Factores de proporcionalidad

Bimestre 1
Matemáticas
2
Contenidos curriculares
Cuadernillo 2

Inicio
Bloque 4
48
Secuencia
7
factor de proporcionalidad.
Cuando
se relacionan dos
conjuntos de datos
numéricos, el número
por el cual multiplicamos
las cantidades
del primer conjunto
para obtener las del
segundo se llama
factor de proporcionalidad.
Factor inverso
de proporcionalidad
Conocimientos y habilidades
1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad
fraccionario.
Reducción fraccionaria
En la novela Alicia en el país de las maravillas de Lewis Carroll; Alicia, la protagonista
de la historia, aumenta o disminuye su estatura al beber un líquido de ciertas botellas.
Supón que luego de tomar un trago de una de las botellas su estatura disminuyó de 70
a 40 centímetros.
¿Cuál es el factor de reducción? Es decir, ¿por cuál número tiene que multiplicar
70 para obtener 40?
Si quisiera regresar a su tamaño original, ¿qué factor de proporcionalidad debe
aplicarse a sus medidas?
Preguntas para andar
¿Cómo se encuentra el factor o constante de proporcionalidad?
¿Qué característica tiene el factor de proporcionalidad cuando se reduce la
estatura de Alicia?
¿Qué característica tiene el factor de proporcionalidad cuando Alicia vuelve a
su estatura original?
¿Cómo encontraste el factor de proporcionalidad inverso, es decir, el que
aplicado a los 40 centímetros regresó a Alicia a su estatura original?

Nuestro trabajo
En equipo elaborarán un rompecabezas de figuras geométricas en tres diferentes
tamaños: chico, mediano y grande. Necesitarán hojas de foami de colores, tijeras,
escuadras, regla graduada y una calculadora sencilla.
A lo largo de las actividades encontrarán indicaciones sobre las medidas del rompecabezas.
Al final lo presentarán al grupo y explicarán cómo obtuvieron sus medidas.
Las medidas de Alicia
En la actividad inicial, Alicia, a la cual llamaremos Alicia 1, redujo su estatura, a esa
reducción la llamaremos Alicia 2; pero Alicia también puede hacerse grande.
Considera que cuando la estatura de Alicia es de 70 cm, su mano mide 6 cm
de largo. ¿Cuál sería la longitud de su mano si la estatura de Alicia 3 fuera de
140 centímetros? Justifica tu respuesta.
1. Con base en los datos del problema anterior, completa la tabla.
Medida original Alicia 1 (cm) Medida Alicia 3 (cm)
Estatura 70 140
Manos 6
Piernas 40
Cabeza 14
Tronco 30.5
¿La relación entre las medidas de Alicia 1 y las medidas de Alicia 3 es propor-
cional? Explica tu respuesta.
¿Cuál es el factor de proporcionalidad en este ejemplo? Explica cómo lo obtuviste.
Si consideras las medidas de crecimiento, ¿qué factor de proporcionalidad debes
aplicar para obtener las medidas originales? ¿Cómo lo supiste?
Cuando las cantidades de dos conjuntos se relacionan de manera proporcional, ¿qué
debemos hacer para obtener los valores del segundo conjunto a partir del primero?
Por ejemplo, ¿qué debemos hacer para obtener las medidas de una nueva Alicia si
Alicia 1 aumenta sus medidas al triple?
Y si, por el contrario, queremos obtener las cantidades del primer conjunto, es
decir, Alicia 1 a partir de las medidas de la nueva Alicia, ¿qué estrategia podemos
seguir?
En situaciones como las anteriores, para obtener las cantidades del primer conjunto a
partir del segundo utilizamos el factor inverso de proporcionalidad.
Si a es el factor de proporcionalidad, ¿cómo puedes obtener el factor inverso de proporcionalidad?
¿Cuál es el factor inverso de proporcionalidad en el ejemplo anterior?
Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor.
1
3
factor inverso de
proporcionalidad.
Es el número por el
cual multiplicamos
las cantidades de un
segundo conjunto de
datos para obtener las
del primero (conjunto
original).
Planeación
49

Desarrollo
50
página
18
Observa que en el problema de la página anterior, el factor de proporcionalidad es 2 (el
doble) y el factor inverso de proporcionalidad es 1 (la mitad).
2
Multiplica cada medida de Alicia 3 por el factor inverso de proporcionalidad para
obtener las medidas originales de Alicia 1.
1
Al multiplicar por , ¿las cantidades son más pequeñas o más grandes?
2
¿Por qué?
1
¿Es lo mismo multiplicar por que dividir entre 2? Argumenta
2
tu respuesta.
Comenta tus respuestas con tus compañeros y con el maestro.
Considera nuevamente el problema del la actividad inicial, completa la tabla y
responde.v
3
Alicia 1 (cm) Alicia 2 (cm)
2
Estatura 70 40
Manos
Piernas
Cabeza
Tronco
En este caso, ¿cuál es el factor inverso de proporcionalidad? Es decir, el que
regresa a Alicia a su estatura original.
Si el factor de proporcionalidad que relaciona a dos conjuntos de cantidades es
a
en-
b
tonces el factor inverso de proporcionalidad es b porque:
a
^1 h
1 1 (1 b) b
^ h ^ (1 a) a
b a
b a
en donde a y b son números diferentes de cero.
h
¿Cómo vamos?
2. Junto con tus compañeros de equipo inicia la elaboración del rompecabezas.
Reúnan el material para trabajar y póngase de acuerdo acerca de cómo harán
su diseño. Utilicen al menos tres figuras geométricas y cuiden que no se
repitan.
Recorten un cuadrado de foami de 12 centímetros de lado y dibujen las figuras
que formarán su rompecabezas.
¿Cómo eligieron las figuras geométricas?
Guarden su rompecabezas, más adelante lo utilizarán.

Otros cambios de Alicia
3. Alicia ha cambiado de estatura varias veces. Resuelve cada situación empleando
el factor inverso y encuentra cuánto medía Alicia.
Las medidas que muestra la tabla se obtuvieron al aplicar un factor de proporcionalidad
de 1.5. ¿Cuánto medía Alicia antes de crecer? Completa la tabla.
Medidas antes de crecer (cm) Nuevas medidas (cm)
Estatura 85
Manos 7.28
Piernas 48.57
Cabeza 8.5
Tronco 37.03
¿Qué factor debe aplicarse a las nuevas medidas para obtener las medidas antes
de crecer? ¿Cómo lo supiste?
Escríbelo como decimal y como fracción.
Si x indica la medida original, es decir, antes del crecimiento o reducción, y y
la medida nueva, escribe las fórmulas que relacionen las variables x y y, con el
factor de proporcionalidad y con el factor de proporcionalidad inverso.
¿Son equivalentes las dos fórmulas? ¿Por qué?
Comenta tu respuesta con el profesor y con tus compañeros.
Alicia modificó nuevamente sus medidas de acuerdo con un factor de escala de
5 . Toma como referencia las medidas de Alicia 1 y haz los cálculos.
7
¿Se agranda o se reduce la estatura de Alicia?
¿Qué factor se deberá utilizar para obtener las medidas originales de Alicia?
Escribe una fórmula que relacione las medidas originales con las medidas de
crecimiento o reducción de Alicia.
¿Cómo vamos?
4. Reúnete con tus compañeros de equipo y realicen las actividades que se indican.
Reproduzcan el rompecabezas que diseñaron, utilicen un factor de escala de 6 5 .
¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado sobre el cual copiarán el diseño de
su rompecabezas?
¿Qué estrategias utilizarán para copiar el diseño?
¿Cómo se encuentra el factor inverso de proporcionalidad cuando se conocen
las medidas originales de una figura? Si hubieran empezado con el rompecabezas
pequeño, ¿qué factor de escala habrían utilizado para trazar el grande?
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19
página
19
Desarrollo
51

