1 Calcular ∫ Sec(θ)dθ tenemos que ∫ Sec(θ)dθ = ∫ Sec(θ)( Sec(θ ...

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Funciones Elipticas
Mediante un análisis similar pero de la elipse se obtienen integrales
dx
,
(1 − x2 )(1 − k2x2 )
x2dx ,
(1 − x2 )(1 − k2x2 )
dx
(x − a) (1 − x2 )(1 − k2x2 )
que son llamadas integrales elipticas, como x necesariamente tiene que ser
menor que 1, pues de lo contrario la raíz se haría negativa, podemos hacer el
cambio x = Sen(ϕ) por lo que nos queda
dx
(1 − x 2 )(1 − k 2 x 2 ) =
dϕ
(1 − k 2 Sen 2 (ϕ))
Integral Eliptica de 1ra especie
Se define al seno eliptico de Jacobi como la función inversa de la integral
eliptica de primera especie.
Consideremos la integral eliptica de primera especie
z
u = Fk(z) =
0
dz
(1 − z 2 )(1 − k 2 z 2 )
La inversa de esta función es la primera de tres funciones elipticas de Jacobi
snu = x = F −1
k (u)
Las otras dos funciones elipticas de Jacobi se definen a partir de esta por las
relaciones siguientes:
cnu = 1 − sn 2 (u) = √ 1 − x 2 dnu = 1 − k 2 sn 2 (u) = √ 1 − k 2 x 2
Las funciones elipticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral
eliptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre
al matemático aleman Carl Gustav Jakob Jacobi.
En física aparecen por ejemplo en las osilaciones de un péndulo con
grandes amplitudes sometido a la gravedad.
Algunas propiedades de las funciones elíticas son:
cn 2 (u) + sn 2 (u) = ( 1 − sn 2 (u)) 2 + x 2 = ( √ 1 − x 2 ) 2 + x 2 = 1
dn 2 (u) + k 2 sn 2 (u) = ( √ 1 − k 2 x 2 ) 2 + k 2 x 2 = 1
dn 2 − k 2 cn 2 (u) = ( √ 1 − k 2 x 2 ) 2 − k 2 ( √ 1 − x 2 ) 2 = 1 − k 2