CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán
Reemplazando en α los valores de I y de τ t , se
obtiene la aceleración angular:
τ t 2(
m1
− m2
) g cosφ
α = =
I L m + m + M 3
( )
1
2
Ejemplo 66. En la figura las masas m1 y m2 se
conectan por una cuerda ideal que pasa por una
polea de radio R y momento de inercia I alrededor
de su eje. La mesa no tiene roce, calcular la
aceleración del sistema.
Solución. Primero se calcula en momento angular
del sistema de las dos masas más la polea:
v
L = m1
vR + m2vR
+ I
R
Luego se calcula el torque externo sobre el sistema,
la única fuerza externa que contribuye al torque
total es m1g, entonces el torque es
τ = m1gR .
Entonces se tiene:
dL
τ = ⇒
dt
d ⎡
v ⎤
m1 gR = ⎢(
m1
+ m2
) vR + I
dt ⎣
R ⎥
⎦
dv I dv
m 1 gR = ( m1
+ m2
) R +
dt R dt
⎛ I ⎞
⇒ m1 gR = ⎜m1
+ m2
+ ⎟Ra 2
⎝ R ⎠
m1g
⇒ a =
I
m1
+ m2
+ 2
R
Ejemplo 67. Una varilla de 500 g y 75 cm de
longitud, lleva soldada en un extremo una esfera de
10 cm de radio y 250 g de masa. Calcular:
a) El momento de inercia cuando gira, alrededor de
un eje perpendicular a la varilla que pasa por el
extremo libre.
b) La cantidad de movimiento angular del conjunto
si gira a 12 rpm.
Solución.
38
a) El momento de inercia será la suma del momento
de inercia de una varilla, más el de la esfera. Como
la esfera está a L+R del eje, aplicamos Steiner:
( ) 2
2 2
1 2
I e = me
R + me
L + R , IV = mV
L
5
3
I = I e + IV
2 2
2 1 2
= me R + me
( L + R)
+ mV
L
5
3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 2
2
2
2
1
I = 0,
25 0,
1 + 0,
25 0,
85 + 0,
5 0,
75
5
3
= 0,27 kg.m 2
2π
b) L = Iω
= 0 , 27 = 0, 27(
2π
f )
T
12
= 0, 54π
= 0,345 kgm
60
2 / s
Ejemplo 68. Un cilindro de 50 kg y 20 cm de radio,
gira respecto de un eje vertical que coincide con su
eje de simetría, debido a una fuerza constante,
aplicada a su periferia que, después de 40 s de
iniciado el movimiento, alcanza 200 r.p.m.
Calcular:
El valor de la fuerza y el torque de la fuerza
aplicada.
Solución.
La frecuencia de rotación adquirida vale:
200
f = Hz
60
La velocidad angular:
200 20 rad
ω = 2πf = 2π
= π
60 3 s
La aceleración angular:
Δω
π rad
=
α =
Δt
6
s
2
Por otra parte el momento de inercia del cilindro
vale:
1 2 1
2
I = mR = ( 50)(
0,
2)
= 1 kgm
2 2
2 .
Luego el torque de la fuerza aplicada
() 1
6
π
τ = FR = Iα
= = 0,52 Nm.
La fuerza tangencial:
τ 0,
52
F = = = 2,6 N
R 0,
2