Desarrollo
52
El automoledismo es la creación o colección de automóviles y motocicletas hechos a escala. Las escalas
más usuales y difundidas mundialmente son la 1:12 para las reproducciones de motocicletas. En
automóviles la escala más usual es 1:18 y 1:43.
El largo de un modelo de automóvil es de 4.03 m. ¿Por qué número debes multiplicar esta medida para obtener
las dimensiones de una reproducción hecha a escala 1:18? ¿Cuánto mide el largo de la reproducción?
Averigua el largo, ancho y alto de diferentes automóviles y calcula sus medidas en reproducciones
hechas con las escalas anteriores.
5. Resuelve en el cuaderno los siguientes problemas.
1. Si la estatura de Alicia se reduce de 40 cm a 20 cm, ¿qué factor de escala
se utilizó?
¿Cuál es el factor que regresa a Alicia a su estatura de 40 centímetros?
Escribe una fórmula que relacione las medidas originales con las nuevas medidas
de Alicia.
Si la estatura de Alicia se redujo de 70 cm a 40 cm y luego se redujo nuevamente
de 40 cm a 20 cm, ¿qué factor de proporcionalidad se aplicaría si se
quiere reducir la estatura de Alicia directamente de 70 cm a 20 cm?
El factor de proporcionalidad que se usa para reducir la estatura de 70 cm a
20 cm es igual al producto de los factores que reducen de 70 a 40 centíme-
tros y de 40 a 20 centímetros. Es decir:
¿Cuál es el factor inverso de escala, es decir, el que cambia la estatura de
Alicia de 20 centímetros a 70 centímetros?
1
¿Qué sucede si se le aplica a la siguiente figura un factor de escala de y des-
2
pués un factor de 3?
¿Son mayores o menores las medidas de la figura final con respecto de la
figura original?
¿Cuál es el factor que regresa la figura final a su tamaño original?
Traza las tres transformaciones de la figura y comprueba tu respuesta.
6. En equipos revisen su tarea y analicen la siguiente conclusión.
Aplicar dos factores de proporcionalidad a y b de manera sucesiva es equivalente a
aplicar una sola vez el factor a b a las medidas originales.
¿Corresponde con los resultados de su tarea? Comenten su respuesta con el resto
del grupo y con el profesor.

¿Cómo vamos?
7. Reúnete con tu equipo y hagan otro rompecabezas.
Apliquen un factor de escala de 3 4 al segundo rompecabezas.
El nuevo rompecabezas, ¿es mayor o menor que el segundo?
¿Cuál es el menor de los tres? ¿Y el mayor?
Si quisieran hacer el tercer rompecabezas a partir del primero que
hicieron, ¿qué factor de escala deberían aplicar?
Factores de proporcionalidad
8. En parejas resuelvan las siguientes situaciones. Escriban sus respuestas en
el cuaderno.
Las medidas de Alicia se modificaron primero con un factor desconocido y después
con un factor de 4 3 . Si el factor que relaciona las medidas originales de Alicia con
las medidas finales es de 8 3 , ¿cuál es el factor desconocido?
Alicia creció 50% primero y después disminuyó su estatura 25%.
¿Cuáles son los factores de proporcionalidad en cada caso? ¿Cómo lo sabes?
¿Qué factor de proporcionalidad regresa a Alicia a su estatura original en cada caso?
¿Cómo se puede expresar este cambio en forma de porcentaje?
Para verificar sus respuestas supongan que inicialmente Alicia tenía una estatura específica,
por ejemplo, de 50 centímetros o de 1 metro.
Comenta con el profesor y con tus compañeros qué relación hay entre el porcentaje y
el factor o constante de proporcionalidad.
Presentación de nuestro trabajo
9. Presenten sus rompecabezas a sus compañeros y expliquen cómo obtuvieron
las medidas, en cada caso.
Intercambien sus rompecabezas con otro equipo y verifiquen si éstos son proporcionales
y si utilizaron los factores de proporcionalidad indicados.
Comenten con todo el grupo qué factores de escala deben utilizar si quisieran pasar
del tercer rompecabezas al primero.
Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.
¿Cómo nos fue?
¿Qué estrategias utilizaste para resolver los problemas planteados a lo largo de
la secuencia didáctica?
¿Cómo encuentras el factor de proporcionalidad inverso?
¿Cómo utilizaste lo que aprendiste sobre los factores de proporcionalidad para
crear los rompecabezas?
¿En qué otros contextos se pueden aplicar los factores de proporcionalidad?
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Desarrollo
Cierre
53

Inicio
Planeación
Bloque 4
54
Secuencia
8
Proporcionalidad múltiple
Conocimientos y habilidades
1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.
Los folletos
En el salón de Lucía los alumnos están preocupados por las especies animales en
peligro de extinción. Con el objetivo de informar sobre este problema a la población,
decidieron repartir folletos con información acerca de cómo cuidar a estas especies.
Los estudiantes saben que, si participa todo el grupo y si cada uno reparte 25 folletos
diarios, en 15 días lograrán repartir 15 000 folletos.
¿Cuántos alumnos hay en el salón de Lucía? ¿Cómo obtuviste el resultado?
Coméntalo con tus compañeros y con el profesor.
Preguntas para andar
Si quisieran repartir 30 000 folletos, con la participación del mismo número
de alumnos y cada uno repartiendo 25 folletos diarios, ¿cuántos días se
necesitarían?
Si cada niño reparte 25 folletos diarios, ¿de qué depende el número de días
que se tarden en repartir los folletos? ¿Del número de niños que los repartan?
¿Del número de folletos por repartir? ¿De ambas cosas?
¿A qué crees que se refiera el término proporcionalidad múltiple?
Nuestro trabajo
En parejas, planearán y elaborarán un acuario o pecera en cartulina con forma
de prisma.
Deberán decidir la forma del acuario.
Elaborarán unas tablas en las que se muestren diferentes valores para las
medidas y el volumen que tendría en cada caso. A lo largo de la secuencia
encontrarán más información al respecto.
Al final presentarán su trabajo al profesor y al resto del grupo.
Necesitarán: cartulina, regla, colores y pegamento.

