CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán
Siendo un movimiento con aceleración constante
v = 2ax
De esto
F
a =
I CM
+ M 2
R
Otra forma de calcular la aceleración.
Considerando que
dE
E = Constante ⇒ = 0
dt
dE ⎡1
2⎛
I CM ⎞ ⎤
= ⎢ v ⎜ + M ⎟ − Fx = 0
2
dt 2
⎥
⎣ ⎝ R ⎠ ⎦
dv ⎛ I CM ⎞ dx
⇒ v ⎜ + M ⎟ − F = 0
2
dt ⎝ R ⎠ dt
dv dx
Como = a y = v
dt dt
⎛ I CM ⎞
va⎜
+ M ⎟ − Fv = 0 ⇒
2
⎝ R ⎠
F
a =
⎛ I CM ⎞
⎜ M + ⎟ 2
⎝ R ⎠
Ejemplo 43. Analizar el movimiento de un cuerpo
de radio R, momento de inercia respecto a su centro
de masa I que rueda sin deslizar hacia abajo en
plano inclinado de ángulo θ .
Solución.
Como se muestra en la figura hay dos fuerzas que
actúan sobre el cuerpo, Mg actúa en el centro de
gravedad y la fuerza de contacto que se
descompone en la reacción normal N y la fuerza de
fricción Ff.
Vamos a resolver por el primer método.
Traslación:
Mgsen β − Ff
= Ma
Rotación:
RF f = I CMα
Por la condición de no deslizamiento:
α = a R
26
Eliminando α y F f obtenemos:
Mgsenβ
a =
2
M + I CM R
Considerando que para t = 0: s = 0, y v = 0.
⎛ Mgsenβ
⎞
v = ⎜
⎟t
,
⎜
2
M I CM R ⎟
⎝ + ⎠
1 ⎛ Mgsenβ
⎞ 2
s = ⎜
⎟t
2
2 ⎜ M I CM R ⎟
⎝ + ⎠
Para un anillo:
2 1
2
I CM = MR , s = gsenβ
t
4
Para un disco:
1 2 1
2
I CM = MR , s = gsenβ
t
2 3
Para una esfera:
2 2 5
2
I CM = MR , s = gsenβ
t
5 14
Para un plano sin fricción (sin rodadura)
1
2
s = gsenβ
t
2
Por la ecuación de energía
Si para t = 0: K 0 = 0 y U 0 = 0
E = K + U = 0
0
0
Llamando h a la caída del centro de masa desde la
posición de reposo, tenemos:
1 2 1 2
K = Mv + I CMω
,
2 2
U = −Mgh
= −Mgssen
β = 0 ,
ω = v R
1 2 ⎛ I
v ⎜ M +
2 ⎝ R
⎞
⎟
⎠
CM
− 2
Mgssenβ
2Mgsenβ
⇒ v =
s 2
M + I R
CM
Ejemplo 44. Usar la conservación de la energía
para describir el movimiento de rodadura de un
cuerpo rígido de masa M que rueda por un plano
inclinado θ y rugoso.