1 Calcular ∫ Sec(θ)dθ tenemos que ∫ Sec(θ)dθ = ∫ Sec(θ)( Sec(θ ...

Calcular Sec(θ)dθ
tenemos que
Sec(θ) + T an(θ)
Sec(θ)dθ = Sec(θ)( )dθ =
Sec(θ) + T an(θ)
=
du
u
Calcular ahora Sec3 (θ)dθ
tenemos que
Sec 3
(θ)dθ = Sec 2 (θ)
= Sec(θ)T an(θ)−
= Ln(u) + k = Ln(Sec(θ) + T an(θ)) + k
dv=Sec 2 (θ)
v=T an(θ)
Sec(θ)
u=Sec(θ)
du=Sec(θ)T an(θ)
dθ = Sec(θ)T an(θ)
Sec2 (θ) + Sec(θ)T an(θ)
Sec(θ) + T an(θ)
u=Sec(θ)+T an(θ) du=Sec(θ)T an(θ)+Sec2 dθ
(θ)
u∗v
T an 2
(θ)Sec(θ)dθ = Sec(θ)T an(θ)−
Sec(θ)T an(θ) −
Por lo tanto
Sec 3
(θ)dθ = Sec(θ)T an(θ) −
simplificando
2 Sec 3
(θ)dθ = Sec(θ)T an(θ)+
Sec 3
(θ)dθ +
Sec(θ)dθ
Sec 3
(θ)dθ +
−
1
T an(θ)Sec(θ)T an(θ) dθ
− v∗du
(Sec 2 −1)Sec(θ)dθ =
Sec(θ)dθ
Sec(θ)dθ = Sec(θ)T an(θ)+Ln(Sec(θ)+T an(θ))
finalmente nos queda
Sec 3 (θ)dθ = 1
(Sec(θ)T an(θ) + Ln(Sec(θ) + T an(θ)))
2
Calculemos √ x2 − 1dx haciendo el cambio de variable x = Sec(θ) Tenemos
que
√x
Sec
T
2 − 1dx =
2 (θ) − 1SecθT an(θ)dθ = an2 (θ)Sec(θ)T an(θ)dθ

2
= T an(θ)Sec(θ)T an(θ)dθ = T an 2
(θ)Sec(θ)dθ = (Sec 2 (θ)−1)Sec(θ)dθ
=
Sec 3 (θ)−Sec(θ)dθ = 1
Sec(θ)T an(θ)+1 Log(Sec(θ)+T an(θ))−Log(Sec(θ)+T an(θ))
2 2
= 1
1
1
Sec(θ)T an(θ)− Log(Sec(θ)+T an(θ)) =
2 2 2 (x√x2 − 1)− 1
2 (x+√x2 − 1)
En la hipérbola equilatera x 2 − y 2 = 1 definimos c = Cosh(x) s = Senh(x)
y como c,s estan sobre la hipérbola c 2 − s 2 = 1
c √ √ √
Area = ”x” = sc − 2 x2 − 1dx = sc − c c2 − 1 + Log(c + c2 − 1)
Por lo tanto
1
= sc − cs + Log(c + √ c 2 − 1) = Log(c + √ c 2 − 1)
x = Log(c+ √ c 2 − 1) ⇒ e x = c+ √ c 2 − 1 ⇒ e x −c = √ c 2 − 1 ⇒ e 2x −2e x c+c 2 = c 2 −1
⇒ e 2x − 2e x c = −1 ⇒ e 2x + 1 = 2e x c ⇒ e2x + 1
2e x
= c ⇒ c = ex + e −x
De la relación c2 − s2 = 1 podemos obtener el valor de s
s = √ c2
− 1 = ( ex + e−x )
2
2
e2x + 2 + e−2x e2x + 2 + e−2x − 4
− 1 =
− 1 =
4
4
(ex − e−x ) 2
=
=
4
ex − e−x 2
Tenemos que
2