Retomemos los folletos
1. Reúnete con dos compañeros y contesten las preguntas. Consideren el problema
de la actividad inicial y que cada niño reparte 25 folletos diarios.
Si sabemos que 25 niños van a repartir folletos durante 10 días, ¿cómo podemos
calcular el número de folletos que se van a repartir?
¿De qué depende el número de folletos que se repartan?
¿De qué depende el número de días que se tarden en repartir x cantidad de
folletos?
¿Cómo calcularon el número de días en el que los alumnos repartirían 30 000
folletos?
¿Son necesarios más o menos días para repartir 15 000 folletos que para repar-
tir 30 000? ¿Por qué?
¿Cuántos folletos se repartirían en 20 días? ¿Y en cin-
co días?
Completen la tabla 1 considerando que el grupo completo de Lucía reparte los
folletos.
Número de días
Número de folletos
5 10
Tabla 1
15 20 25 30 35 40
¿Se trata de una situación de proporcionalidad directa o inversa? Argumenten
su respuesta.
Completen la tabla 2 considerando que 20 alumnos reparten los folletos.
Número de días
Número de folletos
5 10
Tabla 2
15 20 25 30 35 40
¿Cómo cambian las cantidades de la tabla 2 con respecto de la tabla 1?
¿Por qué?
En el cuaderno, elaboren una tercera tabla considerando que 30 alumnos reparten
los folletos, durante los mismos días que en las tablas anteriores.
¿Qué sucede con el número de folletos repartidos cuando el número de alumnos
aumenta? ¿Y cuando disminuye?
¿Qué tienen en común las tres tablas que elaboraron? ¿En qué son distintas?
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21
Desarrollo
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Desarrollo
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21
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22
En las tres tablas que hicieron hay tres variables involucradas: el número de folletos, el
número de días y el número de alumnos participantes.
2. Respondan en el cuaderno.
En cada tabla, ¿qué variables cambian? ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Cuál es
la variable independiente? ¿Qué variable se mantiene constante?
¿Qué variables se encuentran relacionadas de manera directamente proporcional,
una con respecto de la otra?
Verifiquen la respuesta anterior, cerciorándose de que, por ejemplo, al aumentar
una de las cantidades al doble, la otra también aumenta al doble.
Tomando las tres tablas en su conjunto, ¿qué cantidades varían? ¿Lo hacen de manera
directamente proporcional o inversamente proporcional? ¿Por qué?
Compartan y comparen sus respuestas con otros compañeros.
¿Cómo vamos?
3. Reúnete con tu compañero para trabajar en el diseño del acuario.
Decidan qué forma tendrá el acuario así como sus medidas.
¿Cuáles serán las medidas de la base? Por ejemplo, si se trata de un prisma
rectangular, determinen las medidas del largo y ancho del rectángulo.
Definan la altura que tendrá y encuentren el volumen del acuario.
¿Qué pasa con el volumen si aumenta la altura al doble? ¿Y si sólo se aumentan
las medidas de la base al doble?
Tracen el plano y elaboren su acuario. Decórenlo de manera creativa simulando
los peces.
¿Qué forma tiene su acuario? ¿Cuál es su volumen?
¿Cómo calculaste el volumen del acuario?
Escriban en la siguiente tabla cinco medidas diferentes para la altura con su
correspondiente volumen.
Área de la base
en cm 2
Medida de la
altura en cm
Volumen
en cm 3
Escriban una expresión que relacione el volumen (V ) con la medida de la
altura (h), cuando el área de la base se mantiene constante.
¿Qué sucede con el volumen del acuario, si conservan las medidas de la base
pero modifican la medida de la altura?
¿Cuáles son las distintas cantidades que están relacionadas? ¿Cuáles cambian?
¿Cuáles se mantienen constantes?
¿Qué variables se relacionan de manera proporcional?

Nuevamente los folletos
4. Completen la siguiente tabla con el número de folletos repartidos. Recuerden
que cada alumno reparte 25 folletos por día. Usen su calculadora o una hoja de
cálculo electrónica.
Número
de días
Número de
alumnos
5 1 875
Número de folletos repartidos
10 5 000
15
20
25
30
15 20 25 30 35 40
Si y es el número de folletos que se van a repartir y x es el número de días, escriban
una expresión algebraica que permita calcular el número de folletos que se van a
repartir, si participan 20 alumnos:
y
Escriban ahora una expresión para 25, 30 y 40 alumnos:
y y y
Si z es el número de alumnos que participan en la repartición de folletos, escriban
una expresión para calcular el número de folletos y, si se reparten durante
10 días.
Escriban ahora una expresión para 5, 20, 35 y 40 días.
Si z es el número de alumnos que participa en la repartición de folletos y x es
nuevamente el número de días, escriban una fórmula para calcular el número de
folletos.
Comparen sus expresiones con las de otros compañeros, en caso de que existan
diferencias, sustituyan las literales para verificar cuál es la correcta.
Cuando en una misma situación varias cantidades se relacionan entre sí de manera
proporcional, se dice que es una proporcionalidad múltiple. Como en el problema anterior,
en donde el número de días se relaciona de manera proporcional con el número
de folletos, cuando el número de alumnos se mantiene constante. De igual manera, el
número de alumnos se relaciona de manera proporcional con el número de folletos,
cuando el número de días permanece constante.
Verifica estas afirmaciones utilizando tus conocimientos sobre proporcionalidad.
¿Cuál es el factor de proporcionalidad en cada una de estas relaciones?
Desarrollo
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Desarrollo
58
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23
5. Resuelve el siguiente problema en el cuaderno.
El grupo de Lucía decide vender camisetas para recaudar fondos e invertirlos
en un proyecto ecológico.
¿Cuántas camisetas debe vender cada alumno si se quiere recaudar $10 000?
¿A cuánto se debe vender cada camiseta?
Escribe una fórmula que indique el dinero recaudado y, si cada alumno
vende m camisetas y el precio de cada una es n.
¿Qué variables se relacionan de manera proporcional en esta situación?
Si el precio aumenta, ¿qué sucede con el dinero recaudado?
Si el número de camisetas vendidas por alumno disminuye, ¿qué sucede
con el dinero recaudado?
¿Cómo vamos?
6. Reúnete nuevamente con tu equipo y trabajen con el diseño que hicieron.
Elaboren otra tabla en la que se muestre cómo cambia el volumen cuando se
modifica alguna medida de la base (largo del rectángulo, altura del triángulo,
apotema, etc.) para cinco medidas diferentes.
¿Qué sucede si cambia la altura del rectángulo de la base? Si se trata de un
pentágono, ¿qué sucede al cambiar la medida del apotema?
Escriban al menos cinco medidas diferentes para la variable que cambia.
Escriban una fórmula que relacione una de las medidas de la base con el
volumen, cuando la altura se mantiene constante.
Elaboren una nueva tabla en la que se muestre la relación entre el área de
la base y el volumen, al variar la primera manteniendo constante la altura
del prisma:
Área de la base Altura Volumen
¿Son proporcionales las medidas? ¿Por qué?
Escriban una fórmula que relacione el volumen con el área de la base.
Elaboren una tabla, como la que se presenta a continuación, en la que se
muestre cómo se relaciona el volumen con la altura del acuario y el área de la
base. Para ello, deberán proporcionar diferentes medidas tanto para la altura
como para el área de la base y mostrar cómo cambia el volumen al variar estas
cantidades.
Altura del acuario
Área de la base
Volumen en m 3
En el caso del volumen, el área de la base y la altura del acuario, ¿se trata de
una relación de proporcionalidad múltiple?
¿Qué parejas de variables se relacionan de manera proporcional?
¿Qué cantidad(es) se mantiene(n) constante(s)?
Escriban una fórmula que relacione el volumen (V) con la medida de la altura
(h) y con la medida del área de la base (A).

