exponencial, 62, 63<br />
Diámetro de una circunferencia, 78, 79<br />
División<br />
- de potencias de igual base, 46, 47<br />
- de potencias de igual exponente, 50, 51<br />
- exacta de números enteros, 18, 19<br />
- inexacta de números enteros, 22<br />
Dominio de una función, 178, 179<br />
Ecuación, 168<br />
- verificación, 168<br />
Eje<br />
- de las abscisas, 169<br />
- de las ordenadas, 169<br />
- de simetría, 110<br />
Elementos de una circunferencia, 78, 79<br />
Encaje (técnica), 98<br />
Encuestas, 145<br />
E
Espacio muestral, 150, 151<br />
Experimentos aleatorios, 150<br />
Exponente de una potencia, 39<br />
Expresión algebraica, 172<br />
Fracciones (representación), 46, 154<br />
F<br />
Frecuencia<br />
- absoluta, 133, 134, 135<br />
- absoluta acumulada, 135<br />
- relativa, 133, 134, 135<br />
- relativa acumulada, 135<br />
Funciones y relaciones proporcionales, 164<br />
- proporcionalidad directa, 184, 185<br />
- proporcionalidad inversa, 188, 189<br />
G<br />
Generatriz, 89, 90<br />
Geometría y medición, 72<br />
Hipérbola, 189<br />
Intervalos, 137<br />
Intervalo modal, 140<br />
Isometría, 106<br />
H<br />
Longitud de una circunferencia, 82, 83<br />
Lugar geométrico, 77<br />
Marca de clase, 139<br />
I<br />
L<br />
M<br />
Medidas de tendencia central<br />
- media aritmética, 133<br />
- media aritmética para datos agrupados,<br />
138, 139<br />
- mediana, 133<br />
- moda, 133<br />
- moda para datos agrupados, 140, 141<br />
Mosaico, 118<br />
Movimientos en el plano, 102<br />
Muestra, 133, 143<br />
Multiplicación<br />
- de números enteros, 16, 17<br />
- de potencias de igual base, 44, 45<br />
- de potencias de igual exponente, 48, 49<br />
- de un número natural por un número entero<br />
negativo, 14, 15<br />
N<br />
Noción de función, 172, 173<br />
Número(s)<br />
- enteros, 10<br />
- y su relación con la circunferencia, 80, 81<br />
- positivo, 16<br />
O<br />
Operaciones combinadas, 24, 25<br />
P<br />
Perímetro de un polígono, 75<br />
Población, 133<br />
Polígono, 75, 105<br />
- regular, 75, 105<br />
Porcentaje, 167<br />
Potencia(s), 36, 39<br />
- de base decimal positiva y exponente natural,<br />
58, 59<br />
Índice temático 221
- de base entera y exponente natural, 40,<br />
42, 43<br />
- de base fraccionaria positiva y exponente<br />
natural, 56, 57<br />
- de una potencia, 52, 53<br />
Principio multiplicativo, 150, 151<br />
Probabilidad, 133<br />
- regla de Laplace, 154, 155<br />
Propiedad<br />
- conmutativa de la multiplicación, 15<br />
- distributiva de la multiplicación respecto de la<br />
suma, 24<br />
Proporción, 167<br />
Radio de una circunferencia, 76, 77, 78, 79<br />
Rango, 136, 137<br />
Razón, 167<br />
222 Matemática 8<br />
R<br />
Recorrido de una función, 178, 179<br />
Recta(s)<br />
- numérica, 13<br />
- paralelas, 105<br />
- perpendiculares, 105<br />
- secantes, 105<br />
- secante a una circunferencia, 78, 79<br />
- tangente a una circunferencia, 78, 79<br />
Reflexiones de figuras planas, 110, 111<br />
Regla de los signos, 17, 19<br />
Representatividad de una muestra, 143<br />
Resto, 18, 22<br />
Rotaciones de figuras planas, 112, 113<br />
S<br />
Simetral de un segmento, 110<br />
Simplificación de fracciones, 46<br />
Situaciones con dos variables, 168, 169<br />
Sucesos<br />
- elementales, 152<br />
- equiprobables, 152<br />
Sustracción con números enteros, 13<br />
T<br />
Tablas de frecuencia, 134<br />
- construcción para datos agrupados, 136, 137<br />
- interpretación, 134, 135<br />
Teselaciones, 118, 119<br />
- regulares y semirregulares, 120<br />
Tetris (juego), 125<br />
Transformaciones<br />
- de figuras y objetos, 106<br />
- isométricas, 106, 107<br />
Traslaciones de figuras planas 108, 109<br />
Triángulo rectángulo, 75<br />
V<br />
Valor<br />
- absoluto, 13<br />
- de la potencia, 39, 41, 54<br />
- de la razón, 80, 167<br />
Variable<br />
- dependiente, 174, 175<br />
- independiente, 174, 175<br />
- estadística cuantitativa y cualitativa, 133<br />
Variaciones proporcionales y no proporcionales,<br />
182, 183<br />
Vector de traslación, 108<br />
Volumen, 92<br />
- del cilindro 92, 93<br />
- del cono, 92, 93
DOCUMENTOS OFICIALES<br />
• Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos<br />
Mínimos Obligatorios de la Educación Básica.<br />
Ministerio de Educación de Chile, 2001.<br />
• Mineduc. Propuesta de Ajuste Curricular.<br />
Matemática, junio 2009. Ajuste promulgado por<br />
el Decreto N° 256 para la Educación Básica y<br />
publicado en el Diario Oficial de la República de<br />
Chile el 19 de agosto de 2009.<br />
• Ministerio de Educación. Matemática. Programa de<br />
Estudio. Octavo Año Básico. Propuesta presentada<br />
a resolución del Consejo Nacional de Educación.<br />
Ministerio de Educación de Chile, Unidad de<br />
Currículum y Evaluación, diciembre 2009.<br />
MATERIAL CRA<br />
• Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción al<br />
Álgebra. Grupo Editorial Iberoamérica, México,<br />
1997.1ª ed. [r. 1996]<br />
Las actividades propuestas están orientadas a la<br />
enseñanza del código algebraico como<br />
herramienta para expresar generalizaciones y<br />
resolver problemas, e introducir la noción de<br />
función a partir de la construcción e<br />
interpretación de gráficas.<br />
• Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. Ediciones<br />
Pirámide, España, 1995, 2ª ed.<br />
El objetivo de la obra es mostrar cómo la<br />
exploración de los propios métodos de<br />
pensamiento es una tarea que puede mejorar la<br />
calidad del pensar y los aportes de la Matemática<br />
en este ámbito.<br />
• Hitt, Fernando. Investigaciones en Matemática<br />
Educativa. Grupo Editorial Iberoamérica, México,<br />
1996, 1ª ed.<br />
Reúne un conjunto de artículos sobre diversas<br />
investigaciones que tratan la problemática de la<br />
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas<br />
desde el nivel básico hasta el universitario.<br />
• Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática y<br />
desarrollo del sujeto. Magisterio, Colombia,<br />
1997, 1ª ed.<br />
El autor propone una estrategia pedagógica que<br />
implica la comprensión del desarrollo de los sujetos,<br />
el proceso de construcción y estructuración lógica<br />
de los conceptos y de los saberes específicos<br />
abordados con los alumnos y alumnas.<br />
Bibliografía<br />
• Rodríguez, José y otros. Razonamiento<br />
matemático. International Thompson Editores,<br />
México, 1997, 1ª ed.<br />
Organizado en cinco capítulos, el texto trata el<br />
modelo de Polya y presenta estrategias utilizadas<br />
para resolver problemas, conceptos de álgebra<br />
relacionados con ecuaciones de primer grado,<br />
interpretación gráfica y las matemáticas de<br />
finanzas.<br />
• Steen, Lynn. La enseñanza agradable de las<br />
matemáticas. Editorial Limusa, México, 1998,<br />
1ª ed.<br />
Pretende mostrar que es posible desarrollar el<br />
pensamiento matemático mediante experiencias<br />
informales a muy temprana edad, mucho antes<br />
de que los niños lleguen al punto de poder<br />
comprender fórmulas algebraicas.<br />
• Varios autores. Enseñanza efectiva de las<br />
Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica,<br />
México, 1995, 1ª ed.<br />
Guía básica que sugiere técnicas y habilidades<br />
para la enseñanza de las matemáticas; incluye<br />
aspectos que abarcan desde la preparación y<br />
desarrollo de una clase hasta la elaboración y<br />
aplicación de pruebas y exámenes.<br />
LIBROS<br />
• Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental.<br />
Ediciones Universidad Católica de Chile,<br />
Santiago,1993.<br />
• Bermeosolo, J. Metacognición y estrategias de<br />
aprendizaje e instrucción. Documentos de apoyo<br />
a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767,<br />
Santiago, 1994.<br />
• Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la<br />
vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995.<br />
• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. Geometry<br />
Revisited. The Mathematical Association of<br />
America, EE.UU.,1967.<br />
• Díaz, J. y otros. Azar y probabilidad. Ed. Síntesis,<br />
Madrid, 1987.<br />
• Dickson, L. Brown, M. y Gibson, O. El aprendizaje<br />
de las Matemáticas. Ed. Labor, Barcelona, 1991.<br />
• Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los<br />