por semejanza de triángulos t
1
= s
c
t = s
c =
⇒ t = s
C
e x −e −x
2
e x +e −x
2
finalmente definimos c = Cosh(x) = ex +e −x
2
por lo tanto
= ex − e −x
e x + e −x
T anh(x) = ex −e −x
e x +e −x
Algunas propiedades de las funciones hipérbolicas
Cosh 2 (x)−Senh 2 (x) = ( ex + e −x
2
, s = Senh(x) = ex −e −x
2
3
y t =
) 2 −( ex − e−x )
2
2 = e2x + 2 + e−2x − e2x + 2 − e−2x 4
Cosh 2 (ArcSennh(x))−Senh 2 (ArcSennh(x)) = 1 ⇒ Cosh(ArcSennh(x)) = √ 1 + x 2
Cosh 2 (ArcSennh(x))−Senh 2 (ArcSennh(x)) = 1 ⇒ Senh(ArcSennh(x)) = √ x 2 − 1
(ArcCosh(x)) ′ =
Por lo tanto
Otro camino
1
√ dx =
x2 − 1
x=Cosh(t)
dx=Senh(x)
1
Cosh ′ (ArcCosh(x)) =
1
√ x 2 − 1 = ArcCosh(x)
Senh(t)
Cosh 2 (t) − 1 dt =
1
Senh(ArcCosh(x)) =
Senh(t)
dt =
Senh(t)
1
√ x 2 − 1
dt = t = ArcCosh(x)
= 4
4
= 1

4
Funciones Elipticas
Mediante un análisis similar pero de la elipse se obtienen integrales
dx
,
(1 − x2 )(1 − k2x2 )
x2dx ,
(1 − x2 )(1 − k2x2 )
dx
(x − a) (1 − x2 )(1 − k2x2 )
que son llamadas integrales elipticas, como x necesariamente tiene que ser
menor que 1, pues de lo contrario la raíz se haría negativa, podemos hacer el
cambio x = Sen(ϕ) por lo que nos queda
dx
(1 − x 2 )(1 − k 2 x 2 ) =
dϕ
(1 − k 2 Sen 2 (ϕ))
Integral Eliptica de 1ra especie
Se define al seno eliptico de Jacobi como la función inversa de la integral
eliptica de primera especie.
Consideremos la integral eliptica de primera especie
z
u = Fk(z) =
0
dz
(1 − z 2 )(1 − k 2 z 2 )
La inversa de esta función es la primera de tres funciones elipticas de Jacobi
snu = x = F −1
k (u)
Las otras dos funciones elipticas de Jacobi se definen a partir de esta por las
relaciones siguientes:
cnu = 1 − sn 2 (u) = √ 1 − x 2 dnu = 1 − k 2 sn 2 (u) = √ 1 − k 2 x 2
Las funciones elipticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral
eliptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre
al matemático aleman Carl Gustav Jakob Jacobi.
En física aparecen por ejemplo en las osilaciones de un péndulo con
grandes amplitudes sometido a la gravedad.
Algunas propiedades de las funciones elíticas son:
cn 2 (u) + sn 2 (u) = ( 1 − sn 2 (u)) 2 + x 2 = ( √ 1 − x 2 ) 2 + x 2 = 1
dn 2 (u) + k 2 sn 2 (u) = ( √ 1 − k 2 x 2 ) 2 + k 2 x 2 = 1
dn 2 − k 2 cn 2 (u) = ( √ 1 − k 2 x 2 ) 2 − k 2 ( √ 1 − x 2 ) 2 = 1 − k 2

Las funciones elípticas son una generalización de las funciones circulares e
hipérbolicas. Cuando k=0 la integral elíptica se convierte en:
dx
dx
= √ = ArcSen(x)
(1 − x2 )(1 − k2x2 ) 1 − x2 cuando k=1
dx
=
(1 − x2 )(1 − k2x2 )
dx
=
(1 − x2 )(1 − x2 )
dx
1 − x 2
la cual podemos resolver de la siguiente manera
dx 1
=
1 − x2 2
2dx 1 1 − x + 1 + xdx
=
1 − x2 2 1 − x2 = 1
(1 − x)dx (1 + x)dx
+1
2 1 − x2 2 1 − x2 = 1
2
(1 − x)dx
(1 − x)(1 + x) +1
2
(1 + x)dx 1
=
(1 + x)(1 − x) 2
1dx
1 + x +1
2
1dx 1
=
1 − x 2 Ln(1+x)−1
2 Ln(1−x)+k
= 1 + x
Ln(1 ) + k
2 1 − x
5