La forma del acuario
Un grupo de alumnos construyó su acuario con forma de cilindro, como el que se
muestra a la derecha.
¿Se relacionan el radio y el volumen de manera proporcional?
7. Para dar respuesta a la pregunta anterior, en parejas investiguen:
¿Qué sucede con el volumen si el radio aumenta al doble?
¿Aumenta también el volumen al doble?
¿Y si se aumenta al triple la medida del radio?
Elaboren una tabla en el cuaderno mostrando diferentes medidas para el radio y
encuentren el volumen para cada caso.
En este mismo ejemplo, ¿qué sucede si el área de la base aumenta al doble? ¿Lo
hace también el volumen?
Escriban fórmulas relacionando el radio con el volumen y el área de la base con el
volumen, manteniendo la altura del prisma constante.
Comenten con el grupo y con el profesor sus experiencias.
Presentación de nuestro trabajo
8. Presenten su acuario y sus tablas al resto del grupo y al profesor. Comenten las
características de las tablas que elaboraron para su acuario.
¿Qué diferencias hay entre las tablas que elaboraron?
¿Qué tipo de prismas usaron otros compañeros?
Si se mantiene constante la altura del acuario, ¿cómo se modifica el volumen cuando
cambia el área de la base?
Encuentren todas las parejas de cantidades (por ejemplo área de la base
y volumen) que se relacionan de manera proporcional.
Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.
¿Cómo nos fue?
¿Qué estrategias utilizaste para resolver los problemas de la secuencia?
¿Qué caracteriza una situación de proporcionalidad múltiple?
¿Cómo usaste lo aprendido sobre la proporcionalidad múltiple para elaborar
las tablas de análisis del acuario?
¿Qué sucedería si se aumentaran, de manera simultánea, el área de la base
y la altura de un prisma? Si se aumentan ambas al doble, ¿aumenta también
al doble la medida del volumen? ¿Por qué?
Piensa en una situación que involucre proporcionalidad múltiple en tu vida
cotidiana. ¿Qué variables están involucradas?
¿Comprendiste cómo obtener la constante de proporcionalidad?
¿Ya puedes resolver problemas en donde se utiliza la proporcionalidad
múltiple?
Comenten entre todo el grupo qué cantidades se relacionan de manera
proporcional.
Inventa un problema relacionado con proporcionalidad múltiple e intercámbialo
con un compañero para que lo resuelva.
Desarrollo
Cierre
59

Inicio
Bloque 1
60
Secuencia
9
Problemas de conteo
Conocimientos y habilidades
1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades.
Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.
¿De cuántas maneras diferentes?
Observa el siguiente croquis que muestra los diferentes caminos que comunican las
ciudades A, B, C y D. Las rutas que puede seguir una persona para desplazarse de una
ciudad a otra dependen del lugar en el que se encuentran.
1. Con base en la imagen contesta las siguientes preguntas.
¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la ciudad A a la ciudad D ?
Si la carretera BC2 se cerrara por mantenimiento, ¿cuántas rutas quedarían para
ir de A a D ?
Si se cerraran de manera alternada cada una de las carreteras para darles mantenimiento,
¿cuál de estos cierres afectaría más a los automovilistas al reducir a la mitad
el número de rutas para ir de la ciudad A a la ciudad D ?
Preguntas para andar
Para calcular la cantidad de caminos diferentes que hay para ir de la ciudad
A a la ciudad D, ¿basta con sumar las carreteras entre ciudades? ¿Por qué?
¿Cómo calcularías la cantidad de caminos diferentes que hay para ir de A a
D sin hacer un diagrama de árbol ni contando de uno en uno? Explica a tus
compañeros cómo lo harías.
¿Qué operación aritmética utilizarías para calcular el total de rutas de A a D ?

Nuestro trabajo
En equipo resolverán el siguiente problema y harán una presentación en la que
expliquen las estrategias y procedimientos que siguieron.
Una persona viajará por cuatro ciudades que están comunicadas entre sí y tiene
que hacer un itinerario con las siguientes condiciones:
tiene que pasar por todas la ciudades una sola vez.
debe terminar su viaje en la ciudad en la que lo inició.
debe elegir el viaje más barato.
Consideren que los costos del viaje son los siguientes:
Destinos Costo del viaje entre ciudades ($)
Ciudad 1 - Ciudad 2 100
Ciudad 1 - Ciudad 3 150
Ciudad 1 - Ciudad 4 200
Ciudad 2 - Ciudad 3 300
Ciudad 2 - Ciudad 4 50
Ciudad 3 - Ciudad 4 250
¿Cuál es el itinerario que debe seguir para cumplir con las condiciones?
¿Cuántos itinerarios creen que cumplan con las condiciones planteadas en el
problema?
A lo largo de la secuencia didáctica se les proporcionarán herramientas para resolver
el problema.
¿Cuántos caminos diferentes hay?
2. Retoma la actividad inicial y contesta.
Revisa el croquis y estima cuántas rutas hay para ir de la ciudad A a la ciudad D.
¿Qué procedimientos conoces para contar las diferentes opciones?
Elige el procedimiento que consideres adecuado y en el cuaderno verifica tu estimación.
¿Qué procedimiento utilizaste?
¿Qué resultados obtuviste?
El procedimiento que utilizaste te permite responder todas las preguntas de la
actividad inicial? Argumenta tu respuesta.
Por turnos, expliquen a sus compañeros la cantidad de caminos diferentes que hay
para ir de la ciudad A a la ciudad D y justifiquen su razonamiento.
estimar. Calcular el
valor aproximado de
una cosa.
página
24
Planeación
61

Desarrollo
62
Ruta
Diagrama de árbol
3. Como han visto en grados anteriores, una manera de contar los diferentes caminos
es con un diagrama de árbol. Completen el siguiente diagrama de árbol y
comprueben cuál de las respuestas que dieron es la correcta.
AB1
AB2
¿Cuántos caminos diferentes encontraron?
BC1
BC2
CD3

Observen el diagrama que hicieron y escriban en cada cuadro los datos para obtener
el total de caminos para ir de la ciudad A a la ciudad D.
2 40
Analicen la operación anterior y argumenten por qué el total de caminos que
van de la ciudad A a la ciudad D se obtiene al multiplicar el número de caminos
que van de cada ciudad a la siguiente.
Con base en la información que les proporciona el diagrama de árbol calculen
cuántos caminos posibles quedan si se cierra la carretera BC2 para ir de la
ciudad A a la ciudad D. ¿Qué estrategia siguieron para saber la respuesta?
Escriban los datos que les permiten obtener el total de rutas distintas para ir de
la ciudad A a la ciudad D si se cierra la carretera BC2.
¿Obtuvieron los mismos resultados con ambos procedimientos? Argumenten su
respuesta.
Observen el diagrama de árbol y encuentren qué carretera se debe cerrar para que
sólo queden 20 posibles caminos para ir de la ciudad A a la ciudad D. Escriban los
datos correspondientes para obtener 20 diferentes rutas para ir de la ciudad A a la
ciudad D.
¿Cómo vamos?
4. Reúnete con tus compañeros de equipo y retomen el problema del itinerario
de viaje.
¿Pueden calcular los diferentes recorridos con un diagrama de árbol? Argumenten
sus respuestas.
¿Cuántos recorridos diferentes encontraron?
¿Cómo podrían calcular la cantidad de recorridos si fueran cinco ciudades y
no cuatro?
Y si fueran 10 ciudades, ¿qué estrategias emplearían?
El problema que están trabajando en su proyecto es una variación de otro que no
se ha podido resolver por la complejidad que implica contar todas las opciones
que surgen según aumenta el número de ciudades. Investiguen hasta qué número
de opciones se ha logrado contar y qué relación guardan éstas con el número de
ciudades.
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24
Desarrollo
63

Desarrollo
64
F G H I
F FG
G
H
I
La junta directiva
5. En equipos resuelvan los siguientes problemas. Compartan estrategias de resolución
y comparen sus respuestas.
Al inicio de cada ciclo escolar, en las escuelas se elige a los padres de familia que
integrarán la junta directiva, ésta se compone por un presidente, un tesorero, un
secretario y dos vocales.
Si para los cargos de presidente, tesorero y secretario se propusieron cinco
padres, ¿cuántas ternas posibles se pueden formar?
Para que puedan determinar todas las ternas posibles usen letras para representar
a cada uno de los cinco padres (A, B, C, D y E) y tracen en el cuaderno
una tabla como la siguiente. Hagan todas las filas que necesiten.
Presidente Tesorero Secretario
Revisen su tabla y contesten.
A B C
A B D
¿La terna integrada por ABC es igual a la terna BCA ? ¿Por qué?
¿Es importante el orden en que se eligen a las personas? ¿Por qué?
Si se propusieron cuatro padres para ocupar los dos puestos de vocales. ¿Cuántas
parejas de vocales se pueden formar?
Para los puestos de vocal se propusieron dos padres que no fueron elegidos para los
puestos anteriores más otros dos. Ahora los llamaremos F, G, H, I.
Completen los recuadros blancos en la tabla de la izquierda para calcular
las posibles parejas de vocales que se pueden formar.
La pareja FG, ¿es la misma que la pareja GF?
¿Por qué?
Expliquen si en este caso importa el orden en que se eligen a las
personas.
¿Qué diferencias encuentran entre las ternas de presidente, tesorero
y secretario; y las parejas de vocales?

¿Cómo terminó la carrera?
6. Resuelve el siguiente problema.
En una competencia de natación hay cuatro participantes A, B, C y D.
¿De cuántas maneras puede terminar una carrera de natación de 4 competidores,
si no hay empates?
¿Cuántos competidores pueden aspirar al primer lugar?
Una vez ocupado el primer lugar, ¿cuántos competidores pueden obtener el 2do
lugar? ¿Y el tercero? ¿Y el cuarto?
Observa la siguiente tabla que muestra algunos órdenes en los que pueden llegar
los cuatro competidores.
1. o 2. o 3. o 4. o
A B C D
A B D C
A C B D
A C D B
A D B C
A D C B
En las dos primeras filas, ¿quiénes permanecen en los mismos lugares?
¿Qué observas en las siguientes filas?
Copia la tabla en el cuaderno y complétala para ver las diferentes maneras en que
puede terminar la competencia.
Analiza y resuelve la multiplicación que representa el problema y explica a tus
compañeros qué representa cada uno de los datos.
4 3 2 1
Mozart compuso 176 compases musicales para un
juego de dados. El juego consiste en lanzar 16 veces
un par de dados para elegir, con la suma de sus caras,
los compases que compondrán un minueto. Para cada
uno de los tiros hay 11 posibles compases. Esto quiere
decir que hay casi 46 billones de minuetos posibles.
¿Crees que a lo largo de la historia se hayan podido
componer todas las variaciones?
página
25
Desarrollo
65

Desarrollo
66
¡A juntar monedas!
7. Utiliza el procedimiento de conteo que prefieras y resuelve el siguiente problema.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden pagar 16 pesos con monedas de 10, 5,
2 y un peso, de manera que no sea necesario dar cambio? Para saberlo contesta
las siguientes preguntas.
Si sólo se usan monedas de 1 peso, ¿cuántas se necesitan?
Si se usa una moneda de 2 pesos y el resto de 1 peso, ¿cuántas de 1 peso se
necesitan? ¿Y si se paga con dos de 2 pesos?
¿Con cuántas monedas de 2 pesos se puede pagar?
Si se paga con monedas de 5 pesos, de 10, de 1 y 2 pesos, ¿de cuántas
maneras diferentes se puede hacer?
Comenta con tus compañeros las estrategias que empleaste en las actividades de
la secuencia didáctica y evalúen en forma grupal qué procedimiento resulta más
conveniente en cada caso.
¿Cómo vamos?
8. En el cuaderno, completen una tabla, como ésta, con los diferentes recorridos
y calculen el costo total de cada uno.
Recorrido
9. Resuelve los siguientes problemas.
1. En el cuaderno elabora un diagrama de árbol y encuentra cuántas comidas
completas se pueden servir. Considera que una comida completa incluye
una sopa, un guisado, un postre y agua.
Sopas
Arroz
Pasta
Costo
parte 1
Costo
parte 2
Menú
Costo
parte 3
Guisados
Bistec con ensalada
Pechuga de pollo asada con verduras
Tacos dorados de pollo
Tortitas de papa
Costo
parte 4
Postres
Plátanos con crema
Ate con queso
¿Cuántas comidas completas diferentes se pueden servir?
Costo
Total
1-2-3-4-1 $100 $300 $250 $200 $850
¿Cuántos recorridos diferentes encontraron?
¿Cuáles y cuántos son los recorridos más baratos?
¿Qué características tienen en común los trayectos más baratos?
Aguas
Jamaica
Horchata
¿Puedes calcular la cantidad de comidas sin necesidad de trazar un diagrama
de árbol? Explica tus respuestas.

¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con el 0, el 2, el 4 y el 6,
si no pueden comenzar con cero y no se pueden repetir?
¿Cuántos números pares de tres cifras pueden formarse con 0, 1, 2, 3, 4, 5 y
6, si éstos pueden repetirse y los números que se forman no pueden comenzar
con el cero?
Inventa dos problemas de conteo que se resuelvan con las multiplicaciones
2 2 2 y 4 3 2. Escríbelos en el cuaderno.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden escribir los números
del 1 al 5 en los vértices de una estrella de 5 puntas si no se pueden
repetir?
¿Cómo encontraste la solución?
¿Podrías resolver este problema con alguna o varias operaciones
aritméticas?
Encuentra y dibuja con diferentes colores los caminos de re-
5
corrido mínimo que hay para ir desde A hasta B en la siguiente
figura. Sólo puedes avanzar hacia la derecha y hacia arriba.
Presentación de nuestro trabajo
A
10. Compartan la solución del problema. Cada equipo explicará a los demás compañeros
las estrategias de conteo y los procedimientos utilizados para calcular la
cantidad de recorridos si son cuatro y cinco ciudades.
También explicarán cómo se resolvería el problema si son 100 o más ciudades
las que se tienen que recorrer.
Comenten qué dificultades y aciertos tuvieron al resolver el problema.
Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.
¿Cómo nos fue?
¿Cómo te ayudó utilizar diferentes estrategias de conteo para resolver el problema
de su proyecto?
¿Todos los problemas de conteo se resuelven con la misma estrategia? Argumenta
tu respuesta.
¿De qué manera participaste en la resolución del problema?
¿En qué otros contextos puedes emplear las estrategias de conteo que aprendiste
en esta secuencia didáctica?
B
4
1
3
2
Desarrollo
Cierre
67

Inicio
Planeación
Bloque 1
68
10
Secuencia
promedio o media.
Es la cantidad o valor
que resulta de dividir
la suma de todas las
cantidades de un
conjunto entre el número
de sumandos.
Gráficas de frecuencia
Conocimientos y habilidades
1.10. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.
¡Las gráficas dicen más que mil palabras!
En 2008 y 2009, por la falta de lluvia, las presas que abastecen de agua al Distrito Federal no
alcanzaron los niveles necesarios para cubrir el consumo de los habitantes de esta ciudad.
1. Analiza con algunos compañeros la información que se muestra en la gráfica.
Precipitación media en el Distrito Federal, 2008-2009
Preguntas para andar
¿Qué representan cada una de las líneas de la gráfica y los puntos sobre ellas?
¿En qué año llovió más? Haz una estimación.
¿Qué tipo de variables se presentan en la gráfica?
¿Sabes cómo se le llama a este tipo de gráficas? ¿Qué otra clase de información
podrías presentar en una gráfica como ésta?
Nuestro trabajo
Fuente: smn.cna.gob.mx/climatologia/precipitacion/estados/est-2008.gif
smn.cna.gob.mx/climatologia/precipitacion/estados/est-2009.gif
y ¿En qué mes del año 2008 llovió más? ¿Y en el 2009?
y ¿Por qué es útil contar con este tipo de gráficas? Coméntenlo con el profesor.
En equipos, harán una investigación sobre la temperatura máxima y mínima promedio
o la temperatura media o las precipitaciones pluviales medias en su estado
en los tres últimos años. La temperatura media mensual se obtiene calculando
el valor medio de los datos diarios de las temperaturas máxima y mínima.
La información la podrán encontrar en la página electrónica del Sistema
Meteorológico Nacional de la Comisión Nacional del Agua.
Deben elaborar una tabla con la información de cada año y representarla en
una gráfica como la anterior. Al final, presentarán su trabajo ante el grupo.
Elijan el tema con el que trabajarán.

Precipitación media
A las gráficas, como la anterior, se les denomina polígonos de frecuencia, ya que
representan una línea poligonal que resulta de unir los puntos medios de cada intervalo,
llamados marcas de clase o del intervalo, y su respectiva frecuencia. En éstos
podemos leer y comparar la frecuencia con que se repite un hecho. Recuerda que se
llama frecuencia al número de veces que se repite un fenómeno.
2. Observa nuevamente la gráfica de la página anterior y contesta lo siguiente.
¿Qué variables se representan? ¿Qué tipo de datos se utilizan para cada una de las variables?
¿En qué unidades de medida se expresan las precipitaciones?
¿Qué información se presenta en el eje x ? ¿Y en el eje vertical y ?
En la gráfica del 2009 ubica el punto que se localiza inmediatamente sobre 96.
¿Qué significa este número?
¿En qué mes o meses del año 2008 llovió más que en el mismo mes del 2009?
¿En qué mes se observa la mayor diferencia entre precipitaciones medias?
¿De cuánto es aproximadamente?
¿En qué meses de cada año no llovió? ¿Cómo lo sabes?
3. Realiza esta actividad.
página
Observa la gráfica y contesta en el cuaderno.
26
Producción y consumo de maíz blanco y amarillo, 1999-2004
marcas de clase. Es
el punto medio del
intervalo. Se obtiene
dividiendo entre dos
la suma de los límites
inferior y superior del
intervalo.
frecuencia. Es el
número de veces que
se repite un hecho o
suceso.
variable. Representa
a cada uno de los
elementos de un
conjunto de datos.
Cada elemento del
conjunto es un valor
de la variable.
Fuente: Centro de Estudios de las Finanzas Públicas de la H. Cámara de Diputados, con datos de la Secretaría
de Agricultura, Ganadería, Desarrollo Rural, Pesca y Alimentación y la Secretaría de Economía. Noviembre 2004.
¿En qué unidades se mide cada una de las variables?
Escribe lo que observas en relación con la producción y la demanda o consumo de maíz.
Del periodo mostrado ¿en qué año México tuvo la mayor producción de maíz? ¿Y la menor?
¿En qué año tuvo el mayor consumo? ¿Y el menor?
¿En qué año la diferencia entre la producción y el consumo fue menor? ¿En qué año fue mayor?
Qué acciones crees que debe realizar el gobierno mexicano cuando el consumo es mayor que la producción?
Desarrollo
69

Desarrollo
70
histograma. Gráfica
que usa columnas
o barras verticales,
que el eje horizontal
representa unidades
discretas, ciertos
rangos o intervalos
y en el eje vertical
representa la frecuencia
con que ocurre el
fenómeno.
página
26
¿Cómo vamos?
4. Reúnete con tus compañeros para trabajar en el proyecto.
Con la información que cada uno recabó elaboren las tablas con la media
mensual de temperatura o de las precipitaciones de su estado.
¿Qué tema decidieron trabajar, la variación de temperatura o las precipitaciones?
¿En qué mes y año la temperatura o la precipitación fue mayor?
¿En qué año se registró la mayor diferencia mensual entre las temperaturas
máxima y mínima o entre la cantidad de lluvia?
¿Cuál fue la mayor dificultad a la que se enfrentaron durante su investigación?
Conserven la información para trabajar con ella más adelante.
Polígono de frecuencia con datos no agrupados
5. Reúnete con un compañero para resolver lo que se pida.
La gráfica de la izquierda es un histograma, muestra los datos (de la tabla que aparece
abajo) sobre el pronóstico de las temperaturas máximas para Monterrey. La gráfica que
aparece a la derecha señala cómo se forma el polígono de frecuencia con datos no
agrupados, al unir los puntos medios de la parte superior de cada barra del histograma
con segmentos de recta. Se llama polígono de frecuencia con datos no agrupados,
porque los datos de una variable no permite clasificarlos o agruparlos.
Pronóstico de temperaturas máximas (°C) para Monterrey Pronóstico de temperaturas máximas (°C) para Monterrey
Observen la tabla y contesten las preguntas.
Pronóstico de temperaturas máximas y mínimas (ºC) para Monterrey
Días de la semana Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Temperatura máxima (ºC) 24 24 27 28 30 28 29
Temperatura mínima (ºC) 5 5 12 15 16 13 14
¿Cuáles son las variables que se presentan?
Para trazar un polígono de frecuencia con la información anterior, ¿cuál variable colocarían
en eje y ? ¿Y en el eje x ? ¿Qué escala utilizarían para representar las temperaturas?

Miles de tonelad
23 000
21 000
20 134
19 298
20 701
En cada plano cartesiano, elaboren el histograma para las temperaturas máximas
19 000 y mínimas, que aparecen en la tabla, pronosticadas para 19 000 una semana en la ciudad
de Los 17 Cabos, 706 y, 17a 556 partir de éste, tracen el polígono de frecuencia. 17 706 17 556
17 000
17 000
Pronóstico de temperaturas máximas y mínimas (ºC) para Los Cabos
15 000
Días de la semana
1999 2000
15 000
Años
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
2001 2002 2003 2004 1999 2000 2001 2002 2003 20
Temperatura máxima (ºC) 26 25 27 26 27 27 26
¿Cuál es la temperatura más baja pronosticada? ¿Y la más alta?
¿En qué día la diferencia entre la temperatura máxima y mínima fue mayor? ¿En
Consumo
Producción
qué 35 día se registró menor diferencia entre ambas temperaturas? 35
30
30
plano cartesiano.
¿Qué 25dificultades
encontraron al comparar los datos en diferentes 25 gráficas?
20
20
Está determinado por
dos rectas llamadas
ejes de coordenadas
15
15
y sirve de referencia
Comparen sus polígonos de frecuencia con los de otros compañeros. En caso de para ubicar un punto
que detecten
10
errores, corrijan en equipo.
10
MAT2COMSECLAB1S10-087-05
en el plano o en el es-
5
5
pacio. El eje horizon-
Ahora, en equipos, construyan los polígonos de frecuencia de las temperaturas tal recibe el nombre
máximas 0y
mínimas Lunes Martes de Miércoles la ciudad Jueves de Viernes Los Cabos Sábado Domingo en el siguiente plano 0
Lunes cartesiano. de eje x o de abscisas
Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Marquen cada polígono con diferente Días color.
y el eje vertical recibe
Días
MAT2COMSECLAB1S10-088-06 el nombre de eje y o
MAT2C
35
de ordenadas.
30
25
MAT2
20
10
15
10
9
8
7
5
0
Lunes Martes Miércoles Jueves
Días
Viernes Sábado Domingo
6
5
4
3
2
¿Qué ventajas tiene presentar la información en un mismo plano cartesiano? 1
0
10
9
24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 7
71 Puntaje
21 686
MAT2COMSECLAB1S10-087-04
Temperatura mínima (ºC) 10 11 12 MAT2COMSECLAB1S10-087-04
16 15 14 12
0
Temperaturas máximas (°C)
Temperaturas (ºC)
Miles de tonelad
23 000
21 000
Temperatura máxima Temperatura mínima
0
Temperaturas máximas (°C)
20 134
19 298
20 701
Desarrollo
21
Mat2 sec

Desarrollo
72
polígono de frecuencias
con datos agrupados.
Es la representación
gráfica de
datos agrupados en
intervalos para facilitar
su comprensión.
escala de medición.
Es el nivel de medida
de una variable que
permiten organizar
datos en orden
jerárquico y ofrece
información sobre
la clasificación de
variables discretas o
continuas.
Polígono de frecuencia con datos agrupados o intervalos
Las variables de un conjunto de datos pueden clasificarse en cualitativas o cuantitativas
según la escala de medición. Las variables cualitativas expresan características como, el
nombre de las personas, el estado civil, el orden de llegada de corredores, entre otras.
Las variables cuantitativas expresan cantidades numéricas. Pueden ser discretas o
continuas. Las discretas sólo admiten valores enteros por ejemplo, el número de hijos
(2, 5, 7). Las variables continuas tienen la propiedad de que entre dos valores siempre
puede existir otro valor. Una variable continua toma valores a lo largo del continuo, es
decir, en un intervalo de valores. Cuando nos referimos a datos agrupados estamos trabajando
con variables continuas. Por ejemplo, el intervalo de 25 a 27 kg de la variable
peso admite cantidades decimales como 25.00 kg, 25.7 kg, 26.75 kg, etcétera.
La obesidad es un problema de salud que aumenta en México. En una investigación
sobre el estado nutricional de alumnos de 5 a 13 años de edad en siete primarias de la
zona norte del Distrito Federal, se obtuvo la siguiente información:
Edad
(años)
Peso normal
o ideal (N)
Desnutrición
leve (DL)
Número de niños con:
Desnutrición
severa (DS)
Sobrepeso
(S)
Obesidad
(O)
5 21 2 0 7 5
6 29 4 0 8 4
7 31 6 0 10 4
8 72 10 4 14 7
9 80 12 3 18 8
10 96 14 1 23 7
11 48 2 1 4 6
12 52 4 1 5 3
13 45 3 0 6 2
Subtotal 474 57 10 95 46
Total 474 67 141
Fuente: Los datos se basan en el estudio denominado Deficiencias de peso corporal en escolares
de 5-13 años en 7 escuelas del Distrito Federal. Dr. Mario de Jesús Mesas Guzmán.
¿Qué tipo de variables se presentan en la tabla?
¿Cuántos niños participaron en el estudio?
¿En qué edad hay más niños con problemas de sobrepeso y obesidad?
¿Cuál es el promedio de niños con desnutrición? ¿Y con obesidad y sobrepeso?
En general, ¿cómo calificarías el estado de salud del grupo de niños? Coméntalo con
tus compañeros y con el profesor.

Presentación por intervalos
Dado que la edad es una variable cuantitativa continua, para efectos de estudiar las características
de los estudiantes, se decidió representar los grupos de edad en tres intervalos.
6. Reúnete con un compañero y completa la siguiente tabla.
Para calcular la marca de clase o punto medio del intervalo, sumen los límites inferior
y superior de cada intervalo y dividan entre dos el resultado. El límite inferior es el
menor número de un intervalo y el límite superior es el número mayor.
Para calcular el número de escolares que hay en cada caso, sumen las frecuencias
correspondientes a las edades incluidas en cada intervalo.
Edad por
intervalos
Marca
de clase
Peso normal
o ideal (N)
5-7 6 81
8-10
11-13
Desnutrición
leve (DL)
De 10% a 25%
por debajo del
peso normal
Número de niños con:
Desnutrición
severa (DS)
De 26% a 40%
por debajo del
peso normal
En el conjunto de datos agrupados por intervalos la diferencia entre la edad mínima y
máxima se denomina amplitud total o rango. En este caso la amplitud es 13 5 8.
Se puede decir que el intervalo de los datos recorre 8 edades. Por ello, a la amplitud o
rango, también se le llama recorrido.
Para obtener la cantidad de intervalos que se forma para el grupo de datos se divide el
rango, que en este caso es 8, entre el número de edades de cada intervalo que es 3.
8 3 2.66, que redondeado a enteros es 3. El número 3 indica que el conjunto de
los datos se organizó en tres intervalos. Para organizar los valores de la serie de datos
hay que determinar un número de clases o intervalos que sea conveniente.
Ahora, tracen los polígonos de frecuencia para cada estado nutricional en hojas de
papel milimétrico, en un mismo plano cartesiano y con diferentes colores. En el eje
y representen las frecuencias (número de niños), mientras que en el eje x representen
los rangos de clase.
¿En qué rango se encuentran más niños con problemas de obesidad?
¿En qué rango no hay niños con desnutrición severa?
Comparen sus gráficas poligonales con las de otros compañeros.
¿Todos utilizaron la misma escala? ¿Qué diferencias observas?
¿ En qué intervalo hay mayor cantidad de menores con sobrepeso? ¿Y con obesidad?
¿Qué porcentaje del total de alumnos entrevistados representan aquellos que
tienen obesidad y sobrepeso?
¿Entre qué edades se encuentran la mayor cantidad de escolares que tienen el
peso ideal? ¿Qué porcentaje representan esos estudiantes con respecto al total?
Escriban en su cuaderno un reporte del estudio que acaban de analizar.
página
26
Sobrepeso
De 10% a 19%
por encima del
peso normal
Obesidad
20% y más
por encima del
peso normal
límites del intervalo.
Son los valores
extremos del
intervalo.
límite inferior. Es el
menor número de
un intervalo.
límite superior. Es el
número mayor de
un intervalo.
amplitud total o
rango. Es la medida
de la variación total
de los valores de
los datos, es decir,
la diferencia entre
el valor mayor y el
valor menor.
Desarrollo
73

Desarrollo
74
De acuerdo con la OMS, el Índice de Masa Corporal (IMC) define el sobrepeso con un valor igual o
superior a 25; la obesidad, igual o superior a 30; valores entre 20 y 24.9 son considerados adecuados
y menores a 20 como desnutrición.
7. Analiza la gráfica y contesta en el cuaderno las preguntas que se presentan a continuación.
50
45
Distribución porcentual de mujeres de 20 o más años por grupos de
edad según su condición de nutrición, 2006
40
Desnutrición
35
Adecuado
30
Sobrepeso
25
20
15
10
5
Obesidad
0
20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80 y
Edad en años
más
Fuente: SSA, INSP. Encuesta Nacional de Salud y Nutrición, 2006. Tomado de: Mujeres y hombres en México 2010.
INEGI, 2010. www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/integracion/sociodemografico
/mujeresyhombres/2010/MyH_2010.pdf
Porcentaje
¿Cuáles son las variables que se presentan en la gráfica? ¿Son cuantitativas o cualitativas?
En el caso de que sean cuantitativas, ¿son discretas o continuas?
¿Cuál es la marca de clase del intervalo de 30 a 39? ¿Qué representa?
¿En qué rangos de edad se da el problema de obesidad?
¿En qué grupo de edad se da el mayor porcentaje con sobrepeso y obesidad?
Si tuvieras que organizar una campaña sobre el cuidado de la salud, ¿a qué segmento de la
población femenina te dirigirías?
¿Qué conclusión obtienes de la gráfica? Comparte y comenta tus conclusiones con el grupo
y con el profesor.
8. Realiza la actividad siguiente.
Traza en el cuaderno una gráfica poligonal que permita comparar la cantidad de horas promedio de trabajo
por semana entre mujeres y hombres mayores de 14 años.
Grupos de edad Hombres Mujeres
14-29 43.3 49
30-59 48.5 54.7
60 y más 32.1 34.9
Fuente: INEGI-STPS. Encuesta Nacional de Ocupación y Empleo, 2009. Segundo trimestre. Base de datos. Tomado de: Tomado de:
Mujeres y hombres en México 2010. INEGI, 2010. www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/integracion/
sociodemografico/mujeresyhombres/2010/MyH_2010.pdf
Escribe tus conclusiones respecto a las diferencias de horas por semana de trabajo semanal entre
hombres y mujeres. ¿A qué crees que se deba esto?
página
27

¿Cómo vamos?
9. Reúnanse nuevamente para trabajar en su proyecto.
Recuperen la información de las tablas que elaboraron y construyan, en una
hoja de papel milimétrico, un histograma con la información que decidieron
analizar.
Después, construyan los polígonos de frecuencia que representen la temperatura
media mensual, las temperaturas máximas y mínimas promedio, la temperatura
media o las precipitaciones de su entidad.
¿Qué tipo de datos son los que trabajaron, cualitativos o cuantitativos? ¿Por qué?
Con estos datos, ¿podrían elaborar un polígono de frecuencia con datos agrupados?
Justifiquen su respuesta.
Escriban un breve resumen acerca de la información que proporcionan las
gráficas.
Las hojas de cálculo resultan muy útiles para trazar histogramas y polígonos
de frecuencia. Si tienes oportunidad, investiga cómo trazar dichas
gráficas y utilízalas para representar los resultados de tu investigación.
En la construcción de un histograma puedes cambiar el tipo de gráfi-
co pulsando el botón derecho del ratón y eligiendo la opción Tipo de gráfico.
Presentación de nuestro trabajo
10. Presenten las gráficas correspondientes a las temperaturas o precipitaciones así
como los resultados de su análisis.
Es importante que el equipo expositor plantee preguntas de reflexión al resto de los
equipos, para que las contesten en forma oral. Al final presentarán sus conclusiones.
Los demás equipos complementarán, en caso de que sea necesario, las conclusiones
presentadas.
Compartan la información pegándola en los pasillos de la escuela o en paredes
donde la puedan leer los demás grupos.
Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.
¿Cómo nos fue?
¿En qué otras situaciones podrías utilizar un polígono de frecuencia para presentar
y analizar información?
¿Cuál fue tu participación en la elaboración de las gráficas de precipitaciones
o de temperatura en tu estado?
¿En qué casos es conveniente agrupar datos por intervalos? ¿Qué característica
debe tener la variable para determinar los intervalos? Cita dos ejemplos.
Has concluido los temas del primer bloque. Te sugerimos que revises, con
el profesor, tu archivo de evidencias para ver tu avance.
Cierre Desarrollo
75

76
Taller de
Matemáticas
Medición
La habilidad de medir es básica en matemáticas. Medir
significa comparar; por ejemplo, en este bloque
aprendiste a medir ángulos entre líneas rectas, para
ello, lo que hiciste fue comparar un determinado
ángulo con transportador, el cual está graduado en
unidades de medida llamadas grados. Las siguientes
actividades te permitirán poner en práctica tus habilidades
para medir.
1. Reúnete con un compañero y hagan la siguiente actividad sin utilizar un transportador.
Observen la imagen. Determinen, de forma aproximada, el ángulo al que debe girar
el radar de un aeropuerto para ubicar la posición de cada avión en la pantalla. Tengan
en cuenta que para lograrlo, el haz de luz que emite el radar detecta el centro
del avión.
\B
Discutan su solución con otros compañeros y con el profesor.
\C
\A
Los pentágonos
dejan un vacío
\D
\0º

Por supuesto, los ángulos no son lo único que se mide. Como recordarás, hay varios
sistemas para medir y en cada uno se emplean distintas unidades.
2. Haz las siguientes actividades de forma individual.
Investiga las unidades que se utilizan en distintos sistemas para medir lo
siguiente.
Longitud (por ejemplo,
de un tren)
Capacidad (líquido
y sólido)
En la siguiente receta para hacer un pastel las medidas están dadas en el sistema
inglés. Convierte las medidas de la receta al sistema métrico decimal.
INGREDIENTES
Pastel de la abuela
1
2 libra de chocolate oscuro
8 onzas de mantequilla
1
3 onzas de harina
2
1 pinta inglesa de leche
1 cucharadita de vainilla
4 1 cucharada de bicarbonato de sodio
Se mezclan los ingredientes y se bate
por unos cinco minutos. Se vierte la
mezcla en un molde y se pone al horno
a 356° Farenheit por 30 minutos.
Comenta tus respuestas con tus compañeros y con el profesor.
Superficie (por ejemplo,
de un cultivo)
Masa
Por ejemplo, una
pinta inglesa equivale
a 570 mL.
También convierte
la temperatura a
grados Celsius.
77

78
3. Resuelve el siguiente problema.
En un centro comercial se ha delimitado un área con forma de un hexágono regular en
la que se pondrá piso de mármol. Determina el área total de este piso si cada lado del
hexágono mide 10 m y el apotema es de 8.66 metros, aproximadamente.
10 m
Ahora volvamos a medir ángulos. Observa la imagen, en
ella se usan de forma ingeniosa algunas propiedades
geométricas.
Al ver esta obra podríamos preguntarnos: ¿todas las
figuras se pueden usar para llenar un espacio de tal
forma que no se superpongan ni quede ningún hueco?
¿Qué figuras podríamos usar y cuáles no?
En la siguiente actividad responderemos esta pregunta:
podemos usar los polígonos regulares.
Observa, por ejemplo, que si empleamos triángulos equiláteros
y los rotamos alrededor de un mismo centro, podemos
llenar el espacio sin que quede ningún vacío, pero
no ocurre lo mismo si utilizamos pentágonos:
Los pentágonos
dejan un vacío

Entonces, para este caso, la pregunta es: ¿qué polígonos regulares podemos usar para
llenar un espacio sin que quede ningún vacío? La respuesta se relaciona con una medida:
los ángulos internos de los polígonos.
4. Reúnete con dos compañeros para hacer la siguiente actividad.
Dibujen y midan (con su transportador) los ángulos internos de los siguientes polígonos
regulares y completen la tabla.
Polígono regular
Número
de lados
Medida de uno
de sus ángulos internos
Triángulo equilátero 3 60°
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
… n-gono
Con base en la información de la tabla, respondan las siguientes preguntas. Coméntenlas
con sus compañeros y su profesor.
¿Cuánto deben sumar los ángulos alrededor del centro de rotación para que
un polígono regular llene el espacio sin dejar ningún vacío?
¿Qué polígonos regulares llenan el espacio sin superponerse ni dejar ningún
vacío?
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Bimestre 1
Matemáticas 2
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