números. Ediciones Siruela, España, 1998.<br />
Bibliografía 223
• E.T. Bell. Los grandes matemáticos. Editorial<br />
Losada S.A., Buenos Aires, 1948.<br />
• Figueroa, Lourdes. “Para qué sirve medir”.<br />
Cuadernos de Pedagogía, Nº 302, España, 2001.<br />
• Gardner, Martin. Carnaval matemático. Alianza<br />
Editorial, Madrid, 1980.<br />
• Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas que<br />
hacen pensar. Labor S.A., Barcelona, 1989.<br />
• Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los<br />
números. Ediciones B S.A., Barcelona, 1998.<br />
• Guzmán R., Ismenia. Didáctica de la matemática<br />
como disciplina experimental. Pontificia<br />
Universidad Católica de Valparaíso, Chile, 2002.<br />
• Jouette André. El secreto de los números.<br />
Ediciones Robinbook, Barcelona, 2000.<br />
• Julius, Edgard. Matemáticas rápidas. Norma,<br />
Bogotá, 2002.<br />
• Linares, Salvador. Fracciones, la relación partetodo.<br />
Síntesis, Madrid, 1988.<br />
• Mateos, Mar. Metacognición y educación. Aique,<br />
Buenos Aires, 2001.<br />
• Novak, J. Aprendiendo a aprender. Ediciones<br />
Martínez Roca S.A., Barcelona, 1988.<br />
• Ontoria A. Mapas conceptuales. Editorial Nancea,<br />
2ª edición, España, 1993.<br />
• Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas.<br />
Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1987.<br />
• Perero, Mariano. Historia e historias de<br />
matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericano,<br />
México, 1994.<br />
• Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje.<br />
Morata, Madrid, 1990.<br />
• R. David Gustafson. Álgebra Intermedia.<br />
International Thomson Editores, México, 1997.<br />
• Rencoret, María del Carmen. Iniciación<br />
matemática - Un modelo de jerarquía de<br />
enseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002.<br />
• Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar a<br />
pensar. Aula XXI, Santillana, España, 1996.<br />
• Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos<br />
y matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990.<br />
• Vygotski, L. El desarrollo de los procesos<br />
psicológicos superiores. Libergraf, S.A.,<br />
Barcelona, 1995.<br />
• Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividades<br />
para implementar los Objetivos Fundamentales<br />
Transversales. Lom Ediciones, 2001.<br />
224 Matemática 8<br />
RECURSOS TECNOLÓGICOS<br />
• Software geométrico GeoGebra. En este sitio<br />
encontrará un programa geométrico libre, para<br />
descargar, que le permitirá enseñar y trabajar con<br />
sus alumnos y alumnas.<br />
http://www.geogebra.org<br />
• Software geométrico Limix Geometric. En este<br />
sitio encontrará un programa gratuito que podrá<br />
descargar, permite obtener el área y volumen de<br />
distintos cuerpos geométricos.<br />
http://www.limix.net<br />
PÁGINAS WEBS<br />
• Ministerio de Educación de Chile<br />
http://www.mineduc.cl<br />
• Centro Comenius. Software educativos, en<br />
especial de matemáticas, recursos y muchas cosas<br />
más. Patrocinado por la USACH.<br />
http://www.comenius.usach.cl<br />
• Recursos matemáticos Redemat<br />
http://www.recursosmatematicos.com/redemat.<br />
html<br />
• Base de datos de documentos para Educación.<br />
http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm<br />
• REDUC. Red Latinoamericana de información y<br />
documentación en educación. Contiene base de<br />
datos sobre investigaciones, textos completos,<br />
recortes de prensa.<br />
http://www.reduc.cl<br />
• Sociedad de Matemática de Chile<br />
http://www.sochiem.cl<br />
• Recursos matemáticos Redemat<br />
http://www.recursosmatematicos.com/redemat.<br />
html<br />
• Instituto Nacional de Estadísticas.<br />
http://www.ine.cl<br />
• Ministerio de salud.<br />
http://www.redsalud.gov.cl<br />
• Consejo Nacional para el Control de<br />
Estupefacientes (Conace).<br />
http://www.conacedrogas.cl<br />
• Fundación Futuro.<br />
http://www.fundacionfuturo.cl/<br />
BUSCADOR RECOMENDADO<br />
• Sitio educativo con diversos recursos,<br />
planificaciones e información de todas las áreas.<br />
Incluye buscador.<br />
http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente